2012年高三数学第一轮复习教案(新人教A)三角函数的最值11

4.9 三角函数的最值

巩固·夯实基础

一、自主梳理

1.函数y=sinx 当且仅当x=2k π+

2π(k ∈Z)时取得最大值1,当且仅当x=2k π-2

π(k ∈Z)时取得最小值-1;函数y=Asin(ωx+φ)(A>0),当且仅当x=ωπk 2+ω

ϕπ-2时取得最大值A,当且仅当x=ωπk 2+ωϕπ+2时取得最小值-A. 2.函数y=cosx 当且仅当x=2k π(k ∈Z)时取得最大值1;当且仅当x=2k π-π时取得最小值-1;函数y=Acos(ωx+φ)(A>0),当且仅当x=

ωϕπ-k 2时取得最大值A,当且仅当x=ωϕ

ππ--k 2时取得最小值-A.

3.函数y=asinx+bcosx 的最大值是22b a +,最小值是-22b a +.

二、点击双基

1.当0

x x 2sin sin 82cos 12++的最小值为( ) A.2 B.23 C.4 D.43

解析:f(x)=x x x x cos sin 2sin 8cos 222+=cotx+4tanx. (*) ∵x ∈(0,2

π),∴cotx>0,tanx>0. 故(*)≥2x x cot tan 4=4.

答案:C

2.函数f(x)=cos 2x+sinx 在区间［-4π,4

π］上的最小值是( ) A.212-

B.-221+

C.-1

D.221- 解析:f(x)=1-sin 2x+sinx =-(sinx-

21)2+45. ∴当x=-

4π时，y min =2

21-. 答案:D

3.函数y=x-sinx 在［2

π,π］上的最大值是( ) A.

2π-1 B.23π+1 C.23π-22

D.π 解析:y=x-sinx 在［2π,π］上是增函数， ∴x=π时,y max =π.

答案:D 4.y=

x

x sin 2sin +的最大值是__________________，最小值是_________________. 解析一:y=x x sin 22sin 2+-+=1-x sin 22+. 当sinx=-1时,得y min =-1;

当sinx=1时,得y max =

31. 解析二:原式⇒sinx=y

y -12(∵y ≠1) ⇒|y

y -12|≤1⇒-1≤y ≤31. ∴y max =

31,y min =-1. 答案:3

1 -1 5.设实数x 、y 满足x 2+y 2=1,则3x+4y 的最大值为______________.

解析:由x 2+y 2=1可设x=cos θ,y=sin θ.

则3x+4y=3cos θ+4sin θ=5sin(θ+φ).

则其最大值为5.

答案:5

诱思·实例点拨

【例1】 函数y=acosx+b(a 、b 为常数),若-7≤y ≤1,求bsinx+acosx 的最大值.

剖析:函数y=acosx+b 的最值与a 的符号有关,故需对a 分类讨论.

解:当a>0时,⎩

⎨⎧-=+-=+71b a b a ⇒a=4,b=-3; 当a=0时,不合题意; 当a<0时,⎩⎨⎧-=+=+-7

1b a b a ⇒a=-4,b=-3. 当a=4,b=-3时,bsinx+acosx=-3sinx+4cosx=5sin(x+φ)(tan φ=-

34);

当a=-4,b=-3时,bsinx+acosx=-3sinx-4cosx=5sin(x+φ)(tan φ=

34). ∴bsinx+acosx 的最大值为5.

【例2】 求函数y=x

x cos 2sin 2--的最大值和最小值. 剖析:此题的解法较多，一是利用三角函数的有界性；二是数形结合法，将y 看成是两点连线的斜率；三是利用万能公式换算，转化成一元函数的最值问题(由于万能公式不要求掌握，所以此方法只作了解即可).

解法一:去分母，原式化为sinx-ycosx=2-2y ，即sin(x-φ)=2122y y

+-.

故21|

22|y y +-≤1，解得374-≤y ≤3

74+. ∴y max =374+,y min =3

74-. 解法二:令x 1=cosx ，y 1=sinx ，有x 12+y 12=1.它表示单位圆，则所给函数y 就是经过定点P(2，

2)以及该圆上的动点M(cosx ，sinx)的直线PM 的斜率k ，故只需求此直线的斜率k 的最值即可.由21|

22|k k +-=1，得k=3

74±. ∴y max =374+,y min =3

74-.

讲评:数形结合法是高考中必考的数学思维方法，对此读者要有足够的重视.

【例3】 已知函数f(x)=2asin 2x-23asinx ·cosx+a+b(a ≠0)的定义域为［0,2

π］,值域为［-5,1］,求常数a 、b 的值.

剖析:首先通过三角恒等变形,将函数化成一个角的一种函数的形式,然后注意函数定义域对确定函数的值域的影响.

解:f(x)=a(1-cos2x)-3asin2x+a+b

=-a(cos2x+3sin2x)+2a+b

=-2asin(2x+6

π)+2a+b.

∵x ∈［0,

2π］,∴2x+6π∈［6π,6

7π］. ∴-21≤sin(2x+6π)≤1. 因此,由f(x)的值域为［-5,1］可得

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++⨯-=++-⨯->5

212,12)21(2,0b a a b a a a 或⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-=++-⨯-=++⨯-<.52)21(2,1212,0b a a b a a a

∴⎩⎨⎧-==5,2b a 或⎩⎨⎧=-=.

1,2b a 讲评:本题主要考查了有范围的三角函数最值的求法,解决本题的关键是对参数的讨论. 链接·聚焦

对于涉及三角函数值域等性质问题时,首先应考虑将函数化为一个角的一种函数的形式.本题通过降次,逆用二倍角公式后,形成了y=asinx+bcosx 型的函数,再应用y=asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ),其中tan φ=a

b ,需引起重视. 化为只含一个三角函数式的形式;同时还应注意正、余弦函数的有界性;注意对含有字母的题目进行分类讨论;注意角的取值范围.