2009年浙江省数学高考文科试题第21题引起的思考
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（ ） 题 多 变 式 ： 一 个 题 目出 发 ， １一 从 由简 单 到
力， 考素质 ， 考潜能 ” 的高考宗 旨， 是一道 好题． 从 考生的答题情况看 ， （ ） 第 １ 小题没有太 大 的障碍 ，
容 易得 出 ｂ＝ 口＝ 一 ０， ３或 口＝１ 对 第 （ ） 题 ， ． ２小 学
６口ｂ （ ， ＥＲ） ．
可 以从数（ 函数解析式 ） 形 （ 、 函数 图像 ） 导数 、 、 化 归等方面人手． 同时应熟悉基本题型 ， 例如导数在 研ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 函数单调性中的应用 ， 不但要会求函数的单调 区间（ 文科对 多项式 不超过三次 ） 还要 了解 函数 ，
单调 性 与导 数 的关 系 ， 能利 用 导数研 究 函数 的单 调
第 ８期
冯 斌 ：０ ９年浙江省数 学高考 文科试题 第 ２ 题 引起 的 思考 ２０ １
・４ ５・
２ ０ 年 浙 江 省 数 学 高 考 文科 试 题 第２ 题 引起 的 思 考 ０９ １
●冯 斌 （ 宁波市教育局教研室 浙江宁波 ３５０ ） １ ０ ０
２０ ０９年浙江省数学高考文科试题第 ２ 题 ： ｌ 已知 函数 ， ）＝ ＋（ 一口 一ａ 口＋ ） ＋ （ １ ） （ ２
高三复习是对学过 的知识进行再学习 ， 但不是 简单的重复 ， 通过复习应使学生加深理解和系统掌 握 所 学过 的知识 与方 法 ， 一 步提 高 数学 思 维 能力 进
和综合 运 用 知识 解 题 的能 力． 者 认 为 ， 三 复 习 笔 高 课 教学 应 搞 好 “ 四化 建 设 ” 即 ： 识 网 络 化 、 题 ， 知 例
（ ） 函数 ） 区 间 （一１１ 上 不 单 调 ， ６若 在 ，） 求
口的取值范围 ；
・
４ ６・
中学教研 （ 学） 数
精典化 、 思想方法程序化、 解题规范化． １ 知 识 网络 化 高 中数学课程有 ６ 条主线 ： 函数 （ 包括 三角 函 数、 数列） 几何 （ 、 包括平面 解析几何、 体几何 ） 立 、 运算（ 包括 向量、 复数、 三角运 算 ） 算 法、 、 概率 统 计、 应用（ 描述 问题 、 型的套用 、 学建模 ） “ 模 数 ． 知 识 网络化 ” 就是对这 ６条 主线所学 的知识 与思想 方法进行梳理 ， 注重对数学 内涵 的理解 ， 注意知识 间 的纵 横 联 系． 如 ， 函 数 ” 条 主线 的 内容 有 ： 例 “ 这 函数的定义、 图像、 性质、 应用 ， 函数性质 的研究 对
考查数学的基本思想 ： 函数与方程 的思想 、 等价转 化思想 、 分类讨论思想 、 数形转化思想 ， 同时考查抽 象概括能力和创新意识． 本题源于教材 ， 又高于教 材 ， 常 规 题 中 的 创 新 题 ， 现 了 “ 知 识 ， 能 是 体 考 考
生能各有所得． 笔者认为最好的例题来源是教材的 例题 、 习题 、 高考模拟题 、 高考题 、 竞赛题 ， 并根据学 生实际适当改编 （ 如作些铺垫 ， 作些拓展 与引申） ． 例题 的编排 可 参 考 以下 ４个 角 度 ：
例如 ， 本题 可改编为： 已知 函数 ， ）＝ ＋（ 口 一口 ０＋２ ＋ （ １一 ） （ ）
ｂ 口ｂ （ ， ∈Ｒ） ．
（ ） 函数 ） １若 的图像 过原 点 ， 在 原 点 处 的 且 切线 斜 率是 一３ 求 口 ｂ的值 ； ， ， （ ） 函数 ） 区 间 （一１ １ 上 单 调 递 增 ， ２若 在 ，） 在区间（ ， ∞） １ ＋ 上单调递减 ， 口 求 的值 ；
（ ） ａ＝一 ， ＝ ， 函数厂 ） ３若 ３ｂ ０且 （ 的图像 与直 线 Ｙ＝ ｍ有相异 的 ３个公共点 ， 求实数 ｍ的取值 范
围；
（） ４ 若对任意 的 Ｅ［ １ １ ， 一 ，］都有厂 ≤Ｏ成 （）
立 ， ０的取值范围 ； 求 （ ） 存在 。 ５若 ∈［ ， ］ 使 得 ｆ ） 一１ １ ， （。 ≤０成 立 ， 口的取 值 范 围 ； 求
２ 例题 精 典 化
本题 以含参数的三次 函数为载体 ， 以导数为工
具 ， 查 函数 的基 本 性 质 、 数 的概 念 及 其 几 何 意 考 导 义 、 数 在研 究 函 数单 调 性 中 的应 用 等 基 础 知 识 ， 导
例 题 的选 择 应兼 顾 问题 、 知识 、 方法 的整 合 ， 体 现典 型性 、 合 性 、 活性 、 究性 ． 综 灵 探 注意 选 择 特 别 容 易 出错 、 通 的题 目． 题 应 兼 顾 尖 子 生 和 一 般 普 选
（ ） 函数 ， 的图像过原点 ， １若 （ ） 且在原点处 的
切 线斜 率 是 一 求 ｎ ｂ的值 ； ３， ， （ ） 函数 ） 区 间 （一１ １ 上 不 单 调 ， ２若 在 ，） 求
口的取 值范 围．
性． 本考题第 （ ） ２ 小题就是利用导数研究含参数 的 三 次 函数 的单 调 性 ．
生感觉似 曾相识 ， 但得满分 的不多． 究其原 因， 笔者
认为 ： 一是 问题 以 否定 形 式 给 出 ， 与平 时 练 习 对 不 上 号 ， 从 下 手 ； 是 思 维不 严 谨 ， 而 不对 ， 而 无 二 会 会 不 全． 也暴 露 了在平 时教 学 特别 是 高三 复 习课 中 这 存 在 的 问题． 笔者 结 合 此 题 的 思 考 ， 高 三 复 习 课 对 的教学 谈 一些 建议 ．
复杂 ， 由特殊到一般 ， 不断改变其 中的条件与结论． （） ２ 分类式 ： 某一 内容 的问题分成不 同类型进 行 编 排．
（） ３ 递进 式 ： 按知识 要求 的不断提 高进行排 列．
（） ４ 同一题 干式 ： 同一 题 干 下 设 置不 同 的 问 在 题， 由易 到 难 排列 ．
力， 考素质 ， 考潜能 ” 的高考宗 旨， 是一道 好题． 从 考生的答题情况看 ， （ ） 第 １ 小题没有太 大 的障碍 ，
容 易得 出 ｂ＝ 口＝ 一 ０， ３或 口＝１ 对 第 （ ） 题 ， ． ２小 学
６口ｂ （ ， ＥＲ） ．
可 以从数（ 函数解析式 ） 形 （ 、 函数 图像 ） 导数 、 、 化 归等方面人手． 同时应熟悉基本题型 ， 例如导数在 研ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 函数单调性中的应用 ， 不但要会求函数的单调 区间（ 文科对 多项式 不超过三次 ） 还要 了解 函数 ，
单调 性 与导 数 的关 系 ， 能利 用 导数研 究 函数 的单 调
第 ８期
冯 斌 ：０ ９年浙江省数 学高考 文科试题 第 ２ 题 引起 的 思考 ２０ １
・４ ５・
２ ０ 年 浙 江 省 数 学 高 考 文科 试 题 第２ 题 引起 的 思 考 ０９ １
●冯 斌 （ 宁波市教育局教研室 浙江宁波 ３５０ ） １ ０ ０
２０ ０９年浙江省数学高考文科试题第 ２ 题 ： ｌ 已知 函数 ， ）＝ ＋（ 一口 一ａ 口＋ ） ＋ （ １ ） （ ２
高三复习是对学过 的知识进行再学习 ， 但不是 简单的重复 ， 通过复习应使学生加深理解和系统掌 握 所 学过 的知识 与方 法 ， 一 步提 高 数学 思 维 能力 进
和综合 运 用 知识 解 题 的能 力． 者 认 为 ， 三 复 习 笔 高 课 教学 应 搞 好 “ 四化 建 设 ” 即 ： 识 网 络 化 、 题 ， 知 例
（ ） 函数 ） 区 间 （一１１ 上 不 单 调 ， ６若 在 ，） 求
口的取值范围 ；
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中学教研 （ 学） 数
精典化 、 思想方法程序化、 解题规范化． １ 知 识 网络 化 高 中数学课程有 ６ 条主线 ： 函数 （ 包括 三角 函 数、 数列） 几何 （ 、 包括平面 解析几何、 体几何 ） 立 、 运算（ 包括 向量、 复数、 三角运 算 ） 算 法、 、 概率 统 计、 应用（ 描述 问题 、 型的套用 、 学建模 ） “ 模 数 ． 知 识 网络化 ” 就是对这 ６条 主线所学 的知识 与思想 方法进行梳理 ， 注重对数学 内涵 的理解 ， 注意知识 间 的纵 横 联 系． 如 ， 函 数 ” 条 主线 的 内容 有 ： 例 “ 这 函数的定义、 图像、 性质、 应用 ， 函数性质 的研究 对
考查数学的基本思想 ： 函数与方程 的思想 、 等价转 化思想 、 分类讨论思想 、 数形转化思想 ， 同时考查抽 象概括能力和创新意识． 本题源于教材 ， 又高于教 材 ， 常 规 题 中 的 创 新 题 ， 现 了 “ 知 识 ， 能 是 体 考 考
生能各有所得． 笔者认为最好的例题来源是教材的 例题 、 习题 、 高考模拟题 、 高考题 、 竞赛题 ， 并根据学 生实际适当改编 （ 如作些铺垫 ， 作些拓展 与引申） ． 例题 的编排 可 参 考 以下 ４个 角 度 ：
例如 ， 本题 可改编为： 已知 函数 ， ）＝ ＋（ 口 一口 ０＋２ ＋ （ １一 ） （ ）
ｂ 口ｂ （ ， ∈Ｒ） ．
（ ） 函数 ） １若 的图像 过原 点 ， 在 原 点 处 的 且 切线 斜 率是 一３ 求 口 ｂ的值 ； ， ， （ ） 函数 ） 区 间 （一１ １ 上 单 调 递 增 ， ２若 在 ，） 在区间（ ， ∞） １ ＋ 上单调递减 ， 口 求 的值 ；
（ ） ａ＝一 ， ＝ ， 函数厂 ） ３若 ３ｂ ０且 （ 的图像 与直 线 Ｙ＝ ｍ有相异 的 ３个公共点 ， 求实数 ｍ的取值 范
围；
（） ４ 若对任意 的 Ｅ［ １ １ ， 一 ，］都有厂 ≤Ｏ成 （）
立 ， ０的取值范围 ； 求 （ ） 存在 。 ５若 ∈［ ， ］ 使 得 ｆ ） 一１ １ ， （。 ≤０成 立 ， 口的取 值 范 围 ； 求
２ 例题 精 典 化
本题 以含参数的三次 函数为载体 ， 以导数为工
具 ， 查 函数 的基 本 性 质 、 数 的概 念 及 其 几 何 意 考 导 义 、 数 在研 究 函 数单 调 性 中 的应 用 等 基 础 知 识 ， 导
例 题 的选 择 应兼 顾 问题 、 知识 、 方法 的整 合 ， 体 现典 型性 、 合 性 、 活性 、 究性 ． 综 灵 探 注意 选 择 特 别 容 易 出错 、 通 的题 目． 题 应 兼 顾 尖 子 生 和 一 般 普 选
（ ） 函数 ， 的图像过原点 ， １若 （ ） 且在原点处 的
切 线斜 率 是 一 求 ｎ ｂ的值 ； ３， ， （ ） 函数 ） 区 间 （一１ １ 上 不 单 调 ， ２若 在 ，） 求
口的取 值范 围．
性． 本考题第 （ ） ２ 小题就是利用导数研究含参数 的 三 次 函数 的单 调 性 ．
生感觉似 曾相识 ， 但得满分 的不多． 究其原 因， 笔者
认为 ： 一是 问题 以 否定 形 式 给 出 ， 与平 时 练 习 对 不 上 号 ， 从 下 手 ； 是 思 维不 严 谨 ， 而 不对 ， 而 无 二 会 会 不 全． 也暴 露 了在平 时教 学 特别 是 高三 复 习课 中 这 存 在 的 问题． 笔者 结 合 此 题 的 思 考 ， 高 三 复 习 课 对 的教学 谈 一些 建议 ．
复杂 ， 由特殊到一般 ， 不断改变其 中的条件与结论． （） ２ 分类式 ： 某一 内容 的问题分成不 同类型进 行 编 排．
（） ３ 递进 式 ： 按知识 要求 的不断提 高进行排 列．
（） ４ 同一题 干式 ： 同一 题 干 下 设 置不 同 的 问 在 题， 由易 到 难 排列 ．