斯托克斯公式82906
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斯托克斯公式
设曲面 的法向量为 n (cos, cos , cos ) 曲线 的单位切向量为 (cos , cos , cos )
则斯托克斯公式可写为
(P cos Q cos R cos ) d s
令 A (P, Q, R), 引进一个向量
A 记作 rotA 于是得斯托克斯公式的向量形式 :
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d ydz dzdx dxd y
o
1y
1
x
Dxy
x
y
z
z
x
y
d
ydz
dzd
x
d x d y 3 Dx y d 利用轮换对称性
xd
y
3 2
例2 计算 ( y2 z2 )dx (z2 x2 )dy ( x2 y2 )dz,
其中是用平面x y z 3 截立方体[0,1][0,1][0,1] 2
dydz
I
x
y2
dzdx
y x
dxdy
z
(1 2 y)dxdy
z2
(1 2 y)dxdy
Dxy
2π
1
0 d 0 (1 2sin )rdr
π.
练习. 利用斯托克斯公式计算积分
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个
边界, 方向如图所示.
z
则斯托克斯公式可写为
(P cos Q cos R cos ) d s
令 A (P, Q, R), 引进一个向量
A 记作 rotA 于是得斯托克斯公式的向量形式 :
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d ydz dzdx dxd y
o
1y
1
x
Dxy
x
y
z
z
x
y
d
ydz
dzd
x
d x d y 3 Dx y d 利用轮换对称性
xd
y
3 2
例2 计算 ( y2 z2 )dx (z2 x2 )dy ( x2 y2 )dz,
其中是用平面x y z 3 截立方体[0,1][0,1][0,1] 2
dydz
I
x
y2
dzdx
y x
dxdy
z
(1 2 y)dxdy
z2
(1 2 y)dxdy
Dxy
2π
1
0 d 0 (1 2sin )rdr
π.
练习. 利用斯托克斯公式计算积分
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个
边界, 方向如图所示.
z
斯托克斯公式
170
第七节 斯托克斯公式
一、斯托克斯公式
斯托克斯公式是格林公式的推广。格林公式表达了平面区域上的二重积分
与其边界曲线上的曲线积分间的关系，而斯托克斯公式则把曲面 ∑上的曲面积分与沿着∑的边界曲线的曲线积分联系起来，这个联系可陈述如下；
定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑ 是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数P （x,y,z ）、Q （x,y,z ）、R （x,y,z ）在曲面∑（连同边界Γ）上具有一阶连续偏导数，则有
dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂-∂∂⎰⎰∑ ⎰Γ
++=Rdz Qdy Pdx (1)
公式（1）叫做斯托克斯公式。
为了便于记忆，利用行列式记号把斯托克斯公式（1）写成
⎰⎰⎰
Γ∑
++=∂∂
∂∂∂∂,Rdz Qdy Pdx R
Q P z y x dxdy dzdx dydz
把其中的行列式按第一行展开，并把
y ∂∂ 与R 的积 理解成为 z
y R ∂∂
∂∂, 与Q 的“积” 理解成为
z
Q
∂∂ 等等，于是这个行列式就“等于“ dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂ 这恰好是公式（1）左端的被积表达式。
利用两类曲面积分间的联系，可得斯托克斯公式的另一形式：
⎰⎰⎰Γ∑
++=∂∂
∂∂∂∂,cos cos cos Rdz Qdy Pdx dS R
斯托克斯公式
斯托克斯（Stokes）公式
1. 斯托克斯公式
2. *等价结论
3. *物理意义
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尾 页
一、斯托克斯(stokes)公式
设 为分段光滑的空间有向闭曲线， 是以 为 边界的分片光滑的有向曲面， 的正向与 的侧符 合右手规则， P、Q、R C1， 则有
R Q P R Q P ( y z )dydz ( z x )dzdx ( x y )dxdy
Pdx Qdy Rdz为原函数） .
三、*物理意义---环流量与旋度
有向曲面 ，有向闭曲线 ,
y
设A( x, y, z ) P ( x, y, z )i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k，
z z x x y R Q P R Q P ( y z )dydz ( z x )dzdx ( x y )dxdy
D C n上 ( f x , f y ,1), x (dydz, dzdx, dxdy) (cos , cos , cos )dS cos dzdx dxdy f y dxdy cos P P P P dzdx dxdy ( f y )dxdy z y y z
xy
o
y
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1. 斯托克斯公式
2. *等价结论
3. *物理意义
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一、斯托克斯(stokes)公式
设 为分段光滑的空间有向闭曲线， 是以 为 边界的分片光滑的有向曲面， 的正向与 的侧符 合右手规则， P、Q、R C1， 则有
R Q P R Q P ( y z )dydz ( z x )dzdx ( x y )dxdy
Pdx Qdy Rdz为原函数） .
三、*物理意义---环流量与旋度
有向曲面 ，有向闭曲线 ,
y
设A( x, y, z ) P ( x, y, z )i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k，
z z x x y R Q P R Q P ( y z )dydz ( z x )dzdx ( x y )dxdy
D C n上 ( f x , f y ,1), x (dydz, dzdx, dxdy) (cos , cos , cos )dS cos dzdx dxdy f y dxdy cos P P P P dzdx dxdy ( f y )dxdy z y y z
xy
o
y
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斯托克斯定理
斯托克斯定理
斯托克斯定理，是微分几何中关于微分形式的积分的一个命题，它一般化了向量微积分的几个定理，以斯托克斯爵士命名。
当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的.速度环量等于该封闭周线内所有涡束的涡通量之和，这就是斯托克斯定理。斯托克斯定理表明，沿封闭曲线L的速度环量等于穿过以该曲线为周界的任意曲面的涡通量。
斯托克斯公式
R x
dzdx
Q x
P y
dxdy
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
即有
R y
Q z
cos
P z
R x
cos
Q x
P y
cos
dS
Pdx Qdy Rdz
其中 cos ,cos ,cos 是Σ指定一侧的法向量
方向余弦.
斯托克斯公式常用形式
Pdx Qdy Rdz
三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧
的法向量之间符合右手规则. 解 法一 按斯托克斯公式,有
z
1 n
zdx xdy y dz
Dxy O
1y
dydz dzdx dxdy
x1
x
y
z
dydz dzdx dxdy
zxy
: 平面x y z 1
dydz dzdx dxdy
PQR
其中n (cos ,cos ,cos )
旋度的定义
ij 称向量 x y
k
为向量场的旋度(rotA).
z
PQR
i jk
旋度
rotA
x y z
PQR
(R
Q
)i
(P
R
)
j
(Q
P
)k .
y z z x x y
斯托克斯公式
例5. 设 A(2y,3x,z2), :x2y2z24,n 为
的外法向量,计算 I roAtndS.
i jk
解:
rot A
x
y
z
(0,0,1)
2y 3x z2
n (c ,c o o s ,cso ) s
I cosdS 2Dxy dxdy8
17
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*四、向量微分算子
PdxQ dyRdz
设曲面 的法向量为 n (c,c oo s ,cso ) s 曲线 的单位切向量为 (c ,c o o s ,cs o ) s
则斯托克斯公式可写为
R y Q z c o P z R x c s o Q x P y s c d o S
第七节
第十章
斯托克斯公式
环流量与旋度
一、斯托克斯公式 *二、空间曲线积分与路径无关的条件 三、环流量与旋度 *四、向量微分算子
1
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一、 斯托克斯( Stokes ) 公式
定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的
侧与 的正向符合右手法则, P,Q,R在包含 在内的一
向量场 A 产生的旋度场
的环流量
穿过 的通量
注意 与 的方向形成右手系!
例4.
求电场强度 E
q r3
斯托克斯公式
R Q Q P P R y z dydz z x dzdx x y dxdy Pdx Qdy Rdz
Γ
此式为斯托克斯公式.
注意：
(1)斯托克斯公式 是 格林公式 的推广; (2)斯托克斯公式 将曲面 上的曲 面积分与沿着 的边界曲线的曲线积分联系起来.
0
(6' )
其中M 0 ( x0 , y0 , z0 )为G内某一定点，点M ( x, y, z ) G.
二、环流量与旋度
设斯托公式中的有向曲面Σ在点(x,y,z)处的单位 法向量为
n cos i cos j cos k , 而Σ的正向边界曲线Γ在点(x,y,z)处的单位切向量为 τ cos i cos j cos k ,
2、 曲面与平行于z轴的直线的交点多于一个的情
况
来自百度文库
可作辅助曲面将曲面分为几部分，因沿
辅助曲线而方向相反的两个曲线积分相加时
正好抵消，故对这一类曲面，公式仍成立.
3、 斯托克斯公式的行列式形式 为便于记忆，斯托克斯公式可写为以下形式:
dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z Γ P Q R
由 格林公式 ，上式右端的二重积分可化为沿闭 区域Dxy的边界C的曲线积分，即: Px, y, f ( x, y )dxdy Px, y, f ( x, y )dx D y c
Γ
此式为斯托克斯公式.
注意：
(1)斯托克斯公式 是 格林公式 的推广; (2)斯托克斯公式 将曲面 上的曲 面积分与沿着 的边界曲线的曲线积分联系起来.
0
(6' )
其中M 0 ( x0 , y0 , z0 )为G内某一定点，点M ( x, y, z ) G.
二、环流量与旋度
设斯托公式中的有向曲面Σ在点(x,y,z)处的单位 法向量为
n cos i cos j cos k , 而Σ的正向边界曲线Γ在点(x,y,z)处的单位切向量为 τ cos i cos j cos k ,
2、 曲面与平行于z轴的直线的交点多于一个的情
况
来自百度文库
可作辅助曲面将曲面分为几部分，因沿
辅助曲线而方向相反的两个曲线积分相加时
正好抵消，故对这一类曲面，公式仍成立.
3、 斯托克斯公式的行列式形式 为便于记忆，斯托克斯公式可写为以下形式:
dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z Γ P Q R
由 格林公式 ，上式右端的二重积分可化为沿闭 区域Dxy的边界C的曲线积分，即: Px, y, f ( x, y )dxdy Px, y, f ( x, y )dx D y c
斯托克斯公式
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ur
令 A P, Q, R , 引进一个向量
记作 rot A
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
i jk
x
y
z
PQR
rot A n d S A d s
或
(rot A)n d S A d s ①
定义: P d x Q d y R d z A d s 称为向量场A
沿有向闭曲线 的环流量. 向量 rot A 称为向量场 A 的 旋度 .
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内容小结
1. 斯托克斯公式
d yd z
P d x Q d y R d z
x
P
dzdx
y
Q
dxd y
z
R
cos
x
P
cos
y
Q
cos
z
dS
R
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x
y
z
z
x
y
o
1y
1
x
Dxy
d
y
d
z
d
z
d
x
d
x
d
y
3源自文库
Dxy
d
x
d
y
3 2
利用轮换对称性
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ur
令 A P, Q, R , 引进一个向量
记作 rot A
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
i jk
x
y
z
PQR
rot A n d S A d s
或
(rot A)n d S A d s ①
定义: P d x Q d y R d z A d s 称为向量场A
沿有向闭曲线 的环流量. 向量 rot A 称为向量场 A 的 旋度 .
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内容小结
1. 斯托克斯公式
d yd z
P d x Q d y R d z
x
P
dzdx
y
Q
dxd y
z
R
cos
x
P
cos
y
Q
cos
z
dS
R
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x
y
z
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x
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o
1y
1
x
Dxy
d
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d
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3源自文库
Dxy
d
x
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利用轮换对称性
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斯托克斯(stokes)公式
1 3
(1
y
1
1)
dS
1
x y1
Dxy
O
1x
R y
Q z
dydz
P z
R x
dzdx
Q x
P y
dxdy
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
即有
R y
Q z
cos
P z
R x
cos
i jk
旋度
rotA
x y z
PQR
(R
Q
)i
(P
R)
j
(Q
P
)k .
y z z x x y
例 计算曲线积分 zdx xdy ydz,
其中是平面x y z 1 被三坐标面所截成的
三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧
Q x
P y
cos
dS
Pdx Qdy Rdz
其中 cos ,cos ,cos 是Σ指定一侧的法向量
斯托克斯公式
xy
1
根椐格林公式
∫∫
Dxy
P[ x, y, f ( x, y)]dxdy = ∫ P[ x, y, f ( x, y)]dx c y
P P 即 ∫∫ dzdx dxdy = ∫cP[ x, y, f ( x, y)]dx 2 y Σ z
平面有向曲线
P P ∫∫ z dzdx y dxdy = ∫Γ P( x, y, z)dx, Σ 空间有向曲线
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
..
故有结论成立. 故有结论成立
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy ∫∫ x y z = ∫Γ Pdx + Qdy + Rdz Σ P Q R 另一种形式
cosα cos β cosγ ∫∫ x y z ds = ∫Γ Pdx + Qdy + Rdz Σ P Q R
R( x, y, z)在 含 面 在 的 个 间 域 具 包 曲 Σ 内 一 空 区 内
一 连 偏 数 有 阶 续 导 , 则 公 有 式
R Q P R Q P ∫∫ ( y z )dydz + ( z x )dzdx + ( x y )dxdy Σ
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
斯托克斯公式
r n
∑
右手法则
1
根椐格林公式
∫∫
Dxy
P[ x, y, f ( x, y)]dxdy = ∫ P[ x, y, f ( x, y)]dx c y
P P 即 ∫∫ dzdx dxdy = ∫cP[ x, y, f ( x, y)]dx 2 y Σ z
平面有向曲线
P P ∫∫ z dzdx y dxdy = ∫Γ P( x, y, z)dx, Σ 空间有向曲线
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
..
故有结论成立. 故有结论成立
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy ∫∫ x y z = ∫Γ Pdx + Qdy + Rdz Σ P Q R 另一种形式
cosα cos β cosγ ∫∫ x y z ds = ∫Γ Pdx + Qdy + Rdz Σ P Q R
R( x, y, z)在 含 面 在 的 个 间 域 具 包 曲 Σ 内 一 空 区 内
一 连 偏 数 有 阶 续 导 , 则 公 有 式
R Q P R Q P ∫∫ ( y z )dydz + ( z x )dzdx + ( x y )dxdy Σ
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
斯托克斯公式
r n
∑
右手法则
第十章第7节斯托克斯公式
一、斯托Baidu Nhomakorabea斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线,是
以为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与
的侧符合右手规则, 函数
P( x, y, z),Q( x, y, z),R( x, y, z)
在包含曲面 在内的一个空间区域内具有一阶连
续偏导数, 则有公式
(R y
Q )dydz z
(P z
PQR
dydz dzdx dxdy
x
P
y Q
z
Pdx Qdy Rdz
R
rotA ndS A t ds
斯托克斯公式成立的条件
斯托克斯公式的物理意义
14
则沿
场
A中
某
一
封
闭
的
有
向
曲 线C上
的
曲
线
积
分
CA ds C Pdx Qdy Rdz
称为向量场A沿曲线 C 按所取方向的环流量.
8
利用stokes公式, 有
i jk
环流量
CA
ds
x
y
ds
z
PQR
2. 旋度的定义:
i jk
称向量
为向量场的旋度
(rotA)
.
x y z
2
(R y
Q z
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线,是
以为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与
的侧符合右手规则, 函数
P( x, y, z),Q( x, y, z),R( x, y, z)
在包含曲面 在内的一个空间区域内具有一阶连
续偏导数, 则有公式
(R y
Q )dydz z
(P z
PQR
dydz dzdx dxdy
x
P
y Q
z
Pdx Qdy Rdz
R
rotA ndS A t ds
斯托克斯公式成立的条件
斯托克斯公式的物理意义
14
则沿
场
A中
某
一
封
闭
的
有
向
曲 线C上
的
曲
线
积
分
CA ds C Pdx Qdy Rdz
称为向量场A沿曲线 C 按所取方向的环流量.
8
利用stokes公式, 有
i jk
环流量
CA
ds
x
y
ds
z
PQR
2. 旋度的定义:
i jk
称向量
为向量场的旋度
(rotA)
.
x y z
2
(R y
Q z
斯托克斯公式
∇⋅ A =
∂ P ∂Q ∂ R + ∂ y + ∂z ∂x
= div A
i = ∂∂x ∇× A P
j
∂ ∂y
k
∂ ∂z
= rot A
Q
R
高斯公式与斯托克斯公式可写成:
∫∫∫Ω ∇ ⋅ A d v = ∫∫Σ An d S ∫∫Σ ( ∇ × A ) n d S = ∫ Γ Aτ d s
内容小结
1 1+ f x′2 + f y′2
Q cos γ =
,cos β =
− f y′
2
cos β ∴ f y′ = − cos γ
1+ f x′ + f y′
2
,
∂ P ∂ P cos β ]cos γ d S − 因此 ∫Γ P d x = − ∫∫Σ [ ∂ y ∂ z cos γ ∂P ∂P = ∫∫ [ cos β − cos γ ]d S Σ ∂z ∂y ∂P ∂P = ∫∫ dzdx− d xd y Σ ∂z ∂y
Γ
Dx y
y
C
则
∫Γ P d x = ∫C P( x, y, z ( x, y)) d x
∂ = − ∫∫ P( x, y, z ( x, y )) d x d y (利用格林公式) Dx y ∂ y n ∂P ∂P ∂z Σ z ]d x d y = − ∫∫ [ + Dx y ∂ y ∂ z ∂ y Γ ∂P ∂P o = − ∫∫ [ + f y′ ] cos γ d S Σ Dx y y ∂y ∂z x C
∂ P ∂Q ∂ R + ∂ y + ∂z ∂x
= div A
i = ∂∂x ∇× A P
j
∂ ∂y
k
∂ ∂z
= rot A
Q
R
高斯公式与斯托克斯公式可写成:
∫∫∫Ω ∇ ⋅ A d v = ∫∫Σ An d S ∫∫Σ ( ∇ × A ) n d S = ∫ Γ Aτ d s
内容小结
1 1+ f x′2 + f y′2
Q cos γ =
,cos β =
− f y′
2
cos β ∴ f y′ = − cos γ
1+ f x′ + f y′
2
,
∂ P ∂ P cos β ]cos γ d S − 因此 ∫Γ P d x = − ∫∫Σ [ ∂ y ∂ z cos γ ∂P ∂P = ∫∫ [ cos β − cos γ ]d S Σ ∂z ∂y ∂P ∂P = ∫∫ dzdx− d xd y Σ ∂z ∂y
Γ
Dx y
y
C
则
∫Γ P d x = ∫C P( x, y, z ( x, y)) d x
∂ = − ∫∫ P( x, y, z ( x, y )) d x d y (利用格林公式) Dx y ∂ y n ∂P ∂P ∂z Σ z ]d x d y = − ∫∫ [ + Dx y ∂ y ∂ z ∂ y Γ ∂P ∂P o = − ∫∫ [ + f y′ ] cos γ d S Σ Dx y y ∂y ∂z x C
一、斯托克斯(stokes)公式
1 1 1 3 3 3 ∂ ∂ ∂ ds ∂x ∂y ∂z y2 − z2 z2 − x2 x2 − y2
Dxy
x+ y= 1 2
x+ y= 3 2
∴ I = ∫∫
Σ
4 =− ( x + y + z )ds ∫∫ 3 Σ
3 ( 在Σ上x + y + z = ) 2
4 3 9 =− ⋅ ∫∫ ds = −2 3 ∫∫ 3dxdy = − . 3 2Σ 2 D
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设Γ 为分段光滑的空间有向闭曲线, Σ 是以
Γ 为边界的分片光滑的有向曲面, Γ 的正向与Σ
的侧符合右手规则, 函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) ,
R( x , y , z ) 在包含曲面Σ 在内的一个空间区域内具
有一阶连续偏导数, 则有公式
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ( − )dydz + ( − )dzdx + ( − )dxdy ∫∫ ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Σ
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
斯托克斯公式
n
∑
右手法则
Γ
正向边界曲线
z
n
:
Γ 是有向曲面 Σ 的
∑ z=
Dxy
x+ y= 1 2
x+ y= 3 2
∴ I = ∫∫
Σ
4 =− ( x + y + z )ds ∫∫ 3 Σ
3 ( 在Σ上x + y + z = ) 2
4 3 9 =− ⋅ ∫∫ ds = −2 3 ∫∫ 3dxdy = − . 3 2Σ 2 D
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设Γ 为分段光滑的空间有向闭曲线, Σ 是以
Γ 为边界的分片光滑的有向曲面, Γ 的正向与Σ
的侧符合右手规则, 函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) ,
R( x , y , z ) 在包含曲面Σ 在内的一个空间区域内具
有一阶连续偏导数, 则有公式
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ( − )dydz + ( − )dzdx + ( − )dxdy ∫∫ ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Σ
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
斯托克斯公式
n
∑
右手法则
Γ
正向边界曲线
z
n
:
Γ 是有向曲面 Σ 的
∑ z=
纳维尔斯托克斯公式
纳维尔斯托克斯公式
纳维斯托克斯公式是－Ñp＋ρF＋μΔv，式中ρ为流体密度，p为压强，u（u，v，w）为速度矢量，F（X，Y，Z）为作用于单位质量流体的彻体力，Ñ为哈密顿算子，Δ为拉普拉斯算子。
纳维-斯托克斯方程（英文名：Navier-Stokes equations），描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。简称N-S 方程。粘性流体的运动方程首先由Navier在1827年提出。
斯托克斯定律公式
斯托克斯定律（Stokes' Law）是描述小球在粘稠流体中下落速度的物理定律。根据斯托克斯定律，小球在粘稠流体中的下落速度与小球的半径、流体的黏度以及重力有关。
斯托克斯定律的数学表达式为：
F = 6πηrv
其中：
- F 是小球所受到的阻力（单位：牛顿）；
- η 是流体的黏度（单位：帕斯卡·秒，或者等效的千克/米·秒）；
- r 是小球的半径（单位：米）；
- v 是小球的下落速度（单位：米/秒）。
这个公式仅适用于小球在低速下降且流体黏度稳定的情况。对于其他情况，需要考虑修正因素。
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x
y
D
O
D
y
x = L
P( x, y,0)d x Q( x, y,0)d y
L
这正是格林公式.
(Q( x, y,0) P( x, y,0))d x d y
x
y
D
4°何时采用斯托克斯公式？
当对坐标的曲线积分： P d x Q d y Rd z
的积分曲线的参数方程不易写出，或用直接法计算较繁时，可考虑用斯
的整个边界,
它的正方向与这个三角形上侧的法向
量之间符合右手规则.
解 记三角形域为, 取上侧,
d ydz
x
z
d y d z d z d x d x d y
利用轮换对称性
dzd x
y
x
dxd y
z
y
3 d xd y
3 d x d y 3 .
D xy
2
例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分
然后相加,
由于沿辅助曲线方向相
反的两个曲线积分相加刚好抵消, 类曲面斯托克斯公式仍成立.
所以对这
注1º 斯托克斯公式的实质:
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分 之间的关系.
2º 斯托克斯公式便于记忆的形式:
dcoysd zcosd z cdosx
或
P d x Q d y Rd z
dzdx
R(
x,
y,
z)dz
Γ
证明思路:
第二类曲面积分
第一类曲面积分
第二类曲面积分 首先证明第一式.
二重积分
第二类曲线积分
证
(1)
P z
dzdx
P y
dxdy
P(
x,
y,
z)dx
Γ
: z f ( x, y), ( x, y) Dx y 方向为上侧
与平行 z 轴的直线
只交于一点,
的正向边界曲线
第十章
第七节斯托克斯(Stokes)公式 环量与旋度
一、斯托克斯公式 二、环量与旋度 ★ 三、空间曲线积分与路径无关的条件
一、斯托克斯公式
有向曲面的正向边界曲线： 的正向与的侧符合右手法则，如图.
n
右手法则
是有向曲面的 正向边界曲线
定理10.8设Σ是光滑或分片光滑的有向曲面,
如果函数
一阶连续偏导数, 则
x
z
Γ
三式相加可得
Rdydz y
R x
dzdx
R( x,
y,
z)dz
Γ
R y
Q z
dydz
P z
R x
dzdx
Q x
P y
dxdy
Pdx Qdy Rdz
(2) 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个,
则可通过作辅助线面把 分成与z 轴只交
于一点的几部分,
在每一部分上应用斯托克
斯公式,
x
y
P
Q
dxd y
dS z R
其中
n
{cos α, cos
β , cos γ }为指定侧的单位法向量.
3º 斯托克斯公式是格林公式的推广
斯托克斯公式
特殊情形
是xOy面上的 有向闭区域时
格林公式
事实上，设 ：xOy面上的区域 D，上侧 ； z
：xOy面上的区域 D的边界L，逆时针 . n
Pdx Qdy Rdz
y
Dxy
c
Pdzdx P dxdy Px, y, f ( x, y) dx 成立
z
y
c
即 Pdzdx P dxdy P( x, y, z) dx 成立
z
y
Γ
注 若取下侧，Γ也相应改成相反方向，上式仍成立.
Pdzdx z
P y
dxdy
P(
x,
y,
z)
dx
Γ
同理可证其余二式:
Qdxdy Q dydz Q( x, y, z)dy
I ( y2 z2 )dx (z2 x2 )dy ( x2 y2 )dz
Γ
其中Γ 是用平面x
y
z
3 截立方体 :
2
0 x 1, 0 y 1, 0 z 1
的表面所得的截痕,若从 Ox轴的正向看去, 取逆时 针方向.
解 取为平面x y z 3的上侧被 Γ所围的部分， 2
的单位法向量
在xOy面上的投影为C
C所围成的闭区域为D xy.
左边 Pdzdx P dxdy P cos β P cosγ dS
z
y
z
y
cos β
fy
,
1
f
2 x
f y2
cosγ
1
1
f
2 x
f y2
故有 cos β f y cosγ
左边
P z
f
y
P y
cos γdS
n
1
1, 1, 1,
3
即 cos cos cos 1
3
111
333
I
dS
x y z
y2 z2 z2 x2 x2 y2
4 3
(
x
y
z)dS
取4为 3平面dxS 32
y2
z3
D
3
2
xy
的3(d上在x侧dy上 被 ,Γx6所x围yy的 部z 分23，)
I 6 xy
其中Dxy为在xOy平面上的投影区域， xy为
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公 式
(R Q) dydz (P R) dzdx (Q P ) dxdy
y z
z x
x y
或
将斯托克斯公式分为三式
(1)
P z
dzdx
P y
dxdy
P(
x,
y,
z)dx
Γ
(2)
Q x
dxdy
Q z
dydz
Q(
x,
y,
z)dy
Γ
(3)
R y
dydz
R x
P z
fy
P dxdy y
Px, y, f ( x, y)
y
P y
P z
fy
左边
P z
fy
P cosγdS
y
P z
f
y
P y
dxdy
y
Px,
y,
f
( x,
y)
P y
P z
fy
Px, y, f ( x, y) dxdy Px, y, f ( x, y) dx
Dxy的面积.
xy
1
2
1 8
3 4
I 9. 2
例3 为柱面 x2 y2 2 y 与平面 y = z 的交线从 z
轴正向看为顺时针, 计算
I y2 d x xyd y xz d z .
解(方法1)
Hale Waihona Puke Baidu
设为平面 z = y 上被 所围椭圆域且
取下侧,
P( x, y,0)d x Q( x, y,0)d y
O
y x = L
L
在yOz面, zOx面上的投影为零
(R Q) dydz (P R) dzdx (Q P ) dxdy
y z
z x
x y
0
0
(
Q x
P y
)d
x
d
y
z
n
(Q( x, y,0) P( x, y,0))d xd y
托克斯公式.
5º 如何选取 ？
在斯托克斯公式中，是以为边界的任意分片光滑曲面(只要P，Q， R在包含的一个空间区域内具有一阶连续的偏导数即可).
通常，取为平面或球面等法向量的方向余弦易求的曲面.
例利1 用斯托克斯公式计算 z d x x d y yd z
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形