四川大学化工原理PPT课件 2.第二章 传递过程基本方程

第二章传递过程基本方程动量传递热量传递质量传递模型化共同规律化工单元操作传递过程的主要理论基础质量守恒动量守恒能量守恒现象方程描述系统的状态描述过程的速率传递现象理论使化学工程从经验与技艺发展成为一门工程科学控制体（control volume ）与控制面守恒原理的运用都是针对一定体系而言控制体控制体通过控制面与环境（环绕控制体的流体或相界面）进行质量、动量和能量交换。

控制体：流动空间任一坐标位臵处具有一定几何形状与大小的开放体系。

控制面：围成控制体的空间曲面。

控制体的大小控制体的取法(1) 代表性：基于控制体建立的传递过程微分方程应该在整个流动空间连续可积(2) 对称性与正交性：尽可能使控制面的法线与坐标轴平行或正交，使其模型简化、减小求解的难度。

宏观：例，一段管道、一台设备、甚至整个生产装臵宏观衡算只能得到空间平均的结果微观：数学意义上的微元体积 V微观(或微分)衡算建立微分方程，才能表达流体内部传递现象的规律，求得流场的分布函数。

空间平均的结果很容易从分布函数求平均得到xzy∆z∆y∆x o不同坐标系下的微元控制体常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系(x,y)(y,z)u y u zu x直角坐标系（Cartesian coordinates ）：x ，y ，zz∆z∆θ∆roθ= 0rθu zu θu rz∆θ∆roθ= 0θφ= 0φ∆φr u ru θu φ质量守恒与连续性方程质量守恒定律（Mass conservation ）输入控制体输出控制体控制体内生成控制体内质量－＋＝的质量速率的质量速率的质量速率的累积速率ni tm r W W ii out i in i ,...,2,1d d ,,==+-())(d d 11,,∑=-∑ninouti in i m t W W控制体内生成的质量速率和消耗的质量速率相等1i =∑nr tmW W out in d d =-传递过程与化学反应过程都必须服从质量守恒定律。

若控制体内的流体包含n 个组分，则任一组分i 的质量衡算为：流体的速度和密度是空间与时间的连续函数[][][]z z z z z y y y y y x x x x x u u y x u u z x u u z y tz y x ∆+∆+∆+-∆∆+-∆∆+-∆∆=∂∂∆∆∆)()()()()()(ρρρρρρρxzy∆z∆y∆x(ρu x )x(ρu x )x+∆x(ρu y )y(ρu z )z(ρu z )z+∆z(ρu y )y+∆y()t z y x ,,,u ()t z y x ,,,ρ⎥⎦⎤∆-+∆-++⎢⎣⎡∆--=∂∂∆+∆+∆+→∆∆∆z u u yu u xu u t z z z z z yy y y y xx x x x z y x )()()()()()(lim 0,,ρρρρρρρ代表空间任意点处由流体质量通量ρu 的空间变化率引起该点处流体密度随时间的变化率。

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂u z u y u x t z y x ρρρρ()u ρ⋅∇∇ (ρu )代表的流体质量通量的空间变化率又被称作质量通量的散度，其物理意义可以理解为空间某点处单位体积内流体质量的流散速率。

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z u y u xu z u y u x u t z y x z y x ρρρρρ()u ⋅∇-=ρρtD D 流体密度的随体导数体积通量(或速度矢量) u 的散度，物理意义为空间某点处单位体积流体的体积形变（扩张或收缩）速率连续性方程（Equation of continuity ）连续性方程是传递过程最基本的方程之一，推导过程未加假设，因此对各种流体在各种情况下都适用。

()()()0=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂u zu y u x t z y x ρρρρ()()()011=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂u zu r u r r r t z r ρρθρρθ()()()0sin 1sin sin 1122=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂u r u r u r r r t r φθρφθθρθθρρ直角坐标系(x, y, z )球坐标系(r, θ, φ)柱坐标系(r, θ, z )不同坐标系中的连续方程⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂u z u y u x t z y x ρρρρV x u x u x u V t V z y x V d d ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ρρρρV x u x u x u V t V z y x V d d ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ρρρρ⎰⎰⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂An V z y x Au V x u x u x u d d ρρρρ111222222111 d cos u d cos u d cos d 21u A uA A A A u A u A A AAnρραραραρρ-=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()tM t V V t V t m V V d d d d d d dd ===∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰ρρρu 1u 2A 1ρ1A 2ρ2V——高斯（Gauss ）定理tMu A u A d d 111222=-ρρ不稳定流动系统的连续性方程稳定流动系统的连续性方程111222u A u A ρρ=不可压缩流体的连续性方程1122u A u A =圆管流动的连续性方程22112112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==d d u A A u u u 1u 2A 1ρ1A 2ρ2V动量守恒定律动量守恒与流体运动微分方程()F u ∑=∑m td d动量是矢量，将其在三个坐标方向分解，对每一个分量都可以独立地进行动量衡算控制体受力分为体积力：由外力场决定表面力：压力和粘性力输入控制体输出控制体作用在控制体控制体内动量－＋＝的动量流率的动量流率上的合力的累积速率912345678xyz∆z∆x∆y1-τxx 2-τxy 3-τxz 4-τyx 5-τyy6-τyz 7-τzx 8-τzy 9-τzz牛顿第二定律对流传递的动量通量（x 分量）xzyxx x u u )(ρxx xx u u ∆+)(ρzx z u u )(ρzz xz u u ∆+)(ρyxy u u )(ρyy xy u u ∆+)(ρ扩散传递的动量通量（x 分量）xzyxxx τxx xx ∆+τzzxτzz zx∆+τyyxτyy yx∆+τ对流从六个面元输入控制体的x 方向的动量分量的净流率为：()()()x x xx xx xy x y y x y yz x z z xz zu uu u y zu u u u x zu u u u x yρρρρρρ+∆+∆+∆-∆∆+-∆∆+-∆∆()()()xx xxxx xyx y yx y yzx z zxz zy zx zx yττττττ+∆+∆+∆-∆∆+-∆∆+-∆∆扩散从六个面元输入控制体的x 方向的动量分量的净流率为：x 方向的动量分量在控制体内的累积速率为：作用于控制体的所有外力在x 方向的分量的总和为：()z y x tu x ∆∆∆∂∂ρ()zy x g z y ppxxx x∆∆∆+∆∆-∆+ρ表面力流体的压力体积力（质量力）g x 代表单位质量流体所受的质量力（例如重力、离心力等）在x 方向的分量x 方向：()()()()gxpzyxuuzuuyuuxutxzxyxxxxzxyxxxρτττρρρρ+∂∂-⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂()()()()gypzyxuuzuuyuuxutyzyyyxyyzyyyxyρτττρρρρ+∂∂-⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂()()()()gzpzyxuuzuuyuuxutzzzyzxzzzzyzxzρτττρρρρ+∂∂-⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂y 方向：z 方向：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅∇+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂++⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂t u t u z u y u x u t z u y u x u u z u u y u u x u u t u z u y u x u u z u y u x u u z u u y u u xu u t u t u x x z y x z y x x x z x y x x x z y x x z y x x x z x y x x x x D D D D ρρρρρρρρρρρρρρρρu 连续性方程x 方向：y 方向：z 方向：yzyyyxyy gypzyxtuρτττρ+∂∂-⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=DDzzzyzxzz gzpzyxtuρτττρ+∂∂-⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=DDxzxyxxxx gxpzyxtuρτττρ+∂∂-⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=DD上式以牛顿第二定律的形式表达了单位微元体积中的流体受合力的作用获得的加速度，是运动微分方程的另一种形式。

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂-⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=z y x zz yzxz zy yy xy zx yx xx z y x g g g z p y p x p z y x z y x z y x t u t u t u t ρτττττττττρρD D D D D D D D u ∑=Fa m 流体运动微分方程全面反映了流体内部各种不同方式的动量传递和作用力对改变流体运动状态的贡献，是流体力学的基本方程之一，对所有流体都适用。

三个方程所含变量多达14个，只有在针对流动体系的具体性质、补充足够的方程之后，才能使方程组封闭。

()u ⋅∇+∂∂-=μμτ322x u x xx()u ⋅∇+∂∂-=μμτ322y u yyy()u ⋅∇+∂∂-=μμτ322z u z zz ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-==x u y u y x yx xy μττ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂-==y u z u z y zy yzμττ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂-==z u xu x z xzzx μττ本构方程：流体的粘性应力(或动量扩散通量)与速度梯度(或形变速率)之间的关系，随流体种类与流动结构而异。