函数模型及其应用-课件PPT
函数的概念与基本初等函数函数模型及其应用课件文ppt
xx年xx月xx日
目录
• 函数的概念与基本初等函数 • 函数模型的选择与建立 • 函数模型的应用领域 • 建立函数模型的实例分析 • 函数模型的进阶应用与挑战 • 总结与展望
01
函数的概念与基本初等函数
函数定义与性质
函数定义
设x和y是两个变量，D是一个数集，如果对于D中的每个x值，都有唯一确定的y值与之对应，那么称y 是x的函数，记作y=f(x)。
06
总结与展望
函数模型的重要性和应用前景
函数模型在各个领域 的应用广泛
无论是自然科学、社会科学还是工程 技术，函数模型都扮演着重要的角色 。
函数模型在数据处理 和分析中的重要性
通过函数模型可以对数据进行拟合、 预测和推断，进而为决策提供科学依 据。
函数模型在算法设计 和优化中的关键作用
函数模型可以描述算法的性能、复杂 度和精度，为算法优化提供基础。
在工程设计中，利用已知的设计 参数，建立函数模型，优化设计 方案。
03
函数模型的应用领域
函数模型在物理中的应用
力学
利用函数模型描述物体的运动轨迹、受力情况等。
电磁学
函数模型可以描述电路、电磁波的传播等。
光学
用函数模型研究光的传播、折射、反射等。
函数模型在化学中的应用
物质结构
函数模型可以描述分子、原子等微观粒子的结构和 运动。
图解法
通过绘制变量之间的关系图，建立函数模型。
最小二乘法
通过最小化预测值与实际值之间的平方误差 ，建立函数模型。
函数模型的应用实例
01
02
03
经济预测
科学计算
工程设计
函数模型及其应用
函数概念与基本初等函数
选择函数模型的基本思想 (1)根据数据描绘出散点图； (2)将散点根据趋势“连接”起来，得到大致走势图象； (3)根据图象与常见的基本函数的图象进行联想对比，选择最佳 函数模型．但必须注意实际意义与基本图形的平移性相结合．
栏目 导引
第二章
函数概念与基本初等函数
[通关练习] 1．某公司为确定下一年度投入某种产 品的宣传费，需了解年宣传费 x(单位： 千元)对年销售量 y(单位：t)的影响． 根 据近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i ＝1，2，…，8)数据得到下面的散点图．则下列哪个作为年销 售量 y 关于年宣传费 x 的函数模型最适合( A．y＝ax＋b C．y＝a· bx B．y＝a＋b x D．y＝ax2＋bx＋c )
第二章
函数概念与基本初等函数
函数模型的应用
[典例引领] 1 已知炮弹发射后的轨迹在方程 y＝kx－ (1＋k2)x2(k>0) 20 表示的曲线上，其中 k 与发射方向有 关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)， 其飞行高度为 3.2 千 米，试问它的横坐标 a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说 明理由．
答案：B
栏目 导引
第二章
函数概念与基本初等函数
甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程 S 与时间 t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A．甲比乙先出发 C．甲、乙两人的速度相同
答案：D
B．乙比甲跑的路程多 D．甲比乙先到达终点
栏目 导引
第二章
函数概念与基本初等函数
(教材习题改编)某公司为了业务发展制定了一个激励销售人 员的奖励方案，在销售额 x 为 8 万元时，奖励 1 万元．销售额 x 为 64 万元时， 奖励 4 万元． 若公司拟定的奖励模型为 y＝alog4x ＋b.某业务员要得到 8 万元奖励，则他的销售额应为________ 万元．
函数模型及其应用
选定初始区间 [a, b] 求区间 [a, b]的中点 x1 计算
f ( x1 )
是
f ( x1 ) 0
否
x1 是函数的零点
否
f (a) f ( x1 ) 0
是
零点x0 (a, x1 )，令b x1
零点x0 (a, x1 )，令b x1
否
| a b |
是
零点的近似值是 a或b
(2)函数y a x (0 a 1), y loga x(0 a 1), y xn (n 0)的变化趋势 总会存在一个 x0 ,当x x0时, 就有xn a x loga x
实际问题
问 题 解 决
数学化 (转化为数学问题)
数学问题
数 学 解 答
实际问题结论
函 数 的 模 型
函 数 与 方 程 函 数 模 型 及 其 应 用
函数的零点与其对应方程根的关系
用二分
解 决 具 体 问 题
用已知函数模型解决问题
建立实际问题的函数模型
方程f ( x) 0的实数根 函数y f ( x)的零点 函数y f ( x)的图象与x轴的交点的横坐标
符合实际 (回到实际问题)
数学问题结论
收集数据
画散点图 选择函数模型
不 符 合 实 际
求函数模型
检 验
符合实际
用函数模型解释实际问题
函数零点判断的方法
如果函数y f ( x)在区间 [a, b]上的图象是连续不断的 一条曲线，
f (a) f (b) 0
函数y f ( x)在区间(a, b)内有零点 即存在c (a, b), 使得f (c) 0 c也就是方程 f ( x) 0的实数根
高考文科数学《函数模型及其应用》课件
故今后最多还能砍伐 15 年．
点 拨： 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数型函数模型 y＝N(1＋p)x(其 中 N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂型函数模型 y＝a(1＋x)n(其中 a 为基
础数，x 为增长率，n 为时间)的形式表示．解题时，往往用到对数运算．
直到达到规定人数 75 人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机 费 15 000 元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解：(1)设旅游团人数为 x 人，由题得 0＜x≤75，飞机票价格为 y 元， 则 y＝990000，－010＜（x≤x－303，0），30＜x≤75，
某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水 中杂质 20%，要使水中杂质减少到原来的 10%以下，则至少需过滤的次数
为________．(参考数据：lg2≈0.301 0)
解：设过滤次数为 x(x∈N*)，原有杂质为 a，则 a(1－20%)x<a·10%，
所以 x>1－13lg2≈10.3，即至少需要过滤 11 次．故填 11.
当且仅当 x＝40 x000，即 x＝200 时取等号．故选 A.
(教材改编题)某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，
仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．105 元
B．106 元
C．108 元
D．118 元
解：设进货价为 a 元，由题意知 132×(1－10%)－a＝10%·a， 解得 a＝108.故选 C.
单调____ 函数
相对平稳
函数的应用课件(共20张PPT)
y=(20+2x)(300-10x) =-20x2+600x-200x+6000 =-20(x2-20x+100-100）十6000 =-20(x-10)2+8000.(x∈N且x≤30)
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
2=a(0-6)2+5，
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
解 如果x∈[0,180]，则 f(x)=5x；如果x∈(180,260]，
按照题意有
f(x)=5×180+7(x-180)=7x-360.
因此
f
x
7
x
5x , x 0 360 , x
2. 北京市自2014年5月1日起，居民用水实行阶梯水 价制度、其中年用水量不超过180m3的部分，综合用水 单价为5元/m3；超过180m3但不超过 260m3的部分，综合用水单价为7元/m3． 如果北京市一居民年用水量为xm3，其要 缴纳的水费为f(x)元。假设0≤x≤260， 试写出f(x)的解析式，并作出f(x)的图象．
由此得到，当x=10时，ymax=8000，即每辆电瓶车 的租金为
20+10×2=40 元时，毎天租金的总收人最高，为8000元.
ห้องสมุดไป่ตู้
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
第二章函数模型及其应用
一、三种增长型函数增长速度的比较
在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)，y
＝xn(n>0)都是 函数，但它们增的
不同．增随长着速x度的
增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越 ，会超过并远快远大
于y＝xn(n>0)的增长速度；而y＝logax(a>1)的增长速度则会
例4．求 3 3 的近似值。（精确度0.1）
解: x=3 3
x3 3
x3 3 0 再利用二分法求近似根
解：(1)每次购买原材料后，当天用掉的400公斤原材料不 需要保管，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三 天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公 斤原材料需要保管3天，…，第x天(也就是下次购买原材料 的前一天)用掉最后的400公斤原材料需保管(x－1)天． ∴每次购买的原材料在x天内的保管费用： y1＝400×0.03×[1＋2＋3＋…＋(x－1)]＝6x2－6x.
不改变本题的条件下，材料厂家有如下优惠条件：若一 次购买不少于4 800公斤，每公斤按9折优惠，问该工厂 是否可接受此条件？
解：购买一次原材料平均每天支付总费用为 f(x)＝1x(6x2－6x＋600)＋1.5×400×0.9＝60x0＋6x ＋534(x≥12)， f′(x)＝－6x020＋6＝6x2－x2600， 当 x≥10 时，函数 f(x)为增函数． f(x)min＝f(12)＝656， 而 714>656，故该厂可接受此条件．
解：(1)1年后该城市人口总数为 y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)． 2年后该城市人口总数为 y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100×(1＋1.2%)2. 3年后该城市人口总数为 y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2% ＝100×(1＋1.2%)3. …
第2章 第10讲 函数模型及其应用
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
第二章 函数、导数及其应用
高考一轮总复习 • 数学
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2.三种函数模型的性质
性质
函数
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞) 上的增减性 增长速度
图象的变化
值的比较
单调_____递__增_____ 单调_____递__增_____ 单调递增
第二章
函数、导数及其应用
第十讲 函数模型及其应用
知识梳理·双基自测 考点突破·互动探究 名师讲坛·素养提升
知识梳理·双基自测
高考一轮总复习 • 数学
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知识点 函数模型及其应用 1．几类常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
反比例函数模型
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3.解函数应用问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数 学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语 言，利用数学知识建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论；
第二章 函数、导数及其应用
高考一轮总复习 • 数学
C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D．前6个月的平均收入为40万元
第二章 函数、导数及其应用
高考一轮总复习 • 数学
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3．(必修 1P107A 组 T1 改编)在某个物理实验中，测量得变量 x 和变
量 y 的几组数据，如下表：
x
0.50
0.99 2.01 3.98
高三数学复习课件 2.9 函数模型及其应用
综上,当 t=12 时,S(t)取最大值2 5300;当 t=100 时,S(t)取最小值 8.
答案
专题突破
-13-
考点1
考点2
考点3
考点4
解题心得在现实生活中,很多问题涉及的两个变量之间是二次函 数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型, 利用二次函数的图象与单调性解决.
专题突破
品的生产.
①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润?
②问:如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得
最大利润?其最大利润约为多少万元?
专题突破
-15-
考点1
考点2
考点3
考点4
解: (1)设 A,B 两种产品都投资 x 万元(x≥0),所获利润分别 为 f(x)万元、g(x)万元,由题意可设 f(x)=k1x,g(x)=k2√������,
专题突破
-16-
考点1
考点2
考点3
考点4
令√������=t,t∈[0,3√2], 则 y=14(-t2+8t+18) =-14(t-4)2+127. 故当 t=4 时,ymax=127=8.5, 此时 x=16,18-x=2.
所以当 A,B 两种产品分别投入 2 万元、16 万元时,可使该企
业获得最大利润 8.5 万元.
根据图象可解得 f(x)=0.25x(x≥0),g(x)=2√������(x≥0).
(2)①由(1)得 f(9)=2.25,g(9)=2√9=6,
故总利润 y=8.25(万元).
②设 B 产品投入 x 万元,A 产品投入(18-x)万元,该企业可获
总利润为 y 万元, 则 y=14(18-x)+2√������,0≤x≤18.
11 第11讲 函数模型及其应用
第11讲 函数模型及其应用1．几种常见的函数模型常用知识拓展“对勾”函数f (x )＝x ＋ax(a >0)的性质(1)该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减． (2)当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ； 当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a .判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数增长比一次函数增长更快．( )(2)在(0，＋∞)内，随着x 的增大，y ＝a x (a >1)的增长速度会超过并远远大于y ＝x α(α>0)的增长速度．( )(3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√下列函数中，随x 的增大，y 的增长速度最快的是( )A ．y ＝1100e xB ．y ＝100 ln xC ．y ＝x 100D ．y ＝100·2x答案：A生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )A ．36万件B ．18万件C ．22万件D ．9万件 解析：选B.设利润为L (x )，则利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18 时，L (x )有最大值．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ，如果超过100 km ，超过100 km 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行驶千米数x (km)之间的函数关系式是________．解析：由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100.答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100(教材习题改编)某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x 为8万元时，奖励1万元．销售额x 为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y ＝a log 4x ＋b .某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a log 48＋b ＝1a log 464＋b ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4.解得a ＝2，b ＝－2. 所以y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，即2log 4x －2＝8. 解得x ＝1 024. 答案：1 024用函数图象刻画变化过程(师生共研)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油【解析】根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．【答案】 D判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A 点运动．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是( )解析：选D.依题意知当0≤x ≤4时，f (x )＝2x ；当4<x ≤8时，f (x )＝8；当8<x ≤12时，f (x )＝24－2x ，观察四个选项知D 项符合要求．二次函数、分段函数、“对勾”函数模型(师生共研)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【解】 (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元， 依题意得，当0<x <8时，L (x )＝5x －⎝⎛⎭⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3； 当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝⎛⎭⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝⎛⎭⎫x ＋100x . 所以L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋4x －3，0<x <8，35－⎝⎛⎭⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0<x <8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元． 当x ≥8时，L (x )＝35－⎝⎛⎭⎫x ＋100x ≤35－2 x ·100x ＝35－20＝15，当且仅当x ＝100x时等号成立，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．解决实际应用问题的四大步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论． (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：[提醒] (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．(2)利用模型f (x )＝ax ＋bx求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．1．某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R %(即每销售100元征税R 元)，若年销售量为(30－52R )万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( )A ．[4，8]B ．[6，10]C ．[4%，8%]D ．[6%，10%]解析：选A.根据题意，要使附加税不少于128万元， 需⎝⎛⎭⎫30－52R ×160×R %≥128， 整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R ≤8， 即R ∈[4，8]．2.据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t ，0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为时间t (h)内台风所经过的路程s (km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场台风是否会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知，直线OA 的方程是v ＝3t ，直线BC 的方程是v ＝－2t ＋70. 当t ＝4时，v ＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12×t ×3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋(t －10)×30＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝150＋300＋12×(t －20)×(－2t ＋70＋30)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s 随t 变化的规律是 s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2，t ∈[0，10]，30t －150，t ∈（10，20]，－t 2＋70t －550，t ∈（20，35].(3)当t ∈[0，10]时，s max ＝32×102＝150<650，当t ∈(10，20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，当t ∈(20，35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t ＝30或t ＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N 城．指数、对数函数模型(师生共研)(1)某公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2017年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是( )(参考数据：lg 1.1＝0.041，lg 2＝0.301) A ．2023年 B ．2024年 C ．2025年D ．2026年(2)里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．【解析】(1)设从2017年后，第x年该公司全年投入的研发资金为y万元，则y＝300×(1＋10%)x，依题意得，300×(1＋10%)x>600，即1.1x>2，两边取对数可得x>lg 2lg 1.1＝0.3010.041≈7.3，则x≥8，即该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是2025年．故选C.(2)M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，则9＝lg A1－lg A0＝lg A1 A0，则A1A0＝109，5＝lg A2－lg A0＝lgA2A0，则A2A0＝105，所以A1A2＝104.即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．【答案】(1)C(2)610 000指数型、对数型函数模型(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．(2)有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据值回答其实际意义．候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋b log3Q10(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a，b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ， 故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．数学建模——函数建模在实际问题中的妙用数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题．已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设该公司一年内共生产该款手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万只)的函数解析式；(2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．【解】 (1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40， 当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－40 000x－16x ＋7 360.所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40.(2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104， 所以W max ＝W (32)＝6 104；②当x >40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600， 当且仅当40 000x ＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W 取最大值为5 760.综合①②知，当x ＝32时，W 取最大值为6 104万美元．根据实际问题选择函数模型时应注意以下几点：(1)若能够根据实际问题作出满足题意的函数图象，可结合图象特征选择．(2)当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数模型y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 均为常数，a <0)；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数模型y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 均为常数，a >0)．(3)对数函数(底数大于1时)增长越来越慢，而指数函数(底数大于1时)增长越来越快．某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：Q 与上市时间t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t . 利用你选取的函数，求：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________；(2)最低种植成本是________元/100 kg.解析：因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t ＝60和t ＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c ，即Q ＝a (t －120)2＋m 描述，将表中数据代入可得⎩⎪⎨⎪⎧a （60－120）2＋m ＝116，a （100－120）2＋m ＝84，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.01，m ＝80，所以Q ＝0.01(t －120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg. 答案：(1)120 (2)80[基础题组练]1.如图，在不规则图形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把图形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分面积为y ，则y 关于x 的大致图象为( )解析：选D.因为左侧部分面积为y ，随x 的变化而变化，最初面积增加得快，后来均匀增加，最后缓慢增加，只有D 选项适合．2．某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C ，0<x ≤A ，C ＋B （x －A ），x >A .已知某家庭今年前四个月的煤气费如下表：月份 一月份 二月份 三月份 四月份 用气量/m 3 4 5 25 35 煤气费/元4414193A ．12.5元 B ．12元 C ．11.5元D ．11元解析：选 A.由题意得C ＝4.将(25，14)，(35，19)代入f (x )＝4＋B (x －A )，得⎩⎪⎨⎪⎧4＋B （25－A ）＝14，4＋B （35－A ）＝19，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝5，B ＝12.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0<x ≤5，4＋12（x －5），x >5.故当x ＝22时，f (22)＝12.5.故选A.3．成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设．已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处解析：选A.设仓库应建在离车站x 千米处．因为仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，所以令反比例系数为m (m >0)，则y 1＝m x .当x ＝10时，y 1＝m10＝2，所以m ＝20.因为每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，所以令正比例系数为n (n >0)，则y 2＝nx .当x ＝10时，y 2＝10n ＝8，所以n ＝45.所以两项费用之和为y ＝y 1＋y 2＝20x ＋4x5≥220x ·4x5＝8，当且仅当20x ＝4x5，即x ＝5时取等号．所以要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站5千米处．故选A.4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系为P ＝P 0e－kt(k ，P 0均为正的常数)．如果在前5小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是( )A.12小时 B.59小时 C ．5小时D ．10小时解析：选C.由题意，前5小时消除了90%的污染物．因为P ＝P 0e －kt ，所以(1－90%)P 0＝P 0e －5k ，所以0.1＝e －5k .设废气中污染物含量为1%所需过滤时间为t ，由1% P 0＝P 0e －kt ，即0.01＝e －kt ，得e －kt ＝(0.1)2＝(e －5k )2＝e －10k ，所以t ＝10，所以排放前至少还需过滤t －5＝5(小时)．故选C.5．(2019·河北武邑中学月考)已知某品牌商品靠广告宣传得到的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数且a >0)，广告效应为D ＝a A －A .那么对于此商品，精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)解析：由题意得D ＝a A －A ＝－⎝⎛⎭⎫A －a 22＋a 24，且A ≥0，所以当A ＝a 2，即A ＝a24时，D 最大．答案：a 246.某人准备购置一块占地1 800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如阴影部分所示)，大棚占地面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2，若要使S 最大，则y ＝____________．解析：由题意可得xy ＝1 800，b ＝2a ，则y ＝a ＋b ＋3＝3a ＋3，S ＝(x －2)a ＋(x －3)×b ＝(3x －8)a ＝(3x －8)×y －33＝1 808－3x －83y ＝1 808－3x －83×1 800x ＝1 808－⎝⎛⎭⎫3x ＋4 800x ≤1 808－23x ×4 800x ＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x ＝4 800x，即x ＝40时取等号，所以当S 取得最大值时，y ＝1 80040＝45.答案：457．声强级Y (单位：分贝)由公式Y ＝10lg ⎝⎛⎭⎫I10－12给出，其中I 为声强(单位：W/m 2)．(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m 2，求其声强级；(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？解：(1)当声强为10－6W/m 2时，由公式Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12得Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－610－12＝10lg 106＝60(分贝)．(2)当Y ＝0时，由公式Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12得10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12＝0.所以I 10－12＝1，即I ＝10－12W/m 2， 则最低声强为10－12W/m 2.8．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当4<x ≤20时，v是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年．(1)当0<x ≤20时，求函数v 关于x 的函数解析式；(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．解：(1)由题意得当0<x ≤4时，v ＝2； 当4<x ≤20时，设v ＝ax ＋b ， 显然v ＝ax ＋b 在(4，20]内是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝－18，b ＝52，所以v ＝－18x ＋52，故函数v ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0<x ≤4，－18x ＋52，4<x ≤20.(2)设年生长量为f (x )千克/立方米，依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0<x ≤4，－18x 2＋52x ，4<x ≤20，当0<x ≤4时，f (x )为增函数，故f (x )max ＝f (4)＝4×2＝8；当4<x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋252，f (x )max ＝f (10)＝12.5.所以当x ＝10时，f (x )的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．[综合题组练]1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况解析：选B.设该股民购进这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n＝a ×1.1n 元，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n＝0.99n ·a <a ，故该股民这支股票略有亏损．2．(创新型)我们定义函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)为“下整函数”；定义y ＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费为(单位：元)( )A ．2[x ＋1]B ．2([x ]＋1)C ．2{x }D ．{2x }解析：选C.如x ＝1时，应付费2元，此时2[x ＋1]＝4，2([x ]＋1)＝4，排除A ，B ；当x ＝0.5时，付费为2元，此时{2x }＝1，排除D ，故选C.3．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析：当t ＝0时，y ＝a ；当t ＝8时，y ＝a e －8b ＝12a ，故e －8b ＝12.当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案：164．(应用型)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为____________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)．解析：当0<x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x ＞20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *)．当0<x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x ＞20时，160－x <140，故x ＝16时取得最大年利润．答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *) 165．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到(15－0.1x )万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，所以每套丛书的供货价格为30＋105＝32(元)，故书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．(2)每套丛书售价定为x 元时，由⎩⎪⎨⎪⎧15－0.1x >0，x >0，得0<x <150.设单套丛书的利润为P 元，则P ＝x －(30＋1015－0.1x )＝x －100150－x －30，因为0<x <150，所以150－x >0，所以P ＝－[(150－x )＋100150－x ]＋120， 又(150－x )＋100150－x≥2（150－x ）·100150－x＝2×10＝20，当且仅当150－x ＝100150－x ，即x ＝140时等号成立，所以P max ＝－20＋120＝100.故每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，为100元．6．(综合型)某厂有一个容量300吨的水塔，每天从早六点到晚十点供应生活和生产用水，已知该厂生活用水每小时10吨，生产用水总量W (吨)与时间t (单位：小时，规定早晨六点时t ＝0)的函数关系为W ＝100t ，水塔的进水量有10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，进水量增加10吨．若某天水塔原有水100吨，在供应同时打开进水管，问该天进水量应选择几级，既能保证该厂用水(即水塔中水不空)，又不会使水溢出？解：设水塔进水量选择第n 级，在t 时刻水塔中的水容量y 等于水塔中的存水量100吨加进水量10nt 吨，减去生活用水10t 吨，再减去生产用水W ＝100t 吨，即y ＝100＋10nt －10t －100t (0<t ≤16)．若水塔中的水量既能保证该厂用水，又不会使水溢出，则一定有0<y ≤300，即0<100＋10nt －10t －100t ≤300，所以－10t ＋10t ＋1<n ≤20t ＋10t ＋1对一切t ∈(0，16]恒成立．因为－10t ＋10t ＋1＝－10⎝⎛⎭⎫1t －122＋72≤72， 20t ＋10t ＋1＝20⎝⎛⎭⎫1t ＋142－14≥194. 所以72<n ≤194，即n ＝4.即进水量应选择4级．。
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习第三章第九节函数模型及其应用pptx课件北师大版
x -300x+80 000,假设每处理一吨二氧化碳得到的化工产品的收入为200
2
元.
(1)该公司二氧化碳月处理量为多少吨时,每吨的平均月处理成本最低,最
低平均成本是多少?
(2)该公司利用这种技术处理二氧化碳的最大月收益是多少?(月收益=月收
入-月处理成本)
解 (1)设每吨的平均处理成本为t元,
由已知得
所以
t=
=
1 80 000
x+
-300,x∈[300,600].
2
1 80 000
1
80 000
t=2x+ -300≥2 2 · -300=2
1 80 000
x=
,即
2
40 000-300=100,当且仅当
x=400 时,等号成立.
故当二氧化碳月处理量为400吨时,每吨的平均月处理成本取得最低值100
益为282万元.
时,△AMN 的面积为
1
f(t)= ×2×[t-(2t-2)]=2-t;当
2
1
f(t)=2×2×[(2t-4)-(t-2)]=t-2;当
1
f(t)=2·
2t·
t=t2;当
1<t≤2
2<t≤3 时,△AMN 的面积为
3<t≤4 时,△AMN 的面积为
2 ,0 ≤ ≤ 1,
2-,1 < ≤ 2,
C.y=max+n(m>0,a>1)
D.y=mlogax+n(m>0,a>0,a≠1)
)
答案
B
解析 由函图象可知符合条件的只有指数函数模型,并且m>0,0<a<1,故
函数模型及其应用
必修1 第3章 函数的应用
3.2函数模型及其应用
函数模型 概念：函数模型就是用函数知识对日常生活中普
遍存在的成本最低、利润最高、产量最大、效益最 好、用料最省等实际问题进行归纳加工，建立相应 的目标函数，确定变量的取值范围，运用函数的方 法进行求解，最后用其解决实际问题。
数学建模： 数学建模就是通过建立实际问题的 ____________ 数学模型 来解决问题的方法．
D
2.某商品进货单价为40元，若销售价为50元，可卖 出50个，如果销售单价每涨1元，销售量就减少1个， 为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少 元？
解：设此商品的最佳售价应为x元，获得利润为y元． 由题意得y＝(x－40)[50－(x－50)] ＝(x－40)(100－x) ＝－x2＋140x－4 000 ＝－(x－70)2＋900， ∴当x＝70时，ymax＝900， 即此商品的最佳售价应为70元时获得的利润最大，最大利润为900 元．
分析：由已知利润＝总收入－总成本．由于R(x)是分段
函数，所以f(x)也要分段求出，分别求出f(x)在各段中的 最大值，通过比较Βιβλιοθήκη 就能确定f(x)的最大值．•
[解析] (1)设月产量为 x 台，则总成本为 20 000＋100x， 1 2 － x ＋300x－20 0000≤x≤400 ∴f(x)＝ 2 . 60 000－100xx>400
3. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元， 每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入满足 函数：
1 2 400x－ x 0≤x≤400 2 R(x)＝ ， 80 000x>400 其中 x 是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数 f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多 少元？
函数模型及其应用PPT教学课件
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元， 写出函数P＝f(x)的表达式．
分析 根据题意，每个零件的利润随订购量的多少而 变化，所以要按订购量的范围不同，分别确定总利润 的表达式，即分段表达，建立目标函数．依据函数解 析式，对各个问题分别求解．
2年后该城市人口总数为
y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%
100 (11.2%)2,
三年后该城市人口总数为 y 100 (11.2%)3, ... x年后该城市人口总数为 y 100 (11.2%)x , (2)十年后，人口数位 100 (11.2%)10 112.（7 万人）
解 (1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－ 115>0，解得x>2.3.∵x∈N*，∴x≥3， ∴3≤x≤6，x∈N*.
当x>6时，y＝[50－3(x－6)]x－115. 令[50－3(x－6)]x－115>0，有
3x2 68x 115 0 ，上述不等式的整数解为
2≤x≤20(x∈N*)，
荤菜和二蔬、菜认搭识配平；衡即膳保食持宝营塔养的平 衡
1、食物的酸碱性分类
（1）酸性食物：
食物的组成成分在人体内代 谢后生成酸性物质，使体液呈弱 酸性。这类食物在生理上称为成 酸性食物，习惯上称为酸性食物。
（如含蛋白质丰富的食物，经过人体 内消化、吸收后，最后氧化成酸，所以多 属于酸性食物。）
（2）碱性食物：
∴6<x≤20(x∈N*)
故y
3x
50x 115(3 x 2 68x 115(6
6, x N ), x 20, x N
),
函数模型及其应用几种不同增长的函数模型课件
03
工程学
在工程学中，对数增长函数可以用来描述某些物理量的变化过程。例如，
材料的疲劳寿命与应力之间的关系往往呈现出对数增长的趋势。
05
幂次增长函数模型
幂次增长函数定义与性质
定义：幂次增长函数是指形如 y = ax^m (a > 0, m ≠ 0) 的函数，其中 a 是常数，m 是实数。
性质
当 m > 0 时，函数在整个定义域内单 调递增；
性质
线性增长函数具有比例性、可加 性和可减性。即当自变量x增加或 减少一个单位时，函数值y按一定 比例增加或减少。
线性增长函数图像及特点
图像
线性增长函数的图像是一条直线， 斜率为k，截距为b。
直线性
图像是一条直线，表示函数值 随自变量变化而均匀变化。
比例性
图像上任意两点的纵坐标之差 与横坐标之差的比值相等，即 斜率k。
函数性质
包括单调性、奇偶性、周期性、连续性等。这些性质反映了函数图像的变化规律 和函数值的分布特征。
常见函数类型及图像
一次函数
形如$y=kx+b(k neq 0)$的函数。图像是 一条直线，斜率为$k$，截距为$b$。
三角函数
如正弦函数、余弦函数、正切函数等。它 们的图像分别是正弦曲线、余弦曲线和正 切曲线，具有周期性和对称性。
统计学
在统计学中，线性增长函数可用于进 行数据拟合和预测分析，如回归分析 中的线性回归模型。
03
指数增长函数模型
指数增长函数定义与性质
01
定义：指数增长函数是一种形如 y = a * b^x （其中 a ≠ 0， b > 1）的函数，表示自变量 x 的指数增长。
02
性质
函数模型及其应用+课件-2025届高三数学一轮复习
a
b
c
A.① B.①② C.①③ D.①②③
[解析] 由题图a,得进水的速度为1,出水的速度为2.在题图c中， 时到3时直线的斜率为2,即蓄水量每小时增加2, 只进水不出水（即两个进水口都进水）,故①一定正确;若不进水只出水1小时后,则蓄水量减少2,故②一定错误;若两个进水口和一个出水口同时打开,则蓄水量也可以保持不变,故③不一定正确.故选A.
［思路点拨］（1）根据与 的关系图可得正确的选项.
（2） 水池有两个相同的进水口和一个出水口,其进水量和出水量随时间的变化如图a, 所示,某天0时到6时该水池的蓄水量如图c所示,给出以下3个说法:①0时到3时只进水不出水;②3时到4时不进水只出水;③4时到5时不进水也不出水.则说法一定正确的是( )
，，为常数，且，
对数函数模型
，，为常数，且，
幂函数模型
，， 为常数，，
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 已知函数，，，则随着 的增大，增长速度的大小关系是_______________.（填关于，， 的关系式）
[解析] 根据指数函数、一次函数、对数函数的增长速度关系可得 .
2.［教材改编］ 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的矩形花园（阴影部分），则其中 的取值范围是_________.
［思路点拨］（2）蓄水量增加,说明进水速度大于出水速度,蓄水量减少,说明出水速度大于进水速度,再结合具体数据进行分析即可.
[总结反思]判断函数图象与实际问题变化过程是否相吻合时：首先要关注横轴与纵轴所表达的变量的实际意义;其次根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选出符合实际的答案.
高三数学函数模型及应用PPT优秀课件
双基回顾
1.某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑 步前进，跑累了再走余下的路程，下图中，纵轴 表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则
下列四个图形中较符合该学生的走法的是： D
2.某种放射性元素，100年后只剩原来 质量的一半，现有这种元素1克，三年 后剩下：D
2.解答数学应用题的关键有两点：
一是认真读题，缜密审题，确切理解题意， 明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、 概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；
二是要合理选取参变数，设定变元后， 就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的 代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、 方程、不等式等数学模型；最终求解数学模 型使实际问题获解.
单利问题：本金为P，期利率为r，经n期后 本利和为： P=（1+nr） ；
例4 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分 别为1万件、1.2万件、1.3万件。为了估计以后 每月的产量，以这三个月的产品数量为依据， 用一个函数来模拟该产品的月产量y与月份x的 关系，模拟函数可以选择二次函数或函数 y=a.bx+c（其中a,b,c为常数），已知4月份该 产品的产量为1.37万元，试问用以上哪个函数 作为模拟函数较好？并说明理由。
【解题回顾】看似繁杂的文字题，其背景不过是两个一次 函数，当然因x∈N*，故实际上是两个等差数列.
例3 截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今 后能将人口平均增长率控制在1%，经过x年后， 我国人口为y（亿）；
（1）求y与x的函数关系式y=f(x)； （2）求函数y=f(x)的定义域； （3）判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出
高中数学必修一3.2函数模型(共23张PPT)
解:每次过滤杂质含量降为原来的
2 3
,过滤n次后杂质含量
为 2%（ 2） n 2 (2)n
3 1003
结合按市场要求杂质含量不能超过0.1%，即可建立数学
模型．依题意，得 2(2)n 1 ,即 (2)n1
100 3 10003 20
例：某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%， 若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少 1 ，问至少应过 滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：lg2＝0.33010，lg3＝0.4771）
题型三、指数、对数型函数及直线函数模型的应用
例：三个变量y1、y2、y3随变量x的变化情况如下表：
x
y1
y2
y3
其中x呈对数函数型变化的变量是 y2 呈指数函数型变化的变量是 y3
，f(x)＝mlogax＋n ，f(x)＝abx＋c
呈直线函数型变化的变量是 y1 ． f(x)＝kx＋b
例：某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%， 若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少 1 ，问至少应过 滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：lg2＝0.33010，lg3＝0.4771）
2、建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量 的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函 数式，不要忘记考察函数的定义域；
3、求解函数模型：主要是计算函数的特殊值，研究函数的单调性，求函 数的值域、最大（小）值等，注意发挥函数图象的作用；
4、还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科又要符 合实际背景，因于解出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结 论，作出回答．
∴该函数在[20,30]上单调递减，即
幂函数模型及其应用.ppt
7.在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富， 企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万 元的优惠价格装让给了尚有5万元无息贷款没有偿还 的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中， 首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支 3600元后，逐步偿还转让费（不计息）。在甲提供 的资料有：①这种消费品的进价为每件14元；②该 店月销量Q(百件)与销售量价格P（元）的关系如图 所示；③每月需各种开支2000元。 （1）当商品的价格为每件 多少元时，月利润扣除职工 最低生活费的余额最大？并 求最大余额 （2）企业乙只依靠该店，最 早可望在几年后脱贫
2.分贝是计量声音强度相对大小的单位。物理学家引 入了声压级（spl）来描述声音的大小：把一个很小 的声压 帕作为参考声压，把所有要测量 的声压P与参考声压 的比值取常用对数后乘20得 到的数值称为声压级，声压级是听力学中最重要的 参数之一，单位是分贝（dB）。分贝值在60以下为 无害区，60—100为过渡区，100以上为有害区。 （1）根据上述材料，列出分贝y与声压P的函数关系式） （2）某地声压P=0.002帕，试问该地为以上所说的什 么区，声音环境是否优良？ （3）2012年春节晚会中，黄宏表演小品时，现场上想 起多次响亮的掌声，某报记者用仪器测量到最响亮 的一次因量达到了90分贝，是求此时中央电视台演 播大厅的声压是多少？
三、分段函数
5.某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，当该宾 馆的床价（即每张床每天的租金）不超过10元时， 床位可以全部租出，当床价高于10元时，每提高1元， 将有3张床位空闲，为了获得较好的效益，该宾馆要 给床位一个合适的价格，条件是：①要方便结账， 床价为1元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为 575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得 越多越好，若用x表示床价，用y表示该宾馆一天出 租床位的净收入（即除去每日的费用支出后的收入） （1）把y表示成x的函数，并求出其定义域； （2）试确定该宾馆将床位定价为多少时，既符合上面 的两个条件，又能使净收入最多？
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f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且 a≠1,b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
温馨提醒：解决实际应用问题的一般步骤： (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初 步 选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为 符 号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
【解】设可获得总利润为 R(x)万元， 则 R(x)＝40x－y＝40x－x52＋48x－8 000 ＝－x52＋88x－8 000 ＝－15(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)． ∵R(x)在[0，210]上是增函数，∴x＝210 时， R(x)有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.
近_平__行_
随n值变化而 不同
1．下列函数中，随 x 的增大，y 的增大速度最快的是( A )A． y＝ 11ຫໍສະໝຸດ 0exB．y＝100 ln x
C．y＝x100
D．y＝100·2x
2．(2013·高考湖北卷)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途 中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是( C )
∴年产量为 210 吨时，可获得最大利润 1 660 万元．
分段函数模型 经市场调查，某种商品在过去 50 天的销售量和价格 均为销售时间 t(天)的函数，且销售量近似地满足 f(t)＝－2t ＋200(1≤t≤50，t∈N)．前 30 天价格为 g(t)＝12t＋30(1≤t≤30， t∈N)，后 20 天价格为 g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)． (1)写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系；
5．某人去银行存款 a 万元，每期利率为 p，并按复利计息， 则存款 n(n∈N*)期后本利之和为_a_(_1_＋__p_)n_万元．
二次函数模型
某企业为打入国际市场，决定从 A，B 两种产品 中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有
关数据如表(单位：万美元)
项目 类别
A产品 B产品
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业
一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)＝12x2＋2x
＋20(万元)．一万件售价是 20 万元，为获取更大利润，该企
业一个月应生产该商品数量为( B )
A．36 万件
B．18 万件
C．22 万件
D．9 万件
4．某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费 (元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李 的质量最大为___1_9____kg.
(2)如何投资最合理(可获得最大年利润)？请你做出规划． [课堂笔记]
【解】(1)由年销售量为 x 件，按利润的计算公式，生产 A， B 两产品的年利润 y1，y2 分别为 y1＝10x－(20＋mx)＝(10－ m)x－20(x∈N，0≤x≤200)， y2＝18x－ (8x＋ 40)－0.05x2＝－ 0.05x2＋10x－ 40(x∈N， 0≤x≤120)． (2)因为 6≤m≤8，所以 10－m＞0，函数 y1＝(10－m)x－20 在 [0，200]上是增函数，所以当 x＝200 时，生产 A 产品有最 大利润，且 y1 max＝(10－m)×200－20＝1 980－200m(万美 元)．
又 y2＝－0.05(x－100)2＋460(x∈N，0≤x≤120)，
所以当 x＝100 时，生产 B 产品有最大利润，且 y2 max＝460(万 美元)． 因为 y1 max－y2 max＝1 980－200m－460
＞0，6≤m＜7.6， ＝1 520－200m＝0，m＝7.6，
＜0，7.6＜m≤8.
(2)有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利 润问题、产量问题等．构建二次函数模型，利用二次函数图 象与单调性解决．
1．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生 产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关系式可以近 似地表示为 y＝x52－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大 为 210 吨．若每吨产品平均出厂价为 40 万元，那么当年产 量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
基本初等函数、导数及其应用
函数模型及其应用
1．几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1， b≠0)
对数函数模型
所以当 6≤m＜7.6 时，可投资生产 A 产品 200 件； 当 m＝7.6 时，生产 A 产品或生产 B 产品均可(投资生产 A 产品 200 件或生产 B 产品 100 件)；
当 7.6＜m≤8 时，可投资生产 B 产品 100 件．
(1)在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函 数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于 0)或直 线下降(自变量的系数小于 0)，构建一次函数模型，利用一 次函数的图象与单调性求解．
年固定 成本
20 40
每件产品 成本
m 8
每件产品 每年最多可 销售价 生产的件数
10
200
18
120
其中年固定成本与年生产的件数无关，m 为待定常数，其值 由生产 A 产品的原材料价格决定，预计 m∈[6，8]．另外， 年销售 x 件 B 产品时需上交 0.05x2 万美元的特别关税．假设 生产出来的产品都能在当年销售出去． (1)写出该厂分别投资生产 A，B 两种产品的年利润 y1，y2 与 生产相应产品的件数 x 之间的函数关系并指明其定义域；
2．三种函数模型的性质比较
y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞) 上的单调性
单调递__增__函数
单调_递__增___函 单调_递__增___函
数
数
增长速度 越来越_快__ 越来越_慢___ 相对平稳
图象的 变化
随x值增大，图 象与__y__
轴接近平行
随x值增大， 图象与x轴接