仿射变换

仿射变换

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第四章保距变换和仿射变换

本章教学目的：通过本章的学习,使学生掌握保距变换和仿射变换这两类重要的几何变换,从而深化几何学的研究，并掌握解决几何问题的一个有效方法。

本章教学重点：(1）保距变换和仿射变换的定义和性质;

(2）仿射变换的基本定理；

(３）保距变换和仿射变换的变换公式;

(４)图形的仿射分类与仿射性质。

本章教学难点：仿射变换的性质和基本定理;仿射变换的变换公式的求法。

本章教学内容：

§1 平面的仿射变换与保距变换

1.1――对应与可逆变换

集合X到集合Y的一个映射f:X→Ｙ是把X中的点对应到Y中的点的一个法则,即∀ｘ∈X,都决定Y中的一个元素f(ｘ)，称为点ｘ在ｆ下的像。对X的一个子集A,记

f(Ａ)={ｆ（a)|ａ∈A}，

它是Y的一个子集，称为A在f下的像。对Y的一个子集Ｂ,记

f-1(B）={x∈Ｘ|f(ｘ)∈Ｂ｝，

称为B在F下的完全原像,它是X的子集。

如果f是X到Y的映射,ｇ上Y到Z的映射,则它们的复合上X到Z的映射,记作

gｆ: Ｘ→Ｚ，规定为

g f(x)=g(f(ｘ）),∀ｘ∈Ｘ.

对A⊂X，

gｆ(A)＝ｇ(f(A));

对C⊂Z，

（g f)-1(C）＝f－１（g－1(C)).

映射的复合无交换律，但有结合律。

映射f: X→X称为X上的一个变换，iｄX: X→X,∀x∈X，ｉd X（x）＝x,称为X的恒同变换。

对映射f: X→Y，如果有映射g：Y→X,使得

g f＝ idＸ：X→X,fｇ=ｉdＹ:Y→Y,

则说ｆ是可逆映射，称ｇ是f的逆映射。

如果在映射f： X→Y下X的不同点的像一定不同,则称ｆ是单射。如果f(Ｘ）=Ｙ，则称f是满射。

如果映射f: X→Ｙ既是单射,又是是满射，则称f为——对应。此时∀f－1f=ｉd X,, ｆf-1= ｉdＹ,于是f是可逆映射,并且ｆ的逆映射是f-1。

一个集合X到自身的可逆映射称为X上的可逆变换。

1．2平面上的变换群

平移取定平行于平面的一个向量u,规定π的变换P u：π→π为:∀Ａ∈π，令P u AP（A）=u的点。称P u为π上的一个平移，称向量u是P u的平移量。（Ａ）是使得

u

旋转取定π上一点O,取定角θ。规定π的变换ｒ：π→π为：∀A∈π,令ｒ（Ａ）是Ａ饶O转角θ所得的点。称变换r是π上的一个旋转，称O是其旋转中心,θ为转角,r是可逆变换,r－1也是以O为中心的旋转，转角为-θ。

θ=1８0°时，称ｒ为关于中心O点的中心对称，此时r－1=ｒ。

反射取定上的一条直线a,做π的变换f a：π→π为:∀A∈π，fａ（A）是A关于a 的对称点.称f a为π上的一个反射,称a是它的反射轴.也fａ是可逆变换，f a－１=ｆa.

正压缩取定π上一条直线和一个正数k,做π的变换:ｇ：π→π为：∀A∈π,令g(Ａ）是下列条件决定的点:

（1)Pg（A）与ａ垂直；

(2）g(Ａ)到ａ的距离d(g（A),a）=ｋd（A,a)；

（３)g（A)与A在的同一侧，

称变换g为π上的一个正压缩，称a为压缩轴。称k为压缩系数,ｇ也是可逆变换。并且g-１也是以a为压缩轴的压缩变换，压缩系数为k-１.

定义4.1一个集合G，如果它的元素都是π上的可逆变换,并且满足条件:

（1)Ｇ中任何元素的逆也在Ｇ中;

（２）G中任何两个元素的复合也在Ｇ中,

则称G是π上的一个变换群。

1．3 保距变换

定义４.2平面π上的一个变换f如果满足:对π上的任意两点A,B，总有

ｄ(f(A),ｆ（B))=ｄ(A，Ｂ),

则称f是π上的一个保距变换。

命题４．1保距变换是可逆变换．

证明略

保距变换f的逆f-1也是保距变换,于是平面π上的全体保距变换构成一个交换群，称为保距变换群。

１.４仿射变换

定义4.3平面(空间）的一个可逆变换,如果把共线点组变为共线点组,则称为平面(空间)的一个仿射变换。我们把平面间保持点组共线性的可逆映射称仿射映射。

位似变换取定平面π上一点O和一个不为0的实数k,规定π上的变换f：π→π为：∀P∈π令f(Ｐ)是由等式Of(P）=k O(P）决定的点。称f是一个位似变换,称O为它的位似

中心，k为位似系数。

相似变换平面的一个变换f：π→π称为相似变换，如果存在正数k，使得对π上任意两点A,B都有

d(f（Ａ)，f（B)）=kｄ(A,B),

称k为f的相似比。

错切变换取定平面π上的一条直线ａ，并取定ａ的一个单位法向量ｎ以及与ａ平行的一个向量ｕ,规定变换f：π→π为: ∀Ｐ∈π令f(P)是满足等式

Pf(P）=(

M P.n)u

的点，其中Ｍ0是ａ上一点,称此变换为以a为错切轴的一个错切变换。

命题4.2在仿射变换下,不共线三点的像也不共线。

推论仿射变换把直线变为直线，并保持直线的平行性.

§2 仿射变换基本定理

2.1 仿射变换决定的向量变换

定义4.3 设f是平面π上的仿射变换，则对于任何平行于π的向量ａ,规定f

f A f B,这里A,B是π上的点，使得

（a)=()()

AB＝a

这样，就得到全体平行于π的向量集合上的一个变换,称它为f决定的向量变换,仍记作f．

从定义容易看出:

ａ=0 〈═〉f(a)=0.

定理4．1仿射变换决定的向量变换具有线性性质，即

(1)∀向量a,b,

f （a+b）= f(a)+f(b）,f(ａ－ｂ）=f(a）-f(b)．

(2）∀向量ａ,∀π∈Ｒ,

πa）＝πｆ(a)．

ｆ（

πa)= ｔｆ(a)则对任何非零向量ｂ，都有f（πb）引理(1）如果对ａ≠0和实数π，f (

=ｔf(b）

（2)对任何a≠0，如果π>0,则t >０.

推论仿射变换保持共线三点的简单比.

2.2仿射变换基本定理

定理4．２（仿射变换基本定理)设π是一张平面．

（1）如果f:π→π是仿射变换,I＝[Ｏ；ｅ１,e2 ]是π上的一个仿射坐标系,则1I= .

[f（Ｏ)；f(e1），ｆ（e2)]也是π的仿射坐标系,并且∀P∈π,Ｐ在I中的坐标

和f(P)在Ｉ’中的坐标相同;

（2）任取π上两个仿射坐标系Ｉ= [O; e1，ｅ２]和1I=[ O’; ｅ1’; e2’］规定f：π→π如下,∀P∈π,设P在I中的坐标是(x，y）,令f(Ｐ)是在Ｉ’中的坐标为(x,ｙ)

的点，则ｆ是仿射变换.

2.3关于保距变换

命题 4.3如果平面π上两个三角形ABC和EFG全等,则把ABC变为EFG (每个顶点变为对应顶点)的仿射变换是保距变换.

推论任何保距变换都可分解为平移旋转及反射的复合.

2.4二次曲线在仿射变换下的像