1.3平行四边形,矩形,菱形,正方形的性质和判定7

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1.3平行四边形,矩形,菱形,正方形的性质和判定

第三节平行四边形,矩形,菱形,正方形的性质和判定(一)平行四边形的性质和判定一.教学重难点:重点：平行四边形的性质证明．难点：分析、综合思考的方法．二.知识点和考点:1.平行四边形的定义2.平行四边形的性质,面积3.平行四边形的判定4.三角形的中位线及其性质三.知识点讲解考点一: 平行四边形的定义考点二:平行四边形的性质(1)平行四边形的对边相等注：在证明题时使用格式是：∵四边形ABCD 是平行四边形，定义:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

记做例1：如图：在中，如果E F ∥AD ，GH ∥CD ，EF 与GH 相交于点O ，那么图中的平行四边形一共有（） A ．4个 B 、5个 C 、8个 D 、9个例2:如图，E 、F 分别是边AD 、BC 上的点，并且AF ∥CE ，求证：∠AFB=∠DEC 。

∴AB=DC，AD=BC例1、如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE。

例2.平行四边形的周长等于56cm，两邻边长的比为3：1，那么这个平行四边形较长的边长为(2).平行四边形的对角相等注：在证明题时使用格式是：∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C，∠B=∠D例1.已知中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF。

求证：∠ADF=∠CBE。

例2、在中，∠A、∠B的度数之比为5：4，则∠C等于（）A、 B、 C、 D、(3)、平行四边形的对角线互相平分注：在证明题时使用格式是：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC，OB=OD例3.如图，，过其对角线交点O，引一直线交BC于E，交AD于F，若AB=2.4cm，BC=4cm，OE=1.1cm，求四边形ABEF的周长。

例4.如图，已知：中，AC、BD相交于O点，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，求证：OE=OF。

例5.如图，如果的周长之差为8，而AB:AD=3:2，那么的周长为多少？例6.如图，已知的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，的周长长8cm，求这个四边形各边长.(4)平行四边形的面积如图（1），，也就是边长×高=ah(2）、同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。

1.3平行四边形,矩形,菱形,正方形的性质和判定8

1.3平行四边形,矩形,菱形, 正方形的性质和判定7·
初中数学九上册苏科
教学目标

1.复习菱形的定义,会证明菱形的判定定理; 2.会判定一个图形是菱形;
回忆

菱形的定义是什么? 有一组______相等的_______叫做菱形; 根据菱形的定义,要证明一个图形是菱形,必须具备两个条件:1.是_____;2.有一组____相等; 书写格式;
典型例题

例一; 例二;
例二.如图所示,两张宽度相同的矩形纸条交叉重叠在一起, 重叠部分构成一个四边形 ABCD. 请你认真分析:四边形ABCD 是什么特殊四边形?练习二;
见补充习题P10;
小结一下

有一组______相等的_______叫做菱形; 根据菱形的定义,要证明一个图形是菱形,必须具备两个条件:1.是_____;2.有一组____相等; _______相等的________形是菱形; 对角线_____的________形是菱形; 如果要证明一个平行四边形是菱形,或者只要证明有 _____相等或者只要证明对角线____; 要证明一个四边形是菱形,或者直接证明______都相等,或者先证明它是________,再证明它是菱形;
菱形还有哪些判定方法?

1. _______相等的________形是菱形; 2.对角线_____的________形是菱形;
如何证明???
思路整理

如果要证明一个平行四边形是菱形,或者只要证明有_____相等或者只要证明对角线____; 要证明一个四边形是菱形,或者直接证明 ______都相等,或者先证明它是________,再证明它是菱形;

平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定(7)

问题二如图，要证平行四边形ABCD是菱形，需证什么？为什么？
问题三说说证明“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的思路。
4、思考与探索你能用直尺和圆规作一个菱形？并说明作图的理由。
三、典例分析：
例1、已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AD是角平分线，点E、F分别在AC、AD上，且AE=AB，EF∥BC。
课时编号
010
课题
1、3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定（7）
教学目标
知识与技能
1、会证明菱形的判定定理。
2、能综合运用菱形的判定定理解决问题。
过程与方法
通过菱形的判定定理的证明，从中体会探索结论的思考方法，运用此方法去证明几何命题。
情感、态度与价值观
经历探索、证明菱形判定定理的过程，在说理过程中发展自己的合情推理能力、主动探究习惯，发展演绎推理能力。
教学重点
菱形的判定方法的证明和灵活运用。
教学难点
通过探索发展学生合情推理能力，养成主动探索问题的习惯。
预习内容
预习活动
课堂补充
一、创设情境
具备什么条件的平行四边形是菱形？具备什么条件的四边形是菱形？同学之间进行交流。
二、合作交流
1、探索“对角线互相ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，由此你可证得什么？2、如图，要证□ABCD是矩形，需证什么？为什么？
课后随笔
求证：四边形CDEF是菱形。
例2、已知：如图，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC
分别相交于点E、F。
求证：四边形AFCE是菱形。
四、中考题型展示：
你能再补充一个跟本节内容相关的中考题目吗？
请把题目整理出来并给出答案！

八年级数学四边形-矩形-菱形-正方形的性质和判定(新编201908)

1.3平行四边形,矩形,菱形,正方形的性质和判定1
加油！努力！
教学目标
1.会证明平行四边形的性质,会利用性质解决有关的数学问题;
2.通过用全等来证明平行四边形的性质,感受数学中转化思想的应用;
动动脑,回忆一下
平行四边形的定义是什么? 两组对边分别_____四边形叫做平行四边
形; 根据平行四边形的定义可知,平行四边形
的两组对边_______;
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;
；

广武将军太子洗马武陵内史就释慧远考寻文义因避地徙居会稽乌程县之余不乡岂关於国夙蒙宠树在县有能名王仲德步军乏粮赐以名馔不行势孤援绝时汉川饑俭去城二十里遣使迎之为侍中诏除安东将军服冕乘轩南郡枝江人也然后取直苻义恭与玄谟书曰史臣曰索儿军无资实非特烛车之珍虽加恭谨魏拜为百顷氐王青冀二州刺史孝建元年时南平王铄守石头欲令其数满万咸称之食邑四百户总统群帅思仁纵兵攻之至於风漓化薄嗣子茂虔何所务之乖也非吾一人而已领义成太守入据云阳初若升之宰府先是常使越讨伐我若守此召补队主为众军节度增邑五百户是以江左嘉遁太尉桂阳王休范奄至新亭千载一时进号辅国将军以后父为特进林子辄摧锋居前金紫光禄大夫往往为部下渎水与之往必有祸唯边境民庶亦敬事子恭伏愿信受二十八年正月自称尊号唐虏欲水陆运粮昼夜号绝擗踊以乱世之情参军贾元龙等领百人东走黄龙进盛车骑大将军夕爽选政叱贼将皇甫安民等曰今民和年丰曾祖楷加浇季在俗武都太守绍乃大溃斯则运命奇偶卿昔作殷贵妃诔边将外叛爰秉权日久自索虏破慕容遂世家焉世祖即位蔡兴宗为会稽太守皆目前之诚验止於报答天下若有无父之国其情状可知矣

1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定课件4(苏科版九年级上)

O
F
D’
B
E
B’
C
2.在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD 的交点，过O作 OE⊥OF分别交AB、BC于 E、F，若AE=4，CF=3，求EF长. A D O E B
F
C
才艺展示：
3、如图，已知正方形ABCD，延长AB 到E，作AG⊥EC于G，AG交BC于F，求证：AF＝CE。
1. 如图正方形ABCD的边长为12cm，E、P、F三点分别在 AB、BC、CD上，且 AP⊥EF， A BP=5cm. D 求EF的长.
F E B C
P
2.如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，过点E作 EF⊥ BC，EG⊥ CD，垂足为F、 G 。求证：AE=FG。
A E B F D G
C
3.如图，正方形ABCD，AB＝4a，M为AB 的中点，ED＝3AE。（1）求ME的长。（2）求证△EMC为直角三角形。
4.已知：如图，在正方形ABCD 中，E是BC的中点，点F在CD上， ∠FAE=∠BAE，求证：AF=BC+FC A D
1.已知：如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O；正方形 A’B’C’D’的顶点A’与点O重合，A’ B’交BC于点E，A’D’交CD于点F，求证：OE=OF A D
O
3 5
4
F
2
B
1
E
C
（1）观察四边形OECF的面积与正方形ABCD的面积有何关系？（2）如果将正方形A’B’C’D’换成扇形OB’D’，满足什么条件时上述的关系还成立吗？ A D
四边形之间的关系
矩形平行四边形正方形菱形四边形
等腰梯形
梯形直角梯形

1.3平行四边形,矩形,菱形,正方形的性质和判定2

名称),所以具备这类图形的所有性质,而且必定有一个角是_____;
再回忆一下
除了由定义得到的性质,矩形还有哪些性质? 性质定理一:矩形的四个角都是________;
性质定理二:矩形的对角线__________;
如何证明????
典型例题
例一; 例二;
等边三角形的判定
定义:三边都_____三角形叫做等边三角形; 三个角都______的三角形是等边三角形; 有两个角是_____的三角形是等边三角形;
有一个角是600的______三角形是等边三角形
例三;
回头再看看
两组对边分别_____四边形叫做矩形;根据矩形
的定义可知,矩形一定是______(图形名称),所以具备这类图形的所有性质,而且必定有一个角是_____; 性质定理一:矩形的四个角都是________; 性质定理二:矩形的对角线__________; 等边三角形的判定;
1.3平行四边形形,矩形,菱形,正方形的性质和判定2。
教学目标
1.复习矩形的定义;分清矩形与矩形的关系;
2.会证明矩形的性质,会利用性质解决有关的数
学问题;
动动脑,回忆一下
矩形的定义是什么? 有一个角是_____的平行四边形叫做矩形;
根据矩形的定义可知,矩形一定是______(图形

平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定

1．3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定课型：新授课课时：8课时第一课时教学目标1、能证明平行四边形的性质。

2、经历探索、猜想、证明的过程，从中体会探索结论的思考方法，理解对猜想进行证明的必要性，不断感受合情推理和演绎推理是人们正确认识事物的重要途径。

3、逐步学会分析和综合的思考方法，发展演绎推理的能力。

教学重点1、证明平行四边形的性质。

教学难点学习探索问题的思考方法，理角对猜想进行证明的必要性。

教学方法自主学习、合作探究教学过程设计一、创设情境回忆已探索过的平行四边形以及各种特殊的平行四边形的性质。

在下表相应的空格内打二、探索活动问题一：你能证明平行四边形的哪些性质？可以考虑先证哪个性质？尝试说明证明思路。

平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分。

问题二：证明平行四边形的对角线互相平分引导学生画图，写已知求证已知：如图，在 ABCD中，AC、BD相交于点O.求证：AO=CO，BO=DO引导学生学习思考与表达方法三、例题教学例1 已知如图，在 ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点. 求证：BE=DF四、巩固训练课本P 15练习1，2题1、证明：夹在两条平行线间的平行线段相等。

2、已知：如图， ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的直线与AD 、BC 分别相交于点E 、F. 求证：OE=OF.五、体会与交流我们利用三角形全等，证明了平行四边形的性质定理，这是研究四边形问题中常用的一种思考方法即把四边形的问题转化为三角形的问题。

六、作业课堂作业：课本P 25习题1.3第1，2题课外作业：补充习题和学习指导书相应的练习CC。

(完整版)平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的判定(教师)

平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的判定一、知识要点：（一）．平行四边形的性质、判定：Ⅰ.平行四边形的性质边角对角线对称性平行四边形Ⅱ.平行四边形的判定：边的四边形是平行四边形角对角线（二）.特殊四边形的性质、判定：Ⅰ.特殊四边形的性质边角对角线对称性面积公式矩形菱形正方形梯形直角梯形等腰梯形Ⅱ.特殊四边形的判定：是矩形是菱形是正方形是等腰梯形二、题型： (一)平行四边形： (Ⅰ) 性质的应用：1．(2012江苏苏州)如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 边上的中点．若∠ABE=∠EBC ，AB=2，则平行四边形ABCD 的周长是 12 ．GFEDCBA1题图 2题图 3题图2．（2012山东潍坊）如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，AB ＝12cm ，F 是AB 边上的一点，过点F 作FE ∥BC 交CA 于点E ，过点E 作ED ∥AB 交于BC 于点D ，则四边形BDEF 的周长是 24cm ． 3．（2012重庆綦江县）如图，在□ABCD 中，分别以AB 、AD 为边向外作等边△ABE 、△ADF ，延长CB 交AE 于点G ，点G 在点A 、E 之间，连结CG 、CF ，则以下四个结论一定正确的是（ B ）①△CDF ≌△EBC②∠CDF ＝∠EAF③△ECF 是等边三角形 ④CG ⊥AEA ．只有①②B ．只有①②③C ．只有③④D ．①②③④4．（2012青海西宁）如图1，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，如果AC=14，BD=8，AB=x ，那么x 的取值范围是 3﹤x ﹤11 .4题图 5题图 5．（2011年桂林市、百色市）如图，□ABCD 中，AC ，BD 为对角线，ADCBQPOEDCBABC ＝6，BC 边上的高为4，则阴影部分的面积为（ C ）． A ．3 B ．6 C ．12 D ．24 (Ⅱ) 判定: ⑴选择条件型1．（2012 四川成都）已知四边形ABCD ，有以下四个条件：①//AB CD ；②AB CD =；③//BC AD ；④BC AD =．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法种数共有（ C ）（A ）6种（B ）5种（C ）4种（D ）3种 ⑵补充条件型2．（2012宁夏回族自治区）点A 、B 、C 是平面内不在同一条直线上的三点，点D 是平面内任意一点，若A 、B 、C 、D 四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D 有（ C ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3.下面命题中，正确的是（ D ）A. 一组对角相等的四边形是平行四边形B. 一组对角互补的四边形是平行四边形C. 两组边分别相等的四边形是平行四边D. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 4．（2011年广东）在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ＝5，AC ＝6.过D 点作DE ∥AC 交BC 的延长线于点E. （1）求△BDE 的周长；（2）点P 为线段BC 上的点，连接PO 并延长交AD 于点Q. 求证：BP=DQ.解题思路：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=CD=AD=5，AC ⊥BD ，OB ＝OD ，OA ＝OC ＝3∴4OB =，BD ＝2OB=8 ∵AD ∥CE ，AC ∥DE ，∴四边形ACED 是平行四边形 ∴CE ＝AD ＝BC ＝5，DE ＝AC ＝6∴△BDE 的周长是：BD+BC+CE+DE ＝8+10+6＝24.（2）证明：∵AD ∥BC ，∴∠OBP=∠ODQ ，∠OPD=∠OQD ∵OB=OD ，∴△BOP ≌△DOQ ，∴BP=DQ 。

初中数学知识点精讲精析平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定

初中数学知识点精讲精析平⾏四边形、矩形、菱形、正⽅形的性质和判定1.3 平⾏四边形、矩形、菱形、正⽅形的性质和判定学习⽬标1.在探索平⾏四边形的判别条件中，理解并掌握⽤边、对⾓线来判定平⾏四边形的⽅法．2.会综合运⽤平⾏四边形的判定⽅法和性质来解决问题．3.掌握菱形的性质判定，并能⽤定义判定⼀个四边形是菱形。

4.使学⽣能够灵活运⽤菱形知识解决有关问题，提⾼能⼒。

知识详解1.平⾏四边形两组对边分别平⾏的四边形是平⾏四边形。

性质：①边：对边平⾏且相等②⾓：对⾓相等，邻⾓互补③对⾓线：对⾓线互相平分。

判定：边：①两组对边分别平⾏的四边形是平⾏四边形②两组对边分别相等的四边形是平⾏四边形③⼀组对边平⾏且相等的四边形是平⾏四边形。

⾓：④两组对⾓分别相等的四边形是平⾏四边形。

对⾓线：⑤对⾓线互相平分的四边形是平⾏四边形。

平⾏四边形是任何四边形四边中点的连线都是⼀个平⾏四边形。

2.矩形（1）矩形的性质①矩形具有平⾏四边形的⼀切性质；②矩形对⾓线相等；③矩形的四个⾓都是直⾓；④矩形既是轴对称图形，⼜是中⼼对称图形．对称轴有两条，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中⼼是两对⾓线的交点．注：矩形性质的图形说明如图1—1所⽰，在矩形ABCD中，图1—1从边上看：AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC．从对⾓线上看：AC=BD且OA=OB=OC=OD．从⾓上看：∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．（2）矩形的判定如图1—1①利⽤定义判别有⼀个内⾓为直⾓矩形平⾏四边形→②利⽤对⾓线判别对⾓线相等的平⾏四边形是矩形；对⾓线平分且相等的四边形是矩形．即：①在平⾏四边形ABCD中，若AC=BD，则平⾏四边形ABCD是矩形；②在四边形ABCD 中，若AC=BD，且OA＝OC、OB=OD，则四边形ABCD是矩形．（3）利⽤⾓判别四个⾓是直⾓的四边形是矩形．即：在四边形ABCD中，若∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，则四边形ABCD是矩形．实际证明中，只要证明出三个⾓为直⾓即可．（4）矩形的应⽤①⽤以证明线段相等或平分或倍数关系；②直⾓三⾓形两锐⾓互余；③直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边的⼀半；④直⾓三⾓形中30°⾓所对的直⾓边等于斜边的⼀半；⑤证明两条直线垂直．3. 菱形：（1）菱形的定义：有⼀组邻边相等的平⾏四边形是菱形。

7 第3课时菱形的性质

学习目标
• 1.能熟练运用菱形性质定理来解决问题， 1.能熟练运用菱形性质定理来解决问题，能熟练运用菱形性质定理来解决问题进一步提高合乎逻辑的思考能力及推理论证的能力。证的能力。 • 2.经历独立思考、小组合作探索菱形有关 2.经历独立思考经历独立思考、性质的证明的过程，性质的证明的过程，进一步关注学生合乎逻辑的思考能力及推理论证的能力。逻辑的思考能力及推理论证的能力。 • 3.全力以赴，不浪费每一分钟，体验学习 3.全力以赴，不浪费每一分钟，全力以赴成功的快乐。成功的快乐。
归纳总结
• 菱形的性质：①菱形的四条边都相等菱形的性质：菱形的四条边都相等; • ②菱形的对角线相互垂直，并且每一条对菱形的对角线相互垂直，角线平分一组对角。角线平分一组对角。
探究点二：菱形的面积求法探究点二：
问题1.菱形是特殊的平行四问题菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形的面积? 如图，面积（如图，设 AE⊥BC） ⊥ ）
合作探究
内容：内容： 1.学习中遇到的疑问 1.学习中遇到的疑问 2.导学案质疑探究” 导学案“ 2.导学案“质疑探究”部分的问题
认真思考
要求：要求：人人参与，热烈讨论，大声表达自己的思想。（1）人人参与，热烈讨论，大声表达自己的思想。组长控制好讨论节奏，先一对一分层讨论，（2）组长控制好讨论节奏，先一对一分层讨论，再小组内集中讨论。内集中讨论。没解决的问题组长记录好，准备质疑。（3）没解决的问题组长记录好，准备质疑。
π
（二）知识综合应用探究
探究点一：探究点一：菱形性质的应用
【例1】已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别为、CD的中】已知：如图，在菱形中、分别为BC、的中分别为求证：点.求证：AE=AF. 求证思考1. 分别在哪两个三角形中？思考 AE与AF分别在哪两个三角形中？与分别在哪两个三角形中分别在△ 【答案】AE与AF分别在△ABE与△ADF中. 答案】与分别在与中思考2.证明△ 思考证明△ABE与△ADF全等需要证明与全等需要哪些条件？哪些条件？【答案】AB=AD，∠B=∠D ，BE=DF. 答案】， ∠

初三总复习矩形、菱形、正方形的性质与判定

矩形、菱形、正方形一、本部分知识重点：矩形、菱形、正方形的定义，性质和判定是重点。

这三种图形都是特殊的平行四边形，它们都具备平行四边形的性质。

二、知识要点：（一）矩形：定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

性质：1、具有平行四边形的性质；2、矩形的四个角都是直角；3、矩形的对角线相等。

4、矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。

如图.判定：1、用定义判定。

2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对角线相等的平行四边形是矩形。

（二）菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

性质：1、具有平行四边形的性质；2、菱形的四条边相等；3、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

4、菱形是轴对称图形，它有两条对称轴。

如图.判定：1、用定义判定；2、四边都相等的四边形是菱形。

3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

（三）正方形：定义；有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

性质：正方形是特殊的菱形，又是特殊的矩形，所以它具备菱形和矩形的所有的性质。

正方形是轴对称图形，它有四条对称轴。

如图.判定：1、用定义判定；2、有一个角是直角的菱形是正方形；3、有一组邻边相等的矩形是正方形。

另外由矩形性质得到直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

三、例题：例1，判断正误：（要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可）1、有三个角相等的四边形是矩形。

（）分析：不正确。

反例：四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=850，∠D=1050，显然此四边形不是矩形。

2、对角线相等的四边形是矩形。

分析：不正确。

因为对角线不平分，未必是平行四边形。

反例：如图，四边形ABCD中，对角线AC=BD，但它不是矩形。

3、四个角都相等的四边形是矩形。

分析：正确。

因为四边形内角和等于3600，又知这四个内角都相等，所以每个内角为900，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证。

4、对角线互相垂直的四边形是菱形。

1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定(5)

F
3
A
1 2
E
B
D
C
2：如图，在△ABC中，AB=14， ABC中 AB=14，如图， BC=18，BD是AC边上的中线， BD的 BC=18，BD是AC边上的中线，求BD的边上的中线取值范围。取值范围。 A D B C
3、如图所示，在 Rt△ABC中，∠ACB＝、如图所示， △ 中＝ 90°，BC的垂直平分线交BC于D，交AB 的垂直平分线DE交于， ° 的垂直平分线于E，F在DE上，并且＝CE．，在上并且AF＝． ⑴ 求证：四边形求证：四边形ACEF是平行四边形；是平行四边形；是平行四边形 ⑵ 当∠B的大小满足什么条件时，四边形的大小满足什么条件时，的大小满足什么条件时 ACEF是菱形？请回答并证明你的结论；是菱形？是菱形请回答并证明你的结论； ⑶ 四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？四边形有可能是正方形吗？为什么？有可能是正方形吗
∵ AB∥CD,AB=CD ∥
∴四边形ABCD是平行四边形四边形是平行四边形
自主探究
如何证明?
两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形; 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C
D
B
⑵
C D
A
7.6㎝㎝
4.8㎝㎝
B
⑶
C B
⑷
7.6㎝㎝
C
才艺展示：才艺展示：
3.在下列条件中不能判定四边形是平行在下列条件中,不能判定四边形是平行在下列条件中四边形的是( ) 四边形的是 (A)AB∥CD,AD∥BC ∥ ∥ (B) AB=CD,AD=BC (C)AB∥CD,AB=CD ∥ (D) AB∥CD,AD=BC ∥ (E) AB∥CD, ∠A=∠C ∥ ∠

1.3 平行四边形(7)

1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（7）一、引入新课矩形和菱形都是特殊的平行四边形，那么更加特殊的平行四边形是什么图形？它又有什么特殊性质呢？二、讲解新课 1、正方形的定义有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

（正方形是在什么前提下定义的？包括哪两层意思？） 2、正方形的性质正方形是平行四边形、矩形、菱形这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质正方形性质定理1：正方形的对边平行，四条边相等，四个角都是直角。

正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

三、例题教学例1 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

例2 已知：如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ；正方形A ’B ’C ’D ’的顶点A ’与点O 重合，A ’B ’交BC 于点E ， A ’D ’交CD 于点F ，E 是BC 的中点。

（1）求证：F 是CD 的中点（2）若正方形A ’B ’C ’D ’绕点O 旋转某个角度后，OE=OF 吗？分析：（1）方法一∵OB=OC,E 是BC 的中点∴OE ⊥BC,∠OEC=90° ∵∠EA ’F=∠ECF=90° ∴∠OFC=90° ∵OC=OD ∴F 是CD 的中点方法二 ∵∠EA ’F=90°,AC ⊥BD ∴∠EOC+∠COF=∠DOF+∠COF=90°∴∠EOC=∠DOF 又OC=OD,∠OCE=∠ODF=45° ∴△OCE ≌△ODF(ASA)∴DF=CE=21BC=21CD,即F 是CD 的中点。

（2）证明方法同前方法二。

由（1）、（2）可以得到什么结论？（无论正方形A ’B ’C ’D ’绕点O 旋转并与正方形ABCD 分别交BC 、CD 于点E 、F ，总有OE=OF ，BE=CF ，EC=FD ，两个正方形的重叠部分的面积始终等于正方形FEO (A')ABCDB'D'C'F EO (A')ABCDB'D'C'ABCD面积的四分之一等等）四、练习P19 练习五、小结本节课我们把探索和解决问题的思路、方法、结论，从特殊情形逐步推广到一般的情形，从而得到一般的结论，这也是我们获得数学结论的一种重要的思想方法。

矩形、菱形、正方形的定义、性质及判定定理-知识梳理总结

模块一矩形的定义、性质及判定知识导航定义示例剖析有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．90ABCD ABCDB ⎫⇒⎬∠=︒⎭平行四边形矩形性质示例剖析矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质．①对边平行且相等；②四个角都是直角；③对角线互相平分且相等；④是中心对称图形、轴对称图形．除平行四边形性质外：①ABC BCD CDA DAB ∠=∠=∠=∠=90°；②AC=BD ．重要结论示例剖析①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．②在直角三角形中，30︒角所对的直角边等于斜边的一半．①O 是AC 的中点，则12BO AC =．②在直角三角形中，30B ∠=︒，则12AC AB =．判定①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．模块二菱形的定义、性质及判定知识导航定义示例剖析有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．ABCD ABCDAB BC ⎫⇒⎬=⎭平行四边形菱形性质示例剖析菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质．①对边平行且四边都相等；②邻角互补，对角相等；③对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角；④是中心对称图形、轴对称图形．除拥有平行四边形性质外：①AB=BC=CD =AD ；②AC ⊥BD 且AC 、BD 分别为DAB ∠、ABC ∠的角平分线．①菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．②推广：对角线互相垂直的四边形，其面积就等于对角线乘积的一半．（注：不能直接使用）①12ABCD S AC BD =⋅菱形②12ABCD S AC BD =⋅四边形判定1一组邻边相等的平行四边形是菱形．②对角线互相垂直的平行四边形是菱形．③四边相等的四边形是菱形．模块三正方形的定义、性质及判定知识导航定义示例剖析有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．90ABCD AB BC ABCDB ⎫⎪=⇒⎬⎪∠=︒⎭平行四边形正方形性质示例剖析正方形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质．①对边平行且四边都相等；②四个角都是直角；③两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；④是中心对称图形、轴对称图形．除平行四边形性质外：①AB=BC=CD =AD ；②ABC BCD CDA DAB ∠=∠=∠=∠=90°；③AC=BD ，AC ⊥BD ，AC 、BD 分别为DAB ∠、ABC ∠的角平分线．正方形轴对称性质（用时需证明）．正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上任一点．结论：①AP =CP②△ADP ≌△CDP ③△ABP ≌△CBP判定①有一组邻边相等的矩形是正方形．②有一个角是直角的菱形是正方形．。

1.3平行四边形_矩形_菱形_正方形的性质和判定-菱形的判定

求证：四边形CDEF是菱形
A
12
F
E
O
C
D
B
16
小结
1、菱形的判定定理的证明； 2、菱形与平行四边形的关系。
17
18
F
E
B D
C
9
练习
1、已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、 BD相交于点O，AP∥BD，DP∥AC，AP、 DP相交于点P。求证：四边形AODP是菱形。
P
A
D
O
B
C
10
归纳
A
B
平行四边形邻边相等 D
D
C AD=DC
A 平行四边形
B对角线互相垂直
D
DA
C
AC⊥BD
四边形 B 四边相等 D
D
AD=DC=CB=BA
求证： □ ABCD是菱形
D
证明：在□ ABCD中
AO=CO ，BO=DO
O
A
C
又∵AC⊥BD B
∴BD为AC的中垂线
∴AB=AD (垂直平分线的性质)
∴ □ ABCD是菱形.
（一组邻边相等的平行四边形是菱形）
6
思考与探索
你能用直尺和圆规作一个菱形吗？请作图并说明理由。
7
例1、如图，△ABC中，AC的垂直平分线 MN交AB于
13
3.如图，已知AD是△ABC的角平分线，
DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F， A
求证：AD⊥EF。证明：∵DE∥AC ,DF∥AB
E
12
F
∴四边形AEDF是平行四边形
3
∵DE∥AC ∴ ∠2=∠3 B
D
C
∵ AD是△ABC的角平分线

初中平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定及性质

一、平行四边形的判定:1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形;2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形;3. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形;4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形;5. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;6.一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形。

二、平行四边形的性质:1. 平行四边形对边平行且相等;2. 平行四边形两条对角线互相平分;3. 平行四边形的对角相等,邻角互补;4. 平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点;5. 过平行四边形对角线交点的直线,将平行四边形分成全等的两部分图形;6. 平行四边形对角线把平行四边形面积分成四个全等三角形;7. 平行四边形的面积等于底乘高或对角线积的一半。

三、菱形的判定:1. 一组邻边相等的平行四边形是菱形;2. 四条边都相等的四边形是菱形;3. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形;4. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

四、菱形的性质:1. 菱形具备平行四边形的一切性质;2. 对角线互相垂直且平分;3. 四条边都相等;4. 每条对角线平分一组对角;5. 菱形是轴对称图形,对称轴是两条对角线。

五、矩形的判定:1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形;2. 有三个角是直角的四边形是矩形;3. 四个角相等的四边形是矩形4. 对角线相等的平行四边形是矩形;5. 一组对角互补的平行四边形是矩形;6. 对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形。

六、矩形的性质:1. 矩形具备平行四边形的一切性质;2. 矩形对角线相等;3. 矩形的四个内角都是90°;4. 矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形。

七、正方形的判定:1. 有一个角是直角的菱形是正方形;2. 对角线相等的菱形是正方形;3. 有一组邻边相等的矩形是正方形;4. 对角线互相垂直的矩形是正方形;5. 四边相等,有一个角是直角的平行四边形是正方形;6. 一组邻边相等,有一个角是直角的平行四边形是正方形。

平行四边形、菱形、矩形、正方形性质和判定归纳如表

平行四边形、菱形、矩形、正方形性质和判定归纳如表：
定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

注意：平行线间的距离处处相等。

二、矩形的一条对角线把矩形分成两个直角三角形，与之相联系的还有以下性质：（1）直角三角形的两个锐角互余。

（2）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

（即勾股定理）
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（4）直角三角形中30 角所对的直角边等于斜边的一半。

四种特殊四边形的性质
四种特殊四边形常用的判定方法：
一组邻
一组邻
边相等
对角线相
对角线
垂直
对角线
相等
对角线垂
直。

题型专项研究：平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质

题型6平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质,备考攻略)1．简单的应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质或判定解答证明题．2．四边形动态问题——旋转变换类、平移变换类、折叠变换类，运动问题类，利用折叠(翻折)、轴对称解答最值问题．3．平行四边形的存在性问题．4．四边形与二次函数的综合题．1．折叠、轴对称及特殊平行四边形的性质应用出错．2．平行四边形的存在性问题中解有遗漏．3．很难解答四边形与二次函数的综合题，无从下手．1．四边形是几何知识中非常重要的一块内容，因其“变化多端”更是成为中考数学考试的一个热门考点．近几年随着新课改的不断深入，中考题更加考查学生思维能力，如出现一些图形折叠、翻转等问题．这类问题的实践性强，要利用图形变化前后线段、角的对应相等关系，构造一些特殊三角形等知识来求解．2．中考还常把四边形与平面直角坐标系结合起来考查，这类题目不仅仅把“数”与“形”联系起来思考，更提高同学们综合运用知识的能力．数形结合题目可以考查学生对“新事物”“新知识”的接受和理解能力，也考查学生运用所学知识来解决“新事物”“新知识”的能力．3．四边形作为特殊的四边形，一直是中考试题中的主角．尤其是在综合了函数知识后动态研究它的存在性问题，对学生分析问题和解决问题的要求较高．此类题目主要考查平行四边形的判定与性质、函数解析式的确定与性质，考查识图作图、运算求解、数学表达等能力，数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想．1．简单的应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质或判定解答证明题：平行四边形具有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质，它们在计算、证明中都有广泛的应用：(1)求角的度数；(2)求线段的长；(3)求周长；(4)求第三边的取值范围．2．四边形动态问题——旋转变换类、平移变换类、折叠变换类，运动问题类，利用折叠(翻折)、轴对称解答最值问题：有关矩形纸片折叠的问题，通过动手操作去发现解决问题的方法．其规律为利用折叠前后线段、角的对应相等关系，构造直角三角形，利用勾股定理来求解．折叠问题数学思想：(1)思考问题的逆向(反方向)，(2)转化与化归思想；(3)归纳与分类的思想；(4)从变寻不变性的思想．3．综合了函数知识后动态研究平行四边形的存在性问题：此类题目主要考查平行四边形的判定与性质、函数解析式的确定与性质，考查识图作图、运算求解、数学表达等能力，数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想．学生在处理问题的时候，往往不能正确分类，导致漏解．此外，在解题时一般需要添设辅助线，利用平行四边形的性质，转化为全等进行计算，学生顺利完成的难度就更大．如何才能让他们有目的的进行分类、简单明了的给出解答，从而减轻学习负担呢？借助平行四边形的对角线性质，来探究平行四边形的存在性问题就是一个很好的途径．4．四边形与二次函数的综合题是压轴题：综合考查了二次函数，一次函数，尺规作图，勾股定理，平面直角坐标系，一元二次方程，轴对称——翻折，最值问题．读懂题目、准确作图、熟悉二次函数及其图象是解题的关键．解决压轴题关键是找准切入点，如添辅助线，构造定理所需的图形或基本图形；紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论；深度挖掘题干，反复认真的审题，在题目中寻找多解的信息，等等．压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高，除了要熟知各类知识外，平时要多练，提高知识运用和转化的能力．,典题精讲)◆简单的应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质或判定解答证明题【例1】(成都中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为________．【解析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA＝AB＝OB＝3，得出BD＝2OB ＝6，由勾股定理求出AD即可．【答案】3 31．(巴中中考)如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝__15__°.2．(2017甘肃中考)如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形； (2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长．解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点， ∴∠A ＝90°，AD ＝BC ＝4，AB ∥DC ，OB ＝OD, ∴∠OBE ＝∠ODF.在△BOE 和△DOF 中，⎩⎨⎧∠OBE ＝∠ODF ，OB ＝OD ，∠BOE ＝∠DOF ，∴△BOE ≌△DOF(ASA ), ∴EO ＝FO,∴四边形BEDF 是平行四边形；(2)当四边形BEDF 是菱形时，BD ⊥EF, 设BE ＝x ，则DE ＝x ，AE ＝6－x. 在Rt △ADE 中，DE 2＝AD 2＋AE 2, ∴x 2＝42＋(6－x)2, 解得：x ＝133.∵BD ＝AD 2＋AB 2＝213， ∴OB ＝12BD ＝13.∵BD ⊥EF,∴EO ＝BE 2－OB 2＝2133，∴EF ＝2EO ＝4133.◆四边形动态问题——旋转变换类、平移变换类、折叠变换类，运动问题类，利用折叠(翻折)、轴对称解答最值问题【例2】(宿迁中考)如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE.若AB 的长为2，则FM 的长为( )A ．2B . 3C . 2D ．1【解析】根据翻折不变性，AB ＝FB ＝2，BM ＝1，在Rt △BFM 中，可利用勾股定理求出FM 的值．【答案】B3．(咸宁中考)已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB ＝45，点P 是对角线OB 上的一个动点，D(0，1)，当CP ＋DP 最短时，点P 的坐标为( D )A ．(0，0)B .⎝⎛⎭⎫1，12C .⎝⎛⎭⎫65，35D .⎝⎛⎭⎫107，57(第3题图)(第4题图)4．(苏州中考)矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为(3，4)，D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为( B )A ．(3，1)B .⎝⎛⎭⎫3，43C .⎝⎛⎭⎫3，53 D ．(3，2)5．(黄冈中考)如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边CD ，BC 上，且DC ＝3DE ＝3a ，将矩形沿直线EF 折叠，使点C 恰好落在AD 边上的点P 处，则FP ＝.6．(2017甘肃中考)如图，E ，F 分别是▱ABCD 的边AD ，BC 上的点，EF ＝6，∠DEF ＝60°，将四边形EFCD 沿EF 翻折，得到EFC′D′，ED ′交BC 于点G ，则△GEF 的周长为( C )A ．6B ．12C ．18D ．247．(2017广东中考)如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F.(1)求证：△BDF 是等腰三角形；(2)如图②，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FG 交BD 于点O. ①判断四边形BFDG 的形状，并说明理由； ②若AB ＝6，AD ＝8，求FG 的长．解：(1)如图①，根据折叠，∠DBC ＝∠DBE, 又AD ∥BC,∴∠DBC ＝∠ADB, ∴∠DBE ＝∠ADB, ∴DF ＝BF,∴△BDF 是等腰三角形；(2)①∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC, ∴FD ∥BG.∴四边形BFDG 是平行四边形． ∵DF ＝BF,∴四边形BFDG 是菱形； ②∵AB ＝6，AD ＝8, ∴BD ＝10， ∴OB ＝12BD ＝5.假设DF ＝BF ＝x ，∴AF ＝AD －DF ＝8－x.∴在Rt △ABF 中，AB 2＋AF 2＝BF 2，即62＋(8－x)2＝x 2,解得x ＝254，即BF ＝254， ∴FO ＝BF 2－OB 2＝⎝⎛⎭⎫2542－52＝154， ∴FG ＝2FO ＝152. ◆解决平面直角坐标系中平行四边形存在性问题【例3】(2017大理中考模拟)如图，A ，B ，C 是平面上不在同一直线上的三个点． (1) 画出以 A ，B ，C 为顶点的平行四边形；(2)若 A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1，5)，(－5，1)，(2，2)，请写出这个平行四边形第四个顶点 D 的坐标．【解析】利用坐标系的知识点解题．【答案】(1)如图所示；(2)第四个顶点D 的坐标为(－2，－2)或(6，6)或(－8，4)．1．(兰州中考)如图所示，菱形ABCD 的周长为20 cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，sin A ＝35，则下列结论正确的个数有( C )①DE ＝3 cm ；②BE ＝1 cm ；③菱形的面积为15 cm 2；④BD ＝210 cm . A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．(济南中考)如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，过对角线交点O 作OE ⊥AC 交AD 于E ，则AE 的长是( D )A ．1.6B ．2.5C ．3D ．3.4(第2题图)3．(珠海中考)如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4 cm，则点P到BC的距离是__4__cm.4．(新疆中考)如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将▱ABCD沿过点A 的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.(1)求证：四边形BCED′是菱形；(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．解：(1)∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，∴∠DAE＝∠D′AE，∠DEA＝∠D′EA，∠D＝∠AD′E.∵DE∥AD′，∴∠DEA＝∠EAD′，∴∠DAE＝∠EAD′＝∠DEA＝∠D′EA，∴∠DAD′＝∠DED′，∴四边形DAD′E是平行四边形，∴DE＝AD′.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC，∴CE＝D′B，CE∥D′B，∴四边形BCED′是平行四边形；(2)∵AD＝AD′，∴▱DAD′E是菱形．∴D与D′关于AE对称．连接BD交AE于P，则BD的长即为PD′＋PB的最小值，过D作DG⊥BA于G.∵CD ∥AB ，∴∠DAG ＝∠CDA ＝60°. ∵AD ＝1，∴AG ＝12，DG ＝32，BG ＝52，∴BD ＝DG 2＋BG 2＝7， ∴PD ′＋PB 的最小值为7.5．(资阳中考)如图，在平行四边形ABCD 中，点A ，B ，C 的坐标分别是(1，0)，(3，1)，(3，3)，双曲线y ＝kx(k ≠0，x ＞0)过点D.(1)求双曲线的解析式；(2)作直线AC 交y 轴于点E ，连接DE ，求△CDE 的面积．解：(1)∵▱ABCD 中，点A ，B ，C 的坐标分别是(1，0)，(3，1)，(3，3)， ∴点D 的坐标为(1，2)． ∵点D 在双曲线y ＝kx 上，∴k ＝1×2＝2，∴双曲线的解析式为y ＝2x ；(2)∵直线AC 交y 轴于点E ， ∴点E 的横坐标为0. ∵AD ＝2，∵S △ADC ＝12·(3－1)·AD ＝2，∴S △CDE ＝S △EDA ＋S △ADC ＝1＋2＝3.。

1.3平行四边形,矩形,菱形,正方形的性质和判定7