八年级上册洛阳数学期中精选试卷中考真题汇编[解析版]

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八年级上册洛阳数学期中精选试卷中考真题汇编
[解析版]
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)
1.如图1,在平面直角坐标系中,点D (m ,m +8)在第二象限,点B (0,n )在y 轴正半轴上,作DA ⊥x 轴,垂足为A ,已知OA 比OB 的值大2,四边形AOBD 的面积为12.
(1)求m 和n 的值.
(2)如图2,C 为AO 的中点,DC 与AB 相交于点E ,AF ⊥BD ,垂足为F ,求证:AF =DE .
(3)如图3,点G 在射线AD 上,且GA =GB ,H 为GB 延长线上一点,作∠HAN 交y 轴于点N ,且∠HAN =∠HBO ,求NB ﹣HB 的值.
【答案】(1)42
m n =-⎧⎨=⎩(2)详见解析;(3)NB ﹣FB =4(是定值),即当点H 在GB 的延长线上运动时,NB ﹣HB 的值不会发生变化.
【解析】
【分析】
(1)由点D ,点B 的坐标和四边形AOBD 的面积为12,可列方程组,解方程组即可; (2)由(1)可知,AD =OA =4,OB =2,并可求出AB =BD =25,利用SAS 可证△DAC ≌△AOB ,并可得∠AEC =90°,利用三角形面积公式即可求证;
(3)取OC =OB ,连接AC ,根据对称性可得∠ABC =∠ACB ,AB =AC ,证明
△ABH ≌△CAN ,即可得到结论.
【详解】
解:(1)由题意()()218122
m n n m m --=⎧⎪⎨++-=⎪⎩ 解得42m n =-⎧⎨=⎩
; (2)如图2中,
由(1)可知,A (﹣4,0),B (0,2),D (﹣4,4),
∴AD
=OA =4,OB =2,
∴由勾股定理可得:AB =BD =25,
∵AC =OC =2,
∴AC =OB ,
∵∠DAC =∠AOB =90°,AD =OA ,
∴△DAC ≌△AOB (SAS ),
∴∠ADC =∠BAO ,
∵∠ADC +∠ACD =90°,
∴∠EAC +∠ACE =90°,
∴∠AEC =90°,
∵AF ⊥BD ,DE ⊥AB ,
∴S △ADB =12•AB •AE =12
•BD •AF , ∵AB =BD ,
∴DE =AF .
(3)解:如图,取OC =OB ,连接AC ,根据对称性可得∠ABC =∠ACB ,AB =AC ,
∵AG =BG ,
∴∠GAB =∠GBA ,
∵G 为射线AD 上的一点,
∴AG ∥y 轴,
∴∠GAB =∠ABC ,
∴∠ACB =∠EBA ,
∴180°﹣∠GBA =180°﹣∠ACB ,
即∠ABG =∠ACN ,
∵∠GAN =∠GBO ,
∴∠AGB =∠ANC ,
在△ABG 与△ACN 中,
ABH ACN AHB ANC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴△ABH ≌△ACN (AAS ),
∴BF =CN ,
∴NB ﹣HB =NB ﹣CN =BC =2OB ,
∵OB=2
∴NB﹣FB=2×2=4(是定值),
即当点H在GB的延长线上运动时,NB﹣HB的值不会发生变化.
【点睛】
本题属于三角形综合题,全等三角形的判定和性质,解题的关键是相结合添加常用辅助线,构造图形解决问题,学会利用参数构建方程解决问题.
2.已知OP平分∠AOB,∠DCE的顶点C在射线OP上,射线CD交射线OA于点F,射线CE交射线OB于点G.
(1)如图1,若CD⊥OA,CE⊥OB,请直接写出线段CF与CG的数量关系;
(2)如图2,若∠AOB=120º,∠DCE=∠AOC,试判断线段CF与CG的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)CF=CG;(2)CF=CG,见解析
【解析】
【分析】
(1)结论CF=CG,由角平分线性质定理即可判断.
(2)结论:CF=CG,作CM⊥OA于M,CN⊥OB于N,证明△CMF≌△CNG,利用全等三角形的性质即可解决问题.
【详解】
解:(1)结论:CF=CG;
证明:∵OP平分∠AOB,CF⊥OA,CG⊥OB,
∴CF=CG(角平分线上的点到角两边的距离相等);
(2)CF=CG.理由如下:如图,
过点C作CM⊥OA,CN⊥OB,
∵OP平分∠AOB,CM⊥OA,CN⊥OB,∠AOB=120º,
∴CM=CN(角平分线上的点到角两边的距离相等),
∴∠AOC=∠BOC=60º(角平分线的性质),
∵∠DCE=∠AOC,
∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60º,
∴∠MCO=90º-60º =30º,∠NCO=90º-60º =30º,
∴∠MCN=30º+30º=60º,
∴∠MCN=∠DCE,
∵∠MCF=∠MCN-∠DCN,∠NCG=∠DCE-∠DCN,
∴∠MCF=∠NCG,
在△MCF和△NCG中,
CMF CNG
CM CN
MCF NCG
∠=∠


=

⎪∠=∠

∴△MCF≌△NCG(ASA),
∴CF=CG(全等三角形对应边相等);
【点睛】
本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质,解题的关键是掌握角平分线的性质的应用,熟练证明三角形全等.
3.如图,△ABC中,D是BC的中点,过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于G点,DE⊥DF,交AB于点E,连结EG、EF.
(1)求证:BG=CF;
(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系,并说明理由.
【答案】(1)详见解析;(2)BE+CF>EF,证明详见解析
【解析】
【分析】
(1)先利用ASA判定△BGD≅CFD,从而得出BG=CF;
(2)利用全等的性质可得GD=FD,再有DE⊥GF,从而得到EG=EF,两边之和大于第三边从而得出BE+CF>EF.
【详解】
解:(1)∵BG∥AC,
∴∠DBG=∠DCF.
∵D为BC的中点,
∴BD=CD
又∵∠BDG=∠CDF,在△BGD与△CFD中,

DBG DCF BD CD
BDG CDF ∠=∠


=

⎪∠=∠

∴△BGD≌△CFD(ASA).
∴BG=CF.
(2)BE+CF>EF.
∵△BGD≌△CFD,
∴GD=FD,BG=CF.
又∵DE⊥FG,
∴EG=EF(垂直平分线到线段端点的距离相等).
∴在△EBG中,BE+BG>EG,
即BE+CF>EF.
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质,要注意判定三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、AAS、ASA、HL.
4.(1)如图(a)所示点D是等边ABC边BA上一动点(点D与点B不重合),连接DC,以DC为边在BC上方作等边DCF,连接AF.你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗?并证明.
(2)如图(b)所示当动点D运动至等边ABC边BA的延长线上时,其他作法与(1)相同,猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立?(直接写出结论)
(3)①如图(c)所示,当动点D在等边ABC边BA上运动时(点D与点B不重合),连接DC,以DC为边在BC上方、下方分别作等边DCF和等边DCF',连接AF、
BF',探究AF、BF'与AB有何数量关系?并证明.
②如图(d)所示,当动点D在等边ABC边BA的延长线上运动时,其他作法与(3)①相同,①中的结论是否成立?若不成立,是否有新的结论?并证明.
【答案】(1)AF=BD ,理由见解析;(2)AF=BD ,成立;(3)①AF BF AB '+=,证明见解析;②①中的结论不成立新的结论是AF AB BF '=+,理由见解析
【解析】
【分析】
(1)根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质,利用全等三角形的判定定理SAS 可证得BCD ACF △≌△,然后由全等三角形的对应边相等知AF BD = .
(2)通过证明BCD ACF △≌△,即可证明AF BD =.
(3)①'AF BF AB += ,利用全等三角形BCD ACF △≌△的对应边BD AF = ,同理'BCF ACD △≌△ ,则'BF AD = ,所以'AF BF AB +=;
②①中的结论不成立,新的结论是'AF AB BF =+ ,通过证明BCF ACD △≌△,则'BF AD =(全等三角形的对应边相等),再结合(2)中的结论即可证得
'AF AB BF =+ .
【详解】
(1)AF BD =
证明如下:ABC 是等边三角形,
BC AC ∴=,60BCA ︒∠=.
同理可得:DC CF =,60DCF ︒∠=.
BCA DCA DCF DCA ∴∠-∠=∠-∠.
即BCD ACF ∠=∠.
BCD ACF ∴△≌△.
AF BD ∴=.
(2)证明过程同(1),证得BCD ACF △≌△,则AF BD =(全等三角形的对应边相等),所以当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时,其他作法与(1)相同,AF BD =依然成立.
(3)①AF BF AB '+=
证明:由(1)知,BCD ACF △≌△.
BD AF ∴=.
同理BCF ACD '△≌△.
BF AD '∴=.
AF BF BD AD AB '∴+=+=.
②①中的结论不成立新的结论是AF AB BF '=+;
BC AC =,BCF ACD '∠=∠,F C DC '=,
BCF ACD '∴△≌△.
BF AD '∴=.
又由(2)知,AF BD =.
AF BD AB AD AB BF '∴==+=+.
即AF AB BF '=+.
【点睛】
本题考查了三角形的综合问题,掌握等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质、全等三角形的判定定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键.
5.综合与实践:
我们知道“两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等”.但是,乐乐发现:当这两个三角形都是锐角三角形时,它们会全等.
(1)请你用所学知识判断乐乐说法的正确性.
如图,已知ABC ∆、111A B C ∆均为锐角三角形,且11AB A B =,11BC B C =,1C C ∠=∠. 求证:111ABC A B C ∆∆≌.
(2)除乐乐的发现之外,当这两个三角形都是______时,它们也会全等.
【答案】(1)见解析;(2)钝角三角形或直角三角形.
【解析】
【分析】
(1)过B 作BD ⊥AC 于D ,过B 1作B 1D 1⊥B 1C 1于D 1,得出
∠BDA=∠B 1D 1A 1=∠BDC=∠B 1D 1C 1=90°,根据SAS 证△BDC ≌△B 1D 1C 1,推出BD=B 1D 1,根据HL 证Rt △BDA ≌Rt △B 1D 1A 1,推出∠A=∠A 1,根据AAS 推出
△ABC ≌△A 1B 1C 1即可.
(2)当这两个三角形都是直角三角形时,直接利用HL 即可证明;当这两个三角形都是钝角三角形时,与(1)同理可证.
【详解】
(1)证明:过点B 作BD AC ⊥于D ,过1B 作1111B D A C ⊥于1D ,
则11111190BDA B D A BDC B D C ∠=∠=∠=∠=︒.
在BDC ∆和111B D C ∆中,
1C C ∠=∠,111BDC B D C ∠=∠,11BC B C =,
∴111BDC B D C ∆∆≌,
∴11BD B D =.
在Rt BDA ∆和111Rt B D A ∆中,
11AB A B =,11BD B D =,
∴111Rt Rt (HL)BDA B D A ∆∆≌,
∴1A A ∠=∠.
在ABC ∆和111A B C ∆中,
1C C ∠=∠,1A A ∠=∠,11AB A B =,
∴111(AAS)ABC A B C ∆∆≌.
(2)如图,当这两个三角形都是直角三角形时,
∵11AB A B =,11BC B C =,190C C ∠==∠︒.
∴Rt ABC ∆≌111Rt A B C ∆(HL );
∴当这两个三角形都是直角三角形时,它们也会全等;
如图,当这两个三角形都是钝角三角形时,作BD ⊥AC ,1111B D A C ⊥,
与(1)同理,利用AAS 先证明111BDC B D C ∆∆≌,得到11BD B D =,
再利用HL 证明111Rt Rt BDA B D A ∆∆≌,得到1A A ∠=∠,
再利用AAS 证明111ABC A B C ∆∆≌;
∴当这两个三角形都是钝角三角形时,它们也会全等;
故答案为:钝角三角形或直角三角形.
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用,主要考查学生的推理能力.解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法.
二、八年级数学 轴对称解答题压轴题(难)
6.(1)如图①,D 是等边△ABC 的边BA 上一动点(点D 与点B 不重合),连接DC ,以DC 为边,在BC 上方作等边△DCF ,连接AF ,你能发现AF 与BD 之间的数量关系吗?并证明你发现的结论;
(2)如图②,当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线时,其他作法与(1)相同,猜
想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;
(3)Ⅰ.如图③,当动点D在等边△ABC边BA上运动时(点D与B不重合),连接DC,以DC为边在BC上方和下方分别作等边△DCF和等边△DCF′,连接AF,BF′,探究AF,BF′与AB有何数量关系?并证明你的探究的结论;
Ⅱ.如图④,当动点D在等边△ABC的边BA的延长线上运动时,其他作法与图③相同,Ⅰ中的结论是否成立?若不成立,是否有新的结论?并证明你得出的结论.
【答案】(1)AF=BD,理由见解析;(2)AF与BD在(1)中的结论成立,理由见解析;(3)Ⅰ. AF+BF′=AB,理由见解析,Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立,新的结论是AF=AB+BF′,理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)由等边三角形的性质得BC=AC,∠BCA=60°,DC=CF,∠DCF=60°,从而得
∠BCD=∠ACF,根据SAS证明△BCD≌△ACF,进而即可得到结论;
(2)根据SAS证明△BCD≌△ACF,进而即可得到结论;
(3)Ⅰ.易证△BCD≌△ACF(SAS),△BCF′≌△ACD(SAS),进而即可得到结论;Ⅱ.证明△BCF′≌△ACD,结合AF=BD,即可得到结论.
【详解】
(1)结论:AF=BD,理由如下:
如图1中,∵△ABC是等边三角形,
∴BC=AC,∠BCA=60°,
同理知,DC=CF,∠DCF=60°,
∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA,即:∠BCD=∠ACF,
在△BCD和△ACF中,

BC AC
BCD ACF
DC FC
=
∠=∠
=






∴△BCD≌△ACF(SAS),
∴BD=AF;
(2)AF与BD在(1)中的结论成立,理由如下:
如图2中,∵△ABC是等边三角形,
∴BC=AC,∠BCA=60°,
同理知,DC=CF,∠DCF=60°,
∴∠BCA +∠DCA =∠DCF +∠DCA ,即∠BCD =∠ACF ,
在△BCD 和△ACF 中,
∵BC AC BCD ACF DC FC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩

∴△BCD ≌△ACF (SAS ),
∴BD =AF ;
(3)Ⅰ.AF +BF ′=AB ,理由如下:
由(1)知,△BCD ≌△ACF (SAS ),则BD =AF ;
同理:△BCF ′≌△ACD (SAS ),则BF ′=AD ,
∴AF +BF ′=BD +AD =AB ;
Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立,新的结论是AF =AB +BF ′,理由如下:
同理可得:BCF ACD ∠=∠′,F C DC =′,
在△BCF ′和△ACD 中,
BC AC BCF ACD F C DC =∠⎧⎪=∠=⎪⎨⎩

′, ∴△BCF ′≌△ACD (SAS ),
∴BF ′=AD ,
又由(2)知,AF =BD ,
∴AF =BD =AB +AD =AB +BF ′,即AF =AB +BF ′.
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质定理,三角形全等的判定和性质定理,熟练掌握三角形全等的判定和性质定理,是解题的关键.
7.如图,ABC 中,A ABC CB =∠∠,点D 在BC 所在的直线上,点E 在射线AC 上,且AD AE =,连接DE .
(1)如图①,若35B C ∠=∠=︒,80BAD ∠=︒,求CDE ∠的度数;
(2)如图②,若75ABC ACB ∠=∠=︒,18CDE ∠=︒,求BAD ∠的度数;
(3)当点D 在直线BC 上(不与点B 、C 重合)运动时,试探究BAD ∠与CDE ∠的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)40°;(2)36°;(3)∠BAD 与∠CDE 的数量关系是2∠CDE=∠BAD .
【解析】
【分析】
(1)根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°,根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论;
(2)根据三角形的外角的性质得到∠E=75°-18°=57°,根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论;
(3)设∠ABC=∠ACB=y°,∠ADE=∠AED=x°,∠CDE=α,∠BAD=β,分3种情况:①如图1,当点D在点B的左侧时,∠ADC=x°-α,②如图2,当点D在线段BC上时,
∠ADC=y°+α,③如图3,当点D在点C右侧时,∠ADC=y°-α,根据这3种情况分别列方程组即,解方程组即可得到结论.
【详解】
(1)∵∠B=∠C=35°,
∴∠BAC=110°,
∵∠BAD=80°,
∴∠DAE=30°,
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED=75°,
∴∠CDE=∠AED-∠C=75°−35°=40°;
(2)∵∠ACB=75°,∠CDE=18°,
∴∠E=75°−18°=57°,
∴∠ADE=∠AED=57°,
∴∠ADC=39°,
∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75°,
∴∠BAD=36°.
(3)设∠ABC=∠ACB=y°,∠ADE=∠AED=x°,∠CDE=α,∠BAD=β
①如图1,当点D在点B的左侧时,∠ADC=x°﹣α

y x a
y x aβ
⎧=+

=-+



,①-②得,2α﹣β=0,
∴2α=β;
②如图2,当点D在线段BC上时,∠ADC=y°+α

y x a
y a xβ
⎧=+

+=+



,②-①得,α=β﹣α,
∴2α=β;
③如图3,当点D在点C右侧时,∠ADC=y°﹣α

180
180
y a x
x y a
β︒

⎧-++=

++=



,②-①得,2α﹣β=0,
∴2α=β.
综上所述,∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE=∠BAD.
【点睛】
考核知识点:等腰三角形性质综合运用.熟练运用等腰三角形性质和三角形外角性质,分类讨论分析问题是关键.
8.知识背景:我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质,在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定,在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定.在一些探究题中经常用以上知识转化角和边,进而解决问题.
问题:如图1,ABC 是等腰三角形,90BAC ∠=︒,D 是BC 的中点,以AD 为腰作等腰ADE ,且满足90DAE ∠=︒,连接CE 并延长交BA 的延长线于点F ,试探究BC 与CF 之间的数量关系.
图1
发现:(1)BC 与CF 之间的数量关系为 .
探究:(2)如图2,当点D 是线段BC 上任意一点(除B 、C 外)时,其他条件不变,试猜想BC 与CF 之间的数量关系,并证明你的结论.
图2
拓展:(3)当点D 在线段BC 的延长线上时,在备用图中补全图形,并直接写出BCF 的形状.
备用图
【答案】(1)BC CF =;(2)BC CF =,证明见解析;(3)画图见解析,等腰直角
三角形.
【解析】
【分析】
(1)根据等腰三角形的性质即可得BC CF =;
(2)由等腰直角三角形的性质可得()ABD ACE SAS ∴≌,再根据全等三角形的性质及等角对等边即可证明;
(3)作出图形,根据等腰三角形性质易证()ABD ACE SAS ∴≌,进而根据角度的代换,得出结论.
【详解】
解:(1)BC CF =.
∵△ABC 是等腰三角形,且90BAC ∠=︒,
AB AC ∴=,45B ACB ∠=∠=︒.
90DAE ∠=︒,
DAE BAC ∴=∠∠,
DAE DAC BAC DAC ∴∠-∠=∠-∠,
BAD CAE ∴∠=∠. ADE 是以AD 为腰的等腰三角形,
AD AE ∴=.
在ABD △与ACE △中,AB AC =,BAD CAE ∠=∠,AD AE =,
()ABD ACE SAS ∴≌,
45ACE B ∴∠=∠=︒.
45ACB =︒∠,
90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒,
90B F ∴∠+∠=︒,
45F ∴∠=︒,
B F ∴∠=∠,
BC CF ∴=.
(2)BC CF =.
证明:ABC 是等腰三角形,且90BAC ∠=︒,
AB AC ∴=,45B ACB ∠=∠=︒.
90DAE ∠=︒,
DAE BAC ∴=∠∠,
DAE DAC BAC DAC ∴∠-∠=∠-∠,
BAD CAE ∴∠=∠. ADE 是以AD 为腰的等腰三角形,
AD AE ∴=.
在ABD △与ACE △中,AB AC =,BAD CAE ∠=∠,AD AE =,
()ABD ACE SAS ∴≌,
45ACE B ∴∠=∠=︒.
45ACB =︒∠,
90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒,
90B F ∴∠+∠=︒,
45F ∴∠=︒,
B F ∴∠=∠,
BC CF ∴=.
(3)BCF 是等腰直角三角形.
提示:如图,
ABC 是等腰三角形,90BAC ∠=︒,
AB AC ∴=,45B ACB ∠=∠=︒.
90DAE ∠=︒,
DAE BAC ∴=∠∠,
DAE DAC BAC DAC ∴∠+∠=∠+∠,
BAD CAE ∴∠=∠.
ADE 是以AD 为腰的等腰三角形,
AD AE ∴=.
在ABD △与ACE △中,AB AC =,BAD CAE ∠=∠,AD AE =,
()ABD ACE SAS ∴≌,
45ACE B ∴∠=∠=︒.
45ACB =︒∠,
90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒,
90B BFC ∴∠+∠=︒,
45BFC ∴∠=︒,
B BF
C ∴∠=∠,
BCF ∴是等腰三角形,
90BCF ∠=︒,
BCF ∴是等腰直角三角形.
【点睛】
本题考查等腰三角形及全等三角形的性质,熟练运用角度等量代换及等腰三角形的性质是解题的关键.
9.(1)操作:如图,在已知内角度数的三个三角形中,请用直尺从某一顶点画一条线段,把原三角形分割成两个等腰三角形,并在图中标注相应的角的度数
(2)拓展,△ABC中,AB=AC,∠A=45°,请把△ABC分割成三个等腰三角形,并在图中标注相应的角的度数.
(3)思考在如图所示的三角形中∠A=30°.点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点.分别连接BP和PQ把△ABC分割成三个三角形.△ABP,△BPQ,△PQC若分割成的这三个三角形都是等腰三角形,求∠C的度数所有可能值直接写出答案即可.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)∠C所有可能的值为10°、20°、25°,35°、40°、50°、80°、100°.
【解析】
【分析】
(1)在图1、图2、图3中,分别作AB、AB、BC的垂直平分线,根据垂直平分线的性质及外角的性质求出各角度数即可;(2)分别作AB、BC的垂直平分线,交于点O,连接OA、OB、OC可得三角形OAB、OAC、OBC为等腰三角形,根据等腰三角形的性质及外角性质求出各角度数即可;(3)分PB=PA、AB=AP、BA=BP时,PB=PQ、BP=BQ、QB=QP,PQ=QC、PC=QC、PQ=PC等10种情况,根据等腰三角形的性质分别求出∠C的度数即可.【详解】
(1)在图1、图2、图3中,分别作AB、AB、BC的垂直平分线,
如图1,∵∠ABC=23°,∠BAC=90°,
∴∠C=90°-23°=67°,
∵MN垂直平分AB,
∴BD=AD,
∴△ABD是等腰三角形,
∴∠BAD=∠ABC=23°,
∴∠ADC=2∠ABC=46°,
∵∠BAC=90°,
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=67°,
∴∠DAC=∠C,
∴△DAC是等腰三角形,
同理:图2中,∠ADC=46°,∠DAC=88°,∠C=46°,△ABD和△ACD是等腰三角形,图3中,∠BCD=23°,∠ADC=46°,∠ACD=46°,△BCD和△ACD是等腰三角形.
(2)作AB、BC的垂直平分线,交于点O,连接OA、OB、OC,
∵点O是三角形垂直平分线的交点,
∴OA=OB=OC,
∴△OAB、△OAC、△OBC是等腰三角形,
∵AB=AC,∠BAC=45°,
∴∠ABC=∠ACB=67.5°,
∴AD是BC的垂直平分线,
∴∠BAD=∠CAD=22.5°,
∴∠OBA=∠OAB=22.5°,∠OCA=∠OAC=22.5°,
∴∠OBC=∠OCB=45°.
(3)①如图,当PB=PA,PB=PQ,PQ=CQ时,∵∠A=30°,PB=PQ,
∴∠ABP=∠A=30°,
∴∠APB=120°,
∵PB=PQ,PQ=CQ,
∴∠PQB=∠PBQ,∠C=∠CPQ,
∴∠PBQ=2∠C,
∴∠APB=∠PBQ+∠C=3∠C=120°,
解得:∠C=40°.
②如图,当PB=PA,PB=BQ,PQ=CQ时,
∴∠PQB=2∠C,∠PQB=∠BPQ,
∴∠PBQ=180°-2∠PQB=180°-4∠C,
∴180°-4∠C+∠C=120°,
解得:∠C=20°,
③如图,当PA=PB,BQ=PQ,CQ=CP时,
∵∠PQC=2∠PBQ,∠PQC=1
2
(180°-∠C),
∴∠PBQ=1
4
(180°-∠C),
∴1
4
(180°-∠C)+∠C=120°,
解得:∠C=100°.
④如图,当PA=PB,BQ=PQ,PQ=CP时,∵∠PQC=∠C=2∠PBQ,
又∵∠C+∠PBQ=120°,
∴∠C=80°;
⑤如图,当AB=AP,BP=BQ,PQ=QC时,∵∠A=30°,
∴∠APB=1
2
(180°-30°)=75°,
∵BP=BQ,PQ=CQ,
∴∠BPQ=∠BQP,∠QPC=∠QCP,
∴∠BQP=2∠C,
∴∠PBQ=180°-4∠C,
∴∠C+180°-4∠C=75°,
解得:∠C=35°.
⑥如图,当AB=AP,BQ=PQ,PC=QC时,
∴∠PQC=2∠PBC,∠PQC=1
2
(180°-∠C),
∴∠PBC=1
4
(180°-∠C),
∴1
4
(180°-∠C)+∠C=75°,
解得:∠C=40°.
⑦如图,当AB=AP,BQ=PQ,PC=QP时,∵∠C=∠PQC=2∠PBC,∠C+∠PQC=75°,∴∠C=50°;
⑧当AB=AP,BP=PQ,PQ=CQ时,
∵AB=BP,∠A=30°,
∴∠ABP=∠APB=75°,
又∵∠PBQ=∠PQB=2∠C,
且有∠PBQ+∠C=180°-30°-75°=75°,∴3∠C=75°,
∴∠C=25°;
⑨当AB=BP,BP=PQ,PQ=CQ时,∵AB=BP,
∴∠BPA=∠A=30°,
∵∠PBQ=∠PQB=2∠C,
∴2∠C+∠C=30°,
解得:∠C=10°.
⑩当AB=BP,BQ=PQ,PQ=CQ时,∴∠PQC=∠C=2∠PBQ,
∴1
2
∠C+∠C=30°,
解得:∠C=20°.
综上所述:∠C所有可能的值为10°、20°、25°,35°、40°、50°、80°、100°.
【点睛】
本题考查复杂作图及等腰三角形的性质,熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键. 10.如图,在ABC中,已知AB AC
,AD是BC边上的中线,点E是AB边上一动点,点P是AD上的一个动点.
(1)若 37BAD ∠=,求 ACB ∠ 的度数;
(2)若 6BC =,4AD =,5AB =,且 CE AB ⊥ 时,求 CE 的长;
(3)在(2)的条件下,请直接写出 BP EP + 的最小值.
【答案】(1)53ACB ∠=.(2)245CE =
.(3) 245. 【解析】
【分析】
(1)由已知得出三角形ABC 是等腰三角形,ACB ABC ∠∠=,AD 是BC 边的中线,有AD BC ⊥,求出ABC ∠的度数,即可得出ACB ∠的度数.
(2)根据三角形ABC 的面积可得出CE 的长
(3)连接CP ,有BP=CP ,BP+EP=EP+CP ,当点E ,P ,C 在同一条直线上时BP+EP 有最小值,即CE 的长度.
【详解】
解:(1)
AB AC =,
ACB ABC ∴∠=∠,
AD 是 BC 边上的中线, 90ADB ∴∠=,
37BAD ∠=,
903753ABC ∴∠=-=,
53ACB ∴∠=.
(2)
CE AB ⊥, 1122
ABC S BC AD AB CE ∴=⋅=⋅, 6BC =,4=AD ,5AB =, 245
CE ∴=. (3) 245
【点睛】 本题考查的知识点主要有等腰三角形的“三线合一”,三角形的面积公式等,充分利用等腰三角形的“三线合一”是解题的关键.
三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题(难)
11.阅读下列材料:利用完全平方公式,可以将多项式2
(0)ax bx c a ++≠变形为2()a x m n ++的形式,我们把这种变形方法,叫做配方法.运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解.例如:
222
22111111251151151124112422242222x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++-+=+-=+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭根据以上材料,解答下列问题: (1)用配方法将281x x +-化成2()x m n ++的形式,则281=x x +- ________; (2)用配方法和平方差公式把多项式228x x --进行因式分解;
(3)对于任意实数x ,y ,多项式222416x y x y +--+的值总为______(填序号).
①正数②非负数 ③ 0
【答案】(1)2(4)17x +-;(2)(2)(4)x x +-;(3)①
【解析】
【分析】
(1)根据材料所给方法解答即可;
(2)材料所给方法进行解答即可;
(3)局部进行因式分解,最后写成非负数的积的形式即可完成解答.
【详解】
解:(1)281x x +-
=2816116x x ++--
2(4)17x +-.
(2)原式=22118x x -+--
=2(1)9x --
=(13)(13)x x -+--
=(2)(4)x x +-.
(3)222416x y x y +--+
=()()22214411x x y y -++-++
=()()221211x y -+-+
>11
故答案为①.
【点睛】
本题考查了配方法,根据材料学会配方法并灵活运用配方法解题是解答本题的关键.
12.(1)阅读下列文字与例题:将一个多项式分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法
例如:
()()()()()()am an bm bn am bm an bn m a b n a b a b m n +++=+++=+++=++.
22222221(21)(1)(1)(1)x y y x y y x y x y x y ---=-++=-+=++--.
试用上述方法分解因式222a ab ac bc b ++++=
(2)利用分解因式说明:22(5)(1)n n +--能被12整除.
【答案】(1)()()a b a b c +++;(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)a 2+2ab+ac+bc+b 2可以进行分组变成(a 2+2ab+b 2)+(ac+bc ),则前边括号内的三项可以利用完全平方公式分解,后边的三项可以提公因式,然后再利用提公因式法即可分解.
(2)先利用平方差公式将22(5)(1)n n +--进行因式分解,之后即可得出答案.
【详解】
(1)原式=()()222a ab b
ac bc ++++
=()()2a b c a b +++
=()()a b a b c +++
(2)22(5)(1)n n +--
=[][](5)+(1)(5)(1)n n n n +-+--
=()624n +
=()122n +
∴ 22(5)(1)n n +--能被12整除.
【点睛】
本题考查分组分解的因式分解方法,做题时先分析题中给的例子是解题关键.
13.任何一个正整数n 都可以进行这样的分解:n =p ×q (p 、q 是正整数,且p ≤q ).如果p ×q 在n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小,我们就称p ×q 是n 的最佳分解,并
且规定F (n )=p q .例如18=1×18=2×9=3×6,这时就有F (18)=3162
=.请解答下列问题:
(1)计算:F (24);
(2)当n 为正整数时,求证:F (n 3+2n 2+n )=
1n . 【答案】(1)
23;(2) 1n . 【解析】
分析:(1)根据最佳分解的意义,把24分解成两数的积,找出差的绝对值最小的两数,求比值即可;
(2)根据(1)的求法,确定差的绝对值最小的两数的特点,然后根据要求变形即可. 详解:(1)∵24=1×24=2×12=3×8=4×6,
其中4与6的差的绝对值最小,
∴F(24)=46=23
.
(2)∵n 3+2n 2+n =n(n +1)2,
其中n(n +1)与(n +1)的差的绝对值最小,且(n +1)≤n(n +1),
∴F(n 3+2n 2+n)=()n 1n n 1++=1n
. 点睛: 本题主要考查实数的运算,理解最佳分解的定义,并将其转化为实数的运算是解题的关键.
14.阅读理解:
把两个相同的数连接在一起就得到一个新数,我们把它称为“连接数”,例如:234234,3939…等,都是连接数,其中,234234称为六位连接数,3939称为四位连接数.
(1)请写出一个六位连接数 ,它 (填“能”或“不能”)被13整除.
(2)是否任意六位连接数,都能被13整除,请说明理由.
(3)若一个四位连接数记为M ,它的各位数字之和的3倍记为N ,M ﹣N 的结果能被13整除,这样的四位连接数有几个?
【答案】(1)证明见解析(2)abcabc 能被13整除(3)这样的四位连接数有1919,2525,3131,一共3个
【解析】
分析:(1)根据六位连接数的定义可知123123为六位连接数,再将123123进行因数分解,判断得出它能被13整除;
(2)设abcabc 为六位连接数,将abcabc 进行因数分解,判断得出它能被13整除; (3)设xyxy 为四位连接数,用含x 、y 的代数式表示M 与N ,再计算M ﹣N ,然后将13M N -表示为77x +7y +3413
x y +,根据M ﹣N 的结果能被13整除以及M 与N 都是1~9之间的整数,求得x 与y 的值,即可求解.
详解:(1)123123为六位连接数;
∵123123=123×1001=123×13×77,∴123123能被13整除;
(2)任意六位连接数都能被13整除,理由如下:
设abcabc 为六位连接数.∵abcabc =abc ×1001=abc ×13×77,∴abcabc 能被13整除;
(3)设xyxy 为四位连接数,则
M =1000x +100y +10x +y =1010x +101y ,N =3(x +y +x +y )=6x +6y ,∴M ﹣N =(1010x +101y )﹣(6x +6y )=1004x +95y ,∴
13M N -=10049513x y +=77x +7y +3413x y +.∵M ﹣N 的结果能被13整除,∴3413
x y +是整数.∵3x +4y 取值范围大于3小于63,所以能被13整除的数有13,26,39,52,∴x =1,y =9;x =2,y =5;x =3,y =1;x =8,y =7;x =9,y =3;x =5,y =6;x =6,y =2;
满足条件的四位连接数的3131,2525,6262,9393,8787,5656,1919共7个.
点睛:本题考查了因式分解的应用,整式的运算,理解“连接数”的定义是解题的关键.
15.阅读材料后解决问题:
小明遇到下面一个问题:
计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1).
经过观察,小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构,进而可以应用平方差公式解决问题,具体解法如下:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(2+1)(2﹣1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(22﹣1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(24﹣1)(24+1)(28+1)
=(28﹣1)(28+1)
=216﹣1
请你根据小明解决问题的方法,试着解决以下的问题:
(1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=_____.
(2)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)=_____.
(3)化简:(m+n)(m2+n2)(m4+n4)(m8+n8)(m16+n16).
【答案】232﹣1
32
31 2
-

【解析】
【分析】
(1)原式变形后,利用题中的规律计算即可得到结果;
(2)原式变形后,利用题中的规律计算即可得到结果;
(3)分m=n与m≠n两种情况,化简得到结果即可.
【详解】
(1)原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=232-1;
(2)原式=1
2(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)=
32
31
2
-;
(3)(m+n)(m2+n2)(m4+n4)(m8+n8)(m16+n16).
当m≠n时,原式=
1
m n
-
(m-
n)(m+n)(m2+n2)(m4+n4)(m8+n8)(m16+n16)=
3232
m n
m n
-
-

当m=n时,原式=2m•2m2…2m16=32m31.
【点睛】
此题考查了平方差公式,弄清题中的规律是解本题的关键.
四、八年级数学分式解答题压轴题(难)
16.甲、乙、丙三个登山爱好者经常相约去登山,今年1月甲参加了两次登山活动.(1)1月1日甲与乙同时开始攀登一座900米高的山,甲的平均攀登速度是乙的1.2
倍,结果甲比乙早15分钟到达顶峰.求甲的平均攀登速度是每分钟多少米?
(2)1月6日甲与丙去攀登另一座h 米高的山,甲保持第(1)问中的速度不变,比丙晚出发0.5小时,结果两人同时到达顶峰,问甲的平均攀登速度是丙的多少倍?(用含h 的代数式表示)
【答案】(1)甲的平均攀登速度是12米/分钟;(2)
360h h
+倍. 【解析】
【分析】
(1)根据题意可以列出相应的分式方程,从而可以求得甲的平均攀登速度;
(2)根据(1)中甲的速度可以表示出丙的速度,再用甲的速度比丙的平均攀登速度即可解答本题.
【详解】
(1)设乙的速度为x 米/分钟, 900900151.2x x
+=, 解得,x=10,
经检验,x=10是原分式方程的解,
∴1.2x=12,
即甲的平均攀登速度是12米/分钟;
(2)设丙的平均攀登速度是y 米/分,
12
h +0.5×60=h y , 化简,得 y=12360
h h +, ∴甲的平均攀登速度是丙的:1236012360
h h h h ++=倍, 即甲的平均攀登速度是丙的360h h
+倍.
17.阅读下面的解题过程: 已知2112x x =+,求2
41
x x +的值。

解:由2112x x =+知x ≠0,所以2112,2x x x x
+=+=即 ∴2
422221112222x x x x x x +⎛⎫=+=+-=-= ⎪⎝⎭,故241x x +的值为12 评注:该题的解法叫做“倒数法”,请你利用“倒数法”解下面的题目
已知2117x x x =-+,求2
421
x x x ++的值。

【答案】
163
. 【解析】
【分析】 首先根据解答例题可得21x x x -+=7,进而可得x +1x =8,再求2
421
x x x ++的倒数的值,进而可得答案.
【详解】 ∵21x x x -+=17,∴21x x x
-+=7,x +1x =8. ∵4221x x x ++=x 2+21x +1=(x +1x )2﹣2+1=82﹣1=63,∴2
421x x x ++=163
. 【点睛】
本题主要考查了分式的混合运算,关键是理解例题的解法,掌握解题方法后,再根据例题方法解答.
18.为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》,某市教育局拿出了b 元资金建立民办教育发展基金会,其中一部分作为奖金发给了n 所民办学校.奖金分配方案如下:首先将n 所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩(假设工作业绩均不相同)从高到低,
由1到n 排序,第1所民办学校得奖金
b n
元,然后再将余额除以n 发给第2所民办学校,按此方法将奖金逐一发给了n 所民办学校.
(1)请用n 、b 分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金; (2)设第k 所民办学校所得到的奖金为k a 元(1k n ≤≤),试用k 、n 和b 表示k a (不必证明);
(3)比较k a 和1k a +的大小(k=1,2 ,……,1n -),并解释此结果关于奖金分配原则的实际意义.
【答案】(1)211()(1)b b a b n n n n =-⨯
=- ,23111()(1)(1)b b a b n n n n n =-⨯-=-; (2)11
(1)k k b a n n
-=- ; (3)1k k a a +> .奖金分配的实际意义:名次越靠后,奖金越少.
【解析】
【试题分析】
(1)根据第1所民办学校得奖金b n
元,然后再将余额除以n 发给第2所民办学校,
得:22311111()(1),()(1)(1).b
b b b a b a b n n n n n n n n n
=-⨯=-=-⨯-=- (2)根据(1)中的两个式子,11
(1)
k k b a n n -=- ; (3)11
(1)k k b a n n -=-,+11(1)k k b a n n
=-,则1111+121111111(1)(1)(1)1(1)(1)(1)0k k k k k k k b b b b b a a n n n n n n n n n n n n
----⎡⎤-=---=---=-⋅⋅=-⋅>⎢⎥⎣⎦,则+1k k a a >.奖金分配的实际意义:名次越靠后,奖金越少.
【试题解析】
(1)根据题意得:22311111()(1),()(1)(1).b
b b b a b a b n n n n n n n n n
=-⨯=-=-⨯-=- (2)根据(1)中的两个式子,11
(1)
k k b a n n -=- (3)11
(1)k k b a n n -=-,+11(1)k k b a n n
=-,则1111+121111111(1)(1)(1)1(1)(1)(1)0k k k k k k k b b b b b a a n n n n n n n n n n n n
----⎡⎤-=---=---=-⋅⋅=-⋅>⎢⎥⎣⎦,则+1k k a a >.奖金分配的实际意义:名次越靠后,奖金越少.
【方法点睛】本题目是一道分式的实际应用问题,第一个问题有难度,依据奖金的分配规则,写出23a a 、 的表达式;第二问在第一问的基础上,找出规律,直接写出k a 的表达式即可;第三问用作差法比较两个分式的大小,若差为正数,则被减数大于减数;若差为0,则被减数等于减数;若差为负数,则被减数小于减数.
19.某商场在一楼与二楼之间装有一部自动扶梯,以均匀的速度向上行驶,一男孩与一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯本身也在行驶).如果二人都做匀速运动,且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍.又已知男孩走了27级到达顶部,女孩走了18级到达顶部(二人每步都只跨1级).
(1)扶梯在外面的部分有多少级.
(2)如果扶梯附近有一从二楼下到一楼的楼梯,台阶级数与扶梯级数相等,这两人各自到扶梯顶部后按原速度走下楼梯,到一楼后再乘坐扶梯(不考虑扶梯与楼梯间的距离).则男孩第一次追上女孩时,他走了多少台阶?
【答案】(1)楼梯有54级(2) 198级
【解析】
【试题分析】
(1)设女孩速度为x 级/分,电梯速度为y 级/分,楼梯(扶梯)为s 级,则男孩速度为2x 级/分, 根据时间相等列方程,有:
2727,21818.s x y s x y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
①两式相除,得327418s s -=-,解方程得54s =即可. 因此楼梯有54级.
(2)设男孩第一次追上女孩时,走过扶梯m 次,走过楼梯n 次,则这时女孩走过扶梯()1m -次,走过楼梯()1n -次.
将54s = 代入方程组①,得2y x =,即男孩乘扶梯上楼的速度为4x 级/分,女孩乘扶梯上楼的速度为3x 级/分.于是有
()()5415415454.423m n m n x x x x
--+=+ 从而114231m n m n --+=+,即616n m +=. 无论男孩第一次追上女孩是在扶梯上还是在下楼时,,m n 中必有一个为正整数,且
01m n ≤-≤,经试验知只有13,26
m n ==符合要求. 这时,男孩第一次追上女孩所走过的级数是:132********
⨯+⨯=(级).
【试题解析】
(1)设女孩速度为x 级/分,电梯速度为y 级/分,楼梯(扶梯)为s 级,则男孩速度为2x 级/分,依题意有 2727,21818.s x y s x y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
① 把方程组①中的两式相除,得
327418
s s -=-,解得54s =. 因此楼梯有54级.
(2)设男孩第一次追上女孩时,走过扶梯m 次,走过楼梯n 次,则这时女孩走过扶梯()1m -次,走过楼梯()1n -次.
将54s = 代入方程组①,得2y x =,即男孩乘扶梯上楼的速度为4x 级/分,女孩乘扶梯上楼的速度为3x 级/分.于是有 ()()5415415454.423m n m n x x x x
--+=+ 从而114231
m n m n --+=+,即616n m +=. 无论男孩第一次追上女孩是在扶梯上还是在下楼时,,m n 中必有一个为正整数,且
01m n ≤-≤,经试验知只有13,26
m n ==符合要求.。

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