2020年[状元必读专家点拨]九年级数学：22相似的综合提高
九年级数学上册第22章相似形22.2相似三角形的判定第2课时相似三角形的判定定理1练习2沪科版(2
2018年秋九年级数学上册第22章相似形22.2 相似三角形的判定第2课时相似三角形的判定定理1同步练习2 （新版）沪科版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第22章相似形22.2 相似三角形的判定第2课时相似三角形的判定定理1同步练习2 （新版）沪科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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22.2 第2课时相似三角形的判定定理1知识点 1 利用两角分别相等判定两个三角形相似1．如图22－2－11所示的三个三角形，相似的是（)图22－2－11A．（1）和（2) B．(2）和(3）C．(1)和（3) D．（1)和(2)和(3)2．[教材练习第1题变式]在△ABC中，AB＝AC.在△A′B′C′中,A′B′＝A′C′。
添加下列条件，不能证明两个三角形相似的是( ）A．∠B＝∠C′ B．∠A＝∠A′C．∠A＝∠C′ D．∠C＝∠B′3．如图22－2－12,已知∠B＝∠C，则△ABF∽________，△BDE∽________．图22－2－124．如图22－2－13，D是AC边上一点，DE∥AB，∠B＝∠DAE。
求证：△ABC∽△DAE.图22－2－13知识点 2 通过判定三角形相似推证线段成比例5．如图22－2－14，在△ABC中，D是AB边上一点，且∠ADC＝∠ACB。
求证：AC2＝AD·AB.图22－2－14知识点 3 通过判定三角形相似求线段或角6．已知△ABC∽△DEF，若∠A＝40°，∠B＝80°，则∠F的度数为( )A．40° B．60° C．80° D．100°7．［2016·安徽］如图22－2－15，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为( )A．4 B．4 错误! C．6 D．4 错误!图22－2－158．如图22－2－16，在△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD∶DE＝3∶5，AE＝8，BD ＝4，则DC的长等于（)A。
九年级数学上册第22章相似形22.2相似三角形的判定第2课时相似三角形的判定定理1练习1沪科版(2
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22.2 第2课时相似三角形判定定理1一、选择题1．［2016·安庆市怀宁县期中］已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是60°,80°，则这两个三角形( ）A．一定不相似 B．不一定相似C．一定相似 D．全等2．如图21－K－1,在△ABC中,∠AED＝∠B，则下列等式成立的是( )A. 错误!＝错误! B。
错误!＝错误!C。
DEBC＝AEABD。
错误!＝错误!图21－K－13．［2017·合肥市50中期中］如图21－K－2，在△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8,BD∶DC＝5∶3,则DE的长等于( ）A。
错误! B. 错误! C。
错误! D。
错误!图21－K－24．［2017·全椒县一模]如图21－K－3，在矩形ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点．若∠AEF＝90°,则一定有 ( )A．△ADE∽△ECF B．△ECF∽△AEFC．△ADE∽△AEF D．△AEF∽△ABF图21－K－35．［2017·合肥市瑶海区一模］如图21－K－4，在△ABC中，AB＝AC＝a，BC＝b(a＞b)．在△ABC内依次作∠CBD＝∠A，∠DCE＝∠CBD，∠EDF＝∠DCE.则EF等于( )A.错误! B。
沪科版九年级数学第22章 相似形【整合提升密码】
解码专训一：证比例式或等积式的技巧名师点金：证比例式或等积式，若遇问题中无平行线或相似三角形时，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布到两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若不在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．构造平行线法1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，求证：AE·CF＝BF·EC.(第1题)2．如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于点F，试证明：AB·DF＝BC·EF.(第2题)构造相似三角形法3．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.求证：BP·CP＝BM·CN.(第3题)三点定型法4．如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠A＝35°，∠C＝85°，∠AED＝60°.求证：AD·AB＝AE·AC.(第4题)等比过渡法5．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.求证：CE2＝DE·PE.(第5题)解码专训二：利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系名师点金：判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．证明两线段的数量关系1．如图，已知在△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于点M，与DE交于点N.求证：BM＝MC.(第1题)证明两线段的位置关系类型1证明两线段平行2．如图，已知点D为等腰直角三角形ABC的斜边AB上一点，连接CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接CE，AE.求证：AE∥BC.(第2题)类型2证明两线段垂直3．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AC2＝AB·AD，BC2＝BA·BD，求证：CD⊥AB.(第3题)4．如图，已知矩形ABCD ，AD ＝13AB ，点E ，F 把AB 三等分，DF 交AC 于点G ，求证：EG ⊥DF.(第4题)解码专训三：巧作平行线构造相似三角形的技巧名师点金：解有关相似三角形题目时，常常遇到要证(或求)的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形时，我们通常可以作平行线构造出相似三角形，从而使问题得以解决．巧连线段的中点构造相似三角形1．如图，在△ABC 中，E ，F 是边BC 上的两个三等分点，D 是AC 的中点，BD 分别交AE ，AF 于点P ，Q ，求BP ∶PQ ∶QD.(第1题)过顶点作平行线构造相似三角形2．如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB上一点，BF∶AF＝3∶2，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求BEEC的值．(第2题)3．如图，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E.求证：AE∶ED＝2AF∶FB.(第3题)过一边上的点作平行线构造相似三角形4．如图，在△ABC中，AB＞AC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证：BPCP＝BDEC.(第4题)解码专训四：相似与函数综合的常见类型名师点金：图形的相似是初中几何的重要内容，中考中常与其他内容综合考查，例如与一次函数、反比例函数、二次函数等结合，作为动态性问题或存在性问题出现．相似与一次函数的综合1．如图，已知直线AB的表达式为y＝－34x＋30，直线AB与x轴，y轴分别交于A，B.动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动(即EF∥x轴)，并且分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP.设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．(第1题)(1)求t＝15时，△PEF的面积；(2)直线EF和点P在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PEF的面积等于160？若存在．请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．(3)当t为何值时，△EOP与△BOA相似．相似与反比例函数的综合2．已知点A、B分别在反比例函数y＝2x(x＞0)，y＝－8x(x＞0)的图象上，且OA⊥OB，则OBOA的值为()(第2题)A. 2 B．2 C. 3 D．33．(2015·赤峰)如图，直线y＝－2x＋4与坐标轴分别交于C、B两点，过点C作CD⊥x轴，点P是x轴下方直线CD上的一点，且△OCP与△OBC相似，求过点P的双曲线表达式．(第3题)相似与二次函数的综合4．(2015·黔南州)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－16x2＋bx＋c过点A(0，4)和C(8，0)，P(t, 0)是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP 的中点，将线段PM绕点P顺时针旋转90°得线段PB，过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点A作y轴的垂线，两直线交于点D.(1)求b、c的值；(第4题)(2)当t为何值时，点D落在抛物线上；(3)是否存在t，使得以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．5．(2015·甘孜州)如图，已知抛物线y＝ax2－5ax＋2(a≠0)与y轴交于点C，与x轴交于点A(1，0)和点B.(1)求抛物线的表达式；(第5题)(2)求直线BC的表达式；(3)若点N是抛物线上的动点，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似(排除全等的情况)？若能，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．解码专训五：图形的相似中五种热门考点名师点金：相似是初中数学的重要内容，也是中考重点考查内容之一，而针对成比例线段、相似三角形的判定与性质、位似图形等都是命题的热点．比例线段及性质1．下列各组长度的线段，成比例线段的是()A．2 cm，4 cm，4 cm，8 cmB．2 cm，4 cm，6 cm，8 cmC．1 cm，2 cm，3 cm，4 cmD．2.1 cm，3.1 cm，4.3 cm，5.2 cm2．若a2＝b3＝c4＝d7≠0，则a＋b＋c＋dc＝________.3．如图，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，则支撑点C到端点A的距离约为________(5≈2.236，结果精确到0.01 cm)．(第3题)平行线分线段成比例4．如图，若AB∥CD∥EF，则下列结论中，与ADAF相等的是()A.ABEF B.CDEF C.BOOE D.BCBE(第4题)(第5题)5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，以AC为边向三角形外作正方形ACDE，连接BE交AC于F，若BF＝ 3 cm，则EF＝________.6．如图，在△ABC中，AM∶MD＝4∶1，BD∶DC＝2∶3，求AE∶EC的值．(第6题)相似三角形的性质与判定7．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3∶4，则△ABC 与△DEF的面积之比为()A．4∶3 B．3∶4C．16∶9 D．9∶16(第8题)8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AE∶ED＝3∶1，CE的延长线与BA的延长线交于点F，则S△AEF ∶S四边形ABCE为()A．3∶4 B．4∶3C．7∶9 D．9∶79．若两个相似多边形的面积之比为1∶4，周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别是________．10．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC 的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.(1)求证：FD2＝FB·FC；(2)若FB＝5，BC＝4，求FD的长．(第10题)11．如图，四边形ABCD是正方形，BD是对角线，BE平分∠DBC交DC 于点E，点F是BC的延长线上一点，且CE＝CF，BE的延长线交DF于点M.(1)求证：BM⊥DF；(2)若正方形ABCD的边长为2，求ME·MB.(第11题)相似三角形的应用12．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m，已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高度CD(结果精确到0.1 m)．(第12题)13．某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA ＝CD，BC＝20 cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm、8 cm.为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50 cm，那么横梁EF的长应为多少？(材质及其厚度等忽略不计)(第13题)图形的位似(第14题)14．如图，已知正方形ABCD，以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得正方形A′B′C′D′，则点C′的坐标为________．15．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC 的顶点均是小正方形的顶点．(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且相似比为1∶2；(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长(结果保留根号)．(第15题)答案解码专训一1．证明：过点C作CM∥AB交DF于点M，∴△CMF∽△BDF.∴BFCF＝BDCM.又∵CM∥AD，∴AEEC＝ADCM.∵D为AB的中点，∴BDCM＝ADCM.∴BFCF＝AEEC，即AE·CF＝BF·EC.2．证明：过点D作DG∥BC，交AC于点G，∴△DGF∽△ECF，△ADG∽△ABC.∴EFDF＝CEDG，ABBC＝ADDG.∵AD＝CE，∴CEDG＝ADDG.∴ABBC＝EFDF.即AB·DF＝BC·EF.点拨：过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．(第3题)3．证明：如图，连接PM，PN.∵MN是AP的垂直平分线，∴MA＝MP，NA＝NP.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°.∴∠2＋∠4＝60°.∴∠5＋∠6＝120°.又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°.∴∠5＝∠7.∴△BPM∽△CNP.∴BPCN＝BMCP，即BP·CP＝BM·CN.4．证明：∵∠A＝35°，∠C＝85°，∴∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－35°－85°＝60°. ∵∠AED＝60°，∴∠AED＝∠B.又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB.∴ADAC＝AEAB，即AD·AB＝AE·AC.5．证明：∵BG⊥AP，PE⊥AB，∴∠AEP＝∠BED＝∠AGB＝90°. ∴∠P＋∠PAB＝90°，∠PAB＋∠ABG＝90°.∴∠P＝∠ABG.∴△AEP∽△DEB.∴AEDE＝PEBE，即AE·BE＝PE·DE.又∵CE⊥AB，∴∠CEA＝∠BEC＝90°且∠CAB＋∠ACE ＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠CBE＝90°.∴∠ACE＝∠CBE.∴△AEC∽△CEB.∴AECE＝CEBE，即CE2＝AE·BE.∴CE2＝DE·PE.解码专训二1．证明：∵DE∥BC，∴△NEO∽△MBO.∴NEMB＝ONOM.同理可得DNMC＝ONOM.∴DNMC＝NEBM.∴DNNE＝MCBM.∵DE∥BC，∴∠ANE＝∠AMC，∠AEN＝∠ACM.∴△ANE∽△AMC.∴ANAM＝NEMC.同理可得ANAM＝DNBM，∴DNBM＝NEMC.∴DNNE＝BMMC.∴MCBM＝BMMC.∴MC2＝BM2.∴BM＝MC.2．证明：过点C作CO⊥AB于点O，∵DE＝CD，DE⊥CD，∴∠ECD＝∠CED＝45°.∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠B＝45°.∴∠CAB＝∠CED.又∵∠AOC＝∠EDC＝90°，∴△ACO∽△ECD.∴ACCO＝ECCD.又∵∠ACE＋∠ECO＝∠OCD＋∠ECO＝45°，∴∠ACE＝∠OCD.∴△ACE∽△OCD.∴∠CAE＝∠COD＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠CAE ＋∠ACB＝180°.∴AE∥BC.3．证明：∵AC2＝AB·AD，∴ACAD＝ABAC.又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC.∴∠ADC＝∠ACB.又∵BC2＝BA·BD，∴BCBD＝BABC.又∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC.∴∠BDC＝∠BCA. ∴∠ADC＝∠BDC.∵∠BDC＋∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.∴CD⊥AB.4．证明：设AE＝EF＝FB＝AD＝k，则AB＝CD＝3k.∵CD∥AB，∴∠DCG＝∠FAG，又∵∠CGD＝∠AGF.∴△AFG∽△CDG，∴FGDG＝AFCD＝23.设FG＝2m，则DG＝3m，∴DF＝FG＋DG＝2m＋3m＝5m.在Rt△AFD中，DF2＝AD2＋AF2＝5k2，∴DF＝5k.∴5m＝5k.∴m＝55k.∴FG＝255k.∴AFFG＝2k255k＝5，DFEF＝5kk＝ 5.∴AFFG＝DFEF.又∠AFD＝∠GFE，∴△AFD∽△GFE.∴∠EGF＝∠DAF＝90°.∴EG⊥DF.解码专训三1．解：连接DF.∵E，F是边BC上的两个三等分点，∴BE＝EF＝FC.∵D是AC的中点，∴AD＝CD.∴DF是△ACE的中位线．∴DF∥AE，且DF＝12AE.∴DF∥PE.∴∠BEP＝∠BFD，∠BPE＝∠BDF.∴△BEP∽△BFD.∴BEBF＝BPBD＝PEDF.∵BE＝EF，∴BF＝2BE，∴BD＝2BP，DF＝2PE.∴BP＝PD.∵DF∥AE，∴∠APQ＝∠FDQ，∠PAQ＝∠DFQ.∴△APQ∽△FDQ.∴PQQD＝APDF.设PE＝a，则DF＝2a，AP＝3a.∴PQ∶QD＝AP∶DF＝3∶2.∴BP∶PQ∶QD＝5∶3∶2.2．解：过点C作CG∥AB交AE的延长线于点G. ∵CG∥AB，∴∠DAF＝∠G.又∵D为CF的中点，∴CD＝DF.在△ADF 和△GDC 中，⎩⎨⎧∠DAF ＝∠G ，∠ADF ＝∠CDG ，DF ＝CD ，∴△ADF ≌△GDC(AAS)．∴AF ＝CG . ∵BF ∶AF ＝3∶2，∴AB ∶AF ＝5∶2. ∵AB ∥CG .∴∠B ＝∠ECG ，∠BAG ＝∠G . ∴△ABE ∽△GCE.∴BE EC ＝AB CG ＝AB AF ＝52.3．证明：过点B 作BN ∥CF 交AD 的延长线于点N. ∴AF FB ＝AEEN，∠FCD ＝∠NBD.又∵∠CDE ＝∠BDN ， ∴△EDC ∽△NDB.∴ED DN ＝CDBD . ∵BD ＝CD ，∴ED ＝DN ＝12EN.∴AF FB ＝AE2ED .∴AE ∶ED ＝2AF ∶FB.4．证明：过点C 作CF ∥AB 交DP 于点F ，∴△PCF ∽△PBD. ∴BP CP ＝BDCF .∵AD ∥CF ，∴∠ADE ＝∠EFC. ∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED.∵∠AED ＝∠CEP ，∴∠EFC ＝∠CEP.∴EC ＝CF. ∴BP CP ＝BD EC .解码专训四1．解：由题可得，A(40，0)，B(0，30)，∴OA ＝40，OB ＝30. (1)∵EF ∥OA.∴△BEF ∽△BOA. ∴EF OA ＝BEBO .当t ＝15时，OE ＝BE ＝15. ∴EF ＝BE ×OA BO ＝15×4030＝20.∴S △PEF ＝12EF·OE ＝12×20×15＝150.(2)∵△BEF∽△BOA.∴EF＝BE×OABO＝（30－t）×4030.∴12×（30－t）×4030×t＝160.整理，得t2－30t＋240＝0∵(－30)2－4×240＝－60＜0.∴方程没有实数根．∴不存在使得△PEF的面积等于160的t值，(3)当∠EPO＝∠BAO时，△EOP∽△BOA.∴OPOA＝OEOB，即40－2t40＝t30.解得t＝12.当∠EPO＝∠ABO时，△EOP∽△AOB.∴OPOB＝OEOA，即40－2t30＝t40.解得t＝16011.∴当t＝12或t＝16011时，△EOP与△BOA相似．(第2题)2．B点拨：如图，过A作AN⊥x轴于N，过B作BM⊥x轴于M，∵OA ⊥OB，∴∠ANO＝∠BMO＝∠AOB＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∴△OAN∽△BOM，∵点A、B分别在反比例函数y＝2 x(x＞0)，y＝－8x(x＞0)的图象上，∴S△AON＝1，S△BOM＝4，∴OBOA＝21＝2(相似三角形的面积比等于相似比的平方)．3．解：∵直线y＝－2x＋4与坐标轴分别交于C、B两点，∴令y＝0，可得－2x＋4＝0，解得x＝2，即C(2，0)，OC＝2.令x＝0，可得y＝4，即B(0，4)，OB＝4，①如图①，当∠OBC＝∠COP时，△OCP∽△BOC，(第3题)∴OB OC ＝OC CP ，即42＝2CP ，解得CP ＝1，∴P(2，－1)，设过点P 的双曲线表达式为y ＝k x ， 把P 点坐标代入解得k ＝－2，∴过点P 的双曲线表达式为y ＝－2x ，②如图②，当∠OBC ＝∠CPO 时，△OCP ∽△COB ，在△OCP 和△COB 中，⎩⎨⎧∠OBC ＝∠CPO∠COB ＝∠OCP OC ＝CO，∴△OCP ≌△COB(AAS)∴CP ＝BO ＝4，∴P(2，－4)．设过点P 的双曲线表达式为y ＝kx ，把P 点坐标代入得－4＝k2，解得k ＝－8，∴过点P 的双曲线表达式为y ＝－8x .综上可得，过点P 的双曲线的表达式为y ＝－2x 或y ＝－8x .4．解：(1)∵抛物线y ＝－16x 2＋bx ＋c 过点A(0，4)和C(8，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝4－16×64＋8b ＋c ＝0，故b 的值为56，c 的值为4； (2)∵∠AOP ＝∠PEB ＝90°，∠OAP ＝90°－∠APO ＝∠EPB ，∴△AOP ∽△PEB 且相似比为AO PE ＝APPB＝2，∵AO ＝4，∴PE ＝2，OE ＝OP ＋PE ＝t ＋2，又∵DE ＝OA ＝4，∴点D 的坐标为(t ＋2，4)，∴点D 落在抛物线上时，有－16 (t ＋2)2＋56(t ＋2)＋4＝4，解得t ＝3或t ＝－2，∵t ＞0，∴t ＝3.故当t 为3时，点D 落在抛物线上；(3)存在t ，能够使得以A 、B 、D 为顶点的三角形与△AOP 相似．理由如下：由(2)得OP BE ＝2，则BE ＝12t.①当0＜t ＜8时，如图①.(第4题)若△POA ∽△ADB ，则PO ∶AD ＝AO ∶BD ，即t ∶(t ＋2)＝4∶⎝ ⎛⎭⎪⎫4－12t ，整理，得t 2＋16＝0，∴t 无解；若△POA ∽△BDA ，同理，解得t ＝－2±25(负值舍去)； ②当t ＞8时，如图②.若△POA ∽△ADB ，则PO ∶AD ＝AO ∶BD ，即t ∶(t ＋2)＝4∶⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －4，解得t ＝8±45(负值舍去)；若△POA ∽△BDA ，同理，解得t 无解．综上可知，当t ＝－2＋25或8＋45时，以A 、B 、D 为顶点的三角形与△AOP 相似．5．解：(1)∵点A(1，0)在抛物线y ＝ax 2－5ax ＋2(a ≠0)上，∴a －5a ＋2＝0，∴a ＝12，∴抛物线的表达式为y ＝12x 2－52x ＋2；(2)由(1)易得抛物线的对称轴为直线x ＝52，∴点B 的坐标为(4，0)，易得C 的坐标为(0，2)，设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋b ，把B 、C 两点坐标代入可得⎩⎨⎧4k ＋b ＝0b ＝2，解得k ＝－12，b ＝2，∴直线BC 的表达式为y ＝－12x ＋2； (3)设N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x 2－52x ＋2，分两种情况讨论：(ⅰ)当△OBC ∽△HNB 时，OB HN ＝OC BH ，①当x ＞4时，有412x 2－52x ＋2＝2x －4解得x 1＝5，x 2＝4(不合题意，舍去)，∴点N 的坐标为(5，2)；②当1＜x ＜4时，有4－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－52x ＋2＝24－x，解得x 1＝5(舍去)，x 2＝4(舍去)；③当x ＜1时，有412x2－52x ＋2＝24－x ，得到x 2－x －12＝0.解得x 1＝4(舍去)；x 2＝－3，∴N 点的坐标为(－3，14)； (ⅱ)当△OBC ∽△HBN 时， OB BH ＝OC HN ，①当x ＞4时，有4x －4＝212x2－52x ＋2.解得x 1＝2(舍去)，x 2＝4(舍去)；②当1＜x ＜4时，有44－x＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－52x ＋2，解得x 1＝2，x 2＝4(舍去)，∴点N的坐标为(2，－1)；③当x＜1时，有44－x ＝212x2－52x＋2，解得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝4(舍去)．综上所述，N点的坐标为(5，2)、(－3，14)或(2，－1)．解码专训五1．A 2.4 3.49.44 cm 4.D 5.3 cm(第6题)6．解：过D点作DN∥AC，交BE于N，如图．易知△DMN∽△AME，△BDN∽△BCE.∵BDDC＝23，∴BDBC＝25.∴DNCE＝BDBC＝25.∵AMMD＝41，∴AEDN＝AMMD＝41.∴AEEC＝DNEC·AEDN＝25×41＝85.7．D8.D9.6，1210．(1)证明：∵E是Rt△ACD的斜边的中点，∴DE＝EA.∴∠A＝∠1.∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A.∵∠FDC＝∠CDB＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A，∴∠FDC＝∠FBD.又∵∠F是公共角，∴△FBD∽△FDC.∴FB FD＝FDFC.∴FD2＝FB·FC；(2)解：∵FB＝5，BC＝4，∴FC＝9.∵FD2＝FB·FC，∴FD2＝45.∴FD＝3 5. 11．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°.又∵CE ＝CF ，∴△BCE ≌△DCF.∴∠CBE ＝∠CDF.∴∠CBE ＋∠BEC ＝∠CDF ＋∠DEM ＝90°.∴BM ⊥DF. (2)解：易知∠CBD ＝45°，∵BE 平分∠DBC ，∴∠DBM ＝∠FBM ＝22.5°.由(1)知∠BMD ＝∠BMF ＝90°，∴∠BDM ＝∠F ＝67.5°.∴BD ＝BF.∴DM ＝FM ＝12DF.∵正方形ABCD 的边长为2，∴BD ＝BF ＝22，CF ＝22－2. 在Rt △DCF 中，DF 2＝DC 2＋CF 2＝4＋(22－2)2＝16－8 2. ∴DM 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DF 22＝4－2 2.∵∠CDF ＝∠CBE ＝∠DBM ，∠DME ＝∠BMD ，∴△DME ∽△BMD.∴DMMB ＝MEDM ，即DM 2＝ME·MB.∴ME·MB ＝4－2 2.12．解：设CD ＝x m ，∵AM ⊥EC ，BN ⊥EC ，CD ⊥EC ，∴MA ∥CD ∥BN.又MA ＝EA ，∴EC ＝CD ＝x m ．易知△ABN ∽△ACD ，∴BN CD ＝AB AC ，即1.75x ＝1.25x －1.75，解得x ＝6.125≈6.1，即路灯的高度CD 约为6.1 m .13．解：过点C 作CM ∥AB ，分别交EF 、AD 于点N 、M ，作CP ⊥AD ，分别交EF 、AD 于点Q 、P.由题意得四边形ABCM 是平行四边形，∴EN ＝AM ＝BC ＝20 cm .∴MD ＝AD －AM ＝50－20＝30(cm )．由题意知CP ＝40 cm ，PQ ＝8 cm .∴CQ ＝32 cm .∵EF ∥AD ，∴△CNF ∽△CMD.∴NF MD ＝CQ CP ，即NF 30＝3240，解得NF ＝24 cm .∴EF ＝EN ＋NF ＝20＋24＝44(cm )．即横梁EF 的长应为44 cm .14．(2，1)或(0，－1)15．解：(1)△A′B′C′如图所示：(第15题)(2)如图所示，四边形AA′C′C 的周长为AA′＋A′C′＋CC′＋AC ＝2＋22＋2＋42＝4＋6 2.。
第22课相似三角形的性质及其应用(学生版)-九年级数学上册《考点题型技巧》精讲与精练高分突破(浙教版
第22课相似三角形的性质及其应用目标导航学习目标1.掌握相似三角形的对应角相等,对应边成比例的性质.2.掌握相似三角形的性质:相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积之比等于相似比的平方.3.会用上述性质解决有关几何论证和计算问题.4.了解三角形的重心的概念和重心分每一条中线成1:2的两条线段的性质.5.能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题，进一步体验数学的应用价值.知识精讲知识点01 相似三角形的性质1.相似三角形的对应角相等,对应边成比例.2.相似三角形的对应高线、中线、角平分线之比都等于相似比.3.相似三角形的周长之比等于相似比.4.相似三角形的面积之比等于相似比的平方.知识点02 三角形的重心1.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.2.三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段能力拓展考点01 相似三角形的性质【典例1】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AE2＝AD•AB，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：DE∥BC；（2）如果S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，求S△ADE：S△BDE的值．【即学即练1】如图，AD∥BC，AB、CD交于点E，点F在AC边上，．（1）求证：EF∥BC；（2）若四边形AFED的面积为16，求△ACD的面积．考点02 三角形的重心的应用【典例2】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠ADE＝∠C，AF平分∠BAC交DE于点G，交BC于点F．（1）求证：．（2）若点G是△ABC的重心，AE＝6，求AB的长．【即学即练2】如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE 的长为8．考点03 相似三角形的应用【典例3】如图，是位于西安市长安区香积寺内的善导塔，善导塔为楼阁式砖塔，塔身全用青砖砌成，平面呈正方形，原为十三层，现存十一层，建筑形式独具一格．数学兴趣小组测量善导塔的高度AB，有以下两种方案：方案一：如图1，在距离塔底B点45m远的Dm的标杆CD，小明在F处蹲下，他的眼睛所在位置E、标杆的顶端C和塔顶点A三点在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离EFm，DF＝1m，AB⊥BM，CD⊥BM，EF⊥BM，点B、D、F、M在同一直线上．方案二：如图2，小华拿着一把长为22cm的直尺CD站在离善导塔45m的地方（即点E到AB的距离为45m）．他把手臂向前伸，尺子竖直，CD∥AB，尺子两端恰好遮住善导塔（即A、C、E在一条直线上，B、D、E在一条直线上），已知点E到直尺CD的距离为30cm．请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求善导塔的高度AB．我选择方案．【即学即练3】某数学兴趣小组要完成一个项目学习，测量凌霄塔的高度AB．如图，塔前有一棵高4米的小树CD，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得BD＝57米，D、E之间有一个花圃距离无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿BE后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C 的像，EG＝2.4米，测量者眼睛到地面的距离FG为1.6米；已知AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，点B、D、E、G在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度AB．（平面镜的大小厚度忽略不计）分层提分题组A 基础过关练1. 儿童乐园中，有两块相似三角形的场地，且相似比为2：3，面积的差为30m2．则这两个三角形地块的①周长比为2：3；②面积比为2：3；③面积之和为78m2；④对应高的比为2：3，其中结论正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个2. 如图，已知厚度为xcm的零件外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）测量出零件的内孔直径AB，如果，且量得CD＝3cm，则零件厚度x为（）A．B．2cm C．1cm D．3. 如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭AB的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点E处放置了一平面镜，并测得BE＝12米；②沿着直线BE后退到点D处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端A，并测得ED＝3米，眼睛到地面的距离CD＝1.6米（此时∠AEB＝∠CED），那么凉亭AB的高为（）4. 如图，已知△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是（）mm．A．48 B．80 C．20 D．465. 如图，某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺，站在距电线杆30m的地方，手臂向前伸直，将刻度尺竖直，看到刻度尺上7cm的长度恰好遮住电线杆．已知臂长为70cm，则电线杆的高是（）A．3m B．4m C．5m D．6m6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果＝，AD＝9，那么BC的长是（）A．4 B．6 C．2D．37. 如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为（）A．2a B．C．3a D．8. 小明在测量教学楼的高度时，先测出教学楼落在地面上的影长为20米，然后竖直放置一根高为2米的标杆，测得标杆的影长为3米，则楼高为米．9. 已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为12，则△DEF的面积为3．10. 如果两个相似三角形的面积之比为4：9，这两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周长为40cm．11.点G是△ABC的重心，GD∥AB，交边BC于点D，如果GD＝2，那么AB的长是6．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，则AB长为6．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝7cm，点I为三角形的重心，HI⊥BC于点H，则HI＝cm．14．如图，AD∥BC，CD∥AE，DE交BC于点F，且∠EDB＝∠C．（1）求证：△ADE∽△DBE．（2）若DE＝6，AE＝9，求AB的长．15．如图，点B、D、E在一条直线上，BE与AC相交于点F，．（1）求证：∠BAD＝∠CAE；（2）若EF＝CF，△AEF的面积等于2，求△CBF的面积．16．如图一块三角形土地的底边BC＝100m，高线AH＝80m，现要沿着底边BC修建一座底面是矩形DEFG 的大楼，设矩形DEFG的一边长DE＝x（m）．（1）矩形DEFG的另一边长DG是多少（用关于x的代数式表示）；（2）试用关于x代数式表示大楼底面矩形DEFG的面积S；（3）当DE为多少时，大楼底面的面积最大？最大值是多少？题组B 能力提升练17. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：2518. 凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC，若物体到焦点的距离HF1与焦点到凸透镜中心线DB的距离OF之比为3：2，则该物体缩小为原来的（）A．B．C．D．19. 如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，AF⊥DE于点G，交BC于点F．若AE＝15，BE＝5，则△AEG的面积与四边形BFGE的面积之比是（）A．B．C．D．20. 如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，BD、CE分别是AC、AB边上的高，连接DE，若BC＝2，则DE的长为（）A．B．C．D．21. 如图，⊙O上的四个点A，B，C，D，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE＝2，AE＝3，则CD的长为（）A．B．C．6 D．322. 已知点G是△ABC的重心，连结BG，过点G作GD∥AB交BC于点D，若△BDG的面积为1，则△ABC的面积为（）A．6 B．8 C．9 D．1223．如图，在▱ABCD中，E为AD边上的点，AE＝2DE，连接BE交AC于点F，△AEF的面积为4cm2，则△ABC的面积为cm2．24. 如图，点P是△ABC的重心，过点P作DE∥AC，交BC，AB于D，E，EF∥BC交AC于点F，若AC＝8，BC＝11，则四边形CDEF的周长为．25. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在圆上，且，BE＝2，CD＝8，CF交AB于点G，则弦CF的长为，AG的长为．26. 如图1，AB为半圆O的直径，点C为半圆上的一动点，点D为弧CB的中点，连接AC并延长交BD的延长线于点E．（1）求证：CD＝ED；（2）连接AD，分别与OC、BC交于点F、H．①如图2，当CO⊥AB时，求的值；②当△CFH是等腰三角形时，求∠CAB的度数．题组C 培优拔尖练27. 如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE•OP；③S△AOD＝S四边形OECF；④当BP＝1时，OE＝．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个28．如图，已知△ABC≌△DCE≌△GEF，三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上，连接BG，分别交AC、DC、DE于点P、Q、K，其中S△PQC＝3，则图中三个阴影部分的面积和为．29.如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），连接AE，BD交于点F．（1）若点E为CD中点，AB＝2，求AF的长．（2）若＝2，求的值；（3）若点G在线段BF上，且GF＝2BG，连接AG，CG，＝x，四边形AGCE的面积为S1，△ABG 的面积为S2，求的最大值．30．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．（1）求证：∠ADP＝∠EPB；（2）求∠CBE的度数；（3）当的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由．31．如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，点F在BC边上，以EF为边，在矩形ABCD的内部作正方形EFGH，延长EH交AD边于点P，延长GH交AD边于点Q．（1）若点H为EP的中点，①求证：BE＝2BF；②若EF＝，△HQP和△AEP的周长分别为m，n，求的值．（2）若S△AEP＝9S△BEF，求的值．32．[知识点]三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心．[解决问题]如图①，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE交于点G，求证：；[归纳]用文字语言叙述[解决问题]反映的关于三角形重心的性质；[应用]如图②，在△ABC中，D是边BC的中点，G是△ABC的重心，过点G的直线分别交边AB、AC 于点E、F，若AB＝5，AC＝3，BE＝2，则CF＝．。
2020-2021学年九年级数学专家点拨：22相似的综合提高
一、考点突破相似是中考考查的重点内容，在选择题和填空题中，多为考查图形相似的性质、相似三角形的性质和判定、位似图形的性质，题目难度一般不大；在解答题中，常与方程、函数、圆等内容相结合，综合性强，难度较大。
在中考中主要考查以下几点：（1）相似图形的特点以及相似比的意义；（2）用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算题；（3）综合利用相似三角形的判定定理和性质解决问题；（4）位似图形的定义、作图及在平面直角坐标系中点的坐标的变化规律。
二、重难点提示重点：相似三角形的性质和判定定理的应用，位似图形的应用。
难点：利用图形的相似解决实际问题。
能力提升类例1手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（）一点通：根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除错误答案。
解：A：形状相同，符合相似图形的定义，故选项错误；B：形状相同，符合相似图形的定义，故选项错误；C：形状相同，符合相似图形的定义，故选项错误；D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但边的比不对应相等，故选项正确；故选D。
点评：本题考查的是相似图形的定义，图形，即形状相同，大小不一定相同的图形叫做相似形。
全等形是相似形的一个特例。
例2 如图所示，正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似图形，点F 的坐标为（－1，1），点C 的坐标为（－4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是。
一点通：两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行。
则位似中心就是两对对应点的延长线的交点，本题分两种情况讨论即可。
解：①当两个位似图形在位似中心同旁时，位似中心就是CF 与x 轴的交点，设直线CF 的解析式为y=k x ＋b ，将点C （－4，2），F （－1，1）代入，得421k b k b 解得1323k b 即1233y x ，令y=0得x=2，∴位似中心的坐标是（2，0）；②当位似中心在两个正方形之间时，可求直线OC 的解析式为12y x ，直线DE 的解析式为114y x ，联立 12114y x y x ，解得4323x y，即位似中心的坐标为（34，32）。
九年级数学上册第22章相似形22-2相似三角形的判定第5课时直角三角形相似的判定方法同步练习1新版沪科版 (2)
22.2 第5课时 直角三角形相似的判定方法知识点 1 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似1．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°，AC ＝12，AB ＝15，A ′C ′＝8, 则当A ′B ′＝________时，△ABC ∽△A ′B ′C ′.2．如图22－2－28，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c .如果△ABC ∽△CAD ，那么CD 的长为( )A. b 2cB. b 2aC. ab cD. a 2c图22－2－283．如图22－2－29，已知CD 为△ABC 的高，AC ·CD ＝BC ·AD .求证：∠ACB ＝90°.图22－2－29知识点 2 判定直角三角形相似的方法综合4．如图22－2－30，已知△ABC 与△ADE 中，∠C ＝∠AED ＝90°，点E 在AB 上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC 与△DAE 相似的是( )A ．∠B ＝∠DB. AB AC ＝AD DEC ． AD ∥BC D. BC AC ＝AD DE 图22－2－305．现有下列说法：①所有的直角三角形都相似；②所有的等腰直角三角形都相似；③有一个锐角相等的两个直角三角形相似；④有两边成比例的两个直角三角形相似．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图22－2－31，已知AB ⊥BD 于点B ，ED ⊥BD 于点D ，C 是线段BD 的中点，且ED ＝1，AC＝2 5，BD＝4.求证：△ABC∽△CDE.图22－2－31知识点 3 相似直角三角形在测量中的应用7．如图22－2－32，为估算某河的宽度，在河的对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE ＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于( )A．60 m B．40 mC．30 m D．20 m图22－2－328．为了测量校园内一棵树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图22－2－33所示的测量方案．把镜子放在离树(AB)8.7 m的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.7 m，观测者目高CD＝1.6 m，则树高AB约是________m(精确到0.1 m)．图22－2－339．如图22－2－34是一个常见铁夹的侧面示意图，铁夹的侧面是轴对称图形，OA，OB 表示铁夹的两个边，点C在轴线上，CD⊥OA于点D，已知AD＝15 mm，OD＝24 mm，CD＝10 mm，。
【练习专用】2020九年级数学上册 第22章 相似形 22.2第4课时 相似三角形的判定定理3同步练习 沪科版
22.2 第4课时相似三角形判定定理3知|识|目|标通过观察、测量、试验、推理等方法，归纳出相似三角形判定定理3，并能应用其解决三角形的相似问题．目标利用相似三角形判定定理3判定三角形相似例1 ［教材例3变式］如图22－2－16，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC；②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK.在三角形②～⑥中，与三角形①相似的是( )图22－2－16A．②③④ B．③④⑤C．④⑤⑥ D．②③⑥【归纳总结】在网格中利用定理3判定三角形相似的“三步骤”：(1)排序：将三角形的边按大小顺序排列；(2)计算：分别计算它们对应边的比值；(3)判断：通过比较比值是否相等判断两个三角形是否相似．例2 ［教材例1变式］依据下列各组条件，说明△ABC和△A′B′C′是否相似：(1)AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝16 cm，A′B′＝16 cm，B′C′＝12.8 cm，A′C′＝25.6 cm；(2)∠A＝80°，∠C＝60°，∠A′＝80°，∠B′＝40°；(3)∠A＝40°，AB＝8，AC＝15，∠A′＝40°，A′B′＝16，A′C′＝30.【归纳总结】判定两个三角形相似的常规思路：(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断夹角相等的角的两边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则可考虑应用平行线证三角形相似．知识点相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边____________，那么这两个三角形相似(可简单说成：三边成比例的两个三角形相似)．数学表达式：在△ABC与△A′B′C′中，∵ABA′B′＝BCB′C′＝ACA′C′＝k，∴△ABC∽△A′B′C′.[点拨] 由三边对应成比例判定两个三角形相似的方法与由三边对应相等判定两个三角形全等的方法类似，只需把三边对应相等改为三边对应成比例即可．要做两个形状为三角形的框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4，5，6，另一个三角形框架的一边长为2，欲使这两个三角形相似，三角形框架的另两边长是多少？小林同学的解答过程如下：设另两边长分别为x，y.∵两个三角形框架相似，∴42＝5x＝6y.解得x＝2.5，y＝3.答：三角形框架的另两边长是2.5和3.上面的解答正确吗？若不正确，请给出正确解答过程．教师详解详析 【目标突破】 例1 [解析] B 假定网格中小正方形的边长为1，则①△ABC 的三边长分别为1，2，5，②～⑥中三角形的三边长分别为②1，5，2 2；③2，2 2，2 5；④5，10，5；⑤2，2，10；⑥2，5，3.由此可知三角形③④⑤中的三边与三角形①中的三边对应成比例，所以与三角形①相似的是③④⑤.例2 [解析] (1)通过计算得出两个三角形的三边成比例，即可得出这两个三角形相似；(2)由三角形内角和定理求出∠B，得出两角对应相等，即可得出个这两三角形相似；(3)先求出两边成比例，再由夹角相等，即可得出两个三角形相似．解：(1)∵AB A ′B′＝1016＝58，BC B′C′＝812.8＝58，AC A′C′＝1625.6＝58， ∴AB A′B′＝BC B′C′＝AC A′C′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′. (2)∵∠A＝80°，∠C ＝60°，∴∠B ＝180°－80°－60°＝40°.∵∠A ′＝80°，∠B ′＝40°，∴∠A ＝∠A′，∠B ＝∠B′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.(3)∵AB A′B′＝816＝12，AC A′C′＝1530＝12， ∴AB A′B′＝AC A′C′. 又∵∠A＝∠A′＝40°，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.【总结反思】[小结] 知识点 对应成比例[反思] 不正确．题中没有指明边长为2的边与原三角形的哪条边对应，所以应分情况讨论：(1)若边长为2的边与边长为4的边相对应，则另两边长为52和3； (2)若边长为2的边与边长为5的边相对应，则另两边长为85和125； (3)若边长为2的边与边长为6的边相对应，则另两边长为43和53. 故三角形框架的另两边长可以是52和3，或85和125，或43和53.。
2020年【状元必读专家点拨】九年级数学：3一元二次方程综合提高
另一根为原方程两根差的平方．
7. 已知关于 x 的方程 x2 2 px 1 0 的两个实数根一个大于1，另一个小于1。试求实 数 p 的取值范围。
8. 如果方程 x3 5x2 (4 k)x k 0 的三个根可以作为一个等腰三角形的三边长，求 实数 k 的值。
6
1. C 解： 12 4 1 (3m) 0
⑴方程两根均大于1的条件为
4a 2 4(6 a) 0 (x1 1) (x2 1) 2a 2 0 (x1 1)(x2 1) 6 a (2a) 1 0
解之得
7 a 3
⑵方程两根中一个大于1，另一个小于1的条件为
4a 2 4(6 a) 0 (x1 1)(x2 1) 6 a (2a) 1 0
（2）求方程中字母系数的值或取值范围；
（3）结合根的判别式，讨论根的符号特征；
（4）逆用构造一元二次方程辅助解题等。
能力提升类
例1 若 k 为正整数，且关于 x 的方程 (k 2 1)x2 6(3k 1)x 72 0 有两个不相等的
正整数根，求 k 的值．
一点通：由根的判别式列出关于 k 的不等式或者求出方程的解来讨论。
x1,2
1 2
5
；
（2）当 a 1 时，代入①或②都有 k 0 ，此时两个方程变为
x2 1 0 ， x2 x 2 0 ．
解这两个方程， x2 1 0 的根为 x1 1 ， x2 1 ； x2 x 2 0 的根为 x3 1
， x4 2 ． x 1 为两个方程的相同的根．
综合运用类 例3 设一元二次方程 x2 2ax 6 a 0 的根分别满足下列条件，⑴两根均大于1；
例6 设 a ， b ， c 为 ABC 的三边，且二次三项式 x2 2ax b2 与 x2 2cx b2 有一 次公因式，证明： ABC 一定是直角三角形．
2020年秋九年级数学上册 第22章 22.2 第1课时 相似三角形的概念与相似三角形判定的预备定理
22.2 第1课时 相似三角形的概念与相似三角形判定的预备定理知识点 1 相似三角形的有关概念1．如图22－2－1，△ADE ∽△ACB ，∠AED ＝∠B ，那么下列比例式成立的是( )A. AD AB ＝AE EC ＝DE BCB. AD AB ＝AE AC ＝DEBCC. AD AE ＝AC AB ＝DE BC D. AD AC ＝AE AB ＝DEBC2．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝35°，则与△ABC 相似的三角形的三个角的度数分别为( )A ．35°，45°，45°B ．45°，105°，35°C ．45°，35°，110°D ．45°，35°，100°图22－2－13．如图22－2－2，△ABC ∽△DEF ，相似比为1∶2.若BC ＝1，则EF 的长是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4图22－2－2知识点 2 由平行线截得相似三角形 4．［教材练习变式］如图22－2－3，已知在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，则图中相似三角形的对数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4图22－2－35．［2016·盐城］如图22－2－4，点F 在▱ABCD 的边AB 上，CF 交DA 的延长线于点E ，在不添加辅助线的情况下，与△AEF 相似的三角形有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个图22－2－46.如图22－2－5，若AB ∥CD ∥EF ，则图中相似三角形的对数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4图22－2－57．［2017·庐阳区二模］如图22－2－6，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD DB ＝12，DE ＝3，则BC的长是( )A ．6B ．9C ．10D ．12图22－2－68．如图22－2－7，在▱ABCD 中，F 是BC 上一点，直线DF 与AB 的延长线相交于点E ，BP ∥DF ，且与AD 相交于点P ，请从图中找出一组相似的三角形：______________________．图22－2－79．如图22－2－8所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，GF ∥AC ，GF ，DE 相交于点M ，则图中与△ABC 相似的三角形有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个图22－2－810．如图22－2－9所示，在▱ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，求DF ∶FC .图22－2－911．如图22－2－10，在▱ABCD中，F是BC延长线上一点，AF交BD于点O，与DC交于点E，则图中相似三角形共有(全等除外)( )A．3对B．4对C．5对D．6对图22－2－101．D2．D [． 3．B 4．C 5．C 6．C ． 7．B8．答案不唯一，如△ABP∽△AED 9．]C10．解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥DC ，∴△DFE ∽△BAE ， ∴DF AB ＝DE EB. ∵O 为▱ABCD 的对角线的交点， ∴OD ＝OB.又∵E 为OD 的中点， ∴DE ＝14DB ，则DE∶EB＝1∶3， ∴DF∶AB＝1∶3. 又∵DC＝AB ， ∴DF ∶DC ＝1∶3， ∴DF ∶FC ＝1∶2. 11． C。
九年级数学上册第22章相似形22.2相似三角形的判定第3课时相似三角形的判定定理2练习1沪科版(2
2018年秋九年级数学上册第22章相似形22.2 相似三角形的判定第3课时相似三角形的判定定理2同步练习1 （新版）沪科版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第22章相似形22.2 相似三角形的判定第3课时相似三角形的判定定理2同步练习1 （新版）沪科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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22。
2 第3课时相似三角形判定定理2一、选择题1．如图22－K－1，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是( )图22－K－12．［2017·合肥市54中一模］如图22－K－2，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（）A。
ACCD＝错误! B. 错误!＝错误!C．AC2＝AD·AB D．CD2＝AD·BD图22－K－23．［2017·合肥市模拟］如图22－K－3,D，E分别是AB,AC上两点,CD与BE相交于点O,下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是（）A．∠B＝∠C B．∠ADC＝∠AEBC．BE＝CD，AB＝AC D．AD∶AC＝AE∶AB图22－K－34．如图22－K－4，已知在△ABC中，AB＝6，AC＝4,P是AC的中点，过点P的直线交AB 于点Q.若以A，P,Q为顶点的三角形与△ABC相似，则AQ的长为 ( ）A．3 B．3或错误!C．3或错误! D.错误!图22－K－4二、填空题5．［2017·亳州市期末］如图22－K－5所示，在△ABC与△ADE中，AD·AC＝AB·AE，要使△ABC与△ADE相似，还需要添加一个条件,这个条件是__________________．（只加一个即可）图22－K－56．在△ABC中，∠B＝25°,AD是BC边上的高,且AD2＝BD·DC，则∠C的度数为__________．三、解答题7．如图22－K－6，在△ABC中，点D，E分别在边AB,AC上,∠AED＝∠B,射线AG分别交线段DE,BC于点F，G，且错误!＝错误!。
九年级数学上册第22章相似形22.2相似三角形的判定第3课时相似三角形的判定定理2同步练习2沪科版
22.2 第3课时 相似三角形的判定定理2 知识点 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似1．已知△ABC 如图22－2－19①所示，则图②中与△ABC 相似的是( )图22－2－192．下列条件中可以判定△ABC ∽△A ′B ′C ′的是( )A. AB AC ＝A ′B ′A ′C ′ B. AB AC ＝A ′B ′A ′C ′，∠B ＝∠B ′ C. AB AC ＝A ′B ′A ′C ′，∠A ＝∠A ′ D. AB A ′B ′＝AC A ′C ′3．［教材练习第2题变式］在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4.在Rt △A ′B ′C ′中，∠C ′＝90°，添加下列条件后不能判定两个直角三角形相似的是( )A ．A ′C ′＝12，B ′C ′＝9B ．A ′C ′＝12，A ′B ′＝15C ．A ′C ′＝9，A ′B ′＝12D ．B ′C ′＝9，A ′B ′＝154．如图22－2－20，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，D ，E ，B ，C 在同一条直线上，且AB 2＝BD ·CE ，求证：△ABD ∽△ECA .图22－2－205．如图22－2－21，3个相同的正方形拼成1个矩形，则∠EAD ＋∠EBD 的度数为________．图22－2－216．［2016·杭州］如图22－2－22，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED ＝∠B ，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AD AC ＝DF CG. (1)求证：△ADF ∽△ACG ； (2)若AD AC ＝12，求AF FG的值．图22－2－227．如图22－2－23，已知△ABC与△BED都是顶角为36°的等腰三角形，D是边AC上一点，且满足BC2＝CD·AC，DE与AB相交于点F，则图中的相似三角形共有( ) A．6对 B．7对 C．8对 D．9对图22－2－231．C2．C3．C [解析] A 项中直接利用两条直角边对应成比例，夹角都是直角，进行判定；B ，D 选项先用勾股定理求出另一个直角边，再用相似的判定定理进行判定．只有C 项给出的对应边不成比例．4．证明：∵AB＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB，∴∠ABD ＝∠ACE.∵AB 2＝BD·CE，∴AB CE ＝BD AB ，即AB CE ＝BD AC， ∴△ABD ∽△ECA.5． 45°6．解：(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE ＝∠CAB，∴∠ADF ＝∠C.又∵AD AC ＝DF CG， ∴△ADF ∽△ACG.(2)∵△ADF∽△ACG，∴AD AC ＝AF AG. 又∵AD AC ＝12，∴AF AG ＝12， ∴AF FG＝1. 7．D [解析] ∵△ABC 与△BED 都是顶角为36°的等腰三角形，∴ABC ∽△EBD.∵BC 2＝CD·AC，∴△BCD ∽△ABC ，∴∠CBD ＝∠ABD＝∠A＝36°，∴△BCD ∽△EBD.同理，△BDF ∽△BCD ∽△ABC ∽EBD ，△ADF ∽△EBF ∽△ABD.。
初三数学上册第22章相似形相似三角形的判定(第2课时)相似三角形的判定定理课件1(新版)沪科版
课件1（新版）沪科版
• 1．如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角•_对__应__相__等_ •，那么这两个三角形_•_相__似__(可简单说成_•_两__角__对__应__相__等__的__两__个__三__角__形_ _•相__似__)． • 2．有__•_一___个锐角相等的两个直角三角形相似．
• 用两角对应相等判定三角形相似 • 1．(4分)△ABC中，∠A＝75°，∠B＝35°，△DEF中，∠D＝75°，当∠F＝ ________时•7，0°△ABC∽△DEF. • 2．(4分)如图，D是△ABC的边AB上一点，若∠1＝___•_∠__B_，则 △ACD∽△ABC；若∠2＝____•_∠__A_C_，B 则△ACD∽△ABC.
•∠DAE＝∠BAC，则EC的长为________．
•15．在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝40°，∠B＝60°，∠A′＝40°，当∠B＝ ____________•6_0_°时或，8这0°两个三角形相似． •16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按如图的方法将 △BCD折叠，使点C落在AB边上的点C′处，则折痕BD的长为____．•3
•解：AC＝6
•C
•A •C
• 二、填空题(每小题4分，共16分) • 13．如图，等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝ 60°，则图中相似的一对三角形是___•_△__A_B__P_∽__△__P_C__D_或__△__A__P_D_∽__△__A__C_P_ ．
•14．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E是DC上的一点，且
• 三、解答题(共32分) • 17．(10分)如图，已知，在▱ABCD中，G是DC延长线上一点，AG分别交 BD和BC于点E，F，试证明AF·AD＝AG·BF.
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一、考点突破
相似是中考考查的重点内容，在选择题和填空题中，多为考查图形相似的性质、相似三角形的性质和判定、位似图形的性质，题目难度一般不大；在解答题中，常与方程、函数、圆等内容相结合，综合性强，难度较大。
在中考中主要考查以下几点：
（1）相似图形的特点以及相似比的意义；
（2）用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算题；
（3）综合利用相似三角形的判定定理和性质解决问题；
（4）位似图形的定义、作图及在平面直角坐标系中点的坐标的变化规律。
二、重难点提示
重点：相似三角形的性质和判定定理的应用，位似图形的应用。
难点：利用图形的相似解决实际问题。
能力提升类
例1手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（）
一点通：根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除错误答案。
解：A：形状相同，符合相似图形的定义，故选项错误；
B：形状相同，符合相似图形的定义，故选项错误；
C：形状相同，符合相似图形的定义，故选项错误；
D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但边的比不对应相等，故选项正确；
故选D。
点评：本题考查的是相似图形的定义，联系图形，即形状相同，大小不一定相同的图形
叫做相似形。
全等形是相似形的一个特例。
例2 如图所示，正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似图形，点F 的坐标为（－1，1），点C 的坐标为（－4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是 。
一点通：两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行。
则位似中心就是两对对应点的延长线的交点，本题分两种情况讨论即可。
解：①当两个位似图形在位似中心同旁时，位似中心就是CF 与x 轴的交点， 设直线CF 的解析式为y=k x ＋b ，将点C （－4，2），F （－1，1）代入，得42
1
k b k b -+=-+=⎧⎨
⎩
解得132
3k b ⎧⎪⎪⎨=-=⎪⎪⎩
即1233y x =-+，
令y=0得x=2，
∴位似中心的坐标是（2，0）； ②当位似中心在两个正方形之间时，
可求直线OC 的解析式为12y x =-
，直线DE 的解析式为1
14y x =+， 联立 12
114y x y x ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得4323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
即位似中心的坐标为（34-，3
2
）。
故本题答案为：（2，0）或（43-，2
3
）。
点评：本题主要考查位似图形的性质，难度中等，注意掌握每对位似对应点与位似中心共线，另外解答本题注意分情况讨论，避免漏解。
综合运用类
例3 如图，Rt △ABC 的直角边BC 在x 轴正半轴上，斜边AC 边上的中线BD 反向延长线交y 轴负半轴于E ，函数(0)k
y x x
=
＞的图象经过点A ，若S △BEC =8，求k 的值。
一点通：先根据题意证明△BOE ∽△CBA ，根据相似比及面积公式得出BO×AB 的值即为|k|的值，再由函数所在的象限确定k 的值。
解：∵BD 为Rt △ABC 的斜边AC 上的中线， ∴BD=DC ，∠DBC=∠ACB ，
又∠DBC=∠EBO ，∴∠EBO=∠ACB ， 又∠BOE=∠CBA=90°， ∴△BOE ∽△CBA ， ∴
BO OE
BC AB
=
，即BC×OE=BO×AB 。
又∵S △BEC =8，即BC×OE=16=BO×AB=|k|。
又由于反比例函数)0(>=x x
k
y 的图象在第一象限，k ＞0。
所以k 等于16。
点评：本题考查了反比例函数k
y x
=
中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k |，这是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想。
例4 如图，四边形ABCD 为一梯形纸片，AB ∥CD ，AD=BC 。
翻折纸片ABCD ，使点A 与点C 重合，折痕为EF 。
已知CE ⊥AB 。
（1）求证：EF ∥BD ；
（2）若AB=7，CD=3，求线段EF 的长。
一点通：（1）过C点作CH∥BD，交AB的延长线于点H；连接AC，交EF于点K，则AK=CK。
通过证明四边形CDBH是平行四边形，△ACH是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，底边上的高是底边上的中线得到EK是△AHC的中位线。
EK∥CH。
可得EF∥BD。
（2）由AB=7，CD=3，得AH=10。
由折叠的性质知AE=CE，∴AE=CE=EH=5。
在等
腰直角三角形CHE中，由勾股定理得，CH=52=BD。
由于△AFE∽△ADB。
即AE EF AB BD。
从而求得EF的值。
解：（1）证明：过C点作CH∥BD，交AB的延长线于点H；
连接AC，交EF于点K，则AK=CK。
∵AB∥CD，∴四边形CDBH是平行四边形，∴BH=CD，BD=CH。
∵AD=BC，∴AC=BD=CH。
∵CE⊥AB，
∴AE=EH。
∴EK是△AHC的中位线。
∴EK∥CH。
∴EF∥BD。
（2）解：由（1）得BH=CD，EF∥BD。
∴∠AEF=∠ABD。
∵AB=7，CD=3，
∴AH=10。
∵AE=CE，AE=EH，
∴AE=CE=EH=5。
∵CE⊥AB，∴CH=2。
∵∠EAF=∠BAD，∠AEF=∠ABD，。