【数学】福建省莆田六中2016-2017学年高一(下)期中试卷(理科)(B卷)(解析版)

福建省莆田六中2016-2017学年高一（下）期中
数学试卷（理科）（B卷）
一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．（5分）直线经过点（0，2）和点（3，0），则它的斜率为（）
A．B．C．﹣D．﹣
2．（5分）直线x﹣y+a=0（a为常数）的倾斜角为（）
A．30°B．60°C．150°D．120°
3．（5分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是（）
A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=0
4．（5分）与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线方程是（）
A．3x+4y﹣5=0 B．3x+4y+5=0 C．3x﹣4y+5=0 D．3x﹣4y﹣5=0
5．（5分）一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面积是（）
A．B．C．D．2
6．（5分）如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且==，则（）
A．EF与GH互相平行
B．EF与GH异面
C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上
D．EF与GH的交点M一定在直线AC上
7．（5分）设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
8．（5分）经过点P（0，2）的直线l，若直线l与连接A（﹣，﹣1），B（2，0）的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）
A．B．
C．D．
9．（5分）已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件中能推出α∥β的是（）
①存在一条直线m，m⊥α，m⊥β；
②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；
③存在两条平行直线m，n，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α；
④存在两条异面直线m，n，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
10．（5分）图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．8﹣πB．8﹣π C．8﹣πD．8﹣π
11．（5分）正方形ABCD，沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则折后的异面直线AB 与CD所成的角的大小为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
12．（5分）圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图），则球的半径是（）
A．cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
二、填空题：（本大题6小题，每小题5分，共30分）
13．（5分）两平行直线3x+4y﹣5=0和mx+8y+10=0的距离为．
14．（5分）直线l经过点A（3，﹣1），且在第四象限与两坐标轴围成等腰三角形，则直线l的方程为．
15．（5分）已知△ABC的三个顶点A（1，3），B（3，1），C（﹣1，0），则△ABC的面积为．16．（5分）已知圆台的上、下底面半径分别是1cm、3cm，且侧面积等于两底面积之和，则圆台的母线长为cm．
17．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1的三个面的对角线长分别是a，b，c，则长方体对角线AC1的长是．
18．（5分）如图所示，在四面体VABC木块中，P为△VAC的重心，这点P作截面EFGH，若截面EFGH是平行四边形，则该截面把木块分成两部分体积之比为．（埴体积小与体积大之比）
三、解答题：（本大题共5题，满分60分）
19．（12分）已知两条直线l1：4x+（a+3）y+（3a﹣5）=0，l2：（a+5）x+2y﹣8=0，问a为何值时，l1与l2：
（Ⅰ）平行；
（Ⅱ）相交；
（Ⅲ）垂直．
20．（12分）已知△ABC的顶点A（1，5），AB边上的中线CM所在直线方程为x﹣2y+5=0，
AC边上的高BH所在直线方程为2x﹣y+5=0，求：
（Ⅰ）顶点C的坐标；
（Ⅱ）直线BC的方程．
21．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AB=AC，D、E分别是棱BC、CC'上的点（点D不同于点C），且AD⊥BC，F为B'C'的中点．求证：
（Ⅰ）平面ADE⊥平面BCC'B'；
（Ⅱ）直线A'F∥平面ADE．
22．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E为DD'的中点．
（Ⅰ）求证BD'∥平面AEC；
（Ⅱ）如图，设F为上底面A'B'C'D'一点，过点F在上底面画一条直线与CF垂直，并说明理由．
23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面α，C是圆周上不同于A、B的点．
（Ⅰ）求证：平面P AC⊥平面PBC；
（Ⅱ）过A作AD⊥PC（D为垂足），过D作DE⊥PB（E为垂足），求证：PB⊥平面ADE．
【参考答案】
一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）
1.C
【解析】直线经过点（0，2）和点（3，0），则直线l的斜率是k==﹣
2．B
【解析】设直线x﹣y+a=0的倾斜角是α，
则直线的方程可化为y=x+a，
直线的斜率k=tanα=，
∵0°≤α＜180°，
∴α=60°．
3．A
【解析】设直线方程为x﹣2y+c=0，又经过（1，0），
∴1﹣0+c=0
故c=﹣1，
∴所求方程为x﹣2y﹣1=0；
4．A
【解析】令x=0，则y=，可得直线3x﹣4y+5=0与y轴的交点．
令y=0，可得x=﹣，可得直线3x﹣4y+5=0与x轴的交点，此点关于y轴的对称点为．
∴与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线经过两点：，．
其方程为：=1，化为：3x+4y﹣5=0．
5．C
【解析】由题意，直观图的面积为，
因为直观图和原图面积之间的关系为，故原△ABO的面积是
6．D
【解析】因为F、G分别是边BC、CD上的点，且==，
所以GF∥BD，并且GF=BD，
因为点E、H分别是边AB、AD的中点，
所以EH∥BD，并且EH=BD，
所以EH∥GF，并且EH≠GF，
所以EF与GH相交，设其交点为M，
所以M∈面ABC内，
同理M∈面ACD，
又∵面ABC∩面DAC=AC
∴M在直线AC上．
7．C
【解析】A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故A错误．
B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故B错误．
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α，正确．
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故D错误．
8．D
【解析】k P A=，k PB=﹣1．
∵直线l与连接A（﹣，﹣1），B（2，0）的线段总有公共点，
∴直线l的斜率的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪．
9．C
【解析】对于①，由“垂直于同一条直线的两个平面互相平行”可知①正确；
对于②，以直三棱柱为例，直三棱柱的任意两个侧面都与底面垂直，但两个侧面不平行，故②不正确；
对于③，若α∩β=l，且m∥l，n∥l，显然符合条件，但平面α，β不平行，故③不正确；
对于④，假设α与β相交，交线为l，∵m⊂α，α∩β=l，则m∥l，
同理可得n∥l，故m∥n，与m，n为异面直线矛盾，故假设错误，故④正确．
10．D
【解析】根据几何体的三视图知，
该几何体是棱长为2的正方体，挖去半个圆锥体，
如图所示；
结合图中数据，计算它的体积为
V=23﹣××π×12×2=8﹣．
11．C
【解析】取BD中点O，连结AO、CO，
设正方形ABCD边长为，∵沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，AO⊥CO，
以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，1），B（0，﹣1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），=（0，﹣1，﹣1），=（﹣1，1，0），
设折后的异面直线AB与CD所成的角为θ，
则cosθ=|cos＜＞|=
==，
∴θ=60°．
∴折后的异面直线AB与CD所成的角为60°．
12．D
【解析】设球的半径为r，则V水=8πr2，V球=4πr3，
加入小球后，液面高度为6r，∴πr2•6r=8πr2+4πr3，
解得r=4．
二、填空题：（本大题6小题，每小题5分，共30分）
13．2
【解析】两平行直线3x+4y﹣5=0和mx+8y+10=0，可得m=6，
则两条平行线之间的距离为：=2．
故答案为：2．
14．x﹣y﹣4=0
【解析】∵直线l经过点A（3，﹣1），设直线l的方程为y+1=k（x﹣3），k＞0，则直线和x轴的交点为（+3，0），和y轴的交点为（0，﹣3k﹣1 ），
根据题意可得+3=3k+1，即3k2﹣2k﹣1=0，求得k=1，或k=﹣（舍去），
故直线l的方程为y+1=1（x﹣3），即x﹣y﹣4=0，
故答案为：x﹣y﹣4=0．
15．5
【解析】由A（1，3），B（3，1），
设AB的直线方程为y=kx+b，
则，
解得：k=﹣1，b=4．
AB的直线方程为x+y﹣4=0．
C（﹣1，0）到直线AB的距离h=．
AB的距离d==2．
则△ABC的面积S=×=5．
故答案为：5．
16．
【解析】S=π，S′=9π，
∴π（1+3）l=π+9π=10π，
∴l=．
故答案为：．
17．
【解析】设长方体具有公共顶点的棱长分别为x，y，z，则
三式相加可得x2+y2+z2=
∴长方体对角线AC1的长是=
故答案为：
18．
【解析】如图，∵四边形EFGH为平行四边形，∴EH=FG，且EH∥FG，
∴EH∥平面ABC，又EH⊂平面VAC，平面VAC∩平面ABC=AC，
∴EH∥AC，则EH∥AC∥FG，
∵P为△VAC的中心，∴VH：VC=VE：VA=EH：AC=2：3，
而EH=FG，
∴BF：BA=BG：BC=FG：AC=2：3．
连接VF、VG、AG、AH，
则多面体EFGHVB的体积等于四棱锥V﹣EFGH的体积与三棱锥V﹣BFG的体积和，多面体EFGHAC的体积等于四棱锥A﹣EFGH的体积与三棱锥H﹣AGC的体积和．∵四棱锥V﹣EFGH的高是四棱锥A﹣EFGH的高的2倍，底面积相等，
∴四棱锥V﹣EFGH的体积是四棱锥A﹣EFGH的体积的2倍；
∵三棱锥V﹣BFG的底面积是三棱锥H﹣AGC的底面积的倍，高是3倍，
∴三棱锥V﹣BFG的体积是三棱锥H﹣AGC的体积的4倍．
设棱锥H﹣AGC的体积为V1，则三棱锥H﹣AFG的体积为，有四棱锥A﹣EFGH的体积是．
∴多面体EFGHAC的体积等于，多面体EFGHVB的体积等于，∴多面体EFGHAC的体积与多面体EFGHVB的体积比等于．
故答案为：．
三、解答题：（本大题共5题，满分60分）
19．解：（Ⅰ）直线l1：4x+（a+3）y+（3a﹣5）=0的斜率为﹣，
直线l2：（a+5）x+2y﹣8=0的斜率为﹣，
∴﹣=﹣，解得a=﹣1，或a=﹣7，当a=﹣1时两条直线重合，舍去，
∴a=﹣7时两条直线平行；
（Ⅱ）两条直线相交，则两条直线不重合，不平行，∴a∈（﹣∞，﹣7）∪（﹣7，﹣1）∪（﹣1，+∞）；
（Ⅲ）两条直线垂直，∴（﹣）（﹣）=﹣1，解得a=﹣．
20．解：（Ⅰ）设顶点C的坐标为（m，n），则由点C在直线CM上，可得m﹣2n+5=0 ①．再根据AC⊥BH，可得•2=﹣1 ②，
由①②求得，∴C（3，4）．
（Ⅱ）设点B的坐标为（e，f），则AB的中点（，）在CM：x﹣2y+5=0上，
∴﹣2•+5=0，即e﹣2f﹣4=0 ③．
再根据点B的坐标为（e，f）满足BH所在直线方程2x﹣y+5=0，可得2e﹣f+5=0 ④，
由③④求得，∴B（﹣，﹣），由两点式求得直线BC的方程为=，
即25x﹣23y+17=0．
21．证明：（I）∵BB′⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，
∴AD⊥BB′，
∵AD⊥BC，BB′∩BC=B，BB′⊂平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，
∴AD⊥平面BCC′B′，
又AD⊂平面ADE，
∴平面ADE⊥平面BCC'B'．
（II）连结DF，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D是BC的中点，又F是B′C′的中点，
∴B′F BD，∴四边形BDFB′是平行四边形，
∴DF BB′，又BB′AA′，
∴DF AA′，∴四边形ADF A′是平行四边形，
∴A′F∥AD，
又A′F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，
∴A′F∥平面ADE．
22．（I）证明：连接BD交AC于O，连接EO，
∵四边形ABCD是正方形，
∴O是BD的中点，又E是DD′的中点，
∴OE∥BD′，
又OE⊂平面AEC，BD′⊄平面AEC，
∴BD'∥平面AEC．
（II）解：连结C′F，在上底面内过F作直线FM⊥C′F，则直线FM即为所求的直线．证明：∵CC′⊥平面A′B′C′D′，FM⊂平面A′B′C′D′，
∴CC′⊥FM，又FM⊥C′F，C′F∩CC′=C′，
∴FM⊥平面CC′F，又CF⊂平面CC′F，
∴FM⊥CF．
23．证明：（I）∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，
∵P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴P A⊥BC，
又P A∩AC=A，P A⊂平面P AC，AC⊂平面P AC，
∴BC⊥平面P AC，
又BC⊂平面PBC，
∴平面P AC⊥平面PBC．
（II）由（I）可知BC⊥平面P AC，AD⊂平面P AC，
∴BC⊥AD，
又AD⊥PC，PC∩BC=C，PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴AD⊥平面PBC，又PB⊂平面PBC，
∴AD⊥PB，
又PB⊥DE，AD∩DE=D，AD⊂平面ADE，DE⊂平面ADE，
∴PB⊥平面ADE．。