决策矩阵排序的投影法及其相关定理
投影矩阵的性质
投影矩阵的性质
1投影矩阵的概念
投影矩阵是一种线性变换，它将一个多维空间中的实矩阵线性映射到另一个多维空间中的投影矩阵。
投影矩阵有两个空间，即源空间和目标空间。
源空间是被映射的空间，即输入向量；而目标空间是映射得到的空间，即输出矩阵。
因此，投影矩阵可以说是一种将源空间中的信息转换为目标空间中信息的线性运算。
2投影矩阵的性质
1.投影矩阵是一种线性变换矩阵，它将一个多维空间中的数据映射到另一个多维空间中，从而把原来的信息表示投影到另一个空间中。
2.由于投影矩阵是一种线性变换，所以它具有结构完整性和转换关系的稳定性。
3.投影矩阵的维度大小和输入的特征和输入的向量的维度有关，一的维数越大，投影矩阵的维数也越多。
4.投影矩阵是矩阵，它是对角矩阵，对于对角线上元素，可以按照1/不等于1的比例进行归一化，也可以不归一化。
5.在图像变换方面，投影矩阵可以用来实现图像缩放、平移、旋转等功能。
6.投影矩阵的特性有单射性特性、可逆性特性和稳定性特性。
3投影矩阵的应用
1.投影矩阵可以用来解决多元线性回归问题，将一组特征数据映射到最佳的投影空间，从而获得最佳的线性拟合结果；
2.在机器学习方面，投影矩阵可以用来做特征抽取和特征选择，将原始特征空间映射到新特征空间，以便进行特征处理和数据可视化；
3.投影矩阵也可以用来作图像处理，通过把图像数据转换到新坐标空间，然后再进行后续图像处理；
4.投影矩阵还可以用来做数据可视化，让数据显示的在不同空间的变化，更加直观的展示给用户，从而更好的理解和分析数据。
矩阵论公式定理总结
定理 2.2.1 数域 P 上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有
相同的维数。
子空间（略） 定理 2.3.2 两个向量组生成相同子空间的充要条件是它们等价。 定理 2.3.3 dim L(1 , 2 ,, r ) rank (1 , 2 ,, r ) （其中
L(1 , 2 ,, r ) 是由 1 , 2 ,, r 生成的空间）
定理 2.3.4 设 W 是数域 P 上的 n 维线性空间 V 的一个 m 维子空间，
1 , 2 ,, m 是 W 的一个基， 则这组基向量必定可扩充为线性空间 V 的
基， 即在 V 中必定可找到 n m 个向量 m1 , m 2 ,, n ， 使得 1 , 2 ,, n 是 V 的一个基。此定理通称为基的扩充定理。
行列式的降阶定理 定理 1.6.1 设 A 和 D 分别为 n 阶及 m 阶的方阵，则有
A C A D CA1B ,当A可逆时; D D A BD 1C ,当D可逆时. B
定理 1.6.2 设 A，B，C，D 皆为 n 阶方阵，且满足 AC=CA，则
A C B D AD CB
的系数矩阵
a11 a A 21 a s1 a12 a1n a22 a2 n as 2 asn
的秩 r<n,则方程组必有非有非零解。
定理 1.3.2 n 阶方阵 A 的行列式 A 0 的充要条件 rank(A)<n 定理 1.1.3 矩阵 A 的秩为 r 的充要条件是 A 中至少有一个 r 阶子式
有解的充要条件为 rank ( A) rank ( B) 。其中
a11 a21 A as1 a11 a21 B as1
topsis公式
topsis公式Topsis(Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution)是一种用于多属性决策的方法，它可以帮助决策者在多个方案中选择最佳方案。
Topsis方法基于对每个方案的评估和比较，通过计算每个方案与最佳解和最差解之间的距离来确定最佳方案。
下面我们将详细介绍Topsis方法的公式和计算过程。
Topsis方法的计算过程包括以下几个步骤：1.确定决策矩阵：决策矩阵是一个n行m列的矩阵，其中n表示方案的数量，m表示评价指标的数量。
决策矩阵可以用于表示每个方案在每个评价指标上的得分。
2.归一化决策矩阵：为了将每个评价指标的得分进行比较，需要对决策矩阵进行归一化处理。
常见的归一化方法包括线性归一化和向量归一化。
线性归一化的计算公式如下：\[x_i'=\frac{x_i}{\sqrt[]{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}}\]向量归一化的计算公式如下：\[x_i'=\frac{x_i}{\sum_{i=1}^{n}x_i}\]3.确定权重向量：权重向量用于表示不同评价指标的重要程度。
权重向量可以通过主观判断得出，也可以通过层次分析法等定量方法得出。
4.计算正理想解和负理想解：正理想解表示在每个评价指标上都取得最大值的方案，负理想解表示在每个评价指标上都取得最小值的方案。
5.计算每个方案与正理想解和负理想解之间的距离：距离可以通过欧氏距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离等方法计算。
此处我们以欧氏距离为例进行说明。
方案与正理想解之间的欧氏距离计算公式如下：\[D_i^+=\sqrt[]{\sum_{j=1}^{m}(x_{ij}-y_{ij}^+)^2}\]方案与负理想解之间的欧氏距离计算公式如下：\[D_i^-=\sqrt[]{\sum_{j=1}^{m}(x_{ij}-y_{ij}^-)^2}\]其中，\(x_{ij}\)表示第i个方案在第j个评价指标上的得分，\(y_{ij}^+\)表示正理想解在第j个评价指标上的得分，\(y_{ij}^-\)表示负理想解在第j个评价指标上的得分。
投影定理知识点归纳总结
投影定理知识点归纳总结一、定理描述投影定理描述了三角形中一个顶点的投影与这个点到对边的距离之间的关系。
具体来说，对任意一个点P在一个三角形ABC的一个边a上的投影M，有如下等式成立：AP / AB = AM / AC其中，AP、AB 和 AM、AC 分别表示向量 AP 和向量 AB，向量 AM 和向量 AC 的模。
这个等式表示了在三角形中，包含这个点的两条边上的投影之间的距离比等于这个点到对边的距离比。
二、应用范围投影定理的应用范围非常广泛，它可以用于解决各种三角形相关的计算和证明问题。
具体来说，投影定理可以被用于以下几个方面的问题：1. 计算三角形的面积：通过投影定理可以得到三角形的面积与边长和高之间的关系，进而可以用来计算三角形的面积。
2. 求解三角形的边长和角度：通过投影定理，可以得到三角形的边长和角度之间的关系，从而可以用来求解三角形的边长和角度。
3. 证明三角形的性质和定理：通过投影定理可以得到一些关于三角形的重要性质和定理，进而可以用来证明一些三角形相关的问题。
三、推导过程投影定理的推导过程主要是通过正弦定理得到的。
在一个三角形ABC中，假设点P在边BC上，投影为M，那么有如下等式成立：sinA = AM / APsinC = CM / CP由于sinA = sinC，所以有：AM / AP = CM / CP又因为 AP = AM + MP， CP = CM + MP，所以有：AM / (AM + MP) = CM / (CM + MP)化简得到：AP / AB = AM / AC这样就得到了投影定理的推导过程，从而可以得到投影定理的结论。
四、性质和应用投影定理有以下几个性质和应用：1. 面积计算：通过投影定理可以得到三角形的面积与边长和高之间的关系，进而可以用来计算三角形的面积。
2. 边长和角度求解：通过投影定理，可以得到三角形的边长和角度之间的关系，从而可以用来求解三角形的边长和角度。
决策分析中的决策树与决策矩阵
决策分析中的决策树与决策矩阵在决策过程中，我们常常需要面对繁杂的信息和多个因素的考量，这时候一个科学有效的决策工具便显得尤为重要。
决策树和决策矩阵作为常见的决策辅助工具，广泛应用于决策分析领域。
本文将介绍决策树和决策矩阵的基本概念、应用场景以及使用方法，并对比二者在不同情况下的适用性。
一、决策树决策树是一种通过树状图的形式来表达决策过程的工具。
它通过将决策问题分解为一系列的选择和判断节点，形成一个完整的决策路径，帮助决策者做出合理的决策。
1. 基本概念决策树的基本构成包括根节点、内部节点和叶节点。
根节点代表决策树的起始点，内部节点代表决策的选择点，叶节点代表决策的结果。
2. 应用场景决策树广泛应用于分类和回归问题的决策分析中。
比如，在市场营销领域，可以利用决策树来分析客户特征和购买行为，以制定针对性的营销策略；在医学诊断中，可以利用决策树来快速判断患者的病情和治疗方案。
3. 使用方法构建决策树的过程分为两个主要步骤：特征选择和树的生成。
特征选择是指根据决策问题的特征，选择最优的特征作为节点进行决策。
常用的特征选择方法包括信息增益、信息增益比和基尼指数等。
树的生成是指根据所选特征构建决策树的过程。
常用的生成算法包括ID3、C4.5和CART等。
在生成决策树的过程中，需要考虑剪枝操作以避免过拟合问题。
二、决策矩阵决策矩阵是一种将决策问题的各个因素进行量化，并进行综合评价的工具。
它通过对决策问题进行分解和权衡，帮助决策者做出最优的决策。
1. 基本概念决策矩阵由决策因素和决策方案两部分组成。
决策因素是指影响决策结果的各个因素，决策方案是指待选的各个决策方案。
2. 应用场景决策矩阵主要应用于多属性决策问题的分析与评价中。
比如，在项目管理中，可以利用决策矩阵对不同项目进行评估，选择最适合的项目进行实施；在人力资源管理中，可以利用决策矩阵对候选人进行综合评价，选择最适合的人才。
3. 使用方法使用决策矩阵的主要步骤包括因素权重确定、方案评估和综合评价。
决策矩阵(decision matrix)
决策矩阵(decision matrix)又名：Pugh矩阵，选择矩阵(selection matrix or grid)，问题矩阵(problem matrix)，问题选择矩阵(problem selection matrix)，机会分析(opportunity anyalysis)，方法矩阵(solution matrix)，标准评价表(criteria rating form)，关键矩阵(criteria-hased matrix)参阅：因果关系矩阵( cause-and-effect matrix)➢概述决策矩阵评价一系列的选择并为其排序。
小组首先设计一些评价标准，然后按照标准对每个选择进行评价。
它属于L型矩阵的一种。
➢适用场合·当必须将一些选项限定为1个时；·当要基于几条标准作决策时；·用列表削减法将得到的选择减少至有限数目后。
典型的适用场合：·当需要致力解决一个问题或者只有一个改进机会时；·当只能实施一种改进方法时；·当只能开发一种新产品时。
➢实施步骤1用头脑风暴法得出适用的评价标准，这个过程最好有顾客参与。
2讨论并修改评价标准，分清“必须要”和“必须不”。
从这些标准中选出最重要的，可能要用到列表削减法及多轮投票法等方法。
3按照每个标准的重要程度给每个标准分配一个权重，总分为10分。
权重的分配可以通过讨论、投票完成。
或者每个组员给每个标准分配一个权重，将每个标准得到的权重相加，按总权重和的大小排序。
4画出L型矩阵。
评价标准放在顶端，选项排列在左边。
习惯将条目少的项作为列项。
5按标准评价每个选项，有三种方案。
方案1：给每个标准设立等级，比如：1，2，3：1——稍微，2——部分，3——很大程度上或1，2，3：1——低，2——中，3——高或1，2，3，4，5：1——一点，…，5——很多或l，4，9：1——低，4——中，9——高确保设立的等级是一致的。
矩阵论的概念与定理
矩阵论的概念与定理
矩阵论是线性代数的重要分支，研究矩阵的性质、运算和定理。
矩阵的概念：矩阵是由一组数排成的矩形阵列，通常用大写字母表示。
矩阵由行和列组成，行数和列数可以不相等。
例如，一个3行2列的矩阵表示为：
A = {{a11, a12},
{a21, a22},
{a31, a32}}
矩阵的运算：矩阵有加法、减法和乘法运算。
- 矩阵的加法：如果两个矩阵的行数和列数相等，它们可以相加。
相加时，对应位置上的元素相加得到结果矩阵。
- 矩阵的减法：与加法类似，对应位置上的元素相减得到结果
矩阵。
- 矩阵的乘法：如果一个矩阵的列数和另一个矩阵的行数相等，它们可以相乘。
矩阵乘法按照一定规则进行，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
矩阵的定理：矩阵论涉及许多重要的定理，以下列举几个常见的：
- 可逆矩阵定理：一个n阶矩阵是可逆的充分必要条件是它的
行列式不为零。
可逆矩阵有唯一的逆矩阵，其乘积为单位矩阵。
- 特征值和特征向量定理：一个n阶矩阵具有n个特征值和n
个线性无关的特征向量。
- 奇异值分解定理：任何一个矩阵都可以分解为三个矩阵的乘积，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵，另一个是伴随对角矩阵。
- 矩阵的秩定理：一个矩阵的秩是它包含的非零行的最大数目，也是它包含的非零列的最大数目。
一个m×n的矩阵的秩至多
为min(m,n)。
以上只是矩阵论的一部分概念与定理，它们在数学、工程和科学等领域中都有广泛的应用。
决策矩阵
决策矩阵：决策矩阵常用于企业的战略经营管理中，它是表示决策方案与有关因素之间相互关系的矩阵表式。
常用来进行定量决策分析。
决策矩阵是风险型决策常用的分析手段之一，又被称为“决策表”、“益损矩阵”、“益损表”、“风险矩阵”。
决策矩阵评价一系列的选择并为其排序。
小组首先设计一些评价标准，然后按照标准对每个选择进行评价。
它属于L型矩阵的一种。
适用场合·当必须将一些选项限定为1个时；·当要基于几条标准作决策时；·用列表削减法将得到的选择减少至有限数目后。
·当需要致力解决一个问题或者只有一个改进机会时；·当只能实施一种改进方法时；·当只能开发一种新产品时。
决策矩阵的基本要素1.状态变量：指可能影响决策后果的各种客观外界情况或自然状态。
是不可控因素。
2.决策变量：指决策者所采取的各种行动方案，是可控因素。
3.概率：指各种自然状态出现的概率。
4.损益值：在一种自然状态下选取某种方案所得结果的损益值。
决策矩阵的应用决策矩阵由备选方案、自然状态（及其发生的概率）和益损值所组成，一般用由实际问题给出的条件来列出矩阵。
在经营管理中，对决策问题的描述集中表现在决策矩阵上，决策分析就是以决策矩阵为基础，运用不同的分析标准与方法，从若干个可行方案中选出最优方案。
实施步骤1、用头脑风暴法得出适用的评价标准，这个过程最好有顾客参与。
2、讨论并修改评价标准，分清“必须要”和“必须不”。
从这些标准中选出最重要的，可能要用到列表削减法及多轮投票法等方法。
3、按照每个标准的重要程度给每个标准分配一个权重，总分为10分。
权重的分配可以通过讨论、投票完成。
或者每个组员给每个标准分配一个权重，将每个标准得到的权重相加，按总权重和的大小排序。
4、画出L型矩阵。
评价标准放在顶端，选项排列在左边。
习惯将条目少的项作为列项。
5、按标准评价每个选项，有三种方案。
方案1：给每个标准设立等级，比如：1，2，3：1——稍微，2——部分，3——很大程度上或1，2，3：1——低，2——中，3——高或1，2，3，4，5：1——一点，…，5——很多确保设立的等级是一致的。
投影定理及其应用
投影定理及其应用投影定理是线性代数中的一个重要定理，它在向量空间中投影的性质及应用方面起着关键作用。
本文将首先通过数学定义和公式推导介绍投影定理的原理，随后探讨其在实际问题中的应用。
一、投影定理的原理投影定理是建立在向量空间的基础之上的。
在一个实数域上的n维欧几里德空间中，设V为该空间的一个子空间，而W为V的一个子集。
如果存在一个向量u∈V，使得对于W中的任意向量w，都有w-u∈V成立，那么u被称为W在V上的正交投影。
把V的子空间分解为两个互补子空间V1和V2，其中V1与W相交于零向量集{0}，V2是V的一个子空间。
对于V的任意向量u，都可以表示为u = u1 + u2，其中u1∈V1，u2∈V2。
此时，u1被称为在W上的正交投影。
投影定理的关键在于V可以分解为W与W的正交补空间W⊥的直和。
投影定理的数学表达形式为：V = W ⊕ W⊥。
其中，V为一个实数域上的n维欧几里德空间，W为V的子集。
二、投影定理的应用投影定理在现实生活和工程中具有广泛的应用。
以下列举了几个常见的应用场景。
1. 图像处理在图像处理中，投影定理被广泛用于图像的几何变换、目标跟踪等领域。
通过将图像投影到低维子空间，可实现图像压缩、降噪、特征提取等操作。
2. 信号处理在信号处理中，投影定理可以用于抽取信号的主要成分。
通过对信号进行投影，可以将信号在低维子空间中表示，从而实现信号的降维和特征提取。
3. 经济学在经济学中，投影定理可以应用于经济预测和风险控制等领域。
通过对经济数据的投影分析，可以提取出主要的经济因素，为决策提供参考。
4. 人脸识别在人脸识别技术中，投影定理用于将人脸图像投影到低维子空间中，实现对人脸的特征提取和分类。
这对于实现高效准确的人脸识别算法具有重要意义。
5. 机器学习在机器学习领域，投影定理可以应用于数据降维、特征提取和分类等任务。
通过将高维数据投影到低维子空间，可以减少数据维度，提高模型的训练和预测效率。
投影矩阵的求法
江苏匡立柱投影变换是六个基本变换之一，也是近年来高考考察的一个热点，但是教材4—2的第25页的介绍却很简单，特别是例5和例6只是简单指出⎢⎣⎡11⎥⎦⎤和⎢⎣⎡-2121⎥⎦⎤-2121是投影矩阵，这让学生很迷惑。
下面的例子将帮助学生走出迷惑。
例1、求与直线xy=垂直的投影矩阵。
解法一：设平面内任意的一个点),(yxP，在投影矩阵的作用下得到的点),(yxP'''，就是直线xy=与过点P且与其垂直的直线)(xxyy--=-的交点。
找到),(yxP和),(yxP'''两个点的关系，然后写成矩阵相乘的形式就得到了所求投影矩阵。
()⎩⎨⎧-'-=-''='xxyyxy⎩⎨⎧+='+='⇒)()(2121yxyyxx⎢⎣⎡⇒2121⎥⎦⎤2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡yx=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''yx，所求矩阵⎢⎣⎡2121⎥⎦⎤2121点评：解法一也可以适用于“求与x轴垂直投影到直线xy=的矩阵”，“求与y轴垂直投影到直线xy=的矩阵”。
解法二：在与直线xy=垂直的直线xy-=上取特殊点)1,1(-，⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧-==yxxyxy，设投影矩阵⎢⎣⎡=caA⎥⎦⎤db，所以⎢⎣⎡ca⎥⎦⎤db⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡同理：在直线1+-=xy上特殊点)0,1(，⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧+-==21211yxxyxy，所以⎢⎣⎡ca⎥⎦⎤db⎥⎦⎤⎢⎣⎡1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡121，2121,==ca，0,0=-=-dcba，得到2121,==db，所求矩阵⎢⎣⎡211⎥⎦⎤211。
点评：解法二的两条直线选取有任意性，只要能得到两次矩阵变换，四个方程解出dcba,,,即可。
邮编222111江苏省连云港市赣榆县海头高级中学匡立柱。
矩阵映射法-概述说明以及解释
矩阵映射法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述矩阵映射法是一种常用的数据处理分析方法，可以将复杂的数据关系映射到矩阵中，通过矩阵运算和统计分析得出有关数据的特征和规律。
这种方法的应用领域非常广泛，可以用于图像处理、机器学习、经济学、社会网络分析等领域，具有很高的实用性和研究价值。
在矩阵映射法中，数据被整理成矩阵的形式，其中每个元素表示了数据之间的某种关联关系。
通过对矩阵进行运算和分析，可以得出数据的特征和规律，为后续的决策和预测提供依据。
这种方法可以有效地提取出数据中的隐藏信息，帮助我们更好地理解数据的本质。
矩阵映射法具有一些明显的优点和特点。
首先，它可以处理大量的数据，并能够处理不同类型的数据，例如数字、文本、图像等。
其次，矩阵映射法在数据处理过程中往往能够保持数据的原始结构和关系，避免了信息的丢失和失真。
此外，矩阵映射法还可以通过对矩阵进行可视化分析，直观地展示数据的特征和规律，便于理解和解释。
然而，矩阵映射法也存在一些缺点和挑战。
首先，矩阵的维度和大小可能随着数据量的增加而增加，给计算和存储带来了挑战。
其次，矩阵映射法需要对数据进行合适的转换和归一化，以确保数据的可比性和准确性。
此外，矩阵映射法在处理稀疏数据时可能会面临一些问题，需要采取合适的方法进行处理。
综上所述，矩阵映射法作为一种重要的数据处理分析方法，在多个领域具有广泛的应用前景和研究价值。
通过矩阵映射法，我们可以更好地理解和挖掘数据中的信息，为决策和预测提供科学的依据。
然而，矩阵映射法仍然面临一些挑战，需要在实践中不断完善和改进。
未来，我们期待矩阵映射法能够进一步发展和应用，为数据处理和分析带来更大的价值。
文章结构部分的内容可以如下所示：1.2 文章结构本文将分为三个主要部分，以探讨矩阵映射法的原理、应用领域和优缺点。
具体结构如下：2. 正文部分：2.1 矩阵映射法的基本原理：在这一部分，将介绍矩阵映射法的基本概念和原理。
我们将讨论矩阵映射法是如何通过矩阵运算来实现数据的映射转换的，以及其背后的数学理论和算法。
制作决策矩阵的过程
保持决策矩阵的简洁明了
避免过度复杂化
避免在决策矩阵中涉及多个变量或 因素
添加标题
添加标题
不要添加不必要的元素或步骤
添加标题
添加标题
尽量使用简单的数学公式或算法来 计算结果
决策矩阵是一种定量的决策方法
避免主观偏见
基于事实和数据做出决策，确保决 策的科学性和客观性
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
避免在决策过程中带入个人主观偏 见和情感因素
添加项标题
根据加权平均值进行决策：根据加权平均值的大小，决定最终的决策结果。
定义目标函数
确定决策矩阵中的最优解
建立决策矩阵
添加标题
添加标题
确定决策变量
添加标题
添加标题
求解最优解
分析决策矩阵的结果
确定最佳方案：根 据矩阵分析，确定 最合适的方案
识别风险：分析矩 阵中存在的风险和 不确定性
确定资源分配：根 据矩阵分析，确定 资源的最优分配方 式
,a click to unlimited possibilities
汇报人：
目录
定义决策矩阵是什么
决策矩阵是一个表格或图表，用于表示决策问题的各种可能结果和相关 数据。 它通常由四个主要部分组成：问题、决策、结果和评估。
问题部分是描述决策问题的背因素，不要遗漏重 要信息
及时更新和维护决策矩阵
及时更新：随着市场环境的变化和企业发 展的需要，决策矩阵应及时更新，以反映 最新的战略规划和业务需求。
维护：决策矩阵不仅需要建立，更需要维 护。在决策过程中，需要对决策矩阵进行 不断的优化和调整，以确保其与企业的实 际情况保持一致。
质量：建立高质量的决策矩阵需要充分考 虑各种因素，如市场需求、竞争环境、资 源状况等，以确保决策的科学性和准确性。
决策分析的实用技巧
决策分析的实用技巧在我们的职业发展和日常生活中，决策是一项至关重要的技巧。
决策是指在一定的信息条件下，通过判断和选择，得出一种行动方案的过程。
而决策分析就是将决策过程规范化，通过一系列的技巧，进行分析和评估，从而做出更加明智的决策。
本文将介绍一些决策分析的实用技巧，帮助读者更好地应对决策问题。
1. 建立决策矩阵决策矩阵是将不同决策因素和决策方案以矩阵的形式列出来，通过分析得出最佳的决策方案。
在建立决策矩阵时，应该先确定决策因素和权重，然后根据这些因素，将各个方案的得分进行评估。
最后，通过对各个得分的加权平均值进行比较，得出最优的决策方案。
2. 使用树状图分析决策树状图是一种将复杂决策问题分解为简单环节的图形工具。
在使用树状图分析决策时，可以将决策问题拆分为不同的决策环节，然后对每个环节进行分析和评估。
通过这种方式，可以更加清晰地了解每个决策环节的影响，从而作出更加明智的决策。
3. 进行SWOT分析SWOT分析是指对企业或个人的具体情况进行分析，找出内在优势和外在机会，解决存在的问题和应对挑战。
SWOT分析分为四个方面：Strengths、Weaknesses、Opportunities和Threats。
在进行SWOT分析时，应该先确定目标和关键因素，然后对这些因素进行评估和分析，从而作出最佳的决策。
4. 使用概率模型在处理不确定性因素时，概率模型是一种非常有效的工具。
概率模型可以帮助人们建立一个预测模型，通过数据和历史经验来对未来事件进行预测。
在使用概率模型时，应该先确定模型的输入和输出，然后对这些因素进行收集和分析。
最后，通过对概率模型的建立和分析，可以得出最佳的决策方案。
5. 采用决策树分析决策树是一种简单而又实用的决策分析工具。
在使用决策树分析时，可以将问题拆分为不同的选择路径和结果，然后通过对这些路径和结果进行评估和分析，得出最佳的决策方案。
通过使用决策树分析，可以更加清晰地了解每个决策因素的影响和结果，从而更加明智地做出决策。
投影分解法
投影分解法
投影分解法是一种常用于矩阵分解的方法，在数据分析和机器学习中经常被应用。
它的基本思想是将原始矩阵分解为两个或多个较低维度的矩阵的乘积，从而减少数据的维度，并提取出其中的主成分或潜在因子。
投影分解法主要有两种：主成分分析（PCA）和因子分析（FA）。
主成分分析（PCA）是一种无监督学习的方法，用于寻找数据中最重要的特征。
它通过找到数据中具有最大方差的线性组合，将原始数据投影到这些主成分上。
这样可以减少数据的维度，并保留主要信息。
通过PCA，可以对数据进行降维、可视化、去噪等操作。
因子分析（FA）是一种用于找到观测变量和潜在变量之间关
系的方法。
它假设观测变量由少数几个潜在因子共同决定，并尝试找到这些潜在因子的线性组合。
通过因子分析，可以了解观测变量之间的相关性、发现隐藏的因素、构建变量的新表示等。
这两种方法在实际应用中经常同时使用，以便更全面地理解数据，并提取出最有意义的特征。
投影定理
•
在X中的正交补,其中
• 定理2(投影定理) 设Y是Hilbert空间的闭子空间
•
那么成立
.
• 证明: 因为Y是X的闭子空间,所以Y是X的完备子 空间,由推论1及引
理1,对于任何 x X, 存在唯一的
及
, 使 x=y + z
若另有
及Hale Waihona Puke ,使 x y1 z1,则y1 - y z1 - z , 因为
概念一概念一设设xx是度量空间是度量空间mm是是xx的非空子集的非空子集xx是是xx中的一点中的一点为点xx到到mm的距离的距离记为记为在赋范线性空间中在赋范线性空间中概念一概念一设设xx是度量空间是度量空间mm是是xx的非空子集的非空子集xx是是xx中的一点中的一点为点xx到到mm的距离的距离记为记为在赋范线性空间中在赋范线性空间中引入问题引入问题1
•
x y x - yn y yn
n yn y
• 上面不等式右端当时 n ,极限为 ,所以得到
• x y .若又有 y0 M ,使得 x y0 ,
•
y y0 2 ( y x) ( y0 x) 2
•
2 y - x 2 2 y0 - x 2 (y - x) (y0 - x) 2
第二节 投影定理
提示：
• （1）重点：投影定理
• （2）难点：对定理的
•
理解和应用
• • •
概念一 设X是度量空间,M是X的非空子集,x是X中的一点, 称
inf d(x, y) ,为点x到M的距离,记为 d(x, M)
yM
在赋范线性空间中,d(x, M) inf x y yM
矩阵在决策理论中的应用
*§2.5 矩阵在决策理论中的应用所谓决策，就是根据预定目标，作出行动的选择. 从狭义上解释，决策是在若干个指导行动的方案中作出相对最优的选择.科学的决策必须严格实行科学的决策程序，运用科学的思维方法与决策方法. 决策可利用的数学方法很多，这里我们只介绍矩阵在决策中的简单应用.决策者为了达到所希望的目标（例如收益较大或损失较小等），可以采用多种行动方案. 许多决策问题都面临着若干种不依决策者主观意志为转移的客观条件或客观现实，我们称为自然状态.例如，投资者将一笔资金投入生产时，有明确的目标，即要使得收益最大. 投资者可以采取的方案也有多种，例如投资房地产，投资汽车生产，投资家用计算机生产，投资彩电生产，等等. 上述方案即为投资者的行动方案，投资者将在上述方案中选择一种能使收益最大的投资方案. 然而不管投资者选择何种方案，将来的产品销售及市场行情都有可能出现好、一般、不好三种情形，这三种情形即为投资者所面临的不依投资者主观意志为转移的自然状态.设决策者可以选择的行动方案的集合为{A 1, A 2, …, A m }，所有的自然状态构成的集合为{θ1, θ2, …, θn }，再设决策者采用行动方案A i ，而自然状态是θj 时，决策者的益损（收益或损失）值为a ij我们可以把上述益损值写成如下的矩阵形式：θ1 θ2 … θn m A A A 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211称此矩阵为益损矩阵（或风险矩阵），记为B 或B m ⨯n当n ＝1时，即自然状态只有一种，这时的决策问题比较简单，称之为确定型决策. 决策者只需根据决策的目标（例如收益最大或损失最小）而选择a 11, a 21, …, a m 1中的最大者或最小者所对应的行动方案. 当B 是收益矩阵时，选择最大数对应的行动方案，当B 是损失矩阵时，选择最小数对应的行动方案.当n >1时，需要知道自然状态θ1, θ2, …, θn 出现的可能性（即出现的概率），我们用百分比表示这些可能性. 设θ1, θ2, …, θn 出现的可能性分别是p 1，p 2, …, p n . 则易知p 1+p 2+…+p n ＝1.在实际进行决策时，有时会出现某种自然状态θj 发生的可能性很大（接近百分之百）的情形，此时我们可以认定自然状态θj 一定出现，其它自然状态一定不出现，从而变为确定型决策问题，可按照上述确定型的决策方法进行决策.假设任何一种自然状态没有绝对的把握一定出现，这种决策称为风险型决策. 我们可以利用矩阵的乘法进行决策.如果采取行动A 1，那么益损期望值（即加权平均数）为E (A 1)＝a 11p 1+a 12p 2+…+a 1n p n .同样如果采取行动A i ，那么益损期望值为E (A i )＝a i 1p 1+a i 2p 2+…+a in p n .一般地，记P ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n p p p 21, Q ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)()()(21n E E E A A A , 由矩阵的乘法运算规则即知，Q ＝BP .在实际进行决策时，先计算矩阵乘积Q ＝BP ，如果决策目标是收益最大，那么就在E (A 1)，E (A 2), …, E (A m )中挑选最大者，最大者所对应的行动方案即为最优方案. 如果决策目标是损失最小，那么就在E (A 1)，E (A 2), …, E (A m )中挑选最小者，最小者所对应的行动方案即为最优方案.例1 某企业要对某个问题进行决策，方案、自然状态、状态出现的可能性，收益值如下表，试确定最优方案.该决策问题的收益矩阵为B ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛55538653637596427654.又P ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3.01.04.02.0. 计算矩阵乘积Q ＝BP ：Q ＝BP ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛55538653637596427654⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3.01.04.02.0＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6.46.59.53.55.5.Q 中的最大值为5.9，对应的行动方案是A 3，所以合理的决策是A 3.运用矩阵方法进行风险型决策，有许多优点：第一，它具有广泛的适应性，尤其是在解决比较复杂、计算量比较大的决策问题时， 该方法显得更为优越；第二，这种方法把风险型决策问题转化为两个矩阵的乘法以及选取乘积矩阵中元素的最大者或最小者，这样就易于利用数学理论及计算机简化计算.例4（工业增长模型）考虑一个在发展中国家可能出现的有关污染与工业发展的工业增长模型. 设p 是现在污染的程度，d 是现在工业发展的水平，二者都以由各种适当指标组成的单位来度量. 例如，对于污染来说，空气中的一氧化碳的含量及河流中的污染浓度等等. 设p '和d '分别是五年后的污染程度及工业发展的水平. 假定根据其它发展中国家类似的经验，国际发展机构认为，以下简单的线性模型是随后5年污染与工业发展有用的预测公式：p '＝p ＋2d ，d '＝2p ＋d .如果我们记A ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1221, α＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛d p , α5 ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''d p 则有α5＝A α (5)随后的10年、15年、…，5n 年污染程度与工业发展水平分别为：α10＝A α5＝A 2α, α15＝A α10＝A 3α, …，α5n ＝A n α.如果初始值p ＝4，d ＝2, 则用（5）式可得出未来50年污染程度与工业发展水平的情况，见下表：p d 目前 4 2 5年 8 10 10年 28 26 15年 80 82 20年 244 242 25年 728 730 30年 2188 2186 …… …… …… 50年 177148 177146为了分析上表中p 和d 的变化性态，我们先求矩阵A 的特征根与特征向量. A 的特征多项式为f A (x )＝1221----x x ＝x 2-2x -3＝(x -3)(x ＋1).所以A 的特征根为1＝3，2＝-1.对于特征根1＝3，所有满足(3I -A )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21x x ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2222⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x ＝0 的非零向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21x x 都是属于特征根3的特征向量，例如向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛11就是特征向量，即A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11＝3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11.同样对于特征根1，所有满足 (1IA )⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2222⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x ＝0 的非零向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x 都是属于特征根1的特征向量，例如⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11就是特征向量，即 A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11＝1⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11. 如果初始值为p ＝1，d ＝1, 则利用（5）式可以计算出5年、10年、15年、…、5n 年后污染与工业发展水平分别为：5年：5＝A＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2112⎪⎪⎭⎫⎝⎛11＝3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33；10年：10＝A 2＝AA ＝A ⋅3＝3 A ＝32＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛2233； 15年：15＝A3＝A 2A＝A 2⋅3＝3A 2＝33＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3333. ……………………………………… 5n 年：5n ＝An＝An -1A ＝A n -1⋅3＝3An -1＝3n＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n 33 记e 1＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11, e 2＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11. 则容易算出（可以利用待定系数法）：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛24＝3⎪⎪⎭⎫⎝⎛11＋ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11＝3 e 1＋e 2. 对于初始值p ＝4，d ＝2，随后5n 年污染程度与工业发展水平为A n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛24＝A n (3 e 1＋e 2)＝A n ⋅3e 1＋A n ⋅e 2＝3 A n e 1＋A n ⋅e 2＝3⋅3n e 1＋(-1)n e 2＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++1133n n ＋⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+1)1()1(n n . 当n 较大时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+1)1()1(n n 对计算结果的影响作用很小，以致能被忽略不计，因此，当n较大时，5n 年后污染程度与工业发展水平为：A n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛24≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++1133n n . 同样，如果以p ＝1, d ＝7为初始值，想要确定20个时段后这个增长模型的效果，也可如下计算：先将⎪⎪⎭⎫⎝⎛71写成如下形式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛71＝4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11-3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11＝4e 1-3e 2. 因此20个时段后污染程度与工业发展的水平为A 20⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛71＝A 20(4e 1-3e 2)＝4A 20e 1-3 A 20e 2 ＝4⋅320e 1-3⋅(-1)20e 2＝4⋅320⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11-3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅20203434＋⎪⎪⎭⎫⎝⎛-33. 同样上式中最后一项的作用是如此地小, 以致可以忽略不计，因此A 20⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛71≈4⋅320⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11. 例5（兔子狐狸种群模型） 考虑一个简单的关于兔子和狐狸生存的生态模型. 假设在没有狐狸的情况下，现有兔子的数量R 一年自然增长10%，于是下一年兔子的数量R 服从增长规律R ＝1.1R .又设在没有兔子的情况下，现有狐狸的数量F 每年减少15%, 于是下一年狐狸的数量F '＝0.85F . 然而当狐狸和兔子处于同一栖息地时，狐狸吃兔子, 使狐狸数增加，兔子数减少，我们提出如下的模型：⎩⎨⎧+='-='FR F FR R 85.01.015.01.1. 令A ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-85.01.015.01.1，则上述增长模型可写成如下的矩阵形式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''F R ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-85.01.015.01.1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛F R (6)对初始值R ＝10，F ＝8, 利用模型（6）计算经过许多时间段后，兔子和狐狸种群的数量如下：0年： 10兔子， 8狐狸1年： 9.8兔子， 7.8狐狸 2年： 9.6兔子， 7.6狐狸 3年： 9.4兔子，7.4狐狸 … … … 10年： 8.4兔子，6.4狐狸 … … … 20年：7.4兔子， 5.4狐狸 …… …… …… 50年： 6.3兔子， 4.3狐狸 …… …… …… 100年： 6.02兔子， 4.02狐狸下面我们以特征根和特征向量为工具对上表所表示的性态进行分析. 首先计算A 的特征多项式：f A (x )＝det(x I -A )＝85.01.015.01.1---x x＝x 2-1.95x ＋ 0.95 ＝(x -1)(x -0.95).所以特征根为1和0.95.为了求对应于特征根1的特征向量，考虑满足下式的非零向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x ：(I -A )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21x x ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--15.01.015.01.0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21x x ＝0， 例如可取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21x x ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23，显然向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23的任意非零常数倍k ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23都是属于特征根1的特征向量. 同样对于特征根0.95，也可以求出一个特征向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11，向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11的非零常数倍k ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11(k ≠0)都是属于特征根0.95的特征向量. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛810＝a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23＋b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11， 则有⎩⎨⎧=+=+82103b a b a . 解得a ＝2, b ＝4. 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛810＝2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23+4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11 因此经过n 个时间段后，兔子和狐狸的种群数量为：A n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛810＝A n⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛114232 ＝2 A n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23+4A n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11 ＝2⋅1n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23+4⋅0.95n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛46+4⋅0.95n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11. 可以看出，A n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛810是由一个稳定种群项⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛46和一个缓慢衰减的第二项4⋅0.95n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11组成的. 所以, 正如前面表中计算的结果所表示的趋势那样, 兔子和狐狸的种群数量越来越趋向于6, 4.确定一个方阵的特征根及特征向量，是所有数学中研究最多的计算问题之一. 对于2阶方阵，例2已给出计算其特征根的方法. 对于某些较简单的三阶和四阶矩阵，特征根及特征向量容易求出，而对于阶数较大的方阵，问题比较复杂，在实际中往往使用其它方法.。
投影矩阵
2 ⎡ ⎢ right − left ⎢ ⎢ 0 P = ST = ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣
最后的投影
令z = 0 这等价于如下的齐次坐标变换
M orth
⎡1 ⎢0 =⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
0 1 0 0
0 0 0 0
0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦
从而在4D中一般的正交投影为P = MorthST
斜投影
OpenGL的投影函数不支持一般的平行投 影，例如立方体的如下图示
此时立方体好像发生了错切，然后再进行 正交投影 斜投影 = 错切＋正交投影
投影规范化
把对象进行变形，使得 变形后的对象经正交投 影后得到与原对象的理 想投影一样的视图 规范化矩阵就是正交投 影矩阵串乘上对象变形 矩阵
流水线
模型－视图 变换
非奇异变换
投影变换
透视除法
4D 3D
裁剪
相对于默认立方体
投影
3D 2D
注释
在模型－视图变换和投影变换的过程中，我们 是一直在四维齐次坐标系中的
P = NSH
投影矩阵
⎡ 2near ⎢ right − left ⎢ ⎢ 0 P = NSH = ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣
0 2near top − bottom 0 0
right + left right − left top + bottom top − bottom far + near − far − near −1
深入解析投影矩阵的数学方法
深⼊解析投影矩阵的数学⽅法
齐次空间
要理解3d的齐次空间，我们先理解2d的齐次空间。
2d的齐次空间可以理解为三维空间上的向量在(x, y, 1)平⾯上的投影. 投影结果是(x/z, y/z, 1) 齐次矩阵
齐次矩阵能够对向量做仿射变换，也就是能够将平移加⼊到矩阵中，这是3*3矩阵做不到的。
⽽4*3矩阵虽然也能做仿射变换，但是不能求逆矩阵，因为不是⽅阵。
-齐次矩阵的透视投影
空间坐标与其投影到投影平⾯上的坐标的关系：
我们构造齐次矩阵来实现这样的计算
平截头体
这样构造矩阵，得到齐次向量，然后⽤x,y,z分量除以w分量就得到真实的(x,y,z).
真正的投影也是在这⼀步发⽣的。
这个在shader⾥⾯做。
计算缩放系数
fov为90°的时候，就相当于透视投影的⽐例为1:1.当fov变动的时候，投影的⽐例也会跟着变动。
焦距越⼤，fov就越⼩，像在投影平⾯的⽐例就越⼤，这就是长焦镜头。
缩放系数和视场⾓有关系，最终会提现在x⽅向和y⽅向的缩放分量上。
计算缩放系数
透视投影矩阵
先看看构造好的投影矩阵
x,y⽅向的缩放：主要是将相机坐标系下的坐标
zoomx 在x⽅向的缩放值
zoomy 在y⽅向的缩放值
z⽅向缩放：主要是为了将z值归⼀化到-1到1之间
(f+n)/(f-n) 在z⽅向的缩放量
z⽅向平移：主要是为了将z值归⼀化到-1到1之间
-2nf/(f-n) 在z⽅向的平移量
设备空间。
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） 目标 Ｇ （ 一 １ ２ … ， 下 的 属 性 值 为 ａ 则 决 策 矩 阵 为 在 ， ， Ⅲ） ，
Ｇ１ Ａ Ａ－ 。 ＿Ａ Ｇ２ … Ｇ
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ｗ 叫 ， …， ） 一（ 叫 ， 为属性的权重向量 ， 其中ｌ ∑训 ≤∑叫一 ， 一 Ｉ ｌ ／ Ａ ２ １
即ｏ ≤Ｄ ｌ ｌ １ 原命题成 立． ≤ Ｉ Ａ ｌ ， ≤
定理 ２ Ｄ 反应 了决策方 案 Ａ 与理想方 案 Ａ 之 间的相对 接近程 度 ， Ｄ 越大 ， 且 相应 的决 策方案
Ａ 越 优． 证 仍采 用前 面的记号 ， 记
［ 键 词 ］ 多 属 性 决 策 ； 策 矩 阵 ； 序 ； 影 法 关 决 排 投 ［ 图分 类 号 ］ ０２ ３ 中 ２ ［ 献标识码］Ｃ 文 ［ 章 编 号 ］ １ ７ ４ ４ ２ １ ） １０ ８ ４ 文 ６ ２１ ５ （０ ０ ０ —１９０
１ 预 备 知 识
设 多属 性决 策 问题有 ｍ 个 目标 Ｇ ， ｚ … ， 和 ”个决 策 方 案 Ａ ， ， ， ， 方 案 Ａ （一１ ２ Ｇ ， Ｇ Ａ。 … Ａ 设 ｉ ，，
资助项 目
１０ ９
大 学 数 学
第２ ６卷
２ 在 理 想 方 案上 的 投 影法
在属性权 重 ｗ的作 用下 ， 如果将 每一个决 策方 案及 理想 方案 都 看成 一个 维 向量 ， 每个 决 策方 则
案 Ａ 在理 想方案 Ａ 上 的投 影为
Ｄ射一—Ａｃ＝ ） ∑叫 ・） ∑训） ｉ影Ａ ＪＩ０√ （ ・ （ 叫 ＝ － ｛ｔ， ｒ ｓ ｏ 。 （ ； ｒ
５ 一∑ 叫 （ 一１ （ ） ｒ ） ． ２ 。 ∈
，＝ １
则Ａ 为理 想方 案 ， Ａ一为负理 想方 案 ， 为方 案 Ａ Ｓ 与理想 方案 Ａ 的距 离．
［ 稿 日期 ］ ２ ０—２２ 收 ０ ７０—６
［ 金 项 目］ 国 家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（ ０ ７ ０ １ ； 徽 省 自然 科 学 基 金 资 助 项 目 （ ７ ４ ４ ） 安 徽 高 等学 校 自然 基 ７５１０）安 ０ ０ １２ ５ ； ６ 科 学 基金 研究 项 目（ Ｊ ０ ７ １ ５ ； 徽 省 高 校 青 年 教 师 资 助 项 目 （ ０ ７ｑ １ ０ ； 徽 大 学 人 才 队伍 建 设 Ｋ ２０Ｂ ２）安 ２ ０ｊｌ９ ） 安
第２ ６卷 第 １ 期
２１ Ｏ ０年 ２月
大 学 数 学
Ｃ０ ＬＬＥＧ Ｅ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ Ｔ Ｉ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ． １ ２６， ｏ １ Ｎ ．
Ｆｅ ．２ １ ｂ ００
决 策矩 阵排 序 的投 影 法 及其 相关 定 理
朱 方 霞 陈华 友 ，
（． 州 学 院 数 学 系 ， 徽 滁 州 ２ ９ ０ ； ２ 安 徽 大 学 数 学 与 计 算 科 学 学 院 ， 徽 合 肥 ２ ０ ３ ） １滁 安 ３ ０ ０ ． 安 ３ ０ ９
一
一
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， … ｚ，
．
上式所 给的相对 接近度 Ｄ 的值越 小 ， 则相应 的方案 Ａ 越优 ． 由前面 可 知 ， 当利用 文 ［ ］ ［ ］ １ ， ２ 中的规
己 Ａ （ １ ２ … ， 一 ， ， 洲） ｉ １ ２ … ， ， ，一 ， ，
Ａ ＝ ， ， ， ） 其 中 一ｍｇ． 一１ ２ … ， 即 Ａ 二 （ … ， 二 ｔ ， ｘ ｚ ， ， ， 一（ ． ， ， ） 叫Ｉ ２ … ，
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Ａ 一 （ ｉ， ， ，二） 其 中 厂一 ｍｉ 。 一 １ ２ … ， 即 Ａ一一 （ ， ， ，） ｚ … ｚ ， 一 ｎ ， ｚ ， ， ， Ｏｏ … ０ ，
［ 摘
要 ］ 针 对 属 性 权 重 已知 而 属 性 值 为 确 数 的 多 属性 决 策 问题 ， 出 了 决 策 矩 阵 排 序 的 投影 法 ， 提 出 提 并
了关 于 投 影 法 的 三 个 定 理 及 其 证 明 ． 后 给 出 了两 个 相 关例 子说 明本 法 的有 效 性 和 可行 性 ． 最
其 中 ０ 为 方 案 Ａ 与 理 想 方 案 Ａ ｔ 的 夹 角 ． ｉ ＇ ￣ － Ｊ
定理 １ ０ Ｄ≤ Ｊ ｌ １ ≤ ｌ Ａ ＿ ． ≤ 证 Ｎ为 ０ ≤ ≤ １ 所 以 ，
∑
≤／ √ ｊ ＾ ∑ Ｗ
叫
【 ＇
即ｏ ｌ ｌ又因为０ ≤ｌ且 ∑ 一１ ≤Ｄ≤ ｊ Ａ ． ≤ ， ， 所以
取 值范 围为 ［ ，］ 且对 应于 偏好最 高 的属性 值有 ｒ —１ 对 应 于偏 好 最低 的 目标属 性 值有 ｒ ＝ ０ 在 属 ０１ ， ｆ ７ ， Ｉ＝ ． Ｊ＝ 性 的权重 向量 ｗ （ ， … ， 的作 用下 ， 一 叫 叫 ， 叫 ） 可得 加权 规范 化矩 阵 ｚ一（ ） 一（ ）Ｘ ． 叫， ｎｍ
Ｊ－ ｉ －
在 实际 生活 中 ， 目标 类 型一般 可分 为效 益型 目标 、 本 型 目标 、 成 固定 型 目标 、 离 型 目标 、 偏 区间 型 目 标 和偏 离 区间型 目标 等． 了消 除量纲 和量 纲单 位不 同所带 来 的不可 比性 ， 为 决策 之前 首先应 将评价 目标
无 量纲化 （ 范化 ） 规 处理 ， 使之 变成 可 比数值 ． 评价 目标类 型不 同 ， 规范 化处 理方法 也将 不 同． １ 和［ ｌ 文［ ］ ｅ
给 出 了将 决 策 矩 阵 Ａ一 （ 转 化 为 规 范 化 矩 阵 Ｒ 一 （ 的方 法 ． 然 ， 范 化 决 策 矩 阵 Ｒ 中 的 ａ） ，） 一 ， 显 规