1三次函数切线专题

三次函数切线问题
一、过三次函数上一点的切线问题。

设点P 为三次函数)0()(2
3≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)
(x f y =的图象相切。

若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线。

证明 设),(11y x P 过点P 的切线可以分为两类。

1、 P 为切点 c bx ax x f k ++==12
11/123)(，
切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-
P 不是切点，过P 点作)(x f y =图象的切线，切于另一点Q （22,y x ）
1
21
2212
23
13
212122x x cx cx bx bx ax ax x x y y k --+-+-=
--= c bx bx ax x ax ax +++++=212
12122
又 c bx ax x f k ++==22
22/223)( （1）
∴ c bx bx ax x ax ax +++++21212122c bx ax ++=22
223
即0)2)((1212=+
+-a b x x x x ∴ a
b
x x 22112--=代入（1）式 得 c a
b bx ax k +-+=421432
1212
讨论：当21k k =时，=++c bx ax 12
123c a
b bx ax +-+421432
121，得a b x 31-=，
∴ 当a b
x 31-
=时，两切线重合，所以过点P 有且只有一条切线。

当a
b
x 31-≠时，21k k ≠，所以过点P 有两条不同的切线。

其切线方程为：))(23(112
11x x c bx ax y y -++=-
))(42143(12
1211x x c a
b bx ax y y -+-+=-
由上可得下面结论：
过三次函数)0()(2
3≠+++=a d cx bx ax x f 上异于对称中心的任一点),(111y x P 作
)(x f y =图象的切
线，切于另一点),(222y x P ，过),(222y x P 作)(x f y =图象的切线切于),(333y x P ，如此继续，得到点列
),(444y x P ----),(n n n y x P ----，则a
b
x x n n 2211--=+，且当+∞→n 时，点趋近三次函数图象的对称中心。

证明：设过),(n n n y x P 与)(x f y =图象切于点),(111+++n n n y x P 的切线为1+n n P P ，
c bx bx ax x ax ax x x y y k n n n n n n n
n n n +++++=--=
+++++12
12111
又 c bx ax x f k n n n ++==+++12
11/23)(
∴ c bx bx ax x ax ax n n n n n n ++++++++12121=c bx ax n n ++++12123
即 0)2)((11=++-++a b x x x x n n n n ∴ a
b
x x n n 2211-
-=+ 设)(211λλ+-=++n n x x 则a b
3=λ
∴ 数列}3{a b x n +是公比为2
1
-的等比数列， 11)21)(3(3--++-=n n a b x a b x
即 a
b
x n n 3lim -
=∞
→。

2、过三次函数外一点的切线问题。

设点),(00y x P 为三次函数)0()(2
3≠+++=a d cx bx ax x f 图象外，则过点P 一定有直线与
)(x f y =图象相切。

（1）若,30a b
x -
=则过点P 恰有一条切线； （2） 若,30a b x -≠且)3()(0a b
g x g -0>，则过点P 恰有一条切线； （3） 若,30a b x -≠且)3()(0a b
g x g -=0，则过点P 有两条不同的切线； （4）若,30a b x -≠且)3()(0a
b
g x g -0<，则过点P 有三条不同的切线。

其中).)(()()(0/
0x x x f x f y x g -+-=
证明 设过点P 作直线与)(x f y =图象相切于点),,(11y x Q 则切线方程为 ),)(23(112
11x x c bx ax y y -++=- 把点),(00y x P 代入得：
02)3(200102
1031=--+--+cx d y x bx x ax b ax ，
设.2)3(2)(0002
03cx d y x bx x ax b ax x g --+--+= ,2)3(26)(002
/bx x ax b ax x g --+=
,)3(448)3(420020b ax abx ax b +=+-=∆
令,0)(/
=x g 则.3,0a
b x x x -
== 因为0)(=x g 恰有一个实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴只相交一次，即)(x g y =在R 上为单调函数或两极值同号，所以,30a b x -
=或,30a b x -≠且)3()(0a
b
g x g -0>时，过点P 恰有一条切线。

0)(=x g 有两个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以
,30a b x -
≠且)3()(0a
b
g x g -=0时，过点P 有两条不同的切线。

0)(=x g 有三个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴有三个公共点，即)(x g y =有一个极大值，
一个极小值，且两极值异号。

所以,30a b x -≠且)3()(0a
b
g x g -0<时，过点P 有三条不同的切线。

例题讲解：
例1、已知函数3y x x =-，求过点()1,0A 的切线方程。

例2、（2010湖北文数）设函数3
2
1a x x bx c 3
2
f -++（
x ）=，其中a ＞0，曲线x y f =（）在点P （0，0f （））
处的切线方程为y=1
（Ⅰ）确定b 、c 的值。

（Ⅱ）设曲线x y f =（）在点（11x x f ，（））及（22x x f ，（））处的切线都过点（0,2）证明：当12x x ≠时，12'()'()f x f x ≠
（Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线x y f =（）的三条不同切线，求a 的取值范围。

例3、已知函数3
21()3
f x x ax bx =
++,且'(1)0f -= (1) 试用含a 的代数式表示b,并求()f x 的单调区间；
（2）令1a =-,设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点M (1x ,1()f x )，
N(2x ,2()f x )，P(,()m f m ), 12x m x <<,请仔细观察曲线()f x 在点P 处的切线与线段MP 的位置变化趋势，并解释以下问题：
（I ）若对任意的m ∈(1x , x 2)，线段MP 与曲线f(x)均有异于M,P 的公共点，试确定t 的最小值，并证明你的结论；
（II ）若存在点Q(n ,f(n)), x ≤n< m,使得线段PQ 与曲线f(x)有异于P 、Q 的公共点，请直接写出m 的取值范围（不必给出求解过程）
三次函数切线作业
1、曲线33y x x =+在点(2,14)P --处的切线方程是 。

2、已知曲线C ：3()2f x x x =-+，则经过点(1,2)P 的曲线C 的切线方程是 。

3、已知曲线C ：32()32f x x x x a =-++的一条切线方程为2y x =，则实数a 的值等于 。

4、已知函数()32
3f x ax bx x =+-在1x =±处取得极值。

（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
（Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值12,x x ，都有()()124f x f x -≤； （Ⅲ）若过点A （1，m ）（m ≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m 的取值范围. 5、已知函数．3()2f x x ax =+与2()g x bx cx =+的图象都过点P(2，0)，且在点P 处有公共切线． (1)求f(x)和g(x)的表达式及在点P 处的公切线方程； (2)设()
()ln(1)8mg x F x x x
=+-，其中0m <，求F(x)的单调区间．
三次函数切线问题参考答案
例1、解：()2
31f x x '=-，
若A 是切点，则切线方程为()02122y x y x -=-⇒=-
若A 不是切点，设切点为()3,t t t -，则切线方程为()()()32
31y t t t x t --=--，将()1,0A 代入得
()()2
3232223102211210t t t t t t t -+=⇒--+=-⋅+=，所以切点为13,28⎛⎫- ⎪⎝⎭
，则切线方程为410x y +-=。

小结：求切线方程步骤，先判断点是否在曲线上，如不在曲线上，则参照第二小步设切点坐标，若在曲线上，讨论已知点是否为切点，若为切点，由导数可直接求得斜率。

例2、
例3、解法一:
(Ⅰ)依题意,得2'()2f x x ax b =++ 由'(1)12021f a b b a -=-+==-得.
从而32
1()(21),'()(1)(21).3f x x ax a x f x x x a =++-=++-故
令'()0,112.f x x x a ==-=-得或 ①当a>1时, 121a -<-
当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：
x
(,12)a -∞-
(12,1)a --
(1,)-+∞
'()f x + － + ()f x
单调递增
单调递减
单调递增
由此得，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --。

②当1a =时，121a -=-此时有'()0f x >恒成立，且仅在1x =-处'()0f x =，故函数()f x 的单调增区间为R
③当1a <时，121a ->-同理可得，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为
(1,12)a --
综上：
当1a >时，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --； 当1a =时，函数()f x 的单调增区间为R ；
当1a <时，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --. (Ⅱ)由1a =-得3
21()33
f x x x x =
--令2()230f x x x =--=得121,3x x =-= 由（1）得()f x 增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-，所以函数()f x 在处121,3x x =-=取得极值，故M （5
1,
3
-）N （3,9-）。

观察()f x 的图象，有如下现象：
①当m 从-1（不含-1）变化到3时，线段MP 的斜率与曲线()f x 在点P 处切线的斜率()f x 之差Kmp-'()f m 的值由正连续变为负。

②线段MP 与曲线是否有异于H ，P 的公共点与Kmp －'()f m 的m 正负有着密切的关联；
③Kmp －'()f m =0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp －'()f m 的m 就是所求的t 最小值，下
面给出证明并确定的t 最小值.曲线()f x 在点(,())P m f m 处的切线斜率2
'()23f m m m =--；
线段MP 的斜率Kmp 245
3
m m --=
当Kmp －'()f m =0时，解得12m m =-=或
直线MP 的方程为22454()33m m m m
y x ---=+
令22454()()()33
m m m m
g x f x x ---=-+
当2m =时，2
'()2g x x x =-在(1,2)-上只有一个零点0x =，可判断()f x 函数在(1,0)-上单调递增，
在(0,2)上单调递减，又(1)(2)0g g -==，所以()g x 在(1,2)-上没有零点，即线段MP 与曲线()f x 没有异于M ，P 的公共点。

当(]2,3m ∈时，24(0)03
m m
g -=->.2(2)(2)0g m =--<
所以存在(]0,2m ∈使得()0g δ=
即当(]2,3,m ∈时MP 与曲线()f x 有异于M,P 的公共点 综上，t 的最小值为2.
（2）类似（1）于中的观察，可得m 的取值范围为(]1,3 解法二：
（1）同解法一.
（2）由1a =-得3
21()33
f x x x x =-
--，令2'()230f x x x =--=，得121,3x x =-= 由（1）得的()f x 单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-，所以函数在处取得极值。

故M(5
1,
3
-).N(3,9-) (Ⅰ) 直线MP 的方程为22454.33m m m m
y x ---=+
由223245433
133m m m m
y x y x x x ⎧---=+⎪⎪⎨
⎪=--⎪⎩ 得32223(44)40x x m m x m m ---+-+=
线段MP 与曲线()f x 有异于M,P 的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数 3222()3(44)4g x x x m m x m m =---+-+在(-1,m)上有零点.
因为函数()g x 为三次函数,所以()g x 至多有三个零点,两个极值点.
又(1)()0g g m -==.因此, ()g x 在(1,)m -上有零点等价于()g x 在(1,)m -内恰有一个极大值点和一个极小值点,即22'()36(44)0(1,)g x x x m m m =---+=在内有两不相等的实数根. 等价于222
22
3612440
3(1)6(44)036(44)01
m m m m m m m m m ⎧∆+-+⎪-+--+>⎪⎨---+>⎪⎪>⎩
＝（）＞ 即1521,251
m m m m m -<<⎧⎪
><-<<⎨⎪>⎩或解得 又因为13m -<≤,所以m 的取值范围为(2,3) 从而满足题设条件的r 的最小值为2.
作业：
1、解：由'2()33f x x =+，得'(2)15f -=，所以所求的切线方程为1415(2)y x +=+，即1516y x =+。

2、错解：由'2()31f x x =-，得'(1)2k f ==，所以所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =。

错因剖析：此处所求的切线只说经过P 点，而没说P 点一定是切点，于是切线的斜率k 与'(1)f 不一定相等。

正解：设经过点P （1，2）的直线与曲线C 相切于点00(,)x y ，则由'2()31f x x =-，得在点00(,)x y 处的
斜率'200()31k f x x ==-，有在点00(,)x y 处的切线的方程为2
000(31)()y y x x x -=--。

又因为点00(,)x y 与点P （1，2）均在曲线C 上，
有3
0002
00022(31)(1)
y x x y x x ⎧=-+⎪⎨-=--⎪⎩，消去0y 得32
0000(31)(1)x x x x -=--， 解得01x =或012x =-
，于是2k =或1
4
-， 所以所求切线方程为2y x =或19
44
y x =-+。

3、设切点坐标为00(,)x y ，则32000032y x x x a =-++，又2
002362x x =-+，002y x =得00x =或2。

再消去0y 得32
003a x x =-+，于是得0a =或4。

4、（I ）()2
323f x ax bx '=+-，依题意()()110f f ''-==，
即,03230
323⎩
⎨
⎧=--=-+b a b a …………………………………………2分
解得a=1，b=0.
∴()3
3f x x x =-……………………………………………………4分
（II ）∵()33f x x x =-∴()()()2
33311f x x x x '=-=+-，
当－1<x<1时，f ′(x)<0，故f(x)在区间[－1，1]上为减函数，
()()()()max min 12,12f x f f x f =-===-……………………………………6分
∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值12,x x ，()()()()12max min 4f x f x f x f x -≤-=……………………8分 （III ）f ′(x)=3x2－3=3(x+1)(x －1)，
∵曲线方程为y=x3－3x ，∴点A （1，m ）不在曲线上.
设切点为M （x0，y0），则点M 的坐标满足.303
00x x y -= 因)1(3)(2
00-='x x f ，故切线的斜率为
13)1(3003020
---=-x m
x x x ，
整理得03322
030=++-m x x .
∵过点A （1，m ）可作曲线的三条切线，
∴关于x0方程3322
030++-m x x =0有三个实根.……………………10分
设g(x0)= 3322030++-m x x ，则g ′(x0)=602
06x x -，
由g ′(x0)=0，得x0=0或x0=1. ∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.
∴函数g(x0)= 3322
030++-m x x 的极值点为x0=0，x0=1………………12分 ∴关于x0方程3322
030++-m x x =0有三个实根的充要条件是
⎩
⎨
⎧<>0)1(0
)0(g g ，解得－3<m<－2. 故所求的实数a 的取值范围是－3<m<－2.……………………14分 5、解：(1)∵3()2f x x ax =+过点(2,0),P ∴a=-83()28f x x x =-,
2()68f x x x '=-
∴切线的斜率(2)16k f '==
∵2()g x bx cx =+的图像过点(2,0),P ∴4b+2c=0,
∵()2,(2)(2)416g x bx c f g b c '''=+==+=,解得：b=8,c=-16 ∴2()816g x x x =-
切线方程为16y ＝（x-2）．即16x-y-32=0
∵ ()(2)ln(1)
(1)F x m x x x =-+->
11
()(1)11
mx m F x m x x x -+'=+
=>-- 当m<0时，1
[(1)]
()1m x m F x x --'=-∵m<0 ∴111m
-> 又x>1 当1(1,1)x m ∈-时()0F x '> 当1
(1,)x m ∈-+∞时()0F x '<
∴F(x)的单调减区间是1
(1,)m -+∞
∴F(x)的单调增区间是(1，1
1m
-)
即m<0时，F(x)的单调递增区间是(1，11m -)，单调减区间是(1
1m -，+∞)。