一次函数

一次函数､二次函数､幂函数一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)1.已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是( )解析:当a>0时,一次函数单调递增,二次函数开口向上,又一次函数与二次函数都过点(0,c);当a<0时,一次函数递减,二次函数开口向下,又都过点(0,c).故排除A､B､C.答案:D2.若函数y=(x+1)(x-a)为偶函数,则a=( )A.-2B.-1C.1D.2解析:∵y=(x+1)(x-a)=x2+(1-a)x-a为偶函数,∴1-a=0,即a=1.答案:C3.若f(x)=x2+2mx+m2-2m在(-∞,3]上单调递减,则实数m的取值范围是( )A.(-∞,-3]B.[-3,+∞)C.(-∞,3]D.[3,+∞)解析:因为f(x)开口向上,对称轴为x=-m,且在(-∞,3]上单调递减,结合图象得-m≥3,即m≤-3.答案:A4.设m∈R,f(x)=x2-x+a(a>0),且f(m)<0,则f(m+1)的值( )A.大于0B.小于0C.等于0D.不确定解析:函数f(x)=x2-x+a的对称轴为x= ,f(0)=a,∵a>0,∴f(0)>0,由二次函数的对称性可知f(1)=f(0)>0.∵抛物线的开口向上,∴由图象可知当x>1时,恒有f(x)>0.∵f(m)<0,∴0<m<1.∴m>0,∴m+1>1,∴f(m+1)>0.答案:A评析:数形结合思想的实质是通过对图象的观察分析,并进行简单的运算与推理,来寻找解题思路,并得出结论.5.已知幂函数y x p q(p,q∈N+且p与q互质)的图象如图所示,则( )A.p 、q 均为奇数且p q<0 B.p 为奇数,q 为偶数且p q <0 C.p 为奇数,q 为偶数且p q >0 D.p 为偶数,q 为奇数且p q<0解析:∵函数()p qf x x =的图象是双曲线型,∴p q<0. 又∵函数的图象关于y 轴对称,∴函数f(x)是偶函数, ∴q 为奇数,p 为偶数,故选D. 答案:D评析:由函数的图象去研究函数的性质,一定要抓住函数图象的特征,幂函数的图象特征与其幂指数的取值是密切相关的,根据它们之间的关系是解决本题的关键所在.6.给定一组函数解析式:22333334221133y x ;y x ;y x y x y x ;y x ;y x ;;,---=======①②③④⑤⑥⑦如图所示一组函数图象.图象对应的解析式号码顺序正确的是( )A.⑥③④②⑦①⑤B.⑥④②③⑦①⑤C.⑥④③②⑦①⑤D.⑥④③②⑦⑤①解析:观察前三个图象,由于在第一象限内,函数值随x的增大而减小,知幂指数应小于零,其中第一个函数图象关于原点对称,第二个函数图象关于y轴对称,而第三个函数的定义域为x>0,因此,第一个图象应对应函数y=x- ,第三个图象对应y=x- ;后四个图象都通过(0,0)和(1,1)两点,故知幂指数应大于0,第四个图象关于y轴对称,第五个图象关于原点对称,定义域都是R,因此,第四个图象对应函数23y x =,第五个图象对应13y x=.由最后两个图象知函数定义域为x≥0,而第六个图象呈上凸状,幂指数应小于1,第七个图象呈下凹状,幂指数应大于1,故第六个图象对应34y x=,第七个图象对应32y x=.答案:C二､填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)7.已知不等式(a2-1)x2+(a-1)x+21a+>0,对任意的x∈R恒成立,则实数a的取值范围是________.解析:设f(x)=(a2-1)x2+(a-1)x+2,1a+∵分母中有a+1,∴a≠-1.①当a=1时,f(x)=1,符合已知条件;②当a≠±1时,函数f(x)是二次函数,由题意可知,函数f(x)的图象开口向上,且与x轴没有交点.∴22210,2 (1)4(1)0,1aa aa⎧->⎪⎨---<⎪+⎩即2210,1090,aa a⎧->⎪⎨-+<⎪⎩∴1<a<9.综合①②可知所求a的取值范围是[1,9).答案:[1,9)8.已知函数f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R).给了下列命题:①f(x)必是偶函数;②当f(0)=f(2)时f(x)的图象必关于直线x=1对称;③若a2-b≤0,则f(x)在区间[a,+∞)上是增函数;④f(x)有最大值|a2-b|.其中正确命题的序号是________.解析:x2-2ax+b=(x-a)2+b-a2,若b-a2≥0,则|x2-2ax+b|=x2-2ax+b因此在[a,+∞)上为增函数,而①､②､④均不正确.答案:③9.若x>0,则131314242223234______.__ x x x⎛⎫⎛⎫+--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭解析:1313111342422222323443427.x x x x x ⎛⎫⎛⎫+--=--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭答案:-2710.(2010·广州月考)函数1()m m f x x += (m∈N *)的定义域是________,单调递增区间是________.解析:由于m 2+m=m(m+1),且m∈N *,所以m 2+m 一定是偶数,因此要使21()m m f x x +=有意义,必须满足x≥0,即函数的定义域为[0,+∞).又因为当21()m m f x x +=有意义时,必有21m m+>0,故函数的递增区间是[0,+∞).答案:[0,+∞)[0,+∞)三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)11.(2010·济宁育才中学月考)已知函数2()m f x x x =-且f(4)7.2= (1)求m 的值;(2)判定f(x)的奇偶性;(3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明. 解:(1)因为f(4)=72,所以4m -24=72,所以m=1. (2)因为f(x)的定义域为{x|x≠0},又22()f x x x f x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭ (x),所以f(x)是奇函数. (3)设x 1>x 2>0,则()()2121212211222()1,f x f x x x x x x x x x⎛⎫⎛⎫--=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为x 1>x 2>0,所以x 1-x 2>0,1+122x x >0,所以f(x 1)>f(x 2),所以f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数.12.(2010·淄博统考)已知函数11113333(),().55x x x xf xg x ---+==(1)证明f(x)是奇函数,并求其单调区间;(2)分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值,并由此概括一个涉及函数f(x),g(x)的对所有非零实数x 都成立的等式,并证明.解:(1)证明:因为f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,对()()11113333()()5x 5f f x ,x x x x ------=--=-=()()()()11113333112211331211331211312121312113312255111,510,1f x ,x x ,x ,x 0,,f x f 0x ,x x x x x x x x x x x x-----⎛⎫⎛⎫< ⎪=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭-∈+∞=<+>- 所以是奇函数设则因为所以f(x 1)-f(x 2)<0,故f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数,又因为f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)上也是单调递增函数,即f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞).(2)经过计算可得f(4)-5f(2)g(2)=0,f(9)-5f(3)g(3)=0,由此可得对所有非零实数x 都成立的一个等式是f(x 2)-5f(x)g(x)=0.证明如下:因为()()()22113333112222333333255511()()0.55f x 5f x g x 5x x x x x x x x x x -------=-+=----=评析:本题既考查了幂函数的性质,又考查了归纳推理,函数是整个高中数学的一个核心和主线,它可以和许多问题联系在一起,幂函数作为一种常见的函数模型,往往也是许多知识的交汇点,所以应重视对幂函数的研究.13.已知集合A={(x,y)|y=x 2+mx+2},B={(x,y)|y=x+1,0≤x≤2},若A∩B≠∅,求实数m 的取值范围.分析:已知条件中A∩B≠∅的几何意义是抛物线y=x 2+mx+2与线段y=x+1(0≤x≤2)有交点,即转化为方程组22,1(02),y x mx y x x ⎧=++⎨=+⎩≤≤有解.解:解方程组22,1,y x mx y x ⎧=++⎨=+⎩①②①代入②并整理得x 2+(m-1)x+1=0,③ ∵A∩B≠∅,∴方程③在[0,2]上有实数根.设f(x)=x 2+(m-1)x+1,显然f(0)=1>0,则由函数f(x)的图象可得f(2)≤0或(1)240,102,2(2)0,m m f =--⎧⎪-⎪<<⎨>⎪∆-⎪⎩≥ 解得m≤- 或 - <m≤-1,即m≤-1.∴所求m的取值范围是(-∞,-1].评析:本题是数形结合思想､函数方程思想､化归思想等数学思想的综合运用.涉及到二次函数的问题,抓住函数的图象是关键.。