微分方程模型1基础知识共73页文档
数学建模-微分方程模型
T(t)=18+42 e 3 21 , t ≥0.
结果
：T(10)=18+42
e
1 3
ln
16 10 21
=25.870，
该物体温度降至300c 需要8.17分钟.
二. 利用平衡与增长式
许多研究对象在数量上常常表现出某种不变 的特性，如封闭区域内的能量、货币量等.
利用变量间的平衡与增长特性,可分析和建 立有关变量间的相互关系.
在[t, t dt]内,
CO2的通入量 2000 dt 0.03, CO2的排出量 2000 dt x(t),
CO2的改变量 CO2的通入量 CO2的排出量
12000dx 2000 dt 0.03 2000 dt x(t),
dx 1 ( x 0.03),
指数增长模型的应用及局限性
• 可用于短期人口增长预测 • 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 • 不能预测较长期的人口增长过程
事实：人口增长率r不是常数(逐渐下降)
阻滞增长模型 (Logistic模型)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：
资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用
且阻滞作用随人口数量增加而变大
键词提示我们注意什么量在变化.
关键词“速率”, “增长” ,“衰变” ,“边际 的” ,常涉及到导数.
微分方程模型方法
反应动力学、化学 反应工程等。
经济金融
预测股票价格、利 率变化、经济增长 等。
物理学
描述物体运动规律、 电磁场、热传导等。
生物学
生态学、生理学、 流行病学等。
社会学
人口动态、交通流、 传播学等。
02 微分方程模型的建立
确定问题与目标
明确研究问题
在建立微分方程模型之前，需要明确 研究的问题和目标，以便有针对性地 收集数据和选择数学工具。
微分方程模型的重要性
描述自然现象
01
微分方程模型可以用来描述各种自然现象的变化规律，如物理、
化学、生物等领域。
预测未来
02
通过建立微分方程模型，可以对系统的未来状态进行预测，为
决策提供依据。
解决实际问题
03
微分方程模型在解决实际问题中具有广泛应用，如经济学、社
会学、工程学等领域的建模分析。
微分方程模型的应用领域
幂级数展开
将未知函数展开为幂函数的无穷 级数，然后取前几项进行近似计 算。幂级数展开适用于具有特定 形式的函数。
04 微分方程模型的应用案例
经济预测模型
总结词
经济预测模型是微分方程模型的一个重要应用，通过建立微分方程来描述经济系统的动态变化，预测经济趋势和 未来发展。
详细描述
经济预测模型通常用于分析经济增长、通货膨胀、就业率、贸易等经济指标的变化趋势，帮助政策制定者和企业 做出决策。例如，通过建立微分方程来描述货币供应量、利率和物价水平之间的相互关系，可以对通货膨胀进行 预测。
第三章-微分方程模型
微分方程模型
1.1微分方程模型简介
对于现实世界的变化，人们关注的往往是变量之间的变化率，或者变化速度、加速度以
及所处的位置随时间的发展规律，之中的规律一般可以写成一个（偏）微分方程或方程组。
所以实际问题中，有大批的问题可以用微分方程来建立数学模型，涉及的领域包括物理学、
化学、天文学、生物学、力学、政治、经济、军事、人口、资源等等。微分方程建模是数学
建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。把形形色
色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步：
1•、根据实际要求确定要研究的量（自变量、未知函数、必要的参数等）并确定坐标系；
2•、找出这些量所满足的基本规律（物理的、几何的、化学的或生物学的等等）；
3•、运用这些规律列出方程和定解条件。
2.1微分方程模型运用实例
例1:发射卫星为什么用三级火箭
采用运载火箭把人造卫星发射到高空轨道上运行，为什么不能用一级火箭而必须用多级
火箭系统？
下面通过建立运载火箭有关的数学模型来回答上述问题。
火箭是一个复杂的系统，为了使问题简单明了，我们只从动力系统和整体结构上分析，
并且假设引擎是足够强大的。
首先解决第一个问题：为什么不能用一级火箭发射人造卫星，下面用三个数学模型回答
这个问题：
（1 ）卫星进入600km高空轨道时，火箭必须的最低速度。
首先将问题理想化，假设：
（i）卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀速圆周运动；
（ii ）地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量集中于球心；
微分方程模型
• a km/h • v(t) •S • s(t)
三 变量说明
飞机在跑道上行驶的匀加速度 t时刻的速度 跑道长度 t时刻飞机行驶的距离
四 模型的建立和求解
• 由速度与加速度的关系知道：a=dv/dt,即 dv=a*dt
t
v 0 adt
• 根据题意，飞机要在t=1/72(h)内匀加速的 将速度提到360km/h，有
一 模型的假设
• 1.假设今后10年学校的在校生人数均按 280e0.2x 的速度递增，不能出现其他变故 2假设宿舍10年后还能正常使用
二 变量说明
• P(t) 从2005年起的第t年新欣学校的在校人 数
三 模型的建立
由题意知 P'(x) dP 280e0.2x
dx
• 利用微元法，在区间[x,x+dx]上，可将学校 在校人数的增长率视为常数，增加的人数 为
30
W[300300sin(02.x2)]d
0
四 模型的求解
• 用MATLAB计算 • >>syms x • >>int(300+300*sin(2*x+0.2),x,0,30) • ans=9.2779e+003
• 所以高速公路上的汽车总量约为9278辆
微元法建立微分方程模型的一般步 骤
• 对于实际问题，若各种研究对象在整体范 围内为变化的，但经过分割后的局部分为 内可以近似地认为是不变的，则可以在确 定了变量以及取值范围后，用以下步骤即 建立微分方程模型
1初识微分方程建模
微分方程建模（动态模型）
三、举例
将上面的方程改写为：dh=-(B/A)ds A,B可以算出但ds? 根据前面物理上的分析，将ds改为：ds=(ds/dt)dt=vdt 从而 dh=-(B/A)vdt 计算出 A=pi(10)2,B=pi(1/2)2,v=(2(32)h)1/2=8h1/2 解得 2h1/2=[-8(1/2)2t/100]+k 由于t=0时，h=20，得k=2(20)1/2 故可以求出h=0时，t≈18h 习题8、一只底部开口面积为0.5cm2的圆锥型漏斗高为10cm， 顶角为60°，其内装满水，水流完要多少时间？
例2 细菌的增长率与总数成正比。如果培养的细菌总数在24h内 由100增长为400，那么，前12h后总数是多少？ 解：第一句话说的是任何瞬间都成立的事实；第二句话给出 的是特定瞬间的信息。如果我们用y（t）表示总数，第一句话 告诉我们 dy / dt = ky 它的通解为
y = Ae kt
y (0) = 100; y (24) = 400;
背景及问题特点：
当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的 过程，并分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要 建立对象的动态模型
常见的微分方程模型
常见的微分方程模型
微分方程是数学的一个重要分支，广泛应用于自然科学和工程领域。它描述了物理现象、社会问题和自然现象的变化规律，能够帮助我们理解和预测各种现象的发展趋势。下面将介绍一些常见的微分方程模型。
1. 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程是最简单且常见的微分方程之一。它可以描述许多实际问题，比如放射性衰变、人口模型等。一阶线性微分方程的一般形式可以写为dy/dt = f(t) * y + g(t)，其中f(t)和g(t)是已知函数，y是未知函数。
2. 指数衰减模型
指数衰减模型是描述某种变化过程的常见微分方程。它可以用来描述放射性物质的衰变、人口增长的趋势等。指数衰减模型的一般形式是dy/dt = -ky，其中k是常数。这个方程表示y的变化速率与y本身成比例，且反向。
3. 扩散方程
扩散方程是描述物质或能量传递过程的微分方程。它可以用来研究热传导、扩散现象等。扩散方程的一般形式是∂u/∂t = D ∇²u，其中u是未知函数，D是扩散系数，∇²是Laplace算子。这个方程表示u 的变化率与u的二阶导数成正比。
4. 多体问题
多体问题是描述多个物体之间相互作用的微分方程模型。它可以
用来研究天体运动、分子碰撞等问题。多体问题的方程通常包括牛顿
第二定律和对应的初始条件，如F = ma和相关的速度、位置初值条件。
5. 随机微分方程
随机微分方程是考虑了随机因素的微分方程模型。它可以用来研
究金融市场的波动、生态系统的不确定性等。随机微分方程的方程形
式通常会引入一个随机项，如dy/dt = f(t, y) dt + g(t, y) dW，其中dW是布朗运动，表示随机项。
微分方程模型(全)
例5 作战模型
当然，这些模型是非常简单的，只考虑双 方的兵力的多少和战斗力的强弱，并且当时只 使用枪炮之类的常规武器。兵力因战斗减员和 非战斗减员而减少，由于增援而增加；战斗力 是杀伤对方的能力，它与射击率（单位时间的 射击次数）、射击命中率以及战争类型（正规 战、游击战等）有关。即这些模型仅考虑战场 上的兵力的优劣，并没有考虑交战双方的政治、 外交、经济、社会等因素，所以仅用这些模型 来判别一场战争的结局是不现实的。
例3 溶液浓度
所以确定浓度的“变化率”与“酸性浓度”， “清水的量”的关系是解决问题的关键。
涉及的量为： “清水的总量”，“酸性浓度”（用纯量单位 :1）. “酸性浓度变化率”，体积（常数），其中 都使用题目中的纯量单位; 有（待定）函数关系的两个量定为： 酸性浓度 S，清水的总量 x； 涉及的原则或物理定律： 导数＝变化率，溶液保持均匀，体积 V 不变.
C1V1dt
C 2V2dt
dx C1V1dt - C 2V2dt
C1是流入溶液的质量浓度，C 2 为 t 时刻容器中 x 溶液的质量浓度， C2 V0 (V1 V2 )t
该问题的数学模型为 dx C1V1 C 2V2 dt x ( 0) x 0
例4 黄灯时间
例 4：黄灯时间 题目：交通管理红绿灯处红灯亮之前黄灯应该
亮多长时间？ 说明： 在交通管理中，定期地亮一段时间的黄灯是 为了让那些正行使在交叉路口上或距交叉路口太 近无法停下的车辆通过路口。这样，红绿灯之间 应保持足够长时间的黄灯，使那些“无法停车” （即来不及在路口前停下）的驾驶员有机会在黄 灯亮的时候通过路口。
第一课微分方程建模
• 早在第一次世界大战期间F.W.Lanchester 就提出了几个预测战争结局的数学模型， 其中有描述传统的正规战争的，也有考 虑游击战争的，以及双方分别使用正规 部队和游击部队的所谓混合战争的。后 来人们对这些模型作了改进用以分析历 史上一些著名的战争，如二战中的硫磺 岛之战和越南战争。
ka
k 0，甲方胜
O
x(t)
模型分析
分析某一方譬如乙方取胜的条件。当k 0时乙 方获胜，即
亦即
k ay02 bx02 0
2
y0 x0
b rx px a ry py
说明双方初始兵力之比y0 x0 以平方关系影响着战
争的结局。因此正规战争模型称为平 方 律 模型。
根据对正规战争和游击战争模型的分析
和假设，f cxy，g bx，在同样忽略和
假设下，有
x cxy
y
bx
x(0) x0 , y(0) y0
模型求解
相轨线为 cy2 2bx n，n cy02 2bx0
y(t) n 0，乙方胜
n 0，平局
预测战争胜负应该考虑哪些因素？
1.双方兵力的多少；
2.双方士兵战斗力的强弱（战斗力即杀伤 对方的能力，与射击率、射击命中率及战 争类型有关）；
3.兵力因战斗减员和非战斗减员而减少又 由后备力量的增援而增加。
微分方程模型
微分方程模型
微分方程模型
一、一阶常微分方程模型
在很多实际问题的研究中，经常要涉及各变量的变化率问题。这些问题的解决通常要建立相应的微分方程模型。微分方程模型在自然科学中的应用主要以物理，力学等客观规律为基础建立起来，而在经济学，人口预测等社会科学方面的应用则是在类比，假设等措施下建立起来。
（一）人口模型
人口数量以及和次类似的动植物种群的个体数量都是离散变量，不具有连续可微性。但由于短时间内改变的是少数个体，与整体数量相比，这种变化是很微小的。基于此原因，为了成功应用数学工具，我们通常假定大规模种群的个体数量是时间的连续可微函数。此假设条件在非自然科学的问题中常常用到。
1、指数增长模型（Malthus 人口模型）
美国人口学家Malthus(1766-1834)于1798年根据百余年人口统计资料提出了著名的人口指数增长模型。
模型假设：在人口的自然增长过程中，单位时间内人口增量与人口总数成比。模型建立：设)(t N 为t 时刻的人口述，考察时间区间t t ?+上的人口变动。
t t rN t N t t N ?=-?+)()()(
令0→?t 可以得到微分方程模型
=>=00)(0,N r N r rN dt dN 可以解得此方程的解为
)(00)(t t r e N t N -=
模型分析和应用：
(1)当0>r 时，人口将随着时间的增加无限的增长，这是一个不合理的模型，因为一个环境的资源不可能容纳无限增长的人口，从生态环境的角度分析也可以看出其中的不合理性。一般说来，就一个种群
的发展规律看，在种群的发展初期种群数的变化是和指数增长模型大致吻合的（甚至可能出现年增长率递增的现象），但是随着人口数的增加，人口的年增长率将呈现逐年递减的现象。再考虑到环境适应程度的制约，想象人口的增长不可能超过某个度。
微分方程模型1基础知识
c14 年代测定方法是1949年美国芝加哥大学利比
（W.F.Libby）建立的，是考古工作者研究断代的
重要手段之一。
--理学院--
基本原理
从星际空间射到地球的射线
宇宙线中子穿过大气层时撞击空气中的氮核，引起核反
c 应而生成具有放射性的 c14 。从古至今，碳 14 不断产
生，同时其本身又在不断的放出 射线而裂变为氮。
解：当电路中电流为 时，在R上的电压降为 在电感上的电压降为 由Kirchhoff回路电压定律知： 沿着任一闭合回路的电压降的代数和为零。 我们得到电流 所满足的微分方程为：
取开关闭合时刻为0，则 故当开关闭合后，电路中的电流强度为：
(2) 湖泊的污染
设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸， 这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20 立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水 中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊 中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小 时,求该厂排污1年时, 湖泊水中盐酸的含量。
这样，伪造罪成立， Van meegren被判一年徒刑。 1947年11月30日他在狱中心脏病发作而死去。
但是，许多人还是不相信其余的名画是伪造的，因为， Van meegren在狱中作的画实在是质量太差，所找理由都 不能使怀疑者满意。直到20年后，1967年，卡内基梅隆 大学的科学家们用微分方程模型解决了这一问题。
微分方程的基础知识及解析解
微分方程的基础知识与练习
〔一〕微分方程基本概念：
首先通过一个具体的问题来给出微分方程的基本概念。
〔1〕一条曲线通过点〔1，2〕，且在该曲线上任一点M 〔x ,y 〕处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。
解 设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足
x dx
dy 2= 〔1〕 同时还满足以下条件：
1=x 时，2=y 〔2〕
把〔1〕式两端积分，得
⎰=xdx y 2 即 C x y +=2 〔3〕
其中C 是任意常数。
把条件〔2〕代入〔3〕式，得
1=C ，
由此解出C 并代入〔3〕式，得到所求曲线方程：
12+=x y 〔4〕
〔2〕列车在水平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？
解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数)(t s s =满足：
4.02
2-=dt s d 〔5〕 此外，还满足条件：
0=t 时，20,0==
=dt ds v s 〔6〕 (5)式两端积分一次得：
14.0C t dt
ds v +-== 〔7〕 再积分一次得
2122.0C t C t s ++-= 〔8〕
其中21,C C 都是任意常数。
把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入〔７〕式和〔８〕式，得
0 ,2021==C C
把21,C C 的值代入〔7〕及〔8〕式得
,204.0+-=t v 〔9〕
t t s 202.02+-= 〔10〕
微分方程全部知识点
微分方程全部知识点
微分方程是数学中一个重要的分支，用于描述变量之间的关系以及其之间的变化规律。其在物理、工程、经济等领域都有广泛的应用。下面将介绍微分方程的全部知识点。
一、基本概念和分类：
1. 微分方程的定义和形式。
2. 微分方程的阶数和线性性。
3. 独立变量和因变量的概念。
4. 常微分方程和偏微分方程的区别。
二、常微分方程：
1. 一阶常微分方程的解法：可分离变量、齐次方程、一阶线性方程、一阶伯努利方程、可化为可分离变量的方程。
2. 高阶常微分方程的解法：常系数线性齐次方程、常系数线性非齐次方程、二阶常系数齐次方程的特征方程、二阶线性非齐次方程的特解法。
3. 微分方程的解的存在唯一性定理。
4. 常微分方程的初值问题和边值问题。
三、偏微分方程：
1. 常见的偏微分方程类型：椭圆型、抛物型、双曲型方程。
2. 二阶线性偏微分方程的分类和通解求法。
3. 常用偏微分方程的具体应用：热传导方程、波动方程、扩散方程等。
四、数值解法：
1. 欧拉法和改进的欧拉法。
2. 龙格-库塔法。
3. 有限差分法和有限元法。
五、应用领域：
微分方程在物理学、工程学、生物学、经济学等领域有广泛的应用。例如：
1. 牛顿运动定律中的微分方程。
2. 电路中的微分方程。
3. 生物种群数量变化的微分方程。
4. 经济增长模型中的微分方程。
总结：
微分方程是数学中一个重要的分支，主要包括基本概念和分类、常微分方程、偏微分方程、数值解法以及应用领域等知识点。掌握微分方程的解法和应用，对于理解自然和社会现象的规律具有重要作用。
微积分 第七章 第一节 微分方程的基本概念与性质
解 设制动后 t 秒钟行驶 s 米, s s(t)
d 2s dt 2
0.4
t 0时, s 0,v ds 20, dt
v
wk.baidu.com
ds dt
0.4t
C1
s 0.2t 2 C1t C2
代入条件后知
C1 20, C2 0
v ds 0.4t 20, dt
故 s 0.2t 2 20t,
开始制动到列车完全停住共需 t 20 50(秒), 0.4
列车在这段时间内行驶了
s 0.2 502 20 50 500(米).
二、微分方程的定义 定义 含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数 的若干阶导数或微分的函数方程称为微分方程.
定义 出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或 微分的阶数，称为微分方程的阶.
未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程， 未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.在本 书中只讨论常微分方程，如下例：
第九章
1
第一节 微分方程的基本概念
一、问题的提出 二、微分方程的定义 三、微分方程的解 四、小结 思考题
第一节 微分方程的基本概念
在工程技术，力学与物理学等自然科学以及经济学 与管理学等各个领域中，经常需要确定变量间的函数关 系.在很多情况下，必须建立不仅包含这些函数本身， 而且还包含着这些函数的导数或微分的方程或方程组才 有可能确定这些函数关系，这样的方程就是微分方程.
微分方程模型
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在2005年的全国大学生数学建模竞赛A题 (原题见竞赛试题)中,对于长江流域的三类 主要污染物----溶解氧,高锰酸盐指数与氨氮 污染,我们运用微元法,建立了其含参数的微 分方程模型,并用平均值法估计出了其参数, 具体求出了他们的解,之后,我们又给出了他 们统一的微分方程模型及其求解公式。
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5.熟悉一些经典的微分方程模型。对一 些类似的问题,经过稍加改进或直接套用这 些模型. 多年来,在各种领域里,人们已经建立 起了一些经典的微分方程模型,熟悉这些模 型对我们是大有裨益的.下面,我们以人口问 题和传染病问题为例,说明用常微分方程,偏 微分方程和差分方程建立的人口问题模型.
6
p 0, t t 意义 : 婴儿出生数的变化具有特别重要的意义.
3：进一步建模：考虑移民、战争、自然灾害引起的人口 扰动模型 设：f(r,t)drdt表示年龄在[r,r+dr]区间和[t,t+dt]时间 里迁入迁出的人口总数, f(r,t)称为相对扰动密度函数（统 计给出）.则模型为
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人口问题
（人口太多） 人均粮食不足 人均资源不足 工业化资金有限 生态平衡被严重破坏 （人口太少） 人口老化 劳动力短缺 问题：人口预测；制定
数学建模公选课：第五讲-微分方程模型
传染病传播模型
总结词
预测和控制传染病传播
详细描述
传染病传播模型使用微分方程来描述疾病的传播过程。该模型考虑了易感人群、感染人 群和康复人群之间的转换关系，通过求解微分方程，可以预测疾病的传播趋势，为防控
措施提供依据。
经济模型
总结词
分析经济系统的动态行为
VS
详细描述
经济模型使用微分方程来描述经济系统的 动态行为，如价格变化、供需关系等。这 些模型可以帮助我们理解经济现象的内在 机制，预测经济趋势，为政策制定提供依 据。
微分方程是数学模型中常用的工具，可以用来描述物理、工程、经济等领域中的各 种问题。
微分方程的解可以揭示模型中变量的变化规律，从而为实际问题提供解决方案。
微分方程的分类
一阶微分方程
高阶微分方程
线性微分方程
非线性微分方程
只含有一个未知函数的 导数。
含有未知函数的多个导 数。
未知函数的导数之间是 线性关系。
01
02
03
数值解法
随着计算机技术的发展， 数值解法已成为求解微分 方程的主要方法，如有限 差分法、有限元法等。
符号解法
对于某些微分方程，可以 通过符号计算得到解析解， 如常微分方程的初值问题。
近似解法
对于难以求解的微分方程， 可以采用近似解法来得到 近似解，如摄动方法、渐 近方法等。
常微分方程第一章第一节
电路的基尔霍夫第二定律
在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零
设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), 则电流
其中 a > 0 称为阻尼系数
例5 人口问题的数学模型
在[t,t t]时间间隔,人口数量的变化为
N (t t) N (t) bN (t)t dN (t)t
因此我们有 :
dN (t) dt
bN (t)
dN (t)rN (t)
N
(t)
N
(t0
r(t )e
t0
)
t ; N (t) .
k (u
ua )
其中 k 0为比例系数.
前面为什么 有个负号？
模型求解
du dt k (u ua )
分离变量 u 和 t 两边积分
d (u ua ) kdt u ua
ln(u ua ) kt c%
c%为任意常数
求出 u , t 关系 u ua ektc% ua cekt
1.对于几何学的问题，建立方程时要求熟练掌握导数、微分 的几何意义以及在分析学中熟知的用导数、微分来表达的许 多其他几何概念，它们之间的关系式等。
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▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
源自文库
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
73
SUMMER TEMPLATE
微分方程模型1基础知识
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰