2015年陕西省西安市高新一中高一上学期数学期中考试试卷

2015年陕西省西安市高新一中高一上学期数学期中考试试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知集合A=2,4,6，集合B=1，则A∪B等于 A. 1,2,4,6B. 0,1,8,10C. 0,8,10D. ∅2. 下列幂函数中，过点0,0，1,1的偶函数是 A. y=x 12 B. y=x4 C. y=x−2 D. y=x13. 函数f x=log a x+1（a>0且a≠1）的图象恒过定点 A. 1,1B. 0,0C. 0,1D. 1,04. 函数f x=x+1+lg3−x的定义域为 A. −1,3B. −1,3C. −1,3D. −1,35. 已知集合P=x0≤x≤4，Q=y0≤y≤2，下列不表示从P到Q的映射是 A. f:x→y=12x B. f:x→y=13x C. f:x→y=23x D. f:x→y=x6. 设y1=40.9，y2=80.48，y3=12−1.5，则 A. y3>y1>y2B. y2>y1>y3C. y1>y3>y2D. y1>y2>y37. 已知方程x3−x−1=0仅有一个正零点，则此零点所在的区间是 A. 3,4B. 2,3C. 1,2D. 0,18. 已知全集U=x∈N+−2<x<9，M=3,4,5，P=1,3,6，那么2,7,8是 A. M∪PB. M∩PC. ∁U M∪∁U PD. ∁U M∩∁U P9. 设f x是R上的偶函数，且在−∞,0上为减函数，若x1<0，x1+x2>0，则 A. f x1>f x2B. f x1=f x2C. f x1<f x2D. 不能确定f x1与f x2的大小10. 要使g x=3x+1+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为 A. t≤−1B. t<−1C. t≤−3D. t≥−311. 在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y=f x，另一种是平均价格曲线y=g x，如f2=3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g2=3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图象，实线表示y=f x，虚线表示y=g x，其中可能正确的是 A. B.C. D.12. 在f m,n中，m，n，f m,n∈N∗，且对任意m，n，都有f1,1=1，f m,n+1=f m,n+2，f m+1,1=2f m,1．给出下列三个结论：①f1,5=9；②f5,1=16；③f5,6=26．其中正确结论的个数是 A. 3B. 2C. 1D. 0二、填空题（共3小题；共15分）13. 函数y=的定义域是．14. 函数y=log122x−x2的单调递增区间为．15. 对于函数f x，定义域为D，若存在x0∈D使f x0=x0，则称x0,x0为f x的图象上的不动点，由此，函数f x=4x+2x−2的零点差绝对值不超过0.25，则满足条件的g x 有．①g x=4x−1；②g x= x−122；③g x=e x−1；④g x=lnπx−3．三、解答题（共6小题；共78分）16. 若A=x x2−5x+6=0，B=x ax−6=0，且A∪B=A，求由实数a组成的集合C．17. （1）解关于x的方程log a3x−1=log a x−1+log a3+x（a>0且a≠1）；（2）求值：lg5+lg2− −13−2+2−10+log28．18. 某自来水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，t小时内向居民供水总量为1206t0≤t≤24．（1）每天几点钟时，蓄水池中的存水量最少?（2）如果池中存水量不多于80吨，就会出现供水紧张现象，那么一天中会有几小时出现这种现象?是奇函数．19. 已知函数f x=a+14+1（1）求a值；（2）判断f x的单调性，并利用定义证明．+x ln x，g x=x3−x2−3．20. 设函数f x=ax的单调性；（1）讨论函数 x=f xx（2）如果存在x1,x2∈0,2，使得g x1−g x2≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；,2，都有f s≥g t成立，求实数a的取值范围．（3）如果对任意的s,t∈1221. 已知：函数f x对一切实数x，y都有f x+y−f y=x x+2y+1成立，且f1=0．（1）求f0的值．（2）求f x的解析式．时，不等式f x+3<2x+a恒成立；Q:当x∈−2,2时，（3）已知a∈R，设P:当0<x<12g x=f x−ax是单调函数．如果满足P成立的a的集合记为A，满足Q成立的a的集合记为B，求A∩∁R B（R为全集）．答案第一部分1. A 【解析】因为集合A=2,4,6，集合B=1，所以A∪B=1,2,4,6．2. B 【解析】A、定义域是0,+∞，不关于原点对称，不具有奇偶性．B通过验证过这两个点，又定义域为R，且f−x=−x4=x4=f x．C 不过0,0．D f−x=−x 1=−x1=−f x，所以f x是奇函数，不满足偶函数的条件．3. B 【解析】令x+1=1，得x=0，因为f0=log a0+1=0，所以函数f x=log a x+1的图象经过定点0,0．4. C 【解析】因为函数f x=x+1+lg3−x，根据二次根式定义得x+1≥0, ⋯⋯①根据对数函数定义得3−x>0, ⋯⋯②联立①②解得：−1≤x<3．5. C【解析】因为0≤x≤4而y=12x∈Q，集合A中的元素在集合B中都有像，故选项A是映射．对于选项B，y=13x∈Q，集合P中的所有元素在集合Q中都有唯一像，故选项B是映射．对于选项C，集合P中的元素4在集合Q中没有像和它对应，故选项C不是映射．对于选项D，y=x∈Q，集合P中的所有元素在集合Q中都有唯一像，故选项D是映射．6. C 【解析】因为y1=40.9=21.8，y2=80.48=230.48=21.44，y3=12−1.5=21.5，函数y=2x在R上是增函数，1.8>1.5>1.44，所以21.8>21.5>21.44，故y1>y3>y2．7. C 【解析】设f x=x3−x−1，因为f1=−1<0，f2=8−2−1=5>0，所以根据根的存在性定理可知，函数f x的零点所在的区间为1,2．8. D 【解析】因为全集U=1,2,3,4,5,6,7,8，M=3,4,5，P=1,3,6，所以∁U M=1,2,6,7,8，∁U P=2,4,5,7,8，M∪P=1,3,4,5,6，M∩P=3，则∁U M∪∁U P=1,2,4,5,6,7,8，∁U M∩∁U P=2,7,8．9. C 【解析】若x1<0，x1+x2>0，即x2>−x1>0，因为f x是R上的偶函数，且在−∞,0上为减函数，所以函数f x在0,+∞上为增函数，则f x2>f−x1=f x1．10. C【解析】指数函数y=3x过定点0,1，函数g x=3x+1+t过点0,3+t且为增函数，要使g x=3x+1+t的图象不经过第二象限，只须函数g x=3x+1+t与y轴的交点的纵坐标小于等于0即可，如图所示，即图象不过第二象限，则3+t≤0，所以t≤−3，则t的取值范围为：t≤−3．11. C 【解析】据即时价格与平均价格的相互依赖关系，可知，当即时价格升高时，对应平均价格也升高；反之，当即时价格降低时，对应平均价格也降低，故选项C中的图象可能正确.12. A 【解析】因为f m,n+1=f m,n+2，所以f m,n组成首项为f m,1，公差为2的等差数列，所以f m,n=f m,1+2n−1．又f1,1=1，所以f1,5=f1,1+2×5−1=9，因为f m+1,1=2f m,1，所以f m,1组成首项为f1,1，公比为2的等比数列，所以f m,1=f1,1⋅2m−1=2m−1，所以f5,1=25−1=16，所以f5,6=f5,1+2×6−1=16+10=26，所以①②③都正确，故选A．第二部分13. −∞,−2∪2,+∞【解析】由题意得：x+2x−2>0，解得：x>2或x<−2，故函数的定义域是−∞,−2∪2,+∞．14. 1,2【解析】由题设令2x−x2>0，解得0<x<2，令t=2x−x2，其图象开口向下，对称轴为x=1，故t=2x−x2在0,1上是增函数，在1,2上是减函数，由于外层函数是减函数，由复合函数的单调性判断规则知函数y=log12x−x2的单调递增区间为1,2．15. ①②【解析】因为f x=4x+2x−2在R上连续，且f14=2+12−2=2−32<0，f12=2+1−2=1>0．设f x=4x+2x−2的零点为x0，则14<x0<12，0<x0−14<14，所以x0−14<14．又g−x=4x−1零点为x=14；g x= x−122的零点为x=12；g x=e x−1零点为x=0；g x=lnπx −3零点为x=π4，满足题意的函数有①②．第三部分16. 因为x2−5x+6=0，所以x=2，x=3，即A=2,3，因为A∪B=A，故B是单元素集合2，3或B=∅，当B=2时，由2a−6=0得a=3，当B=3时，由3a−6=0得a=2，当B=∅时，由ax−6=0得a=0，所以由实数a形成的集合为C=0,2,3．17. （1）因为log a3x−1=log a x−1+log a3+x（a>0且a≠1），所以3x−1>0，x−1>0，3+x>0，3x−1=x−13+x，联立解得：x=2．（2）原式=lg10−3−1×−2+1+3 =1−9+4=−4.18. （1）设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨．则y=400+60t−1206t0≤t≤24，设u=t，则u∈0,2，y=60u2−1206u+400=60 u−62+40，所以当u=6即t=6时，y取得最小值40．所以每天在6点钟时，蓄水池中的存水量最少．（2）由题意得：当y≤80时，就会出现供水紧张．所以60u2−1206u+400≤80，解之得263≤u≤463，所以83≤t≤323，所以Δt=323−83=8，所以一天中会有8小时出现这种供水紧张的现象．19. （1）因为函数f x为定义在R上的奇函数．所以f0=0，即a+14+1=0，解得a=−12．（2）由（1）知a=−12，则f x=−12+14+1，函数f x在−∞,+∞上单调递减，给出如下证明：任取x1,x2∈−∞,+∞，且x1<x2，则f x2−f x1= −12+14x2+1− −12+14x1+1=14x2+1−14x1+1=4x1−4x24x1+14x2+1=4x11−4x2−x1x1x2,因为x1<x2，所以x2−x1>0，所以4x2−x1>1，所以1−4x2−x1<0，因为4x1>0，4x1+1>0，4x2+1>0，所以4x11−4x2−x14x1+14x2+1<0，即f x2−f x1<0，所以f x1>f x2，所以函数f x在−∞,+∞上单调递减．20. （1） x=ax +ln x x>0， ʹx=−2ax+1x=x2−2ax，①当a≤0时， ʹx>0，函数 x在0,+∞上单调递增，②当a>0时，若 ʹx>0，则x>2a，所以函数 x的单调递增区间为2a,+∞ ，若 ʹx< 0，则0<x<2a，所以函数 x的单调递减区间为0,2a ．（2）存在x1,x2∈0,2，使得g x1−g x2≥M成立，等价于：g x1−g x2max≥M，由g x=x3−x2−3，得gʹx=3x x−23，x00,222,22gʹx0−0+g x−3递减极最小值−85递增1由上表可知：g x min=g23=−8527，g x max=g2=1，所以g x1−g x2max=g x max−g x min=11227，所以满足条件的最大整数M=4．（3）由（2）知，g x在区间12,2上的最大值为1，则f s≥g t都成立等价于f s min≥g t max，当x∈12,2时，f x=ax+x ln x≥1恒成立，等价于a≥x−x2ln x恒成立，记 x=x−x2ln x，所以a≥ x max，又 ʹx=1−2x ln x−x，则 ʹ1=0．记 ʹx=1−x−2x ln x，x∈12,1，1−x>0，x ln x<0，则 ʹx>0，即函数 x=x−x2ln x在区间12,1上递增，记 ʹx=1−x−2x ln x，x∈1,2，1−x<0，x ln x>0，则 ʹx<0，即函数 x=x−x2ln x在区间1,2上递减，所以x=1， x取到极大值也是最大值 1=1，所以a≥1．21. （1）令x=−1，y=1，则由已知f0−f1=−1−1+2+1∴f0=−2．（2）令y=0，则f x−f0=x x+1，∵f0=−2，∴f x=x2+x−2．（3）不等式f x+3<2x+a即x2+x−2+3<2x+a，也就是x2−x+1<a．由于当0<x<12时，34<x2−x+1<1，又x2−x+1= x−122+34<a恒成立，故A=a a≥1，g x=x2+x−2−ax=x2+1−a x−2对称轴x=a−12，又g x在−2,2上是单调函数，故有a−12≤−2或a−12≥2，∴B= a a≤−3 或a≥5，∁R B=a−3<a<5，∴A∩∁R B=a1≤a<5．。