2015现代设计理论 优化设计

2 2
h( X ) 5 5 xx xx xx 00 11 22 33
由等式约束条件可知，三个设计变量中只有两个是独立变量，即 5 。所以，该问题的优化数学模型应写为： x3
x1 x2
10:59:56
8
设计变量：
X [ x1 x2 ]T
1 1 ) x2 x1
目标函数的极小化： min f ( X ) x1 x2 2( x1 x3 x2 x3 ) x1 x2 10( 约束条件：
X ( k 1) X ( k ) 1
（2-7）
式中， 1 —— 给定的计算精度，一般可取 103 105 。 （２）函数下降量足够小准则 相邻两迭代点的函数值下降量已达到充分小，即
f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) 2
（2-8）
3 5 式中， 2 —— 给定的计算精度，一般可取 10 10 。
g1 ( X ) 4 x1 0 g2 ( X ) x2 0
h( X ) 5 x1 x2 x3 0
这样，使该优化问题的数学模型更为准确、精炼。
10:59:56
9
优化数学模型的向量形式：
min f ( X ) s.t. gu ( X ) 0 hv ( X ) 0 X Rn (u 1, 2, , m) (v 1, 2, , p n)
10:59:56
2
与传统设计方法不同，优化设计过程一般分为如下四步：
● 设计课题分析 ● 建立数学模型 ● 选择优化设计方法 ● 上机电算求解
获得最优解
10:59:56
3
=10mm,
10:59:56
4
10:59:56
5
10:59:56
6
例2-2 现用薄钢板制造一体积为5 m ，长度不小于4m的无上盖 的立方体货箱。要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定货箱的长、 宽和高的尺寸。 解：分析可知，钢板的耗费量与货箱的表面积成正比。 设货箱的长、宽、高分别为 x1 , x2 , x3，货箱的表面积为S，则 该问题的物理表达式为： (1) 货箱的钢板耗费量（即货箱的表面积用料）最少：
解： 根据基本迭代公式，有
X ( k 1) X ( k ) ( k ) S ( k ) 1 1 1 1 0 1
则
1 2 2 f ( X ( k 1) ) f x 2 x 2 4 x1 2 x1 x2 1 1 (1 )2 2 12 4(1 ) 2(1 ) 1 (1 )2 6(1 ) 2 2 4 3
10:59:56
25
* 求最优步长 举例 ：
1. 最优步长的几何意义 以二维优化问题为例， 最优步长 的几何意义
*
如右图所示。 2. 最优步长的计算
图2-a 最优步长的几何意义
已知： f ( X ) x 2 x 4 x1 2 x1 x2 , 以及点 X
2 1 2 2
(k )
第2章
Ⅱ
优化设计(1)
Optimal Design
10:59:56 P122-1
2.1 概述
2.1.1 优化设计基本概念
所谓优化设计，就是在规定的设计限制条件下，运用最优化原 理和方法将实际工程设计问题转化为最优化问题，然后以计算机为 工具进行寻优计算，在全部可行设计方案中，寻求满足预定设计目 标的最佳设计方案。
(0)
，求
③再以 X (1) 为新的初始点，重复上述步骤，求得 X (2) , X (3) , ，
如此反复迭代，得到一个不断改进的点列 {X ( k ) , k 0,1, 2,} 及一相应的递减函数值数列 { f ( X ( k ) ), k 1, 2,} 。
10:59:56
15
这一迭代过程用数学式子表达，得数值迭代法的基本迭代格式为：
图2-5
二维问题的可行域
不满足约束条件的设计点构成该优化问题的不可行域。
(2-5)
10:59:56 12
根据优化问题的 数学模型 是否含有 设计约束 ，可将工程优化 问题分为：
一维优化问题 无约束优化问题 工程优化问题 约束优化问题
多维无约束优化问题
线性规划问题 非线性规划问题 二次规划问题
凸规划问题
由图可见，等值线族反映了目标函数值的变化规律，等值线越 向里面，目标函数值越小。
对于有中心的曲线族来说，等值线族的共同中心就是目标函数 的无约束极小点 。故从几何意义上来说，求目标函数无约束极 小点也就是求其等值线族的共同中心。
10:59:56 11
3. 约束条件
约束的几何意义 是它将设计空间一分 为二，形成了可行域 和非可行域。 每一个不等式约 束或等式约束都将设 计空间分为两部分， 满足所有约束的部分 形成一个交集，该交 集称为此约束问题的 可行域，记做 D，见 图2-5。
1 1 (k ) 和 S 1 0
求：在给定点 X ( k ) 处沿给定方向 S ( k ) 搜索的最优步长 * 。
10:59:56
26
1 1 2 f ( X ) x12 2 x2 4 x1 2 x1 x2 , 以及点 X ( k ) 和 S ( k ) * 0 1
X ( k 1) X ( k ) ( K ) S ( k ) f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) gu ( X ( k 1) ) 0
(k 0,1, 2,)
（2-6）
(u 1, 2, , m)
式中：X(k)——前一步已取得的设计方案（迭代点）； X(k+1)——新的改进设计方案（新的迭代点）； S(k)——第 k次迭代计算的搜索方向； α (k) ——第 k次迭代计算的步长因子。 ④ 这样一步步地重复数值计算，不断用改进的新点迭代前次设 计点，逐步改进 f ( X ) 值并使设计点最终逼近极小点（极值点）X *。
工程优化设计问题中的绝大多数问题都是约束优化问题。
10:59:56
13
2.1.4 优化设计的迭代算法
对于优化问题数学模型的求解，目前可采用的求解方法有三种： 数学解析法 图解法数 数值迭代法
10:59:56
14
1. 数值迭代法的迭代格式 数值迭代法的基本思想：搜索、迭代、逼近。 为了求得目标函数 f ( X ) 的极小点 X * ，其迭代过程如下： ①在设计空间给出一初始迭代点 X (0) ； ②从 X (0) 出发，按照确定的搜索方向 S (0) 和迭代步长 得第一个改进设计点 X (1) ，它应该满足：f ( X (1) ) f ( X (0) ) ；
10:59:56
21
2.3.2 黄金分割法
黄金分割法，又称0.618法，它是一种等比例缩短区间的直接搜索 方法。 该算法的基本思路是： 通过比较单峰区间内两个插点的函数值，不断舍弃单峰区间的左 端或右端一部分，使区间按照固定区间缩短率（缩小后的新区间与原 区间长度之比）逐步缩短，直到极小点所在的区间缩短到给定的误差 范围内，而得到近似最优解。
3
S x1x2 2( x1x3 x2 x3 ) min
可见货箱的表面积取决于货箱的长度 x1、宽度 x2和高度 x3 。 (2) 满足的条件：
x1 4; x2 0;
x3 0
按优化数学模型的规范形式，可归纳为如下数学模型：
10:59:56
7
设计变量：
X [ x1 x2 x3 ]T
(2-3)
上式就是优化数学模型的一般表达式。这一优化数学模型，称为约束优 化设计问题。 一个完整的规格化的优化数学模型应包含有三部分内容，即
设计变量 X； 目标函数 f ( X ) ； 约束条件 gu ( X ) 0 和 hv ( X ) 0 。
它们又称为：优化数学模型的三要素。
10:59:56
10:59:56
22
2.3.3 二次插值法
图2-24
二次插值法的原理及区间缩小过程
设一元函数 f ( X ) ，在单峰区间[1,3 ]内取一点 2 且 1 2 3 ， 这三点对应的函数值分别为 f1 f (1 ), f2 f (2 ), f3 f (3 ) 于是通过原函数曲线上的三个点 (1, f1 ),(2 , f2 ) 和 (3 , f3 ) 可以构成一个 二次插值函数，如图2-24所示。设该二次插值函数为
10:59:56 28
2.4.2 鲍威尔法
鲍威尔法（powell 法，又称共轭方向法）: 该算法是鲍威尔于1964年提出的，它是在坐标轮换法的基础上， 通过构造共轭方向，以达到快速收敛的目的。并通过改进后，是一种 比较有效的算法。
由上可见，原本 f ( X )函数→这时成为 的函数，即 f ( ) 。
10:59:56
27
为求得最优步长，可令 即
df ( ) 0 d
df ( ) d ( 2 4 3) d d 2 4 0
故得最优步长：
*
4 2 2
1 2 2 f ( X ( k 1) ) f x 2 x 2 4 x1 2 x1 x2 1 1 (1 )2 2 12 4(1 ) 2(1 ) 1 (1 )2 6(1 ) 2 2 4 3
19
2.3 一维优化方法
10:59:56
20
) 从某一定点 X ( k 出发，沿着某一使目标函数下降的规定 方向 S ( k ) 一 维搜索的数学表达式为
min f ( X ( k ) S ( k ) ) f ( X ( k ) ( k ) S ( k ) ) X ( k 1) X ( k ) ( k ) S ( k )