课堂新坐标高中数学第1章3绝对值不等式的解法北师大版选修4_3

－ 2x＋ 6，x≤ 2， 【解】 (1)当 a＝ 2 时， f(x)＋ | x－4| ＝ 2， 2< x<4 ，
2x－ 6，x≥4.
当 x≤ 2 时，由 f (x)≥ 4－ | x－ 4| ，得－ 2x＋ 6≥ 4，解得 x≤ 1； 当 2< x<4 时， f(x)≥ 4－ | x－4| 无解； 当 x≥ 4 时，由 f (x)≥ 4－ | x－ 4| ，得 2x－ 6≥ 4，解得 x≥5. 所以 f (x)≥ 4－ | x－ 4| 的解集为
A． { x| － 3≤ x≤ 2 或 4≤ x≤ 9}
B． { x| － 3≤ x≤ 9}
C． { x| － 1≤ x≤2}
D． { x|4 ≤ x≤ 9}
【解析】 化为 1≤ x－ 3≤6 或－ 6≤ x－ 3≤－ 1，
即 4≤ x≤ 9 或－ 3≤ x≤ 2，故选 A.
【答案】 A
x
x
2．不等式 2－ x > 2－ x的解集是 ( )
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【课堂新坐标】 2016-2017学年高中数学 第 1 章 不等关系与基本不
等式 学业分层测评 3 绝对值不等式的解法 北师大版选修 4-5
(建议用时： 45 分钟 )
学业达标 ]
一、选择题
1．不等式 1≤ | x－ 3| ≤ 6 的解集是 ( )
1 － x－ 5， x< － ，
2
1
1
9
9
x＝－ 2时， f (x)]min＝ f － 2 ＝－ 2，∴ m≤－ 2.
【答案】 C
2．设集合 A＝ { x|| x－a| ＜1， x∈R} ， B＝ { x|| x－ b| ＞ 2， x∈R} ．若 A? B，则实数 a，
b 必满足 ( )
A． | a＋ b| ≤ 3
能力提升 ]
1．若不等式 |2 x＋ 1| － | x－4| ≥m 恒成立，则实数 m 的取值范围为 ( )
A．(－∞，－ 1]
5 B． －∞，－ 2
9 C. －∞，－ 2
D ． (－∞，－ 5]
【解析】 令 f(x)＝ |2 x＋ 1| － | x－ 4|
x＋ 5， x≥ 4，
1 ＝ 3x－ 3，－ 2≤ x<4 ，
解得 9≤ x≤ 10；
②当 10＜ x＜ 20 时，不等式组 (*)化为 4(x－ 10)＋ 6(20－ x)≤ 70，
解得 10< x＜ 20；
③当 20≤ x≤ 30 时，不等式组 (*)化为 4(x－ 10)＋ 6(x－ 20)≤ 70，
解得 20≤ x≤ 23.
综合①②③知， x 的取值范围是 9≤ x≤ 23.
【答案】 D
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4．设变量 x，y 满足 | x| ＋ | y| ≤1，则 x＋ 2y 的最大值和最小值分别为 ( )
A． 1，－ 1
B． 2，－ 2
C． 1，－ 2
D ． 2，－ 1
【解析】 | x| ＋ | y| ≤ 1 表示的平面区域如图中阴影部分所示．
{ x| x≤1或 x≥ 5} .
(2)记 h(x)＝ f (2x＋ a)－ 2f(x)，
－ 2a， x≤ 0， 则 h(x)＝ 4x－ 2a， 0< x< a，
2a，x≥a.
a－ 1
a＋ 1
由 | h(x)| ≤ 2，解得
2
≤ x≤
. 2
又已知 | h(x)| ≤2 的解集为 { x|1 ≤ x≤ 2} ，
－ 2x＋ 5， x≤ 2， 【解】 (1)当 a＝－ 3 时， f(x)＝ 1， 2< x<3 ，
2x－ 5， x≥ 3.
当 x≤ 2 时，由 f (x)≥ 3，得－ 2x＋ 5≥ 3，解得 x≤1； 当 2< x<3 时， f(x)≥ 3 无解； 当 x≥ 3 时，由 f (x)≥ 3，得 2x－ 5≥ 3，解得 x≥ 4. 所以 f (x)≥ 3 的解集为 { x| x≤ 1 或 x≥ 4} ． (2)f(x)≤ | x－ 4| ? | x－ 4| － | x－ 2| ≥| x＋a|. 当 x∈ 1,2]时， | x－ 4| － | x－2| ≥ | x＋a| ? 4－ x－ (2－ x)≥| x＋ a| ? － 2－ a≤ x≤ 2－ a. 由条件得－ 2－ a≤ 1 且 2－ a≥ 2，即－ 3≤a≤0. 故满足条件的 a 的取值范围为－ 3,0]． 10．如图 1-2-1 所示， O 为数轴的原点， A，B，M 为数轴上三点， C 为线段 OM 上的动 点．设 x 表示 C 与原点的距离， y 表示 C 到 A 距离的 4 倍与 C 到 B 距离的 6 倍的和． (1)将 y 表示为 x 的函数； (2)要使 y 的值不超过 70， x 应该在什么范围内取值？
图 1-2-1 【解】 (1)依题意 y＝4| x－10| ＋ 6| x－ 20|,0 ≤x≤ 30.
4| x－10| ＋ 6| x－ 20| ≤70，
(2)由题意， x 满足
(*)
0≤ x≤30，
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①当 0≤ x≤ 10 时，不等式组 (*)化为 4(10－ x)＋ 6(20－ x)≤ 70，
1
1
1
∴ Δ＝ 12－ 4
a－ 4 ＋ | a|
≥0，即
a－ 4
＋ | a| ≤ .根据绝对值的几何意义，知 4
1 0≤ a≤ .
4
【答案】
1 0， 4
4．已知函数 f (x)＝ | x－a| ，其中 a>1. (1)当 a＝ 2 时，求不等式 f(x)≥ 4－ | x－ 4| 的解集；
(2)已知关于 x 的不等式 | f(2x＋ a)－ 2f(xபைடு நூலகம்| ≤ 2 的解集为 { x|1 ≤ x≤ 2} ，求 a 的值．
B． | a＋ b| ≥3
C． | a－ b| ≤ 3
D ． | a－ b| ≥ 3
【解析】 由 | x－ a| ＜ 1，得 a－ 1＜ x＜ a＋ 1.
由 | x－ b| ＞ 2，得 x＜ b－ 2 或 x＞ b＋ 2.
∵ A? B，∴ a－ 1≥ b＋ 2 或 a＋ 1≤ b－ 2， 即 a－ b≥ 3 或 a－ b≤－ 3，∴ | a－b| ≥ 3.
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所以
a－ 1 2 ＝ 1，
a＋ 1 2 ＝ 2，
于是 a＝ 3
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解得－ 1≤ x≤ 2，即解集为－ 1,2]．
【答案】 － 1,2]
7．不等式 | x＋1| －| x－ 3| ≥ 0 的解集是 ________．
【解析】 法一：不等式等价转化为 | x＋ 1| ≥ | x－ 3| ， 两边平方得 (x＋ 1)2≥ (x－3)2，解得 x≥ 1，
故不等式的解集为 1，＋∞ )．
【导学号： 94910009】
A．(0,2)
B． (－ 2,0)∪ (2,4)
C． (－ 4,0)
D ． (－ 4，－ 2)∪ (0,2)
【解析】 由 1＜ | x＋ 1| ＜3，得
1＜ x＋ 1＜ 3 或－ 3＜x＋1＜－ 1，
∴ 0＜ x＜ 2 或－ 4＜ x＜－ 2.
∴不等式的解集为 (－ 4，－ 2)∪(0,2)．
A． { x|0< x<2}
B． { x| x<0 或 x>2}
C． { x| x<0}
D ． { x| x>2}
x 【解析】 原不等式可化为 2－x<0，即 x(x－ 2)>0 ，
∴ x>2 或 x<0 ，解集为 { x| x>2 或 x<0} ．
【答案】 B
3．不等式 1＜ | x＋ 1| ＜ 3 的解集为 ( )
法二： 不等式等价转化为 | x＋ 1| ≥ | x－ 3| ，根据绝对值的几何意义可得数轴上点 x 到点
－1 的距离大于等于到点 3 的距离，到两点距离相等时 x＝ 1，故不等式的解集为 1，＋∞ )．
【答案】 1，＋∞ )
8．若关于实数 x 的不等式 | x－ 5| ＋ | x＋ 3|< a 无解，则实数 a 的取值范围是 ________．
【解析】 ∵ | x－ 5| ＋| x＋3|
＝ |5 － x| ＋ | x＋ 3| ≥ |5 － x＋ x＋ 3| ＝ 8，
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∴ (| x－ 5| ＋ | x＋ 3|) min ＝ 8， 要使 | x－5| ＋| x＋3|< a无解，只需 a≤8. 【答案】 (－∞， 8] 三、解答题 9．已知函数 f (x)＝ | x＋a| ＋| x－ 2|. (1)当 a＝－ 3 时，求不等式 f(x)≥3 的解集； (2)若 f(x)≤ | x－ 4| 的解集包含 1,2]，求 a的取值范围．
A． 0
B．1
C．－ 1
D．2
【解析】 由于 | x－2| ＋ | x－ a| ≥ | a－ 2| ，
∴等价于 | a－ 2| ≥ a，即 a≤ 1.
故实数 a 的最大值为 1.
【答案】 B
二、填空题
6．不等式 |2 x－ 1| ≤ 3 的解集为 ________．
【解析】 由 |2 x－ 1| ≤ 3，得－ 3≤ 2x－ 1≤ 3，
【答案】 D
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