高三一轮函数单元检测
高考数学一轮复习单元双优测评卷__第三单元函数的概念与性质B卷含解析
第三单元 函数的概念与性质B 卷 培优提能过关卷一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．（2021·全国高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ,()2f x +为偶函数,()21f x +为奇函数,则（ ） A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f =2．（2021·全国高考真题（理））设函数()f x 的定义域为R,()1f x +为奇函数,()2f x +为偶函数,当[]1,2x ∈时,2()f x ax b =+．若()()036f f +=,则92f ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A ．94-B ．32-C ．74D ．523．（2021·全国高考真题（理））设函数1()1xf x x-=+,则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()11f x --B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++4．高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号.设x ∈R ,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则[]y x =称为高斯函数.例如：[]5,16-=-,[]3π=.已知函数()21xf x x =+,则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为（ ） A ．{}1-B ．{}1,0-C ．{}1D ．{}0,15．（2021·湖北襄阳市·襄阳四中高三其他模拟）设奇函数f (x )在(0,+∞)上为增函数,且f (1)=0,则不等式(2021)(2021)02021f x f x x ---<-的解集为（ ）A ．()2020,20212,()022-⋃+∞B ．()(,20202021,2023)-∞⋃C ．()(),20202022,-∞⋃+∞D ．()()2020,20212021,2022⋃6．对于函数y ＝f （x ）,其定义域为D ,如果存在区间[m ,n ]⊆D ,同时满足下列条件：①f （x ）在[m ,n ]上是单调函数；②当f （x ）的定义域为[m ,n ]时,值域也是[m ,n ],则称区间[m ,n ]是函数f （x ）的“K 区间”.若函数f （x a （a ＞0）存在“K 区间”,则a 的取值范围为（ ） A ．13,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦D ．（14,1] 7．已知定义域为R 的偶函数y ＝f （x ）﹣3x 在[0,+∞）单调递增,若f （m ）+3≤f （1﹣m ）+6m ,则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞,2]B ．[2,+∞）C ．[12,+∞） D ．（﹣∞,12] 8．（2021·四川宜宾市·高三三模（文））已知()y f x =是定义在R 上的奇函数,满足()()12f x f x +=-,下列说法：①()y f x =的图象关于3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称； ②()y f x =的图象关于32x =对称； ③()y f x =在[]0,6内至少有5个零点；④若()y f x =在[]0,1上单调递增,则它在[]2021,2022上也是单调递增. 其中正确的是（ ） A ．①④ B ．②③C ．②③④D ．①③④二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．9．（2021·重庆高三其他模拟）定义在R 上的函数()f x 满足()502f x f x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭,且54y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数,则下列关于函数()f x 的说法中一定正确的是（ ）A ．周期为52B ．图象关于点5,04⎛⎫-⎪⎝⎭对称C ．是偶函数D ．图象关于直线54x =对称 10．（2021·武汉市第一中学高三二模）若函数()y f x =对定义域D 内的每一个1x ,都存在唯一的2x D ∈,使得()()121f x f x =成立,则称()f x 为“自倒函数”．则下列结论正确的是（ ）A ．f (x )＝sin x （x ∈[－2π,2π]）是“自倒函数” B ．“自倒函数”()f x 可以是奇函数 C ．“自倒函数”()f x 的值域可以是RD ．若()()y f x y g x ==，都是“自倒函数”且定义域相同,则()()y f x g x =⋅也是“自倒函数”11．（2021·重庆南开中学高三模拟）已知函数()1y f x =-的图象关于直线1x =-对称,且对x ∀∈R 有()()4f x f x +-=.当(]0,2x ∈时,()2f x x =+.则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的周期8T =B ．()f x 的最大值为4C ．()20212f =D ．()2f x +为偶函数12．假设存在两个物种,前者有充足的食物和生存空间,而后者仅以前者为食物,则我们称前者为被捕食者,后者为捕食者,现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以()x t 表示,被捕食者的数量以()y t 表示.下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系,其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法不．正确的是（ ）A ．若在1t 、2t 时刻满足：()()12y t y t =,则()()12x t x t =B ．如果()y t 数量是先上升后下降的,那么()x t 的数量一定也是先上升后下降C ．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D ．被捕食者数与捕食者数总和达到最大值时,捕食者的数量也会达到最大值三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．13．（2021·浙江高考真题）已知R a ∈,函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦,则a =___________.14．（2021·全国高考真题）已知函数()()322xx xa f x -=⋅-是偶函数,则a =______.15．（2021·河南洛阳市·高三模拟（理））若存在实常数k 和b ,使得()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立,则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“分隔直线”.已知函数()()2f x x x R =-∈,()()10g x x x=>,若()f x 和()g x 之间存在“分隔直线”,则b 的取值范围为___________.16．（2021·青海西宁市·高三二模（理））已知函数2()2f x x ax a =-++,a ∈R ,若()f x 在区间[1,1]-上的最大值是3,则a 的取值范围是______.四、解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）设函数() 3 1 2 2f x x x =-++的最小值M （1）求M ；（2）已知,,a b c 为正实数,且9a b c M ++=,求证242424(1)(1)(1)8a b c---≥．18．（2021·上海高三模拟）若函数f (x )对任意的x ∈R ,均有f (x ﹣1)+f (x +1)≥2f (x ),则称函数f (x )具有性质P .（1）判断下面两个函数是否具有性质P ,并说明理由； ①y =3x ；②y =x 3；（2）若函数g (x )=2(),,x x n x Qx x -∈⎧⎨⎩为无理数,试判断g (x )是否具有性质P ,并说明理由；（3）若函数f (x )具有性质P ,且f (0)=f (n )=0(n >2,n ∈N *)求证：对任意1≤k ≤n ﹣1,k ∈N *,均有f (k )≤0.19．（2021·上海市建平中学高三三模）上海市某地铁项目正在紧张建设中,通车后将给更多市民出行带来便利,已知该线路通车后,地铁的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤,*t N ∈,经测算,在某一时段,地铁载客量与发车时间间隔t 相关,当1020t ≤≤时地铁可达到满载状态,载客量为1200人,当210t ≤<时,载客量会减少,减少的人数与(10)t -的平方成正比,且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人,记地铁载客量为()p t .（1）求()p t 的解析式；（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为6()3360360p t Q t-=-（元）,问当发车时间间隔为多少时,该时段这条线路每分钟的净收益最大？20．（2021·江西九江市·九江一中高三其他模拟（理））已知()21f x x x a =+--. （1）若2a =-时,求()0f x <的解集；（2）当1,2x a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时,不等式()2f x x a ≤+恒成立,求a 的取值范围．21．（2021·上海高三一模）已知实数,a b 是常数,函数())f x a b =.（1）求函数()f x 的定义域,判断函数的奇偶性,并说明理由；（2）若3,1a b =-=,设t =记t 的取值组成的集合为D ,则函数()f x 的值域与函数321()(3)2g t t t =-(t D ∈)的值域相同.试解决下列问题： （i ）求集合D ； （ii ）研究函数321()(3)2g t t t =-在定义域D 上是否具有单调性？若有,请用函数单调性定义加以证明；若没有,请说明理由.并利用你的研究结果进一步求出函数()f x 的最小值.22．设()()322f x x ax x x =+-∈R ,其中常数a ∈R .（1）判断函数()y f x =的奇偶性,并说明理由；（2）若不等式()332f x x >在区间1[,1]2上有解,求实数a 的取值范围； （3）已知：若对函数()y h x =定义域内的任意x ,都有()()22h x h m x n+-=,则函数()y h x =的图象有对称中心(),m n .利用以上结论探究：对于任意的实数a ,函数()y f x =是否都有对称中心？若是,求出对称中心的坐标(用a 表示)；若不是,证明你的结论一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．（2021·全国高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ,()2f x +为偶函数,()21f x +为奇函数,则（ ） A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f =【答案】B【解析】因为函数()2f x +为偶函数,则()()22f x f x +=-,可得()()31f x f x +=-,因为函数()21f x +为奇函数,则()()1221f x f x -=-+,所以,()()11f x f x -=-+, 所以,()()()311f x f x f x +=-+=-,即()()4f x f x =+, 故函数()f x 是以4为周期的周期函数,因为函数()()21F x f x =+为奇函数,则()()010F f ==, 故()()110f f -=-=,其它三个选项未知. 故选：B.2．（2021·全国高考真题（理））设函数()f x 的定义域为R,()1f x +为奇函数,()2f x +为偶函数,当[]1,2x ∈时,2()f x ax b =+．若()()036f f +=,则92f ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A ．94-B ．32-C ．74D ．52【答案】D【解析】因为()1f x +是奇函数,所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数,所以()()22f x f x +=-+②．令1x =,由①得：()()()024f f a b =-=-+,由②得：()()31f f a b ==+, 因为()()036f f +=,所以()462a b a b a -+++=⇒=-,令0x =,由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=,所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 思路二：从周期性入手由两个对称性可知,函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D ．3．（2021·全国高考真题（理））设函数1()1xf x x-=+,则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()11f x -- B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++【答案】B【解析】由题意可得12()111x f x x x-==-+++, 对于A,()2112f x x--=-不是奇函数；对于B,()211f x x-=+是奇函数； 对于C,()21122f x x +-=-+,定义域不关于原点对称,不是奇函数； 对于D,()2112f x x ++=+,定义域不关于原点对称,不是奇函数. 故选：B4．高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号.设x ∈R ,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则[]y x =称为高斯函数.例如：[]5,16-=-,[]3π=.已知函数()21xf x x =+,则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为（ ） A ．{}1- B ．{}1,0-C ．{}1D ．{}0,1【答案】B【解析】因为x ∈R ,()()f x f x -=-, 所以()f x 是R 上的奇函数. 当0x >时,()210122x x f x x x <=≤=+, 所以当x ∈R 时,()11,22f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, 从而()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为{}1,0-. 故选：B5．（2021·湖北襄阳市·襄阳四中高三其他模拟）设奇函数f (x )在(0,+∞)上为增函数,且f (1)=0,则不等式(2021)(2021)02021f x f x x ---<-的解集为（ ）A ．()2020,20212,()022-⋃+∞B ．()(,20202021,2023)-∞⋃C ．()(),20202022,-∞⋃+∞D ．()()2020,20212021,2022⋃【答案】D【解析】解：因为()f x 为奇函数,则()()f x f x -=-,所以(2021)(2021)02021f x f x x ---<-,等价于2(2021)02021f x x -<-,即2021x -与()2021f x -异号,即()2021020210f x x ⎧->⎨-<⎩或()2021020210f x x ⎧-<⎨->⎩,又()f x 在()0,∞+上单调递增,且()10f =,所以()f x 在(),0-∞上单调递增,且()10f -=若()20210f x -<,则020211x <-<或20211x -<- 若()20210f x ->,则120210x -<-<或20211x ->若()2021020210f x x ⎧-<⎨->⎩,所以2021120210x x -<-⎧⎨->⎩或02021120210x x <-<⎧⎨->⎩,解得20212022x <<；若()2021020210f x x ⎧->⎨-<⎩,所以2021120210x x ->⎧⎨-<⎩或12021020210x x -<-<⎧⎨-<⎩,解得20202021x <<；综上原不等式的解集为()()2020,20212021,2022⋃ 故选：D6．对于函数y ＝f （x ）,其定义域为D ,如果存在区间[m ,n ]⊆D ,同时满足下列条件：①f （x ）在[m ,n ]上是单调函数；②当f （x ）的定义域为[m ,n ]时,值域也是[m ,n ],则称区间[m ,n ]是函数f （x ）的“K 区间”.若函数f （xa （a ＞0）存在“K 区间”,则a 的取值范围为（ ） A ．13,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦D ．（14,1] 【答案】C【解析】()f x 为减函数,所以a na m==1.= 代人a n a m ==,得11a n a m ⎧=--⎪⎨=--⎪⎩问题转化为函数y a =与函数21(0)y x x x =-+≥有两个交点结合图像可知3,14a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选：C7．已知定义域为R 的偶函数y ＝f （x ）﹣3x 在[0,+∞）单调递增,若f （m ）+3≤f （1﹣m ）+6m ,则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞,2] B ．[2,+∞） C ．[12,+∞） D ．（﹣∞,12] 【答案】D【解析】解：设()()3g x f x x =-,由题意可知函数()g x 为偶函数,并且在[0,+∞）单调递增,由()3(1)6f m f m m +≤-+,得()3(1)3(1)f m m f m m -≤---,即()(1)g m g m ≤-, 所以()(1)g m g m ≤-, 因为()g x 在[0,+∞）单调递增,所以1m m ≤-,两边平方得22(1)m m ≤-,解得12m ≤, 所以实数m 的取值范围是（﹣∞,12], 故选：D8．（2021·四川宜宾市·高三三模（文））已知()y f x =是定义在R 上的奇函数,满足()()12f x f x +=-,下列说法：①()y f x =的图象关于3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称； ②()y f x =的图象关于32x =对称；③()y f x =在[]0,6内至少有5个零点；④若()y f x =在[]0,1上单调递增,则它在[]2021,2022上也是单调递增. 其中正确的是（ ） A ．①④ B ．②③C ．②③④D ．①③④【答案】D【解析】解：由于()y f x =是定义在R 上的奇函数,满足()()12f x f x +=-, 所以()()()3f x f x f x =-=--,整理得,()()3f x f x +=, 所以：()3()f x f x -+=-故对于①,函数()f x 的图象关于3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称,故①正确,②错误.对于③,函数()00f =,()30f =,()60f =, 由于()()()3f x f x f x =+=--,令32x =-,所以3322f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 整理得302f ⎛⎫=⎪⎝⎭,()332504.f f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,故③正确； 对于④,()()()2021673322f f f =⨯+=,所以函数()f x 在[]0,1上单调递增,则它在[]2021,2022上单调递增,故④正确； 故选：D.二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分． 9．（2021·重庆高三其他模拟）定义在R 上的函数()f x 满足()502f x f x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭,且54y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数,则下列关于函数()f x 的说法中一定正确的是（ ）A ．周期为52B ．图象关于点5,04⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．是偶函数 D ．图象关于直线54x =对称 【答案】BC【解析】由题知()52f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,若()f x 的周期为52,则()()f x f x =-,即()0f x =,显然不一定；由54y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭为奇函数知54f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象关于原点对称,故()f x 的图象关于5,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称,从而()52f x f x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭,又()52f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,∴5522f x f x ⎛⎫⎛⎫--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()f x 为偶函数；又由()52f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭知,()()52f x f x f x ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭,所以()f x 的图象关于点5,04⎛⎫⎪⎝⎭对称. 10．（2021·武汉市第一中学高三二模）若函数()y f x =对定义域D 内的每一个1x ,都存在唯一的2x D ∈,使得()()121f x f x =成立,则称()f x 为“自倒函数”．则下列结论正确的是（ ）A ．f (x )＝sin x （x ∈[－2π,2π]）是“自倒函数” B ．“自倒函数”()f x 可以是奇函数 C ．“自倒函数”()f x 的值域可以是RD ．若()()y f x y g x ==，都是“自倒函数”且定义域相同,则()()y f x g x =⋅也是“自倒函数” 【答案】AB【解析】对于A,()sin ,22f x x x ππ⎫⎡⎤=+∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎭,任取1,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,有[]1sin 1,1x ∈,∴()11sin f x x =且()11]f x ∈；由()()121f x f x =,得()()211f x f x ==即2sin x =,∴2sin x =且2sin x ∈,即2sin [1,1]x ∈-,显然存在唯一的2,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦满足题意. ∴()f x 是,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的自倒函数,所以A 正确； 对于B,当()f x 是奇函数时,不妨设1()f x x=,其中(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞, 则任取1(,0)(0,)x ∈-∞+∞,有()111(,0)(0,)f x x =∈-∞⋃+∞, 由()()1212111f x f x x x =⋅=得211x x =,其中(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞,∴()f x 是定义域上的自倒函数,所以B 正确；对于C,若自倒函数()f x 的值域是R ,则当()10?f x =时,不存在2x D ∈,使得()()121f x f x ⋅=成立,所以自倒函数()f x 的值域不可以是R ,命题不成立,所以C 错误；对于D,当()y f x =,()y g x =都是自倒函数,且定义域相同时,函数()()y f x g x =⋅不一定是自倒函数, 例如()()1f x g x x ==,其中(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞,则()()21y f x g x x=⋅=不是自倒函数,因为由2212111x x ⋅=,得22211x x =,∴211x x =±不唯一,故命题不成立,所以D 错误． 故选：AB ．11．（2021·重庆南开中学高三模拟）已知函数()1y f x =-的图象关于直线1x =-对称,且对x ∀∈R 有()()4f x f x +-=.当(]0,2x ∈时,()2f x x =+.则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的周期8T =B ．()f x 的最大值为4C ．()20212f =D ．()2f x +为偶函数【答案】ABD【解析】解：函数()1y f x =-的图象关于直线1x =-对称,∴函数()y f x =的图象关于直线2x =-对称, ∴()()22f x f x -+=--对x R ∀∈有()()4f x f x +-=,∴函数()y f x =的图象关于()0,2中心对称,∴()()2222f x f x -++=--+⎡⎤⎣⎦,即()()()44f x f x f x =--=--,又()()444f x f x --++=,即()()444f x f x --=-+,∴()()4f x f x +=-,∴()()()444f x f x f x ++=-+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,即()()8f x f x +=,()()22f x f x +=-+, ∴()f x 的周期8T =,选项A 正确；()2f x +为偶函数,选项D 正确；当(]0,2x ∈时,()2f x x =+,()()4f x f x +-=,∴当[)2,0x ∈-时,(]0,2x -∈,()24f x x +-+=,即()2f x x =+, ∴当[]2,2x ∈-时,()2f x x =+,又函数()y f x =的图象关于直线2x =-对称,∴在一个周期[]6,2-上,()()max 24f x f ==,()f x ∴在R 上的最大值为4,选项B 正确；()()()()()2021252855141121f f f f f =⨯+==+=-=-+=∴,选项C 错误.故选：ABD.12．假设存在两个物种,前者有充足的食物和生存空间,而后者仅以前者为食物,则我们称前者为被捕食者,后者为捕食者,现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以()x t 表示,被捕食者的数量以()y t 表示.下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系,其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法不．正确的是（ ）A ．若在1t 、2t 时刻满足：()()12y t y t =,则()()12x t x t =B ．如果()y t 数量是先上升后下降的,那么()x t 的数量一定也是先上升后下降C ．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D ．被捕食者数与捕食者数总和达到最大值时,捕食者的数量也会达到最大值 【答案】ABD【解析】由图可知,曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等,故A 不正确；在曲线上半段中观察到()y t 是先上升后下降,而()x t 是不断变小的,故B 不正确； 捕食者数量最大时是在图象最右端,最小值是在图象最左端,此时都不是被捕食者的数量的最值处,同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时,也不是捕食者数量取最值的时候,所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值,故C 正确； 当捕食者数量最大时在图象最右端,()()25,30x t ∈,()()0,50y t ∈,此时二者总和()()()25,80x t y t +∈,由图象可知存在点()10x t =,()100y t =,()()110x t y t +=,所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时,被捕食者数量也会达到最大值,故D 错误, 故选：ABD.三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．13．（2021·浙江高考真题）已知R a ∈,函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦,则a =___________. 【答案】2【解析】()()642233f ff f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦,故2a =, 故答案为：2.14．（2021·全国高考真题）已知函数()()322xx x a f x -=⋅-是偶函数,则a =______.【答案】1【解析】因为()()322xx xa f x -=⋅-,故()()322x x f x x a --=-⋅-,因为()f x 为偶函数,故()()f x f x -=, 时()()332222xx x x xa x a --⋅-=-⋅-,整理得到()()12+2=0x x a --,故1a =, 故答案为：115．（2021·河南洛阳市·高三模拟（理））若存在实常数k 和b ,使得()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立,则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“分隔直线”.已知函数()()2f x x x R =-∈,()()10g x x x=>,若()f x 和()g x 之间存在“分隔直线”,则b 的取值范围为___________. 【答案】[]0,4【解析】如下图所示：由图可知,21x kx b x-≤+≤,可得20x kx b ++≥对任意的x ∈R 恒成立, 则2140k b ∆=-≤,即24k b ≤,不等式210kx bx +-≤对任意的0x >恒成立,①若0k >,当x →+∞时,()21kx bx +-→+∞,不合乎题意； ②若0k =,则10bx -≤对任意的0x >恒成立,则1b x<,可得0b ≤, 又24k b ≥对任意的x ∈R 恒成立,则0b ≥,0b ∴=；③若0k <,则2240b k ∆=+≤,所以,421664b k b ≤≤,即()()()432646444160b b b b b b b b -=-=-++≤,解得04b ≤≤.综上所述,实数b 的取值范围是[]0,4. 故答案为：[]0,4.16．（2021·青海西宁市·高三二模（理））已知函数2()2f x x ax a =-++,a ∈R ,若()f x 在区间[1,1]-上的最大值是3,则a 的取值范围是______.【答案】(,0]-∞【解析】由题易知(0)23f a =+≤,即1a ≤,所以()1333f a a a a =-+=-+=, 又(1)|3|3f a a -=++≤, 所以0a ≤.下证0a ≤时,()f x 在[1,1]-上最大值为3.当(0,1]x ∈时,22()22f x x ax a x ax a =-++=-++,max ()(1)3f x f ==;当[1,0]x ∈-,若12a≤-,即2a ≤-, 则{}max ()max (1),(0)f x f f =-,满足; 若102a-<≤,即20a -<≤, 此时222122(2)332444a a a f a a a ⎛⎫=-+=-+=--+≤ ⎪⎝⎭, 而max()max (1),,(0)2a f x f f f ⎧⎫⎛⎫=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭,满足; 因此,0a ≤符合题意.四、解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）设函数() 3 1 2 2f x x x =-++的最小值M （1）求M ；（2）已知,,a b c 为正实数,且9a b c M ++=,求证242424(1)(1)(1)8a b c---≥． 【答案】（1）83=M ；（2）证明见解析. 【解析】（1）由题可得151,31()3,1351,1x x f x x x x x ⎧+≥⎪⎪⎪=-+-<<⎨⎪--≤-⎪⎪⎩,13x ≥时,8513x +≥,113x -<<时,8343x <-+<,1x ≤-时,514x --≥,于是有8,()3x R f x ∀∈≥,所以min 18()()33M f x f ===； （2）由（1）知24a b c ++=,可得24241a b c a a a -+-==,同理得241a c b b+-=,241a bc c+-=, 由基本不等式可得242424()()()(1)(1)(1)8b c c a a b a b c abc +++---=≥=当且仅当8a b c ===时取“=”,所以242424(1)(1)(1)8a b c---≥． 18．（2021·上海高三模拟）若函数f (x )对任意的x ∈R ,均有f (x ﹣1)+f (x +1)≥2f (x ),则称函数f (x )具有性质P .（1）判断下面两个函数是否具有性质P ,并说明理由； ①y =3x ；②y =x 3； （2）若函数g (x )=2(),,x x n x Qx x -∈⎧⎨⎩为无理数,试判断g (x )是否具有性质P ,并说明理由； （3）若函数f (x )具有性质P ,且f (0)=f (n )=0(n >2,n ∈N *)求证：对任意1≤k ≤n ﹣1,k ∈N *,均有f (k )≤0.【答案】（1）①具有性质P ,②不具有性质P ,理由见解析；（2）g (x )具有性质P ,理由见解析；（3）证明见解析.【解析】解：（1）①f (x ﹣1)+f (x +1)﹣2f (x )=3x ﹣1+3x +1﹣2×3x =3x (1323+-)>0,故①具有性质P ；②不具有性质P ,如x =﹣1时,f (x ﹣1)+f (x +1)=f (﹣2)+f (0)=﹣8,而2f (﹣1)=﹣2,不满足不等式,（2）1°当x 为有理数时,具有性质P ,理由如下：f (x ﹣1)+f (x +1)﹣2f (x )=(x ﹣1)2+(x +1)2﹣2x 2﹣n (x ﹣1+x +1﹣2x )=2≥0,2°当x 为无理数时,具有性质P ,理由如下：f (x ﹣1)+f (x +1)﹣2f (x )=(x ﹣1)2+(x +1)2﹣2x 2=2>0,综上可知g (x )具有性质P .（3）证明：假设f (x )为f （1）,f （2）,…,f (n ﹣1)中第一个大于0的值,则f (k )﹣f (k ﹣1)>0,因为函数f (x )具有性质P ,所以f (n +1)﹣f (n )≥f (n )﹣f (n ﹣1),所以f (n +1)﹣f (n )≥f (n )﹣f (n ﹣1)≥…≥f (k )﹣f (k ﹣1)>0,所以f (n )=[f (n )﹣f (n ﹣1)]+[f (n ﹣1)﹣f (n ﹣2)]+…+f （1）>0,与f (n )=0矛盾,所以假设错误,原命题正确,即对于任意的1≤k ≤n ﹣1,k ∈N *,均有f (k )≤0.19．（2021·上海市建平中学高三三模）上海市某地铁项目正在紧张建设中,通车后将给更多市民出行带来便利,已知该线路通车后,地铁的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤,*t N ∈,经测算,在某一时段,地铁载客量与发车时间间隔t 相关,当1020t ≤≤时地铁可达到满载状态,载客量为1200人,当210t ≤<时,载客量会减少,减少的人数与(10)t -的平方成正比,且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人,记地铁载客量为()p t .（1）求()p t 的解析式；（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为6()3360360p t Q t-=-（元）,问当发车时间间隔为多少时,该时段这条线路每分钟的净收益最大？【答案】（1）210200200,?210()()1200,1?020t t t p t t N t *⎧-++≤<=∈⎨≤≤⎩；（2）6分钟. 【解析】（1）由题意知21200(10),?210()?()1200,?1?020k t t p t t N t *⎧--≤<=∈⎨≤≤⎩,（k 为常数）, 因2(2)1200(102)120064560p k k =--=-=,则10k =,所以210200200,?210()()1200,1?020t t t p t t N t *⎧-++≤<=∈⎨≤≤⎩； （2）由6()3360360p t Q t -=-得26(10200200)3360360,?2103840360,1?020t t t t Q t t⎧-++--≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩, 即)3684060(),210(3840360,1020t t t Q t N t t*⎧-+≤<⎪⎪=∈⎨⎪-≤≤⎪⎩, ①当210t ≤<时,3684060()8406012120Q t t=-+≤-⨯=,当且仅当6t =等号成立； ②当1020t ≤≤时,3840360Q t=-在[10,20]上递减,当10t =时Q 取最大值24, 由①②可知,当发车时间间隔为6t =分钟时,该时段这条线路每分钟的净收益最大,最大为120元.20．（2021·江西九江市·九江一中高三其他模拟（理））已知()21f x x x a =+--.（1）若2a =-时,求()0f x <的解集；（2）当1,2x a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时,不等式()2f x x a ≤+恒成立,求a 的取值范围． 【答案】（1）()1,1-；（2）[)1,+∞．【解析】（1）当2a =-时,()212f x x x =+-+,则()0f x <即2120x x +-+<,212x x +<+,()()22212x x <++,21x <,解得11x -<<, 故当2a =-时,()0f x <的解集为()1,1-.（2）当1,2x a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时,()212131f x x x a x x a x a =+--=++-=+-, 不等式()2f x x a ≤+恒成立,即312x a x a +-≤+恒成立,312x a x a +-≤+,即21x a ≤-,因为x a ≤,所以21a a ≤-,解得1a ≥,a 的取值范围为[)1,+∞.21．（2021·上海高三一模）已知实数,a b 是常数,函数())f x a b =.（1）求函数()f x 的定义域,判断函数的奇偶性,并说明理由；（2）若3,1a b =-=,设t =记t 的取值组成的集合为D ,则函数()f x 的值域与函数321()(3)2g t t t =-(t D ∈)的值域相同.试解决下列问题： （i ）求集合D ；（ii ）研究函数321()(3)2g t t t =-在定义域D 上是否具有单调性？若有,请用函数单调性定义加以证明；若没有,请说明理由.并利用你的研究结果进一步求出函数()f x 的最小值.【答案】（1）定义域为[1,1]-,()f x 为偶函数,理由见解析；（2）（i）2]；（ii ）()g t 在D 上是减函数,证明见解析,()f x 最小值为2-.【解析】（1）实数,a b 是常数,函数())f x a b =,∴由2101010x x x +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩,解得11x -≤≤.∴函数的定义域是[1,1]-.对于任意[1,1]x ∈-,有[1,1]x -∈-,())f x a b -=)()a b f x ==,即()()f x f x -=对[1,1]x ∈-都成立(又()f x 不恒为零),∴函数()f x 是偶函数.（2）由3,1a b =-=,有()1)f x =.（i）t =11x -≤≤),则22t =+∴01≤≤,224(0)t t ≤≤≥,2t ≤≤.2]D ∴=.（ii ）由（i ）知：321()(3)2g t t t =-的定义域为2]D =. 对于任意的12,t t D ∈且12t t <,有32321211221()()[3(3)]2g t g t t t t t -=---2212112212121[()()3()()]2t t t t t t t t t t =-++--+22121122121122111()[(2)(2)()()]222t t t t t t t t t t t t =--+-+-+-1211221221111()[(2)(2)(2)(2)]222t t t t t t t t t t =--+-+-+-. 又12120,0,0t t t t >>-<且1220,20t t -≤-≤(这里二者的等号不能同时成立), ∴1211221221111()[(2)(2)(2)(2)]0222t t t t t t t t t t --+-+-+->,即1212()()0,()()g t g t g t g t ->>.∴函数()g t 在D 上是减函数.∴()()()32min 1223222g t g ==⨯-⨯=-. 又函数()f x 的值域与函数321()(3)2g t t t =-的值域相同, ∴函数()f x 的最小值为2-.22．设()()322f x x ax x x =+-∈R ,其中常数a ∈R . （1）判断函数()y f x =的奇偶性,并说明理由；（2）若不等式()332f x x >在区间1[,1]2上有解,求实数a 的取值范围； （3）已知：若对函数()y h x =定义域内的任意x ,都有()()22h x h m x n +-=,则函数()y h x =的图象有对称中心(),m n .利用以上结论探究：对于任意的实数a ,函数()y f x =是否都有对称中心？若是,求出对称中心的坐标(用a 表示)；若不是,证明你的结论.【答案】（1）答案见解析；（2）5(,)2+∞；（3）有对称中心,对称中心为322(,)3273a a a -+. 【解析】（1）当0a =时,()32f x x x =-,()32f x x x -=-+所以()()f x f x =--,()y f x =为奇函数.当0a ≠时,()11f a =-,()11f a -=+,因为()()11f f -≠±,所以()f x 既不是奇函数也不是偶函数.（2）原问题可化为122a x x >+在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解,则min122a x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭, 因为函数122y x x =+在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减, 所以min 52y =,所以52a >,所以a 的取值范围是5(,)2+∞.（3）假设存在对称中心(),m n ,则()()()3232222222x ax x m x a m x m x n +-+-+---=恒成立,得()()2232621248442m a x m am x m am m n +-+++-=恒成立所以23262012408442m a m am m am m n+=⎧⎪+=⎨⎪+-=⎩, 得3a m =-,322273a an =+,所以函数()y f x =有对称中心322(,)3273a a a -+。
高三单元检测(集合函数)
高三理科数学单元检测（集合、函数部分）一、选择题（每题5分）1、已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}，A={2,4,5,7}，B={3,4,5}。
则=)()(B C A C U U （ ）AA. {1,6}B. {4,5}C. {1,2,3,4,5,6,7}D. {1,2,3,6,7}2、已知b a ,都是实数，则“b a >”是“22b a >”的（ ）条件 DA. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 不充分也不必要3、函数13||-=x y 的定义域为[-1,2]，则其值域为（ ）CA. [2,8]B. [1,8]C. [0,8]D. [-1,8]4、已知关于x 的方程)2(log ax y a -=在区间[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是（ B ）A. (0,1)B. (1,2)C. (0,2)D. (2, ∞+) 5、已知函数⎩⎨⎧<>=0)(0log 2x x g x x y 是偶函数，则)(x g =（ ）C A. )(log 21x -B. x 2C. )(log 2x -D. )(log 2x -- 6、若-1<x<0，则下列各式成立的是（ ）B A. x x x 2.0)21(2>> B. x x x 2)21(2.0>> C. x x x )21(2.02>> D. xx x 22.0)21(>> 7、为了得到函数103lg +=x y 的图像，只需把函数x y lg =的图像（ ）CA. 向左平移3个单位，再向上平移1个单位B. 向右平移3个单位，再向上平移1个单位C. 向左平移3个单位，再向下平移1个单位D. 向右平移3个单位，再向下平移1个单位 8、函数)(x f 满足)1(+x f 和)(x f 都是偶函数，当10≤≤x 时，)1(log )(2+=x x f ，则方程21)(=x f 在[-5,5]上的根的个数是（ ）D A. 5 B. 6C. 8D. 10二、填空题（每题5分）9、已知命题p: 02,2≤++∈∃a ax x R x ,若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是 （0,1）10、⎪⎩⎪⎨⎧≤+->=12)24(1)(x x a x a x f x 是R 上的增函数，则a 的取值范围是 [4,8) 11、函数)(x f 为偶函数，在(∞-,0]上为减函数，不等式)2()1(2f x f >+的解为X<-1或 x>112、定义：区间],[n m 的长度为m n -。
人教A版高三数学文科一轮复习滚动检测试卷(五)含答案
高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测五第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设全集U＝R，集合A＝{x|x(x－2)＜0}，B＝{x|x＜a}，若A与B的关系如图所示，则实数a的取值范围是()A．[0，＋∞)B．(0，＋∞)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)2．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，则“同根函数”是() A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x)C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x)3．若命题p：函数y＝lg(1－x)的值域为R；命题q：函数y＝2cos x是偶函数，且是R上的周期函数，则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．(綈p)∨(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)4．(·河南名校联考)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a2＋b2＝2 016c2，则2tan A·tan Btan C(tan A＋tan B)的值为()C ．2 015D ．2 0165．《张邱建算经》有一道题：今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布( ) A ．110尺 B ．90尺 C ．60尺D ．30尺6．(·渭南模拟)已知椭圆x 24＋y 23＝1上有n 个不同的点P 1，P 2，…，P n ，且椭圆的右焦点为F ，数列{|P n F |}是公差大于11 000的等差数列，则n 的最大值为( ) A ．2 001 B ．2 000 C ．1 999D ．1 9987．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，其导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极大值点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为侧棱PC 上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是( )A ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为83B ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为83C ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为163D ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为1639．(·滨州一模)若对任意的x ＞1，x 2＋3x －1≥a 恒成立，则a 的最大值是( )A ．4B ．610．定义：|a ×b |＝|a ||b |sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，则|a ×b |等于( ) A ．－8 B ．8 C ．－8或8D ．611．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或712．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8，则lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为( )A ．[0,1－2lg 2]B ．[1，52]C ．[12，lg 2]D ．[－lg 2,1－2lg 2]第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．直线m ，n 均不在平面α，β内，给出下列命题：①若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α；②若m ∥β，α∥β，则m ∥α；③若m ⊥n ，n ⊥α，则m ∥α；④若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α.其中正确命题的个数是________．14．已知圆锥底面半径与球的半径都是1 cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为________ cm.15．设f (x )＝－cos x －sin x ，f ′(x )是其导函数，若命题“∀x ∈[π2，π]，f ′(x )<a ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．16．已知M 是△ABC 内的一点(不含边界)，且A B →·A C →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△BMA 和△MAC 的面积分别为x ，y ，z ，记f (x ，y ，z )＝1x ＋4y ＋9z，则f (x ，y ，z )的最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x ∈R )的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈[－π，－π6]时，求f (x )的取值范围．18．(12分)(·咸阳模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 是S n 和1的等差中项，等差数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝S 3.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1b n b n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：13≤T n ＜12.19.(12分)如图，已知点P 在圆柱OO 1的底面圆O 上，AB 、A 1B 1分别为圆O 、圆 O 1的直径且AA 1⊥平面P AB . (1)求证：BP ⊥A 1P ；(2)若圆柱OO 1的体积V ＝12π，OA ＝2，∠AOP ＝120°，求三棱锥A 1－APB 的体积．20．(12分)已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极植．21.(12分)如图，已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是直角梯形，AB ⊥BC ，AB ∥CD ，E ，F 分别是棱BC ，B 1C 1上的动点，且EF ∥CC 1，CD ＝DD 1＝1，AB ＝2，BC ＝3.(1)证明：无论点E 怎样运动，四边形EFD 1D 都是矩形； (2)当EC ＝1时，求几何体A －EFD 1D 的体积．22．(12分)已知向量a ＝(1,1)，向量a 与向量b 的夹角为3π4，且a ·b ＝－1.(1)求向量b ；(2)若向量b 与q ＝(1,0)共线，向量p ＝(2cos 2C2，cos A )，其中A ，B ，C 为△ABC 的内角，且A ，B ，C 依次成等差数列，求|b ＋p |的取值范围．答案解析1．C 2.A 3.A 4.C 5.B6．B [由椭圆方程知a ＝2，c ＝1，因为|P n F |min ＝a －c ＝1，|P n F |max ＝a ＋c ＝3，所以公差d ＝|P n F |－|P 1F |n －1≤3－1n －1＝2n －1，n －1≤2d <2 000，故n <2 001.因为n ∈N ＋，所以n max ＝2 000.故选B.] 7．B 8.C9．B [a ≤x 2＋3x －1对x ∈(1，＋∞)恒成立，即a ≤(x 2＋3x －1)min ，x 2＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋4x －1＝(x －1)＋4x －1＋2，∵x ＞1，∴(x －1)＋4x －1＋2≥2(x －1)·4x －1＋2＝6，当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时取“＝”，∴a ≤6，∴a 的最大值为6，故选B.]10．B [由|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6， 可得2×5cos θ＝－6⇒cos θ＝－35.又θ∈[0，π]，所以sin θ＝45.从而|a ×b |＝2×5×45＝8.]11．A [因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，设过点(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x30)，则在该点处的切线斜率为k＝3x20，所以切线方程为y－x30＝3x20(x－x0)，即y＝3x20x－2x30.又(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝32.当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋154x－9相切，可得a＝－2564，当x0＝32时，由y＝274x－274与y＝ax2＋154x－9相切，可得a＝－1.]12．A[如图所示，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≤3x－2，x－2y＋1≤0，2x＋y≤8确定的可行域．因为lg(y＋1)－lg x＝lgy＋1x，设t＝y＋1x，显然，t的几何意义是可行域内的点P(x，y)与定点E(0，－1)连线的斜率．由图可知，点P在点B处时，t取得最小值；点P在点C处时，t取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x－2y＋1＝0，2x＋y＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝3，y＝2，即B(3,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y＝3x－2，2x＋y＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝2，y＝4，即C(2,4)．故t 的最小值为k BE ＝2－(－1)3＝1，t 的最大值为k CE ＝4－(－1)2＝52，所以t ∈[1，52]．又函数y ＝lg x 为(0，＋∞)上的增函数， 所以lg t ∈[0，lg 52]，即lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为[0，lg 52]．而lg 52＝lg 5－lg 2＝1－2lg 2，所以lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为[0,1－2lg 2]． 故选A.] 13．4解析 对①，根据线面平行的判定定理知，m ∥α；对②，如果直线m 与平面α相交，则必与β相交，而这与m ∥β矛盾，故m ∥α； 对③，在平面α内取一点A ，设过A 、m 的平面γ与平面α相交于直线b . 因为n ⊥α，所以n ⊥b ， 又m ⊥n ，所以m ∥b ，则m ∥α； 对④，设α∩β＝l ，在α内作m ′⊥β， 因为m ⊥β，所以m ∥m ′，从而m ∥α. 故四个命题都正确． 14.17解析 由题意可知球的体积为4π3×13＝4π3，圆锥的体积为13×π×12×h ＝π3h ，因为圆锥的体积恰好也与球的体积相等， 所以4π3＝π3h ，所以h ＝4，圆锥的母线长为12＋42＝17.15．(2，＋∞)解析 f ′(x )＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)，π4≤x －π4≤3π4，最大值为2，a > 2.16．36解析 由题意得A B →·A C →＝|A B →|·|A C →|cos ∠BAC ＝23，则|A B →|·|A C →|＝4，∴△ABC 的面积为12|A B →|·|A C →|·sin ∠BAC ＝1，x ＋y ＋z ＝1，∴f (x ，y ，z )＝1x ＋4y ＋9z ＝x ＋y ＋z x ＋4(x ＋y ＋z )y ＋9(x ＋y ＋z )z ＝14＋(y x ＋4x y )＋(9x z ＋z x )＋(4zy ＋9y z )≥14＋4＋6＋12＝36(当且仅当x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立)． 17．解 (1)由图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1， 将(π6，1)代入得1＝sin(π6＋φ)， 而－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3，因此函数f (x )＝sin(x ＋π3)．(2)由于x ∈[－π，－π6]，－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin(x ＋π3)≤12，所以f (x )的取值范围是[－1，12]．18．(1)解 ∵a n 是S n 和1的等差中项， ∴S n ＝2a n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)＝2a n －2a n －1.∴a n ＝2a n －1，即a na n －1＝2，∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝2n －1，S n ＝2n －1.设{b n }的公差为d ，b 1＝a 1＝1，b 4＝1＋3d ＝7， ∴d ＝2，∴b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)证明 c n ＝1b n b n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)． ∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1， ∵n ∈N *，∴T n ＝12(1－12n ＋1)＜12，T n －T n －1＝n 2n ＋1－n －12n －1＝1(2n ＋1)(2n －1)＞0，∴数列{T n }是一个递增数列， ∴T n ≥T 1＝13，综上所述，13≤T n ＜12.19．(1)证明 易知AP ⊥BP ， 由AA 1⊥平面P AB ，得AA 1⊥BP ， 且AP ∩AA 1＝A ，所以BP ⊥平面P AA 1， 又A 1P ⊂平面P AA 1，故BP ⊥A 1P .(2)解 由题意得V ＝π·OA 2·AA 1＝4π·AA 1＝12π，解得AA 1＝3. 由OA ＝2，∠AOP ＝120°， 得∠BAP ＝30°，BP ＝2，AP ＝23， ∴S △P AB ＝12×2×23＝23，∴三棱锥A 1－APB 的体积V ＝13S △P AB ·AA 1＝13×23×3＝2 3. 20．解 (1)对f (x ) 求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x， 由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ， 知f ′(1)＝－34－a ＝－2， 解得a ＝54. (2)由(1)知，f (x )＝x 4＋54x －ln x －32， 则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2， 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5，因x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数， 由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5.21．(1)证明 (1)在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DD 1∥CC 1， ∵EF ∥CC 1，∴EF ∥DD 1，又∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面ABCD ∩平面EFD 1D ＝ED ，平面A 1B 1C 1D 1∩平面EFD 1D ＝FD 1，∴ED ∥FD 1，∴四边形EFD 1D 为平行四边形，∵侧棱DD 1⊥底面ABCD ，又DE ⊂平面ABCD ，∴DD 1⊥DE ，∴四边形EFD 1D 为矩形．(2)解 连接AE ，∵四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，∴侧棱DD 1⊥底面ABCD ，又AE ⊂平面ABCD ，∴DD 1⊥AE ，在Rt △ABE 中，AB ＝2，BE ＝2，则AE ＝22， 在Rt △CDE 中，EC ＝1，CD ＝1，则DE ＝ 2. 在直角梯形ABCD 中，AD ＝BC 2＋(AB －CD )2＝10. ∴AE 2＋DE 2＝AD 2，即AE ⊥ED ，又∵ED ∩DD 1＝D ，∴AE ⊥平面EFD 1D ， 由(1)可知，四边形EFD 1D 为矩形，且DE ＝2，DD 1＝1， ∴矩形EFD 1D 的面积为SEFD 1D ＝DE ·DD 1＝2， ∴几何体A －EFD 1D 的体积为VA －EFD 1D ＝13SEFD 1D ·AE ＝13×2×22＝43. 22．解 (1)设b ＝(x ，y )，则a ·b ＝x ＋y ＝－1，① 又向量b 与向量a 的夹角为3π4，∴x 2＋y 2＝1，② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.∴b ＝(－1,0)或b ＝(0，－1)．(2)由向量b 与q ＝(1,0)共线知b ＝(－1,0)，由2B ＝A ＋C 得B ＝π3，A ＋C ＝2π3，0＜A ＜2π3， ∵b ＋p ＝(cos C ，cos A )，∴|b ＋p |2＝cos 2C ＋cos 2A ＝1＋cos 2A 2＋1＋cos 2C 2 ＝1＋12[cos 2A ＋cos(4π3－2A )] ＝1＋12cos(2A ＋π3)． ∵0＜A ＜2π3，π3＜2A ＋π3＜5π3， ∴－1≤cos(2A ＋π3)＜12，∴12≤1＋12cos(2A＋π3)＜54，即|b＋p|2∈[12，5 4)，∴|b＋p|∈[22，52)．。
高三数学一轮复习《函数与导数》练习题(含答案)
高三数学一轮复习《函数与导数》练习题（含答案）第I 卷（选择题）一、单选题1．已知奇函数()f x ，且()()g x xf x =在[)0,+∞上是增函数.若(2)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<2．已知命题:0,ln(1)0p x x ∀>+>；命题:q 在ABC 中，若3B π∠>，则3sin 2B ∠>.则下列复合命题正确的是（ ） A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝3．直线1y =，y x =，1x =及幂函数1y x -=将直角坐标系第一象限分为8个部分（如图所示），那么幂函数13y x -=的图像在第一象限中经过（ ）A ．③⑦B ．③⑧C ．④⑦D ．①⑤4．函数()()2108210x f x x x x +=≤≤++的值域为A ．11,86⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]6,8C ．11,106⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]6,105．若函数()()ln 1xf x ke x =-+的值域为R ，则实数k 的最大值为（ ）A ．1e -B ．2e -C ．eD ．2-6．甲、乙两人解关于x 的方程：2log log 20x x b c ++=，甲写错了常数b ，得到根为14x =，18x；乙写错了常数c ，得到根为12x =，64x =．那么原方程的根正确的是（ ）A ．4x =B ．3x =C ．4x =或8x =D ．2x =或3x =7．已知函数()22,0,()2,0x x x f x g x x x e x >⎧==-+⎨≤⎩（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())0g f x m -=恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则21322x x x --的最小值为（ ）A ．ln33-B ．3ln 22-C ．ln 23-D ．1-8．若,,(0,1)r s t ∈，且45log log lg r s t ==，则（ ） A ．1115104r s t << B ．1113104s r t << C ．1111054t s r <<D ．1111054r t s <<9．已知函数()(3lg f x x x =+，若当0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2sin 4sin 0f t f t θθ+->恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭10．已知函数()22x a xf x -=+的图象关于直线1x =对称，若()log ,04,6,46a x x g x x x ⎧<≤=⎨-<≤⎩且123x x x <<，()()()123g x g x g x ==，则123x x x 的取值范围为（ ）A ．()0,2B ．()0,4C ．()4,6D ．(]4,611．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()f x m =在[0,)π上有两个实根a ，b ，且||3a b π->，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭12．已知集合{}|1M x x =>，(){}2|lg 3N x y x x ==-，则M N ⋃为（ ）A ．[)3,+∞B ．()1,+∞C ．()1,3D ．()0,∞+第II 卷（非选择题）二、填空题13．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-，则()()22log 48log 3f f -=______. 14．已知函数()f x ，给出下列四个结论：①函数2yx 是偶函数；②函数1y x x=-是增函数；③函数()f x 定义域为I ，区间D I ⊆，若任意12,x x D ∈，都有1212()()0f x f x x x ->-，则()f x 在区间D 上单调递增； ④()f x 定义域为I ， “对于任意x I ∈，总有()f x M ≥ (M 为常数)”是“函数()f x 在区间I 上的最小值为M ”的必要不充分条件.其中正确结论的序号是___________. 15．若1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x m =.设函数(){}f x x x =-，则函数()f x 的最大值是______.16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log ba a Nb N =⇔=，现已知4log 6a =，36b =，则12a b+=_______． 三、解答题17．经普查，某种珍稀动物今年存量为1100只，而5年前存量为1000只． (1)在这5年中，若该动物的年平均增长率为a %，求a 的值（结果保留一位小数）； (2)如果保持上述的年平均增长率不变，那么还需要经过几年才能使该动物的存量达到1300只？（精确到1年）18．已知函数()sin xf x e x =⋅．（1）求函数在()()0,0f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值．19．已知实数0a ≠，函数()ln ||1f x ax =+. （Ⅰ）证明：对任意()0,a ∈+∞，()532f x a ≤-恒成立；（Ⅱ）如果对任意()0,x ∈+∞均有()x af x x a-≤+，求a 的取值范围.20．已知二次函数2()1()=-+∈f x x kx k R ．（1）若()f x 在区间[2,)+∞上单调递增，求实数k 的取值范围；（2）若()0f x ≥在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．21．已知，()(2)x f x x e =-.（1）当0a 时，求21()2()(1)2g x f x a x =+-的单调区间；（2）若当0a 时，不等式()21()242f x a x x +-+在[0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.22．已知函数()ln f x x x a =+，()ln g x x ax =-． （1）求函数()f x 的极值；（2）若函数()g x 有2个不同的零点，求实数a 的取值范围； （3）若对任意的1x >，()()0f x g x +>恒成立，求实数a 的最大值．23．已知函数321()3f x x x mx m =+++.（1）若1x 为()f x 的极值点，且()()12f x f x =（12x x ≠），求122x x +的值. （2）求证：当0m >时，()f x 有唯一的零点.24．已知幂函数()223mm f x x -++=，()m Z ∈为偶函数，且在区间()0,∞+上是增函数.函数()()224log log m g x x x =-，x ⎡∈⎣（1）求m 的值；（2）求()g x 的最小值参考答案1．C2．D3．D4．C5．B6．C7．A8．A9．D10．C11．D12．D 13．0 14．①③④ 15．12##0.516．2 17．(1) 1.9a = (2)9年18．（1）0x y -=．（2）()max 0f x =．()π4min f x -=19．（Ⅱ）(]0,120．（1）4k ≤；（2）k 2≤.21．（1）增区间为(1,)+∞，减区间为(,1)-∞（2）12a ≥ 22．（1）极小值11f a e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，没有极大值；（2）10,e ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）2．23．（1）1223x x +=-（2） 24．（1）1m =；（2）116-.。
2025版高考数学一轮总复习单元检测第三章一元函数的导数及其应用
单元检测一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列求导运算正确的是（C）A. B.C. D.解：对于,，故不正确.对于,，故不正确.对于,，故正确.对于,，故不正确.故选.2. 函数，则的单调递增区间是（B）A. B. C. D.解：函数的定义域为，求导得.由，解得.所以的单调递增区间是.故选.3. 曲线在,处的切线方程为（C）A. B. C. D.解：,.所以曲线在,处的切线方程为，即.故选.4. 函数的微小值点为（D）A. B. C. D.解：由题意，得的定义域为..令，得；令，得.所以在,上单调递减，在,上单调递增.所以函数在处取得微小值．故选.5. 在区间上有（B）A. 最大值B. 最大值C. 最小值D. 最小值解：，单调递增，在上有最小值，最大值 .故选.6. 如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为（D）A. B.C. D.解：由题图，可得函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.所以当时，；当时，.由，可得或所以.故选.7. 已知函数，若,,，则,,的大小关系是（D）A. B. C. D.解：易知的定义域为，且，所以为偶函数.当时，，则，所以在上单调递增.又，，所以.所以，即.故选.8. 依据以往阅历，一超市中的某一商品每月的销售量（单位：件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为20元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最大值为（B）A. 8 600元B. 8 060元C. 6 870元D. 4 060元解：设超市每月销售该商品所获得的利润为元.则，..令，得，则在上单调递增；令，得，则在上单调递减.所以.故选．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（AD）A. B. 是的微小值点C. 函数在上有极大值D. 是的极大值点解：由的图象，可知当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.因此有，是的极大值点，所以选项,正确.当或时，，函数单调递增.因此函数在上没有极大值，且不是的微小值点，所以选项,错误.故选.10. 已知函数，则（ACD）A. 为其定义域上的增函数B. 为偶函数C. 的图象与直线相切D. 有唯一的零点解：的定义域为，，所以为上的增函数，正确.，故为奇函数，错误.,，故在原点处的切线方程为，正确.为上的增函数，，所以有唯一的零点，正确.故选.11. 已知三次函数的导函数的图象如图，且，，则（ABC）A. B.C. D.解：依据导函数的图象，可知.当时，,当时，,当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故其大致图象如图所示.则有,所以，故正确.所以，故正确.由的图象，结合,知，，,所以，故正确.因为，所以.又在上单调递增，所以，故错误.故选.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. [2024年全国Ⅲ卷]设函数.若，则1.解：，则，整理得，解得.故填1.13. 已知函数,，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则解：由题意，得，.因为,的图象在公共点处有相同的切线，所以即解得所以.故填.14. 已知函数，则的最小值为3．解：.当时，单调递增，.当时，，.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以.综上，.故填3．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. （13分）求下列函数的导数：（1）；解：.（2）.[答案].16. （15分）已知函数.（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；解：由题意,得，.因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以，解得.（2）若函数在区间上单调递减，求的取值范围.[答案]因为函数在区间上单调递减，所以在区间上恒成立，故.当时，的最大值为.故的取值范围是.17. （15分）设函数.（1）求函数的解析式；解：，所以.（2）求函数的单调区间，极大值，微小值.[答案]令，解得或.因为，所以.当变更时，,变更状况如下.0 - 0极大值微小值所以的单调递增区间为,，单调递减区间为.的极大值为，微小值为.18. （17分）已知函数在处的极值为2，其中.（1）求，的值；解：，由题意，可得解得,.（2）证明：对随意的，.证明：.令，，则.令，则恒成立，所以在上单调递减，且，所以时，，所以，即证.19. （17分）已知函数．（1）求证：.解：证明：由题意，得.令，则.令，可得.当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以，即．（2）设，若在区间内恒成立，求的最小值．[答案]若在区间内恒成立，则.令，可得.当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以，因此.故的最小值为1．。
高三数学一轮复习单元评估检测(2) 第2章 函数、导数及其应用 理 新人教A版
单元评估检测（二）（第二章）（120分钟 150分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列图形中可以表示以M ＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N ＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( )2.(2012·韶关模拟)已知函数f(x)＝ax 3＋bx －3，若f(－2)＝7，则f(2) ＝( )(A)13 (B)－13 (C)7 (D)－73.(2011·广东高考)设函数f(x)和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )(A)f(x)＋|g(x)|是偶函数 (B)f(x)－|g(x)|是奇函数 (C)|f(x)|＋g(x)是偶函数 (D)|f(x)|－g(x)是奇函数4.已知函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)是定义在R 上的单调递减函数，则函数g(x)＝log a (x ＋1)的图象大致是( )5.设函数f(x)＝13x －lnx(x ＞0)，则y ＝f(x)( )(A)在区间(1e，1)，(1，e)内均有零点(B)在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点(C)在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点(D)在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点6.(2012·珠海模拟)函数y ＝f(x)的导函数y ＝f′(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是( )(A)y ＝a x(B)y ＝log a x (C)y ＝xe x (D)y ＝xlnx7.(易错题)设函数f(x)＝x·sinx，若x 1，x 2∈[－π2，π2]，且f(x 1)＞f(x 2)，则下列不等式恒成立的是( )(A)x 1＞x 2 (B)x 1＜x 2 (C)x 1＋x 2＞0 (D)x 12＞x 228.(2011·湖南高考)已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x 2＋4x －3.若有f(a)＝g(b)，则b 的取值范围为( )(A)[ 2－2，2＋2] (B)(2－2，2＋2) (C)[1,3] (D)(1,3)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把正确答案填在题中横线上)9.(2011·四川高考)计算(lg 14－lg25)÷10012 ＝ .10.定积分∫0ln2e xdx 的值为 .11.已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a)相切，则a 的值为 .12.当x∈(1,2)时，不等式(x －1)2＜log a x 恒成立，则实数a 的取值范围为 . 13.函数f(x)＝(x ＋a)3对任意t∈R，总有f(1＋t)＝－f(1－t)，则f(2)＋ f(－2)等于 .14.(2011·四川高考)函数f(x)的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f(x 1)＝f(x 2)时总有x 1＝x 2，则称f(x)为单函数.例如，函数f(x)＝2x ＋1(x∈R)是单函数.下列命题：①函数f(x)＝x 2(x∈R)是单函数；②若f(x)为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f(x 1)≠f(x 2)；③若f ：A→B 为单函数，则对于任意b∈B，A 中至多有一个元素与之对应； ④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数. 其中的真命题是 .(写出所有真命题的编号)三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(12分)(2012·广州模拟)设函数f(x)＝lg(2x ＋1－1)的定义域为集合A ，函数g(x)＝1－a 2－2ax －x 2的定义域为集合B.(1)求证：函数f(x)的图象关于原点成中心对称；(2)a≥2是A∩B＝ 的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)，并证明你的结论.16.(13分)两个二次函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 与g(x)＝－x 2＋2x ＋d 的图象有唯一的公共点P(1，－2).(1)求b ，c ，d 的值；(2)设F(x)＝(f(x)＋m)·g′(x)，若F(x)在R 上是单调函数，求m 的取值范围，并指出F(x)是单调递增函数，还是单调递减函数.17.(13分)(2011·北京高考)已知函数f(x)＝(x －k)2e x k. (1)求f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1e，求k 的取值范围.18.(14分)某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x(0<x<1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元). (1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. 19.(14分)已知幂函数f(x)＝2m 2m 3x －＋＋(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)＝14f(x)＋ax 3＋92x 2－b(x∈R)，其中a ，b∈R.若函数g(x)仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围.20.(14分)(预测题)已知f(x)＝xlnx ，g(x)＝12x 2－x ＋a.(1)当a ＝2时，求函数y ＝g(x)在[0,3]上的值域； (2)求函数f(x)在[t ，t ＋2](t>0)上的最小值；(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有xlnx>g′(x)＋1e x－2e 成立.答案解析1. 【解析】选C.由题意知，自变量的取值范围是[0,1]，函数值的取值范围也是[0,1]，故可排除A 、B ；再结合函数的定义，可知对于集合M 中的任意x ，N 中都有唯一的元素与之对应，故排除D.2.【解析】选B.∵f(－2)＝－a ·23－2b －3＝－(a ·23＋2b)－3＝7， ∴a ·23＋2b ＝－10，∴f(2)＝a ·23＋2b －3＝－10－3＝－13.3. 【解析】选A.∵g(x)是奇函数，其图象关于原点对称， ∴|g(x)|的图象关于y 轴对称，是偶函数， 又f(x)为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|是偶函数. 【方法技巧】函数奇偶性与函数图象的关系(1)函数的奇偶性，揭示了函数图象的对称性.已知函数的奇偶性可得函数图象的对称性；反之，已知函数图象的对称性可得函数的奇偶性.(2)从图象判断函数的奇偶性是很有效的方法.利用图象变换，可以很容易地画出形如|f(x)|或f(|x|)的函数图象，进而可判断函数的奇偶性.4. 【解题指南】由指数函数的单调性可得a 的取值范围，再判断函数g(x)＝log a (x ＋1)的图象.【解析】选D.由题可知0<a<1，函数g(x)的图象由函数y ＝log a x 的图象向左平移一个单位得到，故选D.5. 【解析】选D.∵f ′(x)＝13－1x ，∴x ∈(3，＋∞)时，y ＝f(x)单调递增； x ∈(0,3)时，y ＝f(x)单调递减. 而0＜1e＜1＜e ＜3，又f(1e )＝13e ＋1＞0，f(1)＝13＞0，f(e)＝e3－1＜0，∴在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点.【一题多解】选D.令g(x)＝13x ，h(x)＝lnx ，如图，作出g(x)与h(x)在x>0的图象，可知g(x)与h(x)的图象在(1e，1)内无交点，在(1，e)内有1个交点，故选D.【变式备选】已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4，x ≤1x 2－4x ＋3，x ＞1，则关于x 的方程f(x)＝log 2x 解的个数为( )(A)4 (B)3 (C) 2 (D)1【解析】选B.在同一直角坐标系中画出y ＝f(x)与y ＝log 2x 的图象，从图象中可以看出两函数图象有3个交点，故其解有3个.6.【解析】选D.由图知，导函数的定义域为(0，＋∞)， ∵(a x)′＝a xlna ，(xe x)′＝e x＋xe x，导函数的定义域为R ， ∴排除选项A ，C.由图象知导函数的值是先负后正，又(log a x)′＝1xlna ，导函数的符号与参数a 有关，排除B ，故选D.7.【解析】选D.显然f(x)为偶函数， 当x ∈(0，π2]时，f ′(x)＝sinx ＋xcosx ＞0，∴f(x)在(0，π2]上单调递增.又f(x 1)＞f(x 2)⇔f(|x 1|)＞f(|x 2|)⇔|x 1|＞|x 2|⇔x 12＞x 22.8.【解析】选B.∵f(a)>－1，∴g(b)>－1， ∴－b 2＋4b －3>－1，∴b 2－4b ＋2<0， ∴2－2<b<2＋ 2.故选B. 9.【解析】(lg 14－lg25)÷12100-＝lg 1425÷1100＝lg 1100÷110＝10×lg10－2＝－20. 答案：－2010.【解析】∫0ln2e xdx ＝e x|0ln2＝e ln2－e 0＝2－1＝1. 答案：111.【解析】y ′＝1x ＋a (x ＋a)′＝1x ＋a，设切点为(x 0，x 0＋1)，则⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝1x 0＋1＝ln(x 0＋a)，解得a ＝2. 答案：212.【解析】设y 1＝(x －1)2，则y 1的图象如图所示：设y 2＝log a x ，则当x ∈(1,2)时，y 2的图象应在y 1的图象上方， ∴a ＞1且log a 2≥(2－1)2＝1， ∴a ≤2，∴1＜a ≤2. 答案：{a|1＜a ≤2}13.【解析】令t ＝1，则f(2)＝－f(0). ∴(2＋a)3＝－a 3， ∴a ＝－1，∴f(2)＋f(－2)＝(2－1)3＋(－2－1)3＝－26. 答案：－26 14.【解析】答案：②③15.【解析】(1)A ＝{x|2x ＋1－1>0}，2x ＋1－1>0⇒x －1x ＋1<0⇒(x ＋1)(x －1)<0， ∴－1<x<1.∴A ＝(－1,1)，故f(x)的定义域关于原点对称. 又f(x)＝lg 1－x x ＋1，则f(－x)＝lg 1＋x －x ＋1＝lg(1－x x ＋1)－1＝－lg 1－xx ＋1，∴f(x)是奇函数.即函数f(x)的图象关于原点成中心对称. (2)B ＝{x|x 2＋2ax －1＋a 2≤0}，得－1－a ≤x ≤1－a ，即B ＝[－1－a,1－a]， 当a ≥2时，－1－a ≤－3,1－a ≤－1，由A ＝(－1,1)，B ＝[－1－a,1－a]，有A ∩B ＝∅. 反之，若A ∩B ＝∅，可取－a －1＝2，则a ＝－3，a 小于2. 所以，a ≥2是A ∩B ＝∅的充分不必要条件.16.【解题指南】(1)把点P 的坐标代入两函数解析式，结合x 2＋bx ＋c ＝－x 2＋2x ＋d 有唯一解，可求得b ，c ，d ，(2)若F(x)在R 上是单调函数，则F ′(x)在R 上恒有F ′(x)≥0或F ′(x)≤0.【解析】(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝－2－1＋2＋d ＝－2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝－3d ＝－3，且x 2＋bx ＋c ＝－x 2＋2x ＋d ，即2x 2＋(b －2)x ＋c －d ＝0有唯一解， 所以Δ＝(b －2)2－8(c －d)＝0，即b 2－4b －8c －20＝0， 消去c 得b 2＋4b ＋4＝0，解得b ＝－2，c ＝－1，d ＝－3. (2)由(1)知f(x)＝x 2－2x －1，g(x)＝－x 2＋2x －3， 故g ′(x)＝－2x ＋2， F(x)＝(f(x)＋m)·g ′(x) ＝(x 2－2x －1＋m)·(－2x ＋2)＝－2x 3＋6x 2－(2＋2m)x ＋2m －2， F ′(x)＝－6x 2＋12x －2－2m.若F(x)在R 上为单调函数，则F ′(x)在R 上恒有F ′(x)≤0或F ′(x)≥0成立. 因为F ′(x)的图象是开口向下的抛物线， 所以F ′(x)≤0在R 上恒成立，所以Δ＝122＋24(－2－2m)≤0，解得m ≥2， 即m ≥2时，F(x)在R 上为单调递减函数.17.【解析】(1)f ′(x)＝1k (x 2－k 2)e xk ，令f ′(x)＝0，得x ＝±k.当k ＞0时，f(x)与f ′(x)的情况如下：所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k ，＋∞)；单调递减区间是(－k ，k). 当k ＜0时，f(x)与f ′(x)的情况如下：所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k ，＋∞)；单调递增区间是(k ， －k).(2)当k ＞0时，因为f(k ＋1)＝ek 1k+＞1e ，所以不会有∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e. 当k ＜0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝4k2e .所以∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e ，等价于f(－k)＝4k 2e ≤1e ，解得－12≤k ＜0.故对∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e 时，k 的取值范围是[－12，0).18.【解析】(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x 2)件，则月平均利润y ＝a(1－x 2)·[20(1＋x)－15](元)，∴y 与x 的函数关系式为 y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1).(2)y ′＝5a(4－2x －12x 2)，令y ′＝0得x 1＝12，x 2＝－23(舍)，当0<x<12时y ′>0；12<x<1时y ′<0，∴函数y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1)在x ＝12处取得最大值.故改进工艺后，产品的销售价为20(1＋12)＝30元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.【变式备选】某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m 米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x 万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元. (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 【解析】(1)设需要新建n 个桥墩，(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx －1，所以y ＝f(x)＝256n ＋(n ＋1)(2＋x)x ＝256(m x －1)＋mx (2＋x)x＝256m x＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x)＝－256m x 2＋1212mx －＝m2x2(x 32－512).令f ′(x)＝0，得x 32＝512，所以x ＝64，当0<x<64时，f ′(x)<0，f(x)在区间(0,64)上为减函数； 当64<x<640时，f ′(x)>0，f(x)在区间(64,640)上为增函数， 所以f(x)在x ＝64处取得最小值，此时， n ＝m x －1＝64064－1＝9， 故需新建9个桥墩才能使y 最小.19.【解题指南】(1)由函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数，可得－m 2＋2m ＋3>0，再由f(x)为偶函数得m 的值.(2)g(x)仅在x ＝0处有极值，则意味着g ′(x)＝0有唯一一个变号零点是0.【解析】(1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴－m 2＋2m ＋3>0即m 2－2m －3<0，∴－1<m<3.又m ∈Z ，∴m ＝0,1,2，而m ＝0,2时，f(x)＝x 3不是偶函数，m ＝1时，f(x)＝x 4是偶函数， ∴f(x)＝x 4.(2)g(x)＝14x 4＋ax 3＋92x 2－b ， g ′(x)＝x(x 2＋3ax ＋9)，显然x ＝0不是方程x 2＋3ax ＋9＝0的根.为使g(x)仅在x ＝0处有极值，则有x 2＋3ax ＋9≥0恒成立，即有Δ＝9a 2－36≤0，解不等式，得a ∈[－2,2].这时，g(0)＝－b 是唯一极值，∴a ∈[－2,2].20.【解析】(1)∵g(x)＝12(x －1)2＋32，x ∈[0,3]， 当x ＝1时，g(x)min ＝g(1)＝32； 当x ＝3时，g(x)max ＝g(3)＝72， 故g(x)在[0,3]上的值域为[32，72]. (2)f ′(x)＝lnx ＋1，当x ∈(0，1e)，f ′(x)<0，f(x)单调递减， 当x ∈(1e，＋∞)，f ′(x)>0，f(x)单调递增. ①0<t<t ＋2<1e，t 无解； ②0<t<1e <t ＋2，即0<t<1e 时，f(x)min ＝f(1e) ＝－1e； ③1e ≤t<t ＋2，即t ≥1e时，f(x)在[t ，t ＋2]上单调递增，f(x)min ＝f(t)＝tlnt ； 所以f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1e ，0<t<1e tlnt ，t ≥1e .(3)g ′(x)＋1＝x ，所以问题等价于证明xlnx>x e x －2e(x ∈(0，＋∞))，由(2)可知f(x)＝xlnx(x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e ，当且仅当x ＝1e时取到； 设m(x)＝x e x －2e(x ∈(0，＋∞))， 则m ′(x)＝1－x e x ， 易得m(x)max ＝m(1)＝－1e，当且仅当x ＝1时取到，从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有xlnx>g ′(x)＋1e x －2e成立.。
高三函数单元测试题及答案
高三函数单元测试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的顶点坐标是：A. (-1, 0)B. (-1, 2)C. (1, -2)D. (1, 0)2. 若函数f(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x - 5在x=1处取得极值，那么f'(x)在x=1处的值为：A. 0B. 1C. -1D. 23. 已知函数g(x) = 3x + 5，若g(a) = 8，则a的值为：A. 1B. -1C. 3D. -34. 函数h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的单调递增区间是：A. (-∞, 1)B. (1, 2)C. (2, +∞)D. (-∞, 2)5. 若函数y = 2x - 3与直线y = 6 - x平行，则它们的交点坐标是：A. (1, 2)B. (3, 3)C. (5, 7)D. (7, 5)二、填空题（每题2分，共10分）6. 函数f(x) = x^2 + 2x + 1的最小值是______。
7. 若函数f(x) = sin(x) + cos(x)的最大值为√2，则x的值为______。
8. 函数f(x) = 1 / x在区间(-1, 0)上是______函数。
9. 若函数f(x) = log_2(x)的定义域为______。
10. 函数f(x) = |x - 2|的对称轴是______。
三、解答题（每题5分，共20分）11. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5的极值点。
12. 已知函数f(x) = x^2 + 2x - 3，求其在区间[-5, 4]上的值域。
13. 已知函数f(x) = 2x - 1与直线y = x + 2平行，求两直线的交点坐标。
14. 已知函数f(x) = √x，求其在x=4处的导数值。
四、综合题（每题10分，共10分）15. 已知函数f(x) = x^3 - 9x^2 + 26x - 16，求其在区间[1, 5]上的单调性，并求出极值。
高三一轮复习 函数的单调性、奇偶性、周期性综合测试一
高三年级数学周考试题(函数单调性、奇偶性、周期性部分)一、选择题(每小题5分，共60分)1、下列函数中，与函数y ＝1x有相同定义域的是( )． A 、f (x )＝ln x B 、f (x )＝1x C 、f (x )＝|x | D 、f (x )＝e x2、若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图 象可能是( )．3、下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )． A 、y ＝x 3B 、y ＝－x 2＋1 C 、y ＝|x |＋1 D 、y ＝2－|x |4、已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )．A 、2B 、45C 、12D 、95、已知函数f (x )的图象是两条线段(如图，不含端点)，则f( f(31) )＝( )．A 、－13B 、13C 、－23D 、236、设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)等于( )． A 、3 B 、1 C 、－3D 、－17、已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调增加，则满足f (2x －1)＜f (31) 的x 的取值范围是( )．A 、(31, 32 )B 、[31, 32 )C 、（21, 32 )D 、[21, 32 )8、函数f (x )= 3x +log 2(x +2)在区间[-1,1]上的最小值为 （ ）A ．3 + log 23B 13 C 、3D 、无最大值9、函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( )．A 、（∞-，23]B 、[23,∞+)C 、[23, 4)D 、(-1,23)10、若函数f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝( )．A 、12B 、23C 、34D 、111、已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋3－3a (x ＜0)，a x (x ≥0)(a ＞0，且a ≠1)是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是( )．A 、(31,1]B 、（0，23]C 、()2，3D 、（21, 32]12、已知定义在R 上的奇函数，f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为( )．A 、－1B 、1C 、0D 、2（实验班）函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4 的解集为( )．A 、(－1,1)B 、(－∞，－1)C 、(－1，＋∞)D 、(－∞，＋∞)二、填空题(每小题5分，共20-分)13已知函数f (x )、g (x )分别由下表给出：则f [g (1)]的值为________；满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值是________．14、若函数f (x )＝1222--+aax x 的定义域为R ，则a 的取值范围为________．15、已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是________．16、设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，当x ∈[0,5]时，函数y ＝f (x )的图 象如图所示，则使函数值y ＜0的x 的取值集合为 。
2022届高三高考数学一轮复习第三章： 函数专练—抽象函数【含答案】
2022届高三高考数学一轮复习第三章： 函数专练—抽象函数【含答案】一、单选题1．已知函数()f x 的定义域为实数集R ，对x R ∀∈，有(2)()f x f x +=-成立，且f （2）5=，则(100)(f = ) A ．10B ．5C ．0D ．5-2．已知()f x ，()g x 是定义在R 上的偶函数和奇函数，若2()()2x f x g x --=，则(1)(g -= )A ．5B ．5-C ．3D ．3-3．若定义在R 上的函数()f x 在(-∞，1]-上单调递减．若()(2)f x f x =--，且(4)0f -=，则不等式(3)0f x x-的解集为( ) A ．[4-，1][3-，)+∞ B ．[4-，1](0-⋃，1] C ．[4-，0][2，)+∞D ．[1-，0)[5，)+∞4．已知函数()f x 对任意x R ∈都有(6)()2f x f x f ++=（3），且(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，则(2016)(f = )A ．0B ．1-C ．1D ．65．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()2()()f x y f x y f x f y ++-=，且12()2f =，(0)0f ≠，则(2021)(f = )A ．2021B ．1C ．0D ．1-6．已知函数()f x ，对任意实数m 、n 都有()()()35f m n f m f n +=+-．已知f （1）31=，则f （1）f +（2）f +（3）()(*)f n n N +⋯+∈的最大值等于( ) A ．133B ．135C ．136D ．1387．定义在(1,1)-上的函数()f x 满足()()()2f x g x g x =--+，对任意的1x ，2(1,1)x ∈-，12x x ≠，恒有1212[()()]()0f x f x x x -->，则关于x 的不等式(31)()4f x f x ++>的解集为( ) A ．1(,)4-+∞B ．1(,0)4-C ．1(,)4-∞-D ．2(,0)3-8．已知(1)y f x =+是定义在R 上的奇函数，且(4)(2)f x f x +=-，当[1x ∈-，1)时，()2x f x =，则(2021)(2022)(f f += )A ．1B ．4C ．8D ．10二、多选题9．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，且()f x 为奇函数，()g x 的图象关于直线1x =对称，则下列说法中正确的有( ) A ．(y g f = ()1)x +为偶函数B ．(y g = f ())x 为奇函数C ．y f = (())g x 的图象关于直线1x =对称D ．y f = ((1))g x + 为偶函数10．已知定义域为R 的函数()f x 对任意的实数x ，y 满足()()()()cos 222f x f y x y x y f π++-=⋅，且1(0)(1)0,()12f f f ===，并且当1(0,)2x ∈时，()0f x >，则下列选项中正确的是( )A ．函数()f x 是奇函数B ．函数()f x 在11(,)22-上单调递增C ．函数()f x 是以2为周期的周期函数D ．5()02f -=11．已知函数()f x ，(x ∈-∞，0)(0⋃，)+∞，对于任意的x ，(y ∈-∞，0)(0⋃，)+∞，()()()f xy f x f y =+，则( )A ．()f x 的图象过点(1,0)和(1,0)-B ．()f x 在定义域上为奇函数C ．若当1x >时，有()0f x >，则当10x -<<时，()0f x <D ．若当01x <<时，有()0f x <，则()0f x >的解集(1,)+∞12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)(1)f x f x +=-，当01x 时，()f x x =，关于函数()|()|(||)g x f x f x =+，下列说法正确的是( ) A ．()g x 为偶函数 B ．()g x 在(1,2)上单调递增 C ．()g x 不是周期函数 D ．()g x 的最大值为2三、填空题13．已知函数()f x 对于任意的实数x ，y 满足()()()f x y f x f y +=⋅，且()f x 恒大于0，若f （1）3=，则(1)f -= ．14．已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足(8)()0f x f x ++=，且f （5）5=，则(2019)(2024)f f += ．15．已知()f x 是定义在(1,)+∞上的减函数，若对于任意的x ，(1,)y ∈+∞，均有()()(2)f x f y f x y +=+，且f （2）1=，则不等式()(1)20f x f x +--的解集为 ．16．已知函数()f x 满足：1(1)4f =，4()()()()(f x f y f x y f x y x =++-，)y R ∈，则(2022)f = ．四、解答题17．若函数()y f x =对任意x ，y R ∈，恒有()()()f x y f x f y +=+． （1）指出()y f x =的奇偶性，并给予证明； （2）如果0x >时，()0f x <，判断()f x 的单调性；（3）在（2）的条件下，若对任意实数x ，恒有22()(2)0f kx f x x +-+->成立，求k 的取值范围．18．定义在R 上的函数()f x ，对任意1x 、2x R ∈，满足下列条件： ①1212()()()2f x x f x f x +=+-；②f （2）4=．（1）是否存在一次函数()f x 满足条件①②，若存在，求出()f x 的解析式；若不存在，说明理由．（2）证明：()()2g x f x =-为奇函数．19．定义在(0,)+∞上的函数()f x 对于任意的x ，*y R ∈，总有()()()f x f y f xy +=，且当1x >时，()0f x <且f （e ）1=-． （1）求f （1）的值；（2）判断函数在(0,)+∞上的单调性，并证明； （3）求函数()f x 在21[,]e e上的最大值与最小值．20．已知函数()f x 对任意实数x ，y 恒有()()()f x y f x f y +=+，且(2)3f -=-．当0x >时，()0f x >．（1）证明：()f x 是R 上的增函数；（2）求关于x 的不等式22()()(3)3f ax f ax f x x -<-+的解集．答案1．解：根据题意，对x R ∀∈，有(2)()f x f x +=-成立，则(4)(2)()f x f x f x +=-+=， 则()f x 是周期为4的周期函数， 则(100)(496)f f f =+=（4）， 又由f （4）f =-（2）5=-， 故选：D ．2．解：根据题意，2()()2x f x g x --=， 则f （1）g -（1）2122-==，①21(1)(1)28f g +---==，又由()f x ，()g x 是定义在R 上的偶函数和奇函数，则(1)(1)f g f ---=（1）g +（1）8=，②联立①②可得：g （1）3=，()g x 是定义在R 上的奇函数，则(1)g g -=-（1）3=-，故选：D ．3．解：定义在R 上的函数()f x 在(-∞，1]-上单调递减． ()(2)1f x f x x =--⇒=-为对称轴，故f （2）(4)0f =-=，∴函数()f x 的大致图像为：当32x -或34x --，即5x 或1x -时，(3)0f x -，当432x -<-<，即15x -<<时，(3)0f x -<， ∴不等式(3)0f x x-的解集为：[1-，0)[5，)+∞， 故选：D ．4．解：因为函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称， 所以函数()y f x =的图象关于点(0,0)对称， 即函数()y f x =是奇函数，令3x =-得，(36)(3)2f f f -++-=（3）， 即f （3）f -（3）2f =（3），解得f （3）0=． 所以(6)()2f x f x f ++=（3）0=，即(6)()f x f x +=-， 所以(12)()f x f x +=，即函数的周期是12． 所以(2016)(12168)(0)0f f f =⨯==． 故选：A ．5．解：令0x y ==； 则(0)(0)2(0)(0)f f f f +=， 故2(0)((0)1)0f f -=； 故(0)1f =；((0)0f =舍） 令12x y ==； 则f （1）11(0)2()()22f f f +=，故f （1）0=；(1)(1)2()f x f x f x f ∴++-=（1）0=，即(1)(1)(2)()(4)()f x f x f x f x f x f x +=--⇒+=-⇒+=， 故()f x 的周期为4，即()f x 是周期函数． (2021)f f ∴=（1）0=，故选：C ．6．解：因为对任意实数m 、n 都有()()()35f m n f m f n +=+-，f （1）31=， 则(1)()f n f n f +=+（1）35()4f n -=-， 所以(1)()4f n f n +-=-，故{()}f n 是以31为首项，以4-为公差的等差数列，所以f （1）f +（2）f +（3）2(1)()31(4)2332n n f n n n n -+⋯+=+⨯-=-+， 对称轴为334n =，因为*n N ∈，所以当8n =时，f （1）f +（2）f +（3）()f n +⋯+取得最大值为136． 故选：C ．7．解：对任意的1x ，2(1,1)x ∈-，12x x ≠，恒有1212[()()]()0f x f x x x -->，所以()f x 是增函数，设()()2()()h x f x g x g x =-=--，则()h x 为奇函数，且在(1,1)-上为增函数， 所以不等式(31)()4f x f x ++>，等价于(31)2()20f x f x +-+->， 即(31)()0h x h x ++>，亦即(31)()()h x h x h x +>-=-， 可得13111131x x x x-<+<⎧⎪-<<⎨⎪+>-⎩，解得104x -<<，故选：B ．8．解：根据题意，(1)y f x =+是定义在R 上的奇函数，则()f x 的图象关于点(1,0)对称， 则有(2)()f x f x -=-，又由(4)(2)f x f x +=-，则(4)()f x f x +=-，则有(8)(4)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为8的周期函数， (2021)(52528)f f f =+⨯=（5）f =-（1）， (2022)(62528)f f f =+⨯=（6）f =-（2）(0)f =，()f x 的图象关于点(1,0)对称，则f （1）0=，则(2021)0f =，当[1x ∈-，1)时，()2x f x =，则(0)1f =，则(2022)1f =， 则(2021)(2022)f f f +=（1）(0)1f +=， 故选：A ．9．解：根据题意，()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，()g x 图象关于直线1x =对称，则(1)(1)g x g x -=+，据此分析：对于A ，对于(()1)y g f x =+，(()1)(1())(()1)g f x g f x g f x -+=-=+，则函数(()1)y g f x =+为偶函数，A 正确；对于B ，对于(())y g f x =，有(())(())(())g f x g f x g f x -=-≠-，不是奇函数，B 错误；对于C ，()g x 图象关于直线1x =对称，即(1)(1)g x g x +=-，则有((1))((1))f g x f g x +=-． 则函数(())y f g x =图象关于直线1x =对称，C 正确；对于D ，()g x 图象关于直线1x =对称，则(1)(1)g x g x -=+，对于((1))y f g x =+，有((1))((1))f g x f g x -+=+，则((1))f g x +为偶函数，D 正确；故选：ACD ．10．解：令y x =-，可得()()(0)cos 02f x f x f x π+-==，()()f x f x ∴-=-，函数()f x 是奇函数，故A 正确；设121122x x >>>-，则当1(0,)2x ∈时，()0f x >，∴12()()(2f x f x f +-=12)cos2x x-12()02x x π+>， 12()()f x f x ∴>，∴函数()f x 在11(,)22-上单调递增，故B 正确；(2)()(2)()22f x f x f x f x f +-++-==（1）cos(2)02π⨯=，可得(2)()f x f x +=，∴函数()f x 是以2为周期的周期函数，故C 正确；④511()()()1222f f f -=-=-=-，故D 不正确．故选：ABC ．11．解：对于A ，对任意的x ，(y ∈-∞，0)(0⋃，)+∞，()()()f xy f x f y =+， 令1x y ==，则(11)f f ⨯=（1）f +（1），解得f （1）0=， 再令1x y ==-，则[(1)(1)](1)(1)f f f -⨯-=-+-，解得(1)0f -=， 所以()f x 的图象过点(1,0)和(1,0)-，故A 正确；对于B ，令1y =-，则()()(1)f x f x f -=+-，所以()()f x f x -=， 又函数()f x 的定义域关于原点对称，所以函数()f x 为偶函数，故B 错误； 对于C ，设1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x >，则121x x >， 若当1x >时，有()0f x >，所以12()0x f x >， 所以111122222222()()()()()()()()0x x xf x f x f x f x f x f f x f x x x -=⋅-=+-=>， 所以12()()f x f x >，所以()f x 在(0,)+∞上的是增函数，由函数()f x 为偶函数，可得()f x 在(,0)-∞上是减函数，所以当10x -<<时，()(1)0f x f <-=，故C 正确； 对于D ，设1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，则1201x x <<， 当01x <<时，有()0f x <，则12()0x f x <， 所以111122222222()()()()()()()()0x x xf x f x f x f x f x f f x f x x x -=⋅-=+-=<， 所以12()()f x f x <，所以()f x 在(0,)+∞上的是增函数，由函数()f x 为偶函数，可得()f x 在(,0)-∞上是减函数， 因为当01x <<时，()0f x <，可得当10x -<<时，()0f x <，当1x <-时，()(1)0f x f >-=，当1x >时，()f x f >（1）0=，故D 错误． 故选：AC ．12．解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，函数()g x 的定义域为R ，且()|()|(||)|()|(||)|()|(||)()g x f x f x f x f x f x f x g x -=-+-=-+=+=，所以()g x 为偶函数，故A 正确；对于B ，因为(1)(1)f x f x +=-，所以()f x 的图象关于直线1x =对称， 又()f x 是奇函数，当01x 时，()f x x =，则()f x 的部分图象如图所示，在区间(1,2)上，()2f x x =-，在区间(1,2)上，()|()|(||)2(2)42g x f x f x x x =+=-=-，()g x 在区间(1,2)上为减函数，故B 错误； 对于C ，()f x 为奇函数，且()f x 的图象关于直线1x =对称，∴函数()f x 的最小正周期为4，∴当0x 时，2(),[4,24]()()0,(24,44]f x x k k g x k N x k k ∈+⎧=∈⎨∈++⎩，故()g x 不是周期函数，选项C 正确； 对于D ，当0x 时，易知()g x 的最大值为2，由偶函数的对称性可知，当0x <时，()g x 的最大值也为2，()g x ∴在整个定义域上的最大值为2，故选项D 正确．故选：ACD ．13．解：令0x y ==，则2(0)(0)f f =，解得(0)1f =或(0)0f =， 因为()f x 恒大于0，所以(0)1f =，令1x =，1y =-，则(0)f f =（1）(1)f ⋅-， 因为f （1）3=，所以1(1)3f -=．故答案为：13．14．解：根据题意，函数()y f x =满足(8)()0f x f x ++=，即(8)()f x f x +=-， 则有(16)(8)()f x f x f x +=-+=， 即函数()f x 是周期为16的周期函数， 则(2024)(812616)f f f =+⨯=（8）(0)f =-， (2019)(312616)f f f =+⨯=（3），又由()f x 为R 上的奇函数，则(0)0f =，f （3）(3)f f =--=（5）5=， 则(2019)(2024)(0)f f f f +=-+（3）5=， 故答案为：5．15．解：根据()()(2)x y f x f y f ++=，f （2）1=，可得211f =+=（2）f +（2）4(2)f =， 由()(1)20f x f x +--，得()(1)2f x f x +-，可化为214(2)(2)x f f -， 由()f x 是定义在(1,)+∞上的减函数，得214212211121x x x x --⎧⎪>⎪⎨->⎪⎪>⎩，解得522x <，所以不等式()(1)20f x f x +--的解集为5(2,]2．故答案为：5(2,]2．16．解：因为函数()f x 满足：1(1)4f =，4()()()()(f x f y f x y f x y x =++-，)y R ∈， 所以取1x =，0y =，得4f （1）(0)f f =（1）f +（1）12=， 所以1(0)2f =， 取1y =，有4()f x f （1）(1)(1)f x f x =++-，即()(1)(1)f x f x f x =++-，同理：(1)(2)()f x f x f x +=++， 所以(2)(1)f x f x +=--， 所以()(3)(6)f x f x f x =--=- 所以函数是周期函数，周期6T =， 故1(2022)(0)2f f ==．故答案为：12． 17．解：（1）()f x 是奇函数．令0x y ==，可知(00)(0)(0)f f f +=+，解得(0)0f =， 令y x =-，则()()()(0)0f x x f x f x f -=+-==， 所以()()f x f x -=-， 所以函数()f x 是奇函数． （2）()f x 在R 上是减函数．()f x 对任意x ，y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <．令12x x >，则120x x ->，且1212()()()0f x x f x f x -=+-<， 由（1）知，12()()0f x f x -<，所以12()()f x f x <． 所以()f x 在R 上是减函数．（2）因为对任意实数x ，恒有22()(2)0f kx f x x +-+->成立， 所以222()(2)(2)f kx f x x f x x >--+-=-+， 所以222kx x x <-+，即2(1)20k x x -+-<， 当10k -=，即1k =时，20x -<不恒成立， 当10k -≠，即1k ≠时，则1018(1)0k k -<⎧⎨=+-<⎩，解得78k <， 即实数k 的取值范围是7(,)8-∞．18．（1）解：假设存在一次函数()f x ，设()(0)f x kx b k =+≠，则1212()()f x x k x x b +=++，1212()()2()22f x f x k x x b +-=++-，所有22b b =-，2b =，f （2）24k b =+=，1k =，故满足条件的一次函数为：()2f x x =+；（2）证明：定义在R 上的函数()f x 对任意的1x 、2x R ∈，都有1212()()()2f x x f x f x +=+-成立，令120x x ==，则(00)(0)(0)2f f f +=+-，(0)2f ∴=，令1x x =，2x x =-，则()()()2f x x f x f x -=+--，[()2][()2]0f x f x ∴-+--=，即()()0g x g x +-=，于是()()g x g x -=-，()()2g x f x ∴=-为奇函数．19．解：（1）因为()()()f x f y f xy +=，令1x y ==，则有f （1）f +（1）f =（1），故f （1）0=；（2）()f x 在(0,)+∞上单调递减，证明如下：令1xy x =，2x x =，1y >，有xy x >，()0f y <，可得21()()()f x f y f x +=，则12()()()0f x f x f y -=<，故对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，若12x x >，则12()()f x f x <，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减；（3）因为()()()f x f y f xy +=，令x y e ==，则有2()f e f =（e ）f +（e ）2=-，令x e =，1y e =，则有f （1）f =（e ）1()0f e +=，所以1()1f e=， 因为函数()f x 在(0,)+∞上单调递减， 所以21()()1,()()2max min f x f f x f e e====-． 20．（1）证明：因为()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，则有(0)2(0)f f =，所以(0)0f =，令y x =-，则有(0)()()f f x f x =+-，所以()()f x f x -=-，故函数()f x 为奇函数，任取12x x R <∈，则210x x ->，所以2121()()()0f x f x f x x +-=->，因为()f x 是奇函数，所以21()()0f x f x ->，故()f x 是R 上的增函数；（2）解：不等式22()()(3)3f ax f ax f x x -<-+变形为22()()(3)(2)f ax f ax f x x f -<---， 因为()f x 为奇函数，故()()f ax f ax -=-，(2)f f --=（2），所以上式可变形为22()(32)f ax ax f x x -<-+，因为()f x 是R 上的增函数，所以2232ax ax x x -<-+，即(1)[(1)2]0x a x --+<，当10a -=，即1a =时，解得(,1)x ∈-∞；当10a -≠，即1a ≠时，方程(1)[(1)2]0x a x --+=的两个根为1221,1x x a ==--， 若211a =--，即1a =-时，解得x R ∈； 若10a ->，即1a >时，解得2(,1)1x a ∈--； 若10a -<，即1a <时，①当211a >--，即11a -<<时，解得2(,)(1,)1x a ∈-∞-+∞-； ②当211a <--，即1a <-时，解得2(,1)(,)1x a ∈-∞-+∞-。
高三数学一轮复习《函数的概念与性质》练习题 (含答案)
高三数学一轮复习《函数的概念与性质》练习题 （含答案）函数的概念及其表示一、单选题1.函数11y x =-的定义域是( )A. (0,2]B. (,1)(1,2]-∞⋃C. (1,)+∞D. [1,2]2.设函数21,1()2,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,则[(3)]f f =( )A ．15 B.3 C. 23 D. 1393.已知函数f (x +1)=3x +2,则f (x )的解析式( )A.3x -1B. 3x +1C. 3x +2D. 3x +44.下列各对函数表示同一函数的是( )(1) ()f x x =与2()g x =；(2) ()2f x x =-与()g x =(3) 2()(0)f x x x π=≥与2()(0)g r r r π=≥； (4) ()f x x =与,0(),0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩.A.(1)(2)(4)B.(2)(4)C.(3)(4)D.(1)(2)(3)(4)5.已知函数y = f (x )的定义域是[-2,3], 则y =f (2x -1)的定义域是() A. 5[0,]2 B. [1,4]- C. 1[,2]2- D. [5,5]-6.已知函数221,0()3,0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩,且0()3f x =,则实数0x 的值为( )A.-1B.1C.-1或1D.-1或-3二、多选题7.关于函数y =f (x ),以下说法正确的是( )A.y 是关于x 的函数B.对于不同的x ,y 的值也不同C.f (a )表示当x =a 时函数f (x )的值,是一个常量D.f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来8.若函数2(),(,0)(0,)1x f x x x =∈-∞⋃+∞+,则下列等式成立的是( ) A. 1()()f x f x = B. 1()()f x f x -= C.11()()f f x x = D. ()()f x f x -=- 三、填空题9.已知函数()1f x ax =+,且(2)1f =-,则(2)f -=_______.10.若函数2(21)2f x x x +=-,则(3)f =_______,()f x =___________.11.已知函数22,2()21,2x ax x f x x x ⎧+≥=⎨+<⎩,若[(1)]0f f >,则实数a 的取值范围是___________.函数的基本性质一、单选题1. 下列函数中,值域为(,0)-∞的是( )A. 2y x =-B. 131()3y x x =-<C. 1y x =D. y =2.下列函数是偶函数，且在(,0]-∞上是增函数的是( )A ．1y x =- B. 2()f x x = C. 3y x = D. ,0,0x x y x x -≥⎧=⎨<⎩3.已知()f x 是实数集上的偶函数，且在区间[0,)+∞上是增函数，则(2)f -，()f π-，(3)f 的大小关系是( )A. ()(2)(3)f f f π->->B. (3)()(2)f f f π>->-C. (2)(3)()f f f π->>-D. ()(3)(2)f f f π->>-4.函数()y f x =在R 上是增函数，且(2)(9)f m f m >-+，则实数m 的取值范围是( )A. (,3)-∞-B. (0,)+∞C. (3,)+∞D. (,3)(3,)-∞-⋃+∞5.函数()y f x =是以3为周期的偶函数，且当(0,1)x ∈时，()21f x x =+，则2021()2f =( ) A.2022 B.2 C.4 D.66.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调递增，则满足1(21)()3f x f -<的x 的取值范围是( ) A. 12(,)33 B. 12[,)33 C. 12(,)23 D. 12[,)23二、多选题7.如果函数()f x 在[a ,b ]上是减函数，对于任意的1212,[,]()x x a b x x ∈≠，那么下列结论正确的是( ) A. 1212()()0f x f x x x -<- B. 1212()[()()]0x x f x f x --< C. 12()()()()f a f x f x f b ≥>≥ D. 12()()f x f x <8.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，下列说法正确的是( )A. (0)0f =B.若()f x 在[0,)+∞上有最小值-1，则()f x 在(,0]-∞上有最大值1C. 若()f x 在[1,)+∞上为增函数，则()f x 在(,1]-∞-上为减函数D.若0x >时，2()2f x x x =-，则0x <时，2()2f x x x =--三、填空题9.如图是定义在闭区间[5,5]-上的函数()y f x =的部分图像，根据图像可知函数()y f x =的单调递增区间是_______,单调递减区间是______.10.若()f x 是定义在R 上的奇函数，且1(2)()f x f x +=，则(8)f 的值为___. 11.若2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，且定义域为[1,2]a a -，则a =_____,b =______.本章检测 函数的概念和性质一、单选题1. 已知函数2()23f x x mx =-+在[-2,+∞)上单调递增,在(-∞,-2]上单调递减，则f (1)的值为( )A.-3B.13C.7D.52.已知f (x )为奇函数,且在(-∞,0)上为增函数,g (x )为偶函数,且在(-∞,0)上为增函数,则在(0,+∞)_上，下列结论正确的)A.两个都是增函数B.两个都是减函数C. f (x )为增函数,g (x )为减函数D. f (x )为减函数,g (x )为增函数3.已知函数g (x )= f (2x )-x 2是奇函数,且f (1)=2,则f (-1)=( ) _3 A. 32- B.-1 C. 32 D. 744.已知函数(3)5,1()2,1a x x f x a x x -+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩是(-∞,+∞)上的减函数，则a 的取值范围是( )A. (0,3)B. (0,3]C. (0,2)D. (0,2]5.已知函数g (x )是定义在[a -16,3a ]上的奇函数,且21,0()(),0x x f x f x a x -≥⎧=⎨+<⎩, 则f (-2020)=( )A.2B. 7C. 10D.-16. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足当x >0时，f(x )=x 2-2x ,则关于x的不等式f (x )<0的解集为( )A. (-2,2)B. (2,0)(0,2)-⋃C. (,2)(2,)-∞-⋃+∞D. (,2)(0,2)-∞-⋃二、多选题7.已知定义在区间[-3,3]上的一个偶函数,它在[-3,0]上的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A.这个函数有两个单调递增区间B.这个函数有三个单调递减区间C. f (2)<2D.这个函数的值域为[-2,2]8.已知定义域为R 的函数f (x )是奇函数,且满足f (1-x )=f (1+x ),当0<x ≤1时,f (x )=2x ,则下列结论正确的是( )A. f (x )的最小正周期为2B.当-1<x ≤1时,f (x )=2xC. f (x )在[11,13]上单调递增D. f (x )的最大值为2,最小值为-2三、填空题9.已知函数,0(),0x x f x x x ⎧≥⎪=-<若f (a )+f (-1)=2,则a =_______.10.已知函数f (x )=x 5+ax 3+bx +2,且f (2)=3,则f (-2)=________.11.函数f (x )为奇函数,定义域为R ,若f (x +1)为偶函数,且f (1)=1,则f (2020)+f (2021)=_______。
人教A版高三数学文科一轮复习滚动检测试卷(二)含答案
高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测二第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(·浏阳联考)设全集U ＝R ，A ＝{x |2x (x－2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |x ≤1}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |1≤x <2}2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ≤0，f (x －1)＋1，x >0，则f (43)＋f (－43)的值为( ) A.12 B ．－12C ．－1D ．1 3．(·湖北荆州中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ＋1，x ≥1，ax 2＋x ＋1，x <1，则－2≤a ≤1是f (x )在R 上单调递增的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．(·山东枣庄八中阶段检测)若方程|x 2＋4x |＝m 有实数根，则所有实数根的和可能是( )A ．－2，－4，－6B ．－4，－5，－6C ．－3，－4，－5D ．－4，－6，－85．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)，则函数f (x )的大致图象为( )6．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝⎛⎭⎫π6，则f ⎝⎛⎭⎫π3与f ⎝⎛⎭⎫－π3的大小关系是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π3 C ．f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫π3 D ．不确定7．(·渭南质检一)已知函数f (x )满足f (－x )＝f (x )和f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝1－x ，则关于x 的方程f (x )＝(13)x 在x ∈[0,4]上解的个数是( ) A ．5B ．4C ．3D ．28．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( )A ．f (x 1)＋f (x 2)<0B ．f (x 1)＋f (x 2)>0C ．f (x 1)－f (x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<010．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3]B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]11．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋32)，且f (1)＝2，则f (2 017)等于( ) A ．－1B ．2C ．－2 D.312．(·济源模拟)函数f (x )的定义域为A ，若当x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时，总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如：函数f (x )＝2x ＋1 (x ∈R )是单函数．给出下列结论：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②指数函数f (x )＝2x (x ∈R )是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中正确结论的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设函数f (x )＝1＋(－1)x 2(x ∈Z )，给出以下三个结论：①f (x )为偶函数；②f (x )为周期函数；③f (x ＋1)＋f (x )＝1，其中正确结论的序号是________．14．关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题： ①其图象关于y 轴对称；②当x >0时，f (x )是增函数；当x <0时，f (x )是减函数；③f (x )的最小值是lg 2；④f (x )在区间(－1,0)，(2，＋∞)上是增函数；⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是________．15．(·江西省五校协作体高三期中)下列四个命题：①∃x ∈(0，＋∞)，(12)x >(13)x ； ②∃x ∈(0，＋∞)，log 2x <log 3x ；③∀x ∈(0，＋∞)，(12)x >log 12x ； ④∀x ∈(0，13)，(12)x <log 13x . 其中正确命题的序号是________．16．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上)． ①f (x )＝sin x ＋cos x ；②f (x )＝ln x －2x ；③f (x )＝－x 3＋2x －1；④f (x )＝x e x .三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(·黄冈中学月考)若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )满足f (x ＋1)－f (x )＝4x ＋1，且f (0)＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>6x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．18．(12分)定义在[－1,1]上的奇函数f (x )，已知当x ∈[－1,0]时的解析式为f (x )＝14x －a 2x (a ∈R )． (1)写出f (x )在(0,1]上的解析式；(2)求f (x )在(0,1]上的最大值．19.(12分)(·哈尔滨三中第一次测试)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )对任意正数m ，n 都有f (mn )＝f (m )＋f (n )－12，当x >1时，f (x )>12，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0. (1)求f (2)的值；(2)解关于x 的不等式f (x )＋f (x ＋3)>2.20．(12分)经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t (天)的函数，且日销售量近似地满足g (t )＝－13t ＋1123(1≤t ≤100，t ∈N )，前40天价格为f (t )＝14t ＋22(1≤t ≤40，t ∈N )，后60天价格为f (t )＝－12t ＋52(41≤t ≤100，t ∈N )，试求该商品的日销售额s (t )的最大值和最小值．21.(12分)(·广东阳东一中模拟)已知函数f (x )＝ax ＋x ln|x ＋b |是奇函数，且图象在点(e ，f (e))处的切线斜率为3(e 为自然对数的底数)．(1)求实数a 、b 的值；(2)若k ∈Z ，且k <f (x )x －1对任意x >1恒成立，求k 的最大值．22．(12分)(·沈阳质检)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值；(2)讨论g (x )与g ⎝⎛⎭⎫1x 的大小关系；(3)令h (x )＝g (x )－g ⎝⎛⎭⎫1x ，若对任意x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，1，存在a ∈[1，e]，使h (x )>m －f (a )成立，求实数m 的取值范围．答案解析1．D 2.D 3.B4．D [若方程|x 2＋4x |＝m 有实数根，先讨论根的个数，可能为2个，3个，4个．易求所有实数根的和可能为－4，－6，－8.故选D.]5．C [∵当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)，∴设x ≤0，得－x ≥0，f (－x )＝ln(－x ＋1)，又∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即当x ≤0时，f (x )＝ln(－x ＋1)．当x ≥0时，原函数由对数函数y ＝ln x 图象左移一个单位而得，当x ≥0时函数为增函数，函数图象是上凸的，故选C.]6．C [依题意得f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝⎛⎭⎫π6， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝⎛⎭⎫π6，∴f ′⎝⎛⎭⎫π6＝12. ∴f (x )＝cos x ＋x ，则f ⎝⎛⎭⎫π3＝cos π3＋π3＝12＋π3， f ⎝⎛⎭⎫－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－π3－π3＝12－π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫π3>f ⎝⎛⎭⎫－π3.]7．A [因为f (－x )＝f (x )，故f (x )为偶函数；因为f (x ＋2)＝f (x )，故T ＝2.作出f (x )在[0,4]上的图象如图所示，再作出g (x )＝(13)x 的图象，可知f (x )和g (x )在[0,4]上有5个交点，即方程f (x )＝(13)x 在[0,4]上解的个数为5，故选A.]8．D [f ′(x )＝k －1x ，由已知得f ′(x )≥0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，故k ≥1x在(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1x<1， 故k 的取值范围是[1，＋∞)．]9．D [函数f (x )的图象如图所示：且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数．又0<|x 1|<|x 2|，∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0.]10．C [不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变形为ax 3≥x 2－4x －3.当x ＝0时，0≥－3恒成立，故实数a 的取值范围是R .当x ∈(0,1]时，a ≥x 2－4x －3x 3恒成立，记f (x )＝x 2－4x －3x 3， f ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－(x －9)(x ＋1)x 4>0，故函数f (x )单调递增，则f (x )max ＝f (1)＝－6，故a ≥－6.当x ∈[－2,0)时，a ≤x 2－4x －3x 3恒成立， 记f (x )＝x 2－4x －3x 3， 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝9(舍去)，当x ∈[－2，－1)时，f ′(x )<0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，故f (x )min ＝f (－1)＝－2，则a ≤－2.综上所述，实数a 的取值范围是[－6，－2]．]11．B [∵f (x )＝－f (x ＋32)， ∴f (x ＋3)＝f [(x ＋32)＋32]＝－f (x ＋32)＝f (x )． ∴f (x )是以3为周期的周期函数，则f (2 017)＝f (672×3＋1)＝f (1)＝2.]12．A [由单函数的定义可知，函数值相同则自变量也必须相同．依题意可得①不正确，②正确，③正确，④正确．]13．①②③解析 对于x ∈Z ，f (x )的图象为离散的点，关于y 轴对称，①正确；f (x )为周期函数，T ＝2，②正确；f (x ＋1)＋f (x )＝1＋(－1)x ＋12＋1＋(－1)x 2＝1＋(－1)x ＋1＋(－1)x 2＝1，③正确． 14．①③④解析 根据已知条件可知f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)为偶函数，显然利用偶函数的性质可知命题①正确；对真数部分分析可知最小值为2，因此命题③成立；利用复合函数的性质可知命题④成立；命题②，单调性不符合复合函数的性质，因此错误；命题⑤，函数有最小值，因此错误，故填写①③④.15．①②④解析 ①∃x ∈(0，＋∞)，(12)x >(13)x 是真命题，如x ＝2，14>19成立； ②∃x ∈(0，＋∞)，log 2x <log 3x 是真命题，如x ＝12， log 212＝－1，log 312>log 313＝－1， 即∃x ∈(0，＋∞)，log 2x <log 3x ；③∀x ∈(0，＋∞)，(12)x >log 12x 是假命题， 如x ＝12，log 1212＝1>(12)12； ④∀x ∈(0，13)，(12)x <log 13x 是真命题，因为∀x ∈(0，13)，(12)13<(12)x <1，log 13x >1. 16．①②③解析 ①中，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4<0在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立；②中，f ′(x )＝1x －2(x >0)，f ″(x )＝－1x 2<0在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立；③中，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上恒小于0.故①②③为凸函数．④中，f ′(x )＝e x ＋x e x ，f ″(x )＝2e x ＋x e x ＝e x (x ＋2)>0在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立，故④中函数不是凸函数． 17．解 (1)由f (0)＝3，得c ＝3.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3.又f (x ＋1)－f (x )＝4x ＋1，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4x ＋1， 即2ax ＋a ＋b ＝4x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝4，a ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1.∴f (x )＝2x 2－x ＋3.(2)f (x )>6x ＋m 等价于2x 2－x ＋3>6x ＋m ，即2x 2－7x ＋3>m 在[－1,1]上恒成立，令g (x )＝2x 2－7x ＋3，x ∈[－1,1]，则g (x )min ＝g (1)＝－2，∴m <－2.18．解 (1)设x ∈(0,1]，则－x ∈[－1,0)，f (－x )＝14－x －a 2－x ＝4x －a ·2x ， 又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝a ·2x －4x ，x ∈(0,1]．(2)因为f (x )＝a ·2x －4x ，x ∈(0,1]，令t ＝2x ，t ∈(1,2]，所以g (t )＝at －t 2＝－(t －a 2)2＋a 24， 当a 2≤1，即a ≤2时，g (t )<g (1)＝a －1，此时f (x )无最大值；当1<a 2<2，即2<a <4时，g (t )max ＝g (a 2)＝a 24； 当a 2≥2，即a ≥4时，g (t )max ＝g (2)＝2a －4. 综上所述，当a ≤2时，f (x )无最大值，当2<a <4时，f (x )的最大值为a 24， 当a ≥4时，f (x )的最大值为2a －4.19．解 (1)f (1)＝f (1)＋f (1)－12，解得f (1)＝12. f ⎝⎛⎭⎫2×12＝f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12－12，解得f (2)＝1. (2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1－12.因为x 1<x 2，所以x 2x 1>1，则f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1>12，f (x 2)－f (x 1)>0， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．因为f (4)＝f (2)＋f (2)－12＝32， 所以f (x )＋f (x ＋3)＝f (x 2＋3x )＋12>2， 即f (x 2＋3x )>32＝f (4)． 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x ＋3>0，x 2＋3x >4，解得x ∈(1，＋∞)．20．解 当1≤t ≤40，t ∈N 时，s (t )＝g (t )f (t )＝(－13t ＋1123)(14t ＋22) ＝－112t 2＋2t ＋112×223＝－112(t －12)2＋2 5003， 所以768＝s (40)≤s (t )≤s (12)＝112×223＋12＝2 5003. 当41≤t ≤100，t ∈N 时，s (t )＝g (t )f (t )＝(－13t ＋1123)(－12t ＋52) ＝16t 2－36t ＋112×523＝16(t －108)2－83， 所以8＝s (100)≤s (t )≤s (41)＝1 4912. 所以s (t )的最大值为2 5003，最小值为8. 21．解 (1)由f (x )＝ax ＋x ln|x ＋b |＝x (a ＋ln|x ＋b |)是奇函数，则y ＝a ＋ln|x ＋b |为偶函数，∴b ＝0.又x >0时，f (x )＝ax ＋x ln x ，∴f ′(x )＝a ＋1＋ln x ，∵f ′(e)＝3，∴a ＝1.(2)当x >1时，令g (x )＝f (x )x －1＝x ＋x ln x x －1， ∴g ′(x )＝x －2－ln x (x －1)2，令h (x )＝x －2－ln x ， ∴h ′(x )＝1－1x ＝x －1x>0， ∴y ＝h (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴h (1)＝－1<0，h (3)＝1－ln 3<0，h (4)＝2－ln 4>0，∴存在x 0∈(3,4)，使得h (x 0)＝0，则x ∈(1，x 0)，h (x )<0，g ′(x )<0，y ＝g (x )为减函数．x ∈(x 0，＋∞)，h (x )>0，g ′(x )>0，y ＝g (x )为增函数．∴g (x )min ＝g (x 0)＝x 0＋x 0ln x 0x 0－1＝x 0. ∴k <x 0，又x 0∈(3,4)，k ∈Z ，∴k max ＝3.22．解 (1)由题设知f (x )＝ln x ，g (x )＝ln x ＋1x，定义域为(0，＋∞)． 所以g ′(x )＝x －1x 2，令g ′(x )＝0得x ＝1， 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调递减区间．当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间． 所以g (x )最小值＝g (1)＝1.综上，g (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)，最小值为1.(2)g ⎝⎛⎭⎫1x ＝－ln x ＋x .设h (x )＝g (x )－g ⎝⎛⎭⎫1x ＝2ln x －x ＋1x， 则h ′(x )＝－(x －1)2x 2≤0， 因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减．又h (1)＝0，当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫1x ；当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g ⎝⎛⎭⎫1x ；当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g ⎝⎛⎭⎫1x .(3)由(2)知h (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，1上单调递减，∴h (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，1上的最小值为h (1)＝0，又对任意x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，1，使h (x )>m －f (a )成立，则m －f (a )<h (x )最小值＝h (1)＝0，即m <f (a )． 又存在a ∈[1，e]，使m <f (a )成立， 又f (x )＝ln x 是增函数， 所以m <f (a )最大值＝f (e)＝1. 所以m <1.。
高三数学一轮复习《函数与导数》练习题(含答案)
高三数学一轮复习《函数与导数》练习题（含答案）一、单选题1．已知()()12222x x a a a a -++>++，则x 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(0，2)D ．R 2．函数()()2108210x f x x x x +=≤≤++的值域为 A ．11,86⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]6,8 C ．11,106⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[]6,103．已知函数()22,0,()2,0x x x f x g x x x e x >⎧==-+⎨≤⎩（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())0g f x m -=恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则21322x x x --的最小值为（ ）A ．ln33-B ．3ln 22-C ．ln 23-D ．1- 4．定义：若函数()F x 在区间[],a b 上的值域为[],a b ，则称区间[],a b 是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间()F x 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数()21f x x =-，则（ ）A ．[]1,1-是()f x 的一个“完美区间”B ．⎣⎦是()f x 的一个“完美区间”C ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3D ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+5．函数()f x 对任意x ∈R ，都有()()()12,1f x f x y f x =+=-的图形关于()1,0对称，且()71f =- 则()2021f =（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．26．已知函数()22,,x ax x a f x x a x a⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩，若对于任意正数k ，关于x 的方程()f x k =都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a 的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无数7．若函数()()ln 1x f x ke x =-+的值域为R ，则实数k 的最大值为（ ） A ．1e - B ．2e - C ．e D ．2-8．已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，1()e x f x x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线斜率是（ ）A ．1B ．2C ．eD ．2e 1---二、多选题9．已知函数()21e x x x f x +-=，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 既存在极大值又存在极小值B ．函数()f x 存在3个不同的零点C ．函数()f x 的最小值是e -D ．若[),x t ∈+∞时，()2max 5e f x =，则t 的最大值为2 10．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，且2()()(32)()x x f x x f x +'<+恒成立，则必有（ ）A ．()(3)181f f >B ．()()261f f <C ．()131162f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．()()332f f <11．若曲线()20y ax a =≠与ln 1y x =+存在公共切线，则实数a 的可能取值是（ ）A ．－1B ．eC ．e 2D ．12 12．下列各式比较大小，正确的是（ ）A ．1.72.5＞1.73B ．24331()22->C ．1.70.3＞0.93.1D ．233423()()34> 三、填空题 13．已知函数23,0()21,0x x x f x x +≤⎧=⎨+>⎩，则()()1f f -的值为______． 14．函数()()2ln 3x x f x x +=-的零点是__________． 15．已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x =-，若函数223y x x =--与()y f x =图象的交点为()()()1122,,,,m m x y x y x y ，则1ni i x ==∑___________.16．已知函数()f x ，给出下列四个结论：①函数2y x 是偶函数；②函数1y x x=-是增函数；③函数()f x 定义域为I ，区间D I ⊆，若任意12,x x D ∈，都有1212()()0f x f x x x ->-，则()f x 在区间D 上单调递增； ④()f x 定义域为I ， “对于任意x I ∈，总有()f x M ≥ (M 为常数)”是“函数()f x 在区间I 上的最小值为M ”的必要不充分条件.其中正确结论的序号是___________.四、解答题17．已知函数()sin x f x e x =⋅．（1）求函数在()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值．18．近日，某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数()f x 与空气污染指数()p x 的关系为：()()()()10244f x p x p x k x =-+<≤，其中空气污染指数()p x 与时刻x （小时）和1x 的算术平均数成反比，且比例系数为12，k 是与气象有关的参数，10,2k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． (1)求空气污染指数()p x 的解析式和最大值；(2)若用每天环境综合污染指数()f x 的最大值作为当天的综合污染指数，该市规定：每天的综合污染指数最大值不得超过1．试问目前市中心的综合污染指数是否超标？请说明理由．19．某汽车租赁公司有200辆小汽车.若每辆车一天的租金为300元，可全部租出;若将出租收费标准每天提高10x 元(1≤x ≤50，x ∈N *)，则租出的车辆会相应减少4x 辆.（1）求该汽车租赁公司每天的收入y (元)关于x 的函数关系式；（2）若要使该汽车租赁公司每天的收入超过63840元，则每辆汽车的出租价格可定为多少元?20．已知幂函数()223m m f x x -++=，()m Z ∈为偶函数，且在区间()0,∞+上是增函数.函数()()224log log m g x x x =-，1,2x ⎡⎤∈⎣⎦（1）求m 的值；（2）求()g x 的最小值.21．做出()223,13,1x x x f x x ⎧+-≤=⎨>⎩的图象并求出其值域22．为了美化校园环境，学校打算在兰蕙广场上建造一个矩形花园，中间有三个完全一样 的矩形花坛，每个花坛的面积均为294平方米，花坛四周的过道宽度均为2米，如图所示，设矩形花坛的长为x 米，宽为y 米，整个矩形花园的面积为S 平方米.（1）试用x 、y 表示S ；（2）为了节约用地，当矩形花坛的长为多少米时，新建矩形花园占地最少，占地最少为多少平方米?参考答案1．B2．C3．A4．C5．B6．B7．B8．B9．ACD10．BD11．ABC12．BC13．314．1.15．m16．①③④17．（1）0x y -=．（2）()max 0f x =．()π4min 22f x e -=- 18．(1)()21x p x x =+，(]0,24x ∈，()max 12p x =; (2)没有超标；19．（1）y=-40x 2+800x +60000(1≤x ≤50，x ∈N *)；（2）390元或400元或410元.20．（1）1m =；（2）116-. 21．[]4,-+∞.22．（1）312832S xy y x =+++；（2）矩形花坛的长为21米时，新建矩形花园占地最少，占地最少为1250平方米。
2024_2025学年高三数学新高考一轮复习专题函数真题汇编含解析
函数学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共26小题，共130.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知函数f(x )=,则对随意的实数x,有（）A. f(-x)+f(x)=0B. f(-x)-f(x)=0C. f(-x)+f(x)=1D. f(-x)-f(x )=2.已知=5,3=b,则=( )A. 25B. 5C.D.3.下列函数中是增函数的为（）A. f（x）=-xB. f（x）=（）xC. f（x）=x2D. f（x）=4.设，则=（）A. B. C. D.5.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力状况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满意L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）（≈1.259）A. 1.5B. 1.2C. 0.8D. 0.66.设f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）=f（-x）.若f（-）=，则f （）=（）.A. -B. -C.D.7.函数y =的图象大致为（）A. B.C. D.8.设a=30.7，b=（）-0.8，c=log0.70.8，则a，b，c的大小关系为( )1A. a＜b＜cB. b＜a＜cC. b＜c＜aD. c＜a＜b9.已知，，，则下列推断正确的是( )A. B. C. D.10.函数f（x）=的图象大致为（）A. B.C. D.11.设a=log20.3，b=，c=0.40.3，则三者大小关系为（）A. a＜b＜cB. c＜a＜bC. b＜c＜aD. a＜c＜b12.若2a=5b=10，则+=（）A. -1B. lg7C. 1D. log71013.已知函数f(x)=+，g(x)=sin x，则为如图的函数可能是（）A. B.C. D.14.Logistic 模型是常用数学模型之一, 可应用于流行病学领域.有学者依据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标记着已初步遏制疫情, 则t*约为（）(ln193)A. 60B. 63C. 66D. 6915.若函数f(x)的定义域为R, 且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则=（）A. -3B. -2C. 0D. 116.设函数的定义域为R ，为奇函数，为偶函数，当时，若，则A. B. C. D.17.设函数f（x）=，则下列函数中为奇函数的是( )A. f（x-1）-1B. f（x-1）+1C. f（x+1）-1D. f（x+1）+118.已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则( )A. B. C. D.19.若定义在R上的奇函数f(x)在(-∞，0)单调递减，且f(2)=0,则满意xf(x-1)≥0的x的取值范围是（）A. [-1,1][3,+)B. [-3,-1][0,1]C. [-1,0][1,+)D. [-1,0][1,3]20.已知函数f（x）＝lg（x2﹣4x﹣5）在（a，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（）A. （2，+∞）B. [2，+∞）C. （5，+∞）D. [5，+∞）21.若+a =+2b,则( )A. a>2bB. a<2bC. a >D. a <22.设函数，则( )A. 是偶函数，且在单调递增B. 是奇函数，且在单调递减C. 是偶函数，且在单调递增D. 是奇函数，且在单调递减23.已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7,若y=g(x)的图像关于直线x=2对称,g(2)=4,则f(k)=( )A. -21B. -22C. -23D. -2424.已知，设a =3,b =5,c =8，则（）A. a<b<cB. b<a<cC. b<c<aD. c<a<b325.已知函数f（x）=若函数g（x）=f（x）-|kx2-2x|（k∈R）恰有4个零点，则k的取值范围是（）A. （-∞，-）∪（2，+∞）B. （-∞，-）∪（0，2）C. （-∞，0）∪（0，2）D. （-∞，0）∪（2，+∞）26.设，函数，若函数在区间内恰有6个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）27.函数f(x)=+的定义域是.28.函数f（x）=+ln x的定义域是．29.已知函数f（x）=x3（a•2x-2-x）是偶函数，则a= .30.已知a R，函数f(x)=，若f(f())=3，则a= ．31.已知f(x)=||--2，给出下列四个结论：(1)若=0,则f(x)有两个零点；(2)<0,使得f(x)有一个零点；(3)<0,使得f(x)有三个零点；(4)>0,使得f(x)有三个零点；以上正确结论的序号是．32.已知函数f(x)=则f(f())= ;若当x[a,b]时,1f(x)3,则b-a的最大值是.33.若f(x)=|a+|+b是奇函数,则a= ,b= .34.设函数f(x )=，若f(x)存在最小值，则a的一个取值为，a的最大值为51.【答案】C2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】D9.【答案】C10.【答案】B11.【答案】D12.【答案】C13.【答案】D14.【答案】C15.【答案】A16.【答案】D17.【答案】B18.【答案】B19.【答案】D20.【答案】D21.【答案】B22.【答案】D23.【答案】D24.【答案】A25.【答案】D26.【答案】A27.【答案】(-,0)(0,1]28.【答案】{x|x＞0}29.【答案】130.【答案】231.【答案】(1)(2)(4)32.【答案】3+33.【答案】34.【答案】0（答案不唯一）17。
高三一轮复习函数测试题
高 三 第 一 阶 段 测 试 题第一部分1.下列四类函数中，个有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是（ ） A.幂函数 B.对数函数 C.指数函数 D.余弦函数4.设554a log 4b log c log ===25，（3），，则（ ）A ．a<c<bB ．b<c<aC ．a<b<cD ．b<a<c5.函数164xy =-的值域是（ ）A.[0,)+∞B.[0,4]C.[0,4)D.(0,4)6.已知函数 )1(log )(+=x x f a ，若()1,f α= α=（ ） A.0B.1C.2D.37.函数()412x xf x +=的图象（ ） A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x 对称 C. 关于x 轴对称 D. 关于y 轴对称8.设()f x 为R 上的奇函数，当0x ≥时，()22xf x x b =++，则(1)f -=（ ） A.-3 B.-1 C.1 D.39.函数()()2log 31xf x =+的值域为（ ）A. ()0,+∞B. )0,+∞⎡⎣C. ()1,+∞D. )1,+∞⎡⎣11.函数f(x)=23xx +的零点所在的一个区间是（ ）A.（-2，-1）B.（-1,0）C.（0,1）D.（1,2）12.若函数f （x ）=3x+3-x与g （x ）=3x-3-x的定义域均为R ，则（ ）A ．f （x ）与g （x ）均为偶函数 B. f （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数 C ．f （x ）与g （x ）均为奇函数 D. f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数14. 已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是（ ） A.(1,)+∞ B.[1,)+∞ C. (2,)+∞ D. [2,)+∞16.已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f =（ ）A.4B.14C.-4 D-1417.已知函数2,0()(3),0x x f x f x x ⎧>=⎨+⎩≤，(8)f -= ．18.()log xa f x a x =+在[1,2]上的最大值与最小值之和为log 26a +，则a 的值为（ ） A.12B.14C. 2D.419.下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是（ ） A.tan y x = B.1y x= C.2x y -= D.241y x x =--+20．()f x 是R 上的偶函数，且()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()22f x x =，则()7f =（ ） A ．2- B ．2 C ．98- D ．9821.如果函数f(x)=x 2+bx+c 对任意的实数x ，都有f(1+x)=f(-x)，那么（ ）A ．)2()0()2(f f f <<-B ．)2()2()0(f f f <-<C ．)2()0()2(-<<f f fD ．)2()2()0(-<<f f f22．集合{}2|1A x x =<，{}2|log 0B x x =<，则A B =I ( )A.()0,1B.()1,0-C.()1,1-D. (),1-∞23.若函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2,1)21(,2,)2()(x x x a x f x 是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（－∞，2）B ．（－∞，]813C ．（0，2）D ．)2,813[24.函数()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，且在[)0,+∞上是减函数，若()(3)f a f ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A. (]0,3 B. (][),33,-∞-+∞ C. R D.[]3,3-26．直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 .28.函数2)1(log +-=x y a )1,0(≠>a a 的图像恒过一定点是____ _.29. 若)(x f 是偶函数，且当x ∈[0+∞）时，f(x)=x-1,则f(x-1)<0的解集是（ ） A ．（－1，0） B ．（－∞，0）∪（1，2） C ．（1，2） D ．（0，2）30.已知函数1()lg 1xf x x-=+，若()f a b =，则()f a -等于（ ） A ．bB ．-bC ．1bD ．1b-第二部分1.函数f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈（0，1）时，f(x)= x+1，则函数f(x)在（1，2）上的解析式为（ ） A ．f(x)= 3－x B ．f(x)= x －３ C ．f(x)= １－x D ．f(x)= x+12. 函数y=log a(3x-2x 2)(0<a<1)的定义域为（ ） A ．1(,][1,)2-∞+∞ B ． 1[,1]2C ．13(0,)(1,)22D ．13(0,][1,)223.定义在R 上的函数f(x)满足()f x =⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则(2010)f 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．24.若0m n <<，则下列结论正确的是（ ）A ．22mn> B ．1122mn⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．22log log m n > D ．1122log log m n >5.已知关于x 的函数y ＝loga (2-ax) 在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（0，2）D ．[2，＋∞）8．若函数21()log ()2a f x x ax =-+有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．(0,1)(1,2)⋃ C ．(1,2) D ．)2,⎡+∞⎣9.已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意x∈R，都有(1)(1)f x f x +=-成立，且当(,1)x ∈-∞时，(1)()0x f x '-<(其中()f x '为()f x 的导数).设1(0),(),(3)2a fb fc f ===，则a ，b ，c 三者的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<11.当0>a 且1≠a 时，函数1)1(log )(+-=x x f a 的图像恒过点A ,若点A 在直线0=+-n y mx 上，则nm 24+的最小值为____ ____．。
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XX 中学XX 届高三理科数学综合检测函数部分（总分：160分 时间：120分钟）一、填空题（本大题共14小题每小题5分共70分）1.函数1()f x x=的定义域为 ▲ 2.不等式的解集是___________▲__________________3.函数()()R x x x x f ∈++=1sin 3,若()2=a f ,则()a f -的值为 ▲4.设曲线ax y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ▲ ．5.利用定积分的几何意义求dx x ⎰-224 ▲6. 10．函数21sin(),10(),0x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩，若(1)()2f f a +=，则实数a 的所有可能值为 ▲7.已知函数(3)f x -的定义域是[2，3]，若12()[log (3)]F x f x =-，则函数()F x 的定义域是 ▲ 8. 函数的单调递减区间是_______▲_____________9.设函数1,221,0,()0xx f x x x --≤=>⎧⎪⎨⎪⎩若0()1f x >，则x 0的取值范围是 ▲ 10.函数log a y x =在[2,)+∞上恒有1y >，则a 的取值范围是 ▲11.若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是 ▲12.函数23()2x ax f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间(],1-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是 ▲13.已知函数9()93xxf x =+，则123456()()()()()()777777f f f f f f +++++的值是 ▲ ．14.对于函数()y f x =，定义域为D ，阅读下列命题判断:①在定义域D 内,若(1)(1),(2)(2)f f f f -=-=，则()y f x =是D 上的偶函数； ②在定义域D 内,若(1)(0)(1)(2)f f f f -<<<，则()y f x =是D 上的递增函数；③在定义域D 内,若(2)0f '=，则()y f x =在2x =处一定有极大值或极小值； ④若x D ∀∈，都有(1)(3)f x f x +=-+，则()y f x =的图象关于直线2x =对称。
以上命题正确的是（只要求写出命题的序号）_____▲_________。
二、解答题（本大题共6题，共90分．）15.已知函数x x x f 12)(3+-=， ①求函数的单调区间；②求函数的极值，并画出函数的草图； ③当[]1,3-∈x 时，求函数的最大值与最小值.16.求由曲线2x y =与22x y -=围成的平面图形的面积.17.有一印刷品的排版面积（矩形）为400cm 2，版心的左右各留4 cm 2的空白，上下各留4 cm 的空白，①怎样确定版心的高与宽的尺寸，才能使印刷品所用纸张面积最小？②若实际情况要求版面的高不超过16cm ，又应当怎样确定版心的高与宽的尺寸，才能使印刷品所用纸张面积最小？18、（本小题满分15分）已知函数||1()22x x f x =-． （1）若()2f x =，求x 的值；（2）若2(2)()0t f t mf t +≥对于[12]t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围．19.（本小题满分15分）已知函数是定义在)(x f [－2，2]上的奇函数，当321)(,)0,2[x tx x f x -=-∈时（t 为常数）.⑴求函数)(x f 的解析式；⑵当]0,2[)(,]6,2[-∈在求时x f t 上的最小值以及取得最小值时的x 值； ⑶当9≥t 时，证明函数)(x f y =的图像至少有一个点落在直线14=y 上. 20（本题满分16分）设函数d cx bx ax x f +++=23)( （a 、b 、c 、d ∈R ）满足：R x ∈∀ 都有0)()(=-+x f x f ，且x =1时，)(x f 取极小值.32-（1）)(x f 的解析式；（2）当]1,1[-∈x 时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直； （3）设)()(x xf x F = ，证明：)3,0(∈x 时，.43)(≤x F参考答案1. [4,0)(0,1)- ；2. (-1，2)∪(2，5) ；3. 0 ；4. 2 ；5. π ；6. 1,；7. 5[2,]2；8. （2,+∞） ；9. （-∞，-1）∪（1，+∞） ；10. 1(,1)(1,2)2；11. (,1]-∞- ；12. [)2,+∞ ；13. 3 ；14. ④ ；15.解：①()(),223123)(2+--=+-='x x x x f 由0)(>'x f ，得()2,2-∈x ，(),2,2-∈∴x 函数单调递增；同理，(),2,-∞-∈x 或(),,2+∞∈x 函数单调递减.)(,2x f x -=∴极小值=-16，)(,2x f x =∴极大值=16.由f (-x )=-f (x )，知f (x )是奇函数，得草图如图所示：16.由⎪⎩⎪⎨⎧-==222xy x y ，得()()⎰⎰⎰----=--=∴⎩⎨⎧=±=11111122222211dx x dx x dx x S y x 38113223=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴x x S （图略） 17.解：①设版心的高为xcm ，则版面的宽为0,400>x cm x， 设印刷品所用纸张面积为y 3cm ， 则()=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+=84008x x y 46432008++x x ， ()(),202083200822x x x x y +-=-=' 当y y x ,0,200<'<<单调递减，当y y x ,0,20>'>单调递增，y x y x ,20,0,20=∴='=极小=784)20(min ==y y另法：()=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+=84008x x y ,78446432008246432008=+⋅≥++x x 当且仅当,32008xx =即：20,4002==x x 时，所用纸张面积最小. ②若实际情况要求版心的高不超过16cm ，则只能考虑函数的单调性， 由①知，y y x ,0,20160<'<≤<单调递减（草图略），.792,16min ==∴y x答：①当版心设计高为20cm 时，印刷品所用纸张面积最小；②若实际情况要求版心的高不超过16cm ，则版心设计高为16cm 时，印刷品所用纸张面积最小.18.【解】（1）()()100;0,22x xx f x x f x <=≥=-当时，当时. …………….2分 由条件可知，2122,22210,2x x xx-=-⋅-=即解得21x =…………6分∵(220,log 1x x >∴=+ …………..8分（2）当2211[1,2],2220,22t t t ttt m ⎛⎫⎛⎫∈-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时 ……………10分即 ()()242121.t t m -≥--()22210,21.t t m ->∴≥+ ………………13分 ()2[1,2],12[17,5],t t ∈∴-+∈--故m 的取值范围是[5,)-+∞ …………….15分19．解：（1）当,)0,2[,]2,0(时时-∈-∈x x则3321)21()()(x tx x tx x f x f -=+--=--= 又0)0(=f]2,2[21)(3-∈-=∴x x tx x f ………………5分（2）若,36,023)('2t x x t x f ±==-=则 为极值点36],0,2[tx x -=∴-∈ ………………7分又,0)(',]36,2[<--∈x f tx 时 为增函数时)(0)(',]0,36[x f x f tx ∴>-∈ ,)(为一减函数x f ∴…………8分 当.962)(,36min t tx f t x -=-=时………………10分 （3）,6230,22,023)('22≤≤≤≤-=-=x x x t x f时9≥∴t 023)('2>-=x t x f ………………12分]42,21[)()],2(),2([)(,]2,2[)(--∈-∈-∴t t x f f f x f x f 即即上单调递增在 ]42,24[14,1442,1424,9--∈∴≥--≤-∴≥∴t t t t t …………14分 )(,9x f y t =≥函数时当的图象上至有有一个点落在直线y=14上.…………15分20解：（I ）因为，)()(,x f x f R x -=-∈∀成立，所以：0==d b ，由：0)1(='f ，得 03=+c a ，由：32)1(-=f ，得 32-=+c a 解之得：1,31-==c a 从而，函数解析式为：x x x f -=331)(…………5分（2）由于，1)(2-='x x f ，设：任意两数 ]1,1[,21-∈x x 是函数)(x f 图像上两点的横坐标，则这两点的切线的斜率分别是：1)(,1)(22222111-='=-='=x x f k x x f k又因为：11,1121≤≤-≤≤-x x ，所以，0,021≤≤k k ，得：021≥k k 知：121-≠k k故，当]1,1[-∈x 是函数)(x f 图像上任意两点的切线不可能垂直…………10分（3）当：)3,0(∈x 时，)3,0(2∈x 且032>-x 此时43)23(31)3(31)31()()(222223=-+⨯≤-=-==x x x x x x x x xf x F当且仅当：,322x x -=即)3,0(26∈=x ，取等号，故：43)(≤x F …………15分。