离散型随机变量及其分布列

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所以 P(ξ＝k)＝Ck2190k1－1902－k(k＝0,1,2). 所以变量 ξ 的分布列为：
ξ
0
1
2
P
1
18
81
100 100 100
E(ξ)＝0×1100＋1×11080＋2×18010＝1.8，
或 E(ξ)＝np＝2×190＝1.8.
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图 9-5-1 (1)问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的 是什么抽样方法？
(2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽 样，若广西籍的有 5 名，则四川籍的应抽取几名？
(3)在上述抽出的驾驶人员中任取 2 名，求抽取的 2 名驾驶 人员中四川籍人数ξ的分布列.
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解：(1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的 是系统抽样方法.
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【互动探究】 2.一个口袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球. (1)采取放回抽样方式，从中摸出 2 个球，求 2 个球恰好颜 色不同的概率； (2)采取不放回抽样方式，从中摸出 2 个球，求摸得白球的 个数的分布列.
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解：(1)采取放回抽样方式，从中摸出 2 个球，2 球恰好颜 色不同，也就是说从 5 个球中摸出一球，若第一次摸到白球，
A.34
B.58
C.156
D.352
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4.某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下：
ξ
6
7 8 9 10
P 0.1 0.2 0.25 x 0.15
此射手“射击一次命中环数不小于 8 环”的概率为0._7_____.
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考点 1 离散型随机变量的分布列 例 1：(2014 年广东珠海二模)已知甲、乙两名乒乓球运动 员进行比赛，根据二人以往比赛资料统计，在一局比赛中，甲 获胜的概率为35，乙获胜的概率为25，且各局比赛互不影响.现在
P
3 10
3 5
1 10
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考点 3 二项分布的应用 例 3：(2014 年上海金山一模)2012 年 3 月 2 日，国家环保 部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定：居民区中 的 PM2.5 年平均浓度不得超过 35 微克/立方米，PM2.5 的 24 小 时平均浓度不得超过 75 微克/立方米.某城市环保部门随机抽取 了一居民区 2013 年 40 天的 PM2.5 的 24 小时平均浓度的监测 数据，数据统计如下：
第5讲 离散型随机变量及其分布列
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1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念， 了解分布列对于刻画随机现象的重要性.
2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用. 3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，能理解 n 次 独立重复实验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问 题.
X
0
1
P
1－p
p
其中 0<p<1，称 X 服从两点分布，而称 p＝P(X＝1)为成功
概率.
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(2)超几何分布： 一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰
有 X 件次品，则随机事件 X＝k 发生的概率为 P(X＝k)＝CkMCCnNNn－－kM，
k＝0,1,2，…，m(其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，
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解：(1)众数约为 22.5，中位数约为 37.5. (2)去年该居民区 PM2.5 年平均浓度为 7.5×0.1 ＋22.5×0.3 ＋37.5×0.2 ＋52.5×0.2 ＋67.5×0.1 ＋ 82.5×0.1＝40.5(微克/立方米). 因为40.5>35，所以2013 年该居民区PM2.5 年平均浓度不 符合环境空气质量标准， 故该居民区的环境需要改进. (3)记事件 A 表示“一天 PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环 境空气质量标准”，则由表，得 P(A)＝404－0 4＝190. 随机变量 ξ 的可能取值为 0,1,2，且 ξ～B2，190.
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【互动探究】 1.(2013 年山东)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概
率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛 结果相互独立.
(1)分别求甲队以 3∶0,3∶1,3∶2 获胜的概率； (2)若比赛结果为 3∶0 或 3∶1，则胜利方得 3 分，对方得 0 分；若比赛结果为 3∶2，则胜利方得 2 分，对方得 1 分.求乙 队得分 X 的分布列.
甲、乙二人准备进行三局比赛. (1)求在三局比赛中甲胜前两局、乙胜第三局的概率； (2)用ξ表示三局比赛中甲获胜的局数，求ξ的分布列.
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解：(1)设事件 A 表示“在三局比赛中甲胜前两局、乙胜第 三局”，则 P(A)＝35×35×25＝11285.
(2)方法一：由题意知，ξ 的可能取值为 0,1,2,3. P(ξ＝0)＝C03×25×25×25＝1825， P(ξ＝1)＝C13×35×25×25＝13265， P(ξ＝2)＝C23×35×35×25＝15245， P(ξ＝3)＝C33×35×35×35＝12275.
则第二次摸到黑球；若第一次摸到黑球，则第二次摸到白球.
因此它的概率是：p＝25×35＋35×25＝1225.
(2)设摸得白球的个数为 ξ，则 ξ＝0,1,2.
P(ξ＝0)＝CC2325＝130，P(ξ＝1)＝CC12·C25 13＝35， P(ξ＝2)＝CC2225＝110.
ξ 的分布列为：
ξ 012
N∈N*)，称随机变量 X 服从超几何分布，其分布列如下表：
X
0
1
…
m
P
C0MCnN－－0M CnN
C1MCnN－－1M CnN
…
CmMCnN－－mM CnN
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(3)二项分布：
一般地，在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的次数为
X，在每次试验中事件 A 发生的概率为 p，那么在 n 次独立重复
A 发生的条件下，事件 B 发生的概率.
(2)条件概率的求法： 求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概
型概率公式，即 P(B|A)＝nnAAB.
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(3)条件概率的性质： ①条件概率具有一般概率的性质，即__0__Βιβλιοθήκη BaiduP(B|A)≤___1_； ②若 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝P(B|A)＋ P(C|A). 3.事件的相互独立性
(2)从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员是广西籍的有 5 ＋20＋25＋20＋30＝100(名)，
四川籍的有 15＋10＋5＋5＋5＝40(名). 设四川籍的驾驶人员应抽取 x 名，依题意，得 1500＝4x0，解得 x＝2，即四川籍的应抽取 2 名.
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(3)ξ的所有可能取值为 0,1,2.
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解：(1)记“甲队以 3∶0,3∶1,3∶2 获胜”分别为事件 A1， A2，A3.由题意，各局比赛结果相互独立，
故 P(A1)＝233＝287， P(A2)＝C232321－23×23＝287， P(A3)＝C242321－232×12＝247. 所以甲队以 3∶0,3∶1,3∶2 获胜的概率分别是287，287，247.
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(2)求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从 PM2.5 的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改 进？并说明理由；
(3)将频率视为概率，对于 2013 年的某 2 天，记这 2 天中 该居民区 PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准的 天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望 E(ξ).
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则 ξ 的分布列为：
ξ
0
1
2
P
8
36 54
125 125 125
方法二：由题意知，ξ～B3，35，
则 P(ξ＝k)＝Ck335k·253－k(k＝0,1,2,3). 则 ξ 的分布列为：
ξ
0
1
2
P
8
36
54
125
125 125
3 27 125
3 27 125
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【规律方法】离散型随机变量的分布列的求法： ①写出X 的所有可能取值注意准确理解X 的含义，以免失 误； ②利用概率知识古典概型或相互独立事件的概率求出 X 取各值的概率； ③列表并检验，写出分布列.
P(ξ＝0)＝CC2527＝1201，P(ξ＝1)＝CC12C27 15＝1201， P(ξ＝2)＝CC2227＝211.
ξ的分布列为：
ξ
0
P
10 21
1
2
10
1
21 21
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【规律方法】在超几何分布中，只要知道N，M 和 n，就 可以根据公式，求出X 取不同值m 时的概率PX＝m，从而列 出 X 的分布列.
(1)设 A，B 为两个事件，若 P(AB)＝_P_(_A_)_P_(_B_)__，则称事件
A 与事件 B 相互独立. (2)若事件 A 与事件 B 相互独立，则 A 与 B 、 A 与 B、－A 与
B 也都相互独立.
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4.离散型随机变量的分布列 一 般 地 ， 若 离 散 型 随 机 变 量 X 可 能 取 的 不 同 值 为 x1 ， x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，则表：
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P(X＝2)＝P(A4)＝247， P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝19. 故 X 的分布列为：
X
0
1
23
P
16
4
41
27 27 27 9
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考点 2 超几何分布的应用 例 2：2012 年春节前，有超过 20 万名广西、四川等省籍的 外来务工人员选择驾乘摩托车沿 321 国道长途跋涉返乡过年， 为防止摩托车驾驶人因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作 而引发交通事故，肇庆市公安交警部门在 321 国道沿线设立了 多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托 车驾驶人员有一个停车休息的场所.交警小李在某休息站连续 5 天对进站休息的驾驶人员每隔 50 辆摩托车就询问驾驶人员的 省籍一次，询问结果如图 9-5-1：
X
x1 x2 … xi … xn
P
p1 p2 … pi … pn
称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列.
有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表 示 X 的分布列.
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5.离散型随机变量分布列的性质 (1)pi≥0(i＝1,2，…，n).(2)p1＋p2＋…＋pn＝1. 6.常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布： 如果随机变量 X 的分布列为：
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(2)设“乙队以 3∶2 获胜”为事件 A4，由题意，各局比赛 结果相互独立，所以
P(A4)＝C241－232232×1－12＝247.
由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3，，根据事 件的互斥性，得
P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝1267， P(X＝1)＝P(A3)＝247，
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1.下列四个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一 个是( C )
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2.设随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ＝i)＝a13i，i＝1,2,3，则 a 的值为( D )
A.1
B.193
C.1113
D.2173
3.某篮球运动员在三分线投球的命中率是12，他投球 5 次， 恰好投进 3 个球的概率为( C )
试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k
(k＝0,1,2,…,n).此时称随机变量 X 服从二项分布.记作 X～B(n，
p)，并称 p 为成功概率.其分布列如下表：
X
0
1
…
k
…
n
P Cn0p0(1－p)n Cn1p1(1－p)n－1 … Cknpk(1－p)n－k … Cnnpn(1－p)0
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组别 PM2.5(微克/立方米) 频数 频率
第一组
(0,15]
4 0.1
第二组
(15,30]
12 0.3
第三组
(30,45]
8 0.2
第四组
(45,60]
8 0.2
第五组
(60,75]
4 0.1
第六组
(75,90)
4 0.1
(1)请你根据上表的数据统计估计该样本的众数和中位数
(不必写出计算过程)；
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1.随机变量
(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字
母 X，Y，ξ，η…表示.
(2)所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变
量.
(3)随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫
做连续型随机变量.
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2.条件概率及其性质 (1)条件概率的定义： 设 A，B 为两个事件，且 P(A)>0，称 P(B|A)＝PPAAB为事件