指数函数与对数函数经典讲义

指数函数与对数函数

重点:指数函数、对数函数的图像和性质;指、对数方程(含不等式)的解法;数学思想方法的运用．

难点：幂函数、指数函数和对数函数组成的复合函数的性质. 一、 指数与对数的运算法则 1、 指数的运算法则

① m n

m

n

a a a +=⋅ﻩ② m m n

n a a

a

-= ③ ()()n m

mn m n a a a == ﻩ④

1

n a =2、

对数式与指数式的互换

log b a a N b N =⇔=(0a >且1a ≠）、（上式中b R ∈，0N >）

3、 对数的运算法则

(1）对数运算法则

① ()log log log a a a M N M N ⋅=+ ② log log log a a a M

M N N =- ③ log log n a a M n M = ﻩ ﻩ ④

1

log log a a M n

=

（2）几个常用的恒等式 ① log

a

N

a N =ﻩﻩ② log N a a N = ③ log log log

b a b N

N a

=

(换底公式)ﻩ ④ 1log log a b b a = ⑤ log log m n a a n

b b m

= 例1、 求:

82log 9

log 3

的值． 解：82lg 9

log 9lg 9lg 22lg 3lg 22

lg8lg 3log 3lg833lg 233

2

lg lg lg =

=⋅=⋅=. 二、 指数函数与对数函数

1、 指数函数与对数函数的图像和性质

指数函数

x y a =和对数函数log a y x =互为反函数，所以它们的图像关于y x =对称．

2、

指数函数与对数函数的图像的应用

例2、 在下列一次函数b ax y +=(10<

（A ）

（B ）

（C ）

（D ）

由()C ，1b >，则指数函数()x

bx b y a a ==中底数01b a <<，不吻合；

所以,应该选()D 。

例3、 当1a >时,在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图像

是 （ ）

x

3、

指数函数与对数函数的性质的应用

例4、 比较三个数0.76，60.7，0.7log 6的大小关系． 解：0.70661>=,600.70.71<=，0.70.7log 6log 10<=， 所以0.760.760.7log 6>>．

例5、 已知12x ≤≤,求函数()13239x x f x +=+⋅-的最大值和最小值． 解:设3x t =,∵12x ≤≤，∴193

t ≤≤,则()2

236312y t t t =+-=--+， 所以,当3t =即1x =时，()f x 取得最大值12; 当9t =即2x =时，()f x 取得最小值24-．

例6、 求函数22

21

x x y -=+的值域.

解：由22

21

x x y -=+，得()2122x x y +=-,即()122x y y -=--，

因为1y ≠，所以2

21

x y y --=

-.又x R ∈,故20x >,因此

201y y -->-,解得21y -<<． 因此,函数的值域为()2,1-.

例7、 设函数()log a f x x =在区间[)2,+∞上总有()1f x >成立．求实数a 的取值范围． 解:分1a >和01a <<两种情况讨论，于是有1log 21a a >⎧⎨>⎩或01

log 21

a a <<⎧⎨<-⎩，

解得12a <<或112

a <<．

例8、 设函数()lg f x x =,若0a b <<,且()()f a f b >．求证:1ab < 证明:∵()()f a f b >,∴lg lg a b >.

上式等价于()()2

2

lg lg a b >,即()()()lg lg lg lg 0lg lg 0a a b a b ab b

-+>⇔>, 由已知0a b <<．得01a b

<<，∴lg 0a b

<,所以()lg 0ab <,即1ab <． 例9、 已知函数()2log 2a

x b

f x x b

+=-(0a >,1a ≠，0b <） （１） 求函数()f x 的定义域;

（２） 判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由;

解:（1)由20

20

x b

x b

b +⎧>⎪-⎨⎪<⎩,解得2x b <或2x b >-, 所以函数的定义域为()(),22,b b -∞-+∞． （2)显然函数的定义域关于原点对称.

对函数()f x 的定义域()(),22,b b -∞-+∞内任意实数x ，有

()()222log log log 222a

a a x

b x b x b

f x f x x b x b x b

-+-+-===-=---+-,且函数()f x 不恒为零， 所以,函数()f x 是奇函数.

例10、 已知()log 2a y ax =-在[]0,1上是x 的减函数,求实数a 的取值范围. 解：∵0a >，∴2u ax =-在[]0,1上是减函数, 因此函数log a y x =在[]0,1上是增函数,即1a >， 根据题设有1

20

a a >⎧⎨->⎩,即12a <<.

4、

指数函数与对数函数的综合应用