北师大版2020九年级数学下册第三章圆单元综合能力提升训练题(附答案详解)
北师大版2020九年级数学下册第三章圆单元综合基础测试题3(附答案详解)
北师大版2020九年级数学下册第三章圆单元综合基础测试题3（附答案详解）1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝115°，则∠BOD的度数为（）A．110°B．120°C．130°D．140°2．已知⊙O的直径CD为2，弧AC的度数为80°，点B是弧AC的中点，点P在直径CD上移动，则BP+AP的最小值为（）A．1 B．2 C．23D．33．一点P到圆上各点的最大距离为8cm，最小距离为6cm，则此圆的半径为（）A．7cm B．1cm C．7cm或1cm D．无法确定4．如图，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，以此类推，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10=（）A．4πB．3πC．2πD．π5．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=30°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°6．如图，P 与x 轴交于点()5,0A -，()10B ,，与y 轴的正半轴交于点C ．若60ACB ∠=︒，则点C 的纵坐标为( )A ．133+B ．223+C ．42D ．222+7．如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5cm ，BC ＝8cm ．动点D 从点C 出发，沿线段CB 以2cm /s 的速度向点B 运动，同时动点O 从点B 出发，沿线段BA 以1cm /s 的速度向点A 运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随时停止．设运动时间为t （s ），以点O 为圆心，OB 长为半径的⊙O 与BA 交于另一点E ，连接ED ．当直线DE 与⊙O 相切时，t 的取值是（ ）A ．169B ．32C ．43D ．38．如图，点D 在BC 的延长线上，DE AB ⊥于点E ，交AC 于点F ．若35,15A D ∠=︒∠=︒，则ACB ∠的度数为（ ）．A ．65°B ．70°C ．75°D ．85°9．如图，以正五边形ABCDE 的顶点A 为圆心，AE 为半径作圆弧交BA 的延长线于点A '，再以点B 为圆心，BA '为半径作圆弧交CB 的延长线于B '，依次进行……得到螺旋线，再顺次连结EA '，AB '，BC '，CD '，DE '，得到5块阴影区域，若记它们的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ，5S ，且满足521S S -=，则43S S -的值为（ ）A．17B．15C．14D．1310．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝4，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为_____．11．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，BC边上有一点P（不与点B，C重合），I为△APC的内心，若∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，则m+n＝_____．12．如图，在⊙O中，C为优弧AB上一点，若∠ACB＝40°，则∠AOB＝___度．13．如图，将扇形AOC围成一个圆锥的侧面．已知围成的圆锥的高为12，扇形AOC的弧长为10π，则圆锥的侧面积为_____．14．边长为a的正六边形的边心距是__________，周长是____________，面积是___________.15．圆锥的底面半径为1，侧面积为5π，则圆锥的母线长为_____．16．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的点，若∠BOC =100°，则∠BAC =______ °．17．等弧所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等． （______）18．如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，E 为AD 的中点，△CED 的外接圆与BE 交于点F ，则BF 的长度为______．19．如图，AB 为⊙O 的直径，△P AB 的边P A ，PB 与⊙O 的交点分别为C 、D ．若AC CD DB ==，则∠P 的大小为_____度．20．如图1，AB 为半圆的直径，点O 为圆心，AF 为半圆的切线，过半圆上的点C 作//CD AB 交AF 于点D ，连接BC ．（1）连接DO ，若//BC OD ，求证：CD 是半圆的切线；（2）如图2，当线段CD 与半圆交于点E 时，连接AE ，AC ，判断AED ∠和ACD ∠的数量关系，并证明你的结论．21．如图，已知直角△ABC ，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4.⊙C 的半径长为1，已知点P 是△ABC 边上一动点（可以与顶点重合）（1）若点P到⊙C的切线长为3，则AP的长度为；（2）若点P到⊙C的切线长为m，求点P的位置有几个？（直接写出结果）22．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°.（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）若BC的长为6，求⊙O的半径．23．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有中，不知大小．以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问经几何？“其意思为：“如图，今有一圆形木材在墙中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深DE=1寸，锯道长AB=10寸，问这块圆形木材的直径是多少？”24．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=23．（1）求证：AE是O的切线；（2）求图中两部分阴影面积的和．25．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB1C1，写出B1，C1的坐标；（2）在（1）的条件下，求点C 旋转到点C 1所经过的路线长（结果保留π）26．如图已知AB 为⊙O 的直径，CD 切⊙O 于C 点，弦CF AB ⊥于E 点，连结AC . （1）探索AC 满足什么条件时，有AD CD ⊥，并加以证明.（2）当AD CD ⊥，5cm OA =，4cm CD =，求△OCF 面积.27．如图，⊙O 的半径OA ＝4，AB 是弦，直线EF 经过点B ，AC ⊥EF 于点C ，∠BAC ＝∠OAB ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）若AC ＝2，求AB 的长；（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．参考答案1．C【解析】【分析】由∠A=115°，根据圆的内接四边四边形的性质求得∠BCD的度数，又由同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半继而求得∠BOD的度数．【详解】解：∵∠A=115°∴∠BCD=180°-∠A=65°，∴∠BOD=2∠BCD=130°．故选C．【点睛】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半与圆内接四边形的对角互补定理的应用．2．D【解析】【分析】先作B关于CD的对称点B′，连接AB′交CD于点P，延长AO交⊙O与点E，连接B′E，则∠AB′E=90°，然后根据对称的性质和圆周角定理求得∠B′EA＝60°，再在RT△B′EA中利用三角函数求解即可.【详解】如图所示：作B关于CD的对称点B′，连接AB′交CD于点P，延长AO交⊙O与点E，连接B′E，则∠AB′E=90°，∵点B与点B′关于CD对称，∴PB＝PB′，弧BC＝弧B′C ，∴当点B′、P、A在一条直线上时，PB+PA有最小值，最小值为AB′．∵点B是弧AC的中点，弧AC=80°，∴弧A B′＝80°+12×80°=120°．∴∠B′EA＝60°．∴AB′＝AE•sin60°＝2×2∴PB+PA有最小值，最小值为.故本题答案为：D.【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、最短路径的问题、利用三角函数解直角三角形、圆周角定理等知识点，根据轴对称的性质找出点P是解题的关键.3．C【解析】【分析】点P可能在圆内，也可能在圆外；当点P在圆内时，直径为最大距离与最小距离的和；当点P在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差；再分别计算半径．【详解】当点P在圆内时，直径为最大距离与最小距离的和，∴半径为：(8+6)÷2=7cm.当点P在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差，∴半径为：(8-6)÷2=1cm.故选C.【点睛】本题考查点与圆的位置关系，灵活运用分类的思想，理解点到圆上最大距离、最小距离是解题关键．4．D【解析】【分析】图1，作辅助线构建正方形OECF ，设圆O 的半径为r ，根据切线长定理表示出AD 和BD 的长，利用AD+BD=5列方程求出半径r=2a b c +-（a 、b 是直角边，c 为斜边），运用圆面积公式=πr 2求出面积=π；图2，先求斜边上的高CD 的长，再由勾股定理求出AD 和BD ，利用半径r=2a b c +-（a 、b 是直角边，c 为斜边）求两个圆的半径，从而求出两圆的面积和=π；图3，继续求高DM 和CM 、BM ，利用半径r=2a b c +-（a 、b 是直角边，c 为斜边）求三个圆的半径，从而求出三个圆的面积和.【详解】解：（1）图1，过点O 做OE ⊥AC ，OF ⊥BC ，垂足为E 、F ，则∠OEC=∠OFC=90°∵∠C=90° ∴四边形OECF 为矩形∵OE=OF∴矩形OECF 为正方形设圆O 的半径为r ，则OE=OF=r ，AD=AE=3-r ，BD=4-r ∴3-r+4-r=5，r=1∴S 1=π×12=π（2）图2，由S △ABC =12×3×4=12×5×CD ∴CD=125由勾股定理得：21225935⎛⎫- ⎪⎝⎭=，BD=5-95=165 由（1）得：⊙O 的半径=912335525+-=，⊙E 的半径=1216445525+-= ∴S 1+S 2=π×（35）2+π×（45）2=π （3）图3，由S △CDB =12×125×165=12×4×MD∴MD=48 25由勾股定理得：CM=2212483652525⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，MB=4-3625=6425由（1）得：⊙O的半径35=，：⊙E的半径=4836121225255225+-=：⊙F的半径=48641616 25255225+-=∴S1+S2+S3=π×（35）2+π×（1225）2+π×（1625）2=π∴图4中的S1+S2+S3+S4=π则S1+S2+S3+…+S10=π故选D．【点睛】此题重点考查了直角三角形的内切圆，，分析找到各部分的变化规律后直接利用规律是解题的关键.5．A【解析】【分析】先作辅助线，再根据圆心角与圆周角的关系得到∠COB的度数，进一步得到所求角的大小. 【详解】解：连接OC，∴∠OCD=90°∴∠COB=2∠A=60°∴∠D=90°-∠COB=30°故选A．【点睛】此题重点考察学生对圆周角和圆心角的理解，把握圆心角与圆周角的关系是解题的关键. 6．B【解析】【分析】连接PA ，PB ，PC ，过P 作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥y 轴于E ，根据圆周角定理得到∠APB=120°，根据等腰三角形的性质得到∠PAB=∠PBA=30°，由垂径定理得到AD=BD=3，解直角三角形得到PD=3，PA=PB=PC=23，根据勾股定理得到CE=22=12422PC PE -=-，于是得到结论．【详解】连接PA ，PB ，PC ，过P 作PD AB ⊥于D ，PE BC ⊥于E ，∵60ACB ∠=︒，∴120APB ∠=︒，∵PA PB =， ∴30PAB PBA ∠=∠=︒，∵()5,0A -，()10B ,， ∴6AB =，∴3AD BD ==，∴3PD =，23PA PB PC ===∵PD AB ⊥，PE BC ⊥，90AOC ∠=︒，∴四边形PEOD 是矩形，∴3OE PD ==2PE OD ==， ∴2212422CE PC PE =-=-=∴223OC CE OE =+=，∴点C 的纵坐标为223+.故选B ．【点睛】 本题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．7．A【解析】【分析】如图，作AF ⊥BC 于F ，利用等腰三角形的性质得BF=CF=4,利用切线的判定方法，当BE ⊥DE,直线DE 与O 相切，则∠BED=90°,然后利用cos ∠B =45BF AB =, 可得cos ∠B =45BE BD =，可求出t 的值. 【详解】由题意可知04t ≤＜，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，∵AB=AC ，则BF ＝CF ＝4cm ，∴cos ∠B ＝45BF AB =， 当直线DE 与⊙O 相切时，DE ⊥AB ，则cos ∠B =45BE BD =， 即24825t t =-，解得169t =. 故选A.【点睛】本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，等腰三角形的性质、三角函数性质，掌握三角函数的性质是解题的关键.8．B【分析】根据题意DE AB ⊥于点E ，交AC 于点F ，则55AFE CFD ∠=∠=︒，即155570ACB D CFD ∠=∠+∠=︒+︒=︒【详解】解：∵,35DE AB A ⊥∠=︒∴55AFE CFD ∠=∠=︒，∴155570ACB D CFD ∠=∠+∠=︒+︒=︒．故选：B ．【点睛】本题考查垂径定理，解题关键在于在证明55AFE CFD ∠=∠=︒9．D【解析】【分析】由题意得，五个扇形的圆心角相等，所以面积比是半径比的平方，根据面积比可表示出五个扇形面积，再根据底相等的三角形面积比等于高的比求出五个三角形的面积比并表示出来，从而分别求出各个阴影部分的面积，再根据521S S -=即可求解.【详解】解：因为扇形AEA′、扇形BB′A′、扇形CC′B′、扇形DD′C′、扇形EE ′D′圆心角相等，都是72°，半径分别是正五边形半径、半径的二倍、三倍、四倍、五倍，由扇形面积公式可得，五个扇形面积从小到大的比是1:4:9:16:25，设：扇形AEA′的面积=m ，则扇形BB′A′、扇形CC′B′、扇形DD′C′、扇形EE′D′的面积依次为：4m 、9m 、16m 、25m ；△AEA′、△BB′A′、△CC′B′、△DD′C′、△EE′D′中，AE=AB=BC=CD=DE ，AA′：BB′：CC′：DD′：EE′=1:2：3:4:5，五个三角形分别以AE 、AB 、BC 、CD 、DE 为底，易证五个三角形的面积比依次为：1:2：3:4:5，设S △AEA′=n ，则S △BB′A′=2n 、S △CC′B′=3n 、S △DD′C′=4n 、S △EE′D′=5n ，所以S 5=25m-5n ，S 2=4m-2n ， S 4=16m-4n ， S 3=9m-3n ， 因为521S S -=，所以（25m-5n ）-（4m-2n ）=1，解得：7m-n=13，所以43S S -=（16m-4n ）-（9m-3n ）=7m-n=13.【点睛】本题考查扇形的面积公式、三角形面积计算，解题关键是圆心角相等的扇形面积比等于半径比的平方.10．883π-【解析】【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【详解】过A 作AD ⊥BC 于D ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ＝4，∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°， ∵AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝2，AD 3BD ＝3∴△ABC 的面积为12BC•AD ＝3 S 扇形BAC ＝260483603ππ⨯=， ∴莱洛三角形的面积S ＝3×83π﹣2×38π﹣3， 故答案为8π﹣3．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．【解析】【分析】I为△APC的内心，即I为△APC角平分线的交点，利用三角形内角和等于180°及角平分线定义，即可表示出∠AIC，从而得到m，n的值即可．【详解】解：设∠BAP＝α，则∠APC＝α+30°，∵∠BAC＝90°，∴∠PCA＝60°，∠PAC＝90°﹣α，∵I为△APC的内心，∴AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，∴∠IAC＝12∠PAC，∠ICA＝12∠PCA，∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA）＝180°﹣12（∠PAC+∠PCA）＝180°﹣12（90°﹣α+60°）＝12α+105°∵0＜α＜90°，∴105°＜12α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，∴m＝105，n＝150．∴m+n＝255，故答案为：255．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线定义等，熟练掌握内心的性质是解题的关键．12．80【解析】根据圆周角定理直接求解即可.【详解】∵∠ACB ＝40°，∴∠AOB ＝2∠ACB ＝2×40°=80°，故答案为：80.【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键. 13．65π【解析】【分析】求出圆锥的底面半径，根据勾股定理求出圆锥的母线长，根据扇形面积公式计算即可．【详解】∵扇形AOC 的弧长为10π， ∴圆锥的底面半径为：102ππ＝5，＝13， 则圆锥的侧面积为：12×10π×13＝65π， 故答案为：65π．【点睛】本题考查的是圆锥的计算，掌握弧长公式、扇形面积公式、圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．14．2 a 6a 2a 2 【解析】【分析】在正六边形中作出一个正三角形AOB ，并作出边心距OH ，利用三角函数求出边心距，然后求出六个正三角形的面积的，就是这个正六边形的面积．这个正六边形的周长等于边长的6倍．【详解】解：如图，ABCDEF是边长为a的正六边形，则△OAB是边长为a的正三角形，边心距3周长为6AB=6a．面积为6S△AOB=6×12×AB×OH=6×13·•22a a=2332,故答案分别是：(1).32a；(2). 6a；(3). 2332a．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，连接OA，OB，得到等腰三角形AOB，然后作出弦心距，在直角三角形中进行计算求出弦心距，然后计算出正六边形的周长和面积．15．5.【解析】【分析】根据圆锥的侧面积公式得出S=πrl=5π，直接求出l的值即可．【详解】∵圆锥的底面半径为1，侧面积为5π，∴根据圆锥的侧面积公式得出：S＝πrl＝5π，π×1×l＝5π，∴l＝5，∴圆锥的母线长为：5．故答案为5．【点睛】此题主要考查了圆锥的侧面积公式，正确的记忆圆锥侧面积公式是解决问题的关键．16．50【解析】【分析】利用圆周角定理计算即可．【详解】∵∠BOC=100°，∴∠BAC=12∠BOC=50°．故答案为：50．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．17．对【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦、弦心距四者关系，进行判断即可.【详解】根据圆心角、弧、弦、弦心距四者关系：等弧所对的圆心角相等，所对的圆周角也相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等，判断可知原命题为真命题.故答案为√.【点睛】此题考查圆心角、弧、弦、弦心距四者关系，解题关键在于掌握命题成立的前提条件. 18．3.6【解析】【分析】连接CF，根据圆内接四边形对角互补可得∠CFE=∠CFB=90°，因为cos∠CBF=cos∠AEB=35，在Rt△BFC中，利用锐角三角函数即可得出BF的长．【详解】解：如图，连接CF，在矩形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=90°∵△CED的外接圆与BE交于点F，∴∠CFE+∠ADC=180°，∴∠CFE=∠CFB=90°，∵AB=4，BC=AD=6，E为AD的中点，∴2222435AB AE+=+=，∴cos∠AEB=35 AEBE=，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠CBF，∴cos∠CBF=35 BFBC=，∴BF=3.6．故答案为3.6．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，锐角三角函数的定义．解题的关键是掌握圆内接四边形对角互补的性质．19．60【解析】【分析】连接OC、OD，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，根据等边三角形的性质解答．【详解】连接OC、OD，∵=AC CD DB =，∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，∵OA=OC ，OB=OD ，∴△AOC 和△BOD 都是等边三角形，∴∠A=60°，∠B=60°，∴∠P=60°，故答案为60．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．20．（1）见解析；（2）90AED ACD ︒∠+∠=【解析】【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质得到AB AD ⊥，推出四边形BODC 是平行四边形，得到OB CD =，等量代换得到CD OA =，推出四边形ADCO 是平行四边形，根据平行四边形的性质得到//OC AD ，于是得到结论；（2）如图2，连接BE ，根据圆周角定理得到90AEB =︒∠，求得90EBA BAE ∠+∠=︒，证得ABE DAE ∠=∠，等量代换即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OC ，AF 为半圆的切线，AB 为半圆的直径，AB AD ∴⊥，//CD AB ，//BC OD ，∴四边形BODC 是平行四边形，OB CD ∴=，OA OB =，CD OA ∴=，∴四边形ADCO 是平行四边形，//OC AD ∴，//CD BA ，CD AD ∴⊥，//OC AD ，OC CD ∴⊥，CD ∴是半圆的切线；（2）解：90AED ACD ∠+∠=︒，理由：如图2，连接BE ，AB 为半圆的直径，90AEB ∴∠=︒，90EBA BAE ∴∠+∠=︒，90DAE BAE ∠+∠=︒，ABE DAE ∴∠=∠，ACE ABE ∠=∠，ACE DAE ∴∠=∠，90ADE ∠=︒，90DAE AED AED ACD ∴∠+∠=∠+∠=︒．【点睛】 本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．21．（1）2或25；（2）15【解析】【分析】（1）由题意切线长为3，半径为1，可得PC=2，所以点P 只能在边BC 或边AC 上，分两种情形分别求解即可；（2）首先求出CP ⊥AB 、P 与A 点重合、P 与B 点重合这三个特殊位置时切线的长，结合图形即可判断；【详解】（1）∵切线长为3，半径为1∴221(3)2PC =+=∴点P 只能在边BC 或边AC 上，如图1中，连接PA在Rt △PAC 中22224225PA AC PC =+=+=如图2中，422PA AC PC =-=-=故填：52；（2）如图3中，当CP AB ⊥时，易知125AC BC CP AB == 此时切线长222212139155PE PC EC ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭； 如图4中，当点P 与点B 重合时，此时切线长22223122PE BC EC --=如图5中，当点P 与点A 重合时，此时切线长22224115PE AC EC =-=-=①当1390m <<时，点P 的位置有2个位置； ②当1395m =P 的位置有3个位置； ③当139225m <<P 的位置有4个位置； ④当22m =时，点P 的位置有3个位置； ⑤当2215m <<P 的位置有2个位置；⑥当15m =P 的位置有1个位置.综上所述点P 的位置有15个.【点睛】本题主要考查切线的性质、勾股定理，进行分情况讨论，不漏解是关键.22．（1）见解析;（2）3．【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ABC ＝∠APC ＝60°，∠CAB ＝∠CPB ＝60°，根据等边三角形的判定定理证明；（2）延长BO 交⊙O 于E ，连接CE ，根据圆周角定理得到∠E ＝∠BAC ＝60°，根据正弦的概念计算即可．【详解】解：（1）△ABC 是等边三角形，理由如下：由圆周角定理得，∠ABC=∠APC=60°，∠CAB=∠CPB=60°，∴△ABC 是等边三角形；（2）延长BO 交⊙O 于E ，连接CE ，由圆周角定理得，∠E=∠BAC=60°，∴BE=43sin BC E∠=， ∴⊙O 的半径为23．【点睛】本题考查的是圆周角定理、等边三角形的判定，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 23．CD=26寸．【解析】【分析】连接OA ，由题意知CD 过点O ，且CD ⊥AB ，AE=BE=12AB=5（寸），设圆形木材半径OA 的长为x ，可知OE=x-1，根据OA 2=OE 2+AE 2列方程求解可得．【详解】解：连接OA ，∵AB⊥CD，且AB=10，∴AE=BE=12AB =5（寸），设圆O的半径OA的长为x，则OC=OD=x∵DE=1，∴OE=x-1，在Rt△AOE 中，根据勾股定理得：OA2-OE2=AE222215x x--=（），解得：x=13所以CD=26（寸）．故答案为：CD=26寸．【点睛】本题考查垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧及勾股定理是解题的关键．24．（1）见解析；（2）3994π-【解析】【分析】（1）由AB为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AB，在直角三角形BDO中，利用锐角三角函数定义，根据tan∠BOD及BD的值，求出OD的值；连接OE，由AE=OD=3，且OD与AE平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到OE与AD平行，再由DA与AE垂直得到OE与AC垂直，即可得证；（2）阴影部分的面积由三角形BOD的面积+三角形ECO的面积-扇形DOF的面积-扇形EOG 的面积，求出即可．【详解】（1）∵AB与圆O相切，∴OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD=23 BDOD=，∴OD=3；连接OE.∵AB与圆O相切，∴OD⊥AB.∵在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD=BDOD=23，∴OD=3.∵∠A=90°，OD⊥AB，∴AE∥OD.∵OD=AE=3，AE∥OD，∴四边形AEOD为平行四边形，∴AD∥EO.∵DA⊥AE，∴OE⊥AC.又∵OE为圆的半径，∴AC为圆O的切线.（2）∵OD∥AC，∴BD/BA=OD/CA，即223+=3AC，∴AC=7.5，∴EC=AC-AE=7.5-3=4.5，∴S阴影=S△BDO+S△OEC-(S扇形FOD+S扇形EOG)=12×2×3+12×3×4.5-290π×3360=3+274-94π=3994π-.【点睛】此题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，平行四边形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．25．（1）如图所示，△AB1C1即为所求见解析；（2）点C旋转到C'所经过的路线长为5π．【解析】【分析】（1）根据旋转中心为点A、旋转方向是逆时针、旋转角度为90°可找到各点的对应点，顺次连接即可，结合直角坐标系可直接写出点B1，C1的坐标；（2）点C旋转到点C1所经过的路线是以点A为圆心，以AC为半径的14圆．【详解】（1）如图所示，△AB1C1即为所求：由图可得，B1（1，5），C1（3，7）；（2）∵点C旋转到点C1所经过的路线是以点A为圆心，以AC为半径的14圆，AC2224+＝5∴点C旋转到C'所经过的路线长为：14π2⨯⨯5．【点睛】本题考查作图-旋转变换, 弧长的计算，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．26．（1）当AC平分∠BAD时，有AD⊥CD，理由见解析；（2）△OCF面积为12cm2【解析】【分析】（1）连接OC，由等边对等角得到∠OCA =∠OAC．再由角平分线定义得到∠OAC =∠DAC，等量代换得到∠OCA = ∠DAC，根据内错角相等，两直线平行，得到OC∥AD．由切线的性质及平行线的性质即可得出结论；（2）先证明AC平分∠BAD，再根据角平分线的性质得到CD =CE，由垂径定理得到CF的长．在Rt△OEC中，由勾股定理得到OE的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．【详解】（1）当AC平分∠BAD时，有AD⊥CD．证明如下：连接OC．∵OA = OC，∴∠OCA =∠OAC．∵AC平分∠BAD，∴∠OAC =∠DAC，∴∠OCA = ∠DAC，∴OC∥AD．∵CD切⊙O于C点，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°．∵OC∥AD，∴∠ADC=180°－∠OCD=90°，∴AD⊥CD．(2) 连接OF．∵CD切⊙O于C点，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠OCA=∠DAC∵OA = OC，∴∠OCA =∠OAC，∴∠OAC =∠DAC，∴AC平分∠BAD，∴CD =CE．∵OA =5，CD =4，∴OC=OA=5，CE=4．∵CF⊥AB，∴CF = 2CE= 2×4=8，OE=22OC CE-=2254-=3．△OCF面积=CF×OE÷2= 8×3÷2=12．故△OCF面积为12cm2．【点睛】本题考查了切线的性质，角平分线的性质定理以及垂径定理．解题的关键是利用角平分线的性质定理得到CE的长．27．（1）见解析；（2）4；（3）8 633π【解析】【分析】（1）由OA=OB 得到∠OAB=∠OBA ，加上∠BAC=∠OAB ，则∠BAC=∠OBA ，于是可判断OB ∥AC ，由于AC ⊥EF ，所以OB ⊥EF ，则可根据切线的判定定理得到EF 是⊙O 的切线；（2）过点O 作OD ⊥AB 于点D ，根据垂径定理得12AD AB =，再证明Rt △AOD ∽Rt △ABC ，利用相似比可计算出AB=2；（3）由AB=OB=OC=2可判断△OAB 为等边三角形，则∠AOB=60°，则∠ABC=30°，则可计算出BC ==S 阴影部分=S 四边形AOBC -S 扇形OAB =S △AOB +S △ABC -S 扇形OAB 进行计算即可．【详解】解：（1）∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ，∵∠BAC ＝∠OAB ，∴∠BAC ＝∠OBA ，∴OB ∥AC ，∵AC ⊥EF ，∴OB ⊥EF ，∴EF 是⊙O 的切线；（2）过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则AD ＝12AB ， ∵∠OAD ＝∠BAC ，∴Rt △AOD ∽Rt △ABC ， AD AO AC AB =，即1AB 422AB=， ∴AB ＝4；（3）∵AB ＝OB ＝OC ＝4，∴△OAB 为等边三角形，∴∠AOB ＝60°，∵OB ⊥BC ，∴∠ABC ＝30°，323BC AC ∴==，∴S 阴影部分＝S 四边形AOBC ﹣S 扇形OAB＝S △AOB +S △ABC ﹣S 扇形OAB211604842322363223603ππ⋅⋅=⨯⨯+⨯⨯-=-．【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质和扇形面积的计算．。
北师大版2020九年级数学下册第三章圆单元综合培优测试题2(附答案详解)
北师大版2020九年级数学下册第三章圆单元综合培优测试题2（附答案详解）1．如图，⊙O的半径OA＝8，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B，C点，则BC ＝（）A．83B．82C．43D．422．四边形ABCD内接于圆，∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可能是（）A．1：3：2：4 B．7：5：10：8 C．13：1：5：17 D．1：2：3：4 3．已知菱形ABCD的对角线AC＝6，BD＝8，以点A为圆心，AB为半径作⊙A，则点C与⊙A的位置关系是（）A．点C在⊙A内B．点C在⊙A上C．点C在⊙A外D．不能确定4．下列条件中，能确定圆的是（）A．以点O为圆心B．以2cm为半径C．经过已知点A D．以O为圆心，5cm为半径5．如图，在⊙O中，点M是AB的中点，连结MO并延长，交⊙O于点N，连结BN．若∠AOB＝140°，则∠N的度数为（）A．70°B．40°C．35°D．20°6．如图，将半径为1，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转一个角度，使点O 的对应点D落在弧AB上，点B的对应点为C，连接BC，则图中CD、BC和弧BD围成的封闭图形面积是（）π3π3ππ7．如图，AB 是O 的直径，120BOD =∠，点C 为BD 的中点，AC 交OD 于点E ，1DE =，则AE 的长为（ ）A ．3B ．5C ．23D ．258．下列说法错误的是（ ）．A ．经过已知点P 和Q 的圆的圆心轨迹是线段PQ 的垂直平分线B ．到点A 的距离等于2cm 的点的轨迹是以点A 为圆心，2cm 长为半径的圆C ．与直线AB 距离为3的点的轨迹是平行于直线AB 且和AB 距离为3的两条直线D ．以线段AB 为底边的等腰三角形两底角平分线交点的轨迹是线段AB 的垂直平分线 9．如图，点C 是以AB 为直径的半圆O 的三等分点，AC=2，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．10．下列命题中是真命题的为（ ）A ．弦是直径B ．直径相等的两个圆是等圆C ．平面内的任意一点不在圆上就在圆内D ．一个圆有且只有一条直径11．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，如果34ACD ∠=︒，那么BAD ∠等于______.12．如图，已知点O 是ΔABC 的内心，若∠BOC=120o ，则∠A=__________o ．13．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A =45°，则∠C 的度数 _____________ ．14．已知半径为4和的两圆相交，公共弦长为4，则两圆的圆心距为______________. 15．以原点O 为圆心的圆交x 轴于A 、B 两点，交y 轴的正半轴于点C ，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB ＝25°，则∠OCD ＝_____．16．如图，有一座石拱桥，上部拱顶部分是圆弧形，跨度BC ＝10m ，拱高为（10﹣53）m ，那么弧BC 所在圆的半径等于_____．17．如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O ，另一边所在直线与半圆相交于点D 、E ，量出半径OC =5cm ，弦DE =8cm . 则直尺的宽为______cm .18．底面半径为5cm ，母线长为10cm 的圆锥的侧面积等于__cm 2．（结果保留π） 19．写出两个既是轴对称图形，又是中心对称图形的正多边形________________． 20．如图，A 、B 、C 是O 上三点，AC=BC ，50BOC ∠=︒，则ACB ∠的度数为________.21．如图，直线m：y＝kx（k＞0）与直线n：3233y x=-+相交于点C，点A、B为直线n与坐标轴的交点，∠COA＝60°，点P从O点出发沿线段OC向点C匀速运动，速度为每秒1个单位，同时点Q从点A出发沿线段AO向点O匀速运动，速度为每秒2个单位，设运动时间为t秒．（1）k＝；（2）记△POQ的面积为S，求t为何值时S取得最大值；（3）当△POQ的面积最大时，以PQ为直径的圆与直线n有怎样的位置关系，请说明理由．22．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC，DC⊥BC，且AD=1，DC=3，点P为边AB上一动点，以P为圆心，BP为半径的圆交边BC于点Q．(1)求AB的长；(2)当BQ的长为409时，请通过计算说明圆P与直线DC的位置关系．23．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，BE交⊙O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点P．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求tan∠ABE的值；（3）若OA=2，求线段AP的长．24．如图，平行四边形ABCD 的边AD 与经过A ，B ，C 三点的O 相切.（1）求证：点A 平分BC ；（2）延长DC 交O 于点E ，连接BE ，若413BE =，O 半径为13，求BC 的长. 25．如图所示，在平面直角坐标系中有一格点三角形，该三角形的三个顶点为：A （1，1）、B （﹣3，1）、C （﹣3．﹣1）（1）若△ABC 的外接圆的圆心为P ，则点P 的坐标为_____．（2）如图所示，在11×8的网格图内，以坐标原点O 点为位似中心，将△ABC 按相似比2：1放大，A 、B 、C 的对应点分别为A ′、B ′、C ′，得到△A ′B ′C ′，在图中画出△A ′B ′C ′；若将△A ′B ′C ′沿x 轴方向平移，需平移_____单位长度，能使得B ′C ′所在的直线与⊙P 相切．26．在平面直角坐标系xOy 中，A （m ，0），B （m +4，0），对于线段AB 和x 轴上方的点P 给出如下定义：当4590APB ︒≤∠≤︒时，称点P 为线段AB 的“半月点”． （1）若2m ＝时，①在点C （3，1），D （5，3），E （2，4）中，线段AB 的“半月点”有 ； ②在直线y x b +＝上存在线段AB 的“半月点”，求b 的取值范围．（2）请从下面两个问题中任选一个作答．温馨提示：两题均答不重复计分．问题一：直线14y x +＝﹣与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段AB 的所有“半月点”都在MON △内部，直接写出m 的取值范围．问题二：点G （3，﹣1），点P 为线段AB 的“半月点”，直线GP 把线段AB 分成1：3两部分，当1m ＝时，直接写出点P 的横坐标的取值范围．27．如图已知AB 为⊙O 的直径，CD 切⊙O 于C 点，弦CF AB ⊥于E 点，连结AC . （1）探索AC 满足什么条件时，有AD CD ⊥，并加以证明.（2）当AD CD ⊥，5cm OA =，4cm CD =，求△OCF 面积.28．为了测量一个圆形铁环的半径, 某同学采取了如下办法：将铁环平放在水平桌面上,用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺, 按如图所示的方法得到相关数据,进而求得铁环的半径.若测得P A =8cm, 求铁环的半径.参考答案1．A【解析】【分析】连接OB、AB，易证△OAB是等边三角形，∠AOB＝60°，由OA为半径的弧交⊙O于B，C两点，得出OA⊥BC，BC＝2BD，根据三角函数求出BD＝OB•sin60°，即可求得BC．【详解】连接OB、AB，如图所示：则OA＝OB＝AB＝8，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∵OA为半径的弧交⊙O于B，C两点，∴OA⊥BC，∴∠BDO＝90°，BC＝2BD，∴BD＝OB•sin60°＝833，∴BC＝2×3＝3故选A．【点睛】本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数；由相交两圆的性质得出直角三角形是解决问题的关键．2．C【解析】【分析】根据圆内接四边形的对角互补得到∠A和∠C的份数和等于∠B和∠D的份数的和，由此分别进行判断即可．解：A、1+2≠3+4，所以A选项不正确；B、7+10≠5+8，所以B选项不正确；C、13+5＝1+17，所以C选项正确；D、1+3≠2+4，所以D选项不正确．故选C．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．3．C【解析】【分析】根据菱形的性质得到AB=5，由AC=6＞5，于是得到结论．【详解】∵菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，∴AB=5，∵AC=6＞5，∴点C在⊙A外，故选：C．【点睛】此题考查点与圆的位置关系，菱形的性质，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．4．D【解析】【分析】确定圆的条件：①确定圆心；②确定半径；据此即可得答案.【详解】A.无法确定半径，不能确定圆，故该选项不符合题意，B.无法确定圆心，不能确定圆，故该选项不符合题意，C.无法确定圆心和半径，不能确定圆，故该选项不符合题意，D.确定了圆心和半径，能确定圆，故该选项符合题意，故选D.本题考查了确定圆的条件，必须确定圆心和半径，两个条件缺一不可.5．C【解析】【分析】根据同圆中等弧所对的圆心角相等，可求得∠AOM=∠BOM，再根据圆周角定理可求得∠N 的度数.【详解】∵点M是AB的中点，∴AM BM，∴∠AOM=∠BOM，∵∠AOB＝140°，∴∠BOM=70°，根据圆周角定理可得：∠N=12∠BOM=35°.故选：C.【点睛】本题主要考查同圆中相等的弧所对的圆心角相等，以及圆周角定理，熟练运用圆的知识是解题的关键.6．B【解析】【分析】如图，连接OD.首先证明O，D，C共线，可得图中CD、BC和弧BD围成的封闭图形面积=S△OBC-S扇形ODB，由此计算即可.【详解】解：如图，连接OD．由题意：OA ＝OD ＝AD ，∴△AOD 是等边三角形，∴∠ADO ＝∠AOD ＝60°，∵∠ADC ＝∠AOB ＝120°，∴∠ADO +∠ADC ＝180°，∴O ，D ，C 共线，∴图中CD 、BC 和弧BD 围成的封闭图形面积＝S △OBC ﹣S 扇形ODB ＝12×1×3﹣2601360π＝3-6π， 故选B ．【点睛】本题考查旋转变换，扇形的面积公式，等边三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.7．A【解析】【分析】连接OC ，证明OD ⊥AC 即可解决问题.【详解】解:连接OC ，∵弧CD=弧BC ，∴60DOC BOC ∠=∠=︒，60AOD ∠=︒，∴AOD DOC ∠=∠，∴弧AD=弧CD ，∴OD AC ⊥，90AEO ∠=︒，设AO r =，则1OE r =-，∵·cos60OE AO =︒，∴112r r -=，2r =， ∴3AE =.故选:A.【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．D【解析】【分析】利于垂直平分线的定义、圆的定义、轨迹的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A 、经过已知点P 和Q 的圆的圆心轨迹是线段PQ 的垂直平分线，正确；B 、到点A 的距离等于2cm 的点的轨迹是以点A 为圆心，2cm 长为半径的圆，正确；C 、与直线AB 距离为3的点的轨迹是平行于直线AB 且和AB 距离为3的两条直线，正确；D 、以线段AB 为底边的等腰三角形两底角平分线交点的轨迹是线段AB 的垂直平分线，线段AB 的中点除外，所以此选项错误符合题意.故选：D ．【点睛】本题考查了轨迹的知识，解题的关键是能够了解轨迹的定义，要注意不重不漏．9．A【解析】【分析】连接OC ，过O 作OD ⊥BC 于D ．根据已知条件得到∠ACB ＝90°，∠AOC ＝60°，∠COB ＝120°，解直角三角形得到AB ＝2AO ＝4，BC ＝2，由30°角所对直角边等于斜边的一半，得到OD =1．根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】连接OC ．过O 作OD ⊥BC 于D ．∵点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，∴∠ACB＝90°，∠AOC＝60°，∠COB＝120°，∴∠ABC＝30°．∵AC＝2，∴AB＝2AO＝4，BC＝2，∴OC＝OB＝2．∵∠OBD=30°，OB=2，∴OD=1，∴阴影部分的面积＝S扇形﹣S △OBC．故选A．【点睛】本题考查了扇形面积求法，利用已知得出理解阴影部分的面积等于扇形OCD的面积是解题的关键．10．B【解析】【分析】根据圆的相关概念逐个判断排除.【详解】解：弦不一定是直径，A是假命题；直径相等的两个圆是等圆，B是真命题；平面内的任意一点在圆上、圆内或圆外，C是假命题；一个圆有无数条直径，D是假命题；故选：B．【点睛】本题考查圆的弦、直径、平面内点与圆的位置关系等概念.11．56°【解析】【分析】由同弧所对的圆周角相等可得∠ABD=∠ACD=34°，再由直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°，在△ABD 中可求出∠BAD.【详解】∵∠ABD 与∠ACD 是AD 所对的圆周角，∴∠ABD=∠ACD=34°，∵AB 是O 的直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°-∠ABD=56°，故答案为：56°.【点睛】本题主要考查圆周角定理，熟记“同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角”是解决本题的关键.12．60【解析】【分析】根据点O 是ΔABC 的内心，即角平分线的交点，在BOC 中，可求出BCO OBC ∠+∠的度数。
北师大版2020九年级数学下册第三章圆单元综合培优提升训练题4(附答案详解)
北师大版2020九年级数学下册第三章圆单元综合培优提升训练题4（附答案详解） 1．如图，直线12l //l ，O 与1l 和2l 分别相切于点A 和点B ．点M 和点N 分别是1l 和2l 上的动点，MN 沿1l 和2l 平移．O 的半径为1，160∠=．下列结论错误的是（ ）A ．MN =B ．1l 和2l 的距离为2C ．若MON 90∠=，则MN 与O 相切D ．若MN 与O 相切，则AM =2．如图，AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，已知cos ∠CDB ＝45，BD ＝5，则OH 的长为( )A ．23B ．56C ．1D ．763．下列四个命题中,正确的有（ ）①三点确定一个圆 ②平分弦的直径平分弦所对的弧③弦长相等，则弦所对的弦心距也相等 ④相等的弧所对的圆心角相等A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 4．已知O 的半径为2，点A 在直线l 上，且2AO =，则直线l 与O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．相切或相交 5．正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是( )A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．30°或150° 6．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC=120°，AB=AC ，BD 为⊙O 的直径，AB=3，则AD 的值为（ ）A ．6B ．C ．5D ．7．下列说法①直径是弦 ②半圆是弧 ③弦是直径 ④弧是半圆，其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个8．以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）A B C ．4 D ．89．如图，已知ACB ∠是O 的圆周角，50ACB ∠=，则圆心角AOB ∠是（ ）A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°10．在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB 为6分米，如果再注入一些油后，油面AB 上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN 为（ ）A ．6分米B ．8分米C ．10分米D ．12分米11．如图，E 是△ABC 的内心，若∠BEC=130°，则∠A 的度数是（ ）A ．60°B ．80°C ．50°D ．75°12．如图所示，ABC 中，C 90∠=，B 60∠=，BD 是ABC 的角平分线，BC =以A 为圆心，2为半径画A ，点D 在（ ）A ．A 内B ．A 上C ．A 外D ．不能判定 13．如图，在⊙O 中，PD 与⊙O 相切于点D ，与直径AB 的延长线交于点P ，点C 是⊙O 上一点，连接BC 、DC ，∠APD=30°，则∠BCD=______．14．如图，已知等腰△ABC ，AB =BC ，以AB 为直径的圆交AC 于点D ，过点D 的⊙O 的切线交BC 于点E ，若CD =5，CE =4，则⊙O 的半径是________．15．AB 是⊙O 的直径，C ，D 是AB 上两点，且AC ，CD ，DB 的比为3：2：5，AC ，CD ，DB 弧长之和为AB ，则∠AOC=_____．16．如图，已知PA 是O 的切线，A 是切点PC 是过圆心的一条割线，点B 、C 是它与O 的交点，且8PA =，4PB =．则O 的半径为________．17．Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，内切圆半径为1，则三角形周长为_______．18．平面直角坐标系中，A （0，3），B （4，0），C （﹣1，﹣1），点 P 线段 AB 上一动点，将线段 AB 绕原点 O 旋转一周，点 P 的对应点为 P′，则 P′C 的最大值为_____，最小值为_____．19．如图，O 是ABC 的内切圆，D 是切点，3BD =，2DC =．若ABC 的周长为16，则AB =________．20．如图，圆锥的底面半径r 为6，高h 为8，则圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数为________．21．如图，在O 中，OC AB ⊥，垂足为D ，且AB =，30OBD ∠=，则由弦AC、AB与BC所围成的阴影部分的面积是________2cm．（结果保留π）22．如图，以G(0，1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D 两点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为________；点E在运动过程中，线段FG的长度的最小值为________．23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ABD＝62°，∠C＝122°，则∠ADB的度数为______°.24．如图，在⊙O中，如果AB CD=，那么AB=_____，∠AOB=∠______，若OE⊥AB 于E，OF⊥CD于F，则OE______OF。
北师大版2020九年级数学下册第三章圆自主学习能力达标测试卷(附答案详解)
北师大版2020九年级数学下册第三章圆自主学习能力达标测试卷（附答案详解） 1．如图，ABC 内接于O ，MN 切O 于点A ，若BAN 50∠=，则ACB ∠的度数为( )A ．40B ．100C ．50D ．252．如图，DB=DC,∠BAC=∠BDC=120°，DM ⊥AC ，E 为BA 延长线上的点，∠BAC 的角平分线交BC 于N ，∠ABC 的外角平分线交CA 的延长线于点P ，连接PN 交AB 于K ，连接CK ，则下列结论正确的是：①∠ABD=∠ACD ；②DA 平分∠EAC ；③当点A 在DB 左侧运动时，AC AB AM+为定值；④∠CKN=30° ( )A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③3．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽AB 为4分米，如果再注入一些油后，油面AB 上升1分米，油面宽变为6分米，圆柱形油槽直径MN 为（ ）A ．27分米B ．8分米C ．213分米D ．10分米4．如图1．O 的半径为r ，若点P'在射线OP 上，且2'OP OP r ⋅=，则称点P'是点P 关于O 的“反演点”，如图2，O 的半径为2，点B 在O 上．60BOA ∠=，4OA =，若点'A 是点A 关于O 的反演点，点'B 是点B 关于O 的反演点，则'AB 的长为（ ）A．3B．23C．2 D．45．如图，点A，B，C都在⊙O上，∠ABC＝70°，则∠AOC的度数是（）A．35°B．70°C．110°D．140°6．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC=110°，AD//OC,则∠ABD等于( )A．20︒B．30C．40︒D．50︒7．已知圆锥的底面半径为50cm,母线长为80cm,则此圆锥的侧面积为( )A．4000πcm2B．3600πcm2C．2000 πcm2D．1000πcm28．如图，⊙C 经过原点且与两坐标轴分别交于点A 与点B，点B 的坐标为(3,0)-，M 是圆上一点，∠BMO=120°．⊙C的圆心C的坐标是( )A．31(,)2B．31(,)2-C．31(,)2-D．31(,)2--9．如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（）110．如图，AB是的直径，C、D是圆上两点，连接AC，AD，CD．若∠CAB＝35°，则∠ADC的度数为（）A．55°B．45°C．35°D．25°11．如图，O是⊙O的圆心，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB＝38º，则∠OAC 的度数是_________.12．如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB ＝________，则直线BC与⊙O的位置关系为相切13．已知扇形的弧长为4π,半径为8,则此扇形的圆心角为____.14．如图是置于水平地面上的一个球形储油罐，小敏想测量它的半径、在阳光下，他测得球的影子的最远点A到球罐与地面接触点B的距离是10米(如示意图，AB＝10米)；同一时刻，他又测得竖直立在地面上长为1米的竹竿的影子长为2米，那么，球的半径是________米．15．如图，AB、CD 为圆形纸片中两条互相垂直的直径，将圆形纸片沿EF 折叠，使B 与圆心M 重合，折痕EF 与AB 相交于N，连结AE、AF，得到了以下结论：①四边形MEBF 是菱形，②△AEF 为等边三角形，③S△AEF：S 圆＝33：4π，其中正确的是_______．16．如图，AB 是⊙O 的切线，A 为切点，OB=52，AB=5，AC 是⊙O 的弦，圆心到弦AC 的距离为3，则弦AC 的长为__________．17．如图，A ，B 是⊙O 上的两点，C 是⊙O 上不与A ，B 重合的任意一点．如果∠AOB ＝140°，那么∠ACB 的度数为___．18．两圆的圆心距8d =，两圆的半径长分别是方程27120x x -+=的两根．则两圆的位置关系为________．19．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝35°，点C 为圆心、CA 为半径的圆交AB 于D 点，则弧AD 为_____度．20．如图，点C 在以AB 为直径的半圆上，AB=a ，∠CBA=30°，点D 在线段AB 上从点A 运动到点B ，点E 与点D 关于AC 对称，DF ⊥DE 于点D ，并交EC 的延长线于点F,当点D 从点A 运动到点B 时，线段EF 扫过的面积为__________．21．如图所示，AB 为⊙O 的直径，弦DA ，BC 的延长线相较于点P ，且BC=PC ． 求证：(1)AB=AP ；(2)BC CD =.22．已知：如图，AB 为圆O 的直径，点C 、D 在圆O 上，且6BC cm =，8AC cm =，45ABD ∠=.（1）求BD 的长；（2）求图中阴影部分（弦BD 和其所对劣弧围成的图形）的面积.23．如图，AB 为⊙O 的直径，点P 为其半圆上任意一点（不含A 、B 两点），点Q 为另一半圆上一定点，若∠POA 为x ︒，∠PQB 为y ︒，求y 与x 的函数关系式．24．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的圆O 交BC 于D ，交AC 于点E ，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，交AB 延长线于点G ，连结AD ．（1）∠ADB ＝ °，依据是 ；（2）求证：DF 是圆O 的切线；（3）已知BC ＝5CF ＝2，求AE 和BG 的长．25．如图，半圆O的直径AB=8，半径OC⊥AB，D为弧AC上一点，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分别为E、F，求EF的长．26．如图，四边形ABCD内接于⊙O．(1)连接AC、BD，若∠BAC＝∠CAD＝60°，则△DBC的形状为．(2)在(1)的条件下，试探究线段AD，AB，AC之间的数量关系，并证明你的结论；(3)若AB BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，点P为AB上的一动点，连接P A，PB，PD，求证：PD＝PB+2P A．27．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC=8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D．连接AD，BD．求四边形ABCD的面积.28．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DF⊥AC于点F，交BA的延长线于点E．求证：（1）BD＝CD；（2）DE是⊙O的切线．参考答案1．C 【解析】【分析】连接AO 并延长交⊙O 于D ，连接BD ，得到∠D=∠ACB ，∠ABD=90°，于是得到∠D+∠DAB=∠ACB+∠DAB=90°，根据切线的性质得到∠DAN=∠NAB+∠DAB=90°，从而求得∠ACB 的度数．【详解】连接AO 并延长交O 于D ，连接BD ，则D C ∠∠=，ABD 90∠=，D DAB C DAB 90∠∠∠∠∴+=+=，MN 切O 于点A ，DAN 90∠∴=，∴∠DAN=∠NAB+∠DAB=90°，∴∠C=∠NABNAB 50∠=，ACB=C 50∠∠∴=，故选：C ．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．2．C【解析】【分析】由∠BAC=∠BDC=120°可知ABCD四点共圆，由圆周角定理可得∠ABD=∠ACD，∠DAC=∠DBC=30°，即可得到∠DAC=∠EAD=30°，所以①②正确；无法得出③的结论，故③错误；PKN截△ABC，根据梅涅劳斯定理可得AK BN CP=1BK NC AP⋅⋅，再根据角平分线定理可推出BN AB=NC AC，CP BC=AP AB，从而得出AK AC=BK BC，可知CK为∠ACB的角平分线，两条角平分线交点为△ABC的内心G，设△ANC的内心为H，易知H在CG上，连接AH，NH，可得角平分线，最后推出AKNH四点共圆，即可得∠CKN=∠NAH=30°，故④正确. 【详解】解：∵∠BAC=∠BDC=120°∴ABCD四点共圆，∠DBC=∠DCB=30°，如图所示，∴∠ABD=∠ACD，∠DAC=∠DBC=30°，故①正确；又∵∠EAC=180°-∠BAC=60°，∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=30°=∠AEC即AD平分∠EAC，故②正确；无法得出③的结论，故③错误；④PKN截△ABC，根据梅涅劳斯定理可得AK BN CP=1 BK NC AP⋅⋅，∵AN平分∠BAC，PB平分△ABC的外角，∴BN AB=NC AC，CP BC=AP AB∴AK AB BC=1BK AC AB⋅⋅，整理得AK AC=BK BC∴CK平分∠ACBAN，CK交于点G，则G为△ABC的内心，设△ANC 的内心为H ，易知H 在CG 上，连接AH ，NH ，则AH 平分∠NAC ，NH 平分∠ANC设∠ACB=α，则∠ABC=60α-，∴∠ANC=∠ABC+∠BAN=120α-∴∠ANH=12∠ANC=602α- 又∵∠AKG=∠ABC+∠KCB=60=6022ααα-+-∴∠ANH=∠AKG∴AKNH 四点共圆，∴∠CKN=∠NAH=30°，故④正确.①②④正确，故选C.【点睛】 本题考查四点共圆，根据同弦对等角得到共圆是解决本题的关键，题目难度较大，尤其是第④，作为选择题可判断①②正确，③错误，即可得出答案.3．C【解析】【分析】过O 点作AB 的垂线，垂足为E ，交CD 于F 点，连接OA ，OC ，由垂径定理得AE=12AB=2分米，CF=12CD=3分米，设OE=x 分米，则OF=（x-1）分米，在Rt △OAE 中和Rt △OCF 中，根据勾股定理求得OA 、OC 的长度，然后由OA=OC ，列方程求x 即可求半径OA ，得出直径MN ．【详解】解：如图，依题意得AB=4分米，CD=6分米，过O 点作AB 的垂线，垂足为E ，交CD 于F 点，连接OA ，OC ，由垂径定理，得AE=12AB=2分米，CF=12CD=3分米，设OE=x分米，则OF=（x-1）分米，在Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2，在Rt△OCF中，OC2=CF2+OF2，∵OA=OC，∴22+x2=32+（x-1）2，解得x=3，∴半径2223=13（分米），∴直径MN=2OA=13故选C.【点睛】本题考查了垂径定理，以及勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键. 直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧 .4．B【解析】【分析】连接AB′，由OB′•OB=22，r=2，OB=2，得出OB′=2，即点B和B′重合，过B作BC⊥OA于C，由∠BOA=60°得出∠OBC=30°，得出OC=12OB=1，由勾股定理得出223OB OC，则2223BC AC【详解】连接AB′，如图2所示：∵OB ′•OB=22，r=2，OB=2∴OB ′=2，即点B 和B′重合，过B 作BC ⊥OA 于C ，∵∠BOA=60°，∴∠OBC=30°， ∴OC=12OB=1， ∴2222213OB OC∴AC=OA-OC=4-1=3， ∴AB ′22223323BCAC故选：B ．【点睛】本题考查了新概念“反演点”、含30°角直角三角形的性质、勾股定理等知识，正确理解新概念、作出辅助线由勾股定理求值是解题的关键．5．D【解析】【分析】根据圆周角定理问题可解．【详解】解：∵∠ABC 所对的弧是AC ，∠AOC 所对的弧是AC ，∴∠AOC=2∠ABC=2×70°=140°．故选：D ．【点睛】本题考查圆周角定理，解答关键是掌握圆周角和同弧所对的圆心角的数量关系．6．A【解析】【分析】根据平角的性质 可求得∠AOC 的度数，再根据平行线的性质及三角形内角和定理即可求得∠AOD 的度数．【详解】∵∠BOC=110°,∠BOC+∠AOC=180° ∴∠AOC=70°, ∵AD ∥OC ，OD=OA∴∠ADO=∠A=70°, ∴AOD 1802A 40,∠∠=-=OD=OB∴∠ODB=∠OBD=20°. 故选A.【点睛】考查圆周角定理, 平行线的性质, 三角形内角和定理，比较基础，难度不大.7．A【解析】【分析】圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．【详解】解：圆锥的侧面积=π×50×80=4000πcm 2．故选：A ．【点睛】本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键．8．C【解析】【分析】连接AB，OC，由圆周角定理可知AB为⊙C的直径，再根据∠BMO=120°可求出∠BAO以及∠BCO的度数，在Rt△COD中，解直角三角形即可解决问题.【详解】解：连接AB，OC，∵∠AOB=90°，∴AB为⊙C的直径，∵∠BMO=120°，∴∠BAO=60°，∴∠BCO=2∠BAO=120°，过C 作CD⊥OB 于D，则OD=12OB，∠DCB=∠DCO=60°，∵B(3，0)，，∴3在Rt△COD 中．CD=OD•tan30°=12，∴C(312)，故选C【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理、直角三角形的性质、坐标与图形的性质及特殊角的三角函数值，根据题意画出图形，作出辅助线，利用数形结合求解是解题的关键．9．B【解析】【分析】连接OA，由圆周角定理可求出∠AOC=60°，再根据∠AOC的正切即可求出PA的值. 【详解】连接OA，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵PA是圆的切线，∴∠PAO=90°，∵tan∠AOC =PA OA,∴PA= tan60°×1=3.故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出∠AOC=60°是解答本题的关键.10．A【解析】【分析】连接BD，求出∠ADB＝90°，根据内角和定理即可解答【详解】解：连接BD，∵弧BC=弧BC，∴∠CDB＝∠CAB＝35°，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝∠ADB﹣∠CDB＝55°，故选：A．【点睛】此题考查圆周角定理，解题关键在于作辅助线11．19°【解析】【分析】根据圆周角定理得到∠ACB的度数，再根据平行线的性质得到∠OAC的度数即可.【详解】解：∵∠AOB＝38º，∴∠ACB=19°，又∵AO∥BC，∴∠OAC=∠ACB=19°.故答案为：19°.【点睛】本题主要考查圆周角定理，平行线的性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 12．40°【解析】【分析】先根据直线BC与⊙O相切，得到∠OBC=90°，再利用同弧所对的圆周角与圆心角的关系求出∠BOC=2∠A=50°，可求出∠OCB=40°．【详解】∵直线BC与⊙O相切，∴∠OBC=90°，∵∠BOC=2∠A=50°，∴∠OCB=40°，答案为:40°.【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角与圆心角的关系，及圆的切线的性质，关键是熟练掌握这些性质.13．90【解析】【分析】根据弧长公式l=8180nπ⨯,将已知条件代入公式,利用扇形的弧长公式计算即可．【详解】解:设扇形的圆心角为n°,则84π180nπ⨯=，解得,n=90,故答案为:90. 【点睛】本题主要考查的是弧长的计算,掌握解决本题的关键是要熟练掌握弧长公式l=8 180nπ⨯．14．105﹣20．【解析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成正比，据此列方程即可解答．解：如图，AC为太阳光线与⊙O相切，则AC=AB=10，根据题意设CD=x，则AD=2x，半径为R，在Rt△ACD中，x2+4x2=102，解得x=∴OH=BD=10 -，CH=-R在Rt△OCH中，R2=（10 -）2+（-R）2，解得R=10-20故答案为（10-20）cm．15．①②③【解析】【分析】①根据垂径定理可得BM 垂直平分EF，再求出BN＝MN，从而得到BM、EF 互相垂直平分，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形求出四边形MEBF 是菱形，从而得到①正确；②连接ME，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠MEN＝30°，然后求出∠EMN＝60°，根据等边对等角求出∠AEM＝∠EAM，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEM ＝30°，从而得到∠AEF＝60°，同理求出∠AFE ＝60°，再根据三角形的内角和等于180°求出∠EAF＝60°，从而判定△AEF 是等边三角形，②正确；③设圆的半径为r，求出MN＝12r，EN＝3，然后求出AN、EF，再根据三角形的面积公式与圆的公式列式整理即可得到③正确．【详解】①根据垂径定理，BM 垂直平分EF，又∵纸片沿EF 折叠，B、M 两点重合，∴BN＝MN，∴BM、EF 互相垂直平分，∴四边形MEBF 是菱形，故①正确；②如图，连接ME，则ME＝MB＝2MN．∵∠ENM＝90°，∴∠MEN＝30°，∴∠EMN＝90°﹣30°＝60°，又∵AM＝ME（都是半径），∴∠AEM＝∠EAM，∴∠AEM＝12∠EMN＝12×60°＝30°，∴∠AEF＝∠AEM+∠MEN＝30°+30°＝60°，同理可求∠AFE＝60°，∴∠EAF＝60°，∴△AEF 是等边三角形，故②正确；③设圆的半径为r，则MN＝12r，EN＝3r，∴EF＝2EN＝3r，AN＝r+ 12r＝32r，∴S△AEF：S 圆＝（12×3r×32r）：πr2＝33：4，故③正确；综上所述，结论正确的是①②③．故答案①②③．【点睛】本题圆的综合题型，主要考查了翻折变换的性质，垂径定理，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，等边三角形的判定与性质，综合题，但难度不大，仔细分析便不难求解．16．8【解析】【分析】如图，首先根据切线的性质可得∠OAB=90°，利用勾股定理计算出AO的长，再利用勾股定理计算出AH的长，根据垂径定理可得AC=2AH，进而可得答案．【详解】如图，∵AB是⊙O的切线，A为切点，∴∠OAB=90°，∵AB=5，2∴AO=2222=(52)5OB AB--＝5，∵OH⊥AC，∴AC=2AH，∵OH=3，∴AH=22AO HO-=4，∴AC=8，【点睛】此题主要考查了切线的性质、垂径定理和勾股定理，关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径，垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．17．70°或110°．【解析】【分析】分点C在优弧上和劣弧上两种情况，根据圆周角定理及圆内接四边形的性质求出∠ACB的度数即可.【详解】如图1，当点C在优弧ACB上时，∵∠ACB和∠AOB分别是AB所对的圆周角和圆心角，∴∠ACB＝12∠AOB＝70°．如图2，当点C在劣弧AB上时，在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，∵∠ADB和∠AOB分别是AB所对的圆周角和圆心角，∴∠ADB＝12∠AOB＝70°，∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形，∴∠ADB+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝110°．综上所述：∠ACB的度数为70°或110°．故答案为70°或110°．【点睛】本题考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；圆的内接四边形的对角互补；熟练掌握相关定理及性质是解题关键.18．外离【解析】【分析】：本题可将方程的两个根求出来，若d＞R＋r则两圆相离；若d＝R＋r则两圆外切；若d＝R−r则两圆内切；若R−r＜d＜R＋r则两圆相交．【详解】解：原方程可以变形为（x−3）（x−4）＝0，解得x1＝3，x2＝4．∵x1＋x2＝7＜8，∴两圆外离．故填：外离.【点睛】本题主要考查两圆的位置关系与数量之间的联系，解题的关键是熟知两圆之间的关系.．19．70【解析】【分析】根据已知和三角形内角和定理即可求得∠ACD的度数，即得到了弧AD的度数．【详解】解：连接CD ，∵∠ACB ＝90°，∠B ＝35°∴∠A ＝90°－∠B ＝55°∵CA ＝CD∴∠A ＝∠CDA ＝55°∴∠ACD ＝180°－2∠A ＝70°∴弧AD 的度数是70°【点睛】本题利用了直角三角形，三角形内角和定理和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．20．23a 【解析】【分析】由题意画出图形，可知EF 扫过的图形就是图中的阴影部分，线段EF 扫过的面积是△ABC 面积的2倍，继而求得答案．【详解】如图，EF 扫过的图形就是图中的阴影部分，线段EF 扫过的面积是△ABC 面积的2倍，∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB=90°， ∵AB=a,∠CBA=30°， ∴AC=2a ,BC=32a ， ∴S △ABC=12⋅AC ⋅BC=12×2a ×32a =238a ∴线段EF 扫过的面积是2ABC S =234a . 故答案为：23a . 【点睛】 本题考查圆周角定理、勾股定理和轴对称的性质，解题的关键是掌握圆周角定理、勾股定理和轴对称的性质.21．(1)见解析；(2)见解析.【解析】【分析】（1）连接AC ，根据AB 为圆心O 的直径可知∠ACB=90°，即AC ⊥BP ．再根据BC=PC 可知AC 为BP 的垂直平分线，故可得出结论；（2）连接CD ，根据圆周角定理得出∠ADC=∠ABC=∠ABP=∠APB=∠APC ，故可得出∠CPD 为等腰三角形，所以CD=PC=BC ，由此可得出结论．【详解】(1) 连接AC∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACB=90°∵BC=PC∴AB=AP.(2)证明：连接CD，∵由(1)知AB=AP，∴∠APB=∠ABP.∵∠ADC,∠ABC均为AC所对的圆周角，∴∠ADC=∠ABC=∠ABP=∠APB=∠APC，∴△CPD为等腰三角形，∴CD=PC=BC∴BC CD=.【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理.22．（1）2cm．（2）25504π-cm2．【解析】【分析】（1）由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，由勾股定理求得AB，OB=5cm．连OD，得到等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论；（2）根据S阴影=S扇形-S△OBD即可得到结论．【详解】解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵BC=6cm，AC=8cm，∴AB=10cm．∴OB=5cm．连OD ，∵OD=OB，∴∠ODB=∠ABD=45°．∴∠BOD=90°． 22OB OD +2cm ．（2）S 阴影=S 扇形-S △OBD =2905360π-1552⨯⨯=25504π-cm 2． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，扇形的面积，三角形的面积，连接OD 构造直角三角形是解题的关键． 23．1902y x =-，且0＜x ＜180． 【解析】【分析】由圆周角定理，可得∠BOP=2∠BQP=2y °，又由邻补角的定义∠AOP+∠BOP=180°，可得x+2y=180，继而求得答案．【详解】∵∠BOP 与∠BQP 所对的弧为BP ，∴22BOP BQP y ∠=∠=︒，∵AB 为⊙O 的直径，∴180AOP BOP ∠+∠=︒，∴x+2y ＝180，∴1902y x =-，且0＜x ＜180． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用，注意数形结合思想的应用．24．（1）90，半圆（或直径）所对的圆周角是直角；（2）见解析；（3）AE＝6，BG＝103．【解析】【分析】（1）根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角可得结论；（2）连接OD，由（1）知AD⊥BC，结合等腰三角形的性质知BD＝CD，再根据OA＝OB 知OD∥AC，从而由DF⊥AC可得OD⊥DF，即可得证；（3）连接BE．BE∥DF，可得DF是△BEC的中位线，设AE＝x，则AC＝AB＝x+4，根据勾股定理列方程可得x的值，证明△GOD∽△GAF，列比例式可得BG的长．【详解】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，故答案为90，半圆（或直径）所对的圆周角是直角；（2）连接OD，∵∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，又∵OA＝OB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是圆O的切线；（3）连接BE．∵CD ＝12BC ＝5 ∵CF ＝2，∴DF 22CD CF -22(25)2-4，∵AB 是直径，∴∠AEB ＝∠CEB ＝90°，∴BE ⊥AC ，∵DF ⊥AC ，∴DF ∥BE ，∴EF ＝FC ＝2，∴BE ＝2DF ＝8，设AE ＝x ，则AC ＝AB ＝x+4由勾股定理得：AB 2＝AE 2+BE 2，（x+4）2＝82+x 2，x ＝6，∴AE ＝6，AB ＝4+6＝10，∵OD ∥AF ，∴△GOD ∽△GAF ， ∴OD OG AF AG=， ∴5BG 58BG 10+=+，BG ＝103． 【点睛】本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及中位线定理等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．25．4【解析】【分析】连接OD，利用三个角是直角的四边形是矩形判定四边形DEOF是矩形，利用矩形的对角线相等即可得到所求结论．【详解】连接OD．∵OC⊥AB DE⊥OC，DF⊥OA，∴∠AOC=∠DEO=∠DFO=90°，∴四边形DEOF是矩形，∴EF=OD．∵OD=OA∴EF=OA=4．【点睛】本题考查了圆的认识及矩形的判定与性质，解题的关键是利用矩形的判定方法判定四边形DFOE为矩形．26．(1)等边三角形；(2)AC＝AB+AD，理由见解析；(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)利用等弧对等角，可以判断出△DBC是等边三角形；(2)如图1，在AC上截取AE＝AD，连接DE，利用等边△DBC以及等边对等角的关系，可以证得△DAB≌△DEC(SAS)，可以证明AC＝AB+AD；（3）如图2，根据已知条件易证得四边形ABCD是正方形，在PD上取DE＝BP，也同样可证得△DAE≌△BAP(SAS)，可证得PAE为等腰直角三角形，所以PE2A.【详解】(1)∵∠BAC＝∠BDC＝60°，∠CAD＝∠CBD＝60°，∴∠BDC＝∠CBD＝∠BCD＝60°，∴△DBC是等边三角形．故答案为:等边三角形．(2)结论：AC＝AB+AD．理由：如图1，在AC上截取AE＝AD，连接DE．∵∠DAE＝60°，AD＝AE，∴△ADE是等边三角形，∴AD＝DE，∠ADE＝∠BDC＝60°，∴∠ADB＝∠EDC，∵DA＝DE，DB＝DC，∴△DAB≌△DEC(SAS)，∴EC＝AB，∴DE＝AD∴AC＝AE+EC＝AD+AB．(3)如图2中，在PD上取DE＝BP，∵∠DAB＝∠ABC＝90°，∴∠BCD＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∵AB BC=，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形，∴DA＝BD，∠ADE＝∠ABF，DE＝BP，∴△DAE≌△BAP(SAS)，∴AE＝AP，∠DAE＝∠BAP，∴∠P AE＝∠BAD＝90°，∴PE A，∴PD﹣PB＝PD＝DE＝PE A．【点睛】本题考查了等边三角形、正方形以及全等三角形的判定和性质，证明三条线段之间的数量关系，一般采用“截”、“补”法构造全等三角形，利用等量代换证明；根据题意作出辅助线，构造出全等三角形，利用等量代换求解是解答本题的关键．27．S四边形ADBC＝49（cm2）．【解析】【分析】根据直径所对的角是90°，判断出△ABC和△ABD是直角三角形，根据圆周角∠ACB的平分线交⊙O于D，判断出△ADB为等腰直角三角形，根据勾股定理求出AD、BD、AC的值，再根据S四边形ADBC=S△ABD+S△ABC进行计算即可.【详解】∵AB为直径，∴∠ADB=90°，又∵CD平分∠ACB，即∠ACD=∠BCD，∴AD BD=，∴AD=BD，∵直角△ABD中，AD=BD，AD2+BD2=AB2=102，则，则S △ABD =12AD•BD=12××=25(cm 2)，在直角△ABC 中，=， 则S △ABC =12AC•BC=12×6×8=24(cm 2)， 则S 四边形ADBC =S △ABD +S △ABC =25+24=49(cm 2)．【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的面积等，正确求出相关的数值是解题的关键.28．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）连接AD ，根据直径所对的圆周角是直角得到AD ⊥BC ，然后利用等腰三角形底边上的高是底边上的中线可以证明BD ＝CD ．（2）连接OD ，利用等边对等角和等量代换得到∠C ＝∠ODB ，根据同位角相等，两直线平行，得到OD ∥AC ，又DF ⊥AC ，所以OD ⊥DF ，根据切线的判断定理可以得到DE 是⊙O 的切线．【详解】证明：（1）连接AD ，∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°，∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD ．（2）连接OD ，∵OB ＝OD ，∴∠B ＝∠ODB ，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴∠ODB ＝∠C ，∴OD ∥AC ，∵DF ⊥AC ，∴OD ⊥DF ，∴DE是⊙O的切线．【点睛】本题考查了切线的判定和等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键．。
北师大版2019-2020学年九年级数学下册第三章圆单元测试卷(含答案)
北师大版九年级数学下册第三章圆单元检测试卷考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.有下列四个命题，其中正确的有（）①圆的对称轴是直径；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．A.4个B.3个C.2个D.1个2.已知AD是⊙O的直径，AD′⊥BC，AB、AC分别与圆相交于E、F，那么下列等式中一定成立的是（）A.AE⋅BF=AF⋅CFB.AE⋅AB=AO⋅AD′C.AE⋅AB=AF⋅ACD.AE⋅AF=AO⋅AD3.下列说法中正确的是（）A.垂直于半径的直线是圆的切线B.圆的切线垂直于半径C.经过半径的外端的直线是圆的切线D.圆的切线垂直于过切点的半径4.在半径为1的圆中，长度等于√2的弦所对的弧的度数为（）A.90∘B.145∘C.270∘D.90∘或270∘5.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCN互余的角有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6.已知⊙O的半径为10，P为⊙O内一点，且OP=6，则过P点，且长度为整数的弦有（）A.5条B.6条C.8条D.10条7.如图△ABC内接于⊙O，PA，PB是⊙O的两条切线，已知AC=BC，∠ABC=2∠P，则∠ACB的弧度数为（）A.3π7B.4π9C.5π11D.6π138.如图，在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，⊙O分别与边AB，AC相切，切点分别为E，C，则⊙O的半径是（）A.103B.163C.203D.2339.如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E．若CD=6，OE=4，则⊙O的直径为（）A.5B.6C.8D.1010.如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD．若∠BAC=55∘，则∠COD的大小为（）A.70∘B.60∘C.55∘D.35∘二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.在圆内接四边形ABCD中，∠B=2∠D，则∠B=________．12.半径为4，圆心角为150∘的扇形面积是________（结果保留π）．13.如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35∘，则∠B的度数是________．14.如图，在⊙O中，弦AB和CD相交于点P，若AP=4，PB=6，CP=3，则PD的长为________．15.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO⊥BC于点F，D为AC^的中点，且CD^的度数为70∘，则∠BAF=________度．16.有一长、宽分别为4cm，3cm的矩形ABCD，以A为圆心作圆，若B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙O的半径r的取值范围是________．17.已知在平面内有不重合的四个点，它们一共可以确定________个圆．18.在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=10，AC=6，则外接圆半径是________；内切圆半径是________．19.在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=6，BC=8，则其外接圆的半径为________．20.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135∘，则AC^的长________．三、解答题（共 8 小题，共 60 分）21.（4分）已知三点A、B、C，用直尺和圆规作⊙O，使⊙O过点A、B、C．（不写作法，保留痕迹）22.(8分) 如图，A是⊙O外一点，AO交⊙O于P点，AB切⊙O于B点，AP=5cm，AB=5√3cm，求：（1）⊙O的半径；(2)阴影部分的面积．23.(8分) 如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，D是劣弧AC上的点（不与点A、C重合），延长BD至E．(1)求证：AD的延长线DF平分∠CDE；(2)若∠BAC=30∘，△ABC中BC边上的高为2+√3，求⊙O的面积．24.(8分) 已知：如图，AB是⊙O的直径，BE是⊙O的切线，切点为B．点C为射线BE上一动点（点C与B不重合），且弦AD平行于OC．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)设⊙O的半径为r．试问：当动点C在射线BE上运动到什么位置时，有AD=√2r？请回答并证明你的结论．25.(8分) 如图，⊙O的直径AB=10，弦DE⊥AB于点H，AH=2．(1)求DE的长；(2)延长ED到P，过P作⊙O的切线，切点为C，若PC=2√5，求PD的长．26.(8分) AC为⊙O的直径，B是⊙O外一点，AB交⊙O于E点，过E点作⊙O的切线，交BC于D点，DE=DC，作EF⊥AC于F点，交AD于M点．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)求证：EM=FM．27.(8分) 如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙0经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45∘，(1)求证：CD是⊙O的切线．(2)若⊙O的半径为3，AE=5，求∠ADE的正弦值．28.(8分) 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，过点A作AD⊥CD于点D，交⊙O于点E，且BC^=CE^．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若tan∠CAB=3，BC=3，求DE的长．4答案1.C2.C3.D4.D5.C6.C7.A8.A9.D10.A11.120∘12.203π13.55∘14.815.2016.3<r<517.0或1或3或418.5219.520.π21.解：如图所示：⊙O即为所求．22.解：(1)根据切割线定理得：(5√3)2=5×(5+2r)，解得r=5cm；(2)从图中可以看出阴影部分的面积=S△AOB−S扇形OBP =252√3−256π(cm2)．23.(1)证明：如图，设F为AD延长线上一点，∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF=∠ABC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，∵∠ADB=∠EDF，∴∠EDF=∠CDF，即AD的延长线平分∠CDE．(2)设O为外接圆圆心，连接AO比延长交BC于H，交⊙O于点M，连接OC，∵AB=AC，∴AB^=AC^，∴AH⊥BC．∴∠OAC=∠OAB=12∠BAC=12×30∘=15∘，∴∠COH=2∠OAC=30∘，设圆半径为r，则OH=OC⋅cos30∘=√32r，∵△ABC中BC边上的高为2+√3，∴AH=OA+OH=r+√32r=2+√3，解得：r=2，∴△ABC的外接圆的面积为：4π．24.(1)证明：连接OD；∵OA=OD，∴∠A=∠1，∵OC // AD，∴∠A=∠3，∠1=∠2，∴∠2=∠3；∵OD=OB，OC=OC，∴△ODC≅△OBC，∴∠ODC=∠OBC=90∘，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．(2)解：当BC=r时；∵∠OBC=90∘，BO=BC=r，∴∠3=∠A=∠1=45∘，∴∠AOD=90∘，∴AD=√OA2+OD2=√2r．25.解：(1)∵直径AB=10，弦DE⊥AB于点H，∴DH=EH，∴DH⋅EH=AH⋅BH=16，∴DH=4，∴DE=8；(2)∵PC切⊙O于点C，∴PC2=PD⋅PE，∵PC=2√5，∴PD=2，或PD=−10（舍去），∴PD=2．26.解：(1)连接CE，∵DE=CD，∴∠1=∠2，∵DE是⊙O的切线，∴∠2=∠BAC，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90∘，∴∠BAC+∠3=90∘，∴∠1+∠3=90∘，∴∠ACB=90∘，∴BC是⊙O的切线；(2)∵∠1+∠3=90∘，∴BC⊥AC，∵EF⊥AC，∴EF // BC，∴△AEM∽△ABD，△ANF∽△ACD，∴EM BD =AMAD，MFCD=AMAD，∴EM BD =FMCD，∵∠1=∠2，∴∠1+∠B=∠2+∠BED=90∘，∴∠B=∠BED，∴DE=BD，∴BD=CD，∴EM=FM．27.(1)证明：连结OD，如图，∵∠AOD=2∠AED=2×45∘=90∘，∴OD⊥AB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD // AB，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；(2)解：连结BE，∵AB为直径，∴∠AEB=90∘，根据圆周角定理：∠ADE=∠ABE，∴sin∠ADE=sin∠ABE=AEAB =56．即∠DAE的正弦值是56．28.(1)证明：连接OC，如图，∵BC^=CE^，∴∠1=∠2，∵OC=OA，∴∠1=∠OCA，∴∠2=∠OCA，∴OC // AD，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD 是⊙O 的切线；(2)解：连接BE 交OC 于F ，如图， ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90∘，在Rt △ACB 中，tan∠CAB =BC AC =34，而BC =3，∴AC =4，∴AB =√AC 2+BC 2=5，∵∠1=∠2，∴Rt △ABC ∽Rt △ACD ，∴AC AD =AB AC ，即4AD =54，解得AD =165， ∵BC CD =AB AC ，即3CD =54，解得CD =125，∵BC^=CE ^， ∴OC ⊥BE ，BF =EF ，∴四边形DEFC 为矩形，∴EF =CD =125，∴BE =2EF =245， ∵AB 为直径，∴∠BEA =90∘，在Rt △ABE 中，AE =√AB 2−BE 2=√52−(245)2=75，∴DE =AD −AE =165−75=95．。
北师大版九年级下册数学 第三章 圆 单元测试卷(含答案解析)
北师大版九年级下册数学第三章圆单元测试卷（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 下列说法正确的个数是（）①直径是圆的对称轴；②半径相等的两个半圆是等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④和圆有一个公共点的直线是圆的切线．A.1B.2C.3D.42. 圆内接四边形MNPQ中，∠M、∠N、∠P的度数比是3:4:6，则∠Q的度数为（）A.60∘B.80∘C.100∘D.120∘3. 某公园计划砌一个形状如图(1)的喷水池，后来有人建议改为图(2)的形状，且外圆的直径不变，若两种方案砌各圆形水池的周边需用的材料费分别为W1和W2，则（）A.W1<W2B.W1>W2C.W1=W2D.无法确定4. 如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F．如果AB=CD，那么下列判断中错误的是（）̂=CD̂ B.∠AOB=∠CODA.ABC.OE=OFD.∠AOC=∠BOD̂的中点，连接OC，点E，F分别是OA，OC上的点，5. 如图，AB是⊙O的直径，C是AB若EF // AC，则∠EFC的度数为（）A.45∘B.60∘C.135∘D.160∘6. 下列说法中，正确的是（）A.90∘的圆周角所对的弦是直径B.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧C.经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线D.长度相等的弧是等弧7. 如图，⊙O阴影部分为残缺部分，现要在剩下部分裁去一个最大的正方形，若OP=2，⊙O半径为5，则裁去的最大正方形边长为多少？（）A.7B.6C.5D.48. 如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（）。
北师大版2020九年级数学下册第三章圆单元综合基础达标训练题2(附答案详解)
北师大版2020九年级数学下册第三章圆单元综合基础达标训练题2（附答案详解）1．如图,AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,∠ABC＝30°,AB＝8,则BC 等于( )A．4；B．42；C．43；D．8；2．圆是轴对称图形，它的对称轴有（）A．一条B．两条C．三条D．无数条3．AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P=40°，则∠B等于（）A．20°B．25°C．30°D．40°4．下列命题错误的是（）A．等弧对等弦；B．三角形一定有外接圆和内切圆；C．平分弦的直径垂直于弦；D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 5．把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的数是（）A．1B．2C．3D．26．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，则圆心坐标是（）A．点（1，0）B．点（2，1）C．点（2，0）D．点(2.5，1) 7．在半径为50cm的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮，•用剩余部分制作成一个底面直径为80cm，母线长为50cm的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角度数为（）．A ．228°B ．144°C ．72°D ．36°8．如图为4×4的正方形网格，A ，B ，C ，D ，O 均在格点上，点O 是( )A ．△ACD 的外心B ．△ABC 的外心 C ．△ACD 的内心 D ．△ABC 的内心 9．如图，是半圆，连接AB ，点O 为AB 的中点，点C 、D 在上，连接AD 、CO 、BC 、BD 、OD ．若∠COD=62°，且AD ∥OC ，则∠ABD 的大小是（ ）A ．26°B ．28°C ．30°D ．32°10．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 是直径，∠D =40°，则∠AOC 的度数为（ ）A ．1050B ．1000C ．990D ．95011．如果两个圆心角相等，那么（ ）A ．这两个圆心角所对的弦相等B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D ．以上说法都不对12．一元钱硬币的直径约为24 mm ，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过( )A ．12 mmB ．123 mmC ．6 mmD ．63 mm13．已知点P 为平面内一点，若点P 到⊙O 上的点的最长距离为5，最短距离为1，则⊙O 的半径为________．14．如图，是⊙O 直径，130AOC ∠=︒，则D ∠=______15．如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50°，则∠OCD的度数是_____°．16．如图，在⊙O中，过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为点D．若AC=8，CD=4，则BC的长为___________．17．如图，已知矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P是以CD为直径的半圆上的一个动点，连接BP．（1）半圆CD=__；（2）BP的最大值是__．18．已知：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离______________．19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为_____.20．如图，边长一定的正方形ABCD，Q是CD上一动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于N点，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM=MN；②MP=12BD；③BN+DQ=NQ；④AB BNBM为定值．其中一定成立的是_______．21．如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，点P是⊙O 上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP=60°，连接OD，则OD长的最大值为________．22．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15 cm．若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为____．23．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=43，OC=2，则半径OB的长为______．24．（1）解方程：3x（x﹣2）=2（2﹣x）（2）如图，PA，PB分别与相⊙O切于点A，B，连接AB．∠APB=60°，AB=5，求PA的长．25．有这样一道习题：如图1，已知OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA 上任一点(不与O、A重合)，BP的延长线交⊙O于Q，过Q点作⊙O的切线交OA的延长线于R.（1）证明：RP=RQ；（2）请探究下列变化：A、变化一：交换题设与结论.已知：如图1，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P 是OA上任一点(不与O、A重合)，BP的延长线交⊙O于Q，R是OA的延长线上一点，且RP=RQ.证明：RQ为⊙O的切线.B、变化二：运动探求. ①如图2，若OA向上平移，变化一中结论还成立吗？(只交待判断) 答：_________.②如图3，如果P在OA的延长线上时，BP交⊙O于Q，过点Q作⊙O的切线交OA的延长线于R，原题中的结论还成立吗？为什么？26．如图1，直角△ABC中，∠ABC=90°，AB是⊙O的直径，⊙O交AC于点D，过点D 的直线交BC于点E，交AB的延长线于点P，且∠A=∠PDB．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）如图2，点M是AB的中点，连接DM，交AB于点N，若tan∠A=14，求DNMN的值．27．如图，AE是△ABC外接圆O的直径，连结BE，作AD⊥BC于D．（1）求证：△ABE∽△ADC；（2）若AB=8，AC=6，AE=10，求AD的长．28．如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，P A=PD．（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值．29．如图，在⊙O中，AB为直径，D．E为圆上两点，C为圆外一点，且∠E+∠C=90°．（1）求证：BC为⊙O的切线．（2）若sinA=35，BC=6，求⊙O的半径．30．如图，为半圆的直径，是⊙的一条弦，为的中点，作,交的延长线于点,连接.（1）求证：为半圆的切线；（2）若，求阴影区域的面积.（结果保留根号和π）31．已知A、B两点，求作：过A、B两点的⊙O及⊙O的内接正六边形ABCDEF．（要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不必写作法及证明．）32．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，BE=2，求弦CD的长．33．如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =2，且抛物线经过A （-1，0），C （0，-5）两点，与x 轴交于点B ．（1）若直线y =mx +n 经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）设点P 为抛物线上的一个动点，连接PB 、PC ，若△BPC 是以BC 为直角边的直角三角形，求此时点P 的坐标；（3）在抛物线上BC 段有另一个动点Q ，以点Q 为圆心作⊙Q ，使得⊙Q 与直线BC 相切，在运动的过程中是否存在一个最大⊙Q .若存在，请直接写出最大⊙Q 的半径；若不存在，请说明理由.34．如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上．(1)若52AOD ∠=，求DEB ∠的度数；(2)若3,6OC OA ==，求tan DEB ∠的值．35．如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 切小圆于点P .（1）PA 与PB 相等吗？请说明理由；（2）若8AB =，求圆环的面积.参考答案1．C【解析】试题分析：AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,所以∠ACB=90°，又因∠ABC＝30°,AB＝8,所以AC=4，根据勾股定理得 C.2．D【解析】试题解析：解：圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的直线，所以圆有无数条轴对称.故应选D考点：轴对称图形点评：本题主要考查了轴对称图形，如果把一个图形沿某直线折叠，折叠后直线两旁的部分可以重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.3．B【解析】【分析】【详解】解：∵PA切⊙O于点A，∴∠PAB=90°，∵∠P=40°，∴∠POA=90°﹣40°=50°，∵OC=OB，∴∠B=∠BCO=25°，故选B．4．C【解析】试题解析：A、等弧对等弦，正确，不符合题意；B、三角形一定有外接圆和内切圆，正确，不符合题意；C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误，符合题意；D、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心，正确，不符合题意，故选C．5．B【解析】分析：本题考查的是用数轴表示无理数.OA的长为.故选B.6．C【解析】试题分析：根据勾股定理可知A、B、C点到2，然后可知圆心为（2，0）或者通过AB、BC的垂直平分线求解也可以.故选C.7．C【解析】解：80π=50180nπ⨯，解得n=288°，这是剩下的度数，则剪去的度数就是360°﹣288°=72°．故选C．点睛：解答本题的关键是有确定底面周长=展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．8．B【解析】试题解析：由图可得：OA=OB=OC=所以点O在△ABC的外心上，故选B.9．B【解析】试题分析;∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°，∵AD∥OC，∴∠A=∠COD=62°，∴∠ABD=90°﹣∠A=28°；故选B．考点:圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．10．B【解析】解：连接AC，BC．∵AB是⊙O是直径，∴∠ACB=90°．∵∠A=∠D=40°，∴∠B=50°，∴∠AOC=100°．故选C．11．D【解析】因为在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦以及弦心距相等,本题中题设中缺少”同圆或等圆”这一条件,故选D.点睛:本题主要考查圆心角与弧,弦,弦心距之间的关系,解决本题的关键要熟练掌握圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系,并注意前提条件:”同圆或等圆中”.12．A【解析】试题解析：已知圆内接半径r为12mm，则OB=12，∴BD=OB•sin30°=12×12=6，则BC=2×6=12，可知边长为12mm，就是完全覆盖住的正六边形的边长最大．故选A．13．2或3【解析】试题解析：当点P在圆内时，则直径=5+1=6，因而半径是3；当点P 在圆外时，直径=5-1=4，因而半径是2．所以⊙O 的半径为2或3．14．25°【解析】130AOC ∠= ，50BOC ∴∠= ，11502522D BOC ∴∠=∠=⨯= ． 15．40°．【解析】连接BO ，∵∠A =50°， ∴∠BOC =100°， ∵OD ⊥BC ，∴BD =CD ，∴∠BOD =∠COD =50°， ∴∠OCD =40°. 故答案为40°. 点睛：熟练运用垂径定理以及圆周角与圆心角之间的关系.16．2【解析】连接OD ，根据切线的性质可得∠ODC=90°，然后利用切线定理求出BC 的长．解：连接OD ，∵CD 是⊙O 的一条切线，∵AC =8，CD =4，2CD BC AC =⋅，21628CD BC AC === 17． 2π 2+13【解析】分析：（1）本题利用弧长公式计算即可；（2）当BP 经过半圆的圆心时最长.解析：（1）∵矩形ABCD 中，AB=CD, AB=4,∴CD=4, 18022;180CD ππ⨯== （2）当BP 经过CD 的中点时，BP 最长，∵AB=4，AD=3，∴BC=3,OC=2,∴OB=13,∵OP=2,∴BP=2+13.13点睛：本题的关键是第二问的解决，要找到点BP 最大值的位置，当BP 经过半圆的圆心时最长，利用勾股定理即可得到结论.18．8cm 或22cm【解析】（1）如图1，连接OB ，OD ，做OM ⊥AB 交CD 于点N ，∵AB ∥CD ，∴ON ⊥CD ，∵AB=40cm ，CD=48cm ，∴BM=20cm ，DN=24cm ，∵⊙O 的半径为25cm ，∴OB=OD=25cm ，∴OM=15cm ，ON=7cm ，∵MN=OM-ON ，（2）如图2，连接OB，OD，做直线OM⊥AB交CD于点N，∵AB∥CD，∴ON⊥CD，∵AB=40cm，CD=48cm，∴BM=20cm，DN=24cm，∵⊙O的半径为25cm，∴OB=OD=25cm，∴OM=15cm，ON=7cm，∵MN=OM+ON，∴MN=22cm．∴平行弦AB，CD之间的距离为8cm或22cm．.故答案是：8cm或22cm19．45°【解析】如图，连接OA，因OA=OC，可得∠ACO=∠OAC=45°，根据三角形的内角和公式可得∠AOC=90°，再由圆周角定理可得∠B=45°.20．①②③④【解析】【详解】 解：①如图1，作AU ⊥NQ 于U ，交BD 于H ，连接AN ，AC ，∵∠AMN=∠ABC=90°，∴A ，B ，N ，M 四点共圆，∴∠NAM=∠DBC=45°,∠ANM=∠ABD=45°，∴∠ANM=∠NAM=45°，∴AM=MN ；②由同角的余角相等知，∠HAM=∠PMN ，∴Rt △AHM ≌Rt △MPN ，∴MP=AH=12AC=12BD ； ③∵∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°，∴在∠NAM 作AU=AB=AD ，且使∠BAN=∠NAU ，∠DAQ=∠QAU ，∴△ABN ≌△UAN,△DAQ ≌△UAQ ，有∠UAN=∠UAQ ，BN=NU ，DQ=UQ ，∴点U 在NQ 上，有BN+DQ=QU+UN=NQ ；④如图2，作MS ⊥AB ，垂足为S ，作MW ⊥BC ，垂足为W ，点M 是对角线BD 上的点， ∴四边形SMWB 是正方形，有MS=MW=BS=BW ，∴△AMS ≌△NMW∴AS=NW ，∴AB+BN=SB+BW=2BW ，∵BW:BM=1: 2，∴22AB BN BM +== 故答案为①②③④．本题考查了正方形的性质，四点共圆的判定，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质；熟练掌握正方形的性质，正确作出辅助线并运用有关知识理清图形中西安段间的关系，证明三角形全等是解决问题的关键．21．231+【解析】把△OPC顺时针旋转60°，则△OCO′是等边三角形.以CO′的中点N作半径为1的圆，连接ON并延长交圆N于点F，则OF的长就是OD的最大值.sin60ONOC=,343 2ON∴=⨯=231OF ON NF∴=+=,CD∴的最大值为231 . 22．350π；【解析】试题解析：设AB=R，AD=r，则S贴纸=13πR2﹣13πr2=13π（R2﹣r2）=13π（R+r）（R﹣r）=13×（25+10）×（25﹣10）π=175π（cm2）．23．4 【解析】连接OB，∵OC⊥AB于C，AB=3∴BC=12AB=12×33在Rt△OBC中，∵OC=2，BC=3∴22222(23)OC BC+=+，故答案为4．24．（1）x1=﹣23，x2=2（2）5【解析】试题分析：(1)、本题利用提取公因式法进行解方程；(2)、根据切线的性质得出PA=PB，然后结合角度得出△PAB为等边三角形，从而求出PA的长度.试题解析：（1）（3x+2）（x﹣2）=0，x1=﹣23，x2=2．（2）∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴PA=PB，∵∠APB=60°，∴△PAB是等边三角形∴AB=PA=5，25．（1）证明见解析；（2）变化一：证明见解析；变化二：①结论成立；②结论成立，理由见解析.【解析】【分析】（1）首先连接OQ，由切线的性质，可得∠OQB+∠BQR=90°，又由OA⊥OB，可得∠OPB+∠B=90°，继而可证得∠PQR=∠BPO=∠RPQ，则可证得RP=RQ，（2）A、变化一，连接OQ，证明∠OQR=90°即可；B、变化二：①若OA向上平移，变化一中的结论还成立，证明思路同变化一；②如果P在OA的延长线上时，BP交⊙O于Q，过点Q作⊙O的切线交OA的延长线于R，原题中的结论还成立，连接OQ，证明思路同（1）．【详解】解：（1）连接OQ，∵OQ=OB，∴∠OBP=∠OQP，又∵QR为⊙O的切线，∴OQ⊥QR，即∠OQP+∠PQR=90°，而∠OBP+∠OPB=90°，故∠PQR=∠OPB，又∵∠OPB与∠QPR为对顶角，∴∠OPB=∠QPR，∴∠PQR=∠QPR∴RP=RQ；变化一、连接OQ，∵RP=RQ，∴∠PQR=∠QPR=∠BPO，又∵OB=OQ，OA⊥OB，∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°，∴∠OQB+∠PQR=90°，即∠OQR=90°，∴RQ为⊙O的切线；变化二、(1)结论成立，连接OQ，∵RP=RQ，∴∠PQR=∠QPR=∠BPM，又∵OB=OQ，RP⊥OB，∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPM=90°，∴∠OQB+∠PQR=90°，即∠OQR=90°，∴RQ为⊙O的切线；(2)结论成立，连接OQ，∵RQ是⊙O的切线，∴OQ⊥QR，∴∠OQB+∠PQR=90°，∵OA⊥OB，∴∠OPB+∠B=90°，又∵OB=OQ ， ∴∠OQB=∠B ，∴∠PQR=∠BPO=∠RPQ ，∴RP=RQ ．【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及垂直的定义，正确添加辅助线，注意数形结合思想的应用是解题的关键．26．（1）证明见解析;（2）DN MN 817 . 【解析】试题分析：（1）如图，作辅助线；要证明PD 是⊙O 的切线，只要证明∠PDO=90°，运用切线的判定定理，即可解决问题．（2）如图，直接求出DN MN的值，非常困难；因此，需要作辅助线，构造相似三角形；运用已知条件tan ∠A=12，结合图形，联想勾股定理，设出BD=x ，求出AB 的长度；进而求出DF 的长度；运用△OMN ∽△FDN ，得到=DN DF MN OM ，即可解决问题． 试题解析：（1）连结OD ；∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，OA=OB ，∠A+∠ABD=90°； 又∵OA=OB=OD ，∴∠ADO=∠A ，∠BDO=∠ABD ；又∵∠A=∠PDB ，∴∠PDB+∠BD0=90°， 即∠PDO=90°，且D 在圆上，∴PD 是⊙O 的切线．（2）连结OM ，过D 作DF ⊥AB 于F ；∵点M 是AB 的中点，∴OM ⊥AB ；设BD=x ，∵tan ∠A=1=4BD AD ， ∴AD=4x ；由勾股定理得：()224=17x x x +；由三角形的面积公式得：12AD•BD=12AB•DF ， ∴417x ； ∵OM ∥DF ， ∴△OMN ∽△FDN ，∴=DN DF MN OM ，417x ，17x ， ∴8=17DN MN ． 【点睛】该题以圆为载体，以考查切线的判定、等边三角形的判定及其性质、弧长公式、勾股定理、相似三角形的判定等几何知识点及其应用为核心构造而成；解题的方法是深入观察图形，数形结合，准确找出图形中隐含的相等或相似关系；解题的关键是牢固掌握等边三角形的判定及其性质、弧长公式、勾股定理等几何知识点．27．（1）证明见解析；（2）4.8.【解析】试题分析：（1）如图，证明∠ABE=∠ADC=90°，∠E=∠C，即可解决问题；（2）由△ABE∽△ADC，列出比例式AB AEAD AC=，求出AD即可解决问题．试题解析：（1）如图，∵AE是△ABC外接圆O的直径，且AD⊥BC，∴∠ABE=∠ADC=90°；而∠E=∠C，∴△ABE∽△ADC．（2）∵△ABE∽△ADC，∴AB AEAD AC= ,而AB=8，AC=6，AE=10，∴AD=4.8．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质、圆周角定理及其推论等几何知识点及其应用问题；解题的关键是深入观察图形结构特点，数形结合，准确找出图形中隐含的相等或相似关系．28．（1）PD是⊙O的切线．证明见解析.（2）8.【解析】试题分析：（1）连结OP，根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°，然后计算出∠PAD和∠D的度数，进而可得∠OPD=90°，从而证明PD是⊙O的切线；（2）连结BC，首先求出∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，然后可得AC长，再证明△CAE∽△CPA，进而可得，然后可得CE•CP的值．试题解析：（1）如图，PD是⊙O的切线．证明如下：连结OP，∵∠ACP=60°，∴∠AOP=120°，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA=30°，∵PA=PD，∴∠PAO=∠D=30°，∴∠OPD=90°，∴PD是⊙O的切线．（2）连结BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵C为弧AB的中点，∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，∵AB=4，AC=Absin45°=．∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，∴△CAE∽△CPA，∴，∴CP•CE=CA2=（）2=8．考点：相似三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；直线与圆的位置关系；探究型．29．（1）证明见解析；（2）4．【解析】试题分析：（1）根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠E，再根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC=90°，然后根据切线的定义证明即可；（2）根据∠A的正弦求出AC，利用勾股定理列式计算求出AB，然后求解即可．试题解析：（1）证明：∵∠A与∠E所对的弧都是BD，∴∠A=∠E，又∵∠E+∠C=90°，∴∠A+∠C=90°，在△ABC中，∠ABC=180°﹣90°=90°，∵AB为直径，∴BC为⊙O的切线；（2）解：∵sinA=35，BC=6，∴CBAC=35，即6AC=35，解得AC=10，由勾股定理得，AB=22AC BC-=22106-=8，∵AB为直径，∴⊙O的半径是12×8=4．考点：切线的判定；解直角三角形．30．（1）证明见解析（2）-6π【解析】试题分析：（1）直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出OD⊥EF，即可得出答案；（2）直接利用得出S△ACD=S△COD，再利用S阴影=S△AED﹣S扇形COD，求出答案．试题解析：（1）连接OD，∵D为的中点，∴∠CAD=∠BAD，∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO，∴∠CAD=∠ADO，∵DE⊥AC，∴∠E=90°，∴∠CAD+∠EDA=90°，即∠ADO+∠EDA=90°，∴OD⊥EF，∴EF为半圆O的切线；（2）连接OC与CD，∵DA=DF，∴∠BAD=∠F，∴∠BAD=∠F=∠CAD，又∵∠BAD+∠CAD+∠F=90°，∴∠F=30°，∠BAC=60°，∵OC=OA，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC=60°，∠COB=120°，∵OD⊥EF，∠F=30°，∴∠DOF=60°，在Rt△ODF中，DF=6，∴OD=DF•tan30°=6，在Rt△AED中，DA=6，∠CAD=30°，∴DE=DA•sin30°·，EA=DA•cos30°=9，∵∠COD=180°﹣∠AOC﹣∠DOF=60°，∴CD∥AB，故S△ACD=S△COD，﹣S扇形COD=×9×3﹣π×62=﹣6π．∴S阴影=S△AED考点：1、切线的判定与性质；2、扇形面积的计算31．见解析【解析】试题分析：根据题意可知作出以AB为直径的圆，且以AB的一半为半径的圆内接正六边形即可．试题解析：如图所示：首先以AB为直径作圆，在以AB的一半为半径在圆上截取相等的弧，然后顺次连接六个等分点即可．32．CD=8.【解析】试题分析：连接OC，先根据直径AB=10，求出OC的长，再根据勾股定理求出CE的长，由垂径定理即可得出结论.试题解析：连接OC，∵直径AB=10，BE=2，∴OE=5﹣2=3，OC=5；∵弦CD⊥AB，∴CE=DE；由勾股定理得：CE=2253=4，∴CD=2CE=8．33．（1）y=x-3；y=x2-2x-3；（2）P1（-2，5），P2（1，-4）（3）存在，2 8【解析】试题分析：(1)、根据抛物线的对称轴和点A的坐标得出点B的坐标，然后将点B和点C的坐标代入解析式得出一次函数解析式，将二次函数设成交点式，然后将点C的坐标代入求出二次函数的解析式；(2)、根据题意得出AB=4，OB=OC=3，则∠OCB=∠OBC=45°，设抛物线的对称轴与x轴交于点M，MB=2，然后分B为直角顶点和C为直角顶点两种情况分别求出点P的坐标；(3)、首先设出点Q的坐标，然后得出点Q到直线BC的距离，然后根据点Q到直线BC的距离等于半径得出答案.点晴：本题主要考查的就是函数解析式的求法、直角三角形的性质、切线的性质以及分类讨论思想.求函数解析式我们一般采用待定系数法进行求解.在函数里面出现几何问题时，一定要注意分类讨论，然后根据直角三角形直角顶点的不同位置，从而得出两种不同的情况，分别根据直角三角形的性质得出答案.在解决这种类型的题目时我们一定要注意分类讨论以及根据特殊三角形的性质进行解答，即使有一种不符合题意的情况也需要进行说明，最后根据实际情况进行舍去即可.在直线和圆的位置关系中，当圆心到直线的距离等于半径时，则直线与圆相切，对于这种问题分别利用公式得出圆与直线的距离和圆的半径，然后根据相等列出方程得出答案. 试题解析：（1）∵对称轴为x=2，且抛物线经过A（1，0），∴B（3，0）．把B（3，0）、C（0，3）分别代入y=mx+n，得30{-3m nn+==，解得1{-3mn==，∴直线BC的解析式为y=x-3；∵对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0），∴点B（3，0），设y=a（x-3）（x+1），把C（0，-3）代入解得：a=1，故解析式为：y=x2-2x-3；（2）由（1）得：AB=4，OB=OC=3，∴∠OCB=∠OBC=45°.设抛物线的对称轴与x轴交于点M，则MB=2.①如图，若B为直角顶点，设BP交抛物线的对称轴为点N1，则∠MBP=45°，∴N1M=MB=2，即N1（1，2），则直线N1B的表达式为y=-x+3，223 {-x+3y x xy=--=，解得113{xy==(舍去)，222{5xy=-=，所以P1（-2，5）；②如图，若C为直角顶点，设BP交抛物线的对称轴为点N2，过点N2作y轴的垂线，垂足为点E，则∠PCE=45°，∴CE=EN2=OM=1，∴ON2=4，即N2（1， -4）,则直线N2C的表达式为y=-x-3，223{-x-3y x xy=--=，解得11{3xy==-(舍去)，221{4xy==-，所以P2（1，-4）；综上所述，满足条件的点P共有两个，分别为P1（-2，5），P2（1，-4）；（3）存在，最大⊙Q的半径为28.34．(1)∠DEB＝26°.(2)3tan DEB∠=【解析】试题分析：（1）连接OB，根据垂径定理得出AD BD=，故可得出∠BOD=∠AOD=52°，再由圆周角定理即可得出结论；（2）根据OD⊥AB，OC=3，OA=6可得出∠OAC=30°，故∠AOC=60°，由此得出∠DEB 的度数，进而可得出结论．试题解析：(1)连接OB，∵OD⊥AB，∴AD BD=，∴∠BOD=∠AOD=52°，∴∠DEB=12∠BOD=26°；（2）∵OD⊥AB，OC=3，OA=6，∴OC=12OA,即∠OAC=30°，∴∠AOC=60°，∴∠DEB=12∠AOC=30°，∴tan∠335．（1）相等，证明见解析；（2）圆环的面积为16π【解析】试题分析：（1）PA=PB，连接OP，在大圆中利用垂径定理即可证明，（2）连接OA，根据切线的性质和勾股定理可得：OA2﹣OP2=12AB2，写出环形的面积表达式，把数值代入即可．试题解析：（1）PA=PB，理由如下：连接OP，∵大圆的弦AB切小圆于点P，∴OP⊥AB，∴PA=PB，（2）接OA，∵大圆中长为8的弦AB与小圆相切，∴OP⊥AB，AP=4，∴OA2﹣OP2=16，∴πOA2﹣πOP2=（OA2﹣OP2）π，∴圆环的面积=16π．。
北师大版九年级下册数学第三章《圆》综合能力提升训练
九年级下册北师大版数学第三章《圆》综合能力提升训练密卷一、单选题1．已知⊙O 的半径为6，点A 与点O 的距离为5，则点A 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．点A 在圆外B ．点A 在圆内C ．点A 在圆上D ．不确定2．下列说法中，不正确的是（ ）A ．圆既是轴对称图形又是旋转对称图形B ．一个圆的直径的长是它半径的2倍C ．圆的每一条直径都是它的对称轴D ．直径是圆的弦，但半径不是弦3．如图，在⊙O 中，弦AB 的长为16cm ，圆心O 到AB 的距离为6cm ，则⊙O 的半径是（ ）A ．6cmB ．10cmC ．8cmD ．20cm4．如图，已知A ，B ，C 在O 上，AOB ∠的度数为80°，C ∠的度数是（ ）A ．30B ．40︒C ．50︒D ．60︒5．下列有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．其中错误的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，AB 是O 的直径，AD 是O 切线，BD 交O 与点C ，50CAD ∠=︒，则B ∠=（ ）A ．30B ．40︒C ．50︒D ．60︒为（）A．52°B．51°C．61°D．64.5°8．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝22，则⊙O的半径为（）A．2 B．6C．22D．269．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形，做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的全面积（侧面与底面面积的和）为（）A．563πB．643πC．569πD．649π10．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为10，则GE+FH的最大值为（）A．5 B．10 C．15 D．2011．如图，AB是⊙O的直径，AB=10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ=CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连接CD交AB于点F，点P从点A 出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CEP与△DEQ的面积和的变化情况是（）A ．一直减小B ．一直不变C ．先变大后变小D ．先变小后变大12．如下图，已知⊙O 的直径为AB ，AC ⊥AB 于点A, BC 与⊙O 相交于点D ，在AC 上取一点E ，使得ED=EA ．下面四个结论：①ED 是⊙O 的切线；②BC=2OE ③△BOD 为等边三角形；④△EOD ∽ △CAD ，正确的是（ ）A ．①②B ．②④C ．①②④D ．①②③④二、填空题 13．如图，O 是ABC ∆的外接圆，30ABC ∠=︒，4AC =，则弧AC 的长为__________．14．如图，四边形ABCD 内接于O ，若80ADC ∠=︒，则ABC ∠的度数是______．15．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ， CD ＝16，BE ＝4，则CE ＝____，⊙O 的半径为_____．16．如图在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的半径为2，小圆的半径为1，100AOB ∠=︒．则阴影部分的面积是_____________．17．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，已知∠A ＝40°，连接OB ，OC ，DE ，EF ，则∠BOC ＝__________°，∠DEF ＝__________°．18．如图，在等腰ABC 中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，点D 是AC 边上动点，连接BD ，以AD 为直径的圆交BD 于点E ，则线段CE 长度的最小值为___________．三、解答题19．如图， AC 与⊙O 相切于点C ， AB 经过⊙O 上的点D ，BC 交⊙O 于点E ，DE ∥OA ，CE 是⊙O 的直径．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若BD ＝4，CE ＝6，求AC 的长．20．如图，AB 是半圆O 的直径，点C 是半圆上不同于A ，B 的一动点，在弧BC 上取点D ，使DBC ABC ∠=∠，DE 为半圆O 的切线，过点B 作BF DE ⊥于点F ．（1）求证：2DBF CAD ∠=∠；（2）连接OC ，CD ．探究：当CAB ∠等于多少度时，四边形COBD 为菱形，并且写出证明过程．21．如图，AB AC ，分别是半O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，过点A 作半O 的切线,AP AP 与OD 的延长线交于点P ．连接PC 并延长与AB 的延长线交于点F ．（1）求证：PC 是半O 的切线；（2）若30,10CAB AB ︒∠==，求线段BF 的长．22．如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 是⊙O 上的点，AD 平分∠BAC ，过点D 作AC 的垂线，垂足为点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）延长AB 交ED 的延长线于点F ，若⊙O 半径的长为3，tan ∠AFE ＝34，求CE 的长．23．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，点O 在AB 上，⊙O 经过A 、D 两点，交AC 于点E ，交AB 于点F ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径是2cm ，E 是弧AD 的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）24．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；(2)如果∠BED=60°，PD=3，求PA的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE 为菱形．25．如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F，BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB，（1）求证：BG∥CD；（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．参考答案1．B解：∵OA=5，r=6，∴OA＜r，∴点A在圆内，2．CA、因为圆旋转任意一个角度都能够与自身重合，所以圆不仅是中心对称图形，也是旋转对称图形，该选项正确；B、一个圆的直径的长是它半径的2倍，该选项正确；C、圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，该选项错误；D. 直径是圆的弦，但半径不是弦，该选项正确；3．B解：如图，过O作直径CD⊥AB于E，连接OA，则OE=6cm，AE=BE=12AB=8cm，在Rt△AEO中，由勾股定理得：2222OE+AE=6+8（cm），4．B解：∵∠AOB=80°，∠AOB=2∠C，∴∠C=40°；5．C解：不在同一直线上的三点确定一个圆，故①错误；在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故②错误；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故③错误；三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，故④正确；综上，错误结论的序号为：①②③，共有3个，解：∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90CAB CBA ∠+∠=︒，∵AD 是O 切线，∴90DAB ∠=︒，∴90CAD CAB ∠+∠=︒，∴50CBA CAD ∠=∠=︒，7．B∵PA ，PB 是O 的切线，AC 是O 的直径，∴∠CAP=90°，PA=PB ，∴∠PAB=∠PBA ，∵25.5BAC ∠=︒，∴∠PAB=∠CAP-BAC ∠=64.5°，∴P ∠=180°-64.5°-64.5°=51°．8．C解：如图，连接OM ，∵正六边形OABCDE ，∴∠FOG ＝120°，∵点M 为劣弧FG 的中点，∴∠FOM ＝60°，OM ＝OF ，∴△OFM 是等边三角形，∴OM ＝OF ＝FM ＝2．则⊙O 的半径为2．解：圆锥的侧面积＝π×42×120?360?＝163π，圆锥的底面半径＝2π×4×120?360?÷2π＝43，圆锥的底面积＝π×(43)2＝169π，圆锥的表面积＝侧面积＋底面积＝1616=39649πππ+．10．C如图1，连接OA、OB，，∵∠ACB=30°，∴∠AOB=2∠ACB=60°，∵OA=OB，∴△AOB为等边三角形，∵⊙O的半径为10，∴AB=OA=OB=10，∵点E，F分别是AC、BC的中点，∴EF=12AB=5，要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，∵当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：10×2=20，∴GE+FH的最大值为：20-5=15．故选C．11．B连接OC，OD，PD，CQ．设PC＝x，OP＝y，OF＝a，∵PC⊥AB，QD⊥AB，∴∠CPO＝∠OQD＝90°，∵PC＝OQ，OC＝OD，∴Rt△OPC≌Rt△DQO，∴OP＝DQ＝y，∴S阴＝S四边形PCQD−S△PFD−S△CFQ＝12（x＋y）2−12•（y−a）y−12（x＋a）x＝xy＋12a（y−x），∵PC∥DQ，∴PC PF DQ FQ=，∴x y ay a x-=+，∴a＝y−x，∴S阴＝xy＋12（y−x）（y−x）＝12（x2＋y2）＝25212．C解：如图，连接OD．∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，即∠OAE=90°．在△AOE与△DOE中，∵OA=OD，AE=DE，OE=OE，∴△AOE≌△DOE（SSS），∴∠OAE=∠ODE=90°，即OD⊥ED．又∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线．故①正确；∵△AOE≌△DOE，∴∠AOE=∠DOE，∵OB=OD，∴∠B=∠BDO，∵∠B+∠BDO=∠AOE+∠DOE，∴∠B=∠AOE，∴OE∥BC，∵AO=OB，∴OE是△BAC的中位线，∴BC=2OE,故②正确；∵OE∥BC，∴∠AEO=∠C．∵△AOE≌△DOE，∴∠DEO=∠C，∠ODE=∠OAE=90°，∴∠ODE=ADC=90°，∴△EOD∽△CAD，∴正确的①②④．故选C．13．43π 解：连接OC ，OA∵∠AOC=2∠ABC ，∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵OA=OC, ∴△AOC 是等边三角形，∴OA=AC=4∴AC =60441803ππ=， 14．100°解：∵四边形ABCD 内接于O ，∴180ADC ABC ∠+∠=︒，∵80ADC ∠=︒，∴100ABC ∠=︒．15．8 10（1） AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ， CD ＝16由垂径定理可得，CE=16822CD == 故答案为：8（2） 连结OC ，设⊙O 半径为r ，则OC=r ，OE =r-4，弦CD ⊥AB∴△OCE 是Rt △OCE∴OE 2+CE 2=OC 2，∴（r-4）2+82=r 2，解得r=10，即⊙O 半径为10．故答案为：10．16．5 6π阴影部分面积=22100(2-1360π⨯)=56π．故答案为56π．17．110 70∵∠A=40︒，∴∠ABC+∠ACB=140︒，∵O是△ABC的内切圆，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=70︒，∴∠BOC=18070110︒-︒=︒，如图，连接OD，OF，∵AB、AC分别切⊙O于D、F点，∴∠ODA=∠OFA=90︒，∴∠A+∠DOF=180︒，∴∠DOF=140︒，∴∠DEF=12∠DOF=70︒．18．5﹣1解：连接AE ，如图，∵AD 为直径，∴∠AED=90°，∴∠AEB=90°，∴点E 在以AB 为直径的圆O 上，∵2AB AC ==∴圆O 的半径为1，∴当点O 、E 、 C 共线时，CE 最小，如图2在Rt △AOC 中，∵OA=1，AC=2，∴225AC OA =+ ∴CE=OC −51，即线段CE 51．51．19．（1）证明：连接OD ，如图：∵OE =OD ，∴∠OED =∠ODE ，∵DE ∥OA ，∴∠OED =∠AOC ，∠ODE =∠AOD ，∴∠AOC =∠AOD .在△AOD 和△AOC 中，AO AO AOD AOC OD OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △AOD ≌△AOC ，∴ ∠ADO =∠ACO .∵AC 与⊙O 相切于点C ，∴ ∠ADO =∠ACO =90°，又∵OD 是⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线；（2）解：∵CE =6，∴OE =OD =OC =3.在Rt △ODB 中，BD =4，OD =3，∴222BD OD BO +=，∴BO =5，∴BC =BO +OC =8.∵⊙O 与AB 和AC 都相切，∴AD =AC .在Rt △ACB 中，222AC BC AB +=，即：2228(4)AC AC +=+，解得：AC =6；20．解：（1）如图，连接OD ，DE 为半圆O 的切线，90ODF ∴∠=︒，BF DE ⊥，90BFD ∠=︒∴，∵180BFD ODF ∠+∠=︒，//OD BF ∴，DBF ODB ∴∠=∠，OD OB =，ODB OBD ∴∠=∠，DBF OBD ∴∠=∠，DBC ABC ∠=∠，2OBD DBC ∴∠=∠，2DBF DBC ∴∠=∠，∵DBC CAD ∠=∠，∴2DBF CAD ∠=∠；（2）当CAB ∠等于60︒时，四边形COBD 为菱形，证明：如图，连接OC ，OD ，CD ，四边形COBD 为菱形，OB BD ∴=，OB OD=，OB OD BD∴==，BOD∴是等边三角形，60OBD∠=︒，1302ABC OBD∴∠=∠=︒，9060CAB ABC∴∠=︒-∠=︒，∴当60CAB∠=︒时，四边形COBD为菱形．21．（1）证明：如解图，连接OC，∵OD AC⊥，OD经过圆心O，∴AD CD=，∴PA PC=，在OAP△和OCP△中，OA OCPA PCOP OP=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()OAP OCP SSS△≌△，∴OCP OAP∠=∠，∵PA是O的切线，∴90OAP∠=︒，∴90OCP∠=︒，即OC PC⊥，∴PC是O的切线．（2）解：∵AB是半圆O的直径，10AB=，∴90ACB∠=︒，152OC OB AB===，∵30CAB ∠=︒，∴60COF ∠=︒，∵PC 是O 的切线，∴OC PF ⊥，∴90OCF ∠=︒，∴3090F COF ∠=∠=︒-︒，∴210OF OC ==，∴5BF OF OB =-=．22．（1）证明：连接OD ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠1=∠2，∵OA=OD ，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴OD ∥AE ，∵AC ⊥DE ，∴OD ⊥DE ，∵OD 是⊙O 半径，∴OD 是⊙O 的切线；（2）连接BC ，交OD 于点M ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∵∠E=∠ODE=90°，∴∠ACB=∠E=∠ODE= 90°∴四边形CEDM 是矩形，∴CE=MD ，CM ∥DE ，∴∠F=∠ABC ，在Rt △OBM 中，OB=3，tan ∠ABC=34， 设OM=3x ，BM=4x ，∴222(3)(4)3x x +=，解得x=35， ∴OM=95， ∴CE=MD=3-95=65． ．23．（1）连接OD ．∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ODA ．∵∠OAD =∠DAC ，∴∠ODA =∠DAC ，∴OD ∥AC ，∴∠ODB =∠C =90°，∴OD ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线．（2）连接OE ，OE 交AD 于K ．∵AE DE =，∴OE ⊥AD ． ∵∠OAK =∠EAK ，AK =AK ，∠AKO =∠AKE =90°，∴△AKO ≌△AKE ，∴AO =AE =OE ，∴△AOE 是等边三角形，∴∠AOE =60°，∴S 阴=S 扇形OAE ﹣S △AOE 260233604π⋅⋅=-⨯22233π=-24．解：（1）直线PD 为⊙O 的切线，理由如下：如图1，连接OD ，∵AB 是圆O 的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°，又∵DO=BO ，∴∠BDO=∠PBD ，∵∠PDA=∠PBD ，∴∠BDO=∠PDA ，∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD ⊥OD ，∵点D 在⊙O 上，∴直线PD 为⊙O 的切线；（2）∵BE 是⊙O 的切线，∴∠EBA=90°，∵∠BED=60°，∴∠P=30°，∵PD 为⊙O 的切线，∴∠PDO=90°，在Rt △PDO 中，∠P=30°，3， ∴0tan 30OD PD=，解得OD=1， ∴22PO PD OD +，∴PA=PO ﹣AO=2﹣1=1；（3）如图2，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，∵四边形AFBD内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF=180°，即90°+x+2x=180°，解得x=30°，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，∵BE、ED是⊙O的切线，∴DE=BE，∠EBA=90°，∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD=DE=BE，又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BD=DF=BF，∴DE=BE=DF=BF，∴四边形DFBE为菱形.25．（1）证明：如图1，∵PC=PB，∴∠PCB=∠PBC，∵四边形ABCD内接于圆，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BCD+∠PCB=180°，∴∠BAD=∠PCB，∵∠BAD=∠BFD，∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，∴BC∥DF，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ABC=90°，∴AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∵BG⊥AD，∴∠AGB=90°，∴∠ADC=∠AGB，∴BG∥CD；（2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，∴四边形BCDH是平行四边形，∴BC=DH，在Rt△ABC中，∵3DH，∴tan∠ACB=33 AB DHBC==，∴∠ACB=60°，∠BAC=30°，∴∠ADB=60°，BC=12 AC，∴DH=12 AC，①当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM=90°，∴∠AMD+∠ADM=90°∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠BDE+∠ABD=90°，∵∠AMD=∠ABD，∴∠ADM=∠BDE，∵DH=12 AC，∴DH=OD，∴∠DOH=∠OHD=80°，∴∠ODH=20°∵∠AOB=60°，∴∠ADM+∠BDE=40°，∴∠BDE=∠ADM=20°，②当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN，由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°，综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．。
北师大版2020九年级数学下册第三章圆单元综合培优测试题1(附答案详解)
北师大版2020九年级数学下册第三章圆单元综合培优测试题1（附答案详解）1．已知⊙O 的半径是4，点P 到圆心O 的距离OP ＝3，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．点P 在⊙O 外B ．点P 在⊙O 上C ．点P 在⊙O 内D ．不能确定2．如图，⊙O 的半径为lcm ，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则图中阴影部分的面积为( )2cm ．（结果保留π）A ．π2B ．πC ．π4D ．π63．下列直线是圆的切线的是（ ）A ．与圆有公共点的直线B ．到圆心的距离等于半径的直线C ．到圆心的距离大于半径的直线D ．到圆心的距离小于半径的直线4．若正六边形的边长为a ，则其外接圆半径与内切圆半径的比为（ ）A ．2:1B ．2:3C ．3:1D ．3:35．如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点是 A 、B ．如果 OP=2，PA=，那么OA 的长度为（ ）A ．1B ．2C ．D ．46．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，∠BCD=30°，OA=2，则阴影部分的面积是（ ）A ．3πB ．23πC ．πD ．2π7．如图，△ABC 中，∠A=30°，点O 是边AB 上一点，以点O 为圆心，以OB 为半径作圆，⊙O 恰好与AC 相切于点D ，连接BD ．若BD 平分∠ABC ，AD=23，则线段CD 的长是（ ）A ．2B ．3C ．32D ．3328．半径为R的圆内接正三角形的边长为（）A．R B．2R C．3R D．3R 9．正三角形的边心距、半径和高的比是( )A．1:2:3B．1:3:3C．1:2:3D．1:2:10．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是( )A．∠1＝∠2B．PA＝PBC．AB⊥OP D．PA2＝PC·PO11．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，若以小正形的顶点为圆心，2为半径作一个扇形围成一个圆锥，则所围成的圆锥的底面圆的半径为______．12．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC弧的中点，则∠ACD= ________．13．把一个球放在池塘中，球漂浮在水面上．当水结冰后，从冰中拿出球，留下一个冰坑．经测量，冰面圆的直径为24cm，冰坑的最大深度为8cm，则球的半径为_____cm．14．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题记分．A．如图，半圆O的直径AE=4，点B，C，D均在半圆上，若AB=BC，CD=DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为_____．B ．用科学计算器计算：7sin69°≈_____（精确到0.01）．15．已知圆锥的底面直径是8cm ，母线长是5cm ，其侧面积是_____cm 2（结果保留π）. 16．如图，在ABC ∆中，13AB AC ==，10BC =，点D 在边AB 上，以点D 为圆心作⊙D .当⊙D 恰好同时与边AC ，BC 相切时，⊙D 的半径长为________.17．如图，正ABC 内接于半径为1cm 的圆，则阴影部分的面积为________2cm ．18．点M 、N 分别是正八边形相邻的边AB 、BC 上的点，且AM ＝BN ，点O 是正八边形中心，则∠MON ＝____________．19．如图，如AE 是O 的直径，半径OD 垂直于弦AB ，垂足为C ，AB 8cm =，CD 2cm =，则BE =________．20．如图，O 的直径CD ⊥弦EF ，垂足为点G ，58EOD ∠=，则F ∠=________． 21．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）如果∠BAC =60°，AD =4，求AC 长．22．不用圆规、三角板，只用没有刻度的直尺，用连线的方法在图1、2中分别过圆外一点A作出直径BC所在射线的垂线．23．用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）如图是一块破碎的圆形木盖，试确定它的圆心并作出它所在的圆．24．如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8，CD=3，则⊙O的半径是多少？25．已知：如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以点D为圆心，CD为半径作半圆，分别与边AC、BC相交于点E和点F．如果AB=AC=5，cosB=45，AE=1．求：（1）线段CD的长度；（2）点A和点F之间的距离．26．如图，一块直角三角尺形状的木板余料，木工师傅要在此余料上锯出一块圆形的木板制作凳面，要想使锯出的凳面的面积最大.（1）请你试着用直尺和圆规画出此圆（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．（2）若此Rt△ABC的直角边分别为30cm和40cm，试求此圆凳面的面积．27．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1 个单位．（1）把△ABC绕着点C逆时针旋转90°，画出旋转后对应的△A1B1C；（2）求△ABC旋转到△A1B1C时线段AC扫过的面积．28．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O 的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．（1）求证：DE⊥AC；（2）若DE+EA=8，⊙O的半径为10，求AF的长度．参考答案1．C【解析】【分析】点在圆上，则d=r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．【详解】解：∵OP=3＜4，故点P与⊙O的位置关系是点在圆内．故选C．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，解决问题的关键是注意掌握点和圆的位置关系与数量之间的等价关系．2．D【解析】连接BO，CO，如图所示.∵正六边形ABCDEF内接于O，∴AB=BC=CO=4,∠ABC=120 º,△OBC是等边三角形,∴CO∥AB，在△COW和△ABW中∠BWA=∠OWC，∠BAW=∠OCW，AB=CO，∴△COW≌△ABW(AAS) ，∴图中阴影部分面积为：S扇形OBC =26013606ππ⨯=.故答案为：D.点睛：本题考查了利用割补法求不规则图形的面积，证明△COW≌△ABW，把求阴影部分的面积转化成求扇形的面积是解答本题的关键.3．B【解析】【分析】根据切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,可判定C、D错误;由切线的定义:到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线,可判定A错误,B正确.【详解】A、与圆只有一个交点的直线是圆的切线,故本选项错误;B、到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线,故本选项正确;C、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,故本选项错误;D、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,故本选项错误.故选B.【点睛】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.4．B【解析】【分析】从内切圆的圆心和外接圆的圆心向三角形的边引垂线，构建直角三角形，解三角形即可．【详解】解：设内切圆的圆心为O，连接OA，OB，过O作OG⊥AB于G．∵正六边形的边长为a，∴正六边形的半径是a，则外接圆的半径a，内切圆的半径是正六a，因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为边形的边心距，因而是GO=22故选B．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．5．A【解析】【分析】由切线长定理知△APO≌△BPO，得∠AOP=∠BOP．可求得sin∠AOP=：2，所以可知∠AOP=60°，从而求得OA的长度．【详解】∵PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A. B，∴PA=PB,∠PAO=∠PBO=90°，∴在Rt△APO与Rt△BPO中,，∴Rt△APO≌Rt△BPO(HL)，∴∠AOP=∠BOP.∵sin∠AOP=AP:OP=:2，∴∠AOP=60°.∴OA=OP=1，故答案选：A.【点睛】本题考查了切线的性质，解题的关键是熟练的掌握切线的性质.6．B【解析】【分析】根据圆周角定理可以求得∠BOD的度数，然后根据扇形面积公式即可解答本题．【详解】∵∠BCD=30°，∴∠BOD=60°，∵AB是⊙O的直径，CD是弦，OA=2，∴阴影部分的面积是：23623 602ππ⨯⨯=，故选B．【点睛】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．7．B【解析】【分析】连接OD，得Rt△OAD，由∠A=30°，AD=23，可求出OD、AO的长；由BD平分∠ABC，OB=OD可得OD 与BC间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理，得结论．【详解】连接OD∵OD是⊙O的半径，AC是⊙O的切线，点D是切点，∴OD⊥AC在Rt△AOD中，∵∠A=30°，3∴OD=OB=2，AO=4，∴∠ODB=∠OBD，又∵BD平分∠ABC，∴∠OBD=∠CBD，∴∠ODB=∠CBD，∴OD∥CB，∴AD AOCD OB＝，即2342＝，∴CD=3．故选B．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、含30°角的直角三角形的性质及平行线分线段成比例定理，解决本题亦可说明∠C=90°，利用∠A=30°，AB=6，先得AC的长，再求CD．遇切点连圆心得直角，是通常添加的辅助线．8．C【解析】【分析】根据题意画出图形，作出辅助线，利用垂径定理及勾股定理解答即可．【详解】如图所示，OB=OA=R；∵△ABC是正三角形，由于正三角形的中心就是圆的圆心，且正三角形三线合一，所以BO是∠ABC的平分线；∠OBD=60°×12=30°，3根据垂径定理，BC=2×33R．故选C．【点睛】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，解答这类题要明确，多边形的半径与外接圆的半径相同．9．A【解析】【分析】如图，O为正△ABC的中心，AD为△ABC的边BC上的高，则OD为边心距，OA为半径，根据正三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质进行推导即可得.【详解】如图，O为正△ABC的中心，AD为△ABC的边BC上的高，则OD为边心距，OA为半径，∴∠BAD=30°，又∵AO=BO，∴∠ABO=∠BAD=30°，∴∠OBD=60°-30°=30°，在Rt△OBD中，BO=2DO，即AO=2DO，∴OD：OA：AD=1：2：3．故选A．【点睛】本题考查了等边三角形性质，正三角形的中心，含30度角的直角三角形等知识，根据题意画出图形，结合图形应用相关知识进行解答是关键.10．D【解析】分析：根据切线长定理得出PA=PB，∠1=∠2，根据等腰三角形性质推出OP⊥AB，根据以上结论推出即可．详解：∵PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，∴PA=PB，∠1=∠2，∴选项A、B正确；∵PA=PB，∠1=∠2，∴OP⊥AB，∴选项C正确；根据已知不能得出2PA PC PO=，故选项D正确；故选D．点睛：本题考查了切线长定理和等腰三角形的性质的应用，熟练地运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．11．23．【解析】如图，∵AO=2，OC=1，∴∠AOC=60°，∴∠AOB=120°，∴弧AB的长度=1202180π⨯=43π，设所围成的圆锥的底面圆的半径为r，∴43π=2πr，∴r=23，故答案为：23．12．125°【解析】分析: 连接OD，由∠AOC=40°，可得出∠BOC，再由D是BC弧的中点，可得出∠COD，从而得出∠ACD即可．详解: 连接OD，∵AB是⊙O的直径，∠AOC=40°，∴∠BOC=140°，∠ACO=（180°-40°）÷2=70°，∵D是BC弧的中点，∴∠COD=70°，∴∠OCD=（180°-70°）÷2=55°，∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=70°+55°=125°，故答案为：125°．点睛: 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．13．13【解析】【分析】如图，得到BC=AC=12，CD=8，由勾股定理列出关于半径OB的方程，即可解决问题．【详解】如图，由题意得：在⊙O中，OD⊥AB，BC=AC=12，CD=8．设⊙O的半径为x，则OC=x﹣8；由勾股定理得：x2=（x﹣8）2+122，解得：x=13．故答案为13．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理及其应用．解题的关键是牢固掌握垂径定理、勾股定理的本质，灵活运用、解答．14． 2.47【解析】如图所示，连接OC．因为，，所以，，所以，又因为，所以，所以阴影部分的面积为半圆面积的，即．用计算器计算≈2.47.故答案为π，2.47.15．20π【解析】【分析】先计算出圆锥的底面圆的周长=π×8=8πcm，而圆锥的侧面展开图为扇形，然后根据扇形的面积公式进行计算．【详解】∵圆锥的底面圆的直径是8cm，∴圆锥的底面圆的周长=π×8=8πcm，∴圆锥的侧面积=12×5×8π=20πcm2，故答案为：20π.【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，熟记扇形的面积公式是解题的关键．16．120 23【解析】【分析】作AH⊥BC于H，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，连接CD，如图，设⊙D的半径为r，先利用等腰三角形的性质得BH=CH=12BC=5，则利用勾股定理可计算出AH=12，再根据切线的性质得DE=DF=r，然后根据三角形面积公式得到12•AH•BC=12DE•BC+12•DF•AC，即1 2×10•r+12×13×r=12×10×12，，再解关于r的方程即可．【详解】解：作AH⊥BC于H，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，连接CD，如图，设D的半径为r，∵AB=AC ，AH ⊥BC ， ∴BH=CH=12BC=5， 在Rt △ABH 中，根据勾股定理求得AH=12，∵⊙D 同时与边AC 、BC 相切，∴DE=DF=r ，∵S △ABC =S △ADC +S △DBC ，∴12•AH•BC=12DE•BC+12•DF•AC ， 即12×10•r+12×13×r=12×10×12， ∴r=12023， 即当 D 恰好同时与边AC 、BC 相切时，此时 D 的半径长为12023． 故答案为:12023． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径．17．33π-【解析】【分析】根据题意作出辅助线，由等边三角形的性质作出△ABC 的外心，再设出等边三角形的边长，由垂径定理得出BD=2BC ，再根据特殊角的三角函数即可求出BC 及AD 的长，根据S 阴影=S 圆-S △ABC 进行计算即可．【详解】解：分别过A 、C 作BC 、AB 边的垂线相交于点O ，由等边三角形的性质可知，点O 即为△ABC 的外心，连接OB 则∠OBD=30°， 设正△ABC 的边长为a ，则3a=1，a=3， 故AD=AB•sin60°=3×3=32， 于是阴影部分的面积为π×12-12×3×32=π×12-34•（3）2=（π-334）（cm 2）． 故答案为π-334． 【点睛】 本题考查的是正多边形和圆、特殊角的三角函数值及三角形的面积、圆的面积公式，作出辅助线，利用正三角形的性质得出△ABC 的外心是解答此题的关键．18．45°【解析】试题解析：连接OA 、OB 、OC ；∵正八边形是中心对称图形，∴中心角为360845；÷= 1804567.52OAM OBN ，-∴∠=∠==∵OA =OB ，∠OAM =∠OBN ，AM =BN ，∴△OAM ≌△OBN ，∴∠AOM =∠BON ，∴∠MOB =∠NOC ；90AOC AOM MOB BON NOC ∠=∠+∠+∠+∠=，11()45.22MON MOB NOB AOM MOB NOB NOC AOC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠=故答案为：45.19．6cm【解析】【分析】 根据垂径定理可得AC =4cm ，然后设CO =xcm ，则DO =AO =（x +2）cm ，再利用勾股定理可得（x +2）2=42+x 2，解出x 的值，再根据三角形中位线定理可得答案．【详解】解：∵半径OD 垂直于弦AB ，垂足为C ，AB =8cm ，∴AC =4cm ，设CO =xcm ，则DO =AO =（x +2）cm ．在Rt △AOC 中：AO 2=CO 2+AC 2，∴（x +2）2=42+x 2，解得：x =3． ∵AO =EO ，AC =CB ，∴BE =2CO =6cm ．故答案为6cm ．【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，以及三角形的中位线定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．20．61【解析】【分析】根据垂径定理可得ED DF =，∠CGF=90°，再根据圆周角定理可得∠DCF=12∠EOD=29°，再根据直角三角形两锐角互余可得答案．【详解】∵直径CD⊥弦EF，∴ED DF，∠CGF=90°，∵∠EOD=58°，∴∠DCF=12×58°=29°，∵∠CGF=90°，∴∠DCF+∠CFE=90°，∴∠F=61°．故答案为：61°．【点睛】此题主要考查了圆周角定理和垂径定理，关键是掌握平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．21．（1）答案见解析；（2．【解析】【分析】（1）连接OD，由AD为角平分线，得到一对角相等，再由OA=OD，得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行可得AE与OD平行，再由DE⊥AC，可得DE⊥OD，即DE为圆O的切线，得证；（2）作OH⊥AC于H，则AH=CH，由已知易得四边形ODEH为矩形，从而有OH=DE=2，在Rt△OAH中，即可求得AC的长．【详解】（1）连接OD，∵∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，∴∠1=∠2，∵OA=OD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OD∥AE，∵DE⊥AE，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；（2）作OH⊥AC于H，则AH=CH，∵∠BAC=60°，∴∠2=30°，在Rt△ADE中，DE=12AD=2，易得四边形ODEH为矩形，∴OH=DE=2，在Rt△OAH中，∵∠OAH=60°，∴AH=3=23，∴AC=2AH=43．22．画图见解析.【解析】【分析】根据直角所对的圆周角是直角，构造直角三角形，利用直角三角形性质可画出垂线；或结合圆的轴对称性质也可以求出垂线.【详解】解：画图如下：【点睛】本题考核知识点：作垂线.解题关键点：结合圆的性质和直角三角形性质求出垂线. 23．详见解析.【解析】【分析】圆心在弦的垂直平分线上，可以作两条线，这两条弦的垂直平分线的交点就是圆的圆心．【详解】解：作圆的两条不平行的弦，然后作两条弦的中垂线，两中垂线的交点就是圆的圆心．【点睛】本题主要考查了圆心的确定方法，正确理解圆的轴对称性是解决本题的关键．24．25 6【解析】【分析】连接AO，根据垂径定理可知BC=12AB=4，设半径为x，则OC=x-3，根据勾股定理列出方程x2=（x-3）2+42，解方程即可求得x的值．【详解】连接OB，∵OD⊥AB，且AB=8，∴AC=BC=4设⊙O的半径为x，则OC=x-3；由勾股定理得：x2=（x-3）2+42，解得：x=25 6.答：⊙O的半径是25 6.【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、勾股定理的内容．25．（1）DC=2.5；（2）10．【解析】【分析】（1）连接EF，利用圆周角定理得出∠FEC=90°，再利用等腰三角形的性质，结合锐角三角函数得出答案；（2）利用锐角三角函数得出NC的长，再利用勾股定理得出答案．【详解】（1）连接EF，∵由题意可得FC是⊙D的直径，∴∠FEC=90°，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵AB=AC=5，cosB=45，AE=1，∴EC=4，cosB=cos∠ACB=45=ECFC=4FC，解得：FC=5，则DC=2.5；（2）连接AF，过点A作AN⊥BC于点N，∵AB=5，cosB=45，∴BN=4，∴AN=3，∵cosC=cosB=45，∴NC=4，∴FN=1，∴AF=223110+=．【点睛】考查圆周角定理，勾股定理以及锐角三角函数，正确应用锐角三角函数是解题的关键. 26．（1）画图见解析；（2）100πcm 2．【解析】【分析】（1）可作出任意两个内角的平分线，交点即为所求的圆心，交点到任意边的距离为半径画圆即可；（2）设三角形内切圆半径为r，由勾股定理得出AB=50，再根据三角形的面积等于周长乘以半径的一半，从而得出三角形内切圆半径．【详解】（1）如图所示：（2）设三角形内切圆半径为r，则12•r•（50+40+30）=12×30×40，解得r=10（cm），故此圆凳面的面积为：π×102=100π（cm 2）．【点睛】本题考查了复杂作图以及三角形内切圆的半径求法；用到的知识点为：内切圆的圆心为三角形内角平分线的交点．27．（1）见解析；（2）2π【解析】【分析】（1）根据旋转角度、旋转中心、旋转方向找出各点的对称点，顺次连接即可；（2）根据扇形的面积公式求解即可．【详解】（1）如图所示，△A1B1C即为所求；（2）∵222222+=，∴S=()29022360π=2π．【点睛】本题考查旋转作图的知识，难度不大，注意掌握旋转作图的三要素，旋转中心、旋转方向、旋转角度．28．（1）证明见解析（2）8【解析】试题分析：（1）欲证明DE⊥AC，只需推知OD∥AC即可；（2）如图，过点O作OH⊥AF于点H，构建矩形ODEH，设AH=x．则由矩形的性质推知：AE=10﹣x，OH=DE=8﹣（10﹣x）=x﹣2．在Rt△AOH中，由勾股定理知：x2+（x﹣2）2=102，通过解方程得到AH的长度，结合OH⊥AF，得到AF的值．试题解析：（1）∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC．∵DE是⊙O的切线，OD是半径，∴DE⊥OD，∴DE⊥AC；（2）如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°，∴四边形ODEH是矩形，∴OD=EH，OH=DE．设AH=x．∵DE+AE=8，OD=10，∴AE=10﹣x，OH=DE=8﹣（10﹣x）=x﹣2．在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2=OA2，即x2+（x﹣2）2=102，解得x1=8，x2=﹣6（不合题意，舍去）．∴AH=8．∵OH⊥AF，∴AH=FH=AF，∴AF=2AH=2×8=16．考点：1、切线的性质，2、勾股定理，3、矩形的判定与性质。
北师大版2020九年级数学下册第三章圆单元综合培优测试题(附答案详解)
北师大版2020九年级数学下册第三章圆单元综合培优测试题（附答案详解）1．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，若∠ABD=55°，则∠BCD 的度数为（）A ．15°B ．25°C ．35°D ．45° 2．如图，ABC ∆内接于O ，120BAC ∠=︒，AB AC =，BD 为O 的直径，6AD =，则BD 的长为（ ）A ．3B ．23C ．43D ．123．在圆内接四边形ABCD 中，ADC 与ABC 的比为3:2，则B 的度数为（ ） A ．36︒ B ．72︒ C ．108︒ D ．216︒4．如图，AD 是⊙O 的直径，BC 是弦，四边形OBCD 是平行四边形，AC 与OB 相交于点P ，给出下列结论：①AC ⊥CD ；②∠CAD ＝30°；③OB ⊥AC ；④CD ＝2OP ．其中正确的个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．圆锥体的高h ＝3，底面圆半径r ＝2 cm ，则圆锥体的全面积为( )A ．32B ．8π cm 2C ．12π cm 2D ．3＋4)π cm 26．如图，O 为原点，点A 的坐标为（3，0），点B 的坐标为（0，4），⊙D 过A 、B 、O 三点，点C 为AB 上一点（不与O 、A 两点重合），则cosC 的值为（ ）A．34B．35C．43D．457．如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB＝10，AC＝6，BC ＝8，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为()A．B．C．D．8．用一个圆心角为120°，半径为18cm 的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径应等于（）A．9cm B．6cm C．4cm D．3cm9．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，若∠A ＝30°，AB＝23，则AC等于（）A．4 B．6 C．43D．63 10．如图，点A、B、C三点均在O上，B C∠=∠．以下结论错误的是（）A．AB=AC B．弧AB=弧AC C．弧ABC=弧ACB D．∠BOC=80°11．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，AB＝10，以AB为斜边向上作Rt△ABD，使∠ADB ＝90°．连接CD，若CD＝72，则AD＝_____．12．正六边形的边长为2，则它的内切圆的面积是__．13．已知A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，P是直径CD的延长线上的一点，且AP=AC．如果AC=3，则PD的长为______________________.14．如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且DE∥BC．已知AE＝22，AC＝32，BC＝6，则⊙O的半径是__________________.15．如图，四边形ABCD是平行四边形，其中边AD是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，若⊙O的周长是12π，则四边形ABCD的面积为________．16．圆锥底面圆半径为1dm，母线长为3dm，则该圆锥的侧面积为_____dm2．17．将圆心角为90°，面积为4π的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为_____________________．18．已知正六边形的半径为4．那么这个六边形的面积是（结果保留根号）19．如图，在3×3的方格中（共有9个小格），每个小方格都是边长为1的正方形，O、B、C是格点，则扇形OBC的面积等于___（结果保留π）20．如图，菱形OABC中，∠A＝120°，OA＝1，将菱形OABC绕点O按顺时针方向旋转90°，则图中阴影部分的面积是_____．21．如图,AB是半圆圆O的直径,C是弧AB的中点,M是弦AC的中点,CH⊥BM,垂足为H.求证（1）∠AHO=90°（2）求证：CH²=AH⋅OH.22．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．（1）判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．23．如图，AB为⊙O的弦，C为劣弧AB的中点．（1）若⊙O的半径为5，AB=8，求tan∠BAC；（2）若∠DAC=∠BAC，且点D在⊙O的外部，判断AD与⊙O的位置关系，并说明理由．24．如图，平面上存在点P、点M与线段AB．若线段AB上存在一点Q，使得点M在以PQ为直径的圆上，则称点M为点P与线段AB的共圆点．已知点P（0，1），点A（﹣2，﹣1），点B（2，﹣1）．（1）在点O（0，0），C（﹣2，1），D（3，0）中，可以成为点P与线段AB的共圆点的是；（2）点K为x轴上一点，若点K为点P与线段AB的共圆点，请求出点K横坐标x K的取值范围；（3）已知点M（m，﹣1），若直线y＝12x+3上存在点P与线段AM的共圆点，请直接25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于D，且BD＝8cm．点M从点A 出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于P，交BC于Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．（1）当四边形PQCM是平行四边形时，求t的值；（2）当t为何值时，△PQM是等腰三角形？（3）以PM为直径作⊙E，在点P、Q整个运动过程中，是否存在这样的时刻t，使得⊙E与BC相切？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．26．如图．在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，﹣2），B（4，﹣1），C（3，﹣3）（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．（1）作出△ABC向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的△A1B1C1；（2）以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第二象限内将△ABC放大，放大后得到△A2B2C2作出△A2B2C2；（3）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△A3B3C3，作出△A3B3C3，并求线段AC扫过的面积．27．如图，已知⊙O的半径为5，直线l切⊙O于A，在直线l上取点B，AB=4．（1）请用无刻度的直尺和圆规，过点B作直线m⊥l，交⊙O于C、D（点D在点C的上方）；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）求BC的长．28．如图，在矩形ABCD中，E是CD边上的点，且BE=BA=2BC=4，以点A为圆心、AD长为半径作⊙A交AB于点M，过点B作⊙A的切线BF，切点为F．（1）试说明直线BE是⊙A的切线。
北师大版2020九年级数学下册第三章圆单元综合基础测试题(附答案详解)
∵⊙O的半径为7cm，OA=5cm，
∴d＜r，
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，
故选A．
【点睛】
此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
2．D
【解析】
【分析】
⊙O是△ABC的内切圆，设半径为r，切点分别为F、G、H，连接OG、OH，则四边形BGOH是正方形，得出OG＝OG＝BG＝BH＝r，由旋转的性质得：OF＝DE＝r，CF＝CD，∠FCO＝∠DCE，得出∠ACB＝2∠DCE，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程得出r＝2，BC＝8，AC＝10，选项A、B、C正确；由勾股定理得：CE＝ ，选项D不正确．
3．C
【解析】
【分析】
先利用两点间的距离公式计算出OP，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点P与⊙O的位置关系．
【详解】
解：∵点P的坐标为（-3,4）
∵⊙O的半径为5，点 的坐标为（-1,0）
∴点P到圆心的距离小于圆的半径，
∴点P在⊙O内．
故选C．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
∴P为弧AB的中点
∴A与B错误．
∴PA＞OA，故C错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查同圆半径相等的性质，等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
北师大版2020九年级数学下册第三章圆单元综合培优提升训练题3(附答案详解)
北师大版2020九年级数学下册第三章圆单元综合培优提升训练题3（附答案详解） 1．如图，已知C 、D 在以AB 为直径的⊙O 上，若∠CAB=30°，则∠D 的度数是（ ）A ．30°B ．70°C ．75°D ．60°2．下列说法正确的个数有（ ）①一元二次方程的一般形式为ax 2+bx +c ＝0②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．③同弦或等弦所对的圆周角相等④方程x 2＝x 的解是x ＝1．A ．0B ．1C ．2D ．33．有下列四个命题，其中正确的有( )①圆的对称轴是直径； ②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 4．如图，点,,A B C 均在⊙O 上，若60,2A OB ∠=︒=，则阴影部分的面积是（ ）A ．43πB ．53πC ．73πD ．83π 5．如图，C ，D 分别是线段AB ，AC 的中点，分别以点C ，D 为圆心，BC 长为半径画弧，两弧交于点M ，测量∠AMB 的度数，结果为（ ）A ．80°B ．90°C ．100°D ．105° 6．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠AOB ＝130°，则∠C 的度数为 （ ）A ．150°B ．130°C ．115°D ．120°7．一个扇形的圆心角为120︒，扇形的弧长等于4,π则该扇形的面积等于（）A．2πB．4πC．12πD．24π8．正三角形的内切圆与外接圆的面积的比为（）A．1：3 B．1：4 C．1：2 D．3：49．如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D．若∠D＝40°，则∠A的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．25°10．如图，⊙O的直径BD＝4，∠A＝600，则BC的长度为（）A．B．C．D．⊥交O于点C，点D是O上一点，11．如图，AB是O的弦，OC AB∠=︒，则BOCADC35∠的度数为（）A．50︒B．60︒C．70︒D．80︒12．如图，过⊙O 上一点A 作⊙O 的切线，交直径BC 的延长线与点D，连接AB，若∠B＝25°，则∠D 的度数为( )A．25°B．40°C．45°D．50°13．如图，已知P A，PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝60°，P A＝8，那么弦AB的长是_____；连接OA、OB，则∠AOB＝_____．14．如图，∠MAN=60°，点B，C为射线AN，AM上的动点（点C，B不与点A重合），且CB=43，⊙O经过A,B,C三点，在CB上取点D,且CD=BD．则⊙O的半径为_______.∠的15．如图，AB是圆O的直径，弧BC=弧CD=弧DE，48∠=，则AOECOD度数为________．16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点D是的中点，点E是上的一点，若∠CED=40°，则∠ADC=________度．17．如右图，已知⊙O的半径为5，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，且∠AOB与∠COD互补，弦CD＝8，则弦AB的长为____________18．要制造一个圆锥形的烟囱帽，如图，使底面半径r与母线l的比r∶l=3∶4，那么在剪扇形铁皮时，圆心角应取_____.19．如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，D 是BC 的中点，如果22ABC ∠=，那么DBC ∠=________度．20．如图，△ABC 内接于半径为2的⊙O ，且∠A=60°，连接OB 、OC ，则边BC=______．21．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，AP ＝2，BP ＝6，∠APC ＝30°，则CD 的长为_______．22．若圆锥经过轴的剖面是正三角形，则它的侧面积与底面积之比为 。
北师大版2020九年级数学下册第三章圆单元综合基础测试题1(附答案详解)
北师大版2020九年级数学下册第三章圆单元综合基础测试题1（附答案详解）1．如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上，6BC =，30B ∠=，则AB 的长为（ ）A ．12B ． 43C ． 23D ．1?232．如图，已知圆周角∠BAC =40°，那么圆心角∠BOC 的度数是（ ）A ．40B ．60C ．80D ．1003．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，以AB 为直径的⊙O 与BC 相切于点B ，则AC 的长为( )A ．2B ．3C ．22D ．234．已知圆柱的底面直径为4cm ，高为5cm ，则圆柱的侧面积是（ ）A ．21?0cmB ．21?0? cm πC ．2 20cm πD ．2 40cm π5．如图，AD 是⊙O 的切线，切点为A ，AC 是⊙O 的直径，CD 交⊙O 于点B ，连接OB ，若AB 的度数为70°，则∠D 的大小为（ ）A ．70°B ．60°C ．55°D ．35°6．半径为8cm 的圆的内接正三角形的边长为（ ）A ．3B ．3C ．8cmD ．4cm7．如图，⊙O 的半径为5，直线AB 与⊙O 相切于点A ，AC 、CD 是⊙O 的两条弦，且CD ∥AB ，CD=6，则弦AC 的长为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．38．已知，⊙O 的半径为5cm ，点P 到圆心O 的距离为4cm ，则点P 在⊙O 的（ ） A ．外部 B ．内部 C ．圆上 D ．不能确定9．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，C 为劣弧AB 上一点，∠APB=30°，则∠ACB=（ ）A ．60°B ．75°C ．105°D ．120°10．将一个半径为R ，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面（无重叠），设圆锥底面半径为r ，则R 与r 的关系正确的是（ ）A ．R=8rB ．R=6rC ．R=4rD ．R=2r11．已知一个正六边形的边心距为3，则它的半径为______ ．12．如果正六边形的两条平行边间的距离是23，那么这个正六边形的边长为_____． 13．在Rt ABC 中，90C ∠=，3AC =，4BC =，以C 为圆心，2.4为半径作C ，则C 和AB 的位置关系是________．14．如图，O 是等边三角形ABC 的外接圆，D 、E 是O 上两点，则D ∠=________度，E ∠=________度．15．在△ABC 中，∠A=120°，若BC=12，则其外接圆O 的直径为_____．16．已知⊙O 直径AB 与弦AC 的夹角为35°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于点P ，则∠P ＝____．17．已知直角坐标内，半径为2的圆心坐标为（3，-4），当该圆向上平移m 个单位长度时，若要此圆与x 轴没有交点，则m 的取值范围是 _______________．18．四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且∠A=∠C，则∠A=___ ___度.19．如图，已知ABC 内接于O ，BC 是O 的直径，MN 与O 相切，切点为A ，若MAB 30∠=，则B ∠=________度．20．我们把有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形叫做友好三角形。
北师大版数学九年级下册+第3章+圆+综合测试卷(有答案)
北师大版九年级下册第3章圆综合测试卷一．选择题（共10小题）1．下列说法正确的个数是（）①垂直于弦的直线平分弦；②平分弦的直线垂直于弦；③圆的对称轴是直径；④圆的对称轴有无数条；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的优弧和劣弧分别相等．A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，那么扇形的面积为（）cm2．A．3πB．πC．6πD．2π3．已知圆的直径是13cm，如果圆心到某直线的距离是6.5cm，则此直线与这个圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接BF，CF，若∠EDC=135°，CF=2，则AE2+BE2的值为（）A．8 B．12 C．16 D．205．如图，⊙O的半径是5，弦AB=6，OE⊥AB于E，则OE的长是（）A．2 B．3 C．4 D．56．自行车车轮要做成圆形，实际上是根据圆的特征（）A．圆是轴对称图形B．直径是圆中最长的弦C．圆上各点到圆心的距离相等D．圆是中心对称图形7．已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（）A．1：2：B．2：3：4 C．1：：2 D．1：2：3①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧．A．3个B．2个C．1个D．4个A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1=S2D．无法确定10．已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（）A．2 B．1 C．D．11．一圆锥的母线长6cm，底面半径为2cm，则这个圆锥的表面积为cm2．12．如图，AB是圆O的直径，∠A=30°，BD平分∠ABC，CE⊥AB于E，若CD=6，则CE的长为．14．在半径为13的圆O中，弦AB平行于弦CD，弦AB和弦CD之间的距离为6，若AB=24，则CD长为．15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P点，若∠P=40°，则∠D的度数为．16．如图，⊙O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为（5，0），顶点D 在⊙O上运动，则正方形面积最大时，正方形与⊙O重叠部分的面积是．三．解答题（共7小题）17．如图，在平面直角坐标系中，⊙D与坐标轴分别相交于A（﹣，0），B（，0），C（0，3）三点．（1）求⊙D的半径；（2）E为优弧AB一动点（不与A，B，C三点重合），EN⊥N，求证：∠DMN=3∠MNE；（3）在（2）的条件下，当∠DMN=45°时，求E点的坐标．18．如图，在⊙O中，AB，BC为互相垂直且相等的两条弦，连接AC．求证：（1）AC是⊙O的直径；（2）作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，则四边形ODBE是正方形．19．如图，AB是⊙O直径，C是半圆上一点，连接BC、AC，过点O作OD ∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE=3，CE=，求线段CE、BE与劣弧BC所围成的图形面积（结果保留根号和π）．20．【发现】如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图①）．如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？请证明点D也不在⊙O内．【应用】利用【发现】和【思考】中的结论解决问题：（1）如图④，已知∠BCD=∠BAD，∠CAD=40°，求∠CBD的度数．（2）如图⑤，若四边形ABCD中，∠CAD=90°，作∠CDF=90°，交CA延长线于F，点E在AB上，∠AED=∠ADF，CD=3，EC=2，求ED的长．21．如图，半圆O的直径AB=12cm，射线BM从与线段AB重合的位置起，以每秒6°的旋转速度绕B点按顺时针方向旋转至BP的位置，BP交半圆于E，设旋转时间为ts（0＜t＜15），（1）求E点在圆弧上的运动速度（即每秒走过的弧长），结果保留π．（2）设点C始终为的中点，过C作CD⊥AB于D，AE交CD、CB分别于G、F，过F作FN∥CD，过C作圆的切线交FN于N．求证：①CN∥AE；②四边形CGFN为菱形；③是否存在这样的t值，使BE2=CF•CB？若存在，求t值；若不存在，说明理由．22．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．再次阅读后，发现AB=1寸，CD=10寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请帮助小智求出⊙O的直径．23．（1）如图1，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=3，AC=6，以BC为边作等边三角形BCD，连接AD，求AD的值．（2）如图2，四边形ABCD中．△ABM，△CDN是分别以AB，CD为一条边的等边三角形，E，F分别在这两个三角形的外接圆上，试问AE+EB+EF+FD+FC是否存在最小值？若存在最小值，则E，F两点的位置在什么地方？井说明理由．若不存在最小值，亦说明理由．一．选择题1．B；2．A；3．B；4．C；5．C；6． C；7．D；8．D；9．B；10．B；二．填空题11．16π；12．3；13．51；14．8或4；15．115°；16． +1；三．解答题略。
北师大版2020九年级数学下册第三章圆自主学习优生提升测试卷(附答案详解)
11．颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的面积是_____米2．
12．如图，扇形OAB以O为圆心，2 为半径，圆心角∠AOB＝60°，点C为OB的中点，连接AC．以C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点D，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留π）．
21．如图1，点P是平面内任意一点，点A，B是 上不重合的两个点，连结 ．当 时，我们称点P为 的“关于 的关联点”．
（1）如图2，当点P在 上时，点P是 的“关于 的关联点”时，画出一个满足条件的 ，并直接写出 的度数；
（2）在平面直角坐标系中有点 ，点M关于y轴的对称点为点N．
①以点O为圆心， 为半径画 ，在y轴上存在一点P，使点P为 “关于 的关联点”，直接写出点P的坐标；
（1）求证：CE＝CF
（2）填空：①若DF与半圆O相交于点P，则当点D与点O重合时， 的长为
②在点D的运动过程中，当EF与半圆O相切时，EF的长为．
27．如图， 是 的直径，点 ， 都在圆上且在 的两侧，连接 ， ，过点 作 ，交 延长线于点 ，且 平分
（1）判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 ， ，求线段 的长
3．如图，A,B,C是圆O上的三点，已知∠O=60°，则∠C=（）
A． B． C． D．
4． 的圆心角所对的弧长是 ，则此弧所在圆的半径是（）
A． B． C． D．
5．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的度数为（）
九年级数学下册第三章《圆》单元提升测试卷(北师大版带答案)
九年级数学下册第三章《圆》单元提升测试卷（北师大版带答案）（北师大版）九年级下单元提升测试卷：第三章《圆》一．选择题 1．已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（） A．0＜d＜1 B．d＞5 C．0＜d＜1或d ＞5 D．0≤d＜1或d＞5 2．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A．3cm B． cm C．2.5cm D． cm 3．已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为6cm，则圆柱的侧面积是（） A．36cm2 B．36π cm2 C．18cm2 D．18πcm2 4．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是（）A．50° B．60° C．80° D．100° 5．如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（）A． B． C． D． 6．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为（）A．π B．1 C．2 D． 7．下列命题中，真命题的个数是（）①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． A．4个 B．3个 C． 2个 D．1个 8．如图，在△ABC中，AB=AC，O是线段AB的中点，线段OC与以AB为直径的⊙O交于点D，射线BD交AC 于点E，∠BAC=90°，那么下列等式成立的是（）A．BD=BC B．AD=OD C．AD=CD D．AE=CD 9．如图，矩形ABCD为⊙O 的内接四边形，AB=2，BC=3，点E为BC上一点，且BE=1，延长AE交⊙O于点F，则线段AF的长为（）A． B．5 C． +1 D． 10．如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）A．4圈 B．3圈 C．5圈 D．3.5圈二．填空题 11．如图，点A、B、C在圆O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠AOC度数为度．12．如图，AB是⊙O直径，CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2，则S阴影= ．13．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E为AB的中点，以B为圆心，BC为半径作圆，则点E在⊙O． 14．如图，已知⊙O 是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD的度数是．15．P是直线l上的任意一点，点A在圆O上，设OP的最小值为m，若直线l过点A，则m与OA的大小关系是． 16．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是． 17．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，若以点A为圆心，以4为半径作⊙A，则点A，点B，点C，点D四点中在⊙A外的是．18．如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM=．三．解答题 19．已知：如图，⊙A与y轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为，过C作⊙A的切线交x轴于点B．（1）求切线BC的解析式；（2）若点P是第一象限内⊙A上的一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标；（3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在x轴上），与直线BC 交于E、F，在移动过程中是否存在点A，使△AEF是直角三角形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．20．设点O（0，0）、点A（2，0），分别以O、A为圆心，半径为2r、r作圆，两圆在第一象限的交点为P．（1）当r=1时，求点P的坐标；（2）当时，能否找到一定点Q，使PQ为定值？若能找到，请求出Q点的坐标及定值；若不能找到，请说明理由．21．已知：A是以BC为直径的圆上的一点，BE是⊙O的切线，CA的延长线与BE交于E点，F是BE的中点，延长AF，CB交于点P．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若AF=3，BC=8，求AE的长．22．如图，AB为⊙O的弦，过点O作OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，过点D作CD∥AB，连接OB并延长交CD于点C，已知⊙O的半径为10，OE=6．求：（1）弦AB的长；（2）CD的长．23．如图所示，过半径为6cm的⊙O外一点P引圆的切线PA，PB，连接PO交⊙O于F，过F作⊙O的切线，交PA，PB分别于D，E，如果PO=10cm，∠APB=40°．求：（1）△PED的周长；（2）∠DOE的度数．24．如图，已知⊙O1和⊙O2相交于点A、B，O1在⊙O2上，AC是⊙O1的直径，连接CB并延长，与⊙O2相交于点D，连结AD．（1）求证：AD是⊙O2的直径．（2）求证：DA=DC．25．如图，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA 以cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动．如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s．（1）求∠OAB的度数．（2）以OB为直径的⊙O′与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O′相切？（3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值．（4）是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出相应的t值；若不存在请说明理由．参考答案一．选择题1． D．2． D．3． B．4． D．5． A．6． C．7． C．8． D．9． A．10． A．二．填空题 11． 120． 12．． 13．内部． 14．32°．15．m≤OA 16． 5． 17． C． 18．48°．三．解答题 19．解：（1）连接AC，则OC==2，故点C的坐标为（0，2），∵BC为⊙O的切线，∴AC⊥BC，在Rt△ABC中，（OB+OA）2=BC2+AC2，即（OB+1）2=BC2+5①，在Rt△OBC中，BC2=OB2+OC2，即OBC2=OB2+4②，①②联立得，OB=4，∴点B的坐标为（�4，0）∴直线BC的解析式为y=x+2；（2）过G点作x轴垂线，垂足为H，连接AG，设G（x0，y0），在Rt△ACG中，∠AGC=60°，AC=，求得CG=，又∵O B=4，∴BC==2，∵OC∥GH，∴=，则OH=，即x0=，又∵点G在直线BC上，∴y0=×+2 =+2，∴G（， +2），（3）在移动过程中，存在点A，使△AEF为直角三角形．若△AEF为直角三角形∵AE=AF ∴△AEF为等腰三角形，∴∠AEF=∠AFE≠90°，∴∠EAF=90°，过A作AM⊥BC于M，在Rt△AEF中，EF===， AM=EF=，证出△BOC∽△BMA得， =，而BC===2，OC=2，可得AB= ∴OA=4�，∴A（�4+，0），当圆心A在点B的左侧时，设圆心为A′，过A′作A′M′⊥BC于M′，可得△A′M′B′≌△AMB，∴A′B=AB=，∴OA′=OB+A′B=4+，∴A′（�4�，0），∴A（�4+，0）或A′（�4�，0）20．解：（1）设P（x，y），由勾股定理，得解得（舍去负值）∴P （）；（2）设P（x，y），由题意，得x2+y2=4[（x�2）2+y2] 化简，得x2+y2�x+=0 即（x�）2+y2= ∴定点为（），定值为． 21．（1）证明：连接AB，OA，OF；∵F是BE的中点，∴FE=BF．∵O B=OC，∴OF∥EC．∴∠C=∠POF．∴∠AOF=∠CAO．∵∠C=∠CAO，∴∠POF=∠AOF．∵BO=AO，OF=OF，∴∠OAP=∠EBC=90°．∴PA是⊙O的切线．（2）解：∵BE是⊙O的切线，PA是⊙O的切线，∴BF=AF=3，∴BE=6．∵BC=8，∠CBE=90°，∴CE=10．∵BE是⊙O的切线，∴EB2=AE•EC．∴AE=3.6．22．解：（1）∵OE2+BE2=OB2 ∴BE=8．（2分）又∵OE⊥AB，∴AB=2BE=16．（4分）（2）∵CD∥AB，∴∠OBE=∠C．又∠BOE=∠COD，∴△BOE∽△COD．∴=．∴CD=． 23．解：如右图所示（1）连接AO，则OA⊥PA，PA==8，∵PA，PB为切线，A，B为切点，EF，EB，DF，DA均与⊙O相切，∴PA=PB，DA=DF，FE=BE，∴△PED的周长=PE+EF+FD+PD=PA+PB=2PA=16（cm），即△PED的周长为16cm；（2）由切线长性质知：∠AOD=∠DOF，∠EOF=∠EOB，∴∠DOE=∠AOB=（180°�∠APB）=（180°�40°）=70°．24．证明：（1）连结AB ∵AC是⊙O1的直径∴∠ABC=90°∴∠ABD=90°，AD是⊙O2的直径（2）连结O1O2 ∵AO1=O1C， AO2=O2D，∴O1O2∥CD ∴∠C=∠AO1O2 又∵O2A=O1O2 ∴∠O2AO1=∠AO1O2∴DA=DC．25．解：（1）在Rt△AOB中：tan∠OAB=，∴∠OAB=30°．（2）如图，连接O′P，O′M．当PM与⊙O′相切时，有：∠PMO′=∠POO′=90°，△PMO′≌△POO′] 由（1）知∠OBA=60°，∵O′M=O′B，∴△O′BM是等边三角形，∴∠BO′M=60°．可得∠OO′P=∠MO′P=60°．∴OP=OO′•tan∠OO′P =6×tan60°=．又∵OP=t，∴t=，t=3．即：t=3时，PM与⊙O‘相切．（3）如图，过点Q作QE⊥x于点E．∵∠BAO=30°，AQ=4t，∴QE=AQ=2t，AE=AQ•cos∠OAB=4t×．∴OE=OA�AE=�t．∴Q点的坐标为（�t，2t），S△PQR=S△OAB�S△OPR�S△APQ�S△BRQ = = =．（0＜t＜6）当t=3时，S△PQR最小=；（4）分三种情况：如图①当AP=AQ1=4t时，∵OP+AP=，∴t+4t=．∴t=，或化简为t=�18；②当PQ2=AQ2=4t时，过Q2点作Q2E⊥x轴于点E．∴PA=2AE=2AQ2•cosA=t，即t+t=，∴t=2；③当PA=PQ3时，过点P作PH⊥AB于点H．AH=PA•cos30°=（�t）•=18�3t， AQ3=2AH=36�6t，得36�6t=4t，∴t=3.6．综上所述，当t=2或t=3.6或t=�18时，△APQ是等腰三角形．。
精品试题北师大版九年级数学下册第三章 圆综合测评试题(含详细解析)
北师大版九年级数学下册第三章圆综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在圆中半径OC∥弦AB，且弦AB＝CO＝2，则图中阴影部分面积为（）A．16πB．13πC．23πD．π2、一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角45ACB∠=︒，则这个人工湖的直径AD为（）m．A ．B ．C ．D ．2003、如图，PA 是O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交O 于点B ，若40P ∠=︒，则B 的度数为（ ）．A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°4、在△ABC 中，CA CB =，点O 为AB 中点．以点C 为圆心，CO 长为半径作⊙C ，则⊙C 与AB 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定5、如图，在O 中，AB BC CD ==，连接AC ，CD ，则AC 与CD 的关系是（ ）．A ．2AC CD =B ．2AC CD < C ．2AC CD > D ．无法比较6、如图，在Rt△ABC 中，90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，3AB =，以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A ，D ，则阴影部分的面积为（ ）A 3πB 3π-C 23π-D ．23π 7、在直径为10cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽8AB =cm ，则水的最大深度为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm8、如图，已知O 中，50AOB ∠=︒，则圆周角ACB ∠的度数是（ ）A ．50°B ．25°C ．100°D ．30°9、若O 是ABC 的内心，当80A ∠=︒时，BOC ∠=（ ）A ．130°B ．160°C ．100°D ．110°10、如图，点A、B、C在⊙O上，∠BAC＝56°，则∠BOC的度数为（）A．28°B．102°C．112°D．128°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB=10，CD=8，则OH的长为__________2、如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，若对角线AC＝AC的长为_____．3、如图，四个小正方形的边长都是1，若以O为圆心，OG为半径作弧分别交AB，CD于点E，F，则弧EF的长是_________．，则此扇形的圆心角等于______．4、若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是6cm5、已知某扇形的半径为5cm，圆心角为120°，那么这个扇形的弧长为 _____cm．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，A是O上一点，过点A作O的切线．（1）①连接OA并延长，使AB=OA；②作线段OB的垂直平分线；使用直尺和圆规，在图中作OB的垂直平分线l（保留作图痕迹）．（2）直线l即为所求作的切线，完成如下证明．证明：在O中，∵直线l垂直平分OB∴直线l经过半径OA的外端，且__________，∴直线l是O的切线（____________）（填推理的依据）．2、如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点M，交⊙O于点C．若⊙O的半径为10，OM：MC＝3：2，求AB 的长．∠=∠．3、如图，AB是O的直径，C为O上一点，DCA B（1）求证：CD是O的切线．（2）若DE AB⊥，垂足为E，DE交AC于点F，求证：DCF是等腰三角形．4、如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝30°．（1）尺规作图：在线段AB上找一点O，以O为圆心作圆，使⊙O经过B，C两点．（2）求证：AC与（1）中所做的⊙O相切．5、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过弧BD上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）延长AB交GE的延长线于点M，若AH＝2，CH＝4，求EM的值．-参考答案-一、单选题1、C【分析】连接OA ，OB ，根据平行线的性质确定OAB CAB S S =△△，再根据AB =CO 和圆的性质确定OAB 是等边三角形，进而得出60AOB ∠=︒，最后根据扇形面积公式即可求解．【详解】解：如下图所示，连接OA ，OB ．∵OC AB ∥，∴OAB CAB S S =△△．∴S 阴=S 扇形AOB ．∵AO ，BO ，CO 都是O 的半径，∴AO =BO =CO ．∵AB =CO =2，∴AO =BO =AB =2．∴OAB 是等边三角形．∴60AOB ∠=︒．∴S 阴=S 扇形AOB =260223603ππ⨯=． 故选：C【点睛】本题考查平行线的性质，等边三角形的判定定理，扇形面积公式，综合应用这些知识点是解题关键．2、B【分析】连接BD ，利用同弧所对圆周角相等以及直径所对的角为直角，求证ADB ∆为等腰直角三角形，最后利用勾股定理，求出AD 即可．【详解】解：连接BD ，如下图所示：ACB ∠与ADB ∠所对的弧都是AB ．45ADB ACB ∴∠=∠=︒．ABD ∠所对的弦为直径AD ，90ABD ∴∠=︒．又45ADB ∠=︒，ADB ∴∆为等腰直角三角形，在ADB ∆中，100AB DB ==，∴由勾股定理可得：AD ===故选：B ．【点睛】本题主要是考查了圆周角定理以及直径所对的圆周角为直角和勾股定理，熟练运用圆周角定理以及直径所对的圆周角为直角，得到对应的直角三角形，再用勾股定理求解边长，是解决本题的主要思路．3、B【分析】连接OA ，如图，根据切线的性质得∠PAO =90°，再利用互余计算出∠AOP =50°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠B 的度数．【详解】解：连接OA ，如图，∵PA 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AP ，∴∠PAO =90°，∵∠P =40°，∴∠AOP =50°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB，∵∠AOP=∠B+∠OAB，∴∠B=12∠AOP=12×50°=25°．故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．4、B【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一即可得CO AB⊥，根据三角形切线的判定即可判断AB是C的切线，进而可得⊙C与AB的位置关系【详解】解：连接CO,CA CB=，点O为AB中点．CO AB∴⊥CO为⊙C的半径，AB∴是C的切线，∴⊙C与AB的位置关系是相切故选B【点睛】本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．5、B【分析】连接AB ，BC ，根据AB BC CD ==得AB BC CD ==，再根据三角形三边关系可得结论．【详解】解：连接AB ，BC ，如图，∵AB BC CD ==∴AB BC CD ==又AB BC AC +>∴2AC CD <故选：B【点睛】本题考查了三角形三边关系，弧、弦的关系等知识，熟练掌握上述知识是解答本题的关键．6、A【分析】连结OC ，根据切线长性质DC =AC ，OC 平分∠ACD ，求出∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，利用在Rt△ABC中，AC =AB tan B =Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，利用三角形面积公式求出12AOC S OA AC ∆=⋅=，12DOC S OD DC ∆=⋅=212011==3603OAD S ππ⨯扇形，利用割补法求即可． 【详解】解：连结OC ，∵以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A , D ，∴DC =AC ，OC 平分∠ACD ，∵90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，∴∠ACD =90°-∠B =60°，∴∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，在Rt△ABC 中，AC =AB tan B =在Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，∴OD =OA =1，DC =AC∴11122AOC S OA AC ∆=⋅=⨯=11122DOC S OD DC ∆=⋅=⨯= ∵∠DOC =360°-∠OAC -∠ACD -∠ODC =360°-90°-90°-60°=120°， ∴212011==3603OAD S ππ⨯扇形，S 阴影=1133AOC DOC OAD S S S ππ∆∆+-扇形． 故选择A ．【点睛】本题考查切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积，掌握切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积是解题关键．7、B【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．【详解】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：∵AB=8cm，∴BD=12AB=4（cm），由题意得：OB=OC=1102⨯=5cm，在Rt△OBD中，OD=2222543OB BD-=-=（cm），∴CD=OC-OD=5-3=2（cm），即水的最大深度为2cm ，故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．8、B【分析】根据圆周角定理，即可求解．【详解】 解：∵1,502ACB AOB AOB ∠=∠∠=︒ ， ∴25ACB ∠=︒ ．故选：B【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握同圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．9、A【分析】由三角形内角和以及内心定义计算即可【详解】∵180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒∴100ABC ACB ∠+∠=︒又∵O 是ABC 的内心∴OB 、OC 为ABC ACB ∠∠、角平分线，∴OBC OCB ∠+∠1()502ABC ACB =∠+∠=︒ ∴BOC ∠=180°()OBC OCB -∠+∠=180°-50°=130°故选：A ．【点睛】本题考查了三角形内心的定义，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．10、C【分析】直接由圆周角定理求解即可．【详解】解：∵∠A ＝56°，∠A 与∠BOC 所对的弧相同，∴∠BOC ＝2∠A ＝112°，故选：C ．【点睛】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．二、填空题1、3【分析】 根据垂径定理可得12CH CD =，进而利用勾股定理解直角三角形即可求得OH 的长【详解】 解： AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，若AB =10，CD =8，114,522CH CD OC AB ∴====在Rt OHC △中，3OH =故答案为：3【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．2、4π3【分析】连接OB ，交AC 于点D ，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形OABC 为菱形，根据菱形的性质可得：OB AC ⊥，OA AB =，AD DC =，根据等边三角形的判定得出OAB 为等边三角形，由此得出120AOC ∠=︒，在直角三角形中利用勾股定理即可确定圆的半径，然后代入弧长公式求解即可．【详解】解：如图所示，连接OB ，交AC 于点D ，∵四边形OABC 为平行四边形，OA OC =，∴四边形OABC 为菱形，∴OB AC ⊥，OA AB =，12AD DC AC === ∵OA OB AB ==，∴OAB 为等边三角形，∴60AOB ∠=︒，∴120AOC ∠=︒，在Rt OAD 中，设AO r =，则12OD r =， ∴222AD OD AO +=，即22212r r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 解得：2r 或2r =-（舍去）， ∴AC 的长为：120241803ππ⨯⨯=， 故答案为：43π． 【点睛】题目主要考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式等，熟练掌握各个定理和公式是解题关键．3、23π 【分析】 先根据12OD OF =得出30OFD ∠=︒，同理可得出30OEA ∠=︒，进而得出60EOF ∠=︒，根据扇形的弧长公式计算即可．【详解】由题意可得：2OE OG OF === ∴12OD OF =∴在Rt ODF 中，1sin 2OD OFD OF ∠== ∴30OFD ∠=︒同理可得：30OEA ∠=︒AB OG DC ∥∥30EOG OEA ∴∠=∠=︒，30FOG OFD ∠=∠=︒∴60EOF EOG FOG ∠=∠+∠=︒ ∴60221801803n r EF πππ⨯=== 故答案为：23π 【点睛】本题考查了扇形的弧长计算，以及直角三角形的性质，熟练掌握扇形的弧长计算公式和直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键．4、60°度【分析】 根据=180n r l π变形为n =180l rπ计算即可． 【详解】∵扇形的半径是18cm ，且它的弧长是6cm π，且=180n r l π ∴n =180l r π=180618ππ⨯⨯=60°， 故答案为：60°．【点睛】本题考查了弧长公式，灵活进行弧长公式的变形计算是解题的关键．5、103π 【分析】根据弧长公式代入求解即可．【详解】解：∵扇形的半径为5cm ，圆心角为120°， ∴扇形的弧长＝120510=1803ππ︒⨯⨯︒． 故答案为：103π． 【点睛】 此题考查了扇形的弧长公式，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式：180n r π，其中n 是扇形圆心角的度数，r 是扇形的半径．三、解答题 1、（1）见解析；（2）l ⊥OA ，经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线．【分析】（1）根据题中给出的作图步骤完成作图即可；（2）根据切线的判定定理证明即可【详解】（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形如图所示；（2）完成下面的证明证明：在O中，∵直线l垂直平分OB∴直线l经过半径OA的外端，且l⊥OA，∴直线l是O的切线(经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线) ．【点睛】本题考查了做垂线，切线的判定，掌握切线的判定定理是解题的关键．AB2、16【分析】连接OA，根据⊙O的半径为10，OM：MC＝3：2可求出OM的长，由勾股定理求出AM的长，再由垂径定理求出AB的长即可．【详解】解：如图，连接OA．∵OM ：MC ＝3：2，OC ＝10，∴OM ＝331055OC =⨯=6．∵OC ⊥AB ，∴∠OMA ＝90°，AB ＝2AM ．在Rt △AOM 中，AO ＝10，OM ＝6，∴AM =8．∴AB ＝2AM =16．【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．3、（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）连接OC ，OC 为半径，直径所对的圆周角为90︒，90ACB ∠=︒；由题意可知90BCO ACO DCA ACO ∠+∠=∠+∠=︒，进而可得出CD 是O 的切线． （2）由题意知EFA B ∠=∠，对顶角EFA DFC ∠=∠，B ACD ∠=∠，故有FCD DFC ∠=∠，DC DF =；进而得出DEF 是等腰三角形．【详解】解：（1）证明：如图，连接OCAB 是O 的直径∴∠=︒ACB90=OC OB∴∠=∠B BCO∠=∠DCA B∴∠=∠BCO DCA∴∠+∠=∠+∠=︒BCO ACO DCA ACO90∴∠=∠=︒DCO ACB90∴⊥OC CD又OC过圆心O∴是O的切线．CD（2）DE AB∵⊥FEA∴∠=︒90A EFA A B∴∠+∠=︒=∠+∠90∴∠=∠=∠=∠EFA B ACD DFC∴∠=∠FCD DFCDC DF∴=∴是等腰三角形．DEF【点睛】本题考察了圆周角、切线、等腰三角形等知识点．解题的关键与难点在于找角与角之间相等或互余的关系．4、（1）答案见解析（2）答案见解析【分析】(1)作线段BC的垂直平分线MN，交AB于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O即可；(2)连接OC ，证明∠ACB = 120°，再证明∠ACO = 90°，即可得答案．【详解】解：(1)如下图，⊙O 即为所作：(2)证明：连接OC∵△ABC 中，∠A =∠B = 30°∴∠ACB = 120°由(1) 可知，OC = OB∴∠OCB =∠B = 30°∴∠ACO = 90°∴AC 是⊙O 的相切．【点睛】本题考查作图-垂直平分线、圆的画法，等腰三角形的性质，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．5、（1）见解析；（2）52【分析】（1）连接OE ，由FG EG =得GEF GFE AFH ∠=∠=∠，由OA OE =知OAE OEA ∠=∠，根据CD AB ⊥得90AFH FAH ∠+∠=︒，从而得出90GEF AEO ∠+∠=︒，即可得证；（2）连接OC ．设⊙O 的半径为r ．在Rt △OCH 中，利用勾股定理求出r ，证明△AHC ∽△MEO ，可得AH HC EM OE =，由此即可解决问题.【详解】解：（1）如图，连接OE，∵GF=GE，∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵AB⊥CD，∴∠AFH+∠FAH=90°，∴∠GEF+∠AEO=90°，∴∠GEO=90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线；（2）如图，连接OC．设⊙O的半径为r,∵AH =2，HC =4，在Rt △HOC 中，∵OC =r ，OH =r -2，HC =4，∴()22224r r -+=，∴r =5，∵GM ∥AC ，∴∠CAH =∠M ,∵∠OEM =∠AHC ,∴△AHC ∽△MEO ∴AH HC EM OE =， ∴245EM = ， ∴EM =52．【点睛】本题考查圆的综合题、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北师大版2020九年级数学下册第三章圆单元综合能力提升训练题（附答案详解） 1．如图，OA 交⊙O 于点B ，AD 切⊙O 于点D ，点C 在⊙O 上．若∠A ＝40°，则∠C 为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°2．如图，矩形ABCD 中，BC ＝4，CD ＝2，O 为AD 的中点，以AD 为直径的弧DE 与BC 相切于点E ，连接BD ，则阴影部分的面积为（ ）A ．πB ．2πC ．π+2D ．2π+4 3．下图中ACB ∠是圆心角的是( )A ．B ．C ．D ． 4．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BCD ＝110°，则∠BOD 的度数为（ ）A ．35°B ．70°C ．110°D ．140°5．如图，AB 是半圆 O 的直径，点 D 在半圆 O 上，AB= 461，AD=20，C 是弧 BD 上的一个动点，连接 AC ，过 D 点作 DH ⊥AC 于 H ，连接 BH ，在点 C 移动的过程中，BH 的最小值是（ ）A ．16B ．14C ．12D ．106．如图，AB 切⊙O 于点B ，C 为⊙O 上一点，且OC ⊥OA ，CB 与OA 交于点D ，若∠OCB ＝15°，AB ＝23，则⊙O 的半径为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．4 7．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，连接AD ，AC ，BD ，则DAB ∠与C ∠的数量关系为（ ）A ．DABC ∠=∠B ．2DABC ∠=∠ C ．90DAB C ∠+∠=︒D ．180DAB C ∠+∠=︒ 8．如图, BC 是O 的直径，AB 切O 于点B ，8AB BC ==，点D 在O 上，DE AD ⊥交BC 于E ，3BE CE =，则AD 的长是( )A ．401717B ．3017C ．410D ．310 9．在以AB 为直径的半圆中，点P 在AB 上运动，CP AB ⊥，C 、D 是弧上的两个点且CP CD =，E 是CD 的中点，则CPE ∠的最大值为（ ）A ．15︒B ．30C ．45︒D ．60︒10．若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（ ）A ．正五边形B ．正八边形C ．正十边形D ．正十八边形 11．如图，半径为5的A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是BAC ∠，EAD ∠．已知6DE =，180BAC EAD ∠+∠=︒，则弦BC 的弦心距等于（ ）．A ．412B ．3C ．342D ．412．如图，四边形ABCD 内接于半径为6的O 中，连接AC ，若,45AB CD ACB =∠=︒，12ACD BAC ∠=∠，则BC 的长度为（ ）A ．63B ．62C ．93D ．92 13．有一个边长为12cm 的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个六边形，则这个圆形纸片的半径最小是_______cm ；14．在Rt ABC 中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，则其外接圆的半径为__________．15．已知圆锥的母线长为5，侧面积为20π，则这个圆锥的底面圆的半径为_____. 16．已知⊙O 的弦AB ＝24cm ，点C 是弦AB 的中点，作射线OC 交⊙O 于点D ，CD ＝8cm ，则⊙O 的半径长是_____cm ．17．如图，△ABC 内接于圆O ，若圆的半径是2.5，AB ＝3，则∠C 的正切值＝_____．18．如图，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 为切点，点D ，E ，F 分别在线段AB ，BP ，AP 上，且AD ＝BE ，BD ＝AF ，∠P ＝54°，则∠EDF ＝_____度．19．如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，则圆锥主视图的面积为__________．20．已知点A 、B 是半径为2的O 上两点，且120BOA ∠=︒，点M 是O 上一个动点，点P 是AM 的中点，连接BP ，则BP 的最小值是_______．21．有一圆心角为120°，半径长为3的扇形，其弧长为_____．22．如图，ABC 内接于O ，AB 是直径，4BC =，2AC =，CD 平分ACB ∠，则弦CD 的长为__________．23．如图，过O 外一点P 作O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，作直径BC ，连接AB ，AC ，若80P ∠=︒，则C ∠=__________︒．24．如图，在四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=︒，72ABD ∠=︒，则CAD ∠的度数为______．25．如图，AB 是⊙O 的直径，过圆外一点E 作EF 与⊙O 相切于G ，交AB 的延长线于F ，EC ⊥AB 于H ，交⊙O 于D ，C 两点，连接AG 交DC 于K ．（1）求证：EG ＝EK ；（2）连接AC ，若AC ∥EF ，cos C ＝45，AK ＝10，求BF 的长．26．如图，在Rt OAB ∆中，90AOB ∠=︒，4OA OB ==，以点O 为圆心、2为半径画圆，点C 是O 上任意一点，连接BC ，OC ．将OC 绕点O 按顺时针方向旋转90︒，交O 于点D ，连接AD ，恰好AD 与O 相切．（1）求证：BC 是O 的切线；（2）求点C 到OB 的距离．27．如图，已知AB 是⊙O 的直径，过O 点作OP ⊥AB ，交弦AC 于点D ，交⊙O 于点E ，且使PC 是⊙O 的切线．（1）求证：∠PCA ＝∠ABC ；（2）若∠P ＝60°，PC ＝4，求PE 的长．28．如图1，把ACD ∆ 绕点C 逆时针旋转90得BCE ∆，点A ，D 分别对应点B ，E ，且满足A ，D ，E 三点在同一条直线上，连接DE 交BC 于点F ，CDF ∆的外接圆圆O 与AB 交于G 、H（1）求证：BE 是圆O 切线；（2）如图2连接OB ，OC ，若5sin CAE ∠=，判断四边形BECO 的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若5CF =，求GH 的长．29．如图，在⊙O 中，弧AB=弧BC ，∠ACB=60°．（1）求证：△ABC 是等边三角形；（2）求∠AOC 的大小．30．如图，已知AB 为O 的直径，AD 、BD 是O 的弦，BC 是O 的切线，切点为B ，//OC AD ，BA 、CD 的延长线相交于点E .（1）求证：DC 是O 的切线；（2）若1AE =，3ED =，求O 的半径. （3）在（2）中的条件下，30ABD ∠=，将ABD ∆以点A 为中心逆时针旋转120，求BD 扫过的图形的面积（结果用π表示）.31．我们定义：如果圆的两条弦互相垂直，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”.如：如图，已知O 的两条弦AB CD ⊥，则AB 、CD 互为“十字弦”，AB 是CD 的“十字弦”，CD 也是AB 的“十字弦”.（1）若O 的半径为5，一条弦8AB =，则弦AB 的“十字弦”CD 的最大值为______，最小值为______.（2）如图1，若O 的弦CD 恰好是O 的直径，弦AB 与CD 相交于H ，连接AC ，若12AC =，7DH =，9CH =，求证：AB 、CD 互为“十字弦”；（3）如图2，若O 的半径为5，一条弦8AB =，弦CD 是AB 的“十字弦”，连接AD ，若60ADC ∠=︒，求弦CD 的长.32．如图，AB 为⊙O 的直径，E 为⊙O 上一点，C 为弧BE 的中点，过点C 作AE 的垂线，交AE 的延长线于点D ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）连接EC ，若AB ＝10，AC ＝8，求△ACE 的面积．33．如图，AB 是O 的直径，点D 在O 上，AD 的延长线与过点B 的切线交于点C ，E 为线段AD 上的点，过点E 的弦FG AB ⊥于点H ．（1）求证：C AGD ∠=∠；（2）已知6BC =，4CD =，且2CE AE =，求EF 的长．34．如图，O 的直径16AB =，半径OC AB ⊥，D 为BC 上一动点（不包括,B C 两点），,DE OC DF AB ⊥⊥，垂足分别为,E F ．（1）求EF 的长．（2）若点E 为OC 的中点，①求劣弧CD 的长度，②者点P 为直径AB 上一动点，直接写出PC PD +的最小值． 35．如图，在以AB 为直径的半O 上有C C ，点D 在AC 上，过圆心O 作OF CD ⊥的于点, F OF AD 、的延长线交于点E ，连结CE ，若90DEC ︒∠=． ()1试说明45BAC ︒∠=；()2若1,DF ACE =∆的面积为DCE ∆面积的3倍，连接AC 交OE 于点P ，求tan ACD ∠的值和OP 的长：()3在()2的条件下，延长EC 与AB 的延长线相交于点G ，直接写BG 的长参考答案1．B【解析】【分析】根据切线的性质得到∠ODA ＝90°，根据直角三角形的性质求出∠DOA ，根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵AD 切O 于点D ∴OD AD ⊥∴90ODA =∠°∵40A ∠=︒∴904050DOA ∠=︒-︒=︒ ∴1252BCD DOA ∠=∠=︒ 故选：B【点睛】本题考查了切线的性质：圆心与切点的连线垂直切线、圆周角定理以及直角三角形两锐角互余的性质，结合图形认真推导即可得解．2．A【解析】【分析】连接OE 交BD 于F ，如图，利用切线的性质得到OE ⊥BC ，再证明四边形ODCE 和四边形ABEO 都是正方形得到BE =2，∠DOE =∠BEO =90°，易得△ODF ≌△EBF ，所以S △ODF =S △EBF ，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=S 扇形EOD 计算即可．【详解】连接OE 交BD 于F ，如图，∵以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点E ，∴OE ⊥BC ．∵四边形ABCD 为矩形，OA =OD =2，而CD =2，∴四边形ODCE 和四边形ABEO 都是正方形，∴BE=2，∠DOE=∠BEO=90°．∵∠BFE=∠DFO，OD=BE，∴△ODF≌△EBF(AAS)，∴S△ODF=S△EBF，∴阴影部分的面积=S扇形EOD2902360ππ⋅⋅==．故选：A．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了矩形的性质和扇形面积公式．3．B【解析】【分析】根据圆心角的定义判断即可.【详解】顶点在圆心上，角的两边与圆周相交的角叫圆心角.如图，∠AOB的顶点O是圆O的圆心，OA、OB交圆O于A、B两点，则∠AOB是圆心角.故选B.【点睛】本题考查圆心角的定义,关键在于熟记定义.4．D【解析】【分析】先根据圆内接四边形对边互补的性质求出∠A,再根据圆心角对应圆周角的一倍求出∠BOD. 【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝70°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝140°，故选：D．【点睛】本题考查圆与多边形的综合,关键在于对概念和定义的理解.5．A【解析】【分析】如图，取AD的中点M，连接BD、HM、BM，由题意知点H在以M为圆心，以MD为半径的圆M 上，推出当M 、H 、B 共线时，BH 的值最小．【详解】解：如图，取AD 的中点M ，连接BD 、HM 、BM ，DH AC ⊥，∠90AHD ∴=︒，∴点H 在以M 为圆心，以MD 为半径的圆M 上，∴当M 、H 、B 共线时，BH 的值最小，AB 是直径，∠=90ADB ∴︒，()224612024BD ∴=-=，2222241026BM BD DM =+=+=， ∴BH 的最小值为26-10=16BM MH -=，故选：A ．【点睛】 本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助线来解决问题． 6．B【解析】【分析】连接OB ，由切线的性质可得∠OBA=90°，结合已知条件可求出∠A=30°，因为AB 的长已知，所以⊙O 的半径可求出．【详解】连接OB ，∵AB 切⊙O 于点B ，∴OB ⊥AB ，∴∠ABO ＝90°，∵OC⊥OA，∠OCB＝15°，∴∠CDO＝∠ADO＝75°，∵OC＝OB，∴∠C＝∠OBD＝15°，∴∠ABD＝75°，∴∠ADB＝∠ABD＝75°，∴∠A＝30°，∴BO＝12 AO，∵AB＝23，∴BO2+AB2＝4OB2，∴BO＝2，∴⊙O的半径为2，故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，求出∠A=30°，是解题的关键．7．C【解析】【分析】首先根据圆周角定理可知∠B=∠C，再根据直径所得的圆周角是直角可得∠ADB=90°，然后根据三角形的内角和定理可得∠DAB+∠B=90°，所以得到∠DAB+∠C=90°，从而得到结果. 【详解】解：∵AB是O的直径，∴∠ADB=90°.∴∠DAB+∠B=90°.∵∠B=∠C，∴∠DAB+∠C=90°.故选C.【点睛】本题考查了圆周角定理及其逆定理和三角形的内角和定理，掌握相关知识进行转化是解题的关键.8．A【解析】【分析】连接AE、BD、DC，根据题意求得BE=6，CE=2，AE=10，根据圆周角定理求得∠BDC=90°，进而求得∠ABD=∠DCE，∠DAB=∠DEC，然后证得△DCE∽△DAB，得出比例式，得出AD=4DE，然后根据勾股定理即可求得．【详解】解：连接AE、BD、DC，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABC=90°，∵BC=8，BE=3CE，∴CE=2，BE=6，∵AB=8，∴由勾股定理得：2222+=+，68AB BE∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∵∠ADE=90°，∴∠ABD+∠CBD=90°，∠DCE+∠CBD=90°，∴∠ABD=∠DCE，∵∠ADE=∠ABE=90°，∴∠DAB+∠DEB=360°-90°-90°=180°，∵∠DEC+∠DEB=180°，∴∠DEC=∠DAB ，∴△DCE ∽△DAB ， ∴2184DE CE AD AB === ， ∴AD=4DE ，在RT △ADE 中，AE 2=AD 2+DE 2，∴102=（4DE ）2+DE 2，∴，∴AD=17， 故选：A ．【点睛】此题考查切线的判定和性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，证得三角形相似是解题的关键．9．B【解析】【分析】延长CP 交另外半圆于N ，连接ND ，根据垂径定理可得：点P 为CN 的中点，根据中位线的定义和性质可得：PE ∥ND ，再根据平行线的性质可得：∠CPE=∠CND ，从而得出CPE∠的最大值为∠CND 的最大值，根据弦和圆周角的关系，当弦CD 最大时，其所对的圆周角∠CND 最大，即CPE ∠最大，再结合CP CD =，得出CP 最大时，CD 最大，从而CPE ∠最大，画出此时的图形，然后根据等边三角形的性质可得∠CPD=60°,然后根据三线合一即可求出此时CPE ∠的最大值.【详解】延长CP 交另外半圆于N ，连接ND⊥∵CP AB∴点P为CN的中点∵E是CD的中点∴PE为△CND的中位线∴PE∥ND∴∠CPE=∠CND∠的最大值为∠CND的最大值即CPE∠最大根据弦和圆周角的关系，当弦CD最大时，其所对的圆周角∠CND最大，即CPE =∵CP CD∠最大∴CP最大时，CD最大，从而CPE根据题意，CP的最大值应为半径，即P点运动到O点时，如下图所示∵此时CD=CP=CO=OD=PD∴△CPD是等边三角形∴∠CPD=60°∵E为CD的中点∴此时1302CPE CPD==︒∠∠故选B.【点睛】此题考查的是圆的基本性质、中位线的性质、平行线的性质和等边三角形的性质，掌握圆的基本性质、中位线的性质、平行线的性质和等边三角形的性质是解决此题的关键.10．C【解析】【分析】一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360︒，用360︒除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数．【详解】由题意可得：边数为36036=10︒÷︒．则这个多边形是正十边形．故选：C．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和定理，准确理解圆内接正多边形的中心角的特点是解题的关键．11．B【解析】【分析】作AH⊥BC于H，延长CA交A于F，连结BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，进而根据圆心角定理得到DE=BF=6，再由AH⊥BC及垂径定理得CH=BH，易得AH为CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=12BF=3．【详解】解：作AH⊥BC于H，延长CA交A于F ，连结BF，如下图∵∠BAC+∠DAE=180°，∠BAC+∠BAF=180°,∴∠DAE=∠BAF∴DE= BF∵6DE =∴DE=BF=6∵AH ⊥BC∴CH=BH∵CA=AF∴AH 为CBF 的中位线 ∴AH=12BF=3 故选：B ．【点睛】此题考查了圆心角定理、垂径定理、三角形中位线的性质以及勾股定理，根据同圆中“等角对等弦”转化已知边是解题关键．12．A【解析】【分析】连接OA ，OB ，OC ，OD ，过点O 作OM ⊥BC 于点M ，易得∠AOB=∠COD=90°，∠DAC=∠ACB=45°，从而得∠OAD=∠CAB ，进而得∠OAD=∠AOD ，可得∠AOD=60°，∠BOC=120°，进而即可求解．【详解】连接OA ，OB ，OC ，OD ，过点O 作OM ⊥BC 于点M ，∵在四边形ABCD 内接于半径为6的O 中，,45AB CD ACB =∠=︒，∴∠AOB=∠COD=2∠ACB=90°，∠DAC=∠ACB=45°，∵OA=OB，∴∠OAB=45°，∴∠OAD=∠DAC+∠CAO=∠OAB+∠CAO=∠CAB，又∵∠ACD=12∠AOD，12ACD BAC∠=∠，∴∠AOD=∠BAC，∴∠OAD=∠AOD，∴AD=OD，∵OD=OA，∴∆AOD是等边三角形，∴∠AOD=60°，∴∠BOC=360°-90°-90°-60°=120°，∵OC=OC=6，∴∠OCM=30°，∴CM=3OC=33，∴BC=2 CM==63．故选A．【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆周角定理以及推论，圆心角定理，垂径定理，等腰三角形的性质定理，是解题的关键．13．12【解析】【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可．【详解】解：如图所示，正六边形的边长为12cm，OG⊥BC，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=°3606=60°，∵OB=OC，OG⊥BC，∴∠BOG=∠COG=12×60°=30°，∵OG⊥BC，OB=OC，BC=12cm，∴BG=12BC=12×12=6cm，∴OB=61sin2BGBOG=∠=12cm，故答案为：12cm．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键．14．5【解析】【分析】首先根据勾股定理，得其斜边是10，再根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，得其半径是5．【详解】解：∵∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，∴BA ＝10，∴其外接圆的半径为5．【点睛】熟练运用勾股定理；注意：直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半．15．4【解析】【分析】直接利用扇形的面积公式即可得出答案.【详解】设底面圆的半径为r, ∵1=2S lR 扇形 ∴120252r ππ=⨯⨯ ∴4r =故答案为：4【点睛】本题主要考查扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的关键.16．13【解析】【分析】如图（见解析），连接OA ，根据垂径定理得到,12OC AB AC cm ⊥=，再利用勾股定理列方程即可得到结论.【详解】如图，连接OA∵点C 是弦AB 的中点，24AB cm =1,122OC AB AC AB cm ∴⊥== 由勾股定理得：222OA OC AC =+222(8)12OA OA ∴-+=解得：13OA=∴⊙O的半径长是13cm故答案为：13.【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟记垂径定理是解题关键.17．3 4【解析】【分析】根据直径所对的圆周角是90°，同弧所对的圆周角相等，所以通过作直径AD，连接BD，构造Rt△ABD,由勾股定理及正切函数求解即可.【详解】解：作直径AD，连接BD，∵∠ACB和∠ADB都对弧AB，∴∠ACB＝∠ADB，∵圆的半径是2.5，∴AD＝5，∵AD为直径，∴∠ABD＝90°，∴BD22AD AB-4，∴tanC＝tanD＝ABBD＝34，故答案为：34．【点睛】本题考查圆周角定理，运用圆周角定理是解决圆中角问题的重要途径，直径所对的圆周角是90°是圆中构造90°角的重要手段.18．63【解析】【分析】先根据PA=PB 求出∠PAB ＝∠PBA=63°，再证明△AFD ≌△BDE 得到∠AFD ＝∠BDE ，即可求出答案.【详解】解：∵PA ，PB 是⊙O 的两条切线，∴PA ＝PB ，∴∠PAB ＝∠PBA ＝18054632-=， 在△AFD 和△BDE 中，AD BE FAD DBE AF BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AFD ≌△BDE （SAS ）∴∠AFD ＝∠BDE ，∴∠EDF ＝180°﹣∠BDE ﹣∠ADF ＝180°﹣∠AFD ﹣∠ADF ＝∠FAD ＝63°，故答案为：63．【点睛】此题考查切线长定理，全等三角形的判定及性质，此题中证明△AFD ≌△BDE 是解题的关键.19．48【解析】【分析】圆锥的主视图是等腰三角形，根据圆锥侧面积公式S=πrl代入数据求出圆锥的底面半径长，再由勾股定理求出圆锥的高即可．【详解】根据圆锥侧面积公式：S=πrl，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，故60π=π×10×r，解得：r=6．由勾股定理可得圆锥的高=8∵圆锥的主视图是一个底边为12，高为8的等腰三角形，∴它的面积=1128=482⨯⨯，故答案为：48【点睛】本题考查了三视图的知识，圆锥侧面积公式的应用，正确记忆圆锥侧面积公式是解题关键．201-【解析】【分析】由题意知弦AM的中点P在以AO为直径的⊙C上，连接BC与⊙C的交点为P，此时BP的值最小，利用特殊角的三角函数以及勾股定理即可求解．【详解】由题意知弦AM的中点P在以AO为直径的⊙C上，连接BC与⊙C的交点为P，此时BP的值最小，作CE⊥AB于E，作OD⊥AB于D，∵⊙O 的半径为2，∴OA=OB=2，OC=CA=OP=1，∵∠AOB=120︒，∴∠OAB=∠OBA=30︒， ∴1122CE CA ==， 3cos302AE AC =⋅︒=， cos303AD AO =⋅︒=223AB AD ==33323BE AB AE =-== 根据勾股定理：2222133722BC CE BE ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴71BP BC CP =-=． 71．【点睛】 本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、锐角三角形函数、等腰三角形的判定和性质等知识点，根据题意得出BP 最短时，即为连接BC 与⊙C 的交点是解题的关键．21．2π．【解析】【分析】直接利用弧长公式求解即可．【详解】∵扇形的圆心角为120°，半径为3，∴扇形的弧长=12032180ππ⨯⨯=． 故答案为：2π．【点睛】 本题主要考查弧长公式，掌握弧长公式180n r l π=，是解题的关键． 22．【解析】【分析】利用角平分线的性质求解,,AE BE 过E 作EF BC ⊥，结合直径所对的圆周角为直角证明三角形相似，利用相似三角形的性质求解EF ，进而求解,CE 利用相交弦定理可得答案．【详解】解：AB 为直径，90,ACB ∴∠=︒AB ∴===过E 作,,EG AC EF BC ⊥⊥ 垂足分别为,,G F CD 平分,ACB ∠,EG EF ∴= 45,DCB ∠=︒1122,1122AE AEC BEC BE AC EG AE h S S BC EF BE h ∆∆••∴==•• 2145,,42AC AE DCB BC BE ∴∠=︒===AE BE ∴== 过E 作EF BC ⊥，90,45,ACB DCB ∠=︒∠=︒,CF EF BFE BCA ∴=∆∆， ,BE EF AB AC ∴= 453,225EF ∴= 4,3EF CF ∴== 422,CE EF ∴=•=,,ABC ADC AED CEB ∠=∠∠=∠,ADE CBE ∴∆∆,AE DE CE BE∴= ,AE BE CE DE ∴•=•254542,333DE ∴⨯=• 52,3DE ∴= 42523 2.33CD CE DE ∴=+=+= 故答案为：3 2.【点睛】本题考查的是直径所对的圆周角是直角，相交弦定理，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，掌握以上知识点是解题关键．23．50【解析】【分析】根据切线的性质得出∠PAO ＝∠PBO ＝90°，求出∠AOB 的度数，根据圆周角定理求出∠C 即可．【详解】连接OA ，∵过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°，∵∠P ＝80°，∴∠AOB ＝360°−90°−90°−80°＝100°，∴∠C ＝12∠AOB ＝50°， 故答案为：50．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理等知识点，能求出∠AOB 的度数和根据圆周角定理得出∠C ＝12∠AOB 是解此题的关键． 24．18°【解析】【分析】根据题意可知A 、B 、C 、D 四点共圆，由余角性质求出∠DBC 的度数,再由同弧所对的圆周角相等，即为所求 ．【详解】解：∵在四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=︒，∴A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上,∵∠ABC=90°，72ABD ∠=︒,∴∠CBD=18°,∴∠CAD=∠CBD=18°故答案为：18°【点睛】本题考查的是四点共圆、互为余角的概念和同圆中同弧所对的圆周角相等．25．（1）见解析；（2）2524【解析】【分析】（1）连接OG ．根据切线的性质得到∠OGE ＝90°，证明∠EKG ＝∠AGE ，根据等腰三角形的判定定理证明结论；（2）连接OC ，设CH ＝4k ，根据余弦的定义、勾股定理用k 表示出AC 、AH ，根据勾股定理列式求出k ，设⊙O 半径为R ，根据勾股定理列式求出R ，根据余弦的定义求出OF ，计算即可．【详解】解：连接OG ．∵EF 是⊙O 的切线，∴∠OGE ＝90°，即∠OGA +∠AGE ＝90°．∵OA ＝OG ，∴∠OGA ＝∠OAG ，∴∠OAG +∠AGE ＝90°．∵CD ⊥AB ，∴∠AHK ＝90°，则∠OAG +∠AKH ＝90°．∴∠AKH ＝∠AGE ．∵∠AKH ＝∠EKG ，∴∠EKG ＝∠AGE ，∴EG ＝EK ；（2）如图，连接OC ，设CH ＝4k ，∵cos∠ACH＝45 CHCA=，∴AC＝5k，由勾股定理得，AH＝22AC CH-＝3k，∵AC∥EF，∴∠CAK＝∠EGA，又∠AKC＝∠EKG，而由（1）知∠EKG＝∠EGA，∴∠CAK＝∠CKA，∴CK＝AC＝5k，HK＝CK﹣CH＝k．在Rt△AHK中，AH2+HK2＝AK2，即（3k）2+k2＝（10）2，解得，k＝1，则CH＝4，AC＝5，AH＝3，设⊙O半径为R，在Rt△OCH中，OH2+CH2＝OC2，即（R﹣3）2+42＝R2，解得，R＝256，由AC∥EF知，∠CAH＝∠F，则∠ACH＝∠GOF，在Rt△OGF中，cos∠ACH＝cos∠GOF＝45 OGOF=，解得，OF＝1254，∴BF＝OF﹣OB＝25 24．【点睛】本题考查的是切线的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义、，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．26．（1）见解析；（23【解析】【分析】（1）先证明BOC AOD ∆≅∆，则90BCO ADO ∠=∠=︒，BC 是O 的切线； （2）过点C 作CE OB ⊥，根据勾股定理得23BC =，由BCO ∆的面积公式可得OB CE BC OC =，求得3CE =；【详解】（1）证明：∵AD 与O 相切，∴90ADO ∠=︒．∵90AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOC COD AOC ∠-∠=∠-∠，即COB AOD ∠=∠，∵OB OA =，OC OD =，∴BOC AOD ∆∆≌．∴90BCO ADO ∠=∠=︒．∴BC 是O 的切线．（2）如图示，过点C 作CE OB ⊥，垂足为E ，则CE 即为点C 到OB 的距离，在Rt BOC ∆中，∵4OB =，2OC =，∴22224223BC OB OC =--=∴OB CE BC OC ⋅=⋅，即4223CE =⨯，3CE =∴点C 到OB 3【点睛】此题主要考查了圆的综合，解直角三角形、旋转的性质、切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．27．（1）详见解析；（2）8﹣3【解析】【分析】（1）连接OC ，根据圆周角定理的推论求出∠ACB ＝90，根据切线的性质得出∠OCP ＝90°，然后根据角度之间的转化可得出结果；（2）先求出∠POC=30°，在Rt△OCP中，根据含30°的直角三角形的性质以及勾股定理可求得OP，OC的长，然后根据PE=OP-OE即可得出答案．【详解】（1）证明：连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝90°，∴∠OCA+∠PCA＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A，∴∠PCA＝∠ABC；（2）解：∵在Rt△OCP中，∠OCP＝90°，∠P＝60°，∴∠POC＝30°，∵PC＝4，∴PO＝2PC＝8，由勾股定理得：OC223OE，84∴PE＝PO﹣OE＝8﹣3【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，切线的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．28．（1）见解析；（2）平行四边形，见解析（3 【解析】【分析】 （1）利用旋转的性质可得：CBE CAD ∠=∠，90ACB DCE ∠∠==由三角形内角和可得∠=∠BEF ACF =90°，即可证明BE 是圆O 切线；（2）由等腰三角形的性质可得：CO DE ⊥，可得：∠=∠AEB COE ，可得//CO BE由sin 5CO COE AC ∠==，可设CO =，5AC x =可得AO ，故2AO CO =，由DO CO =，可得=AD CO ，可得=BE CO ，即可判断四边形BECO 的形状；（3）计算得AC BC ==AB =根据勾股定理列出方程：222))+=，求出x 的值，即可求出2==OC BE ，4AO =，运用相似三角形的判定可得：~∆∆MAO BAE ，利用相似三角形的性质可求出 5=OM ，根据勾股定理渴求出MG 的长度，即可求出GH 的长度； 【详解】（1）证明：由旋转可知CBE CAD ∠=∠，90ACB DCE ∠∠== DE ∴是⊙O 的直径∵180∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒BEF EBF EFB ACF CAF AFC又∵==∠∠∠∠，EBF CAF EFB AFC∴∠=∠BEF ACF90AEB ∴∠=BE DE ∴⊥又∵OE 是⊙O 的半径BE ∴是⊙O 的切线（2）四边形BECO 是平行四边形理由如下：由旋转可知，CD CE =又OD OE =CO DE ∴⊥90COE AOC ∴∠=∠=90AEB ∠=AEB COE ∴∠=∠//CO BE ∴在Rt AOC ∆中sin CO COE AC ∠==在Rt AOC ∆中设CO =，5AC x =AO ∴==2AO CO ∴=DO CO =AD CO ∴=由旋转可知：BE AD =BE CO ∴=又∵//CO BE∴四边形BECO 是平行四边形（3）四边形BECO 是平行四边形CF BF ∴==BC ∴=∴由旋转可知：AC BC ==在Rt ACB ∆中AB ∴==在Rt AOC ∆中222OC AO AC +=222))∴+=解得，x =2OC BE ∴==，4AO =如图，过点O 作OM AB ⊥于点M ，连接OG90AMO ∴∠=，2HG MG =90AMO AEB ∴∠=∠=MAO BAE ∴∠=∠~MAO BAE ∴∆∆OM AO BE AB∴=2OM ∴=OM ∴=在Rt MOG ∆中222OM MG OG +=2222MG ∴+=5MG ∴=（取正值）25HG MG ∴==【点睛】本题考查了圆的性质，直线与圆的位置关系，相似三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，掌握圆的性质，相似三角形的性质与判定是解题的关键．29．（1）证明见解析；（2）120°．【解析】【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系定理得到AB=BC ，根据等边三角形的判定定理证明△ABC 是等边三角形；（2）根据等边三角形的性质得到∠ABC=60°，根据圆周角定理解答．【详解】（1）∵AB AC =，∴AB BC =，又60ACB ∠=︒，∴ABC ∆是等边三角形.（2）∵ABC ∆是等边三角形，∴60ABC ∠=︒，∴2120AOC ABC ∠=∠=︒.【点睛】本题考查的是等边三角形的判定，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 30．（1）见解析；（2）圆O 的半径为4；（3）BD 扫过的图形的面积为16π【解析】【分析】（1）如图1（见解析），连接DO ，先根据平行线的性质和等腰三角形的性质推出COD COB ∠=∠，再由SAS 定理判定COD COB ∆≅∆，从而可得90CDO CBO ∠=∠=︒，最后根据圆的切线的判定定理即可证；（2）根据题（1）的结论，在Rt ODE ∆中，利用勾股定理即可得；（3）如图2（见解析），先确定阴影部分为BD 所扫过的图形，再利用扇形和三角形的面积公式求解即可.【详解】（1）如图1，连结DO∵//AD OC∴,DAO COB ADO COD ∠=∠∠=∠又∵OA OD =∴DAO ADO ∠=∠∴COD COB ∠=∠在COD ∆和COB ∆中，OD OB COD COB OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()COD COB SAS ∴∆≅∆∴CDO CBO ∠=∠∵BC 是圆O 的切线∴90CBO ∠=︒∴90CDO ∠=︒又∵点D 在圆O 上，OD 为圆O 的半径∴CD 是圆O 的切线；（2）如图1，设圆O 的半径为r则,1OE OA AE OD r r =+=+=由题（1）的结论，ODE ∆是直角三角形则222ED OD OE +=，即2223(1)r r +=+，解得4r =故圆O 的半径为4； （3）如图2，由旋转的过程得：阴影部分为BD 所扫过的图形 由题（2）可知28AB r ==30,90ABD ADB ∠=︒∠=︒142AD AB ∴== 2222BD AB AD 8443∴=-=-=114438322ABD S AD BD ∆∴=⋅=⨯⨯= 由旋转的性质得，''AB D ∆和ABD ∆的面积相等则ABD ∆所扫过的图形面积为：'''212064883833603ABB AB D S S ππ∆︒+=⨯⨯+=+︒扇形 空白区域的面积为：'212016483833603ABD ADD S S ππ∆︒+=⨯⨯+=+︒扇形 因此，(6416831683)33S πππ+=+-=阴影 故BD 扫过的图形的面积为16π.【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、圆的切线的判定定理与性质、勾股定理、旋转的性质、扇形的面积公式，本题难点在题（3），根据旋转的性质找出BD 扫过的图形是解题关键.31．（1）10，6；（2）见解析；（3）33.【解析】【分析】（1）根据“十字弦”定义可得弦AB 的“十字弦”CD 为直径时最大，当CD 过A 点或B 点时最小；（2）根据线段长度得出对应边成比例且有夹角相等，证明△ACH∽△DCA,由其性质得出对应角相等，结合90°的圆周角证出AH⊥CD，根据“十字弦”定义可得；（3）过O作OE⊥AB于点E，作OF⊥CD于点F,利用垂径定理得出OE=3，由正切函数得出DH,设DH=x，在Rt△ODF中，利用线段和差将边长用x表示，根据勾股定理列方程求解.【详解】解：（1）当CD为直径时，CD最大，此时CD=10，∴弦AB的“十字弦”CD的最大值为10；当CD过A点时，CD长最小，即AM的长度,过O点作ON⊥AM,垂足为N,作OG⊥AB，垂足为G,则四边形AGON为矩形，∴AN=OG,∵OG⊥AB,AB=8，∴AG=4，∵OA=5，∴由勾股定理得OG=3，∴AN=3，∵ON⊥AM,∴AM=6，即弦AB的“十字弦”CD的最小值是6.（2）证明：如图，连接AD ，∵12AC =，7DH =，9CH =， ∴AC CH CD AC, ∵∠C=∠C,∴△ACH ∽△DCA,∴∠CAH=∠D,∵CD 是直径，∴∠CAD=90°,∴∠C+∠D=90°,∴∠C+∠CAH=90°,∴∠AHC=90°,∴AH ⊥CD,∴AB 、CD 互为“十字弦”.（3）如图，过O 作OE ⊥AB 于点E ，作OF ⊥CD 于点F ，连接OA ，OD ，则四边形OEHF 是矩形，∴OE=FH,OF=EH,∴AE=4，∴由勾股定理得OE=3，∴FH=3，∵tan ∠ADH=AH HD, ∴tan60°=3AHHD ,设DH=,则3∴3x,在Rt △ODF 中，由勾股定理得，OD 2=OF 2+FD 2，∴(3+x)23x)2=52,解得，x=332 , ∴FD=332332322, ∵OF ⊥CD,∴CD=2DF=32234332即CD=433+【点睛】本题考查圆的相关性质，利用垂径定理，相似三角形等知识是解决圆问题的常用手段,对结合学过的知识和方法的基础上，用新的方法和思路来解决新题型或新定义的能力是解答此题的关键.32．（1）见解析；（2）△ACE的面积＝168 25．【解析】【分析】（1）连接OC，由C为弧BE的中点，得到CE BC=，求得∠CAD=∠BAC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC=∠ACO，推出AD∥OC，根据平行线的性质得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙O的切线；（2）连接BC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据勾股定理得到BC=22221086AB AC-=-=，根据相似三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OC，∵C为弧BE的中点，∴CE BC=，∴∠CAD＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，∴∠CAD＝∠ACO，∴AD∥OC，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝10，AC＝8，∴BC22221086AB AC-=-=，∵∠D＝∠ACB＝90°，∠DAC＝∠CAB，∴△ACD∽△ABC，∴AD AC CD AC AB BC==，∴88106 AD CD==，∴AD＝325，CD＝245，∵CE BC=∴CE＝BC＝6，∴DE 185=， ∴AE ＝AD ﹣DE ＝145， ∴△ACE 的面积＝12AE •CD ＝1142416825525⨯⨯=. 【点睛】 本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．33．（1）见解析；（2）23【解析】【分析】（1）根据题意得到∠ODA=∠OAD ，∠ABC=90°，再利用三角形内角和得到∠C=∠AGD ；（2）连接BD ，求出BD 的长，证明△BOD ≌AOG ，得到AG=BD=△AEG ≌△DCB ，得到EG=BC=6，AE=CD=4，再利用面积法求出AH ，再求出HG ，最后用EF=FG-EG 求出结果．【详解】解：（1）∵OA=OD ，∴∠ODA=∠OAD ，∵BC 和AB 相切，∴∠ABC=90°，∵DG 为圆O 直径，∴∠DAG=90°，∵∠C=180°-∠CAB-∠ABC ，∠AGD=180°-∠DAG-∠ADO ，∴∠C=∠AGD ；（2）连接BD ，∵AB 为直径，∴∠ADB=∠CDB=90°，∵6BC =，4CD =，∴BD=226425-=，∵OA=OB=OD=OG ，∠AOG=∠BOD ，∴△BOD ≌AOG （SAS ），∴AG=BD=25，∵FG ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴FG ∥BC ，∴∠AEG=∠C ，∵∠EAG=∠CDB=90°，AG=BD ，∴△AEG ≌△DCB （AAS ），∴EG=BC=6，AE=CD=4，∵AH ⊥FG ，AB 为直径，∴AH=AE ×AG ÷EG=453，FH=GH ， ∴FH=GH=()2245253⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭=103， ∴FG=2HG=203， ∴EF=FG-EG=203-6=23．【点睛】本题考查了切线的性质和全等三角形的判定和性质，属于圆的综合问题，熟练掌握定理的运用是解题的关键．34．（1）8EF =（2）①83π②【解析】【分析】 （1）求出圆的半径，再判断出四边形OFDE 是矩形，然后根据矩形的对角线相等解答即可； （2）①根据线段中点的定义得到OE=12OC=12OD ，根据三角形的内角和得到∠DOE=60°，于是得到结论；②延长CO 交⊙O 于G ，连接DG 交AB 于P ，则PC+PD 的最小值等于DG 长，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：（1）如图，连接OD ，∵O 的直径16AB =，∴圆的半径为1628÷=.∵,,OC AB DE OC DF AB ⊥⊥⊥，∴四边形OFDE 是矩形，∴8EF OD ==.（2）①∵点E 为OC 的中点， ∴1122OE OC OD ==， ∴30EDO ∠=︒，∴60DOE ∠=︒，∴劣弧CD 的长度为60881803ππ⨯=.②延长CO 交O 于点G ，连接DG 交AB 于点P ，则PC PD +的最小值为DG . ∵1302G COD ∠=∠=︒，12,EG EG cos G DG=∠=，∴cos30EG DG ==︒，∴PC PD +的最小值为。