高三数学线性规划中参数的探讨 学法指导

高三数学线性规划中参数的探讨

在解决线性规划问题时，约束条件和目标函数中常涉及到一些参数，这些参数需通过最值问题加以求解。下面举例说明，供同学们学习时参考。

一、约束条件中的参数

例1. 线性目标函数y x z +=在线性约束条件⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤-≤-+a y 0y x 203y x 下取得最大值的最优解只有

一个，则实数a 的取值范围为___________________。

解析：根据题意，画出可行域，如图1所示，可求得A （1，2），将目标函数y x z +=变形为z x y +-=，与边界线03y x =-+平行，而要使最大值的最优解只有一个，则分析图形知可行域只能为直线y=2下方的部分（含边界线），故实数a 的取值范围为(]2,∞-。

图1

评注：运用数形结合思想，通过比较有关直线的倾斜程度而直观求解。

二、目标函数中的参数

1. 最优解无穷求参数值

例2. 已知三点A （5，2），B （1，1），C （3，4），平面区域为△ABC 的内部及边界，若使目标函数z=ax+y 取得最大值的最优解有无数多个，求实数a 的值。

解析：画出符合题意的图形，如图2所示，将目标函数转化为z ax y +-=。则若使目标函数y ax z +=取得最大值的最优解有无数多个，必有2

3k a k BC ==-=，或1k a k AC -==-=，即1a 2

3a =-=或。

图2

评注：若最优解有无穷多个，说明目标函数和斜率等于某一边界线的斜率，则由此列出方程而求出某系数的具体数值。

2. 最优解唯一求参数范围

例3. 已知变量x ，y 满足⎪⎩

⎪⎨⎧≤-≥-+≤-+01y 03y 3x 03y 2x ，若目标函数y ax z +=（其中a>0）仅在点（3，

0）处取得最大值，则a 的取值范围为_______________。

解析：根据题意画出可行域，如图3所示，易得A （3，0）。

图3

现将目标函数转化为0a ,z ax y >+-=，则其斜率0a <-。要使其仅在点A （3，0）处取得最大值，必有：

21k a A B -=<-

即2

1a > 评注：其实题设中可以去掉条件a>0而结果不变。