等积法求体积点到面地距离【教师版】
专题：用等体积法求点到面的距离和体积-2021-2022学年高一下学期数学+人教A版(2019)
专题:用等体积法求点到面的距离和体积知识梳理：1、当点到面的距离那条垂线不好作或找时，利用等体积法可以间接求点到面的距离，从而快速解决体积问题，是一种常用数学思维方法2、在用变换顶点求体积时，变换顶点的原则是能在图象中直接找到求体积所用的高，有时单一靠棱锥四个顶点之间来变换顶点无法达到目的时，还可以利用平行关系（线面平行，面面平行）转换顶点，如当线面平行时，线上任意一点到平面的距离是相等的，同理面面平行也可以变换顶点 典型例题：例1. 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动．当E 为AB 的中点时,求点E 到面ACD 1的距离；例2．如图，底面是正三角形的直三棱柱中，D 是BC 的中点，.（Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求点A 1 到平面的距离.AA 1BDE C B 1C 1D 1练习：1、 如图，已知正四棱柱ABCD —A 1 B 1 C 1 D 1，点E 在棱DD 1上，截面EAC ∥D 1B ，且面EAC 与底面ABCD 所成角为45°，AB=a 。
（Ⅰ）求截面EAC 的面积；（Ⅱ）求异面直线A 1B 1与AC 之间的距离；（Ⅲ）求三棱锥B 1—EAC 的体积。
2、在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，设E 是棱CC 1的中点． （1）求证：BD ⊥AE ；OACA 1DBED 1 B 1C 1（2）求证：AC ∥平面B 1DE ； （3）求三棱锥A ﹣B 1DE 的体积．答案及解析例1：解：设点Ｅ到平面ＡＣD 1的距离为h ，在ΔＡＣD 1中，ＡD 1＝，ＡＣ＝ＣD 1＝，故＝＝，而＝＝． ∵∴∴h=．例2．.证明：（Ⅰ）连接交于O ，连接OD ，在中，O 为中点，D 为BC 中点25SCAD 1∆215221-⋅⋅23s ACE ∆BC AE ⋅⋅2121,3131111h DD S S V C AD AEC AEC D ⋅=⋅=∆∆-,23121h ⨯=⨯31且即 解得解法二：由①可知点到平面的距离等于点C 到平面的距离…………8分为 …………10分设点C 到面的距离为h 即解得练习1. 解：（Ⅰ）、（Ⅱ）略。
立体几何大题中有关体积、面积和距离的求法(教师版)
立体几何大题中有关体积、面积和距离的求法(教师版)立体几何大题中有关体积、面积和距离的求法知识点梳理1.柱、锥、台和球的侧面积和体积圆柱：侧面积为$S_\text{侧}=2\pi rh$，体积为$V=\pir^2h$圆锥：侧面积为$S_\text{侧}=\pi rl$，体积为$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$圆台：侧面积为$S_\text{侧}=\pi(r_1+r_2)l$，体积为$V=\frac{1}{3}\pi h(r_1^2+r_2^2+r_1r_2)$直棱柱、正棱锥、正棱台、球的表面积和体积公式不再赘述。
2.几何体的表面积直棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和。
圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和。
一公式法例1.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为。
解：因为正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，所以有以下两种情况：①：2是下底面的周长，4是三棱柱的高，此时下底面的边长为$\frac{2}{\sqrt{3}}$，所以体积为$V=\frac{4}{3}\sqrt{3}$，面积为$S=2\sqrt{3}$。
②：4是下底面的周长，2是三棱柱的高，此时下底面的边长为$\sqrt{3}$，所以体积为$V=\frac{4}{3}\sqrt{3}$，面积为$S=2\sqrt{3}$。
所以正三棱柱的体积为$\frac{4}{3}\sqrt{3}$。
例2.如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（）。
解：由题意可知此几何体是一个四棱锥，由图可知底面两条对角线的长分别为2和3，底面边长为2，所以底面菱形的面积为$S=\frac{3}{2}$，侧棱为$\sqrt{2^2+3^2}= \sqrt{13}$，则棱锥的高$h=\sqrt{3^2-(\frac{\sqrt{13}}{2})^2}=\frac{\sqrt{35}}{2}$。
点到平面距离的若干典型求法
点到平面距离的若干典型求法1.引言点到平面的距离是高考立体几何部分必考的热点题型之一，也是学生较难准确把握的难点问题之一。
本文将介绍七种较为典型的求解方法，包括几何方法（如体积法、二面角法）、代数方法（如向量法、公式法）以及常用数学思维方法（如转化法、最值法），以达到秒杀得分的效果。
2.预备知识1) 正射影的定义：从平面外一点P向平面α引垂线，垂足为P'，则点P'叫做点P在平面α上的正射影，简称为射影。
同时，把线段PP'叫作点P与平面α的垂线段。
2) 点到平面距离定义：一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离，也即点与平面间垂线段的长度。
3) 四面体的体积公式：V = Sh/3，其中V表示四面体体积，S、h分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。
4) 直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
5) 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。
3.求点到平面距离的若干求法3.1 定义法求点到平面距离定义法是最基本的求解方法之一，根据点到平面距离的定义，可以通过求点在平面上的正射影来求解点到平面的距离。
3.2 转化法求点到平面距离转化法是一种常用的求解方法，通过将问题转化为等价的问题来求解。
在点到平面距离的求解中，可以通过将平面方程转化为标准式，然后代入点的坐标，求解点到平面的距离。
3.3 等体积法求点到平面距离等体积法是一种几何方法，通过构造等体积的四面体来求解点到平面的距离。
具体方法是在点与平面之间构造一个四面体，使其与另一四面体等体积，然后根据四面体的体积公式来求解点到平面的距离。
3.4 利用二面角求点到平面距离二面角法是一种几何方法，通过求解点与平面所夹二面角的正弦值来求解点到平面的距离。
具体方法是求解点到平面的垂线与平面法线的夹角，然后根据正弦定理求解点到平面的距离。
人教版高二上学期期中考试数学试题与答案解析(共两套)
人教版高二上学期期中考试数学试题（一） （本卷满分150分，考试时间120分钟）测试范围：选择性必修第一册：第一章、第二章、第三章一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知两个非零向量)(111z y x a ，，=，)(222z y x b ，，=，则这两个向量在一条直线上的充要条件是( )。
A 、||||b b a a ：：= B 、212121z z y y x x == C 、0212121=++z z y y x x D 、存在非零实数k ，使b k a =2．已知焦点在x 轴上的双曲线的焦距为32，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为( )。
A 、1222=-y xB 、1222=-y xC 、1222=-x y D 、1222=-x y3．若直线m my x +=+2与圆012222=+--+y x y x 相交，则实数m 的取值范围为( )。
A 、)(∞+-∞， B 、)0(，-∞ C 、)0(∞+， D 、)0()0(∞+-∞，， 4．点)24(-，P 与圆422=+y x 上任一点连线的中点的轨迹方程是( )。
A 、1)1()2(22=++-y x B 、4)1()2(22=++-y x C 、1)1()2(22=-++y x D 、4)2()4(22=-++y x5．若P 、Q 分别为直线01243=-+y x 与0586=++y x 上任意一点，则||PQ 的最小值为( )。
A 、59 B 、1029 C 、518 D 、5296．已知椭圆C ：12222=+b y a x (0>>b a )的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为 30的直线与圆222b y x =+相交的弦长为b 3，则椭圆的离心率为( )。
A 、21 B 、22 C 、43 D 、237．已知点1F 是抛物线C ：py x 22=的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F 、2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )。
等积法求体积点到面的距离【教师版】
等积法求体积点到面的距离【教师版】
等积法是一种巧妙的方法，用于求解三棱锥的体积。
由于三棱锥是由四个三角形围成的四面体，因此可以将任意一个三角形看作其底面。
但是在计算体积时，需要选择合适的底面和高度，因此需要灵活地换底面。
值得注意的是，其他类型的锥体，如四棱锥，不能随意换底面，也不能使用等积法求解其体积。
此外，等积法还可以用于求解“点到平面的距离”。
需要注意的是，在使用等积法计算三棱锥的体积时，应该遵循“先证后求”的原则，即先证明底面的高度，再计算三棱锥的体积。
例如，在已知三棱锥A—BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，
M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形的情况下，需要证明DM∥平面APC，平面ABC⊥平面APC，并求解三
棱锥D—BCM的体积。
根据已知条件，可以得出MD∥AP和MD面APC，因此可以得出DM∥平面APC。
又因为△PMB 是正三角形，且D为PB的中点，因此可以得出MD PB，
AP PB，AP面PBC，BC面APC，以及平面ABC⊥平面
APC。
最后，通过计算可以得出三棱锥D—BCM的体积为107.
另一个例子是，在底面为菱形的四棱锥S—ABCD中，已知SA=AB=2，SB=SD=22，需要证明BD平面SAC，判断侧棱SD上是否存在点E，使得SB//平面ACE，并求解几何体A—SBD的体积。
根据已知条件，可以得出BD AC且
AD=AB，因此可以证明BD平面SAC。
但是无法判断侧棱SD上是否存在点E，使得SB//平面ACE。
最后，通过计算可以得出几何体A—SBD的体积为2/3.。
暑假立体几何中的距离问题
立体几何中的距离问题【要点精讲】 1．距离空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。
其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。
两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度点到平面的距离平面外一点P 在该平面上的射影为P ′，则线段PP ′的长度就是点到平面的距离；求法：○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。
○2等体积法。
直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。
求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。
异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为 ，它们的公垂线AA ′的长度为d ，在a 上有线段A ′E ＝m ，b 上有线段AF ＝n ，那么EF ＝θcos 2222mn n m d ±++（“±”符号由实际情况选定） 点到面的距离的做题过程中思考的几个方面:①直接作面的垂线求解；②观察点在与面平行的直线上，转化点的位置求解； ③观察点在与面平行的平面上，转化点的位置求解； ④利用坐标向量法求解⑤点在面的斜线上，利用比例关系转化点的位置求解。
专题 点到平面的距离之等体积法(课件)2023届高三数学一轮复习
∴ 点P到平面ABCD的距离为 3 。
2
点评
点评
本题巧妙地借助二面角PEB所在平面与棱AD的垂直关系 构造了三棱锥P—AEB，并通过换底利用等体积法解决， 从而避免了直接作点P到平面ABCD的距离而求。
练一练
已知在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两垂直， 侧棱长为a，则点P到平面ABC的距离为（ ）
点到平面的距离之等体积法
空间距离是高考的高频考点 由于线线、线面和面面 间的距离均可以转化为 点到平面的距离来求
因此，点到平面的距离 是最基础也是最重要的。 今天就来学习求点到平 面距离的较简便有效的 方法——等体积法。
等体积法就是构造一个三棱锥，利用三棱 锥换底后体积不变法来求点到平面的距离。
例2
解：由已知得
,
,
,
5 2, 3
设点C到平面POM的距离为h,
∵ VC-POM= VP-COM ,
∴ OP·OM· h =OC·CM·OP· sin45°,
技法归纳
技法归纳
用三棱锥等体积法求点到平面的距离，可以 很好地规避“直接法”的作距离线段以及 “向量法”的建立坐标系的“既难又繁”。
例1.【04年全国卷I，节选】
如图，已知四棱锥 P-ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长 等 于 2 的 正 三 角 形 ， 底 面 ABCD 为 菱 形 ， 侧 面 PAD 与 底 面 ABCD所成的二面角为120°。 求点P到平面ABCD的距离。
分析
此题若用直接法，则很难作出距离线段； 若用向量法，则很难建立坐标系，且计算也繁琐。 若用等体积法就简便多了。
解：取AD的中点E，连结PE，BE
解：取AD的中点E，连结PE，BE， ∵ ΔPAD为等边三角形
点到平面的距离的几种求法_人教版
点到平面的距离的几种求法2 基本概念从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段.其实点到平面的距离就是这点到平面的垂线段长.例：（如图1）若PA ⊥α于A ，则P 点到平面α的距离就是线段PA 的长． 点到平面的距离有如下三条性质：(1)存在性 对于任意一个平面和这个平面外任意一点 都存在着距离.(2)唯一性 一个平面和平面外一点间的距离是唯一的. (3)最小性 平面外一点的距离是这点到这个平面内任意一点的连接线段长度的最小值. 3 例题求解已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B 到平面ＥＦＧ的距离. 3.1 直接用定义求点到平面的距离 3.1.1 直接作出所求距离求其长解法一：（如图2）为了作出点B 到平面EFG 的距离，延长FE 交CB 的延长线于Ｍ， 连 结GM ，作ＢＮ⊥ＢＣ，交ＧＭ于Ｎ，则有ＢＮ∥ＣＧ ∴ＢＮ⊥平面ABCD ∴ＢＮ⊥ＥＭ作ＢＰ⊥ＥＭ，交EM 于P ∴平面ＢＰＮ⊥平面EFG 作ＢＱ⊥ＰＮ，垂足为Ｑ ∴ＢＱ⊥平面ＥＦＧ∴ＢＱ是点Ｂ到平面EFG 的距离 易求出ＢＮ＝２/３，ＢＰ＝2，32222=+=BN BP PN 在PBN Rt ∆中BN PB BQ PN ⋅=⋅11112=∴BQ图13.1.2 不直接作出所求距离间接求之 (1) 利用二面角的平面角引理1：（如图3）若二面角N CD M --的大小为α，M A ∈，CD AB ⊥，a AB =点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ， 则有αsin a d = （1）其中的α也就是二面角的大小，而并不强 求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角. 解法二：（如图4）过点Ｂ作EF BP ⊥，交ＦＥ的延长线于Ｐ，易知2=BP ，这就是点Ｂ到二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ 易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角． ∵ ＧＣ＝２，ＡＣ＝24，ＡＨ＝2，∴ ＣＨ＝23，ＧＨ＝22∴222sin =∠GHC ，于是由（1）得所求之距离111122222sin =⋅=∠⋅=GHC BP d(2) 利用斜线和平面所成的角引理2 （如图5）OP 为平面α的一条斜线，OP A ∈，l OA =，OP 与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ，则有θsin l d = （2）注：经过OP 与α垂直的平面与α相交，交线与OP 所成的锐角就是θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ，连结OB 得θ．解法三：（如图6），设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作GM BR ⊥，Ｒ为垂足．图3图4图5又EB GM ⊥∵平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ 又ＥＲ为它们的交线∴∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ 由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得102=⋅=⇒=MG CG MB RB MG MB CG RB ，在Ｒｔ△ＲＥＢ中1111sin sin ==∠=ER BR BER θ 于是由（2）得所求之距离11112sin sin ⨯=∠⋅=⋅=BER EB l d θ（3）利用三棱锥的体积公式解法四：（如图7）设点B 到平面EFG 的距离为d,连结BF ，则有体积关系：BEFG EFG B V V --=连结BF ，则GH EF ⊥，于是有GCBE AF d GH EF ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅)21(31)21(31 2221==BD EF ，2===GC BE AF22)43(22222=⋅+=+=AC CH GC GH111122222222=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=∴GH EF GC BE AF d3.1.3 利用点到平面的距离公式引理3 (如图8)PO 为平面α的垂线段，PA 为斜线段，→n 是平面的法向量，则有：→→→→→→→=><=nn APn AP AP PO ,cos图6图7证明：α⊥→n,//→→∴PO n →→⊥OA n又→→→+=OA PO PA→→→→→→+⋅=⋅∴n OA n PO n PA →→→→⋅=⋅∴n PO n PA><=⋅∴→→→→→→n PO n PO n PA ,cos→→PO n //→→→→=⋅∴nPO n PA即： →→→→=nn APPO解法五：（如图9）以C 为原点，CB 所在直线为X 轴，DC 所在直线为Y 轴，CG 所在直线为Z 轴建立空间直角坐标系xyz C -.设B （4，0，0），则E （4，-2，0），F （2，-4，0），G （0，0，2），从而有=→BE （0，-2，0），=→GE （4，-2，-2） =→GF （2，-4，-2）设→n =（X ，Y ，Z ）为平面EFG 的法向量，则由→→⊥n GF ，有0=⋅→→n GF ，即2X-4Y-2Z=0 →→⊥n GE ，有0=⋅→→n GE ，即4X-2Y-2Z=0图8图9得X=-Y 而Z Y 31-=，故得→n =（Z Z Z ,31,31-）.故点B 到平面DEF 的距离 11112)0,32,0(311)0,32,0(====→→→ZZ n n BE d3.2 不经过该点间接确定点到平面的距离 (1) 利用直线到平面的距离确定解法六（如图10）连结BD ，AC ，EF.BD 分别交EF 于H,O.因为ABCD 是正方形. E,F 分别为AB 和AD 的中点,故EF//BD,H 为AO 的中点 BD EF // ∴BD//平面EFGBD 和平面EFG 的距离就是点B 到平面EFG 的距离AC BD ⊥ HC EF ⊥∴⊥GC 平面ABCD GC EF ⊥∴ ⊥∴EF 平面HCG∴面EFG ⊥面HCG,HGS 是这两个垂直平面的交线作OK ⊥HG 交HG 于点K,由两平面垂直的性质定理知OK ⊥平面EFG ∴线段OK 的长就是点B 到平面EFG 的距离正方形ABCD 的边长为4,GC=2 AC=24,HO=2,HC=23∴在HCG Rt ∆中222)23(22=+=HG HCG HKO ∆∆~∴111122222=⨯=⋅=HG GC HO OK(2) 利用平行平面的距离确定图10解法七(如图11)把平面EFG 补成一个正四棱柱的截面所在的平面.则面GMT 是正四棱柱ABCD —A1B1C1D1经过F 、E 、G 的截面所在的平面.MG 交BB1于N ，TG 交DD1于Q.作BP//MG ，交CG 于P ，连结DP.则有 平面GTM//平面PDB它们之间的距离就是所求之距离.于是可以把点B 平移到平面PDB 上任何一个位置. 而这两个平行平面的距离d 又同三棱柱GQN —PDB 的体积有关，所以可以利用三棱柱的体积确定所求之距离.则有三棱柱GQN —PDB 的体积V 的关系式：BNS d S V CDB PDB ⋅=⋅=∆∆ （3）易求出BN=2/3，CP=4/3，PB=PD=3/104BD=24，3/118=∆PBD S ，8=∆CDB S由关系式（3）可得3283118⨯=⨯d 于是平行平面间的距离11112=d即点B 到面EFG 的距离为11/1124 方法总结求点到平面的距离的常用方法有：(1) 定义法 过平面外一点作平面的垂线，直接求出这点到垂足的距离.（2）射影定位法 根据已知条件，确定平面外一点在平面内射影的位置.再求这两点的距离.(3) 转化法 通常情况下求点到平面的距离可转化为下面三种形式10 点线距离 在平面内找出（或作出）一条直线使平面外的点和这条直线所确定的新平面和原平面垂直，则这点到这条直线的距离.即为点到平面的距离.20 线面距离 若能够找出过一点的一条直线与平面平行，则这条直线到平面的距离等于点到平面的距离.30 面面距离 过平面外一点作出一个平面和已知平面平行，则这两平行平面的距离等于点到平面的距离.(4) 等体积法 将点到平面的距离视为一个几何体的高，又能够容易求出这个几何体的图11体积及高所对的底面面积.则可求出点到平面的距离.（5）公式法建立恰当的坐标系，能够确定平面的方程及点的坐标.运用点到平面的距离公式即可求出距离.参考文献[1] 聂文喜,周家山.点到平面距离的求解策略[J].数学通讯,2004.6:12~13[2] 优奋强.点到平面的距离[J].数学通讯,1996.10:1~3.[3] 李惠珠.从点到平面的距离谈发散性思维[J].高等数学研究,2004.7:11~13.[4] 朱宏志.点面距离两面观[J].新疆石油教育学院学报,2003.10:12~13.[5] 乐敬英.用向量求距离的统一解法[J].数学教学,2003.10:34~36.[6]. 吕林根,许子道.解析几何[M].成都:高等教育出版社,1992:131~142.[7] 刘增利.高中数学教材知识资料包[M].北京:北京教育出版社,2004:256~271.[8] 刘伯虎.立体几何中点面距离的求法[J].数学教学研究,2003.3:30~31.。
求点面距离的最有效方法——等积法
求点面距离的最有效方法——等积法
徐家银
【期刊名称】《中学生数理化（学研版）》
【年(卷),期】2012(000)008
【摘要】在计算点面距离的时候，通常要过已知点向已知平面作垂线．而在几何体中过点向平面作垂线，往往比较困难，主要是垂足的位置难确定．但在不要求作出垂线的情况下，用体积相等的方法计算点面距离比较简单和有效，其原理是同一几何体用不同的方法计算出来的体积相等．然后列方程求解即可，这种方法叫等积法．下面举例说明：
【总页数】1页(P22-22)
【作者】徐家银
【作者单位】广西南宁市第十五中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
【相关文献】
1.对“垂面法”求点到平面距离问题的探究 [J], 叶保国
2.对"垂面法"求点到平面距离问题的探究 [J], 叶保国
3.用法向量法求点面距离 [J], 张镭
4.求“点面距离”常用的几种基本方法 [J], 潘继军
5.求点面距离的几种常用方法 [J], 陈浩
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第8章立体几何专题10 点到面的距离常考题型专题练习——【含答案】
1点到面的距离【方法总结】1、直接作点到面的垂线，放到三角形中，利用解三角形进行求解。
2、利用等体积法进行求解【巩固练习】1、已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为___________．【解析】过点P 作PO ⊥平面ABC 交平面ABC 于点O ，过点P 作PD ⊥AC 交AC 于点D ，作PE ⊥BC 交BC 于点E ，联结OD ，OC ，OE ， 则,,AC POD BC POE ⊥⊥平面平面 所以,,AC OD BC OE ⊥⊥又90ACB ∠=︒, 故四边形ODCE 为矩形. 有所做辅助线可知3PD PE ==，1所以()22231CD CE ==-=，所以矩形ODCE 为边长是1的正方形，则2OC =.在Rt PCO △中，2,2PC OC ==，所以2PO =.PO 即为点P 到平面ABC 的距离，即所求距离为2.2.如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求点C 到平面C 1DE 的距离．解析 （1）连结1,B C ME .因为M ，E 分别为1,BB BC 的中点，所以1 ME B C ∥，且112ME B C =.又因为N 为1A D 的中点，所以112ND A D =. 由题设知11=AB DC ∥，可得11=BC A D ∥，故=ME ND ∥，因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ED ∥.又MN ⊄平面1C DE ，所以MN ∥平面1C DE .旗开得胜1（2）过C作C 1E 的垂线，垂足为H .由已知可得DE BC ⊥，1DE C C ⊥，所以DE ⊥平面1C CE ，故DE ⊥CH. 从而CH ⊥平面1C DE ，故CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离，由已知可得CE =1，C 1C =4，所以117C E =，故41717CH =. 从而点C 到平面1C DE 的距离为41717.3、如图，在三棱锥-P ABC 中，22==AB BC4====PA PB PC AC ，O 为AC 的中点．O MPCBA旗开得胜1(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且2=MC MB ，求点C 到平面POM 的距离．【解析】(1)因为4===AP CP AC ，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且23=OP ．连结OB ．因为22==AB BC AC ，所以∆ABC 为等腰直角三角形， 且OB ⊥AC ，122==OB AC ． 由222OP OB PB +=知，OP ⊥OB ．由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC ．HO MPCBA(2)作CH ⊥OM ，垂足为H ．又由(1)可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM ． 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知122==OC AC ，24233==CM BC ，45∠=ACB ． 所以253=OM ，sin 455⋅⋅∠==OC MC ACB CH OM ．。
用等体积法解点到面的距离和体积立体几何题
用等体积法解点到面的距离和体积立体几何题在每年的高考中，立体几何是一个重要考查对象。
解决立体几何问题需要我们具备看图、读图、绘图能力、转化能力及空间想象能力。
然而，许多同学在研究时感到困难和麻烦，导致在高考中失分较多。
近年来的高考中，求点到面的距离和体积的问题经常被考查，有时借助常规方法并不能轻松地获得结果。
使用等体积法则可以解决这些问题，给你一种“柳暗花明又一村”的感觉。
一）用等体积法求点到平面的距离在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动。
要证明D1E⊥AD1，并求出当E为AB 的中点时，点E到面ACD1的距离。
解：设点E到平面ACD1的距离为h，在ΔACD1中，AD1=2，AC=CD1=5，故SΔACD1=1/2×2×5=5.又由长方体ABCD－A1B1C1D1的性质可知，SΔADE=SΔBCE=SΔAEB=SΔCDE=1，故VABCD1=4VΔADE=4VΔBCE=4VΔAEB=4VΔCDE=4.因此，VABCD1=4/3πh³，即h=13/3.二）求二面角大小已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD 所成的二面角为120.要求点P到平面ABCD的距离和面APB 与面CPB所成二面角的大小。
解：（Ⅰ）取AD的中点E，连结PE，BE，由ΔPAD为等边三角形可知PE⊥AD。
又因为PB⊥AD，所以AD⊥平面PBE。
因此，AD⊥BE，且∠PEB为平面PAD与平面ABCD 所成二面角的平面角，即∠PEB=120°。
设点P到平面ABCD 的距离为h，则VABCD=VABE，即h=AE×BE×PE×sin120°/2=AE×BE/2=3/2.Ⅱ）略。
C1DE的体积。
Ⅰ）解：∠EAC=45°，∵EAC∥D1B，∴∠D1BE=45°D1BE是45°—45°—90°的等腰直角三角形DE=BE=a/√2SXXXSABD1/2•AB•BD=1/2•a•aⅡ）解：设F为A1B1与AC的交点，∠EAF=45°，∴△EAF是45°—45°—90°的等腰直角三角形，∴AF=EF=a/√2BF=AB-AF=a-a/√2=a(√2-1)异面直线A1B1与AC之间的距离为BF/√2=a(√2-1)/2Ⅲ）解：由（Ⅰ）知SXXX1/2•a•a三棱锥B1C1DE的体积为VB1C1DE=1/3•SXXXDE1/3•1/2•a•a•a/√21/6•a3/√2评：本题利用了45°—45°—90°等腰直角三角形的性质，巧妙地求出了截面面积和异面直线距离，并且通过构造三棱锥B1C1DE，避免了直接求解四棱柱ABCD—A1B1C1D的体积。
2022学年高三上(编号1-25)立体几何大题汇编(教师版)
，即
令 ，则
面 法向量为
平面 与平面 夹角的余弦值为
，即
， （舍）
4：（2023届广东梅州中学高三上阶段性考试解析第20题）
4：如图，在四棱锥 中，四边形 为直角梯形， ， ，平面 平面 ， ， ， ．
（1）证明： ；
（2）若四棱锥 的体积为 ，
求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值．
方法提供与解析：（浙江绍兴+谢柏军）
方法提供与解析：（浙江绍兴+谢柏军）
（1）解析： 是正方形
，
直三棱柱
， ， 、 面 ，
面
面
面 面
（2）解析： 面
、 分别为 、 中点
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立坐标系
， ， ，
设面 的法向量为
，即
令 ，则 ，
面
面 的法向量为
平面 与平面 夹角的余弦值为
10：（2023届重庆市巴蜀中学月考卷（一）解析第19题）
方法提供与解析：（衢州张小臣）
解析：（1）证明：取 的中点 ，连接 ．
因为 是等边 的中线，所以 ．
因为 是棱 的中点， 为 的中点，
所以 ，且 ．
因为 ，所以 ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ．
因为 ， 为 的中点，所以 ，从而 ．
体积与点到平面的距离空间距离的求法
A1 D=EB1 V D A1EB1 1
C1 3 SA1EB1 DA
A1
D
B1
C
1 1 a2 a 32
1 a3 6
A
EB
转换法
方法一、等体积法
接套用公式或涉及的某一量(底面积或高)不易求解时，可以转换
一下几何体中有关元素的相对位置进行计算，该方法尤其适用于求
三棱锥的体积．
例3在边长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P
A1分N=别2N是D棱1，A1AB11P、= AA1D13 A1、，如A1图A上，的试点求，三满棱足锥AA11M—=MA12N1PB1，
（2）B1D1到面ABCD的距离为 a ；
（3）点A到面BB1D1D的距离为
2a ．
2
例:
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1边长为4, 求:(1)点B11到平面AC的距离___.
(2)点B1到平面ABC1D1的距离.
解(2):
连结B1C交BC1于H，则B1C BC1。
AB
AB B1C
体积 与 点到平面的距离空间距离的求法
常用体积公式
长方体
c
a
b
V长方体 = a b c
引申： 长方体的对角线长=？
长方体的表面积=？
常用体积公式
h s
s V棱柱 = 底 ·h
V ？ 引申：
柱体 =
常用体积公式
V s1 棱锥 = 3 底 ·h
V ？ 引申：
锥体=
V球体=？
V台体=？
P
过平面外一点P有唯一的一条 直线PA垂直于，设A为垂足，
的体积．
4
解：VA1MNP VP A1MN
六年级上册苏教版小学数学《长方体、正方体体积计算》教案
六年级上册苏教版小学数学《长方体、正方体体积计算》教案一. 教材分析本节课的内容是六年级上册苏教版小学数学《长方体、正方体体积计算》。
教材通过详细的讲解和丰富的练习，让学生掌握长方体和正方体的体积计算方法，提高学生的空间想象力。
教材内容主要包括长方体和正方体的特征、体积计算公式以及体积计算的实践应用。
二. 学情分析六年级的学生已经具备了一定的空间想象力，对长方体和正方体有一定的认识。
但在计算体积方面，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对性地进行辅导，帮助学生理解和掌握体积计算方法。
三. 教学目标1.让学生掌握长方体和正方体的体积计算方法。
2.提高学生的空间想象力，培养学生的动手操作能力。
3.培养学生独立思考、合作交流的学习习惯。
四. 教学重难点1.教学重点：长方体和正方体体积计算公式的理解和运用。
2.教学难点：长方体和正方体体积计算公式的推导过程。
五. 教学方法1.采用直观演示法，让学生通过观察和操作，理解长方体和正方体的特征。
2.采用情境教学法，创设生活情境，让学生在实际问题中运用体积计算方法。
3.采用合作学习法，引导学生分组讨论，培养学生的团队协作能力。
4.采用问答法，教师提问，学生回答，激发学生的思维，巩固所学知识。
六. 教学准备1.准备长方体和正方体的模型，用于直观演示。
2.准备练习题，用于巩固所学知识。
3.准备多媒体教学资源，如PPT、视频等，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾长方体和正方体的特征，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师利用模型和多媒体教学资源，展示长方体和正方体的特征，引导学生观察和思考。
3.操练（10分钟）教师提出练习题，让学生动手操作，计算长方体和正方体的体积。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）教师总结长方体和正方体体积计算方法，让学生口头叙述计算过程，巩固所学知识。
等体积法求点到平面距离
等体积法求点到平面距离
本文介绍了使用等体积法求点到平面距离的方法。
首先要将垂线段置于一个四面体中，其中四面体的一个顶点为所给点，另外三点位于所给点射影平面上，底面为射影平面上的三角形。
通过计算四面体的体积和底面三角形的面积，可以得到点到平面的距离。
这种方法可以提高解题效率，特别是在遇到四面体的有一条棱垂直于其所相对的底面时，更加适用。
接着通过一个例子，详细介绍了如何使用等体积法求解点到平面的距离。
最后提醒读者，在使用等体积法求点到平面距离时，垂线段的长度只是作为几何体高的意义而存在，不需要知道点在平面射影的具体位置，也不需要使用几何方法寻找或者求作垂线段。
练题则进一步考察了读者对该方法的理解和应用能力。
体积的认知知识点
体积的认知知识点体积是我们在日常生活中经常涉及到的一个概念，它用来描述物体所占据的空间大小。
了解体积的概念和相关知识点可以帮助我们更好地理解物体的大小、形状和容量。
本文将介绍体积的基本概念、计算方法以及与体积相关的实际应用。
一、体积的定义体积是指一个物体所占据的空间大小，是三维空间中的一个基本属性。
一般来说，我们可以将体积看作是物体在各个方向上的延伸长度之积。
在数学上，我们使用单位立方米（m³）或立方厘米（cm³）等来表示体积的大小。
二、体积的计算方法1. 几何体的体积计算对于一些常见的几何体，我们有相应的计算公式来求解它们的体积。
下面是几种常见几何体的体积计算公式：- 立方体的体积计算公式：立方体的体积等于边长的立方，即 V = a³，其中 V 表示体积，a 表示边长。
- 长方体的体积计算公式：长方体的体积等于长、宽和高的乘积，即 V = lwh，其中 V 表示体积，l 表示长，w 表示宽，h 表示高。
- 圆柱体的体积计算公式：圆柱体的体积等于底面积乘以高，即V = πr²h，其中 V 表示体积，r 表示底面半径，h 表示高。
- 球体的体积计算公式：球体的体积等于4/3乘以π乘以半径的立方，即V = 4/3πr³，其中 V 表示体积，r 表示球体的半径。
2. 不规则物体的体积计算对于一些不规则的物体，我们通常无法直接使用数学公式计算其体积。
此时，我们可以使用浸没法或最近似法来估算它们的体积。
- 浸没法：将不规则物体完全浸入一个已知体积的容器中，浸没后容器中的液体量就是该物体的体积。
- 最近似法：将不规则物体分割成几个规则的几何体，并计算每个几何体的体积，然后将它们的体积相加得到物体的体积。
三、体积的实际应用体积的概念在很多实际应用中都有重要的作用。
以下是一些与体积相关的实际应用：1. 容器容积：在日常生活中，我们经常需要计算容器的容积，以确定其可以容纳的物质数量或液体容量。
点到平面距离的若干典型求法
点到平面距离的若干典型求法目录1. 引言 (1)2. 预备知识 (1)3. 求点到平面距离的若干求法 (3)3.1 定义法求点到平■面距离 (3)3.2 转化法求点到平■面距离 (5)3.3 等体积法求点到平■面距离 (7)3.4 利用二面角求点到平■面距离 (8)3.5 向量法求点到量面距离 (9)3.6 最值法求点到平■面距离 (11)3.7 公式法求点到平■面距离 (13)1.引言求点到平面的距离是高考立体几何部分必考的热点题型之一，也是学生较难准确把握难点问题之一。
点到平面的距离的求解方法是多种多样的，本讲将着重介绍了几何方法（如体积法，二面角法）、代数方法（如向量法、公式法）及常用数学思维方法（如转化法、最值法）等角度等七种较为典型的求解方法，以达到秒杀得分之功效。
2.预备知识（1）正射影的定义：（如图1所示）从平面外一点P向平面引垂线，垂足为P，则点P叫做点P 在平面上的正射影，简称为射影。
同时把线段PP叫作点P与平面的垂线段。
图1⑵ 点到平面距离定义：一点到它在一个平■面上的正射影的距离叫作这点到这个平■面的距离，也即点与平■面间垂线段的长度。
(3) 四面体的体积公式1 V Sh 3其中V表示四面体体积，S、h分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。
(4) 直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平■面垂直。
(5) 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。
(6) 二面角及二面角大小：平面内的一条直线l把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。
图2所示为平■面与平面所成的二面角，记作二面角l ，其中l为二面角的棱。
如图在棱l上任取一点O ,过点。
分别在平■面及平面上作l的垂线OA、OB，则把平面角AOB叫作二面角l 的平面角，AOB的大小称为二面角l 的大小。
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等积法求三棱锥的体积【教师版】2014/10/14由于三棱锥是由4个三角形围成的四面体，任何一个三角形都可以看成其底面。
但在求体积时需要选择合适的底和高，这就需要灵活换底面，但是三棱锥的体积保持不变。
这种方法我们称为“等积法”，它是三棱锥求体积的巧妙方法，也是其“专属产品”。
其他的，如四棱锥求体积就不能随意换底，不能用等积法求体积。
另外，等积法的优越性还体现在求“点到平面的距离”中。
【注意】等积法求体积时，要谨记“先证后求”的原则，先作出或证明底面的高，再计算三棱锥的体积。
例1例2．（2011佛山一中三校联考）如图，已知三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ， AC ⊥BC ， M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形。
（Ⅰ）求证：DM ∥平面APC ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ；（Ⅲ）若BC ＝4，AB ＝20，求三棱锥D —BCM 的体积．例2．解：（Ⅰ）由已知得，MD 是∆ABP 的中位线∴AP MD ∥ ……………2分APC AP APC MD 面面⊂⊄,∴APC MD 面∥ ……………4分（Ⅱ）PMB ∆ 为正三角形，D 为PB 的中点，∴PB MD ⊥， …………………5分 ∴PB AP ⊥ …………………6分又P PC PB PC AP =⋂⊥, ∴PBC AP 面⊥ ……………………7分PBC BC 面⊂ ∴BC AP ⊥又A AP AC AC BC =⋂⊥, APC BC 面⊥∴ ………………9分ABC BC 面⊂ ∴平面ABC ⊥平面APC ………………10分（Ⅲ）∵PBC MD 面⊥，∴MD 是三棱锥M —DBC 的高，且MD ＝…11分又在直角三角形PCB 中，由PB ＝10，BC ＝4，可得PC ＝………12分于是12BCD BCP S S ∆∆=＝ ………………………………………………13分 ∴D BCM V -＝71031==-Sh V DBC M …………………………14分例3．（茂名2010二模）如图，在底 面是菱形的四棱锥S —ABCD 中，SA=AB=2，SB SD == （1）证明：BD ⊥平面SAC ；（2）问：侧棱SD 上是否存在点E ，使得SB//平面ACE ？请证明你的结论；（3）若0120BAD ∠=，求几何体A —SBD 的体积。
例3．解：（1）四棱锥S —ABCD 底面是菱形，BD AC ∴⊥且AD=AB ，又SA=AB=2，SB SD ==222222,SA AB SB SA AD SD ∴+=+=,SA AB SA AD ∴⊥⊥，又AB AD A ⋂=， 2分SA ∴⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，从而SA ⊥BD 3分 又SA AC A ⋂=，BD ∴⊥平面SAC 。
4分（2）在侧棱SD 上存在点E ，使得SB//平面ACE ，其中E 为SD 的中点 6分 证明如下：设BD AC O ⋂=，则O 为BD 的中点， 又E 为SD 的中点，连接OE ，则OE 为SBD ∆的中位线。
7分//OE SB ∴，又OE ⊂平面AEC ，SB ⊄平面AEC 8分 //SB ∴平面ACE 10分（3）当0120BAD ∠=时，011sin1202222ABD S AB AD ∆=⋅=⨯⨯=分 ∴几何体A —SBD 的体积为112333A SBD S ABD ABD V V S SA --∆==⋅== 14分点到面的距离一、知识点 （求点到面的距离主要方法：）（1）直接法：由定义作出垂线段并计算，用线面和面面垂直的判定及性质来作； （2）转移法：若直线//AB 平面α，则直线AB 上任意一点到平面的距离相等； （3）等体积法：用同一个三棱锥选不同底计算体积，再求高，即点到面的距离。
二、基础热身1、在棱长为a 的正方体1AC 中找出表示下列距离的垂线段:直接法：（1）点A 到面11B BCC 的距离 ； （2）11D B 到面ABCD 的距离 ；（3）点A 到面11B BDD 的距离 ． (4)求C 到平面1BDC 的距离 。
1A C转移法：棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱','AA BB 中点，求点'B 到平面'D EF 的距离E AA'提示：因为''//''//'A B EF A B D EF ⇒平面，所以点'B 到平面'D EF 的距离即为点'A 到平面'D EF 的距离。
作''A H ED ⊥，证明''A H D EF ⊥平面。
'A H =。
【活学活用】3、在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中,E,F 分别为棱'BB 和CD 的中点, 求点F 到平面''A D E 的距离。
AA'提示：法一 直接法：将三角形扩大到平行四边形，高''FH A D GE ⊥平面。
取'CC 的中点G ，连接'D G 、EG ，过F 作垂线FH ⊥'D G 。
可以证得EG//''A D ，所以平面''A D GE ，即平面''A D E 。
可以证得EG ⊥平面''DCC D ，所以EG ⊥FH由FH ⊥'D G 、EG ⊥FH ，EG ∩'D G = G 可知FH ⊥平面''A D GE所以FH 即F 到平面''A D E 距离。
根据勾股定理可以求得：2215'1()24D G=+=，'2D G = 又知：△'FD G 的面积 = S 四边形''DCC D - S △'DD F - S △''D C G - S △FGC111314488=---=，328'FH D G ⨯== 法二：转移法：AA'//FP 平面''A D E ，作'PQ A E ⊥。
等积法求点到面的距离：4. 已知在棱长为1的正方体-ABCD A B C D ''''中，E 、F 分别是A B ''、CD 的中点，求点B 到平面AEC F'的距离。
等积法B AEF F AEB V V --=3三、知识运用例1： 如图四棱锥ABCD S-，AB CD CD AB AD AB 3,//,=⊥,面SAD ABCD 面⊥,M是线段AD 上一点，AAD SM DC DM AM AB ⊥===,,1.(1)证明：SMC BM 面⊥ (2)求点SMB C 到面的距离。
EX1如图，在边长为a 的菱形ABCD 中，ABCD PC ABC 面⊥=∠,60 ，E,F 是PA 和AB 的中点。
（1）求证： EF//平面PBC ;（2）求E 到平面PBC 的距离。
提示：由（1）知EF//平面PBC ，所以E 到平面PBC 的距离等于点F 到平面PBC 的距离FH BC ⊥，2aFH =即为所求。
例2：（2010江苏卷）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900。
求点A 到平面PBC 的距离。
解析（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则： 易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等。
又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍。
由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ， 因为PD=DC ，PF=FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F 。
易知DF=2，故点A 到平面PBC。
（方法二）等体积法：连结AC 。
设点A 到平面PBC 的距离为h 。
因为AB ∥DC ，∠BCD=900，所以∠ABC=900。
从而AB=2，BC=1，得ABC ∆的面积1ABC S ∆=。
BCDPEF由PD ⊥平面ABCD 及PD=1，得三棱锥P-ABC 的体积1133ABC V S PD ∆=⋅=。
因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥DC 。
又PD=DC=1，所以PC 。
由PC ⊥BC ，BC=1，得PBC ∆的面积2PBC S ∆=。
由A PBC P ABC V V --=，1133PBCSh V ⋅==，得h =故点A 到平面PBC 。
EX2:（2010广东文数）如图4，弧AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为弧AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED,FB=a 5 （1）证明：EB ⊥FD（2）求点B 到平面FED 的距离.【解析】（1）证明：∵点B 和点C 为线段AD 的三等分点，∴点B 为圆的圆心又∵E 是弧AC 的中点，AC 为直径， ∴EB BC ⊥即EB BD ⊥∵⊥FC 平面BDE ，⊂EB 平面BDE ， ∴EB FC ⊥又⊂BD 平面FBD ，⊂FC 平面FBD 且C FC BD = ∴⊥EB 平面FBD 又∵⊂FD 平面FBD ， ∴FD EB ⊥（2）解：设点B 到平面FED 的距离（即三棱锥B FED -的高）为h .∵⊥FC 平面BDE , ∴FC 是三棱锥F-BDE 的高，且三角形FBC 为直角三角形 由已知可得a BC =，又a FB 5=∴a a a FC 2)5(22=-=在BDE Rt ∆中，a BE a BD ==,2，故2221a a a S BDE =⨯⨯=∆, ∴323223131a a a FC S V BDE BDE F =⨯⨯=⋅=∆-, 又∵⊥EB 平面FBD ，故三角形EFB 和三角形BDE 为直角三角形,∴a DE a EF 5,6==，在FCD Rt ∆中，a FD 5=, ∴=∆FED S 2221a , ∵FED B BDE F V V --=即323222131a h a =⋅⋅，故a h 21214=, 即点B 到平面FED 的距离为a h 21214=.题第4题第1题第2题第3备用题：1、 四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，PD ⊥底面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB =2，AB ‖CD,∠ABC =90。
，求点D 到平面PAB 的距离.2、四棱锥P-A BCD中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB=6，分别求点C 与点D 到平面PAB 的距离.3、如图几何体是由正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1与四棱锥E-A 1B 1C 1D 1组成，E 为CC 1的延长线上一点，且EC 1=CC 1，AB =2，M 为EB 1的中点，求点M 到平面ACD 1的距离.4、如图∆BCD 与∆MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，求点A 到平面MCD 的距离.PC ABO D图5题第55、圆锥PO 如图5所示，图6是它的正(主)视图．已知圆O 的直径为AB ，C 是AB 的中点，D 为AC 的中点．（1）求该圆锥的侧面积；（2）证明：AC POD ⊥平面； （3）求点O 到平面PAC 的距离．6、 如图，ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AD 、AB 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离。