导数与微分测试题与答案(一)

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导数与微分练习题及解析

导数与微分练习题及解析在微积分学中，导数和微分是最基本的概念之一。

它们可以帮助我们研究函数的变化率和性质，广泛应用于物理、经济、工程等各个领域。

为了帮助你更好地理解导数和微分的概念，以下是一些练习题及其解析。

练习题1：求函数f(x) = x^2 + 3x + 2在x = 2处的导数和切线方程。

解析：首先，我们求函数f(x)的导数。

使用求导法则，对于多项式函数来说，可以将每一项的指数与系数相乘，并将指数减一，得到函数的导数。

f'(x) = 2x + 3接下来，我们计算x = 2处的导数值。

f'(2) = 2(2) + 3 = 7切线方程的一般形式为y = mx + b，其中m代表斜率，b代表截距。

根据导数的定义，导数即为切线的斜率。

所以切线的斜率为m = 7。

将切点的坐标代入切线方程，我们可以得到b的值。

2 = 7(2) + b2 = 14 + bb = -12最终的切线方程为y = 7x - 12。

练习题2：求函数f(x) = e^x * sin(x)的导数。

解析：考虑到函数f(x) = e^x * sin(x)是两个函数的乘积，我们可以使用乘积法则来求导。

乘积法则的公式为：(uv)' = u'v + uv'对于e^x和sin(x)两个函数，它们的导数分别为e^x和cos(x)。

根据乘积法则，我们可以将这两个导数与原函数进行组合，得到最终的导数为：f'(x) = (e^x * cos(x)) + (e^x * sin(x))练习题3：求函数f(x) = ln(x^2 + 1)的导数和微分。

解析：首先，我们求函数f(x)的导数。

根据链式法则，可以分别计算外函数和内函数的导数。

设内函数为u = x^2 + 1，则内函数的导数为du/dx = 2x。

外函数为f(u) = ln(u)，则外函数的导数为df/du = 1/u。

根据链式法则，函数f(x)的导数为：f'(x) = df/du * du/dx= (1/u) * (2x)= 2x / (x^2 + 1)接下来，我们计算函数f(x)的微分。

导数与微分练习卷

导数与微分练习卷一、选择题1、设()(3)tan f x x =+x ，则()f x 在0x =处（）(A) (B) (C)(0)3f ′=(0)0f ′=(0)1f ′=(D)不可导 2、设()f x 为可导函数且满足0(1)(1)lim 1x f f x x→−−=−，则曲线()y f x =在点[1,(1)]f 处的切线斜率为（）(A)2 (B)-1 (C)1 (D)-23、若函数,有()y f x =0()0,1f x k ′=≠,则当0x Δ→时，()f x 在点0x x =处微分是（）dy (A)与x Δ等价的无穷小(B)与x Δ同阶的无穷小，但不是等价的无穷小 (C)比x Δ高阶的无穷小(D)比x Δ低阶的无穷小4、下列命题中有（）个是错误的。

①若0()f x ′不存在，则在()y f x =00(,)x y 处切线也不存在；②()[()]f a f a ′′=；③若()()f x g x >，则()()f x g x ′′>；④设21sin ,0()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，故当时，0x ≠11()2sin cos f x x x x′=−。

因为0lim ()x f x →′ 不存在，故()f x 在0x =处不可导。

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、填空题1、设0(3)(0)lim 1ln(12)x f x f x →−=+，则= (0)f ′； 2、若00()()y f x x f x Δ=+Δ−(tan sec )与x x x −ΔΔΔ为0x Δ→时的等价无穷小，则0()f x ′= ；x ，则= y ′；3、设2ln lg ln 2log y x x =⋅−⋅4、设sin 2log 3x x y =，= y ′；5、设()y f x =具有连续的一阶导数，已知(2)1f =，(2)f e ′=，则11()x f x −=′⎡⎤⎣⎦= ； 6、若()f x 在1x =处具有连续的一阶导数，且(1)2f ′=−，则0lim [x d f dx+→= ； 7、设1ln 1x y x−=+，则y ′′= ； 8、设作直线运动的质点的运动规律为，则它速度开始增加的时刻为t 312s t t =−2=。

第三章导数与微分习题及答案

第三章导数与微分同步练习一、填空 1、若[]1cos 1)0()(lim=--→xf x f x x ，则)0(f '= 。

2、设)100()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则)0(f '= 。

3、若)(x e f y -=，且x x x f ln )(='，则1=x dxdy = 。

4、若)()(x f x f =-，且3)1(=-'f ，则)1(f '= 。

5、设某商品的需求函数是Q=10-0.2p ，则当价格p=10时，降价10%，需求量将。

6、设某商品的需求函数为：Q=100-2p ，则当Q=50时，其边际收益为。

7、已知x x y ln =，则)10(y = 。

8、已知2arcsin )(),2323(x x f x x f y ='+-=，则：0=x dxdy = 。

9、设1111ln22++-+=x x y ，则y '= 。

10、设方程y y x =确定y 是x 的函数，则dy = 。

11、已知()xke x f ='，其中k 为常数，求()x f 的反函数的二阶导数=22dyxd 。

二、选择1、设f 可微，则=---→1)1()2(lim1x f x f x （）A 、)1(-'-x fB 、)1(-'fC 、)1(f '-D 、)2(f ' 2、若2)(0-='x f ，则=--→)()2(lim000x f x x f xx （）A 、41 B 、41- C 、1 D 、-1 3、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001arctan )(x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处（）A 、不连续B 、极限不存在Ｃ、连续且可导Ｄ、连续但不可导４、下列函数在[]1,1-上可微的有（）Ａ、x x y sin 32+= Ｂ、x x y sin =Ｃ、21x x y +=Ｄ、x x y cos += ５、设)(x f 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=（）Ａ、在0=x 处极限不存在Ｂ、有跳跃间断点0=x Ｃ、在0=x 处右极限不存在Ｄ、有可去间断点0=x６、设函数)(),(21x y x y 的弹性分别为)0(,≠b b a ，则函数)()(21x y x y y =的弹性为（）Ａ、b a - Ｂ、b aＣ、2112y by ay - Ｄ、以上都不对７、已知)(x f e y =，则y ''＝（）Ａ、)(x f e Ｂ、)]()([)(x f x f e x f ''+' Ｃ、)()(x f e x f '' Ｄ、)}()]({[2)(x f x f e x f ''+'８、设函数⎩⎨⎧≤+>+=11)ln()(2x bx x x a x f 在1=x 处可导。

导数与微分习题及答案

第二章导数与微分(A)1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ( )A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()()00x f x x f -∆+D ．()x x f ∆02．设()x f 在0x 处可，则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f '3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dxdy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( )A ．左导数存在；B ．右导数存在；C ．左右导数都存在D ．有定义6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( )A ．1B ．0C ．-1D ．不存在7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( )A ．8B ．12C ．-6D ．68．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( )A ．()x f eB ．()()x f e x f ''C ．()()()[]x f x f e x f '''D ．()()[](){}x f x f e x f ''+'2 9．若()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=bC ．2-=a ，1=bD ．2=a ，1-=b10．若函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．恰有一个有导数D ．至少一个有导数11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．至少一个有导数D ．至多一个有导数12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，则( )A ．()x f ，()x g 都必须可导B ．()x f 必须可导C ．()x g 必须可导D ．()x f 和()x g 都不一定可导13．xarctg y 1=，则='y ( ) A ．211x +- B ．211x + C ．221x x +- D ． 221x x + 14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( ) A ．()2a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 15．设()x f 在()b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( )A ．()x f 的极限存在，且可导B ．()x f 的极限存在，但不一定可导C ．()x f 的极限不存在D ．()x f 的极限不一定存在16．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→hh a f a f n 0lim 。

导数与微分习题及答案

导数与微分习题及答案导数与微分习题及答案在数学学科中，导数与微分是非常重要的概念。

它们不仅在数学分析中有广泛的应用，还在物理、经济学等领域中起着重要的作用。

本文将为大家提供一些导数与微分的习题，并附上详细的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一内容。

1. 习题一：求函数 f(x) = x^2 + 3x - 2 在点 x = 2 处的导数。

解答：根据导数的定义，我们有f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h。

代入函数 f(x) = x^2 + 3x - 2 和 x = 2，得到f'(2) = lim(h→0) [(2+h)^2 + 3(2+h) - 2 - (2^2 + 3(2) - 2)] / h。

化简后得到f'(2) = lim(h→0) [4h + h^2 + 6h] / h = lim(h→0) (h^2 + 10h) / h = lim(h→0) (h + 10) = 10。

因此，函数 f(x) = x^2 + 3x - 2 在点 x = 2 处的导数为 10。

2. 习题二：求函数 g(x) = 2sin(x) + cos(x) 在点x = π/4 处的导数。

解答：同样地，我们可以利用导数的定义来求解。

根据定义，g'(x) = lim(h→0) [g(x+h) - g(x)] / h。

代入函数 g(x) = 2sin(x) + cos(x) 和x = π/4，得到g'(π/4) = lim(h→0) [2sin(π/4+h) + cos(π/4+h) - (2sin(π/4) + cos(π/4))] / h。

化简后得到g'(π/4) = lim(h→0) [2(sin(π/4)cos(h) + cos(π/4)sin(h)) + (cos(π/4)cos(h) -sin(π/4)sin(h))] / h。

导数与微分(含答案)

第二单元导数与微分一、基本题1、设()23f '=，则()()232limh f h f h h→--+=2、()cos x y e -=，则()0y '=3、3sin y x =，则dy =4、y =1|x dy ==5、()3ln f x x x =，则()1f ''=6、设()62ln 3x y e =+，则()8y =7、设()23sin 7n y x e -=+，则()n y =8、设210cos 2x y e x x =++，则()10y = ；()12y =9、设()()22f x x y ef e =+，则dy dx=10、曲线2x y e -=+在点0x =处的切线方程为法线方程为 11、()()()()()123......10f x x x x x x =----，则()1f '= 12、()22,43f x y x xy y =-+，则()()1,1,limh f y h f y h→+-=13、ln 2y z x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()1,0z x ∂=∂ ；()1,0y f '=14、()zu xy =，则du = 15、2ln xz y=，则12x y dz ===16、yz x=在点()2,1处当0.1x ∆=，0.2y ∆=时的z ∆= ；dz = 17、设233z x xy y =-+，则22z x∂=∂ ；22z y ∂=∂ ；2zy x ∂=∂∂18、22,x z f x y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则x f '= ；y f '=19、一元函数可微、可导、连续、极限之间关系：可微可导是连续的条件；连续是极限存在的条件极限存在是连续的条件；连续是可微可导的条件20、多元函数可微、可导（偏导数存在）、连续之间关系：（1）(),f x y 在点(),x y 处可微分是在该点连续的条件； (),f x y 在点(),x y 处连续是在该点可微分的条件（2）(),f x y 在点(),x y 处两偏导数存在是在该点处可微分的条件； (),f x y 在点(),x y 处可微分是在该点处两偏导数存在的条件（3）(),f x y 在点(),x y 处两偏导数存在且连续是在该点处可微分的条件（4）(),f x y 在点(),x y 处两二阶混合偏导22,z zx y y x∂∂∂∂∂∂连续是该两混合偏导相等的条件二、计算题1、xaaa x e y e e x =++ ()0,1a a >≠，求y ' 2、()3ln 32cos 2sin 332x x y e x x +=+-+，求(0)y '3、()2sin 2x y x =，求y ' 4、sin x y x =y '5、y =y ' 6、设ln tan x y arc t ⎧⎪=⎨=⎪⎩，求dy dx7、设sin cos t tx e ty e t⎧=⎨=⎩，求0t dy =8、设()ln(2)111x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，求()2f '-，()f x '9、设函数()22111x f x x ax b x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩在点1x =处可导，求,a b10、设()2135f x x x -=++，求()f x '11、设()3sin 2sin 3cos24f x x x =+-，求()f x '12、设()2cos 2z x x y =-，求22z x∂∂；22z y ∂∂；2zx y ∂∂∂13、设(),,sin u v z e u xy v x y +===+，求zx ∂∂；z y∂∂ 14、设()223x z x y =-，求zx ∂∂；z y∂∂ 15、设()2,cos 2,ln 32x y z e x t y t -===+，求dz dt16、函数()y y x =由方程：()1cos x y e e xy -+=所确定的隐函数，求0x dy dx=17、设方程22220x z y z y ++=确定函数(),z z x y =，求zx ∂∂；z y∂∂ 18、设函数(),z z x y =由方程22xy z e z e -+-=所确定，求212x y dz==-19、设()22,y z xf xy g x y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求z x ∂∂；z y ∂∂三、证明题1、设()2arcsin 3y z xy x =+，证明：220z zx xy y x y ∂∂-+=∂∂ 2、设()2sin 2323x y z x y z +-=+-，证明：1z zx y∂∂+=∂∂导数与微分答案二、基本题1、设()23f '=，则()()232limh f h f h h →--+=()4212f '-=-2、设()12f '=-，则()()11limh f f h h→-+=()12f '-=3、()cos x y e -=，则()0y '=sin14、3sin y x =，则233cos dy x x dx =5、()3ln f x x x =，则()15f ''=6、设()62ln 3x y e =+，则()824x y e =7、设()2sin 7n y x -=，则()49sin 7ny x =-8、设210cos 2x y e x x =++，则()10102101021022cos 21010!22cos 210!2x x y e x e x π⎛⎫=++⋅+=-+ ⎪⎝⎭ ；()12122121221222cos 21222cos 22x x y e x e x π⎛⎫=++⋅=+ ⎪⎝⎭9、设()()22f x x y e f e =+，则()()()222222f x x x dy xe f x xf e e dx''=⋅+⋅10、曲线2x y e -=+在点0x =处的切线方程为3y x =- 法线方程为3y x =+11、()()()()()123......10f x x x x x x =----，则()19!f '=-()()()()()123......10f x x x x x x =----⇒⎡⎤⎣⎦()()()()()()()()()123......10123......10f x x x x x x x x x x x '''=----+----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()()()()()23......10123......10x x x x x x x x x '=---+----⇒⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()11121311009!f '=⋅-⋅-⋅⋅⋅-+=-12、一元函数可微、可导、连续、极限之间关系：可微可导是连续的充分条件；连续是极限存在的充分条件极限存在是连续的必要条件；连续是可微可导的必要条件 13、()212y x x x x =-+-不可导点2x =-14、ln 2y z x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()1,01z x ∂=∂ ；()11,02y f '=15、()22,43f x y x xy y =-+，则()()()01,1,lim1,46y h f y h f y f y y h→+-'==-+16、2lnxz y=，则1212x y dz dx dy ===-17、设233z x xy y =-+，则222z x∂=∂ ；226z y y ∂=∂ ；23zy x ∂=-∂∂ 18、()z u xy =，则()()()()11ln z z zdu yz xy dx xz xy dy xy xy dz --=++19、yz x =在点()2,1处当0.1x ∆=，0.2y ∆=时的()()2.1,1.22,10.0714z f f ∆=-= 21110.10.20.07542y dz dx dy dz x x =-+⇒=-⋅+⋅=20、22,x z f x y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则1212x f f xf y '''=+ ；1222y xf f yf y '''=--21、（1）(),f x y 在点(),x y 处可微分是在该点连续的充分条件； (),f x y 在点(),x y 处连续是在该点可微分的必要条件（2）(),f x y 在点(),x y 处两偏导数存在是在该点处可微分的必要条件； (),f x y 在点(),x y 处可微分是在该点处两偏导数存在的充分条件（3）(),f x y 在点(),x y 处两偏导数存在且连续是在该点处可微分的充分条件（4）(),f x y 在点(),x y 处两二阶混合偏导22,z zx y y x∂∂∂∂∂∂连续是该两混合偏导相等的充分条件22、曲线2cos 2sin 3x t y t z t=⎧⎪=⎨⎪=⎩上对应于6t π=处的切线方程213z x π-==- ，法平面方程：()1302x y z π⎛⎫--+-+-= ⎪⎝⎭23、曲面27z e z xy -+=在点()2,3,0处的切平面方程()()()322310032120x y z x y z -+---=⇒+--= ，法线方程：230231x y z ---==-二、计算题1、x a aa x e y e e x =++ ()0,1a a >≠，求y '【解】：()()111ln x a a x a a a x x a a e a x x a a e y e a e x e x e a a e ax e x ---'''=⋅+⋅+=⋅+⋅+2、()3ln 32cos 2sin 332xx y e x x +=+-+，求y ' 【解】：()()()33213323ln 32323cos 22sin 2032x xx x x y e x e x x ⋅⋅+-++'=-+-+ ()()33233ln 323cos 22sin 232x x x e x e x x -+=-++3、sin x y x =y ' 【解】：()1sin sin ln 223xx xy xex x ==++⇒()()1s i n l n22s i n 1c o s l n 3232x x x y e x x x x x x -⎛⎫'=⋅+++⋅+ ⎪⎝⎭4、()2sin 2x y x =，求y ' 【解】：()222lnsin 2lnsin 22cos 2sin 22ln sin 22sin 2x x xxxx y x e y e x x x x ⎛⎫'==⇒=+⋅⋅⎪⎝⎭ ()2l n s i n 222l n s i n 22c ot 2xx e x xx x =+⋅5、y =y ' 【解】：1）()()()()()21ln ln 1ln 13ln 5ln 1ln 212y x x x x x =+--++--+ 2）等式两边同时对x 求导()()212135211221221x y y x x xx x --'=-++-⇒+--+ ()()2213511122121x y y x xx x x ⎡⎤'=++--⎢⎥+--+⎣⎦()()2213511122121x x xx x x ⎡⎤=++--⎢⎥+--+⎣⎦6、函数()y y x =由方程：()1cos x y e e xy -+=所确定的隐函数，求0x dydx =【解】：1）0x =时0y =2）()()()1cos sin x y x y e e xy e e y xy y xy ''''-+=⇒-⋅=-⋅+⎡⎤⎣⎦ ()0,0sin sin 01sin sin x x x y yy e y xy e y xyy y e x xy e x xy==++''=⇒==--7、求由方程：()()cos sin xyy x =所确定的函数()y y x =的导数dydx【解】：1）等式两边同时取对数()()ln cos ln sin x y y x = 2）等式两边同时对x 求导数：()()sin cos ln cos ln sin cos sin y xy x y y x y y x-''+⋅⋅=+⋅⇒ ()()ln cos cot ln sin tan y y xdy dx x x y -=+8、设ln tan x y arc t⎧⎪=⎨=⎪⎩，求dy dx【解】：1）()()2222121ln 12tan 1tan 1t t t x t x t x y arc t y arc t y t ⎧'=⎧⎪⎧+=+⎪⎪⎪=⇒⎨⎨⎨=⎪⎪⎪⎩=⎩'=⎪+⎩2）1t t y dy dx x t'==' 9、设2323sin 10y x t t e t y ⎧=++⎨-+=⎩，求t dy dx =【解】：1）0t =时，1y =2) 6262cos sin cos 01sin t t y y yt t t y x t x t e t e y t e t y y e t '=+⎧'=+⎧⎪⇒⇒⎨⎨⋅''⋅+⋅-='=⎩⎪-⎩3）0,1cos cos 1sin 1sin 62622y y y yt t t y t e te ty dy dy e e t e t dx x t dxt ===⋅⋅'--==⇒=='++ 10、设()ln 111x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，求()2f '，()f x '【解】：1）()()()2212ln 2x x f f x x =='''===2）()()11ln x f x x f x x'>⇒=⇒=， ()()111x f x x f x '<⇒=-⇒= 1x =为分段点，且()1=ln1=0f ()()()111101lim lim 111x x f x f x f x x ---→→---'===--， ()()()()()()11111ln 01lim lim lim 11111111x x x f x f x x f f f f x x ++++-+→→→--''''====⇒=⇒=-- ()1111x f x xx ⎧>⎪'=⎨⎪≤⎩11、设函数()22111x f x x ax b x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩在点1x =处可导，求,a b【解】：1）可导必连续，故()()()()211112lim lim 1lim lim 11x x x x f x f x f ax b x -+-+→→→→==⇒=+=+ 即11a b b a +=⇒-=-2）因为可导，故()()()()()()111111lim lim 11x x f x f f x f f f x x -+-+→→--''=⇒=-- ()()()()221111211111lim lim lim lim 11111x x x x x x ax b ax a x a x x x x x -+-+→→→→--++--+=⇒==----+ 1,2a b =-=12、设()2135f x x x -=++，求()f x '【解】：1）()()()()()()22135131521325f x x x f x x x f x x x '-=++⇒=++++⇒=++=+ 13、设()3sin 2sin 3cos24f x x x =+-，求()f x '【解】：()()()3232sin 2sin 312sin 4261f x x x f x x x =+--⇒=-- ()2612f x x x '⇒=-14、设()2cos 2z x x y =-，求22z x∂∂；22z y ∂∂；2zx y ∂∂∂【解】：1）()()()()22222322cos 22sin 26sin 24cos 2z z x y x x y x x y x x y x x∂∂=---⇒=----∂∂2）()()22222sin 24cos 2z z x x y x x y y y ∂∂=-⇒=--∂∂3）()()22222sin 24cos 2zx y x x y x y∂=-+-∂∂15、设(),,sin u v z e u xy v x y +===+，求zx ∂∂；z y∂∂ 【解】：()()()()()sin u v u v x x u v z z u z ve xy e x y x u x v x++∂∂∂∂∂''''=⋅+⋅=⋅+⋅+∂∂∂∂∂()()()sin cos cos xy x y u v u v ye e x y y x y e ++++=+⋅+=++⎡⎤⎣⎦()()()()()sin u v u v y y u v z z u z ve xy e x y y u y v y++∂∂∂∂∂''''=⋅+⋅=⋅+⋅+∂∂∂∂∂()()()sin cos cos xy x y u v u v xe e x y x x y e++++=+⋅+=++⎡⎤⎣⎦16、设()223x z x y =-，求zx ∂∂；z y∂∂ 【解】：()()22ln 2323x x x y z x y e-=-=()()22ln 2322ln 2323x x y z x e x x y x x y -⎛⎫∂=⋅-+ ⎪∂-⎝⎭()212323x z x x y y -∂=--∂ ，17、设()2,cos 2,ln 32x y z e x t y t -===+，求dzdt【解】：()()()22cos2ln 32cos2ln 326ln 322sin 232t t t t t dz z ee t dt t -+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+⎛⎫=⇒=⋅-- ⎪+⎝⎭ 18、设方程22220x z y z y ++=确定函数(),z z x y =，求zx ∂∂；z y∂∂ 【解】：1）()222,,2F x y z x z y z y =++2222,41,4x y z F xz F yz F x y z '''==+=+2）2224x z F z xz x F x y z '∂=-=-'∂+， 222414y z F z yz y F x y z '∂+=-=-'∂+19、设方程()222sin xy e y x y +=+确定函数()y y x =，求dy dx【解1】：()()()()()()22222s i n 2c o s 22x y x y e y x y e y x y y x y x y '''''+=+⇒⋅++=+⋅+()()22222cos 22cos xyxy x x y ye y xe y y x y +-'⇒=+-+ 【解2】：1）()()222,sin xy F x y e y x y =+-+ ()()22222cos ,22cos xy xy x y F ye x x y F xe y y x y ''=-+=+-+2）()()()()222222222cos 2cos 2cos 2cos xy xy x xy xy y ye x x y x x y ye F dy dx F xe y x y xe y x y -++-'=-=-='-+-+ 20、设函数(),z z x y =由方程22xy z e z e -+-=所确定，求212x y dz ==-【解】：1）(),,22xy z F x y z e z e -=+--， 12,12x y z ==-⇒= ,,2xy xy z x y z F ye F xe F e --'''=-=-=- 12,,12224xy x z x y z z F z ye z e x F e xe -==-='∂∂=-=⇒='∂-∂-， 12,,12222xy y z x y z z F z xe z e y F e y e -==-='∂∂=-=⇒='∂-∂- 2）2122242x y e e dzdx dy e e==-=+-- 21、设()22,y z xf xy g x y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求z x ∂∂；z y ∂∂ 【解】：1）()()1222z y f xy xyf xy xg g x x ∂'''=++-∂2）()21212z x f xy yg g y x∂'''=++∂三、证明题1、设()2arcsin 3y z xy x =+，证明：220z z x xy y x y∂∂-+=∂∂ 2、设()2sin 2323x y z x y z +-=+-，证明：1z z x y ∂∂+=∂∂ 设()(),,2sin 2323F x y z x y z x y z =+---+。

微分几何测试题集锦(含答案)

《微分几何》测试题（一）一．填空题：（每小题2分，共20分）⒈ 向量{}(),3,r t t t a =具有固定方向，则a =___t__。

⒉ 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''=的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线⒊ 设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为β，则过P 由,αβ确定的平面是曲线在P 点的___密切平面__________。

⒋ 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()r t 点的法平面方程是__________________________。

⒌ 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率(1)τ=_ -2_____。

⒍ 主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _⒎ 如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。

⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。

二．选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。

A 、直线B 、平面曲线C 、球面曲线D 、圆柱螺线12、曲线()r r t =在P(t)点的曲率为k , 挠率为τ，则下列式子___A___不正确。

A 、2r r k r '''⨯=' B 、3r r k r '''⨯=' C 、k r = D 、()()2r r r r r τ''''''='''⨯ 13、对于曲面的第一基本形式2222,I Edu Fdudv Gdv EG F =++-__D___。

A 、0>B 、0<C 、0≤D 、0≥三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分）21、已知圆柱螺线{}cos ,sin ,r t t t =，试求⑴ 在点0,1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线和法平面。

导数与微分测试题

从而，从而，f ′(1) = 2 .
由于 f ( x + 5) = f (5) , 所以 f (6) = f (1) = 0 , f ′(6) = f ′(1) = 2 .
故所求切线方程为 y = 2( x − 6) .
测验题
(第一、二章 ) 第一、
每题3分一、填空题 (每题分，共12分) 每题分
f (1 + sin x ) − 3 f (1 − sin x ) 即 lim x →0 sin x
f (1 − sin x ) − f (1) f (1 + sin x ) − f (1) = lim +3 x →0 sin x − sin x
= f ′(1) + 3 f ′(1) = 4 f ′(1) = 8 .
二、设曲线 y = x n 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴的交点为 (ξ n ,0), 求 lim f (ξ n ).
n→ ∞
1 c 满足关系式：三、设 f ( x ) 满足关系式：af ( x ) + bf ( ) = (| a |≠| b |) . x x 求 f ′( x ) . x −1 ( x + 1)2 ; | x |≤ 1 四、设 f ( x ) = 4 | x |> 1 | x | −1 .
易知 , f ( x ) 在 | x |= 1 处连续 . 在 x = −1 处， f ( x ) − f ( −1) − x −1 = −1 , ′ (−1) = lim− f− − = lim− x → −1 x → −1 x − ( −1) x +1
f +′ (−1) = lim f ( x ) − f ( −1) − x → −1+ x − ( −1)

导数与微分真题答案及解析

导数与微分真题答案及解析一、基础概念在微积分中，导数与微分是非常重要的概念。

导数描述了函数在某一点的变化率，而微分则描述了函数在某一点附近的局部变化情况。

了解导数与微分的概念对于解决数学问题至关重要，下面就是一些导数与微分的真题及其答案解析。

二、导数计算真题1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的导数。

解析：根据导数的定义，可以使用求导法则来计算导数。

对于多项式函数f(x) = ax^n + bx^m + cx^l + ...，其导数可以通过对每一项求导后再相加的方式得到。

根据此法则，对于f(x) = 3x^2 - 2x + 1，求导后得到f'(x) = 6x - 2。

2. 求函数f(x) = sin(2x)的导数。

解析：根据导数的链式法则，对于复合函数f(g(x))，其导数可以通过对外层函数求导后再乘以内层函数的导数得到。

对于f(x) = sin(2x)，将外层函数设为f(u) = sin(u)，内层函数设为g(x) = 2x，则f'(x) = f'(g(x)) * g'(x) = cos(2x) * 2 = 2cos(2x)。

三、微分计算真题1. 求函数f(x) = e^x的微分。

解析：对于指数函数f(x) = e^x，其微分可以通过导数乘以微小变化量dx的方式得到。

由于f'(x) = e^x，所以微分df = f'(x) * dx = e^x * dx。

2. 求函数f(x) = ln(x)的微分。

解析：对于对数函数f(x) = ln(x)，其微分可以通过导数除以x的方式得到。

由于f'(x) = 1/x，所以微分df = f'(x) / x = 1 / (x * dx)。

四、综合计算真题1. 求函数f(x) = (x^2 + 1) / (x - 1)在点x = 2处的导数和微分。

解析：首先，求导数。

利用求导法则，对于f(x) = (x^2 + 1) / (x - 1)，可以通过分子分母求导再计算商的导数的方式来求得导数。

微分练习题

微分练习题(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《导数与微分》训练题1、求下列函数的导数。

（1）223)1(-=x x y ；（2）xxy sin =；（3）bx e y ax sin =；（4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）xxx y )1(+=。

2、求下列隐函数的导数。

（1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。

3、求参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy与二阶导数22dxyd 。

4、求下列函数的高阶导数。

（1）,αx y =求)(n y ；（2）,2sin x y =求)50(y 。

5、求下列函数的微分。

（1）)0(,>=x x y x ；（2）21arcsin xx y -=。

6、求双曲线12222=-b y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。

7、用定义求)0(f '，其中⎪⎩⎪⎨⎧=,0,1sin )(2xx x f .0,0=≠x x 并讨论导函数的连续性。

《微分中值定理与导数的应用》训练题一、选择题：1、下列极限中能使用洛必达法则的是（）A 、x x x sin lim ∞→B 、x x x x x sin sin lim +-∞→C x xx 3sin 5tan lim2π→ D 、()x e x x ++∞→1ln lim2、若()06sin lim30=+→x x xf x x ，()06sin lim 30=+→x x xf x x 则()206limx x f x +→为（）A 、0B 、6C 、36D 、∞3、函数()x f 在[1，2]有二阶导数，()()()()()x f x x F f f 21,021-===，则()x F ''在 ()2,1上（）A 、没有零点B 、至少有一个零点C 、有两个零点D 、有且仅有一个零点 4、设)(x f 是连续的奇函数，且()0lim=→x x f x ，则（）A 、0=x 是)(x f 的极小值点B 、0=x 是)(x f 的极大值点C 、曲线()x f y =在0=x 的切线平行于x 轴D 、曲线()x f y =在0=x 的切线不平行于x 轴5、若1)()()(lim2000-=--→x x x f x f xx 则在0x x =处（ A ）A 、取极大值B 、取极小值C 、不取极值D 、是否取极值无法确定二、填空题1．函数12-=x y 在[]1,1-上满足罗尔定理条件的=ξ 。

导数与微分习题及答案

第二章导数与微分(A)1 .设函数y 二f x ，当自变量x 由x 0改变到x 0 * e x 时，相应函数的改变量 y =()A. f x 0 ： =x B . fx^_x C . f x 0 ： =x f x 0D . f x 0 x2. 设f(x )在 x 处可，则曲区弋ix °)= () A. - f x oB . f -X 。

C . f x oD . 2f x o3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的( )A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.设函数y = f u 是可导的，且u =x 2，则dy=()dxA. f x 2B . xf x 2C . 2xf x 2D . x 2f x 25. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a () A .左导数存在；B .右导数存在；C .左右导数都存在D .有定义6 . f(x)=x-2在点x=2处的导数是() A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y =2x 3 -5x 2 • 4x -5在点2,-1处切线斜率等于()A . 8B . 12C . -6D . 68. 设y=e f 卜且f(x 二阶可导，则y"=() A . e f (x ) B . e f *)f "(x ) C . e f (x )〔f "(x f "(x jD . e f (x X 【f *(x 9 + f*(x 》e axx < 09. 若f"〔b+sin2x, x，0在x=°处可导'则a，b的值应为()717118.210. 若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F X 二 f X g X , G X A f X — g X 在 x ° 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .恰有一个有导数D .至少一个有导数11. 函数fx 与g X 在X o 处都没有导数，则Fx 二fx^gx , G x i= f x -g x 在 X o 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .至少一个有导数D .至多一个有导数12. 已知F x 二f !g x 1,在x 二X 。

导数与微分测试题及答案

导数与微分测试题（一）一、选择题（每小题4分，共20分）1、设函数10()102x x f x x ≠⎪=⎨⎪=⎪⎩ 在0x =处（）A 、不连续；B 、连续但不可导；C 、二阶可导；D 、仅一阶可导； 2、若抛物线2y ax =与曲线ln y x =相切，则a 等于（） A 、1； B 、12； C 、12e； D 、2e ； 3、设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（）A 、1；B 、2e ； C 、2e； D 、e ； 4、设函数()f x 在点x a =处可导，则0()()lim x f a x f a x x→+--等于（）A 、0；B 、()f a '；C 、2()f a '；D 、(2)f a '；5、设函数()f x 可微，则当0x ∆→时，y dy ∆-与x ∆相比是（） A 、等价无穷小； B 、同阶非等价无穷小；C 、低阶无穷小；D 、高阶无穷小；二、填空题（每小题4分，共20分） 1、设函数()f x x x =，则(0)f '=______； 2、设函数()xf x xe =，则(0)f ''=______；3、设函数()f x 在0x 处可导，且0()f x =0，0()f x '=1，则01lim ()n nf x n→∞+=______； 4、曲线228y x x =-+上点______处的切线平行于x 轴，点______处的切线与x 轴正向的交角为4π。

5、 d ______ = xe dx - 三、解答题1、（7分）设函数()()(),()f x x a x x ϕϕ=-在x a =处连续，求()f a '； 2、（7分）设函数()aaxa x a f x x a a =++，求()f x '； 3、（8分）求曲线 sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩ 在 6t π= 处的切线方程和法线方程；4、（7分）求由方程 1sin 02x y y -+=所确定的隐函数y 的二阶导数22d y dx5、（7分）设函数1212()()()n aaan y x a x a x a =---L ，求 y '6、（10分）设函数212()12x x f x ax b x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，适当选择,a b 的值，使得()f x 在12x =处可导 7（7分）若22()()y f x xf y x +=，其中 ()f x 为可微函数，求dy 8、（7分）设函数()f x 在[,]a b 上连续，且满足()()0,()()0f a f b f a f b +-''==•>，证明：()f x 在(,)a b 内至少存在一点c ，使得 ()0f c =导数与微分测试题及答案（一）一、1－5 CCBCD二、1. 0； 2. 2； 3. 1； 4.（1，7）、329(,)24； 5. x e --；三、1. 解：()()()()()limlim ()x a x a f x f a x a x f a a x a x aϕϕ→→--'===--；2. 解：112()ln ln aa xa a a x x a f x a x ax a a a a a --'=++；3. 解：当6t π=时，曲线上的点为 11(,)22；切线的斜率6662sin 22cos t t t dydy t dt k dx dx t dt πππ===-====-，所以，切线方程 112()22y x -=--，即 4230x y +-=；法线方程 111()222y x -=- ，即 2410x y -+=；4. 解：方程的两边对x 求121cos 022cos dy dy dy y dx dx dx y-+=⇒=- 继续求导 222324sin sin (2cos )(cos 2)d y dy yy dx y dx y =-=-- 5. 解：两边取对数 1122ln ln()ln()ln()n n y a x a a x a a x a =-+-++-L 方程的两边对x 求导12121n na a a y y x a x a x a '=+++---L ，则 121112()(())()in na n i i i i n i a a a a y y x a x a x a x a x a =='=+++=-----∑∏L6. 解：因为可导一定连续，则211221111(0)lim(),(0)lim 2224x x f ax b a b f x →→+=+=+-==所以1111,2442a b b a +==- 由可导知11122211111()144242()lim lim lim 1112222x x x ax b ax a a x f a x x x +→→→+-+---'====---212114()lim1122x x f x -→-'==- 所以 11,4a b ==- 即当11,4a b ==-时，函数()f x 在12x =处可导。

高等数学-——导数与微分练习题.pdf

C：若函数 f (x) 在点 x0 处不可导，则函数 f (x) 在点 x0 处左、右导数只有一个不存在
x≥0
（）
（5）若 f (x) = x −1 ，则 f (x) 在 x = 1 处可导
（）
（6） f (x) = 3 x 在 (−∞, +∞) 内均可导
（）
（7）若函数 f (u) 可导，则 [ f (ln x)]′ = f ′(ln x)
（）
（8）若 y = x2ex ，则 y′′ − 2 y′ + y = 0
dx
五、证明题
1.
设函数
f (x) = arctan 1+ x ，证明 dy 1− x
=
x
1 2+
1
dx
2.
证明：函数
f
(
x
)
=
⎧ ax + b, ⎨⎩ex −1, x
x ≤
> 0
0
在 x = 0 处可导的充要条件是 a = 1, b = 0 .
3.
证明：
f
(
x)
=
⎧⎪ ⎨
x3
sin
1 x
,
x
≠
0
在定义域内处处可微.
则 a, b 之值为（
）
A： a = 2,b = −1 B： a = 1,b = −3
C： a = 0,b = −2
D： a = −3,b = 1
（5）下列结论正确的是（
）
A：若左、右导数都存在，则函数 f (x) 在点 x0 处可导
B：函数 f (x) 在点 x0 处不可导的充要条件是左、右导数都不存在
⎛ ⎜⎝
arctan

导数和微分练习题(答案版)

1. 13arctan )1()(2+--=x x x x f ,求f’(1) 2. 设1lim )()1()1(2+++=--∞>-x n x n n e b ax e x x f 是区间),(+∞-∞内是可导函数，试确定常数a,b 3. 设f(x)是周期为2的周期函数，且在点x=1处连续，22cos ]3)(ln[lim 1=+>-xx f x π,求曲线y=f(x)在(-1,f(-1))处的切线方程。

4. 设函数在),(+∞-∞内有定义，对任意的x,y 都有)()()(x f e y f e y x f y x +=+,e f =)0(',求f （x ）的表达式5. 设函数0,)(;0,)()(==≠-=-x a x f x x e x x f xϕ,其中的)(x ϕ具有二阶导数，且1)0(',1)0(-==ϕϕ1) 确定常数a 的值，使得f （x ）在x=0时连续2) 求f’(x);3) 讨论f’(x)在区间),(+∞-∞内的连续性6. 设函数)()()(x g x f x F =，如果f(x)在x 0点可导，g （x ）在x 0点连续不可导，证明：F(x)在x 0点可导⇔f(x 0)=07. 设曲线y=f(x)与曲线y e y x =-++)14tan(π在（1,0）处有公切线. 1）求公切线方程2）计算极限)1(lim +∞>-n n nf n 8. 设f(x)是周期为3的连续函数，在点x=0的某一邻域内恒有x x x f x f 2tan 6)tan 1(2)tan 1(+=--+,已知f(x)在点x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(10.f(10))处的切线方程。

9. 设函数f(x)在x ≤x 0时具有二阶导数，00200,)()()(;),()(x x c x x b x x a x F x x x f x F >+-+-=≤=,试确定常数a ，b ，c ，使得F(x)在x 0处二阶可导。

导数与微分习题及答案

第二章导数与微分(A)1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ( )A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()()00x f x x f -∆+D ．()x x f ∆0 2．设()x f 在0x 处可，则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim( )A ．()0x f '-B ．()0x f -'C ．()0x f 'D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dxdy( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( )A ．左导数存在；B ．右导数存在；C ．左右导数都存在D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．68．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( )A ．()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){}x f x f e x f ''+'29．若()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( )A ．2=a ，1=bB ． 1=a ，2=bC ．2-=a ，1=bD ．2=a ，1-=b10．若函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．恰有一个有导数D ．至少一个有导数11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．至少一个有导数D ．至多一个有导数 12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，则( ) A ．()x f ，()x g 都必须可导 B ．()x f 必须可导C ．()x g 必须可导D ．()x f 和()x g 都不一定可导13．xarctg y 1=，则='y ( )A ．211x +-B ．211x + C ．221x x +- D ． 221x x +14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( )A ．()2a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 15．设()x f 在()b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( )A ．()x f 的极限存在，且可导B ．()x f 的极限存在，但不一定可导C ．()x f 的极限不存在D ．()x f 的极限不一定存在 16．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→hh a f a f n 0lim。

导数测试题(含答案)

导数单元测试题班级姓名一、选择题1．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝时，Δy 的值为( ) A ． B ． C ． D ．2．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x 3．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 [C ．与x 轴垂直D ．与x 轴相交但不垂直4．曲线y ＝－1x 在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝xC ．y ＝x ＋2D ．y ＝－x －25．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)6．已知函数f (x )＝1x ，则f ′(－3)＝( )A ．4 C ．－14 D ．－19 7．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)8．“函数y ＝f (x )在一点的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在这点取极值”的( ) ；A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极小值点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )A ．f (2)，f (3)B ．f (3)，f (5)C ．f (2)，f (5)D ．f (5)，f (3)11．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )A ．－10B ．－71C ．－15D ．－22 —12．一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒运动的距离为s ＝14t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )A ．1秒末B ．0秒C ．4秒末D ．0,1,4秒末二、填空题13．设函数y ＝f (x )＝ax 2＋2x ，若f ′(1)＝4，则a ＝________.14．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则b a ＝________.15．函数y ＝x e x 的最小值为________．16．有一长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 三、解答题17．求下列函数的导数：(1)y ＝3x 2＋x cos x ； (2)y ＝x1＋x； (3)y ＝lg x －e x .`18．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10，求：(1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程．）19．已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋4.(1)求函数的极值； (2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．导数单元测试题答案班级姓名。

2023年人教版数学导数与微分练习题及答案

2023年人教版数学导数与微分练习题及答案数学是一门科学，也是一门重要的学科。

其中，导数与微分作为数学中的基础概念，在解析几何、微积分等领域具有重要作用。

为了帮助同学们更好地掌握导数与微分的知识，以下是2023年人教版数学导数与微分的练习题及答案。

希望能对同学们的学习有所帮助。

1. 练习题一：已知函数f(x) = x^3 - 2x^2 - 3x + 2，求f(x)在x = 1处的导数。

解答：首先，我们需要求函数f(x)的导数。

导数的定义是函数在某一点的斜率，可以用极限来表示。

对于题目中的函数f(x)，我们可以利用幂函数的导数公式求得导数f'(x)。

f'(x) = 3x^2 - 4x - 3然后，我们代入x = 1，求得f'(1)。

f'(1) = 3(1)^2 - 4(1) - 3 = -4所以，函数f(x)在x = 1处的导数为-4。

2. 练习题二：已知函数g(x) = e^x + 2x - 1，求g(x)在x = 2处的导数。

解答：函数g(x)可以看作由指数函数和一次函数相加的形式。

我们知道，指数函数的导数仍然是指数函数，一次函数的导数是常数。

首先，我们求指数函数e^x的导数。

(e^x)' = e^x然后，我们求一次函数2x的导数。

(2x)' = 2因此，可以得到函数g(x)的导数公式。

g'(x) = (e^x)' + (2x)' = e^x + 2接下来，我们代入x = 2，求得g'(2)。

g'(2) = e^2 + 2 ≈ 9.39所以，函数g(x)在x = 2处的导数约为9.39。

3. 练习题三：已知函数h(x) = ln(x^2 + 1)，求h(x)在x = 0处的导数。

解答：函数h(x)是一个以自然对数为底的对数函数，我们知道对数函数的导数可以用导数的链式法则来求解。

首先，我们求内层函数x^2 + 1的导数。

MPA公共管理硕士综合知识数学微积分(导数与微分)-试卷1

MPA公共管理硕士综合知识数学微积分（导数与微分）-试卷1(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、数学部分(总题数：30，分数：54.00)1.选择题__________________________________________________________________________________________2.已知g(x)=且复合函数f(g(x))对x的导数为，那么．A.1√D.2由已知条件[f(g(x))]’=f"(g(x)).g’(x)=f"(g(x)).即(C)．3.f(x)在(一∞，+∞)内可导，若一x)]，则( )是奇函数．A.g(x)B.g(一x)C.g’(x) √D.1+∫0x g(t)dt由已知得g(一x)=g(x)，故g(x) g’(x)=一g’(一x) 故g’(x)是奇函数．4.设函数f(x)可导，则的导数y’等于( )A.B.C.D. √5.设函数f(x)在区间(一δ，δ)内有定义，若当x∈(一δ，δ)时，恒有|f(x)|≤x 2，则x=0必是f(x)的( )．A.间断点B.连续但不可导的点C.可导的点，且f"(0)=0 √D.可导的点，且f’(0)≠0令x=0，由|f(0)|≤0知f(0)=0．而0≤|f(x)一f(0)|=|f(x)|≤x 2，由夹逼定理可知所以f(x)在x=0处连续．再讨论f(x)在x=0处的左、右导数，由|f(x)|≤x 2，得一x 2≤f(x)≤x 2．6.设f"(x)=(x一1)(2x+1)，x∈(一∞，+∞)，则在区间1)内有( )．A.函数f(x)单调减少，且曲线y=f(x)为凹的√B.函数f(x)单调增加，且曲线y=f(x)为凹的C.函数f(x)单调减少，且曲线y=f(x)为凸的D.函数f(x)单调增加，且曲线y=f(x)为凸的因为时，f"(x)=(x一1)(2x+1)＜0，f"(x)=4x一1＞0 f(x)单调减少且曲线y=f(x)为凹的．7.设函数f(x)对任意的x均满足f(1+x)=af(x)，且有f"(0)=b，其中a，b为非零常数，则f(x)在x=1处( )．A.不可导B.可导且f"(1)=aC.可导且f"(1)=bD.可导且f"(1)=ab √在f(1+x)=af(x)中，令x=0，得f(1)=af(0)8.设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且．则A.存在且等于零B.存在但不一定为零C.一定不存在D.不一定存在√举反例说明．比如φ(x)=e -|x|，f(x)=2e -|x|，g(x)=3e -|x|，则有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且存在．但若取φ(x)=e -|x| +x，f(x)=2e -|x| +x，g(x)=3e -|x| +x，则有9.设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f"(x)g(x)+f(x)g’(x)＜0，则当x∈(a，b)时，有( )．A.f(x)g(x)＞f(b)g(a)B.f(x)g(x)＞f(b)g(a)C.f(a)g(b)＞f(b)g(a)D.f(x)g(x)＞f(b)g(b) √令F(x)=f(x)g(x)，则由题设可知 F’(x)=f"(x)g(x)+f(x)g’(x)＜0 (a≤x≤b)．于是，F(x)在[a，b]上单调减少，故当x∈(a，b)时，F(x)＞F(b)，即f(x)g(x)＞f(b)g(b)．10.下述极限中，等于e的是( )A.B. √C.D.11.设函数f(x)在(a，b)内可微，则( )．A.在[a，b]上连续B.若f(x)在(a，b)上严格单调递增，则f"(x)≠0C.若f(x)严格单调递增，且f(x)≠0√D.在(a，b)内f(x)必存在极限．因为f(x)严格递增，所以f"(x)≥012.填空题__________________________________________________________________________________________13.若函数f(x)在x 0点可导，则填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3f"(x 0 )．）0 )+2f"(x 0 ) =3f"(x 0 )．14.设函数f(x)在x 0点可导，填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：不能确定．）因为由f"(x 0 )存在，可知因此，若f(x 0 )=0，则有若f(x 0 )≠0，则有原极限值不能确定．15.设函数f(x)在(一∞，+∞)上满足2f(1+x)+f(1一x)=e x，则f"(1)= 1.填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）先求f(x)的表达式．令x=一t，则等式变为由此可解得 3f(1+t)=2e t—e -t，再令1+t=x，可得于是有16.函数f(x)=(x 2 +2x-3)|x 4 -x|的不可导的点的个数是 1．填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）由|x 4一x|=|x||x一1|(x 2 +x+1)，可知f(x)的不可导点至多有两个点：x 1 =0，x 2 =1．下面我们来分析这两点是否不可导．在x 1=0点处，在x 2=1点处所以f(x)在x 2=1点可导，因此f(x)的不可导点只有一个．17.函数y=y(x)是由方程e xy +x一y一2=0所确定，则y’(0)= 1.填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0）在等式e xy +x—y一2=0两边求导，有 e xy (y+xy’)+1一y’=0，由此可得又由方程知y(0)=一1，于是有18.设函数y=y(x)由方程x y =y x所确定，则y’(1)= 1．填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）利用对数求导法，有ylnx=xlny，上式两边对x x=1时，可解得y(1)=1，代入上式，有y’(1)=1．19.当x≠0时，函数f(x)满足f(x 3，则f"(1)= 1.填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一1）先求函数f(x)的表达式：令等式化为 f"(1)=一1．20.已知填空项1:__________________因f"(x)=而21.计算题__________________________________________________________________________________________22.设f(x)与φ(x)在x=0处均连续，求φ(0)和φ’(0)．__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：因为f(x)在x=023.求函数x=0点处的左、右导数f - "(0)与f + "(0)．__________________________________________________________________________________________正确答案：(y=|x|在x=0点处左、右导数都存在，但不相等．因此，此函数在x=0点处导数不存在．)24.已知f"(a)=a 2，__________________________________________________________________________________________正确答案：(25.__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：先将函数化为简单函数的和差，再用导数的四则运算计算更为简单，即所以可得)26.求函数y=ln|x|的导数。

大学高等数学导数与微分自测自检题含参考解答

第二章导数与微分自测自检题参考解答一、填空题1、设()(1)(2)()f x x x x x n =+++ ，则()0f '= 解法一：由定义000()(0)(1)(2)()0(0)limlim0lim(1)(2)()!x x x f x f x x x x n f x x x x x n n →→→-+++-'==-=+++= 解法二：由于()(1)(2)()()f x x x x n x '=++++ ，因此()0f '=!n .2、设()01f x '=-，则()()00lim2h hf x h f x h →---=解：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()0000000000000000000000000200lim21lim 21lim21lim 2(2)212lim(2)lim 212(2)lim lim2h h h h h h h h hf x h f x h f x h f x h hf x h f x f x f x h hf x h f x f x h f x h hf x h f x f x h f x h hf x h f x f x h f x h →→→→→→-→-→---=---=--+--=+--+---⋅+--=+--+---⋅+--=+--+---+-()()()000121hf x f x -=''-+=3、设()y y x =由方程cos()0x y e xy +-=所确定，则0d x y==解：对方程两边直接求微分，得到()d cos()0x y e xy +-=，即()()()d d sin d d 0x y e x y xy y x x y +++⋅+=，解出()()sin d d sin x y x ye y xy y x e x xy +++=-+. 在方程cos()0x y e xy +-=中，当0x =时，0y =，因此()()0sin d d d sin x y x y x x y e y xy y x x e x xy ++===+=-=-+.4、曲线arctan y x =在1x =处的切线方程是，法线方程是解：由于(1)4y π=，()21111(1)arctan 12x x y x x ==''===+，因此曲线arctan y x =在1x =处的切线方程为()1142y x π-=-，法线方程为()214y x π-=--，即曲线的切线方程为2420x y π-+-=，法线方程为8480x y π+--=.5、设()f x 在0x 可导，0x x x ∆=-，()()0y f x f x ∆=-，则0lim x y ∆→∆=解：()f x 在0x 可导，则()f x 在0x 连续，由连续的定义，0lim x y ∆→∆=0.二、选择题1、设可导函数()f x 是奇函数，则()f x '是（）A 偶函数B 奇函数C 非奇非偶函数D 不能确定解：因为()f x 是奇函数，因此()()f x f x -=-，即()()f x f x =--，所以()f x '=()()()()()1f x f x f x '''--=---=-，亦即，()()f x f x ''-=，()f x '是偶函数。

导数与微分习题

导数与微分一、选择题1. 设函数f (x )可导，则=--→hx f h x f h )()3(lim 0【】A. 3()f x 'B.1()3f x ' C. 3()f x '- D. 1()3f x '- 2. 设函数f (x )可导，则0(1)(1)lim 2x f f x x→--=【】 A. 2(1)f ' B. 1(1)2f ' C . 2(1)f '- D. 1(1)2f '-3. 函数x y =在0=x 处的导数【】A. 不存在B. 1C. 0D. 1- 4. 设x e x f 2)(=，则(0)f '''=【】A. 8B. 2C. 0D. 1 5. 设x x x f cos )(=，则()f x ''=【】A. x x sin cos +B. x x x sin cos -C. x x x sin 2cos --D. x x x sin 2cos + 6. 设函数f (x )可导，则0(2)()lim h f x h f x h→+-=【】A. 2()f x 'B. 1()2f x 'C. 2()f x '-D. 1()2f x '-7. 设sin ()y f x =，其中()f x 是可导函数，则y '=【】 A. cos ()f x B. sin ()f x ' C. cos ()f x ' D. cos ()()f x f x '⋅ 8. 设函数f (x )可导，则0(2)()lim h f x h f x h→+-=【】A. 2()f x 'B. 1()2f x 'C. 2()f x '-D. 1()2f x '-9. 设(arctan )y f x =，其中()f x 是可导函数，则y '=【】A. (arctan )f x 'B. 2(arctan )(1)f x x '⋅+C. 2(arctan )1f x x '++D.2(arctan )1f x x'+ 10.设(sin )y f x =，其中()f x 是可导函数，则y '=【】A. (sin )f x 'B. (cos )f x 'C. (sin )cos f x x 'D. (cos )cos f x x ' 11.设函数f (x )可导，则0(3)()lim2h f x h f x h→+-=【】A. 3()f x 'B. 2()3f x ' C. ()f x ' D. 3()2f x '12.设y =sinx ，则y (10)|x=0=【】A. 1B. -1C. 0D. 2n 13.设函数f (x )可导，则0(4)()lim2h f x h f x h→+-=【】A. 2()f x 'B. 4()f x 'C. 3()f x 'D. 1()2f x ' 14.设y =sinx ，则y (7)|x=0=【】A. 1B. 0C. -1D. 2n 15.设函数f (x )可导，则0(4)()lim2h f x h f x h→--=【】A. -4()f x 'B. 2()f x 'C. -2()f x 'D. 4()f x ' 16.设y =sinx ，则(7)x y π==【】A. 1B. 0C. -1D. 2n17.已知函数()f x 在0x x =的某邻域内有定义，则下列说法正确的是【】 A. 若()f x 在0x x =连续, 则()f x 在0x x =可导B. 若()f x 在0x x =处有极限, 则()f x 在0x x =连续C. 若()f x 在0x x =连续, 则()f x 在0x x =可微D. 若()f x 在0x x =可导, 则()f x 在0x x =连续 18.下列关于微分的等式中，正确的是【】A. 21d()arctan d 1x x x =+ B. d(2ln 2)2d x x x = C. 211d()d x x x=- D. d(tan )cot d x x x =19.设[]2()(0)sin lim 4x f x f x x →-=　，则(0)f '=【】A. 3B. 4C. 43D. 不存在20.设函数()f x 在0x x =可导，则000(2)()limh f x h f x h→+-=【】A. 02()f x 'B. 0()f x 'C. 02()f x '-D. 0()f x '- 21.下列关于微分的等式中，错误的是【】 A. 21d(arctan )d 1x x x =+ B. 211d()d x x x =-C. dcosx sin d x x =D. d(sin )cos d x x x = 22.设函数()cos f x x =，则(6)(0)f =【】A. 0B. 1C. -1D. 不存在 23.设()x f x e =，则0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆【】A. 1B. eC. 2eD. 2e 24.设函数()f x 在0x x =可导，则000(2)()limh f x h f x h→+-=【】A. 02()f x 'B. 0()f x 'C. 02()f x '-D. 0()f x '- 25.下列关于微分的等式中，错误的是【】 A. 21d(arctan )d 1x x x =+ B. 211d()d x x x =-C. dcosx sin d x x =D. d(sin )cos d x x x = 26.设函数()f x 在0=x x 处可导，且0()'=f x k ，则000(2)()lim→+-=h f x h f x h 【】A. 2kB. 12k C. 2-k D. 12-k27.设函数()f x 在0x 可导，则000(4)()limh f x h f x h→+-=【】A. 04()f x 'B. 01()4f x 'C. 04()f x '-D. 01()4f x '- 28.设函数()f x 在0x 可导且0()2'=f x ，则000()(2)lim→+--=h f x h f x h h【】A. -2B. 1C. 6D. 3 29.下列求导正确的是【】A. ()2sin 2cos '=x x x B. sin cos 44ππ'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦C. ()cos cos '=x x e eD. ()1ln 5'=x x30.设()x x x f ln =，且()20='x f ，则()0x f =（）。

导数与微分测试题与答案(一)

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第三章 导数与微分 习题及答案

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