高考数学一轮复习-9.68轨迹与轨迹方程的求法课件理
《轨迹方程的求法》课件
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05
总结与展望
轨迹方程的重要性和意义
轨迹方程是描述物体运动规律的 重要工具，对于物理学、工程学 、航天科学等领域具有重要意义
。
通过轨迹方程，我们可以精确地 预测物体未来的位置和运动状态 ，为实际应用提供重要的参考依
据。
掌握轨迹方程的求法，有助于提 高我们对物体运动规律的认识和 理解，为相关领域的研究和发展
04
1. 根据已知条件，确定动点坐标之间的关 系。
2. 运用代数方法，将坐标关系转化为轨迹 方程。
05
06
3. 化简轨迹方程，得到最终结果。
参数法
定义：参数法是指引入参数来
适用范：适用于已知条件较
步骤
表示动点的坐标，从而得到轨
迹方程的方法。
01
为复杂，需要引入参数来表示
动点坐标的情况。
02
03
1. 引入参数，表示动点的坐标 。
3. 根据轨迹上点的坐标，推导出轨迹 方程。
03
常见轨迹方程的求解示例
圆轨迹方程的求解
总结词
通过已知条件，利用圆上三点确定一个圆的定理，求解圆心 和半径。
详细描述
首先确定圆上的三个点，然后利用圆上三点确定一个圆的定 理，即圆心在三个点的中垂线交点上，半径等于三个点到圆 心距离的和的一半，求解出圆心和半径，即可得到圆的轨迹 方程。
轨迹方程可以用来描述行星、卫星等 天体的运动轨迹，帮助我们理解宇宙 中的运动规律。
在物理中，有时需要研究两物体碰撞 后的运动轨迹，通过建立轨迹方程并 求解，可以了解碰撞后的运动状态。
高三第一轮复习全套课件圆锥曲线方程：轨迹方程问题(PPT)
y
P A
M
x 轴，
O
B
l x
5 QA QA QB 4 2 （ 2） 3 QA QB 1 QB 2 2 2 2 QA QB AB 3 cos AQB 2QA QB 5
4 tan AQB 3
2
6 .求经过点 M （ 1 ， 2 ），以 y 轴为准线， 1 率为 的椭圆的左顶点的轨迹 方程。 2
解：设左顶点A( x, y ),显然x 0,
焦点F ( x0 , y ) x0 x 1 3 由第二定义， x0 x , x 2 2 3 即F ( x, y ), M (1,2)在椭圆上, 2
2设Q是圆C:(x+1)2+y2=16上的动 点，另有A(1,0)，线段AQ的垂直 平分线交直线CQ于点P，当点Q 在圆上运动时，点 P 的轨迹方程为 2 2 x /4+ y /3 =1 总结：在熟知各种曲线（如：圆， 椭圆，双曲线，抛物线）定义的基 础上，分析动点运动规律符合某已 知曲线的定义，然后设其方程求出 方程中的待定系数。
一、基本方法
1、直接法：（1）建系、设点 （2）写出属性（3）坐标代入并化简 （4）检验
2、定义法：由圆锥曲线的定义，直接 写出圆锥曲线方程。
3、几何法：求动点轨迹时，动点的几何性 质与平面几何中的 定理及有关平面几何知 识有直接或间接的联系，可由此写出动点轨 迹。
4、转移法：某一动点的运动规律与另一个点运 动有关，而另一点 的运动轨迹可求，可利用此 法将动点转移到另一点轨迹上，即可求。 5、参数法：变量x,y之间的直接关系难寻求， 可适当选择参数，由此表示参数方程，然后 消 参为普通方程。 6、交轨法：曲线与曲线的交点随曲线变化， 如果求此交点轨迹，可将适合每一条件的轨 迹求出，联立后轨迹方程可求出。
【高中数学】高考数学一轮复习轨迹方程的求解知识点
【高中数学】高考数学一轮复习轨迹方程的求解知识点轨迹方程就是与几何轨迹对应的代数描述，以下是轨迹方程的求解知识点，请考生认真学习。
符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹.轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。
一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系建立适当的坐标系;②设点设轨迹上的任一点P(x，y);③列式列出动点p所满足的关系式;④代换依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;⑤证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。
高考数学第一轮复习知识点：轨迹方程的求解
高考数学第一轮复习知识点：轨迹方程的求解高中频道收集和整理了高考数学第一轮复习知识点：轨迹方程的求解，以便高三学生更好的梳理知识，轻松备战。
符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹. 轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。
一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系建立适当的坐标系;外语学习网②设点设轨迹上的任一点P(x，y);③列式列出动点p所满足的关系式;④代换依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;⑤证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。
轨迹方程的求法PPT教学课件
的性质可得 : y0 1 1 , y0 1 2. x0 m,x0 Nhomakorabea22
2
解得
:
x0
4 4m 5
,
y0
2m 5
3
,
点B '( x0 ,
y0 )在椭圆上,( 4
4m )2 5
4( 2m 5
3)2
4,
整理得2m m 3 0解得m 1或m 3 2
点P的轨迹方程为y 2x 1或y 2x 3 , 2
刷油漆
镀铬
涂油
一.防止金属的腐蚀 二.回收利用废旧金属
三.合理有效开采矿物 四.寻找金属的代用品
P
引直线x y 2的垂线,垂足为N . Q
求线段QN的中点P的轨迹方程.
O
x
人类生活离不开金属
金属元素在自然界中的存在
金属元素在自然界中分布很广，极少数不活泼的
金属（如金、银等）以单质形式存在；
金属元素在地壳中的含量
元素名称 质量分数/% 元素名称 质量分数/%
铝（Al）
7.73
镁（Mg）
例1.如图,已知动圆过定点(1, 0), 且与直线x 1相切。求 动圆圆心轨迹C的方程.
练习：
1.如图,已知定点A(2, 0),定圆 M : ( x 2)2 y2 25, P是M上 的动点, 线段AP的中垂线与MP 交于Q , 求Q的轨迹.
y P
Q MO A
x
2.矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB 边所在直线的方程为x-3y-6=0，AD边所在直线的方程 为3x+y+2=0. （1）求矩形ABCD外接圆的方程； （2）若动圆P过点N（-2，0）， 且与矩形ABCD的外接圆外切， 求动圆P的圆心的轨迹方程.
求轨迹方程——交轨法 课件-2023届高三数学一轮复习
解：设 P 点的坐标为(x1,y1)，则 Q 点坐标为(x1,－y1),
又有 A1(－m,0),A2(m,0),
则 A1P 的方程为：y= y1 (x m)
①
x1 m
A2Q 的方程为：y=－ y1 (x m)
②
x1 m
两式相乘得：y2=－
y12 x12 m2
(x2
m2)
③
又因点
P
在双曲线上，故 x12
即（x - 1)2 ( y 1)2 1
2
22
.
小结：若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的 方程直接求出交点的轨迹方程，也可以解方程组先求 出交点坐标的参数方程，再化为普通方程.
例
2.已知双曲线
x2 m2
y2 n2
=1(m＞0,n＞0)的顶点为
A1、A2，与
y
轴平行
的直线 l 交双曲线于点 P、Q.求直线 A1P 与 A2Q 交点 M 的轨迹方程
m2
y12 n2
1,即y12
n2 m2
( x12
m2 ).
代入③并整理得
x2 m2
y2 n2
=1.此即为
M 的轨迹方程.
小结：求两曲线的交点轨迹时，可先引入参数来建立 这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程.
跟踪训练：已知 MN
是椭圆
x2 a2
y2 b2
1 中垂直于长轴的动弦， A
、B
是
椭圆长轴的两个端点，求直线 MA 和NB 的交点 P 的轨迹方程.
得 x2 b2 ，
x2 a2 a2
即交点 P 的轨迹方程为
x2 y2 1 a2 b2
解 2： (利用角作参数)
高考数学第一轮复习轨迹方程的求解方法讲解
高考数学第一轮复习轨迹方程的求解方法讲解符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹。
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轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。
一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系——建立适当的坐标系;外语学习网②设点——设轨迹上的任一点P(x，y);③列式——列出动点p所满足的关系式;④代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;要练说，得练看。
高中数学复习课件-轨迹方程的求法
2.设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2 2 y2 4 交于A、B两点, P是l上满足PA PB 1的点,求点 P的轨迹方程.
y
A
O
x
B
题型二 用定义法求轨迹
例2.(1)与x2 y2 1及( x 6)2 y2 9都外切 的圆, 其圆心M的轨迹方程是____________.
(2)与圆x2 y2 1外切且与x轴相切的动圆 圆心O的轨迹方程是 ______________ .
P点的轨迹是直线。
练习3.
从双曲线x2 y2 1上一点Q引直线x y 2 的垂线,垂足为N .求线段QN的中点P的轨迹 方程.
作业：
1.如图,已知过点D(2, 0)的直线l与椭圆 x2 y2 1 2
交于不同的两点A、B，点M 是弦AB的中点.
(1)若OP OA OB,求点P的轨迹方程;
上述五个步骤可简记为： 建系设点；写出集合；列方程；化简；证明．
2.求轨迹方程的主要方法： (1)直接法 (2)定义法 (3)相关点法 (4)参数法
二.例题分析 题型一 用直接法求轨迹
例1.已知动点P到定点F(1, 0)和定直线 x 3的距离之和等于4,求动点P的轨迹 方程.
练习：
1.长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴, y轴上滑动,求AB中点P的轨迹方程.
当 1 2 0 且 0 即 1,0 0,1 时，有
x2 9
y2
9(1 2 )
1, P点的轨迹是椭圆。
，即
当 0 时，方程为 x2 y2 9, P 的轨迹是圆。
当1 2 0 即 (, 1) (1, ) 时，方程为
x2
y2
9 9( 2 1) 1, P点的轨迹是双曲线。
当 1 2 0，即 1 时，方程为y＝0,
高三数学轨迹方程课件
双曲线有两个分支，且关于其主轴对称。此外，双曲线还有 渐近线的概念，即随着点无限远离主轴，其轨迹将无限接近 于两条直线。
抛物线
总结词
抛物线是一个平面截取一个圆锥面得到的几何图形，其轨迹方程通常表示为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数，且 a 不等于 0。
详细描述
物理学
描述物体在重力、电磁 场等作用下的运动轨迹
。
工程学
在机械、航空、航海等 领域用于计算和预测物
体运动轨迹。
经济学
在统计分析中用于研究 数据点分布和变化趋势
。
02
轨迹方程的求解方法
直接法
定义
直接法是指通过直接代入或消元法， 将几何条件转化为代数方程，从而得 到轨迹方程的方法。
适用范围
步骤
1. 根据题意，设动点坐标为$P(x, y)$ ；2. 代入已知的几何条件，得到代数 方程；3. 化简代数方程，得到轨迹方 程。
实例分析
通过具体实例，如行星运动轨迹、电磁波传播等，展示极坐标系下 轨迹方程的应用。
参数方程与轨迹方程的关系
参数方程的概念
01
参数方程是一种描述轨迹的方法，通过引入参数，将轨迹上的
点的坐标表示为参数的函数。
参数方程与轨迹方程的转化
02
将参数方程转化为轨迹方程是解决许多数学问题的关键步骤。
通过消去参数，可以将参数方程转化为轨迹方程。
高三数学轨迹方程课件
contents
目录
• 轨迹方程的基本概念 • 轨迹方程的求解方法 • 常见轨迹方程的解析 • 轨迹方程的实际应用 • 轨迹方程的拓展与提高
01
轨迹方程的基本概念
2020届高三数学一轮复习《轨迹方程的求法》课件(共18张PPT)
所以点A的坐标满足方程 (x 1)2 y2 4
即 (x0 1)2 y02 4.
(2)
把（1）代入（2）得 (2x 4 1)2 (2 y 3)2 4
整理得 (x 3)2 ( y 3)2 1
2
2
所以点M的轨迹是以(3 , 3)为圆心，半径长为1的圆。 22
22yx得
x1 y1
3x 4 2
3y 1 2
又B在抛物线y 2
4x上,
y12
4
x1
(
3
y 2
1)
2
4
3x 2
4
整理得( y 1)2 8 (x 4) 33 3
三、定义法
分析题设几何条件，根据所学曲线的定义， 判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲 线的方程.
-20
点P的轨迹方程为 x 2 y 2 1
16 7
-10
A
B
10
-5
-10
课后练习:
已知 圆A的方 程为( x 3)2 y 2 16, B(3,0)为一 定点, 15 M为 圆A上 的 一 个 动 点, 线 段MB的 中 垂 线 和 直 线AM
的交点为P, N为垂足,求动点P的轨迹方程. 10
【例题1】
ABC的两个顶点坐标分别是A(5，0), B(5，0), 边AC , BC
所在直线的斜率之积等于 9 ,求顶点C的轨迹方程. 25
解：设顶点C的坐标为( x, y), 则有
k AC
y x5
(x 5)
, kBC
x
y 5
( x 5)
高考数学一轮复习-9.68 轨迹与轨迹方程的求法课件 理
因为直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点，
所以 Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－16)＝0，
即 m2＝16k2＋4.(*1) 又由yx＝－k2yx＝＋0m，， 可得 P1－2m2k，1－m2k； 同理可得 Q1－＋22mk，1＋m2k. 由原点 O 到直线 PQ 的距离为 d＝ 1m＋k2和|PQ|
于是 t＝2x0，故 x0＝x4，y0＝－y2. 代入 x20＋y20＝1，可得1x62 ＋y42＝1， 即所求的曲线 C 的方程为1x62＋y42＝1. (2)①当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 为 x＝4 或
x＝－4，都有 S△OPQ＝12×4×4＝8. ②当直线 l 的斜率存在时，
设直线 l：y＝kx＋mk≠±12， 由yx＝2＋k4xy＋2＝m1，6， 消去 y，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0.
（x－2）2＋y2＝12 （x－8）2＋y2， 平方后再整理，得 x2＋y2＝16. 可以验证，这就是动点 M 的轨迹方程.
(2)设动点 N 的坐标为(x，y)，M 的坐标是(x1，y1). 由于 A(2，0)，且 N 为线段 AM 的中点，所以 x＝2＋2x1，y＝0＋2y1.所以有 x1＝2x－2， y1＝2y ① 由(1)知，M 是圆 x2＋y2＝16 上的点，所以 M 坐 标(x1，y1)满足：x21＋y21＝16 ② 将①代入②整理，得(x－1)2＋y2＝4.
(4)参数法：如果轨迹动点 P(x，y)的坐标之间的关 系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将 x，y 用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程．参数 法中常选角、斜率等为参数．
4．“轨迹”与“轨迹方程”的区别与联系 一般说来，若是求“轨迹方程”，求得方程就可以 了；若是求“轨迹”，求得方程还不够，还应指出方程 所表示的曲线的类型，“轨迹”与“轨迹方程”是两个 有相关性的不同概念．
高考数学一轮总复习第68讲轨迹与轨迹方程的求法考点集训理新人教A版
高考数学一轮总复习第68讲轨迹与轨迹方程的求法考点集训理新人教A 版1．已知两定点F 1(－1，0)、F 2(1，0)，且12|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P的轨迹是A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段2．△ABC 一边的两个顶点为B (－3，0)，C (3，0)，另两边所在直线的斜率之积为λ(λ 为常数)，则顶点A 的轨迹不．可能落在下列哪一种曲线上 A ．圆 B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线3．已知动圆P 与两定圆O ：x 2＋y 2＝1和C ：x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为A ．椭圆B ．双曲线的一支C ．抛物线D ．圆4．已知点P (x ，y )在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q (x ＋y ，xy )的轨迹是 A ．圆 B ．抛物线 C ．椭圆 D ．双曲线5．过抛物线y 2＝4x 的顶点O 作两条互相垂直的直线分别交抛物线于A ，B 两点，则线段AB 的中点P 的轨迹方程为__________．6．已知点M (－3，0)，N (3，0)，B (1，0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为____________．7．已知点C (1，0)，点A 、B 是⊙O ：x 2＋y 2＝9上任意两个不同的点，且满足AC →·BC →＝0，设P 为弦AB 的中点．(1)求点P 的轨迹T 的方程；(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点，它到直线x ＝－1的距离恰好等于到点C 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．8．在面积为1的△PMN 中，tan ∠PMN ＝12，tan ∠PNM ＝－2.建立适当坐标系，求以M ，N 为焦点且过点P 的椭圆方程．9．如图，动点M 与两定点A (－1，0)，B (2，0)构成△MAB ，且∠MBA ＝2∠MAB ，设动点M 的轨迹为C.(1)求轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝－2x ＋m 与y 轴交于点P ，与轨迹C 相交于点Q ，R ，且|PQ|<|PR|，求|PR||PQ|的取值范围．答 案 题 号 1 2 34第68讲 轨迹与轨迹方程的求法【考点集训】1．D 2.D 3.B 4.B 5.y 2＝2x －8 6.x 2－y28＝1(x ＞0)7.【解析】(1)连接CP 、OP ，由AC →·BC →＝0，知AC ⊥BC ，∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝12|AB|.由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，即|OP|2＋|CP|2＝9.设点P(x ，y)，有(x 2＋y 2)＋[(x －1)2＋y 2]＝9，化简，得到x 2－x ＋y 2＝4.(2)根据抛物线的定义，到直线x ＝－1的距离等于到点C(1，0)的距离的点都在抛物线y 2＝2px 上，其中p 2＝1，∴p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x 2－x ＋y 2＝4，得x 2＋3x －4＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－4，由于x ≥0，故取x ＝1，此时y ＝±2. 故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1，2)． 8.【解析】如图，以直线MN 为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系．设所求椭圆方程为x 2a 2＋y2b2＝1，焦点为M(－c ，0)，N(c ，0)，由tan ∠PMN ＝12，tan α＝tan (π－∠MNP)＝2，得直线PM ：y ＝12(x ＋c) ①直线PN ：y ＝2(x －c) ②①，②联立，求得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫53c ，43c . 又S △MNP ＝12×2c ×43c ＝43c 2＝1，可得c ＝32，则点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫536，233. 又|PM|＝2153，|PN|＝153，则a ＝12(|PM|＋|PN|)＝152.又b 2＝a 2－c 2＝3，故所求椭圆的方程为4x 215＋y23＝1.9．【解析】(1)设M 的坐标为(x ，y)，显然有x>0，且y ≠0. 当∠MBA ＝90°时，点M 的坐标为(2，±3)， 当∠MBA ≠90°时，x ≠2，由∠MBA ＝2∠MAB ，有tan ∠MBA ＝2tan ∠MAB 1－tan 2∠MAB ，即－|y|x －2＝2|y|x ＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫|y|x ＋12， 化简可得3x 2－y 2－3＝0.而点(2，±3)在曲线3x 2－y 2－3＝0上，综上可知，轨迹C 的方程为3x 2－y 2－3＝0(x>1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋m ，3x 2－y 2－3＝0消去y ，可得x 2－4mx ＋m 2＋3＝0，(*) 由题意，方程(*)有两根且均在(1，＋∞)内，设f(x)＝x 2－4mx ＋m 2＋3，所以⎩⎪⎨⎪⎧－－4m 2>1，f （1）＝12－4m ＋m 2＋3>0，Δ＝（－4m ）2－4（m 2＋3）>0，解得m>1且m ≠2.设Q ，R 的坐标分别为(x Q ，y Q )，(x R ，y R )，由|PQ|<|PR|有x R ＝2m ＋3（m 2－1），x Q ＝2m －3（m 2－1），所以|PR||PQ|＝x R x Q ＝2m ＋3（m 2－1）2m －3（m 2－1）＝2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 22－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＝－1＋42－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2由m>1且m ≠2，有1<－1＋42－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2<7＋43且－1＋42－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2≠7，所以|PR||PQ|的取值范围是(1，7)∪(7，7＋43)．。
高考数学一轮复习知识点：轨迹方程的求解
高考数学一轮复习知识点：轨迹方程的求解符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹.轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也确实是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】确实是与几何轨迹对应的代数描述。
一、求动点的轨迹方程的差不多步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
⒈直译法：直截了当将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
⒉定义法：假如能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直截了当关系难以找到时，往往先查找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
*直译法：求动点轨迹方程的一样步骤①建系建立适当的坐标系;②设点设轨迹上的任一点P(x，y);课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。
什么缘故?依旧没有完全“记死”的缘故。
要解决那个问题,方法专门简单,每天花3-5分钟左右的时刻记一条成语、一则名言警句即可。
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即xy11－－xy22＝y1＋4 y2＝24y＝2y＝2，所以 y＝1， 所以所求轨迹为直线 y＝1 在抛物线内部的部分.
(1)曲线上的点的坐标____都___是__这__个__方__程___的__解______(称
曲线具备了纯粹性)；
(2)以这个方程的解为坐标的点__都__在__曲__线___上____(称曲
线具备了完备性)． 那么，我们就称曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程. 2．直接法求动点轨迹方程的步骤 (1)建立适当的坐标，用有序实数对(x，y)表示曲线上任
A.圆
B.椭圆
C.双曲线 得 AQ＝PQ， ∴AQ－OQ＝OP＝r<AO，结合双曲线定义可知点 Q 的轨迹是以 A，O 为焦点的双曲线.
3.抛物线 y2＝4x 的一组斜率为 2 的平行弦中点的 轨迹是( D )
A.椭圆 B.圆 C.双曲线 D.射线(不含端点)
的轨迹不．可能落在下列哪一种曲线上( D )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
【解析】设 A(x，y)，依题意可知，x＋y 3·x－y 3＝λ，
整理得 y2－λx2＝－9λ，
当 λ>0 时，方程的轨迹为双曲线.
当 λ<0，且 λ≠－1 时，方程的轨迹为椭圆.
当 λ＝－1 时，轨迹为圆.
抛物线的标准方程中，x 或 y 的指数必有一个是 1，
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.线段
【解析】设 P(x，y)带入|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|得， （x＋1）2＋y2＋ （x－1）2＋y2＝2
化简得 y＝0(－1≤x≤1)，所以是线段 F1F2.
2.△ABC 一边的两个顶点为 B(－3，0)，C(3，0)，
另两边所在直线的斜率之积为 λ(λ 为常数)，则顶点 A
4.设 A1，A2 是椭圆x92＋y42＝1 的长轴端点，P1，P2
是垂直于 A1A2 的弦的端点，则直线 A1P1 与 A2P2 交点
的轨迹方程为( C ) A.x92＋y42＝1 B.y92＋x42＝1 C.x92－y42＝1 D.y92－x42＝1
【知识要点】
1．曲线的方程、方程的曲线的定义 如果曲线上的点与方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下 关系：
∴x20－2y0＝1，即 y0＝12x20－12，故所求轨迹为抛物
线.
【解析】原命题等价于曲线 C 上有的点的坐标不 满足 f(x，y)＝0 或全都不满足 f(x，y)＝0，故选 D.
2.如图，圆 O 的半径为定长 r，
A 是圆 O 外一个定点，P 是圆上任
意一点，线段 AP 的垂直平分线 l
和直线 OP 相交于点 Q，当点 P 在
圆上运动时，点 Q 的轨迹是( C )
故 A 点的轨迹一定不可能是抛物线，故选 D.
3.已知动圆 P 与两定圆 O：x2＋y2＝1 和 C：x2＋
y2－8x＋12＝0 都外切，则动圆圆心的轨迹为( B )
A.椭圆
B.双曲线的一支
C.抛物线 D.圆
【解析】设半径为 r 的动圆圆心为 P(x，y)， 因为圆 P 与圆 O，圆 C 都外切， 则|PO|＝r＋1，|PC|＝r＋2，|PC|－|PO|＝1. 因此点 P 的轨迹是焦点为 O(0，0)，C(4，0)，中 心在(2，0)的双曲线的左支.
故所求轨迹方程为 4(x－2)2－145y2＝1x≤32.
4.已知点 P(x，y)在以原点为圆心的单位圆上运动，
则点 Q(x＋y，xy)的轨迹是( B )
A.圆
B.抛物线
C.椭圆
D.双曲线
【解析】设 Q(x0，y0)，则xy00＝＝xx＋y，y，②① ①2－2×②得 x20－2y0＝(x＋y)2－2xy， 即 x20－2y0＝x2＋y2， 又 P(x，y)满足 x2＋y2＝1，
意一点 M 的坐标； (2)写出适合条件 P 的点 M 的集合 P＝{M|P(M)}； (3)用坐标表示条件 P(M)，列出方程 f(x，y)＝0； (4)化方程 f(x，y)＝0 为最简形式； (5)说明方程的解为坐标的点都在曲线上．
1.已知两定点 F1(－1，0)、F2(1，0)，且12|F1F2|是 |PF1|与|PF2|的等差中项，则动点 P 的轨迹是( D )
【基础检测】 1.已知曲线 C 上的点的坐标不都是方程 f(x，y)＝0 的解，则下列命题正确的是( D ) A.坐标满足方程 f(x，y)＝0 的点都不在曲线上 B.曲线 C 上的点的坐标都不满足方程 f(x，y)＝0 C.坐标满足方程 f(x，y)＝0 的点有些在曲线 C 上， 有些不在曲线 C 上 D.曲线上至少有一点不满足方程 f(x，y)＝0