谓词逻辑中的命题翻译(牛连强)

2.2 谓词逻辑中的命题翻译由于谓词有谓词填式和量词量化两种转换为命题的方法，实际中也有两类命题需要翻译。

2.2.1 特殊化个体词的命题当命题中的个体词是固定对象时，不需要关心个体域，只要刻画出表示个体词的性质或个体词之间关系的谓词，并构成谓词填式即可。

例2-3 用谓词逻辑符号化下述命题：(1) 苏格拉底是人。

(2) 孙建中比李晓光个子高。

(3) 5介于2和8之间。

(4) 若m 是正数，则m -是负数。

(5) 这只大红书柜摆满了那些古书。

解 记M (x )：x 是人；T (x , y )：x 比y 个子高；Between (z , x , y )：z 介于x 和y 之间；P (x )：x 是正数，N (x )：x 是负数；F (x ,y )：x 摆满了y 。

上述命题可符号化为：(1) M (苏格拉底)。

(2) T (孙建中, 李晓光)。

(3) Between (5, 2, 8)。

(4) ()()P m N m →-。

(5) F (这只大红书柜, 那些古书)。

如果都表示成符号会更好一些。

例如，记s ：苏格拉底，y ：孙建中，x ：李晓光，a ：这只大红书柜，b ：那些古书，则(1)、(2)和(5)可用纯符号形式表示为：(1) M (s )。

(2) T (y , x )。

(5) F (a , b )。

这里对(5)的刻画不够细致。

如果将“这只”和“那些”作为个体词，可引入如下谓词： R (x )：x 是大红书柜，Q (y )：y 是古书。

于是，命题可符号化为如下的谓词填式：R (这只)∧Q (那些)∧F (这只, 那些)还可以进一步分解那些修饰限定词，即引入如下谓词和个体词符号：A (x )：x 是书柜，E (y )：y 是图书，B (x )：x 是大的，C (x )：x 是红的，D (y )：y 是古老的；a ：这只，b ：那些，则原命题可表示为： ()()()()()(,)∧∧∧∧∧A a B a C aE b D bF a b可见，谓词公式的翻译结果因对个体词性质的刻画程度不同而异。

2.2.2 量词量化的命题在个体词为泛指时，符号化命题不仅要给出用于刻画表示个体词的性质或个体词之间关系的谓词（称为“中心谓词”），还需要增加一些谓词来描述个体词的范围，这样的谓词称为“特性谓词”或“限定谓词”。

特性谓词的作用是将个体变元局限在满足该谓词代表的性质范围内。

如果采用全总个体域，则一定需要这种特性谓词。

一般地，谓词逻辑中的简单命题具有如下形式：(a) 所有A 都是B ； (b) 存在A 是B 。

首先，用B (x )表示“x 是B ”，刻画出个体词x 的性质。

但由于个体域为全总个体域，还需要引入特性谓词A (x )表示“x 是A ”，以限定个体变元x 的取值范围。

于是，命题符号化为：(a) (()())x A x B x ∀→； (b) (()())x A x B x ∃∧。

例如，对于命题“所有有理数都是实数”，应按如下方式进行符号化：(1) 引入描述个体词性质的中心谓词R (x )表示：x 是实数。

(2) 引入特性谓词Q (x )表示：x 是有理数。

则命题表示为：(()())x Q x R x ∀→一旦论域局限于特定的范围，特性谓词便不再出现。

例如，假定论域D 为有理数集合，则命题可表示为：()xR x ∀因为此时所有的个体变元x 都是有理数。

例2-4 用谓词逻辑符号化下述命题：(1) 并非每个实数都是有理数。

(2) 没有不犯错误的人。

(3) 尽管有人聪明，但未必所有人都聪明。

(4) 所有人都长着黑头发。

(5) 在美国留学的学生未必都是亚洲人。

(6) 骑白马的并不都是王子。

(7) 所有人都不一样高。

(8) 没有一个自然数大于或等于所有自然数。

(9) 函数连续并不一定可导。

解 (1) 记R (x )：x 是实数，Q (x )：x 是有理数。

符号化为：(()())┐∀→x R x Q x(2) 记M (x )：x 是人，E (x )：x 犯错误。

符号化为：(()())┐┐∃∧x M x E x(3) 记M (x )：x 是人，C (x )：x 聪明。

符号化为：(()())(()())┐∃∧∧∀→x M x C x x M x C x(4) 记M (x )：x 是人，B (x )：x 长着黑头发。

符号化为：(()())∀→x M x B x(5) 记S (x )：x 是学生，A (x )：x 是在美国留学的，G (x )：x 是亚洲人。

符号化为：((()())())┐∀∧→x A x S x G x(6) 记M (x )：x 是骑白马的人，P (x )：x 是王子。

符号化为：(()())┐∀→x M x P x(7) 记M (x )：x 是人，E (x , y )：x 与y 相同，T (x , y )：x 与y 一样高。

符号化为：((()()(,))(,))x y M x M y E x y T x y ∀∀∧∧→┐┐含义是“对于任意的两个不同的人，他们都不一样高”。

(8) 记N (x )：x 是自然数，G (x , y )：x ≥y 。

符号化为：(()(()(,)))x N x y N y G x y ∃∧∀→┐例2-5* 用谓词逻辑符号化下列命题：(1) 兔子比乌龟跑得快。

(2) 有的兔子比所有的乌龟跑得快。

(3) 并不是所有的兔子都比乌龟跑得快。

(4) 不存在跑得同样快的两只兔子。

解 记特性谓词R (x )：x 是兔子，G (y )：y 是乌龟，刻画关系的中心谓词F (x , y )：x 比y 跑得快，E (x ,y )：x 与y 跑得一样快。

上述命题可理解并表示为：(1) 所有的兔子比所有的乌龟跑得快。

((()())(,))x y R x G y F x y ∀∀∧→(2) 存在一些兔子，它比所有的乌龟跑得快。

(()(()(,)))x R x y G y F x y ∃∧∀→(3) 并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快。

((()())(,))x y R x G y F x y ∀∀∧→┐(4) (()()(,))x y R x R y E x y ∃∃∧∧┐。

例2-6* 用谓词逻辑符号化下列命题：(1) 不管白猫黑猫，抓住老鼠就是好猫。

(2) 有唯一的偶素数。

(3) 数学分析中极限lim ()x af x b →=的定义：任给小的正数ε，都存在一个正数δ，使得当0<|x -a |<δ时，有|f (x )-b |<ε。

(4) 对于每两个点有且仅有一条直线通过该两点。

解 (1) 在不使用二元谓词时可以这样符号化：记C (x )：x 是抓老鼠的猫，W (x )：x 是白的，B (x )：x 是黑的，OK (x )：x 是好的。

命题可表示为：((()(()()))())x C x W x B x OK x ∀∧∨→以下是使用二元谓词的符号化：记C (x )：x 是猫，W (x )：x 是白的，B (x )：x 是黑的，M (y )：y 是老鼠，G (x , y )：x 抓住y ，OK (x )：x 是好的。

命题可表示为：((()(()())()(,))())x y C x W x B x M y G x y OK x ∀∀∧∨∧∧→(2) 记E (x )：x 是偶数，P (x )：x 是素数，Q (x , y )：x y =。

命题可表示为：((()())((()())(,)))x E x P x y E y P y Q x y ∃∧∧∀∧→[辨析] 量词∃仅表示“有”，“有且仅有一个”可理解为“其他满足相同条件的个体词都与当前个体词相等”或“不存在其他满足相同条件但与当前个体词不相等的个体词”。

例如，(2)可以理解为：存在偶素数，且所有偶素数都与此偶素数相等。

(3) 命题最后的结论是()f x b ε-<，前面的叙述都是条件。

可符号化为：(0(0(0|||()|)))εεδδδε∀>→∃>∧∀<-<→-<x x a f x b也可以将其中的量词作用到公式之前：(0(0(0|||()|)))εδεδδε∀∃∀>→>∧<-<→-<x x a f x b(4) 记P (x )：x 是点，L (y )：y 是直线，T (z ,x ,y )：z 通过x 和y ，Q (x ,y )：x 和y 相同。

可符号化为：(((()()(,))((()(,,))((()(,,))(,)))┐∀∀∧∧→∃∧∧∀∧→x y P x P y Q x y z L z T z x y w L w T w x y Q z w 对此命题的理解是：对于任意两个不同的点，有一条直线通过，且所有通过这两点的直线都与此直线相同。

[延伸] 存在且唯一一般利用“∃”和“=”来刻画，但也可以引入一个特殊的量词!∃来表示存在且唯一。

另外，谓词逻辑在人工智能的知识表示中具有非常重要的应用[17]。