仿射变换
仿射变换作用
仿射变换作用
一、什么是仿射变换
仿射变换是指在平面上对点、直线、平行线等进行变换的一种数学方法。它是一种保持平行线仍然平行的变换，因此在计算机图形学、计算机视觉等领域中得到了广泛的应用。
二、仿射变换的作用
1. 图像处理
在图像处理中，仿射变换可以用来实现图像的旋转、缩放、平移等操作。例如，我们可以通过仿射变换将一张倾斜的图片旋转成正常的图片，或者将一张图片缩小或放大。
2. 计算机视觉
在计算机视觉中，仿射变换可以用来实现图像的配准、纠正畸变等操作。例如，我们可以通过仿射变换将两张不同角度的图片进行配准，或者将一张畸变的图片进行纠正。
3. 三维重建
在三维重建中，仿射变换可以用来实现相机的标定、图像的投影等操
作。例如，我们可以通过仿射变换将相机的内参和外参进行标定，或者将三维模型投影到二维平面上。
三、仿射变换的分类
1. 平移变换
平移变换是指将图像沿着某个方向进行移动的变换。它可以用一个二维向量来表示，例如 (tx, ty) 表示在 x 方向上移动 tx 个像素，在 y 方向上移动 ty 个像素。
2. 旋转变换
旋转变换是指将图像绕着某个点进行旋转的变换。它可以用一个角度来表示，例如θ 表示绕着原点旋转θ 度。
3. 缩放变换
缩放变换是指将图像沿着某个方向进行缩放的变换。它可以用一个二维向量来表示，例如 (sx, sy) 表示在 x 方向上缩放 sx 倍，在 y 方向上缩放 sy 倍。
4. 剪切变换
剪切变换是指将图像沿着某个方向进行剪切的变换。它可以用一个二
维向量来表示，例如 (shx, shy) 表示在 x 方向上剪切 shy 个像素，在 y 方向上剪切 shx 个像素。
第十五章 仿射变换
目录
仿射变换的定义 仿射变换的性质 仿射变换与初等几何的相关联系 仿射变换在初等几何解题中的应用 结束语
一、仿射变换的定义
定义：如果平面上的一个点变换，把共线的任意 三点变成共线的三点，并且保持三点的单比不 变，称这个点变换为仿射变换。
二、仿射变换的性质
1.仿射变换保持同素性:即仿射变换将点变成点, 直线变成直线. 2.仿射变换保持结合性:即仿射变换保持点与直线 的结合关系. 3.仿射变换将向量变成向量,且保持向量的线性关 系
证明：作仿射变换，使平行四边形 ABCD 对应正方形 A'B'CD ，则有 E 对应 E' ， F 对应 F' ，如图。
B'E' B'F' E'F' 在正方形 A'B'CD 中，由 E'F' ∥ A'C ，故 = = A'B' B'C A'C 因为 A'B'=B'C ，所以 B'E'=B'F' ，故 A'E'=CF' ，
四、仿射变换在初等几何解题中的应用
（三）四边形仿射性质的应用 任一平行四边形均可以经过特殊平行投影变成正方形。
例 3：平行四边形 ABCD 的一组邻边上点 E、F 两个点，且 EF ∥ AC ， 求证： AED 和 CDF 面积相等
仿射变换原理解析
动画制作
在动画制作中，可以使用仿射变换 对角色或场景进行动态变换，以实 现逼真的动画效果。
游戏开发
在游戏开发中，可以使用仿射变换 对游戏角色、场景等进行变换，以 实现丰富的游戏效果。
机器人视觉中的仿射变换
目标识别
场景重建
在机器人视觉中，可以使用仿射变换 对目标进行识别和定位，以实现机器 人的自主导航和操作。
仿射变换原理解析
目录
• 引言 • 仿射变换的分类 • 仿射变换矩阵 • 仿射变换的应用 • 总结与展望
引言
01
仿射变换的定义
01
仿射变换是保持直线和平行性不 变的一种几何变换，它通过平移 、旋转、缩放、反射等方式对图 形进行操作。
02
仿射变换可以用矩阵表示，通过 给定一个矩阵和一个向量，可以 对该向量进行仿射变换。
详细描述
平移仿射变换涉及将图形在二维平面内沿某一方向进行移动，而不改变图形之 间的相对位置和形状。这种变换通常由一个平移矩阵表示，其中包含平移向量 和单位矩阵。平移向量决定了图形移动的距离和方向。
旋转仿射变换
总结词
旋转仿射变换是围绕某一点旋转图形，同时保持图形之间的相对位置和形状不变。
详细描述
旋转仿射变换涉及将图形围绕某一点进行旋转，同时保持图形之间的相对位置和形状不变。这种变换通常由一个 旋转矩阵表示，其中包含旋转角度和旋转中心点坐标。旋转角度决定了图形旋转的角度，而旋转中心点坐标决定 了旋转的基准点。
高中数学仿射变换
高中数学仿射变换
一、引言
仿射变换是高中数学中的重要概念之一，它在几何变换和线性代数中有着广泛的应用。本文将介绍仿射变换的基本概念、性质以及应用，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
二、基本概念
1. 定义：仿射变换是指保持直线平行性质的变换。简单来说，它是由平移、旋转、缩放和投影四种基本变换组成的变换。
2. 仿射变换的代数表示：设二维平面上有一个点P(x, y)，经过仿射变换后得到点P'(x', y')，则有如下代数表示：
x' = a*x + b*y + c
y' = d*x + e*y + f
其中a、b、c、d、e、f为常数。
三、性质
1. 保直线性质：仿射变换保持直线的性质，即直线经过仿射变换后仍然是直线。
例如，一条直线上的三个点经过仿射变换后仍然共线。
2. 保平行性质：仿射变换保持平行线的性质，即平行线经过仿射变换后仍然平行。
例如，两条平行线经过仿射变换后仍然平行。
3. 保比例性质：仿射变换保持线段的比例关系。
例如，一条线段上的两个点经过仿射变换后线段上的其他点的比例关系仍然成立。
四、应用
1. 几何变换：仿射变换在几何变换中有着广泛的应用，可以用来描述平面上的旋转、缩放、平移等操作。
例如，我们可以利用仿射变换来实现图片的旋转、缩放和平移。
2. 图像处理：仿射变换在图像处理中也有着重要的应用，可以用来进行图像的扭曲、校正和纠正等操作。
例如，我们可以利用仿射变换来对图像进行透视校正，使得图像中的平行线在处理后仍然保持平行关系。
3. 计算机图形学：仿射变换在计算机图形学中扮演着重要的角色，可以用来进行三维物体的平面投影、旋转和缩放等操作。
仿射变换的特征
仿射变换的特征
仿射变换的特征主要包括：
1. 平移性：仿射变换包括线性变换和平移变换，因此，经过仿射变换后，图像会保持平直性，即直线变换后仍然是直线。
2. 平行性：仿射变换能够保持图像的平行性，也就是说，如果图像中的一组直线在仿射变换前后是平行的，那么它们在变换后仍然保持平行。
3. 保持相对位置不变：仿射变换不会改变图像中点与点之间的相对位置，也就是说，变换前后的两个点，它们在图像中的相对位置不会改变。
4. 不一定保持长度和角度不变：虽然仿射变换能够保持图像的平直性和平行性，但它不一定能够保持图像的长度和角度不变。也就是说，经过仿射变换后，图像中的长度和角度可能会发生改变。
空间直角坐标转换之仿射变换
空间直角坐标转换之仿射变换
一、仿射变换
仿射变换是空间直角坐标变换的一种，它是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，保持二维图形的“平直线”和“平行性” ，其可以通过一系列的原子变换的复合来实现，包括平移(Translation)、缩放( Scale)、翻转( Flip)、旋转 ( Rotation)和剪切(Shear)。
此类变换可以用一个3×3的矩阵来表示，其最后一行为(0, 0, 1)。该变换矩阵将原坐标(x, y)变换为新坐标(x', y')，这里原坐标和新坐标皆视为最末一行为(1) 的三维列向量，原列向量左乘变换矩阵得到新的列向量：
[x'] [m00 m01 m02] [x] [m00*x+m01*y+m02]
[y'] = [m10 m11 m12] [y] = [m10*x+m11*y+m12]
[1 ] [ 0 0 1 ] [1] [ 1 ]
如果将它写成按旋转、缩放、平移三个分量的复合形式，则其代数式如下：
x' = m00*x+m01*y+m02 ；
y' = m10*x+m11*y+m12 ；
其示意图如下：
几种典型的仿射变换：
1. public static AffineTransform getTranslateInstance(double tx, double ty)
平移变换，将每一点移动到(x+tx, y+ty)，变换矩阵为：
[ 1 0 tx ]
[ 0 1 ty ]
[ 0 0 1 ]
(译注：平移变换是一种“刚体变换” ，rigid-body transformation ，中学学过的物理，都知道啥叫“刚体”吧，就是不会产生形变的理想物体，平移当然不会改变二维图形的形状。同理，下面的“旋转变换”也是刚体变换，而“缩放”
仿射变换
P1 E2 E x O E1 P x1 P x2 P x3 P2
同理
( P1 P2 P3 )
P'(x',y') y
e2 P(x,y) O'
,
e1
,
OP xe1 ye 2
根据仿射变换的性质知
O
e2
x e1
由向量代数知识可知 e1 a11 e1 a 21 e 2 , e 2 a12 e1 a 22 e 2
将各式代入(1) , 可得仿射变换
x x 3 y 3 求仿射变换 的不变点和不变直线。 y 3 x y 3
设不变直线为 ax+by+c=0, 那么
ax by c a( x 3 y 3) b( 3 x y 3) c k (ax by c )
1 2 1 2 1 2 1
y x y 2 2 2
(a1 b 2 ) x (a 1 b 2 ) y a 1 b 2 c2 0
显然,它们是平行的，所以平行性仿射不变 。 推论1 相交直线变为相交直线； 推论2 共点线变为共点线。
#空间直角坐标转换之仿射变换
空间直角坐标转换之仿射变换
一、仿射变换
仿射变换是空间直角坐标变换的一种，它是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，保持二维图形的“平直线”和“平行性”，其可以通过一系列的原子变换的复合来实现，包括平移(Translation)、缩放（Scale）、翻转（Flip）、旋转（Rotation）和剪切(Shear)。
此类变换可以用一个3×3的矩阵来表示，其最后一行为(0, 0, 1)。该变换矩阵将原坐标(x, y)变换为新坐标(x', y')，这里原坐标和新坐标皆视为最末一行为(1)的三维列向量，原列向量左乘变换矩阵得到新的列向量：
[x'] [m00 m01 m02] [x] [m00*x+m01*y+m02]
[y'] = [m10 m11 m12] [y] = [m10*x+m11*y+m12]
[1 ] [ 0 0 1 ] [1] [ 1 ]
如果将它写成按旋转、缩放、平移三个分量的复合形式，则其代数式如下：
x’= m00*x+m01*y+m02；
y’= m10*x+m11*y+m12；
其示意图如下：
几种典型的仿射变换：
1.public static AffineTransform getTranslateInstance(double tx, double ty)
平移变换，将每一点移动到(x+tx, y+ty)，变换矩阵为：
[ 1 0 tx ]
[ 0 1 ty ]
[ 0 0 1 ]
（译注：平移变换是一种“刚体变换”，rigid-body transformation，中学学过的物理，都知道啥叫“刚体”吧，就是不会产生形变的理想物体，平移当然不会改变二维图形的形状。同理，下面的“旋转变换”也是刚体变换，而“缩放”、“错切”都是会改变图形形状的。）
仿射变换.
仿射变换
定义 设为平面上的一个点变换, 满足 (1) 为一个使共线点变为共线点的双射； (2) 使得共线三点的简单比等于其对应共线三点的简单比； (3) 使得相互平行的直线变为相互平行的直线, 则称为上的一个仿射变换.
几种特殊的仿射变换
一、正交变换
定义 保持平面上任意两点间的距离不变的点变换称为平面上 的一个正交变换.
注 设为平面上的一个正交变换, A, B为平面上两个点, 且 (A)=A', (B)=B' , 则|AB|=|A'B'|.
定理 正交变换是双射.设M表示平面上全体正交变换的集合. 则有
(1) , M, 有M.
x y
a13 a23
.
其中(x, y)与(x', y')为任一对对应点P, P' 的坐标, 矩阵
A
a11
a21
满足|A|0, 称为仿射变换的矩阵.
a12
a22
wenku.baidu.com
平面仿射几何就是研究在仿射变换群A的作用下保持不变的 几何性质与几何量. 由定义, 这些不变的性质和数量必定只与平行 性、共线三点的简单比有关.
| A' B ' | | B 'C ' || A'C ' | | A' B ' | | B 'C ' || A'C ' |
仿射变换简介
是令(1)中的B=0，即去除了常数项。 + 几个有趣的性质：简单空间流形的变化情 况、自由矢量的变化情况、直线上的尺度 变化情况、四面体的体积变化、球体中弦 的变化和变换后外接平行六面体的体积变 化 + “纯粹仿射变换”——纯应变
+ 平行投影可以导出仿射变换关系
+ 相反，仿射投影关系也可导出平行投影
+ 把空间映射到某个平面的问题
+ 画法几何中的轴测映射 + 仿射变换中系数行列式为零，准确的说是
其系数矩阵的阶数为2阶。即仿射变换中的 某种退化变换的情况。 + 轴测变换中某些有趣的性质
——蒋骁
+ 仿射的名字源来自百度文库莫比乌斯和欧拉，意味着
在这样的变换中，无穷远点仍然对应无穷 远点。 + 物理学中对应“均匀变形”，“均匀”表 示系数与所考虑的空间无关，“变形”表 示任何物体的形状都会改变。 + 一般公式：Y=AX+B (1) （其中A是变换矩阵）
+ 齐次仿射变换又称中心仿射变换，实质上
仿射变换例子
仿射变换例子
（实用版）
目录
1.引言
2.仿射变换的定义和基本概念
3.仿射变换的例子
4.仿射变换的性质和应用
5.总结
正文
1.引言
在数学中，仿射变换是一种在向量空间中进行的变换，它可以保持向量的线性关系，即保持向量的平行四边形形状不变。仿射变换广泛应用于各种学科领域，如物理学、工程学、计算机图形学等。本文将通过一些例子来介绍仿射变换的性质和应用。
2.仿射变换的定义和基本概念
仿射变换是指在向量空间中，将一个点或者一个向量变换为另一个点或向量的过程。仿射变换保持向量的线性关系，即保持向量的平行四边形形状不变。仿射变换可以用矩阵来表示，这个矩阵称为仿射矩阵。
3.仿射变换的例子
假设有一个平面直角坐标系，原点为 O(0, 0)，点 A(1, 0)，点 B(0, 1)，点 C(2, 1)。现在我们考虑将这个坐标系进行仿射变换，变换后的坐标系中原点为 O"(a, b)，点 A"的坐标为 (x, y)。根据仿射变换的定义，可以列出以下方程组：
(x - a, y - b) = m(1 - a, 0 - b)
(0 - a, 0 - b) = n(0 - a, 1 - b)
(2 - a, 1 - b) = p(2 - a, 1 - b)
其中，m、n、p 分别为仿射矩阵的三个元素。解这个方程组，可以得到变换后的点 A"的坐标。
4.仿射变换的性质和应用
仿射变换具有以下性质：
1) 仿射变换保持向量的线性关系，即保持向量的平行四边形形状不变。
2) 仿射变换具有平滑性，即经过连续的仿射变换，可以得到任意的变换结果。
3) 仿射变换可以用矩阵表示，从而可以利用矩阵的运算法则进行计算。
说明仿射变换与投影变换的特点
说明仿射变换与投影变换的特点
仿射变换与投影变换是图像处理中常用的变换方法，它们能够对图像进行各种形式的几何变换。下面将分别介绍仿射变换和投影变换的特点。
1. 仿射变换:
仿射变换是一种保持线段平行性质的变换。它由线性变换和平移组成，包括平移、旋转、缩放、错切等几种变换方式。具体特点如下：
(1) 保持直线性质：在仿射变换后，直线仍然是直线，直线上的点的顺序不会改变。
(2) 保持平行线性质：平行线变换后仍然是平行线。
(3) 保持中点性质：线段的中点在仿射变换前后位置不变。
(4) 不保持面积比例：三角形的面积在仿射变换后会发生改变。
(5) 仿射变换可逆性：仿射变换可逆，即可以通过逆变换将变换后的图像恢复到原始状态。
2. 投影变换：
投影变换是一种通过投影变换矩阵来改变图像的视角的方法。它是仿射变换的扩展，通过引入透视效果来产生更加真实的效果。具体特点如下：
(1) 透视效果：投影变换引入了透视效果，能够使远处的图像变小，近处的图像变大，以模拟
真实世界中的视觉效果。
(2) 改变图像视角：投影变换可以改变观察者与被观察物体之间的距离和角度，从而改变图像
的视角，产生新的观察角度。
(3) 变换矩阵：投影变换使用齐次坐标，并通过4x4的齐次变换矩阵来描述变换，其中包括平移、旋转、缩放、错切等变换。
(4) 非线性变换：投影变换是一种非线性变换，不能用仿射变换的线性组合来表示，因此需要
使用更复杂的方式来计算和实现。
综上所述，仿射变换和投影变换在图像处理中有着不同的应用和特点。仿射变换主要用于几何变换，保持了图像中直线和平行线的性质，而投影变换则引入了透视效果，能够改变图像的视角和观察角度。这两种变换方法在计算机视觉、图像合成和图像处理等领域具有广泛的应用。
仿射变换校正变形
仿射变换校正变形
仿射变换校正变形是指通过仿射变换来将图像或对象的形状进行校正，使其符合预定的形状标准。
仿射变换是一种线性变换，它可以将图像或对象进行平移、旋转、缩放和错切等操作。校正变形是指将图像或对象的形态调整为指定的形状，通常采用的方法是通过仿射变换来调整图像或对象的位置和角度。
在校正变形中，首先需要选择一个参考形状作为标准形状，然后通过对待校正的图像或对象进行仿射变换，使其与标准形状相匹配。校正变形的实现通常需要进行以下步骤：
1. 选择参考形状：根据校正的需求，选择一个合适的形状作为参考形状，通常参考形状是与待校正形状相似的已知形状。
2. 特征点匹配：通过特征点提取算法，提取待校正形状和参考形状的特征点，并将它们进行匹配。特征点包括角点、线段的端点等。
3. 计算仿射矩阵：根据特征点的匹配结果，计算出仿射变换的参数，包括平移、旋转和缩放等参数。
4. 进行仿射变换：使用计算得到的仿射矩阵，对待校正形状进行变换，使其与参考形状相匹配。
5. 输出校正结果：将校正后的形状输出，通常是一个经过调整
的图像或对象。
校正变形常用于图像处理、计算机视觉和计算机图形学等领域，可以用于纠正图像的形变、矫正物体的姿态、匹配不同视角下的目标等应用。
仿射变换的原理及其误差纠正的方法
仿射变换的原理及其误差纠正的方法
仿射变换是计算机视觉和图形处理领域中常用的一种变换方法，可以对图像进行平移、缩放、旋转和倾斜等操作。在实际应用中，由于图像采集设备的误差和图像本身的畸变等因素，会导致仿射变换后的图像出现误差。本文将介绍仿射变换的原理以及常见的误差纠正方法。
一、仿射变换的原理
仿射变换是一种线性变换，它可以用矩阵相乘的形式表示。给定一个二维坐标系上的点P(x, y)，经过仿射变换后的新点P'(x', y')可以表示为：
\[ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1
\end{bmatrix} \]
矩阵\[ \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]表示了仿射变换的矩阵形式。矩阵中的a、b、c、d、e、f分别代表了平移、缩放、旋转和倾斜的参数，通过调整这些参数可以实现对图像的各种变换。
二、误差纠正方法
1. 直线误差纠正
在进行仿射变换后，原本在图像上的直线可能会出现
畸变，呈现为曲线或者扭曲。为了纠正这种误差，可以利
用直线的特性来进行纠正。通过检测图像中的直线，并计
算仿射变换后的直线方程，然后通过调整变换矩阵的参数
来使得变换后的直线更接近于真实的直线，从而达到误差
仿射变换原理解析
仿射变换原理解析
仿射变换是一种常用的几何变换方法，它可以对图像进行平移、旋转、缩放、错切等操作。在计算机图形学和计算机视觉中，仿射变换被广泛应
用于图像配准、图像纠正、图像合成等领域。
仿射变换的原理可通过矩阵运算来表示。一个二维平面上的点
P(x,y)，经过仿射变换后的坐标P'(x',y')可以表示为：
[x'][abc][x]
[y']=[def]*[y]
[1][001][1]
其中，a、b、c、d、e、f为变换矩阵的参数，称为仿射变换的系数。通过改变这些参数的值，可以实现不同的仿射变换效果。
1.平移变换
平移变换是将图像在平面上按照一定的平移向量进行移动。平移变换
的变换矩阵为：
[1 0 tx]
[0 1 ty]
[001]
其中，tx和ty分别表示在x轴和y轴方向上的平移量。平移变换的
效果是保持图像的大小、形状和方向不变，只是改变了图像的位置。
2.旋转变换
旋转变换是将图像绕着一个固定点旋转一定角度。旋转变换的变换矩阵为：
[cosθ -sinθ 0]
[sinθ cosθ 0]
[001]
其中，θ为旋转角度。旋转变换的效果是改变图像的方向和位置，但保持了图像的大小和形状不变。
3.缩放变换
缩放变换是改变图像的大小。缩放变换的变换矩阵为：
[sx 0 0]
[ 0 sy 0]
[001]
其中，sx和sy分别表示在x轴和y轴方向上的缩放比例。当sx和sy大于1时，图像会放大；当sx和sy小于1时，图像会缩小。缩放变换可以同时改变图像的大小和形状。
4.错切变换
错切变换是将图像在平面上按照一定的角度进行倾斜。错切变换的变换矩阵为：
仿射变换
什么是仿射变换以及仿射变换矩阵？(转)
仿射变换可以理解为
・对坐标进行放缩，旋转，平移后取得新坐标的值。
・经过对坐标轴的放缩，旋转，平移后原坐标在在新坐标领域中的值。
如上图所示，XY坐标系坐标轴旋转θ，坐标原点移动（x0，y0）。
XY坐标系中的坐标（X，Y），则求新坐标系xy中的坐标值的方程组为:
X = X･cosθ - Y･sinθ + x0
Y = X･sinθ + Y･cosθ + y0
写成矩阵形式为
| x | | cosθsinθ || x0 |
| | = | X Y | * | | + | |
| y | | -sinθcosθ || y0 |
为将原点移动的值放入矩阵，则可以加入一个不影响原方程组的解的冗余方程。于是可以写成
X = X･cosθ - Y･sinθ + x0
Y = X･sinθ + Y･cosθ + y0
1 = X･0 + Y･0 + 1
写成矩阵形式为
| x | | cosθsinθ0|
| y | = | X Y 1 | * | -sinθcosθ0|
| 1 | | x0 y0 1|
这个矩阵就是Helmert变换矩阵。
考虑到新坐标系对于原坐标系在x，y两个坐标轴上的放缩率，可分别表示为λx和λy，则Helmert 变换方程组可以修改为
X = (λx)X･cosθ - (λy)Y･sinθ + x0
Y = (λx)X･sinθ + (λy)Y･cosθ + y0
同样按照前述方法写成三阶矩阵为
| x | | (λx)cosθ(λx)sinθ0|
| y | = | X Y 1 | * | (λy)-sinθ(λy)cosθ0|
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仿射变换
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:
第四章保距变换和仿射变换
本章教学目的：通过本章的学习,使学生掌握保距变换和仿射变换这两类重要的几何变换,从而深化几何学的研究，并掌握解决几何问题的一个有效方法。
本章教学重点：(1）保距变换和仿射变换的定义和性质;
(2）仿射变换的基本定理；
(３）保距变换和仿射变换的变换公式;
(４)图形的仿射分类与仿射性质。
本章教学难点：仿射变换的性质和基本定理;仿射变换的变换公式的求法。
本章教学内容：
§1 平面的仿射变换与保距变换
1.1――对应与可逆变换
集合X到集合Y的一个映射f:X→Ｙ是把X中的点对应到Y中的点的一个法则,即∀ｘ∈X,都决定Y中的一个元素f(ｘ)，称为点ｘ在ｆ下的像。对X的一个子集A,记
f(Ａ)={ｆ（a)|ａ∈A}，
它是Y的一个子集，称为A在f下的像。对Y的一个子集Ｂ,记
f-1(B）={x∈Ｘ|f(ｘ)∈Ｂ｝，
称为B在F下的完全原像,它是X的子集。
如果f是X到Y的映射,ｇ上Y到Z的映射,则它们的复合上X到Z的映射,记作
gｆ: Ｘ→Ｚ，规定为
g f(x)=g(f(ｘ）),∀ｘ∈Ｘ.
对A⊂X，
gｆ(A)＝ｇ(f(A));
对C⊂Z，
（g f)-1(C）＝f－１（g－1(C)).
映射的复合无交换律，但有结合律。
映射f: X→X称为X上的一个变换，iｄX: X→X,∀x∈X，ｉd X（x）＝x,称为X的恒同变换。
对映射f: X→Y，如果有映射g：Y→X,使得
g f＝ idＸ：X→X,fｇ=ｉdＹ:Y→Y,
则说ｆ是可逆映射，称ｇ是f的逆映射。
如果在映射f： X→Y下X的不同点的像一定不同,则称ｆ是单射。如果f(Ｘ）=Ｙ，则称f是满射。
如果映射f: X→Ｙ既是单射,又是是满射，则称f为——对应。此时∀f－1f=ｉd X,, ｆf-1= ｉdＹ,于是f是可逆映射,并且ｆ的逆映射是f-1。
一个集合X到自身的可逆映射称为X上的可逆变换。
1．2平面上的变换群
平移取定平行于平面的一个向量u,规定π的变换P u：π→π为:∀Ａ∈π，令P u AP（A）=u的点。称P u为π上的一个平移，称向量u是P u的平移量。（Ａ）是使得
u
旋转取定π上一点O,取定角θ。规定π的变换ｒ：π→π为：∀A∈π,令ｒ（Ａ）是Ａ饶O转角θ所得的点。称变换r是π上的一个旋转，称O是其旋转中心,θ为转角,r是可逆变换,r－1也是以O为中心的旋转，转角为-θ。
θ=1８0°时，称ｒ为关于中心O点的中心对称，此时r－1=ｒ。
反射取定上的一条直线a,做π的变换f a：π→π为:∀A∈π，fａ（A）是A关于a 的对称点.称f a为π上的一个反射,称a是它的反射轴.也fａ是可逆变换，f a－１=ｆa.
正压缩取定π上一条直线和一个正数k,做π的变换:ｇ：π→π为：∀A∈π,令g(Ａ）是下列条件决定的点:
（1)Pg（A）与ａ垂直；
(2）g(Ａ)到ａ的距离d(g（A),a）=ｋd（A,a)；
（３)g（A)与A在的同一侧，
称变换g为π上的一个正压缩，称a为压缩轴。称k为压缩系数,ｇ也是可逆变换。并且g-１也是以a为压缩轴的压缩变换，压缩系数为k-１.
定义4.1一个集合G，如果它的元素都是π上的可逆变换,并且满足条件:
（1)Ｇ中任何元素的逆也在Ｇ中;
（２）G中任何两个元素的复合也在Ｇ中,
则称G是π上的一个变换群。
1．3 保距变换
定义４.2平面π上的一个变换f如果满足:对π上的任意两点A,B，总有
ｄ(f(A),ｆ（B))=ｄ(A，Ｂ),
则称f是π上的一个保距变换。
命题４．1保距变换是可逆变换．
证明略
保距变换f的逆f-1也是保距变换,于是平面π上的全体保距变换构成一个交换群，称为保距变换群。
１.４仿射变换
定义4.3平面(空间）的一个可逆变换,如果把共线点组变为共线点组,则称为平面(空间)的一个仿射变换。我们把平面间保持点组共线性的可逆映射称仿射映射。
位似变换取定平面π上一点O和一个不为0的实数k,规定π上的变换f：π→π为：∀P∈π令f(Ｐ)是由等式Of(P）=k O(P）决定的点。称f是一个位似变换,称O为它的位似
中心，k为位似系数。
相似变换平面的一个变换f：π→π称为相似变换，如果存在正数k，使得对π上任意两点A,B都有
d(f（Ａ)，f（B)）=kｄ(A,B),
称k为f的相似比。
错切变换取定平面π上的一条直线ａ，并取定ａ的一个单位法向量ｎ以及与ａ平行的一个向量ｕ,规定变换f：π→π为: ∀Ｐ∈π令f(P)是满足等式
Pf(P）=(
M P.n)u
的点，其中Ｍ0是ａ上一点,称此变换为以a为错切轴的一个错切变换。
命题4.2在仿射变换下,不共线三点的像也不共线。
推论仿射变换把直线变为直线，并保持直线的平行性.
§2 仿射变换基本定理
2.1 仿射变换决定的向量变换
定义4.3 设f是平面π上的仿射变换，则对于任何平行于π的向量ａ,规定f
f A f B,这里A,B是π上的点，使得
（a)=()()
AB＝a
这样，就得到全体平行于π的向量集合上的一个变换,称它为f决定的向量变换,仍记作f．
从定义容易看出:
ａ=0 〈═〉f(a)=0.
定理4．1仿射变换决定的向量变换具有线性性质，即
(1)∀向量a,b,
f （a+b）= f(a)+f(b）,f(ａ－ｂ）=f(a）-f(b)．
(2）∀向量ａ,∀π∈Ｒ,
πa）＝πｆ(a)．
ｆ（
πa)= ｔｆ(a)则对任何非零向量ｂ，都有f（πb）引理(1）如果对ａ≠0和实数π，f (
=ｔf(b）
（2)对任何a≠0，如果π>0,则t >０.
推论仿射变换保持共线三点的简单比.
2.2仿射变换基本定理
定理4．２（仿射变换基本定理)设π是一张平面．
（1）如果f:π→π是仿射变换,I＝[Ｏ；ｅ１,e2 ]是π上的一个仿射坐标系,则1I= .
[f（Ｏ)；f(e1），ｆ（e2)]也是π的仿射坐标系,并且∀P∈π,Ｐ在I中的坐标
和f(P)在Ｉ’中的坐标相同;
（2）任取π上两个仿射坐标系Ｉ= [O; e1，ｅ２]和1I=[ O’; ｅ1’; e2’］规定f：π→π如下,∀P∈π,设P在I中的坐标是(x，y）,令f(Ｐ)是在Ｉ’中的坐标为(x,ｙ)
的点，则ｆ是仿射变换.
2.3关于保距变换
命题 4.3如果平面π上两个三角形ABC和EFG全等,则把ABC变为EFG (每个顶点变为对应顶点)的仿射变换是保距变换.
推论任何保距变换都可分解为平移旋转及反射的复合.
2.4二次曲线在仿射变换下的像