等腰三角形的性质及其判定

随堂测试
40 ° ⒈等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______.
⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为
70°,40°或55°,55° __________________.
⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为 _______. 35 °，35 ° 结论:在等腰三角形中,
① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°－2×底角 ④0°＜顶角＜180° ⑤0°＜底角＜90°
D
∴ △ BAD≌ △ CAD （AAS） ∴AB=AC（全等三角形的对应边 相等）
∟
C
证明：作BC边上的高AD
已知： △ ABC中，∠B=∠C 求证：AB=AC 证明：作BC的中线AD 在△ BAD和△ CAD中， ∠B=∠C BD=CD AD=AD
B C
A
D
∴ △ BAD和△ CAD不一定全等 （SSA） ∴AB和AC不一定相等
（2）剪去阴影部分；
（3）将剩余部分展开。
设问：你发现了什么现象？ 猜想等腰△ABC有哪些性质？ 等腰三角形是轴对称图形；
角: ① ∠B = ∠C
→ 两个底角相等
→ AD为顶角∠BAC的平分线
② ∠BAD=∠CDA
③∠ADC= ∠ADB=900→ AD为底边BC上的高 边: ④BD = CD → AD为底边BC上的中线
B
B
∴∠ABD=∠DBC
C
∴∠ABD=∠ADB ∴AB=AD
小结
名 称
等 腰 三 角 形
图
形
概 念
性质
判
定
1.两腰相等
A 有两边 相等的 三角形 是等腰 三角形 C
1.两边相等
2.等角对等边
2.等边对等角 3. 三线合一 4.是轴对称图形
B
运用等腰三角形的判定定理时， 应注意在同一个三角形中.
A 1 2
D
C
1、如图，∠A=36°，∠DBC=36°， ∠C=72°。分别计算∠1、∠2的度数， 并说明图中有哪些等腰三角形。 ∠1=72°，∠2=36° 等腰三角形有：△ABC，△ABD， △BCD。 2、如图，把一张矩形的纸沿对角线 C 折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？
B
D
E
A
3、如图，AC和BD相交于点O，且 AB∥DC，OA=OB。
C 1、已知：如图，CD是等腰直角三角 形ABC斜边上的高，找出图中有哪 些等腰直角三角形。 等腰直角三角形有： △ABC ， A D △ACD ，△BCD。 2、已知：如图，AD ∥BC，BD平分∠ABC。 证明：∵ AD ∥BC 求证：AB=AD
A D ∴∠ADB=∠DBC ∵ BD平分∠ABC
40°
A
∵AB=20（12-10）=40
∴BC=40 答：B处到达灯塔C40海里
大 显 身 手
如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交 于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F. (1)、请你写出图中所有等腰三角形，并探究EF、BE、 AA FC之间的关系； E B E B
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个 角所对的边也相等 (简写成“等角对等边”)。
几何语言：
A
注意：在同 一个三角形 中应用哟！
∵∠B =∠C (已知)
∴ AB=AC(等角对等边)
B C
辩一辩
A
1 2
如图,下列推理正确吗?
D C
A
1 2
C B
B
（等角对等边）
D ∵∠1=∠2 ∴ BD=DC
A
D
C
AB=AC ( 已知 ), BD=CD ( 辅助线作法 )， AD=AD (公共边) , ∴ △BAD ≌ △CAD (SSS). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
作底边的高线 证明：等腰三角形的两个底角相等
A
已知： △ ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C.
证明：作底边高线AD. B 在Rt△BAD和△RtCAD中， D C
它是真命题吗?
●
操作一
探 究 新 知
做一做
画△ABC.使∠B＝∠C＝30°
●
操作二
量一量，线段AB与AC的长度。 怎样用数 学推理进 你发现了什么结论？其他同学的结果与你 行证明呢？
的相同吗？
AB=AC
如果一个三角形有两个角相等,那么这两 个角所对的边也相等
A
已知：如图,在ΔABC中，∠B=∠C。 求证：AB=AC
13.1.1等腰三角形
请您欣赏
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等腰三角形
有两条边相等Hale Waihona Puke Baidu三角形叫做等腰三角形。
等腰三角形的元素
相等的两条边AB和AC叫做腰; 另一条边BC叫做底边; 两腰所夹的角∠BAC叫做顶角; 底边与腰的夹角∠ABC和 ∠ACB叫做底角. 腰
A
顶 角
腰
底角
B
底边
C
材料: 剪刀、一张矩形纸 方法：（1）先将矩形纸按图中虚线向下对折；
A
B
D
C
随堂测试
5. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC的中点， 则点D到AB，AC的距离相等。请说明理由。
解：相等，理由如下： 连接AD 在△ABC中， ∵AB=AC，D为ＢC中点
A E B D F
∴AD平分∠BAC
∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE=DF
C
通过本节课的学习，你有哪些收获？
在三角形ABC中，已知 AB=AC，且∠ A=50° ，则 ∠B=—— 度，∠C=—— 度？ 65° 65°
操练1
∵AB=AC（已知） ∴∠B=∠C（等边对等角） 又∵∠A+∠B+∠C=180° （三角形内角和为180° ） ∠A=50° （已知） ∴∠B=65° ∠C=65°
B
A
C
随堂练习
1.判断下列语句是否正确。
证明: 作∠BAC的平分线AD 则∠1=∠2 在△BAD和△CAD中 ∠1=∠2 ∠B=∠C AD=AD (公共边) ∴ △BAD ≌ △CAD (AAS) B
1 2 D C
你还有其 他证法吗?
∴ AB= AC (全等三角形的对应边相等)
已知：在 △ ABC中， ∠B=∠C 求证：AB=AC
A
在 △ BAD和C △ CAD中， B ∠B=∠C ∠ADB=∠ADC=90 ° AD=AD
求证：OC=OD。
小试牛刀
例：如图,上午10 时，一条船从A处出发以20海里 每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、 B望灯塔C，测得∠NAC=40°∠NBC=80°求从B处到 灯塔C的距离 解：∵∠NBC=∠A+∠C
C 80°
N北
B
∴∠C=80°- 40°= 40° ∴ ∠C = ∠A ∴ BA=BC（等角对等边）
等腰三角形
性质1：等边对等角
常用来求等腰三 角形各角的度 数．
性质2：“三线合一”
研究等腰三角形 的有关问题时 “三线”是常用 的辅助线．
把“等腰三角形的两个底角相等”改写成 “如果------那么-----”形式。
如果一个三角形是等腰三角形,那么这个三角形 的两个底角相等. 逆命题: 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角 形是等腰三角形.
AB=AC ( 已知 ), ∠ 1= ∠ 2 ( 辅助线作法 )， AD=AD (公共边) , ∴ △BAD ≌ △CAD (SAS). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
B
作底边中线
证明：等腰三角形的两个底角相等
已知： △ ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C.
证明：作底边中线AD. 在△BAD和△CAD中， B
（1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重 合。（ ×） （2）有一个角是60°的等腰三角形，其它两个 内角也为60°. （ ） （3）等腰三角形的底角都是锐角. （ ） （4）钝角三角形不可能是等腰三角形 . （ ×）
2．△ABC中，AB=AC，∠A=70°，则 ∠B=______ 55° 3．等腰三角形一底角的外角为105°，那么 30 它的顶角为______ 度
∵∠1=∠2 ∴ DC=BC
（等角对等边）
错，因为都不是在同一个三角形中。
反馈检测
1.已知：如图，∠CAE是⊿ABC的外角， ∠1=∠2，AD∥BC。 E 求证： AB=AC 1 A D 2 B C
巩固练习：下列两个图形是否是等腰三角形？
300
400
400
750
E 证明：
∵AD∥BC， ∴∠1=∠B（两直线平行， 同位角相等） B ∠2=∠C（两直线平行， 内错角相等） ∵∠1=∠2， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC（等边对等角）。
A
B
D
C
链接中考
1
1．（2010．江西）已知等腰三角形的两条边 长分别是7和3，则下列四个数中，第三条边的 长是( B ) A． 8 B． 7 C． 4 D． 3．
2． (2010．宁波) 如图，在△ABC中，AB=AC， ∠A=36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角 A ） 平分线， 则图中的等腰三角形有（ A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
∵AB=AC（已知） A
2等腰三角形顶角的 ∴∠C=∠B=80° 平分线，底边上的 中线和底边上的高 （等边对等角） 互相重合 又∵∠A+∠B+∠C=180° （三线合一） （三角形内角和为180° ） ∴∠A=180°－ ∠B－ ∠C=20°
B
C
等腰三角形的性质
1 等腰三角形的两 个底角相等 （等边对等角） 2等腰三角形顶角 的平分线，底边上 的中线和底边上的 高互相重合 （三线合一）
③ 底角=（180°－顶角）÷2
随堂测试
4. 根据等腰三角形的性质,在△ABC中， AB=AC时，
BAD = ∠CAD CD (1) ∵AD⊥BC，∴∠_____ _____，BD ____= ____. AD BC ，∠_____ BAD =∠_____. CAD (2) ∵AD是中线，∴____⊥____ AD ⊥____ BC ，_____ CD BD =_____. (3) ∵AD是角平分线，∴____
小结归纳
1
等腰三角形性质：
性质1 等腰三角形的两个底角相等（简 写成“等边对等角”）； 性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边 上的中线、底边上的高互相重合。（可 简记为“三线合一”）
作顶角的平分线
证明：等腰三角形的两个底角相等
A
12
已知： △ ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
C D 证明： 作顶角的平分线AD. 在△BAD和△CAD中，
4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°， 则这个等腰三角形的顶角为（ C ） A．30° B．150° C．30°或150° D．120°
5. 在三角形ABC中，AB=AC，且AD ⊥BC，已知 BD=2cm,求DC=___cm, 2 BC=___cm ？ 4 ∵ AB=AC ,AD ⊥BC（已知） ∴BD=CD（等腰三角形三线合一） ∵BD=2cm（已知） ∴CD=2cm BC=2BD=4cm
AB=AC ( 已知 ),
AD=AD (公共边) , ∴ Rt △BAD ≌ Rt △CAD (HL). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
等腰三角形的性质
1 等腰三角形的两 个底角相等 （等边对等角）
例1 在三角形ABC中，已知AB=AC， 且∠B=80° ，则∠C= ___ 80 °度， ∠A=____ 度？ 20°
1
解： EF=BE+CF
理由：∵ EF∥BC
O
4
∴∠1＝∠2 ∠3＝∠4 ∵ BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB
∴∠2＝∠ABO ∠3＝∠ACO ∴∠1＝∠ABO ∠4＝∠ACO ∴BE＝OE CF=OF ∵ EF=EO+FO ∴EF＝BE+CF
2
3
F F C C
若AB≠AC，其他 条件不变，图中 还有等腰三角形 吗？(1)中结论还 成立吗？