中值定理与导数的应用

第三章 中值定理与导数的应用

§3. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理

设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)), 那么f '(x 0)=0.

罗尔定理 如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点

)(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即0)('=ξf .

例:设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)1(=f ，证明：在(0,1)内存在ξ，使得ξ

ξξ)

()(f f -

='．

【分析】本题的难点是构造辅助函数，可如下分析：

()0)(0)()(0)()()

()(='

→='+→='+→-

='x xf x f x x f f f f f ξξξξ

ξξ

【证明】令)()(x xf x G =，则)(x G 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且 0)1(1G (1)0,0)(0)0(====f f G ,)()()(x f x x f x G '+='

由罗尔中值定理知，存在)1,0(∈ξ，使得)()()(ξξξξf f G '+='．即ξ

ξξ)

()(f f -

='

例：设函数f (x ), g (x )在[a , b ]上连续，在(a , b )内具有二阶导数且存在相等的最大值，f (a )=g (a ), f (b )=g (b ), 证明：存在(,)a b ξ∈，使得()().f g ξξ''''=

【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令

()()()F x f x g x =-，则问题转化为证明()0F ξ''=, 只需对()F x '用罗尔定理，关键是

找到()F x '的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F (a )=F (b )=0, 若能再找一点(,)c a b ∈，使得()0F c =，则在区间[,],[,]a c c b 上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对()F x '用罗尔定理即可。

【证明】构造辅助函数()()()F x f x g x =-，由题设有F (a )=F (b )=0. 又f (x ), g (x )在(a , b )内具有相等的最大值, 不妨设存在21x x ≤, ),(,21b a x x ∈使得

12[,]

[,]

()max (),()max ()a b a b f x M f x g x M g x ====，

若21x x =，令1x c =, 则()0.F c =

若21x x <，因111222()()()0,()()()0F x f x g x F x f x g x =-≥=-≤，从而存在

12[,](,)c x x a b ∈⊂，使()0.F c =

在区间[,],[,]

a c c

b 上分别利用罗尔定理知，存在12(,),(,)a

c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==. 再对()F x '在区间12[,]ξξ上应用罗尔定理，知存在

12(,)(,)a b ξξξ∈⊂，有()0F ξ''=， 即 ()().f g ξξ''''= 二、拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理 如果函数)(x f 满足（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, 那么在),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ, 使得等式

))(()()('a b f a f b f -=-ξ

例:. 证明当x >0时, x x x

x <+<+)1ln(1.

证 设f (x )=ln(1+x ), 显然f (x )在区间[0, x ]上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 就有 f (x )-f (0)=f '(ξ)(x -0), 0<ξ

由于f (0)=0,

x x f +='11)(, 因此上式即为

ξ+=+1)1l n (x x . 又由0<ξ

x x x

x <+<+)1l n (1.

例 证明：当0

a b a a b a -<

<-ln 【分析】即证：

b b a b a a 1

ln ln 1<--< 【证明】令],[,ln )(a b x x x f ∈=，在],[a b 上使用拉格朗日中值定理，知存在

，使),(a b ∈ξξξ1

)(ln ln =

'=--f b a b a

,a b <<ξ所以b a 111<<ξ，即b b a b a a 1ln ln 1<--< ，变形得证。

例(真题)设函数()f x 在[0,]+∞上可导，(0)0lim ()2x f f x →+∞

==且，证明

（1）存在0a >，使得()1f a =

（2）对（1）中的a ，存在(0,),a ξ∈使得1'().f a

ξ=

证明：（1）因为lim ()2x f x →+∞

=，对于12ε=

，存在0A >,使得当x A ≥时，1

|()2|2

f x -<，因此3

()2

f A >

，由连续函数的介值性，存在(0,)a A ∈，使得()1f a =。 （2）由拉格朗日中值定理，存在(0,),a ξ∈使得()(0)1

'().0f a f f a a

ξ-=

=-

定理 如果函数f (x )在区间I 上的导数恒为零, 那么f (x )在区间I 上是一个常数.

例:求证2

arccos arcsin π

=

+x x )11(≤≤-x .

证 设)(x f x x arccos arcsin +=，当11<<-x 时有