复数的概念与几何意义

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第三章第一节 数系的扩充与复数的概念

学习目标

1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会数与现实世界的联系。

2.理解复数基本概念以及复数相等的充要条件。

自学探究

问题1. 在实数集中方程x 2-1=0是什么？ 方程x 2

+1=0有实数解吗？联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能 设想一种方法，使这个方程有解吗？ 问题2.复数的概念是什么？

问题3.若复数a+bi=c+di ，则实数a 、b 、c 、d 满足什么条件？ 问题4.你能对复数集进行恰当地分类吗？并举出相应例子。 练习题：

（一）完成课本104页1，2，3

（二）1.实数m 取何值时，复数z=m+1+(m-1)i 是实数？虚数？纯虚数？

2.已知i 是虚数单位，复数Z=(m 2

-4)+(m+2)i ，当m 取何实数时，Z 是：（1）实数 （2）纯虚数 3. 如果222(32)z a a a a i =+-+-+为实数,求实数a 的值。 4.若(32)(5)172x y x y i i ++-=-，则,x y 的值是？

5.已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程x 2

-4x+3=0的两根，试求：,,a b k 的值。

[思考]：你能得出判断一个数是实数、虚数，纯虚数的方法吗？

第三章第二节 复数的几何意义

学习目标

1.通过复数与从原点出发的向量的对应关系了解复数的几何意义，从中体会数形结合的思想；

2.从复数几何意义的引入过程中体会用几何研究代数问题的方法。 自学探究

问题1.在直角坐标系中，有序实数对与点一一对应，类比此种对应，复数能与什么建立一一对应？ 问题2.复数Z= (,)a bi a b R +∈（ 可以与复平面的向量对应吗？复数的几何意义是什么？ 问题3.怎样求一个复数的模？ 练习题：

（一）完成课本105页1，2，3；106页A 组全做 （二） 1.若复数12z i =+，求z 的模。

2.若复数22(34)(56)Z m m m m i =--+--表示的点在虚轴上，求实数m 的取值，并求z 的模。

3.在复平面内指出与复数112z i =+，223z i =，332z i =，42z i =-+对应的点1Z ，2Z ，3Z ，4Z . 试 判断这4个点是否在同一个圆上?并证明你的结论.

第三章第三节 复数代数形式的加减运算及其几何意义

1.会进行复数的代数形式的加、减运算，了解其几何意义；

2.通过复数加法几何意义的探究渗透数形结合、类比的数学思想。 自学探究

问题1.复数与复平面内的向量有一一对应的关系，类比向量加法，你能得出复数的加法运算法则吗？ 复数加法的几何意义呢？

问题2.复数的加法满足交换律、结合律吗？请结合复数加法运算法则证明。 问题3.若复数z 1+z 2=z 3,你能否用z 2和z 3表示出z 1 ？请画图说明。 你能因此得出复数减法法则及其几何意义吗？ 练习题：

（一）完成课本109页1，2

（二）计算 （1）(56)(2)(34)i i i -+---+ （2）5i -(-2+3i )+(4-7i )

2 . 已知平行四边形OABC 的三个顶点O 、A 、C 对应的复数分别为0，32i +，24i -+，试求： （1）AO 表示的复数； （2）CA 表示的复数； （3）B 点对应的复数.

3.ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C 三点对应的复数分别是13,,2i i i +-+，求点D 对应的复数.

4. 当2

13

m <<时，复数(3)(2)m i i +-+在复平面内对应的点位于（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

第三章第四节 复数代数形式的乘除运算

学习目标

1. 理解共轭复数的概念；

2. 能进行复数的代数形式的乘、除运算，从中体会类比数学思想。 自学探究

问题1.类比(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd,你能得出(a+bi)(c+di)=?

问题2.复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？请举例说明。 问题3.复数34i +与3-4i 有何关系？a bi +的共轭复数是什么？bi 的共轭复数是什么？ 思考：若12,z z 是共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点的位置关系如何？ （2）12z z ⋅是一个怎样的数？有何特征？ 问题4.类比实数的除法是乘法的逆运算，请探究（1+2i ）Z =4+3i 中的复数Z =？ 你能得出复数除法运算法则吗？

练习题：

（一）完成课本111页1，2，3；112页A 组1至6题;116页A 组全做，B 组1，2题。

（二）1. 复数5

2

i -的共轭复数是（ ）

A ．2i +

B ．2i -

C ．2i --

D ．2i -

2.如果复数212bi

i

-+的实部和虚部互为相反数，那么实数b 的值为（ ）

A 2

B ．-2

C ．23-

D ．2

3

3. 若12z i =，则22z z -的值为

4. 计算

（1）13()(1)2i -+； （2）3113

()()22--

5. 若复数z 满足11z

i z

-=+，则|1|z +的值为

第三章 数系的扩充与复数的引入（复习课）

1. 设134z i =-，223z i =-+，则12z z +在复平面内对应的点（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 2. 2(1)i i -⋅等于（ ）

A ．22i -

B ．22i +

C ．2-

D ．2

3. 复数21

(1)i

+的值是（ ）

A ．2i

B ．2i -

C ．2

D ．2-