初中奥数恒等变形知识点归纳整理.pdf

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奥数-分式恒等变形师

分式恒等变形方法一、通分：直接通分；逐步通分；移项通分；分组通分；分母因式分解再通分。

例1. 若22004a m +=，22003b m +=，22002c m +=且24abc =，求111a b c bc ca ab a b c++---的值。

（1/8）例2. 若0abc ≠，0a b c ++=，求222a b c bc ac ab++的值。

（3）例3. 求证：2220()()()()()()a bcb ac c baa b a c a b b c c b a c ---++=++++++例4. 设正数x ，y ，z 满足不等式2222x y z xy +-+2222y z x yz +-+2222z x y xz+->1,求证x ，y ，z 是某个三角形的三边长【分析与证明】原不等式可变形为z(x^2+y^2-z^2)+x(y^2+z^2-x^2)+y(x^2+z^2-y^2)-2xyz>0 因式分解得(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)>0所以三个括号内的数全正或者1正2负，因为x ，y ，z 全正，所以不可能1正2负（证明略）所以三个括号内均为正数，所以x ，y ，z 是某个三角形的三边长例5. 求分式248161124816111111a a a a a a +++++-+++++，当2a =时的值．【解析】先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：()()22a b a b a b -=+-，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．原式()()()()248161124816111111a a a a a a a a ++-=++++-+++++22481622481611111a a a a a =++++-++++ ()()()()224816222121481611111a a a a a a a +++=++++++-+44816448161111a a a a =+++-+++1616161611a a =+-+32323232112a ==--例6. 若实数a ，b ，c 满足1111a b c a b c++=++，求证： 7777771111a b c a b c++=++.【证明】：由已知得到()()bc ac ab a b c abc ++++=，有()()()0a b b c a c +++=，则a ，b ，c 中一定有两个数互为相反数。

代数式恒等变形法则归纳

代数式恒等变形法则归纳引言代数式是代数学中的基础概念之一，它用字母和常数通过运算符号相连而成。

在数学中，我们常常需要对代数式进行变形，以达到简化、分解、合并或者推导等目的。

代数式的变形是数学问题解决过程中重要的一环，它不仅能提高计算效率，还能揭示代数运算的本质。

在代数式的变形中，恒等变形法则是重要的基础工具，本文将对代数式的恒等变形法则进行归纳总结。

一、基本变形法则1. 加法法则：•加法结合律：a+(b+c)=(a+b)+c•加法交换律：a+b=b+a•加法零元：a+0=a #### 2. 乘法法则：•乘法结合律：$a \\cdot (b \\cdot c) = (a \\cdot b) \\cdot c$•乘法交换律：$a \\cdot b = b \\cdot a$•乘法零元：$a \\cdot 0 = 0$•乘法单位元：$a \\cdot 1 = a$二、分配律1. 左分配律：对于任意的a,b,c，有$a \\cdot (b + c) = a \\cdot b + a \\cdot c$ #### 2. 右分配律：对于任意的a,b,c，有$(a + b) \\cdot c = a \\cdot c + b \\cdot c$三、幂运算法则1. 幂运算与乘法运算：•幂运算与乘法运算的交换律：$(a \\cdot b)^n = a^n \\cdot b^n$•幂运算与乘法运算的结合律：$(a^n)^m = a^{n \\cdot m}$ #### 2.幂运算的乘方法则：•幂运算的乘方法则1：$a^n \\cdot a^m = a^{n + m}$•幂运算的乘方法则2：$(a^n)^m = a^{n \\cdot m}$•幂运算的乘方法则3：$(a \\cdot b)^n = a^n \\cdot b^n$四、指数运算法则1. 指数运算与乘法运算：•指数运算与乘法运算的交换律：$(a \\cdot b)^n = a^n \\cdot b^n$•指数运算与乘法运算的结合律：$(a^n)^m = a^{n \\cdot m}$ #### 2.指数运算的指数法则：•指数运算的指数法则1：$a^n^m = a^{n \\cdot m}$•指数运算的指数法则2：$(a^n)^m = a^{n \\cdot m}$•指数运算的指数法则3：$(a^m)^n = a^{m \\cdot n}$五、因式分解法则1. 公因式提取法则：•公因式提取法则1：ax+ay=a(x+y)•公因式提取法则2：$a \\cdot b + a \\cdot c = a \\cdot (b + c)$ ####2. 公式分解法则：•差的平方公式：a2−b2=(a+b)(a−b)•平方差公式：a2−b2=(a−b)(a+b)•完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2•完全平方公式：a2−2ab+b2=(a−b)2六、合并同类项法则合并同类项法则：将含有相同字母指数的项合并为一个项•合并同类项法则1：ax+bx=(a+b)x•合并同类项法则2：ax2+bx2=(a+b)x2•合并同类项法则3：ax n+bx n=(a+b)x n结论恒等变形法则在代数式的变形中起着重要的作用。

2代数式的恒等变形讲义

有关恒等式的证明一、知识要点恒等式的证明分为一般恒等式的证明和条件恒等式证明，对于一般恒等式的证明，常常通过恒等变形从一边证到另一边，或证两边都等于同一个数或式。

在恒等变形过程中，除了要掌握一些基本方法外，还应注意应用一些变形技巧，如：整体处理、“1”的代换等；对于条件恒等式的证明，如何处理好条件等式是关键，要认真分析条件等式的结构特征，以及它和要证明的恒等式之间的关系。

二、例题精讲例1 求证：a 1+(1-a 1)a 2+(1-a 1)(1-a 2)a 3+…+(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)a n=1-(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)(1-a n )例2 证明恒等式()()()()()()11322321121132322121a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n ++++++=++++++(第二十届全俄数学奥林匹克九年级试题)例3 若abc=1，求证1111=++++++++c ca c b bc b a ab a例4 已知bc=ad ，求证：ab(c 2-d 2)=(a 2-b 2)cd例5 已知x=by+cz ，y=cz+ax ，z=ax+by ，且x+y+z ≠0.证明：1111=+++++c c b b a a例6 数x 、y 、z 满足关系式1=+++++y x z x z y z y x 证明：0222=+++++y x z x z y z y x (第十六届全俄数学奥林匹克十年级试题)例7 已知a+b+c=a 2+b 2+c 2=2，求证：a(1-a)2=b(1-b)2=c(1-c)2例8设c b a c b a ++=++1111，证明(1) a 、b 、c 三数中必有两个数之和为零；(2) 对任何奇数n ，有n n n n n n c b a c b a++=++1111例9 已知ad-bc=1，求证：a 2+b 2+c 2+d 2+ab+cd ≠1例10证明：1132113211211+-=++++++++++n n n。

恒等变形知识点总结

恒等变形知识点总结恒等变形是指根据等式的性质和算术运算的性质，将一个等式变形成另一个等式的过程。

在变换的过程中，通过适当的运算，将等式的两侧转变成相同的表达式。

首先，我们来看一下恒等变形的基本原则，它包括以下几个方面：1. 相等的两个数（对象）可以相互规约。

2. 等式的两边加(或减)相等的数(或算式)仍相等。

3. 等式的两边同乘(或同除)一个不为零的数(或数的倒数)仍相等。

4. 在等式中引进(或去除)平方根，绝对值符号对方程做平方根变形，只有当两边都为非负数时，该等式才成立。

这些基本原则是我们进行恒等变形时需要牢记的，只有在遵守这些原则的前提下，我们才能正确进行恒等变形。

在进行恒等变形时，我们通常会用到一些基本的代数运算，例如加减法、乘除法、开平方、平移等，这些运算在恒等变形中起着非常重要的作用。

接下来，我们来看一些常见的恒等变形的方法和技巧。

1. 加减法变形加减法变形是指用等于同一个数的两个数互换位置，并相加或相减，来得到一个新的等式。

例如：a +b =c 和 a = c - b这里，我们可以将第一个等式两边分别减去b，得到新的等式 a = c - b。

通过这个例子，我们可以看出，加减法变形是一种常见且有效的恒等变形方法，它可以帮助我们将一个复杂的等式化简成一个简单的等式。

2. 乘除法变形乘除法变形是指用等于同一数的两个数相除或相乘，得到新的等式。

例如：ab = c 和 a = c/b这里，我们可以将第一个等式两边都除以b，得到新的等式a = c/b。

通过这个例子，我们可以看出，乘除法变形也是一个常见且有效的恒等变形方法。

3. 平方根变形平方根变形是指用等于同一数的两个数同时开平方，得到新的等式。

例如：a^2 = c 和a = √c这里，我们可以将第一个等式两边同时开平方，得到新的等式a = √c。

通过这个例子，我们可以看出，平方根变形也是一个常见且有效的恒等变形方法。

4. 移项变形移项变形是指将等式中的某一项移到等式的另一侧，得到新的等式。

常用的14个恒等变形公式

常用的14个恒等变形公式恒等变形公式是数学中的重要概念，它指的是在等式两边同时进行相同的运算，从而得到等价的新式子的过程。

在数学中，恒等变形公式被广泛应用于各种数学问题的解决中。

本文将介绍常用的14个恒等变形公式，希望能够帮助读者更好地理解数学知识。

1. 平方差公式平方差公式是指：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。

这个公式在代数中是非常常用的，它可以帮助我们快速计算两个数之间的平方差。

2. 完全平方公式完全平方公式是指：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。

这个公式可以帮助我们快速计算一个二次项的平方。

3. 二次差公式二次差公式是指：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。

这个公式与平方差公式相同，但它更适用于计算两个数的平方差。

4. 一次多项式恒等式一次多项式恒等式是指：$ax+by=c$。

这个公式可以帮助我们快速求解一次方程。

5. 一次多项式因式分解公式一次多项式因式分解公式是指：$ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b)$。

这个公式可以帮助我们快速因式分解一次多项式。

6. 二次多项式恒等式二次多项式恒等式是指：$ax^2+bx+c=(x-p)(x-q)$，其中$p$和$q$是二次方程的解。

这个公式可以帮助我们快速求解二次方程。

7. 二次多项式完全平方公式二次多项式完全平方公式是指：$ax^2+bx+c=a(x+p)^2+q$，其中$p$是二次方程的解。

这个公式可以帮助我们快速将二次多项式变成完全平方的形式。

8. 二次多项式配方法二次多项式配方法是指：$ax^2+bx+c=a(x+frac{b}{2a})^2-frac{b^2-4ac}{4a}$。

这个公式可以帮助我们快速将二次多项式配成平方的形式。

9. 欧拉公式欧拉公式是指：$e^{ix}=cos x+isin x$。

这个公式是数学中的重要公式，它将复数与三角函数联系起来。

10. 对数公式对数公式是指：$log_ab=frac{log_cb}{log_ca}$。

中考数学备考资料-第八讲因式分解与恒等变形及详细解析

6．已知：x2﹣x﹣1=0，则﹣x3+2x2+2002 的值为．
7．若 m2=n+2，n2=m+2（m≠n），则 m3﹣2mn+n3 的值为．
8．要使二次三项式 x2+mx﹣6 能在整数范围内分解因式，则 m 可取的整数为．
ห้องสมุดไป่ตู้
9．阅读下列文字与例题
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
a2 2ab b 2 ab 2
a2 2ab b 2 ab 2
利用公式把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法十字相乘法：
引入：乘法公式 x ax b x 2 a b x ab
x 应用这个公式，我们可以得到分解形如 2 px q 的二次三项式的方法：
如果可以得到两个数 a、b，使得常数项为两者的积，同时一次项系数为两者的和，也即 ab=q,a+b=p,如下图：
4．把 8a3﹣8a2+2a 进行因式分解，结果正确的是（）
A．2a（4a2﹣4a+1） B．8a2（a﹣1） C．2a（2a﹣1）2 D．2a（2a+1）2
5．将下列各式因式分解：
（1）x2﹣9
（2）﹣3ma2+12ma﹣9m
（3）4x2﹣3y（4x﹣3y）
（4）（a+2b）2+2（a+2b﹣1）+3．
例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）
（2）x2﹣y2﹣2y﹣1=x2﹣（y2+2y+1）
=m（a+b）+n（a+b）
=x2﹣（y+1）2

(完整)初2103根式的恒等变形

第2103讲根式的恒等变形一、知识和方法要点●表示方根的代数式称为根式，即含有根号，且根号内有字母的代数式称为根式。

对于根式中的字母的一组允许的值，代入此根式得到的值称为根式的值。

根式的恒等变形是指利用根式的基本性质将根式化为与其恒等的根式。

●二次根式具有以下基本性质1）2a=（0a≥）；20 ||00a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩；3）(b c+0a≥）；4a≥，0b≥）；5=（0a≥，0b≥）；6）n=（0a≥）。

●根式的恒等变形有它的特殊性，需要较强的代数式变形技巧。

通常要对题目中的条件根式和欲变形根式综合考虑，寻求一个简单而清晰运算线路进行变形。

常用的方法有：分解因式法，配方法，平方法，换元法等。

●化简根式必须化到最简根式为止，所谓最简根式，是指满足以下三个条件的根式：1）被开方数（式）的幂指数与根指数互质；2）被开方数（式）的每一个因式的幂指数都小于根指数；3）被开方数（式）不含有分母。

二、典型题例选讲例1。

（复合根式化简；配方法）【分析】这是一个数字型的复合二次根式的化简问题。

可通过配方法进行化简。

应首先变形为适合配方的形式，然后进行配方。

【解答】化简如下=。

【评注】配方法是复合二次根式化简的最常用的方法。

例2+。

（复合根式化简；平方法）【分析】这是一个数字型的复合二次根式的化简问题。

，可通过平方法进行化简。

应前两项使用平方法，后两项使用平方法后相加。

【解答】因为==2=。

两式相加得2。

所以，2=原式。

【评注】为了书写简洁，平方运算在根号下进行。

例3（复合根式化简；方程法）【分析】如果设x =x 的方程220x x --=，解这个方程就可能求出x 的值。

【解答】设x =22x =，于是 22x x =+，即x 满足方程 220x x --=，解方程得 21()x x ==-或舍去。

2。

【评注】例4 设y 是偶数，最简根式3x y 是同次根式，求y 的值。

恒等变换知识

恒等变换——初中数学教师学科素养之三常用数学解题方法是针对各种不同的数学知识而定的一种策略，是解决数学问题的一种工具。

不同的问题可以用不同的方法，相同的问题也可以用不同的方法，同时还依赖于已有知识的掌握程度、记忆程度和思维的灵活性、创造性。

从这一意义上说，掌握一些特殊的解题方法和技能技巧，常常能缩短思考过程，尽快谋取最优解题方法，在解决较复杂的问题中应把各种思想方法结合使用。

我们不仅要学会各种解题方法，还要知道题是用什么方法去解的，如2003年杭州市中考中出现了这样一道题：求函数的最小值，较合适的解题方法应该是法，当然还可以用法等方法解决。

一. 等式用等号连接的两个解析式叫做等式。

等式两边的解析式的定义域的公共部分（交集），称为此等式的定义域。

等式是命题，如果等号两边的解析式对于其定义域内所有允许值都有相等的数值，叫做这两个解析式恒等，这样的等式叫做恒等式，如果等号两边的解析式对于自变数的所有允许值中，只有某些数才有相等的数值，这样的等式叫做条件等式。

如果等号两边的解析式对于自变数的所有允许值，它们的值都不相等，这样的等式叫做矛盾等式。

例如22()()x y x y x y +-=-，３＋５＝８等都是恒等式；ｘ＋３＝１０是条件等式；53x x +=+是矛盾等式，有时为了强调一个等式是恒等式，常用""≡代替""=。

二. 恒等变换把一个解析式换成另一个与它恒等的解析式，这种变换叫做恒等变换或叫做恒等变形。

三.多项式恒等定理1.多项式恒等于零的定理：给定数域上标准形式的多项式，如果对自变量的任意数，该多项式的值总等于零，那么它的所有系数都等于零。

2.两个标准形式的多项式恒等的充要条件是同类项的系数都对应相等。

四.解题方法( 一 ) 配方法在数学上特指将代数式通过凑配等手段得到完全平方、完全立方等形式，从而再利用诸如完全平方项非负性质，达到增加题目的条件等，从而达到解决数学问题的目的，配方法主要用在多元代数式求值，无理式的证明或化简、解方程及函数的最值等方面。

初中数学竞赛知识点和真题第14讲有理式的恒等变形

第15讲有理式的恒等变形可以数是属统治着整个量的世界，而算数的四则运算则可以看作是数学家的全部装备。

——麦克斯韦知识方法扫描有理式的恒等变形可以分为无条件限制等式和有条件限制等式两大类．无条件等式的证明方法很多，常用的有：直接从左到右或从右到左的变形（常常是从较复杂的一边向较简单的一边变形），还有比较法、分析法等．条件等式的证明实质上是有根据，有目标的有理式的恒等变形，条件等式证明的基本方法是对约束条件或待证等式进行适当变形，运用有理式的对称，轮换性质，有关非负数的性质及比较法，消元法和换元法等．在证明过程中，不但要注意已知条件的变换，使之有利于应用，同时也要研究结论的需求，结论部分复杂的也要进行比较变换，使之有利于已知条件的沟通．经典例题解析例1．求证：⋅++-=++-+++-))(())((.))((222b c a c c ab a b c b ca b c a b a bc a 分析要证A=B ，可先证A-B=0，这种方法称为求差法。

左–右 = ⋅++-+++-+++-))(())(())((222b c a c ab c a b c b ca b c a b a bc a 这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b 代a ，c 代b ，a 代c ，则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项．具有这种特性的式子叫作轮换式．利用这种特性，可使轮换式的运算简化．证明因为))(())((22c a b a bc ac ac a c a b a bc a ++--+=++-,.))(()()(ca cb a ac a b a b a c c a a +-+=+++-+= 同理 ,))((2a b a c b b a b c b ca b +-+=++- ⋅+-+=++-cb b ac c b c a c ab c ))((2所以左–右 = ⋅++-+++-+++-))(())(())((222b c a c ab c a b c b ca b c a b a bc a .0=+-+++-+++-+=cb b ac c a b a c b b c a c b a a 评注本例若采用通分化简的方法将很繁．像这种把一个分式分解成几个部分分式和的形式，是分式恒等变形中的常用技巧．例2 证明：(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．证明用换元法．令y+z-2x=a ，①z+x-2y=b ，②x+y-2z=c ，③则要证的等式变为a 3+b 3+c 3=3abc ．注意到因式分解公式：a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)，将①，②，③相加有a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，所以 a 3+b 3+c 3-3abc=0，故 (y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．评注换元是恒等变形的常用技巧．例3．（1957年武汉市中学生数学竞赛试题）已知x+y+z=xyz ，证明：x(1-y 2)(1-z 2)+y(1-x 2)(1-z 2)+z(1-x 2)(1-y 2)=4xyz ．分析将左边展开，利用条件x+y+z=xyz ，将等式左边化简成右边．证明因为x+y+z=xyz ，所以左边=x(1-z 2-y 2-y 2z 2)+y(1-z 2-x 2+x 2z 2)+(1-y 2-x 2+x 2y 2)=(x+y+z)-xz 2-xy 2+xy 2z 2-yz 2+yx 2+yx 2z 2-zy 2-zx 2+zx 2y 2=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)=xyz+xyz+xyz+xyz=4xyz=右边．故结论成立。

5.5 三角恒等变形知识点总结

5.5 三角恒等变形知识点总结一、本节知识点（1）两角差的余弦公式（2）两角和的余弦公式（3）两角和与差的正弦公式（4）两角和与差的正切公式（5）二倍角的正弦、余弦、正切公式（6）半角公式（7）积化和差与和差化积公式二、本节题型（1）三角函数式求值问题（2）已知三角函数值求角问题（3）三角函数式的化简（4）三角函数式的证明（5）和（差）角公式的逆用（6）利用二倍角公式求值（7）利用二倍角公式化简（8）利用二倍角公式证明（9）二倍角公式在三角形中的应用（10）二倍角公式与三角函数的综合（11）利用半角公式、万能公式求值（12）积化和差与和差化积公式的应用（13）简单的三角恒等变形（14）三角恒等变形在三角形中的应用（15）三角函数的实际应用三、知识点讲解1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．2.二倍角的正弦、余弦和正切公式：《1》sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα=-． 3.4.合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。

三角恒等变换知识点总结

三角恒等变换专题一、知识点总结1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα=-． 3、⇒（后两个不用判断符号，更加好用）4、合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。

()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A． 5．（1）积化和差公式 sin α·cos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)] cos α·sin β=21[sin(α+β)-sin(α-β)] cos α·cos β=21[cos(α+β)+cos(α-β)] sin α·sin β= -21[cos(α+β)-cos(α-β)] （2）和差化积公式sin α+sin β= 2cos 2sin 2βαβα-+ sin α-sin β=2sin 2cos 2βαβα-+ααααααα半角公式cos 1cos 12tan 2cos 12sin ;2cos 12cos :+-±=-±=+±=2tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2 sin :222αααααα万能公式+-=+=cos α+cos β=2cos 2cos 2βαβα-+ cos α-cos β= -2sin 2sin 2βαβα-+ tan α+ cot α=ααα2sin 2cos sin 1=⋅ tan α- cot α= -2cot2α 1+cos α=2cos22α 1-cos α=2sin 22α 1±sin α=(2cos 2sin αα±)2 6。

第三节三角函数的恒等变形

2 tan( A B ) 1 cos( A B ) 2
(3)sin( x 60 ) 2sin( x 60 ) 3 cos(120 x);
o o o
解: 原式 sin( x 60 ) 3 cos( x 60 ) 2sin( x 60 )
注:（1）上述两组公式对任意角都成立. （2）公式特点分别是“同名异号”、“异名同号” 其意义是用单角 α与β的三角函数值表示
和（差）角α±β的三角函数值
tan tan 2.两角和的正切公式: tan( ) 1 tan tan tan tan 两角差的正切公式: tan( ) 1 tan tan
1 例6、 (1)sin cos , 求 cos sin 的取值范围. 4
解：设 cos sin t 1 sin( ) sin cos cos sin t 4 1 sin( ) sin cos cos sin t 4 1 1 t 1 3 3 4 cos sin 4 4 1 1 t 1 4
3
( D)

3
解：由已知得 tan tan 3 3, tan tan 4 tan 0, tan 0 0

2
,0

2
0
tan tan tan( ) 3 1 tan tan 2 3
(2)[2sin 50 sin10(1 3 tan10)] 2sin 80
2
3 1 2 0 解： 2 0 64sin 20 sin 20 cos 2 200 2 0 2 0 0 3cos 20 sin 20 1 cos 40 64 2 0 2 0 sin 20 cos 20 2 ( 3 cos 20 sin 20 )( 3 cos 20 sin 20 ) 1 2 0 sin 40 4 32(1 cos 400 )

初中奥数恒等变形知识点归纳整理

初中奥数恒等变形知识点归纳整理恒等概念是对两个代数式来说，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等.表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式.如：a+b=b+a;2x+5x=7x都是恒等式.而t2+6=5t，x+7=4都不是恒等式.以前学过的运算律都是恒等式.将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换).以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式，从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变.如何判断一个等式是否是恒等式，通常有以下两种判断多项式恒等的方法.1.如果两个多项式的同次项的系数都相等，那么这两个多项式是恒等的.如2x2+3x-4和3x-4+2x2当然恒等，因为这两个多项式就是同一个.反之，如果两个多项式恒等，那么它们的同次项的系数也都相等(两个多项的常数项也看作是同次项).2.通过一系列的恒等变形，证明两个多项式是恒等的.如：如果ax2+bx+c=px2+qx+r是恒等式，那么必有：a=p，b=q，c=r例：求b、c的值，使下面的恒等成立.x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c ①解一：∵①是恒等式，对x的任意数值，等式都成立设x=1，代入①，得12+3×1+2=(1-1)2+b(1-1)+cc=6再设x=2，代入①，因为已得c=6，故有22+3×2+2=(2-1)2+b(2-1)+6b=5∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6解二：将右边展开x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c=x2-2x+1+bx-b+c=x2+(b-2)x+(1-b+c)比较两边同次项的系数，得由②得b=5将b=5代入③得1-5+c=2c=6∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6这个问题为依照x-1的幂展开多项式x2+3x+2，这个解题方法叫做待定系数法，它是先假定一个恒等式，其中含有待定的系数，如上例的b、c，然后根据恒等的意义或性质，列出b、c应适合的条件，然后求出待定系数值.。

初一数学竞赛系列讲座整式的恒等变形

初一数学比赛系列讲座 (6)整式的恒等变形一、知识重点1、整式的恒等变形把一个整式经过运算变换成另一个与它恒等的整式叫做整式的恒等变形2、整式的四则运算整式的四则运算是指整式的加、减、乘、除，娴熟掌握整式的四则运算，擅长将一个整式变换成另一个与它恒等的整式，能够解决很多复杂的代数问题，是进一步学习数学的基础。

3、乘法公式乘法公式是进行整式恒等变形的重要工具，最常用的乘法公式有以下几条：① (a+b) (a-b)=a 2-b 2② (a ±b)2=a 2±2ab+b 2 ③ (a+b) (a 2 -ab+b 2)=a 3+b 3 ④ (a-b) (a 2+ab+b 2 )=a 3-b 3⑤ (a+b+c)2= a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca⑥ (a+b+c) (a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)= a 3 +b 3 +c 3-3abc⑦ (a ±b)3= a 3±3a 2b+3a b 2±b 34、整式的整除假如一个整式除以另一个整式的余式为零，就说这个整式能被另一个整式整除，也可说除式能整除被除式。

5、余数定理多项式 f x 除以(x-a) 所得的余数等于f a 。

特别地 f a =0 时，多项式 f x 能被 (x-a) 整除二、例题精讲例 1 在数 1， 2， 3，， 1998前添符号“ +”和“ -”并挨次运算，所得可能的最小非负数是多少？剖析要得最小非负数，一定经过合理的添符号来产生尽可能多的“ 0”解因 1+2+3+ +1998=19981 1998 999 1999 是一个奇数，2又在 1， 2，3，， 1998 前添符号“ +”和“ -”，其实不改变其代数和的奇偶数，故所得最小非负数不会小于1。

先考虑四个连续的自然数n 、 n+1、 n+2 、n+3 之间怎样添符号，使其代数和最小。

很显然 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0因此我们将 1， 2， 3，， 1998 中每相邻四个分红一组，再按上述方法添符号，即 (- 1+2)+(3-4-5 +6)+ (7 -8-9 +10)+ + (1995 -1996-1997 +1998)= - 1+2=1 故所求最小的非负数是1。

第13讲整式恒等变形

第十三讲整式恒等变形知识模块一、降次与消元知识梳理：通过已知等式变形后代入需求的代数式中，可以将所求表达式进行降次或消元使复杂代数式得到化简，例如：已知x2−x−1=0，可将等式变形为x2=x+1，将其代入所有x的次数不低于二次的项中，从而达到降次目的。

例1．（1）若3x3−x=1，求9x4+12x3−3x2−7x+2013的值；（2）已知a3+2a=−2，求3a6+12a4−a3+12a2−2a−4的值；（3）已知x2+x−1=0，求x8−7x4+11的值。

例2．已知a、b、c都是正整数，并且a+b+c=55，a−bc=−8，求abc的最大值及最小值。

知识模块二、配方法知识梳理：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和。

重要性质：平方式的非负性常可通过配方法，得到非负的完全平方式求解不定方程、做差比较大小、求解代数式的最值。

例3．（1）若m2+n2+6n−4m+13=0，则(m+n)2017= ；（2）已知a2b2+a2+b2+10ab+16=0，求a2+b2的值；（3）已知14(b−c)2=(a−b)(c−a)且a≠0，求b ca+的值。

例4．（1）若A=x2+4xy+y2−4，B=4x+4xy−6y−25，试比较A、B的大小关系。

（2）若x≠y，则x4+y4x3y+xy3(填“>”或“<”)例5．阅读下面的材料：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式a2−2a+5的最小值。

方法如下：a2−2a+5=a2−2a+1+4=(a−1)2+4，由(a−1)2≥0，得(a−1)2+4≥4，代数式a2−2a+5的最小值是4。

（1）仿照上述方法求代数式x2+6x−5的最小值；（2）代数式−a2−4a+10有最大值还是最小值?请用配方法求出这个最值。

例6．（1）求代数式(a+2b)2+(a−1)2+(b−1)2−7的最小值；（2）已知实数a、b满足a2+b2=1，试求a4+a2b2+b4的最大值和最小值。

八年级变形规律总结知识点

八年级变形规律总结知识点变形规律是一种形式思维，通过对数学对象的形式上进行分析，揭示出其中的规律和特点，进而提高解决问题的能力。

在学习数学的过程中，变形规律是必不可少的一部分。

八年级的变形规律更加深入，知识点更加繁杂复杂。

下面我们来总结一下八年级变形规律的知识点。

一、配方法在因式分解和方程式求解中，配方法是一种常用的技巧。

它是一种特殊的变形规律，能把复杂的表达式转化为简单的形式。

配方法的思路是将一个多项式表达式中的某部分（项）恰当地乘以一个系数（一般是整个表达式的最高次项系数的倒数，或者整个表达式两侧（中心）的公因式的系数的倒数），使得这部分（项）可以和其他部分（项）进行分组，从而简化问题。

通过配方法，我们可以解决如下问题：1. 将分数式的分子、分母配成相同的因式，从而得到一个化简后的分数式；2. 将四个项的多项式配成两组，将因式分解和解方程问题化简，从而得到一个容易解决的方程式。

二、变量代换变量代换是一种极为重要的变形规律，它是使一个数学问题简化的关键。

在数学中，常常遇到一些数学问题或公式，在保证正确性的前提下，可以做一些等价的变形，使得问题更易解决。

这种等价变形中，一种常用的方法就是变量代换。

变量代换所解决的问题一般是涉及到了一些复杂的符号语言的问题，例如代数式、方程式等等，这些复杂符号语言似乎很难理解和把握，但是如果我们将符号换成对这些符号表示的具体数值或者临时代入别的变量，问题就会变得简单易解。

三、等式的变形等式的变形是一种数学变形规律，也是解决数学问题的关键。

它是一种将已知条件导向所求结果的方法。

与变量代换比较，等式的变形不是直接讲复杂符号替换成简单的符号，而是通过运用运算定律、代入等形式化思维方法，将式子转化为下一个阶段的式子，从而逐步地将已知的等式转化为所求的等式。

等式的变形可以解决如下问题：1. 证明性题目，即证明两个数学式子的相等性质。

2. 解决方程式问题。

3. 用简单的方法导出高中的复杂的数学知识，如导数、积分、矩阵等高阶数学知识点。

初中的六个恒等变形式

初中的六个恒等变形式好吧，今天我们来聊聊初中数学里的六个恒等变形，嘿，听上去有点儿干，但咱们把它聊得轻松点儿，保证你能乐在其中。

数学这东西啊，很多人都觉得它是个“死板”的存在，殊不知，它其实像个魔法师，能把复杂的问题变得简单明了。

说到恒等变形，它们就像是数学界的小小法宝，帮我们解决了不少难题。

首先啊，咱们得提到“完全平方公式”。

这玩意儿真的是个宝藏，啥时候用都合适。

比如说，(a + b)²= a² + 2ab + b²，听起来是不是有点复杂？但你想啊，平时生活中，咱们买东西，两个朋友一起凑钱，计算总价的时候，这公式就能帮到你。

每次看到这个公式，我脑海里都浮现出两个小伙伴一起购物的场景，算来算去，最后大家开心地一起分摊账单，哈哈，真是有趣。

然后呢，咱们再说说“平方差公式”。

它是(a + b)(a b) = a² b²。

这个可好了，看到这个公式，我总能想到“好事成双，坏事也成双”的道理。

就像你和朋友在公园里踢足球，突然有一个人进了球，结果对方球员气得不轻，两队就像在打“平方差”一样，瞬间变得紧张起来。

哈哈，别担心，大家心里都明白，这只是场比赛，最终大家还是会欢笑着回家。

接下来咱们得提“立方和与立方差公式”。

这个公式有点儿复杂，不过别怕，听我说。

立方和是a³ + b³ = (a + b)(a² ab + b²)，立方差是a³ b³ = (a b)(a² + ab + b²)。

说实话，我一开始看到这公式的时候，简直想把它扔到一边去，真的是让人头疼。

但是当我把它应用到实际问题上，突然感觉自己像个数学侦探，解决问题的快感简直不要太爽。

想象一下，跟朋友一起组队解谜，咱们俩凭着这个公式，一步步找到线索，最后大功告成，那感觉，简直就像打通了游戏里的每一关，爽翻了！再来呢，就是“根式的性质”。

数学中的恒等变形与化归思想

恒等式的性质
恒等式的性质1
如果两个恒等式相等，那么它们的相反数也相等。
恒等式的性质2
如果两个恒等式相等，那么它们的倒数也相等。
恒等式的性质3
如果两个恒等式相等，那么它们的和、差、积、商（除数不为0）也相等。
恒等式的性质总结
恒等式具有一些基本性质，这些性质可以用于化简和推导其
他恒等式。
恒等式的证明方法
用首项和公比表示等比数列的任意一项。
求和公式
用于求等差或等比数列的和。
04
数学中的化归思想
分解与化归
分解
将一个数学问题或复杂的问题分解为若干个简单的子问题，从而使问题更容易解决。
化归
将原问题转化为一个或多个已知的或更简单的问题，以便更容易地解决原问题。
函数与化归
函数
用函数表示变量之间的关系，以便更好地描述和预测现象。
数学中的恒等变形与化归思想
目录
• 恒等变形 • 化归思想 • 数学中的恒等变形 • 数学中的化归思想 • 恒等变形与化归思想在数学问题中的应用
01
恒等变形
恒等式的定义
恒等式
如果无论用什么数代入等式两边，等式都成立，则称这个等式为恒等式。
恒等式的定义总结
恒等式是数学中的一个重要概念，它表示两个解析式之间的等价关系，可以用于化简和推导其他恒等式。
THANKS
感谢观看
和差化积
将两个三角函数的和或差转化为另外两个函数的积，便于进一步计算。
积化和差
将两个三角函数的积转化为另外两个函数的差或和转化为易于计算的三角函数。
数列中的恒等变形
等差数列的通项公式
用首项和公差表示等差数列的任意一项。