函数模型及其应用-课件PPT
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函数的概念与基本初等函数函数模型及其应用课件文ppt
06
总结与展望
函数模型的重要性和应用前景
函数模型在各个领域 的应用广泛
无论是自然科学、社会科学还是工程 技术，函数模型都扮演着重要的角色 。
函数模型在数据处理 和分析中的重要性
通过函数模型可以对数据进行拟合、 预测和推断，进而为决策提供科学依 据。
函数模型在算法设计 和优化中的关键作用
函数模型可以描述算法的性能、复杂 度和精度，为算法优化提供基础。
化学反应
通过函数模型可以模拟化学反应的过程和能量变化 。
物理化学
用函数模型研究化学平衡、相变等。
函数模型在生物中的应用
细胞生物学
用函数模型描述细胞的结构和功能。
01
神经科学
通过函数模型研究神经元的电位变化 和信号传导。
02
03
遗传学
用函数模型分析基因序列和遗传变异 等。
函数模型在经济学中的应用
供需关系
例如，$y = x^2sin(x)$就是一个高阶函数，可以将其分解为$u = xsin(x)$和$y = u^2$两个基本初等函数或复合函数的嵌 套，然后分别求出它们的值，再结合得到$y$的值。
如何利用函数模型进行优化决策
01
利用函数模型进行优化决策
在实际应用中，我们常常需要通过建立数学模型来对实际问题进行抽
如何进一步提升函数模型的建模和应用能力
函数模型及其应用
选定初始区间 [a, b] 求区间 [a, b]的中点 x1 计算
f ( x1 )
是
f ( x1 ) 0
否
x1 是函数的零点
否
f (a) f ( x1 ) 0
是
零点x0 (a, x1 )，令b x1
零点x0 (aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x1 )，令b x1
否
| a b |
是
零点的近似值是 a或b
几种不同增长的函数模型
直线模型: 指数函数模型: 对数函数模型:
y kx b(k 0)
直线上升 指数爆炸
y bax c(a 0, a 1)
y m loga x n(a 0, a 1) 对数增长
在区间（ 0， ）上
(1)函数y a x (a 1), y loga x(a 1), y xn (n 0)的变化趋势: 总会存在一个 x0 ,当x x0时, 就有a x xn loga x
函数零点判断的方法
如果函数y f ( x)在区间 [a, b]上的图象是连续不断的 一条曲线，
f (a) f (b) 0
函数y f ( x)在区间(a, b)内有零点 即存在c (a, b), 使得f (c) 0 c也就是方程 f ( x) 0的实数根
利 用 二 分 法 求 方 程 实 数 解 的 过 程
函数模型及其应用(课件)
未考虑2－ 未考虑 －2x>0且1－ 且 － 2x>0.
题型三
指数函数、 指数函数、对数函数模型
例3 2009年10月1日，某城市现有人口总数 年 月 日 某城市现有人口总数100万， 万 如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题： 如果年自然增长率为 ，试解答下列问题： (1)写出该城市人口总数 万人 与年数 年)的函数关 写出该城市人口总数y(万人 与年数x(年 的函数关 写出该城市人口总数 万人)与年数 系式； 系式； (2)计算 年后该城市人口总数 精确到 万人 ． 计算10年后该城市人口总数 精确到0.1万人 计算 年后该城市人口总数(精确到 万人)． (1.01210＝1.127) 年后、 【思路点拨】 先写出 年后、2 思路点拨】 先写出1年后 年后、 年后的人口总数 写出y与 的 年后的人口总数→写出 年后、3年后的人口总数 写出 与x的 函数关系→计算求解 作答． 计算求解→作答 函数关系 计算求解 作答．
(1)求水箱容积的表达式 求水箱容积的表达式f(x)，并指出函数 求水箱容积的表达式 ，并指出函数f(x) 的定义域； 的定义域； (2)若要使水箱容积不大于 3立方米的同时， 若要使水箱容积不大于4x 若要使水箱容积不大于 立方米的同时， 又使得底面积最大，求x的值． 又使得底面积最大， 的值． 的值
基础知识梳理
(2)对数函数 ＝logax(a＞1)与 对数函数y＝ 对数函数 ＞ 与 幂函数y＝ 幂函数 ＝xn(n＞0) ＞ 对数函数y＝ 对数函数 ＝logax(a＞1)的增 ＞ 的增 长速度，不论a与 值的大小如何总 长速度，不论 与n值的大小如何总 会 慢于 y＝xn的增长速度，因而在 ＝ 的增长速度， 定义域内总存在一个实数x 定义域内总存在一个实数 0，使x ＜ ＞x0时有 logax＜xn .
函数模型及其应用
例2、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备
制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达 到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位： 万元)随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加， 但资金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的 25%。现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1， y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？
模型y=log7x+1
(1)、由函数图象可以看出，它在区间[10,1000]上 递增，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55<5, 所以它符合资金不超过5万元的要求。
(2)、再计算按模型y=log7x+1奖励时，资金是否不 超过利润的25%，即当x∈ [10,1000]时，是否有
25.6
9 40 0 90 10
102.4
51.2
…… … … …
…
…
30 40
0
300 10 214748364.8 107374182.4
图112-1
从每天的回报量来看：
第1~4天，方案一最多： 每5~8天，方案二最多： 第9天以后，方案三最多；
有人认为投资1~4 天选择方案一； 5~8天选择方案二； 9天以后选择方案
回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前
一天翻一番。
函数模型及其应用复习课件
等比数列通项公式
an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。该公式可用于求解等比数列中任意一 项的值。
等比数列求和公式
Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，其中Sn为前n项和，q≠1。当q=1时，Sn=n*a1。这些公式可用于 计算等比数列前n项的和。
数列求和与通项公式求解方法
、俯角等）
利用三角函数模型解决与长度 有关的问题（如距离、高度、
深度等）
05 数列模型及其应用
等差数列模型及应用
等差数列定义与性质
等差数列是一种常见数列，其任意两个相邻项之差为常数。 等差数列具有线性增长或减小的特点，广泛应用于实际问 题中。
等差数列通项公式
an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。该 公式可用于求解等差数列中任意一项的值。
一次函数
形如$y = kx + b$（$k neq 0$）的函数。图像是一条直线。
指数函数
形如$y = a^x$（$a > 0, a neq 1$）的函数。图像是一条 指数曲线。
三角函数
如正弦函数、余弦函数、正切 函数等。图像是周期性的波形 曲线。
函数运算与变换
四则运算
包括函数的加法、减法、乘法和 除法。通过这些运算可以构造更 复杂的函数模型。
经济学问题
二次函数可用于描述某些经济现象， 如收益最大化、成本最小化等。
an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。该公式可用于求解等比数列中任意一 项的值。
等比数列求和公式
Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，其中Sn为前n项和，q≠1。当q=1时，Sn=n*a1。这些公式可用于 计算等比数列前n项的和。
数列求和与通项公式求解方法
、俯角等）
利用三角函数模型解决与长度 有关的问题（如距离、高度、
深度等）
05 数列模型及其应用
等差数列模型及应用
等差数列定义与性质
等差数列是一种常见数列，其任意两个相邻项之差为常数。 等差数列具有线性增长或减小的特点，广泛应用于实际问 题中。
等差数列通项公式
an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。该 公式可用于求解等差数列中任意一项的值。
一次函数
形如$y = kx + b$（$k neq 0$）的函数。图像是一条直线。
指数函数
形如$y = a^x$（$a > 0, a neq 1$）的函数。图像是一条 指数曲线。
三角函数
如正弦函数、余弦函数、正切 函数等。图像是周期性的波形 曲线。
函数运算与变换
四则运算
包括函数的加法、减法、乘法和 除法。通过这些运算可以构造更 复杂的函数模型。
经济学问题
二次函数可用于描述某些经济现象， 如收益最大化、成本最小化等。
函数的应用_PPT课件
热
点
当 x∈(0,20)时，V′＞0；当 x∈(20,30)时，V′＜0.
考 向
聚
集
所以当 x＝20 时，V 取得极大值，也是最大值．
高
效
此时ha＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.
课 时 作 业
考
点
热点考向二 分段函数模型
自 主
整
合
分段函数 模型
分析题意， 建立模型
研究分段 函数性质
回答实际问题
效 课 时 作
业
＝－x52＋88x－8 000
＝－15(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)．
∵R(x)在[0,210]上是增函数，
∴x＝210 时，R(x)有最大值为
考
－15(210－220)2＋1 680＝1 660.
点 自 主 整
合
∴年产量为 210 吨时，可获得最大利润 1 660 万元．
向 聚
集
(1)证明：当 x≥7 时，掌握程度的增长量 f(x＋1)－f(x)总是下降；
高 效
课
(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为
时 作
业
(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识 6 次时，掌握程
度是 85%，请确定相关的学科．(已知 e0.05＝1.051 2)
11 第11讲 函数模型及其应用
第11讲 函数模型及其应用
1．几种常见的函数模型
常用知识拓展
“对勾”函数f (x )＝x ＋a
x
(a >0)的性质
(1)该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减． (2)当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ； 当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a .
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数增长比一次函数增长更快．( )
(2)在(0，＋∞)内，随着x 的增大，y ＝a x (a >1)的增长速度会超过并远远大于y ＝x α
(α>0)
的增长速度．( )
(3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√
下列函数中，随x 的增大，y 的增长速度最快的是( )
A ．y ＝1
100e x
B ．y ＝100 ln x
C ．y ＝x 100
D ．y ＝100·2x
答案：A
生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的
生产成本为C (x )＝1
2x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个
月应生产该商品数量为( )
A ．36万件
B ．18万件
C ．22万件
D ．9万件 解析：选B.设利润为L (x )，则利润L (x )＝20x －C (x )＝－1
2(x －18)2＋142，当x ＝18 时，
L (x )有最大值．
某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ，
高中数学课件：函数模型及其应用
的总费用最少．
[解题方略] 函数 y＝x＋ax(a>0)的性质
(1)该函数在(－∞，－ a]和[ a，＋∞]上单调递增，在[－ a， 0)和(0， a]上单调递减．
(2)当 x>0 时，函数在 x＝ a处取得最小值 2 a；当 x<0 时， 函数在 x＝－ a处取得最大值－2 a.
[提醒] 利用模型 f(x)＝ax＋bx求解最值时，要注意自变量的 取值范围，及取得最值时等号成立的条件．
解析：根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分 别代入函数关系式，
0.7＝9a＋3b＋c， 联立方程组得0.8＝16a＋4b＋c， 消去c化简得79aa0＋ ＋.5＝bb＝ ＝25－ 0a.1＋0，.35，b＋c解，得acb＝＝＝－－1.520，..2，
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－15t2－125t＋21265＋4156－2
解析：设毛利润为L(p)元， 则由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20) ＝(8 300－170p－p2)(p－20) ＝－p3－150p2＋11 700p－166 000， 所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700. 令L′(p)＝0， 解得p＝30或p＝－130(舍去)． 当p∈(0,30)时，L′(p)＞0， 当p∈(30，＋∞)时，L′(p)＜0， 故L(p)在p＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为 L(30)＝23 000.
高三数学函数模型及应用PPT优秀课件
单利问题：本金为P，期利率为r，经n期后 本利和为： P=（1+nr） ；
例4 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分 别为1万件、1.2万件、1.3万件。为了估计以后 每月的产量，以这三个月的产品数量为依据， 用一个函数来模拟该产品的月产量y与月份x的 关系，模拟函数可以选择二次函数或函数 y=a.bx+c（其中a,b,c为常数），已知4月份该 产品的产量为1.37万元，试问用以上哪个函数 作为模拟函数较好？并说明理由。
3.分析和解决函数应用题的思维过程：
实wk.baidu.com问题
抽象概括
函数模型
答
实际问题的解
推理演算
还原说明
函数模型得解
4.几类常见的与不同增长的函数有关函数模型 有：
（1）一次函数模型:y=kx+b （2）二次函数模型:y=ax2+bx+c （3）指数函数模型:y=abx+c （4）对数函数模型：y=mlogax+n （5）幂函数模型：y=axn+b
A.30.5克 B .（ 1 0 .5 % ） 3 克
100
C.0.925克 D.1000.125克
3.某商场出售甲、乙两种不同价格的电脑，其中 甲电脑供不应求，连续两次提价10%，而乙电 脑由于外观原因连续两次降价10%，最后甲乙 两台电脑均以9801元售出，若商场同时售出
例4 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分 别为1万件、1.2万件、1.3万件。为了估计以后 每月的产量，以这三个月的产品数量为依据， 用一个函数来模拟该产品的月产量y与月份x的 关系，模拟函数可以选择二次函数或函数 y=a.bx+c（其中a,b,c为常数），已知4月份该 产品的产量为1.37万元，试问用以上哪个函数 作为模拟函数较好？并说明理由。
3.分析和解决函数应用题的思维过程：
实wk.baidu.com问题
抽象概括
函数模型
答
实际问题的解
推理演算
还原说明
函数模型得解
4.几类常见的与不同增长的函数有关函数模型 有：
（1）一次函数模型:y=kx+b （2）二次函数模型:y=ax2+bx+c （3）指数函数模型:y=abx+c （4）对数函数模型：y=mlogax+n （5）幂函数模型：y=axn+b
A.30.5克 B .（ 1 0 .5 % ） 3 克
100
C.0.925克 D.1000.125克
3.某商场出售甲、乙两种不同价格的电脑，其中 甲电脑供不应求，连续两次提价10%，而乙电 脑由于外观原因连续两次降价10%，最后甲乙 两台电脑均以9801元售出，若商场同时售出
函数模型及其应用PPT教学课件
2
1 2
x2
4.75x
0.5(0
x
5),
12 0.25x(x 5),
(2) ①当0≤x≤5时，
y 1 x2 4.75x 0.5, 2
当x
4.75 2( 1)
4.75(百台)时，ymax
10.78125(万元)；
2
②当x＞5(百台)时，y＜12－0.25×5＝10.75(万元)．
所以当生产475台时，利润最大．
次函数模型、二次函数模型、正比例函数模型、反 比例函数模型等．
(5)“对勾”函数模型：形如 f (x) x a (a＞0，x
x
＞0)的函数模型，在现实生活中有着广泛的应用， 常利用“基本不等式”求最值，有时也利用导数研 究其单调性来求最值． 2．解决函数应用问题的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量 关系，恰当选择数学模型；
对此产品的需要量为500件，销售收入为函数
R(x) 5x x2 (0 x 5)，其中x是产品售出的数量(单
2
位：百件)．
(1)把利润表示为当年产量的函数f(x)；
(2)年产量是多少时，当年公司所得到的利润最大？
错解 (1)设年产量为x百件，
所以f (x) 5x x2 (0.5 0.25x). 2
第六节 函数模型及其应用
一次函数、二次函数模型的应用
高考数学 第9节 函数模型及其应用课件
则yx＝x5＋80x00－48≥2 x5·80x00－48＝32， 将平均成本表示为关于x的函数，
用基本不等式求最值 当且仅当5x＝80x00，即 x＝200 时取等号．
检验等号是否成立，体现用
基本不等式求最值的前提条件 ∴年产量为 200 吨时，每吨平均成本最低为 32 万元． 将数学问题还原回实际问题
解析：设这个人的稿费为x元，显然800＜x≤4000， 否则若x≤800，则不纳税， 若x>4000，则纳税额应大于4000×11%＝440元，不合题意． 因此有(x－800)×14%＝420， 解得x＝3800.
4．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2009年产生的垃圾量为a t，由 此预测，该区下一年的垃圾量为______ t,2014年的垃圾量为______ t.
24x－9.6，
0≤x≤45， 45<x≤34，
4 x>3.
(2)令 y＝f(x)，由于 y＝f(x)在各段区间上均单调递增， 当 x∈[0，45]时，y≤f(45)<26.4； 当 x∈(45，43]时，y≤f(43)<26.4 当 x∈(43，＋∞)时，令 24x－9.6＝26.4，解得 x＝1.5. 所以甲户用水量为 5x＝7.5 吨， 付费 4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)； 乙户用水量为 3x＝4.5 吨， 付费 4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．
用基本不等式求最值 当且仅当5x＝80x00，即 x＝200 时取等号．
检验等号是否成立，体现用
基本不等式求最值的前提条件 ∴年产量为 200 吨时，每吨平均成本最低为 32 万元． 将数学问题还原回实际问题
解析：设这个人的稿费为x元，显然800＜x≤4000， 否则若x≤800，则不纳税， 若x>4000，则纳税额应大于4000×11%＝440元，不合题意． 因此有(x－800)×14%＝420， 解得x＝3800.
4．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2009年产生的垃圾量为a t，由 此预测，该区下一年的垃圾量为______ t,2014年的垃圾量为______ t.
24x－9.6，
0≤x≤45， 45<x≤34，
4 x>3.
(2)令 y＝f(x)，由于 y＝f(x)在各段区间上均单调递增， 当 x∈[0，45]时，y≤f(45)<26.4； 当 x∈(45，43]时，y≤f(43)<26.4 当 x∈(43，＋∞)时，令 24x－9.6＝26.4，解得 x＝1.5. 所以甲户用水量为 5x＝7.5 吨， 付费 4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)； 乙户用水量为 3x＝4.5 吨， 付费 4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．
函数模型及其应用几种不同增长的函数模型课件
统计学
在统计学中，线性增长函数可用于进 行数据拟合和预测分析，如回归分析 中的线性回归模型。
03
指数增长函数模型
指数增长函数定义与性质
01
定义：指数增长函数是一种形如 y = a * b^x （其中 a ≠ 0， b > 1）的函数，表示自变量 x 的指数增长。
02
性质
03
底数 b 大于 1，表示函数是增长的；
对数增长函数应用举例
01
生物学
在生物学中，对数增长函数常被用来描述生物种群的增长过程。例如，
细菌在适宜的环境条件下会以对数形式增长，其数量在短时间内迅速增
加。
02
经济学
在经济学中，对数增长函数可以用来描述某些经济指标的增长趋势。例
如，人均GDP的增长往往呈现出先快后慢的特点，可以用对数增长函数
进行拟合和预测。
对数函数
形如$y=log_a x(a>0,a neq 1)$的函数。 图像是一条从点$(1,0)$出发的对数曲线， 当$a>1$时曲线上升，当$0<a<1$时曲 线下降。
二次函数
形如$y=ax^2+bx+c(a neq 0)$的函数。 图像是一条抛物线，对称轴为$x=frac{b}{2a}$，顶点坐标为$left(frac{b}{2a},c-frac{b^2}{4a}right)$。
第九节 函数模型及其应用
10
A.240吨 B.200吨 C.180吨 D.160吨
答案 B 依题意,得每吨的成本为 y = x + 4 000 -30,则 y ≥2 x 4 000 -
x 10 x
x
10 x
30=10,
当且仅当 x = 4 000 ,即x=200时取等号,
10 x
因此,当每吨成本最低时,年产量为200吨.
y=xα(α>0) ③ 增函数
增长速度
④ 越来越快
⑤ 越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x增大逐渐表现为与 ⑥ y轴 平行
随x增大逐渐表现为与 随α值变化而不同 ⑦ x轴 平行
值的比较
存在一个x0,当x>x0时,有logax<xα<ax
3.解函数应用题的步骤(四步八字)
(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;
从而有y= 1 (3x2-3x+300)+200×1.8= 300 +3x+357≥417,当且仅当 300 =3x,
x
x
x
即x=10时,y有最小值.故该场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的
总费用最少.
栏目索引
方法指导 应用函数f(x)=ax+ b 模型的关键点
x
(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b 叠加而成的.
A.240吨 B.200吨 C.180吨 D.160吨
答案 B 依题意,得每吨的成本为 y = x + 4 000 -30,则 y ≥2 x 4 000 -
x 10 x
x
10 x
30=10,
当且仅当 x = 4 000 ,即x=200时取等号,
10 x
因此,当每吨成本最低时,年产量为200吨.
y=xα(α>0) ③ 增函数
增长速度
④ 越来越快
⑤ 越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x增大逐渐表现为与 ⑥ y轴 平行
随x增大逐渐表现为与 随α值变化而不同 ⑦ x轴 平行
值的比较
存在一个x0,当x>x0时,有logax<xα<ax
3.解函数应用题的步骤(四步八字)
(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;
从而有y= 1 (3x2-3x+300)+200×1.8= 300 +3x+357≥417,当且仅当 300 =3x,
x
x
x
即x=10时,y有最小值.故该场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的
总费用最少.
栏目索引
方法指导 应用函数f(x)=ax+ b 模型的关键点
x
(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b 叠加而成的.
函数模型及其应用_课件12
│ 要点探究
[点评] 以函数图象给出关系式的应用问题，先 利用图象形状确定函数的类型，然后利用待定系数 法求解；函数应用问题中，已知的等量关系也是解 题的依据，它们常用来构造函数关系．
│ 要点探究
例 2 学生学习的主要时间集中在课堂，因此如何让课堂成 为更为高效课堂，是所有教师教学生涯追求的目标．经过研究发 现，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时， 学生的学习兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想 的状态，随后学生的注意力开始分散，设 f(t)表示学生注意力随 时间 t(分钟)的变化规律(f(t))(越大，表示学生注意力越集中)，经 过调查研究分析其关系式近似为
│ 要点探究
[解答] (1)由图象可知：直线 OA 所在的方程为 y＝3x， 当 t＝4 时，v＝3×4＝12，∴s＝12×4×12＝24.
(2)当 0≤t≤10 时，s＝12·t·3t＝32t2， 当 10＜t≤20 时，s＝12×10×30＋30(t－10)＝30t－150； 当 20＜t≤35 时，s＝12×10×30＋10×30＋(t－20)×30－ 12×(t－20)×2(t－20)＝－t2＋70t－550.
│ 要点探究
32t2，t∈0，10， 综上可知 s＝30t－150，t∈10，20，
－t2＋70t－550，t∈20，35.
(3)当 t∈[0,10]时，smax＝32×102＝150＜650； 当 t∈(10,20]时，smax＝30×20－150＝450＜650. 当 t∈(20,35]时，令－t2＋70t－550＝650. 解得 t1＝30，t2＝40， ∵20＜t≤35，∴t＝30， ∴沙尘暴发生 30 h 后将侵袭到 N 城．
高二数学课件：第二章 第十节 函数模型及其应用
x 8(0＜x 4) 【解析】(1)当m=4时，y=4f(x)= 24 (x＞4) x 2
当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化.
(3)某种电热水器的水箱盛满水是200 L，加热到一定温度，即
可用来洗浴.洗浴时，已知每分钟放水34 L，若放水t分钟时，
同时自动注水总量为2t2 L.当水箱内的水量达到最少时，放水
程序自动停止，现假定每人洗浴用水量为65 L，则该热水器一
次至多可供____人洗浴.
【解析】(1)设每年的冰雪覆盖面积与上一年的比为a,则由题
如图：
【变式训练】某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到 了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净 化水质.已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中 释放的浓度y(毫克/升)满足y=mf(x)，其中
x 2(0＜x 4) 4 f x , 当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升) 6 (x＞4) x 2
燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表
示为( )
【解析】选B.依题设可知，蜡烛高度h与燃烧时间t之间构成一
次函数关系，又≧函数图象过点(0，20)、(4，0)两点，且该 图象为一条线段，≨选B.
热点考向 2
分段函数模型
【方法点睛】
1.解函数应用问题的步骤(四步八字)
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(2)如何投资最合理(可获得最大年利润)？请你做出规划． [课堂笔记]
【解】(1)由年销售量为 x 件，按利润的计算公式，生产 A， B 两产品的年利润 y1，y2 分别为 y1＝10x－(20＋mx)＝(10－ m)x－20(x∈N，0≤x≤200)， y2＝18x－ (8x＋ 40)－0.05x2＝－ 0.05x2＋10x－ 40(x∈N， 0≤x≤120)． (2)因为 6≤m≤8，所以 10－m＞0，函数 y1＝(10－m)x－20 在 [0，200]上是增函数，所以当 x＝200 时，生产 A 产品有最 大利润，且 y1 max＝(10－m)×200－20＝1 980－200m(万美 元)．
基本初等函数、导数及其应用
函数模型及其应用
1．几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1， b≠0)
对数函数模型
2．三种函数模型的性质比较
y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞) 上的单调性
单调递__增__函数
单调_递__增___函 单调_递__增___函
数
数
增长速度 越来越_快__ 越来越_慢___ 相对平稳
图象的 变化
随x值增大，图 象与__y__
轴接近平行
随x值增大， 图象与x轴接
5．某人去银行存款 a 万元，每期利率为 p，并按复利计息， 则存款 n(n∈N*)期后本利之和为_a_(_1_＋__p_)n_万元．
二次函数模型
某企业为打入国际市场，决定从 A，B 两种产品 中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有
关数据如表(单位：万美元)
项目 类别
A产品 B产品
∴年产量为 210 吨时，可获得最大利润 1 660 万元．
分段函数模型 经市场调查，某种商品在过去 50 天的销售量和价格 均为销售时间 t(天)的函数，且销售量近似地满足 f(t)＝－2t ＋200(1≤t≤50，t∈N)．前 30 天价格为 g(t)＝12t＋30(1≤t≤30， t∈N)，后 20 天价格为 g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)． (1)写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系；
【解】设可获得总利润为 R(x)万元， 则 R(x)＝40x－y＝40x－x52＋48x－8 000 ＝－x52＋88x－8 000 ＝－15(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)． ∵R(x)在[0，210]上是增函数，∴x＝210 时， R(x)有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.
年固定 成本
20 40
每件产品 成本
m 8
每件产品 每年最多可 销售价 生产的件数
10
200
18
120
其中年固定成本与年生产的件数无关，m 为待定常数，其值 由生产 A 产品的原材料价格决定，预计 m∈[6，8]．另外， 年销售 x 件 B 产品时需上交 0.05x2 万美元的特别关税．假设 生产出来的产品都能在当年销售出去． (1)写出该厂分别投资生产 A，B 两种产品的年利润 y1，y2 与 生产相应产品的件数 x 之间的函数关系并指明其定义域；
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且 a≠1,b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
温馨提醒：解决实际应用问题的一般步骤： (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初 步 选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为 符 号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
所以当 6≤m＜7.6 时，可投资生产 A 产品 200 件； 当 m＝7.6 时，生产 A 产品或生产 B 产品均可(投资生产 A 产品 200 件或生产 B 产品 100 件)；
当 7.6＜m≤8 时，可投资生产 B 产品 100 件．
(1)在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函 数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于 0)或直 线下降(自变量的系数小于 0)，构建一次函数模型，利用一 次函数的图象与单调性求解．
(2)有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利 润问题、产量问题等．构建二次函数模型，利用二次函数图 象与单调性解决．
1．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生 产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关系式可以近 似地表示为 y＝x52－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大 为 210 吨．若每吨产品平均出厂价为 40 万元，那么当年产 量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业
一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)＝12x2＋2x
＋20(万元)．一万件售价是 20 万元，为获取更大利润，该企
业一个月应生产该商品数量为( B )
A．36 万件
B．18 万件
Leabharlann Baidu
C．22 万件
D．9 万件
4．某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费 (元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李 的质量最大为___1_9____kg.
近_平__行_
随n值变化而 不同
1．下列函数中，随 x 的增大，y 的增大速度最快的是( A )
A． y＝ 1100ex
B．y＝100 ln x
C．y＝x100
D．y＝100·2x
2．(2013·高考湖北卷)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途 中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是( C )
又 y2＝－0.05(x－100)2＋460(x∈N，0≤x≤120)，
所以当 x＝100 时，生产 B 产品有最大利润，且 y2 max＝460(万 美元)． 因为 y1 max－y2 max＝1 980－200m－460
＞0，6≤m＜7.6， ＝1 520－200m＝0，m＝7.6，
＜0，7.6＜m≤8.
【解】(1)由年销售量为 x 件，按利润的计算公式，生产 A， B 两产品的年利润 y1，y2 分别为 y1＝10x－(20＋mx)＝(10－ m)x－20(x∈N，0≤x≤200)， y2＝18x－ (8x＋ 40)－0.05x2＝－ 0.05x2＋10x－ 40(x∈N， 0≤x≤120)． (2)因为 6≤m≤8，所以 10－m＞0，函数 y1＝(10－m)x－20 在 [0，200]上是增函数，所以当 x＝200 时，生产 A 产品有最 大利润，且 y1 max＝(10－m)×200－20＝1 980－200m(万美 元)．
基本初等函数、导数及其应用
函数模型及其应用
1．几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1， b≠0)
对数函数模型
2．三种函数模型的性质比较
y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞) 上的单调性
单调递__增__函数
单调_递__增___函 单调_递__增___函
数
数
增长速度 越来越_快__ 越来越_慢___ 相对平稳
图象的 变化
随x值增大，图 象与__y__
轴接近平行
随x值增大， 图象与x轴接
5．某人去银行存款 a 万元，每期利率为 p，并按复利计息， 则存款 n(n∈N*)期后本利之和为_a_(_1_＋__p_)n_万元．
二次函数模型
某企业为打入国际市场，决定从 A，B 两种产品 中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有
关数据如表(单位：万美元)
项目 类别
A产品 B产品
∴年产量为 210 吨时，可获得最大利润 1 660 万元．
分段函数模型 经市场调查，某种商品在过去 50 天的销售量和价格 均为销售时间 t(天)的函数，且销售量近似地满足 f(t)＝－2t ＋200(1≤t≤50，t∈N)．前 30 天价格为 g(t)＝12t＋30(1≤t≤30， t∈N)，后 20 天价格为 g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)． (1)写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系；
【解】设可获得总利润为 R(x)万元， 则 R(x)＝40x－y＝40x－x52＋48x－8 000 ＝－x52＋88x－8 000 ＝－15(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)． ∵R(x)在[0，210]上是增函数，∴x＝210 时， R(x)有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.
年固定 成本
20 40
每件产品 成本
m 8
每件产品 每年最多可 销售价 生产的件数
10
200
18
120
其中年固定成本与年生产的件数无关，m 为待定常数，其值 由生产 A 产品的原材料价格决定，预计 m∈[6，8]．另外， 年销售 x 件 B 产品时需上交 0.05x2 万美元的特别关税．假设 生产出来的产品都能在当年销售出去． (1)写出该厂分别投资生产 A，B 两种产品的年利润 y1，y2 与 生产相应产品的件数 x 之间的函数关系并指明其定义域；
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且 a≠1,b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
温馨提醒：解决实际应用问题的一般步骤： (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初 步 选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为 符 号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
所以当 6≤m＜7.6 时，可投资生产 A 产品 200 件； 当 m＝7.6 时，生产 A 产品或生产 B 产品均可(投资生产 A 产品 200 件或生产 B 产品 100 件)；
当 7.6＜m≤8 时，可投资生产 B 产品 100 件．
(1)在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函 数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于 0)或直 线下降(自变量的系数小于 0)，构建一次函数模型，利用一 次函数的图象与单调性求解．
(2)有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利 润问题、产量问题等．构建二次函数模型，利用二次函数图 象与单调性解决．
1．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生 产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关系式可以近 似地表示为 y＝x52－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大 为 210 吨．若每吨产品平均出厂价为 40 万元，那么当年产 量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业
一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)＝12x2＋2x
＋20(万元)．一万件售价是 20 万元，为获取更大利润，该企
业一个月应生产该商品数量为( B )
A．36 万件
B．18 万件
Leabharlann Baidu
C．22 万件
D．9 万件
4．某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费 (元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李 的质量最大为___1_9____kg.
近_平__行_
随n值变化而 不同
1．下列函数中，随 x 的增大，y 的增大速度最快的是( A )
A． y＝ 1100ex
B．y＝100 ln x
C．y＝x100
D．y＝100·2x
2．(2013·高考湖北卷)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途 中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是( C )
又 y2＝－0.05(x－100)2＋460(x∈N，0≤x≤120)，
所以当 x＝100 时，生产 B 产品有最大利润，且 y2 max＝460(万 美元)． 因为 y1 max－y2 max＝1 980－200m－460
＞0，6≤m＜7.6， ＝1 520－200m＝0，m＝7.6，
＜0，7.6＜m≤8.