2.3 反证法与放缩法 课件(人教A选修4-5)

f(－a)，求证：a<b.
证明：假设a<b不成立，则a＝b或a>b. 当a＝b时，－a＝－b则有f(a)＝f(b)，f(－a)＝f(－b)， 于是f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)与已知矛盾． 当a>b时，－a<－b，由函数y＝f(x)的单调性可得
f(a)>f(b)，f(－b)>f(－a)
于是有f(a)＋f(－b)>f(b)＋f(－a)与已知矛盾．故假设不 成立． ∴a<b.
项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，
或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从 而达到证明不等式的目的．
1 1 1 1 4．设 n 是正整数，求证： ≤ ＋ ＋„＋ ＜1. 2 n＋1 n＋2 2n
证明：由 2n≥n＋k＞n(k＝1,2，„，n)， 1 1 1 得 ≤ ＜ . 2n n＋k n 1 1 1 当 k＝1 时， ≤ ＜n； 2n n＋1 1 1 1 当 k＝2 时， ≤ ＜ ； 2n n＋2 n „ 1 1 1 当 k＝n 时， ≤ ＜ ， 2n n＋n n ∴将以上 n 个不等式相加得： 1 n 1 1 1 n ＝ ≤ ＋ ＋„＋ ＜ ＝1. 2 2n n＋1 n＋2 2n n
(1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，
唯一性、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”， “至少”，“不能”等词语的不等式． (2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准 确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，
在解题时要灵活应用．
1．实数a，b，c不全为0的等价条件为 A．a，b，c均不为0
②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明
而断定原命题成立．Fra bibliotek2．不等式的证明方法——放缩法 放缩法证明的定义： 证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值 放大
或 缩小 ，简化不等式，从而达到证明的目的．
3．放缩法的理论依据主要有 (1)不等式的传递性； (2)等量加不等量为 不等量 ； (3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．
[例 2]
2
已知实数 x、y、z 不全为零．求证：
2 2 2 2 2
3 x ＋xy＋y ＋ y ＋yz＋z ＋ z ＋zx＋x > (x＋ y＋ 2 z)．
[思路点拨] 解答本题可对根号内的式子进行配方
后再用放缩法证明．
[证明] ＝ ≥
x2＋xy＋y2 y2 3 2 x＋ ＋ y 2 4 y2 x＋ 2
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5．设f(x)＝x2－x＋13，a，b∈[0,1]，求证：
|f(a)－f(b)|<|a－b|.
证明：|f(a)－f(b)|＝|a2－a－b2＋b| ＝|(a－b)(a＋b－1)|＝|a－b||a＋b－1| ∵0≤a≤1,0≤b≤1 ∴0≤a＋b≤2， －1≤a＋b－1≤1，|a＋b－1|≤1. ∴|f(a)－f(b)|≤|a－b|.
(
)
B．a，b，c中至多有一个为0
C．a，b，c中至少有一个为0 D．a，b，c中至少有一个不为0 解析：“不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是 “至少有一个不为0”．
答案：D
2．证明：三个互不相等的正数a、b、c成等差数列，则a， b，c不可能成等比数列． 证明：假设a，b，c成等比数列，则b2＝ac.
z x 3 ＋(y＋ )＋(z＋ )＝ (x＋y＋z)． 2 2 2
(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端
的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，
进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证 的失败． (2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法， 利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正
1．不等式的证明方法——反证法 (1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，
然后由 此假设出发，结合已知条件，应用公理、定义、定
理、性质等，进行 正确的推理 ，得到和命题的条件 (或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论， 以说明 假设 不成立，从而证明原命题成立． (2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立； 假设不成立 ，从
[例 1]
已知 f(x)＝x2＋px＋q
求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2 1 (2)|f(1)|，f|(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于 . 2
[思路点拨]
“不小于”的反面是“小于”，“至少
有一个”的反面是“一个也没有”．
[证明]
(1)f(1)＋f(3)－2f(2)
＝(1＋p＋q)＋(q＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2. 1 (2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于 . 2 则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2 而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2 矛盾 1 ∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于 . 2
又∵a、b、c成等差数列
∴a＝b－d，c＝b＋d(其中d公差)． ∴ac＝b2＝(b－d)(b＋d)．∴b2＝b2－d2. ∴d2＝0，∴d＝0.这与已知中a、b、c互不相等矛盾． ∴假设不成立．∴a、b、c不可能成等比数列．
3．已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(a)＋f(－b)<f(b)＋
y y ＝|x＋ |≥x＋ . 2 2 z 同理可得： y ＋yz＋z ≥y＋ ， 2
2 2
x z ＋zx＋x ≥z＋ ，由于 x、y、z 不全为零，故 2
2 2
上述三式中至少有一式取不到等号， 所以三式相加得： y x ＋xy＋y ＋ y ＋yz＋z ＋ z ＋zx＋x >(x＋ ) 2
2 2 2 2 2 2