浙教版七年级下6-4《因式分解的应用》课件
七年级下浙教版6.4因式分解的简单应用3课件
(1) (4 x − 9) ÷ (3 − 2 x)
2
(2) ( xy − 2 x y + x y ) ÷ ( x − 1)
2 3
（１） （２）
(a
2
− 4) ÷ ( a + 2)
2
[(a − b) + 2(b − a)] ÷ (a − b)
先请同学们思考、讨论以下问题： 先请同学们思考、讨论以下问题： 1．如果 A×5 ＝0，那么A的值 ． × ，那么 的值
2分钟 分钟
计算: 计算:
(16 − x ) ÷ (4 + x ) ÷ ( x − 2)
4 2
为三角形的三边， 已知 a、b、c为三角形的三边，试判断 大于零？小于零？等于零？ a2 -2ab+b2-c2大于零？小于零？等于零？
3分钟 分钟
解:
a2
-2ab+b2-cc)(a=(a-b+c)(a-b-c) a、 ∵ a、b、c为三角形的三边 a+ a﹤ ∴ a + c ﹥b a ﹤b + c a∴ a - b + c ﹥0 a - b - c ﹤0 即：(a-b+c)(a-b-c) ﹤0 (a-b+c)(a小于零。 因此 a2 -2ab+b2-c2小于零。
因式分解的几种方法
一“提”、二“套” （１）提取公因式法：ma + mb 提取公因式法： （２）公式法： 公式法： 应用平方差公式： 应用平方差公式：
= m(a + b )
a 2 − b 2 = (a + b )(a − b )
2
应用完全平方公式： 应用完全平方公式： a
± 2ab + b = (a ± b )
七年级数学下册第4章因式分解4.2提取公因式法课件新版浙教版.pptx
4.2 提取公因式法
知识点三 添括号法则
括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变号；括号前 面是“－”号，括到括号里的各项都___变_号____． 3．添括号：(1)1－2a＝＋(__1_－__2a___)； (2)－a2＋2ab－b2＝－(__a_2－__2_ab_＋__b_2 __)．
4.2 提取公因式法
中位数
初中数学思想方法的教学与应用
什么是数学思想和方法
数学思想，就是对数学知识的本质的认识。是从某些具体的数学内容 和对数学的认识过程中提练上升数学观点，它在认识活动中被反复运用， 带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。
数学方法指在数学中提出问题、解决问题（包括数学内部问题和实 际问题）过程中，所采用的各种方式、手段、途径等。
数学思想和数学方法是紧密联系的，强调指导思想时，称数学思想， 强调操作过程时，称数学方法。
常用的数学思想方法
常用数学思想: 建模思想、统计思想、最优化思想、转化化与化归
思想、类比思想、分类思想、整体思想、数形结合思想、 方程思想、函数思想等。
常用数学方法： 配方法、换元法、待定系数法、参数法、
构造法、特殊值法等。
筑方法
类型一 用提取公因式法进行因式分解
例1 教材例1变式题把下列各式分解因式： (1)－5a2＋25a； (2)14x2y－21xy2＋7xy.
解：(1)－5a2＋25a＝－5a(a－5)． (2)14x2y－21xy2＋7xy＝7xy(2x－3y＋1)．
4.2 提取公因式法
【归纳总结】提取公因式的“四点注意” (1)当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大 公因数；(2)字母取各项都含有的相同字母的最低次幂；(3)当首 项的系数为负时，通常应提取负因数，此时剩下的各项都要改 变符号；(4)当公因式与多项式的某项相同时，提取公因式后， 另一个因式不要漏写“＋1”．
浙教版七年级数学下册：第四章 因式分解 教学课件
1.提取公因式法口决
①系数:提取最大的公因数;
课堂小结
②字母:提取相同字母最低次幂。
2、提取公因式法分解因式
① 确定应提取的公因式 ② 用公因式去除多项式,所得的商为另一个因式 ③ 把多项式写成这两个因式积的形式
3、添括号法则
括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号； 括号前面是“—”号，括到括号里的是各项都变号.
(6)4x2 ( y)2
练习：把下列各式分解因式：
(1)16a2 1 (2) m2n2 4l 2
(3) 9 x2 1 y4 25 16
（4）121-4a2b2
我能行！
（1）(x z)2 ( y z)2
(2)（2n+1）2-(2n-1)2
(3) (2x-y)2-4(x+y)2 (4) a4-81
x2 1 x(x 1) x
不是因式分解，为什么？
例1. 检验下列因式分解是否正确：
(1)x2y－xy2=xy(x－y) 正确 (2) 2x2－1=(2x+1)(2x－1) 不正确 (3) x2+3x+2=(x+1)(x+2) 正确
下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？ 多
（1） a2 a a(a 1)
第4章 因式分解
4.1 因式分解
计算：
2×3×5= 30 这是整数乘法运算，
30 =2×3×5是什么运算呢？ （因数分解）
整数乘法
2×3×5 因数分解 30
一般地，把一个多项式化成几个整式的 积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式。
注意：因式分解是整式范围内的概念.
x 4 ( x 2)( x 2)
提取公因式法的一般步骤:
浙教版七年级数学下册因式分解的应用
第九讲 因式分解的应用思维导图重难点分析重点分析：因式分解的应用极其广泛，因式分解的实质是把和或差化成积的一种代数变换.应用因式分解解决数学问题或实际问题是一种常用的数学基本方法和运算技巧，对后续分式、一元二次方程等知识有很大帮助.本节中主要涉及数的计算、多项式除法、代数的求值或恒等变形以及解一些简单的二次方程等.难点分析：因式分解法解方程主要是将方程分解为“A·B=0”的形式，即“若A·B=0，则有A=0或B=0”.应用因式分解法解决数学问题或实际问题时要注意结合换元法、配方法、待定系数法等重要的数学方法.例题精析例1、计算：（1）［（m+n ）2-4（m-n ）2］÷（3n-m ）；（2）［（a-2b ）2-4（a-2b ）+4］÷（a-2b-2）.思路点拨：关键在于对被除式进行因式分解，分解后与除式之间的关系就显而易见.解题过程：（1）原式=（m+n+2m-2n ）（m+n-2m+2n ）÷（3n-m ）=（3m-n ）（3n-m ）÷（3n-m ）=3m-n.（2）原式=（a-2b-2）2÷（a-2b-2）=a-2b-2.方法归纳：我们现在所接触的多项式除以多项式都是利用因式分解来解决的，都是能整除的情况.易错误区：因式分解时，注意应用去括号或添括号法则时符号的变化.例2、解方程：（1）2x 2-3x=0； （2）x （2x-3）=4x-6； （3）16（x+1）2=25（x-2）2.思路点拨：借助因式分解来解一元二次方程，把所有项移到等式左边进行因式分解，再依据“如果若干个数之积为零，那么至少有一个数为零”这一性质求解.事实上就是把一元二次方程转化为两个一元一次方程，达到降次的目的，实现从未知到已知的转化.解题过程：（1）∵2x 2-3x=0,∴x（2x-3）=0.∴x 1=0，x 2=23. （2）∵x（2x-3）=4x-6，∴x（2x-3）-2（2x-3）=0. ∴（x-2）（2x-3）=0.∴x 1=2，x 2=23. （3）∵16（x+1）2=25(x-2)2，∴16（x+1）2-25（x-2）2=0.∴（4x+4+5x-10）（4x+4-5x+10）=0.∴（9x-6）（14-x ）=0.∴x 1=23，x 2=14. 方法归纳：因式分解在解一元二次方程或一元高次方程中有很好的应用.对于第（3）题也可以直接用开平方的方法，这时会出现两种情况：4（x+1）=5（x-2）或4（x+1）=-5（x-2）.一般情况下，一元二次方程要有解就会有两个解，分别用x1和x2表示.易错误区：对于方程（3），不能简单地两边同时除以2x-3得到x=2，这样会造成没有考虑2x-3=0这一情况而导致漏根.例3、在学习中，小明发现：①32-12=9-1=8=1×8；②52-12=25-1=24=3×8；③112-12=121-1=120=15×8；④172-12=289-1=288=36×8，…于是小明猜想：当n为任意正奇数时，n2-1的值一定是8的倍数，你认为小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由.思路点拨：用2k+1表示奇数，再对n2-1因式分解，分析因式分解结果中的因式，判断是不是8的倍数.解题过程：小明的猜想正确.理由：∵n为奇数，∴可设n=2k+1（k为自然数）.∴n2-1=（2k+1）2-1=（2k+1+1）（2k+1-1）=（2k+2）×2k=4k（k+1）.∵k为自然数，∴k，k+1是两个相邻的自然数.∴k，k+1中必有一个是偶数，一个是奇数.∴k（k+1）必定是2的倍数.∴4k（k+1）必定是8的倍数.故当n为任意正奇数时，n2-1的值一定是8的倍数.方法归纳：本题考查了因式分解的应用，先猜想结论，再进行验证.数的奇偶性判断是本题的难点.易错误区：k与k+1是相邻的两个整数，必定是一奇一偶，所以4k（k+1）不仅仅是4的倍数还是8的倍数.例4、如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的小长方形，且m＞n.（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为；（2）若每块小长方形的面积为10，四个正方形的面积之和为58，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和.思路点拨：（1）据图由长方形面积公式将代数式2m2+5mn+2n2因式分解即可；（2）根据四个正方形的面积之和为58，以及每块小长方形的面积为10，得出等式求出m+n，进一步得到图中所有裁剪线（虚线部分）长之和即可.解题过程：（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）.（2）依题意，得2m2+2n2=58，mn=10，∴m2+n2=29.∵（m+n）2=m2+2mn+n2，∴（m+n）2=29+2×10=49.∵m+n＞0，∴m+n=7.∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为2(m+2n)+2(2m+n)=6(m+n)=42.方法归纳：本题主要考查了因式分解的应用、列代数式以及完全平方公式的应用，根据已知图形得出是解题关键.易错误区：解题时要注意（m+n）2=49时，m+n是49的平方根，结果有两个，但涉及实际问题，要将负的值舍去，要明确平方根与算术平方根的区别与联系.例5、如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，我们就把这样的自然数叫做“和谐数”.例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是6，4，7，4，6，所以64746是“和谐数”.再如：33，181，212，4664等都是“和谐数”.（1）请你直接写出3个四位数的“和谐数”，猜想任意一个四位数的“和谐数”能否被11整除，并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位数的“和谐数”，设个位上的数字为x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，写出y与x之间的关系式（用x表示y).思路点拨：（1）根据“和谐数”的定义写出3个四位数的“和谐数”；设任意四位数的“和谐数”的形式为：abba（a，b为自然数），则这个四位数为a×103+b×102+b×10+a=1001a+110b，通过提取公因式可判断任意四位数的“和谐数”都可以被11整除；（2）设能被11整除的三位数的“和谐数”为：x×102+y×10+x=101x+10y，由于1110101y x +=9x+y+112y x -，根据整数的整除性得到2x-y=0，于是可得y 与x 之间的关系式.解题过程：（1）四位数的“和谐数”：1221，1331，1111，6666.任意一个四位数的“和谐数”都能被11整除，理由如下：设任意四位数的“和谐数”的形式为：abba （a ，b 为自然数），则a×103+b×102+b×10+a=1001a+110b.∵1001a+110b=11(91a+10b)， ∴四位数的“和谐数”abba 能被11整除.∴任意四位数的“和谐数”都可以被11整除.（2）设能被11整除的三位数的“和谐数”为：xyx ，则x×102+y×10+x=101x+10y， 则1110101y x +=9x+y+112y x -. ∵1≤x≤4，101x+10y 能被11整除，∴2x -y=0.∴y=2x（1≤x≤4）.方法归纳：本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题.灵活利用整数的整除性.易错误区：一要注意十进制多位数的正确表示方法，二要注意x ，y 的取值.探究提升例、已知整数a ，b 满足6ab=9a-10b+16，求a+b 的值.思路点拨：运用因式分解法把原来的等式变形为（3a+5）（2b-3）=1，再根据两个整数的乘积是1，只有1×1和（-1）×（-1）两种情况，再进一步解方程组即可.解题过程：由6ab=9a-10b+16，得6ab-9a+10b-15=16-15.∴（3a+5）（2b-3）=1.∵3a+5，2b-3都为整数，∴⎩⎨⎧==+13-2b ,153a 或⎩⎨⎧==+-1.3-2b ,-153a ∴⎪⎩⎪⎨⎧==2b ,34-a 或⎩⎨⎧==1.b ,-2a ∵a，b 为整数，∴⎩⎨⎧==1.b ,-2a 故a+b=-1. 方法归纳：因式分解法是解高次不定方程的重要方法，要注意本题的方法与因式分解解一元二次方程的方法的区别，解一元二次方程一般方程右边变为零，而解不定方程的右边只要为整数，然后分析整数的约数即可.易错误区：A·B=1且A 和B 均为整数，则有A=1，B=1或A=-1，B=-1，不要漏掉两个都是-1这种情况.专项训练走进重高1.【杭州】设a ，b 是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b ）2-（a-b ）2，则下列结论：①若a@b=0，则a=0或b=0;②a@（b+c ）=a@b+a@c;③不存在实数a ，b ，满足a@b=a 2+5b 2;④设a ，b 是长方形的长和宽，若长方形的周长固定，则当a=b 时，a@b 最大.其中正确的是（ ）.A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③2.数348-1能被30以内的两位数（偶数）整除，这个数是 .3.【遂宁】阅读下面的文字与例题.将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm ）+（an+bn ）=m （a+b ）+n （a+b ）=（a+b ）（m+n ）；（2）x 2-y 2-2y-1=x 2-（y 2+2y+1）=x 2-（y+1）2=（x+y+1）（x-y-1）.试用上述方法分解因式：a 2+2ab+ac+bc+b 2= .4.【杭州】设y=kx ，是否存在实数k ，使得代数式（x 2-y 2）（4x 2-y 2）+3x 2（4x 2-y 2）能化简为x 4？若能，请求出所有满足条件的k 的值；若不能，请说明理由.高分夺冠1.已知a 2（b+c ）=b 2（a+c ）=2015，且a ，b ，c 互不相等，则c 2（a+b ）-2014的值为（）. A.0 B.1 C.2015 D.-20152.x 2-3xy-4y 2-x+by-2能分解为两个关于x ，y 的一次式的乘积，则b= .3.求方程5x 2+5y 2+8xy+2y-2x+2=0的实数解.4.若x 为整数，则x （x+1）（x-1）（x+2）+1是一个整数的平方.请说明理由.5.已知正实数a ，b ，c 满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++25,2bc a2c 18,2ab c2b 29,2ac b2a 求a+b+c 的值.。
浙教版七年级下《因式分解》课件
1 1 7 ; 2 2 29 20.5 41 20.5 30 20.5
2
2
拓展提高：
1 2. 已知 2 x y , xy 2 3
求 2 x y x y 的值.
4
2
3
3
4
3. 如果 2 x mx n 可分解因式为
-3 ，n=_____ -2 (2 x 1)( x 2) 那么m ＝_____
(5).(a-3)(a+3)=a2-9
整式乘法
不是因式分解
(6).m2-4=(m+4)(m-4)
(7).2 π R+ 2 π r= 2 π (R+r) 因式分解
.例1. 检验下列因式分解是否正确：
(1)x2y－xy2=xy(x－y) 正确 (2) 2x2－1=(2x+1)(2x－1) 不正确 (3) x2+3x+2=(x+1)(x+2) 正确
2×3×5= 30 这是整数乘法运算， 30 =2×3×5是什么运算呢？ （因数分解）
2×3×5
整数乘法
因数分解
30
你能尝试把a2－b2化成几个整式的积的形式吗？
整式的积
多项式
多项式
整式的积
(a+b)(a-b) =a2-b2 (a+b)2 =a2+2ab+b2 m(a+b) =am+bm
a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2 =(a+b)2 am+bm =m(a+b)
如果2x² +mx-2可分解因式为 (2x+1)(x-2),求m的值
新浙教版七年级数学下册第四章《因式分解复习课件》公开课课件
法方的式因公定确
1. 提公因式法
公因式 多项式各项都含有的相同因式，
定系数 系数的最大公约数
定字母 各项中都有的相同的字母。
定指数 字母的最低次幂。
提公因式法 如果多项式的各项有公因式,把公因式提出来, 从而转化为几个因式乘积的形式
(1) a+b与b+a 互为相同数,
(a+b)n = (b+a)n (n是整数）
A. (x+5)(x-5)=x2-25
B. x2+3x+1=(x+1)(x+1)-1
C. x2+3x+2=(x+1)(x+2) D. a(m+n)=am+an
4.下列多项式是完全平方式的是( C )
A. 0.01x2+0.7x+49
B. 4a2+6ab+9b2
C. 9a2b2-12abc+4c2
D. X2-0.25x+0.25
练习: ：把m2 ? 5n? mn? 5m分解因式。 把x2 ? y2 ? ax ? ay分解因式。
例2：把 a 2 ? 2ab ? b2 ? c2分解因式。 解：原式 ? (a 2 ? 2ab ? b2 ) ? c2 ? (a ? b)2 ? c2 ? (a ? b ? c)(a ? b ? c)
a 2 ? 2ab ? b2
m(a ? b ? c)
(a ? b)(a ? b)
(a ? b)2
(a ? b)2
是互逆的关系．一定是恒等变形
填空
1.若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5), 则m= -7 ,n= -10 。 2．x2-8x+m=(x-4)2,m=16 。
初一数学最新课件-64因式分解的简单应用浙教版002 精品
整式除法
计算：
12a3b3c 6ab2 2a2bc
am bm m a b
a2 4 a 2
a 2a 2a 2
a2
二、运用因式分解进行多项式除法.
例2 计算:
(1) 2ab2 8a2b 4a b
(2) 4x2 9 3 2x
பைடு நூலகம்
填空：
(1)(ab2 a2b) (a b) ab
(6)a2 4ab 4b2 (a 2b)2
提取公因式法 应用平方差公式 应用完全平方公式
想若一A想×:如B=果0已，知则(A和B中)×至(少有一)=个0 ，为那零么，这两个 括即号A内=应0，填或入怎B=样0的数或代数式才能够满足条件呢？
若A试×B一=0试，:下你面能两运个结用论上对面吗？的结论 （１）A和解B同方时程都(为2零x+，1即)(A3=0x，-2且)B==00吗？
(2) x2 2xy y2 x y x y
试一试
你能在括号内填入适当的代数式，使 等式成立吗？
(x 7)
综合与应用
计算：(16 x4 ) (4 x2 ) (x 2)
开动脑筋,试试吧!
因式分解是进行代数运算的常用工具之 一，灵活、合理地应用因式分解可帮助我们 解决很多数学问题．
1、运用因式分解进行简单的多项式除法．
2、运用因式分解解简单的方程．
若 A B 0， 则 A 0 或 B 0 .
综合与应用
(1) 若a b c 0, 求(a2 b2 ) (ac cb)的值
(2) 求满足等式 a2 b2 29 的正整数解
义务教育课程标准实验教科书 浙江版《数学》七年级下册
６.4 因式分解的简单应用
宜山一中
将下列各式因式分解:
因式分解的简单应用ppt1 浙教版
2
(4)
x 1 xy 2 xy x yxy
2 3
2
2
2 ab 8 a b 4 a b 思考: 怎样计算
2
一、运用因式分解进行多项式除法.
例1 计算:
(1)
解:
探索新知
4 x 9 3 2 x
2 2
2 ab 8 a b 4 a b 2 ab 8 a b 4 a b
a b c
2
2
a b c 0
即
a b c a b c
a b c a b c 0
2ab
2 2 2 a b c
知识延伸
2 2 已知 4 x y 4 x 6 y 10 0 ,
（2） A 和 B 中至少有一个为零，即 A0 或 B0 。
对
3、试一试
你能用上面的结论解方程
吗？ 2 x 3 2 x 3 0
二、运用因式分解解方程.
例2 解下列方程：
(1)
再探新知
(2)
2 2 2 x 1 x 2
2 x x0
2
解：将原方程的左边分解
义务教育课程标准实验教科书 浙江版《数学》七年级下册
６.4 因式分解的简单应用
知识回顾
1、因式分解的概念：
一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，
叫做因式分解. 2、因式分解的主要方法：
a b （１）提取公因式法：ma mb m
（２）公式法：
应用平方差公式：
2 2 a b a b a b
七年级下浙教版6.4因式分解的简单应用1课件
拓展提高：
1、已知 a、b、c为三角形的三边，试判断 a2 -2ab+b2-c2大于零？小于零？等于零？
解: a2 -2ab+b2-c2 =(a-b)2 -c2 =(a-b+c)(a-b-c)
∵ a、b、c为三角形的三边
∴ a+c ﹥b a﹤b+c
思路：运用多项式的因式分解和换元的思想，
把两个多项式相除，转化为单项式的除法．
步骤：1．对被除式进行因式分解；
2．约去除式．
1、想一想
若AB＝0，下面两个结论对吗？
（1）A和B同时都为零，即A＝0，且B＝0；错 （2）A和B中至少有一个为零，即A＝0，或B＝0。对
2、试一试 你能用上面的结论解方程
（２）如果方程的两边都不是零，那么应 该先移项，
把方程的右边化为零以后再进行解方程； 遇到方程两边有公因式，同样需要先进行移项 使右边化为零，切忌两边同时除以公因式！
练一练：
1、解方程：（1）49x2-25=0
（2） 4x2=8x
（3）（3x-2）2=（1-5x）2
2、解方程：(x2+4)216解x：2=将0原方程左边分解因式，得
如 x1, x2 等。
(2) 2x12x22
解：移项，得 2x 1 2x220 将方程的左边分解因式，得 3x1 x30
3 x ＋ 1 0 或 x － 3 0 x1 －13，x2 3
请你辨一辨： 4x24x1
x2x22 解：移项，得 4x24x10
解：方程两边同除于 x 2 ， 将方程的左边分解因式，
1、因式分解的概念： 一般地，把一个多项式化成几个整式的积的
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(4) (16 x ) (4 x ) ( x 2)．
4 2
先请同学们思考、讨论以下问题： 1．如果 A×5 ＝0，那么A的值
A 0．
2．如果 A×0 ＝0，那么A的值
任意数都可以 ．
3．如果A ·B＝0，下列结论中哪个正确（ ② ） ① A、B同时都为零，即A＝0，且B＝0； ② A、B中至少有一个为零，即A＝0，或B＝0；
已知 a、b、c为三角形的三边，试判断
a2 -2ab+b2-c2大于零？小于零？等于零？ 解: a2 -2ab+b2-c2 =(a-b)2 -c2 =(a-b+c)(a-b-c) ∵ a、b、c为三角形的三边 ∴ a+c ﹥b a﹤b+c ∴ a-b+c﹥0 a-b-c ﹤0 即：(a-b+c)(a-b-c) ﹤0 因此 a2 -2ab+b2-c2小于零。
选做题
(1). 能否把下图中的四个图形拼接成一个正方
形？如果可以，求出这个正方形的边长，并画出 拼成的正方形.
4x
16x2
4x y
y2
y
我们每天都 在努力！
（2）若x2+2(a+4)x+25是完全 平方式，求的a值.
（3）（ a2+b2)( a2+b2 –10）+25=0 求 ：a2+b2 的值
复习
(1). 2a b c a c 2ab 2
2
填空或计算: 3 2
(2). ma ab a m b
(3). a b 的相反数是 b a
它们的平方有何关系?
2
相等
(4). a b b a 的值是
ba
1、因式分解的概念： 一般地，把一个多项式化成几个整式的积 的形式，叫做因式分解. 2、因式分解的主要方法： （１）提取公因式法： （２）公式法： 应用平方差公式： a 2 b 2 a b a b 应用完全平方公式：a 2 2ab b 2 a b 2
2
(5) x 2 xy y ( x y )
2 2
2
应用完全平方公式
(6)a 4ab 4b (a 2b) 2
2 2
2.将下列各式分解因式:
(1) 4 x 9
2
2
2 x 3 2 x 3
2
(2) 2ab 8a b 2ab b 4a
3．如果A ·B＝0，下列结论中哪个正确 （ ② ）
① A、B同时都为零，即A＝0，且B＝0； ② A、B中至少有一个为零，即A＝0，或B＝0；
你能运用上面第3题的结论 解方程
4x 9
2
吗？
4x -9=0 (2x +3)(2x-3)=0 2x+3=0 或 2x-3=0
2
二、运用因式分解解方程.
（2）4 x 9 3 2 x
2
2 x 3 2 x 3
因式分解 两个多项式相除 （未知） 单项式的除法 换元
（已知）
梳理知识
练习1．计算：
运用因式分解进行多项式除 法的步骤：1、因式分解
2、约去公因式
（ ） a 4 a 2 1
2
解: 原式
（2） x 2 xy y x y
2 2
a 2a 2 a 2 =
a-2
解: 原式= (x
+y)2 x y = x+y
梳理知识
练习1．计算：
运用因式分解进行多项式除 法的步骤：1、因式分解
2、约去公因式
（3） [(a b) 2(b a)] (a b)
已知：x=2004,求∣4x2 -4x+3 ∣ -4 ∣ x2 +2x+2 ∣ +13x+6的值。 解: ∵4x2 - 4x+3= (4x2 - 4x+1)+2 = (2x-1)2 +2 ＞0 x2 +2x+2 = (x2 +2x+1)+1 = (x+1)2 +1＞0 ∴ ∣4x2 -4x+3 ∣ -4 ∣ x2 +2x+2 ∣ +13x+6 = 4x2 - 4x+3 -4(x2 +2x+2 ) +13x+6 = 4x2 - 4x+3 -4x2 -8x -8+13x+6 = x+1 即：原式= x+1=2004+1=2005
例2：解下列方程： 2 （） x x 0 1 2
解：将原方程的左边分解因式，得
则
x2 x 1 0 x 0, 或 2 x 1 0
1 x1 0，x2 . 2
原方程的根是
只含有一个未知数的方程的解也叫做根。
注意：
当方程的根多于一个时，常用带足标的字母表示 x1, x2 等 如
2
一、运用因式分解进行多项式除法.
例1 计算:
探索新知
（ ）2ab 8a b 4a b 1
2 2
解:原式 2ab4a b 4a b
整体
换元
令(4a-b)=A
2ab
一、运用因式分解进行多项式除法.
例1 计算:
探索新知
解: 原式 2 x 32 x 3 2 x 3
例2：解下列方程： 2 2 （2）2 x 1 x 2
解：移项，得 2 x 1
2
x 2 0
2
将方程的左边分解因式，得
3x 1 x 3 0
则
3 x 1 0, 或 x 3 0
1 x1 ，x2 3. 3
原方程的根是
(3) xy 2 x y x y xy 1 2x x 1 x
2 3
2
2
(4)
(5)
x 2 x y y xx yy x y
4 2 2 4
2
2 2 2
22
a b
2
a b a b a a b b 1
温馨提示：
把a2+b2看做一个整体，
可利用换元法.
（4）4x2+y2-4xy-12x+6y+9=0 求x、y关系
温馨提示：配方法
（5）分解因式：m4+4
温馨提示：添项成完全平方式
温馨提示
2
当方程两边有公因式时， 切忌两边同时除以公因式， 仍应按一般步骤解．
练一练：
Hale Waihona Puke (1) (2)(4mn 6m n) (2n 3m )
3 3 2 2
( x 2 xy y ) ( x y )
2 2
(3)
1 2 1 ( x x 1) (1 x ) 4 2
用因式分解解方程的一般步骤： 1．移项，把方程右边化为零； 2．把方程左边因式分解； 3．将原方程转化为（一般为两个）一元 一次方程； 4．写出方程的解．
x1 ＿，x2 ＿，…
练一练：解下列方程
(1) (2)
x 2x 0
2
4 x ( x 1)
2
2
（3）x 2 x 2
ma mb ma b
1.将下列各式因式分解:
(1)n n n (n 1)
4 3
3
(2) ax bx x(ax b)
2
提取公因式法 应用平方差公式
(3) x 9 ( x 3)( x 3)
2
(4)4s 9 2s 3 2s 3
因式分解的两种应用：
（１）运用因式分解进行多项式除法 （２）运用因式分解解简单的方程
作业：
1、作业本6.4 2、课内作业
解方程： (x2+4)2-16x2=0
解：将原方程左边分解因式，得 (x2+4)2-(4x)2=0 (x2+4+4x)(x2+4-4x)=0 (x2+4x+4)(x2-4x+4)=0 (x+2)2(x-2)2=0 接着继续解方程，