概率2边缘分布
概率论与数理统计教学课件-3-2边缘分布
边缘分布与联合分布的关系
联合分布
描述多个随机变量同时发生的概率分 布。
关系
对于离散型随机变量，边缘分布可以 通过求和联合分布中相应事件的概率 得到；对于连续型随机变量，边缘分 布可以通过积分联合分布得到。
边缘分布的几何意义
几何解释
在概率空间中，边缘分布描述了一个随机变量在固定其他随机变量取值时的概 率分布情况。
边缘分布的数学表达式为 $f(x) = frac{1}{b-a}$，其中 $a$ 和 $b$ 是给定的范围。
对于均匀分布，其概率密度函 数为 $f(x) = frac{1}{b-a}$，其 中 $a$ 和 $b$ 是随机变量 $X$ 的取值范围。这个表达式表示 在给定范围内，随机变量 $X$ 的取值是均匀分布的。
3
边缘分布的计算
对于超几何分布，其边缘分布就是抽取某一特定 类型的样本的概率。
04
边缘分布的应用场景
统计分析
描述性统计
在统计分析中，边缘分布用于描 述数据的基本特征，如均值、中 位数、众数等。这些统计量可以 帮助我们了解数据的集中趋势和 离散程度。
异常值检测
通过比较数据点与边缘分布的统 计量，可以检测出异常值，这些 值可能对数据分析产生重大影响。
在概率论与数理统计中，边缘分布在处理多维随机变量问 题时具有重要作用，可以帮助我们简化问题，提取所需的 信息。
下节预告
条件分布的概念
在概率论与数理统计中，条件分布是指在某个随机变量取值的条件下，其他随机变量的 概率分布。
条件分布的性质
条件分布具有依赖性，即条件分布的取值受其他随机变量的影响；同时，条件分布的取 值范围和概率密度函数形式与联合概率分布有关。
数据可视化
边缘分布可以用于绘制直方图、 箱线图等，帮助我们直观地了解 数据分布情况。
第二节 边缘分布
y
dy
0 0
cxe
y
x
dx
c 2
0
y e
2
y
dy
c 2
xe y f x， y 0
0 x y 其它
2 c
所以，
⑵．当 x 0 时，
f X x
c 1
f x ， y dy
x>0,y>0 其它
求边缘分布函数 解： FX(x)= F(x, +∞)
1 e x 0,
x>0, 其它
FY(y)＝
1 e y F(+∞,y) 0,
y>0 其它
2、边缘概率密度
对连续型 r.v ( X,Y )， X和Y的联合概率密度为 f ( x, y ) 则( X,Y )关于X的边缘概率密度为
3 2 2y y
2
0
x
24 5
0 y 1
),
2
注意取值范围
即
12 2 x ( 2 x ), f X (x) 5 0,
0 y ), fY ( y ) 5 2 2 0,
0 y 1 其它
X
y1 p 11
p 21
p i1
y2 p 12
p 22
pi2
„ „ „
yj p1 j
p2 j
„
x)
i
x1
x2
xi
„ p „ p
1j
2 j
„
p ij
„p
ij
边缘分布律怎么求
边缘分布律怎么求在概率论与数理统计中，边缘分布律（marginal distribution）是指在多维随机变量中，将其中几个变量固定，得到的某一个变量的概率分布。
对于一个具有两个或多个随机变量的概率分布，我们通常关注某一个或几个变量的概率分布情况。
而边缘分布律可以帮助我们实现这一点。
边缘分布律的求解方法取决于问题的具体情况。
下面我们将介绍两种常见的方法：离散型变量和连续型变量的求解方法。
1. 离散型变量的边缘分布律的求解方法：假设有两个离散型随机变量X和Y，它们的联合概率分布律为P(X=x, Y=y)。
要求X的边缘分布律，我们需要将Y变量固定，然后对所有可能取值求和，即：P(X=x) = Σ P(X=x, Y=y)其中Σ 表示对Y的所有可能取值求和。
2. 连续型变量的边缘分布律的求解方法：假设有两个连续型随机变量X和Y，它们的联合概率密度函数为f(x, y)。
要求X的边缘分布律，我们需要将Y变量固定，然后对X进行积分，即：fX(x) = ∫ f(x, y) dy其中∫ 表示对Y的所有取值进行积分。
需要注意的是，在求解边缘分布律时，我们需要考虑变量的范围。
如果X和Y的范围是有限的，那么在将变量固定时，需要限定积分或求和的范围。
此外，边缘分布律还可以通过累积分布函数（CDF）求得。
对于离散型变量，边缘分布律可以通过对联合分布函数求偏导得到。
对于连续型变量，边缘分布律可以通过对联合概率密度函数求偏导得到。
总之，边缘分布律是概率论与数理统计中的一个重要概念，可以帮助我们研究多维随机变量的概率分布。
根据变量的类型（离散型或连续型），我们可以选择不同的方法来求解边缘分布律。
无论是离散型还是连续型变量，求解边缘分布律都需要将其他变量固定，然后对概率分布进行求和或积分。
掌握求解边缘分布律的方法，对于我们研究随机变量的概率分布具有重要的意义。
第二节边缘分布
当-1<x<1时
1 x 2
f X ( x) f ( x, y)dy
1
1 x 2
dy
x 1 其他
2 1 x2
2 1 x2 f X ( x) 0
当 1 y 1时 同理 fY ( y )
1 y 2
2
1
1 y
即为 F(x，y)=Fx(x)FY(y) 反之，若X与Y满足F(x，y)=Fx(x)FY(y) ，则有 P{x1<X≤x2，y1<Y≤y2} =F(x2, y2)- F(x1, y2)-F(x2, y1)+ F(x1, y1)
= Fx(x2)FY(y2)- Fx(x1)FY(y2)- Fx(x2)FY(y1)+Fx(x1)FY(y1)
若x与y相互独立则在fxydfdx一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时设他们两人到达的时间相互独立求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟112小时的概率
第二节 边缘分布
引言
边缘分布
随机变量独立性
一、边缘分布的定义
1．边缘分布 设(X,Y)为二维随机向量其分布函数为F(x,y)，X和Y的分 布函数分别记为Fx(x)和FY(y), 依次称Fx(x),FY(y)为(X,Y) 关于X和关于Y的边缘分布函数. 2.公式. 由于Fx(x)=P({X≤x}∩{Y<+∞})=P{X≤x,Y<+∞} =F(x,+∞) 同理有 FY(y)=F(+∞, y).
p
i xi x , y j y
p
p j
xi x
概率论-2-6边缘分布
PY
yj
PX
xi ,Y
yj
pij,
j 1,2,
i 1
i 1
即 离散型随机变量( X,Y )的边缘分布律 定义1 设(X,Y) 的联合分布律为
P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1, 2,
则(X,Y)关于X的边缘分布律为
P{ Xxຫໍສະໝຸດ }P{X xi ,
y }
pij pi i 1, 2,3,
§2.6 边缘分布
二维联合分布全面地反映了二维随机变量
(X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y 也具有自己的概率分布. 那么要问:二者之间有 什么关系呢?
这一节里,我们就来探求这个问题 .
一、离散型随机变量( X,Y )的边缘分布律
设(X,Y) 的分布律 及边缘分布律 为
XY x1 x2 … xi …
3 0
2 x
24 13
xdy,
1x3
2
2
0,
其他
即
24 13
x,
0 x1 2
fX (x)
24 13
x(3 2
x),
1x3
2
2
0,
其他
解
fY ( y) f ( x, y)dx
03
2
y
24 13
xdx
12 (3 13 2
y)2,
0 y1
0,
其他
正确答案：D
正确答案：C
注意 由（X,Y）的联合分布律就能确定（X,Y） 关于X，关于Y的边缘分布律；同样，由（X,Y）的 联合概率密度就能确定（X,Y）关于X，关于Y的边 缘密度。由此可见，边缘分布由联合分布唯一确定， 反之不成立。即一般来说，单由X，Y各自的分布 是不能确定（X,Y）的联合分布的.
2边缘分布和独立性
f
(x,
y)
kxy
0
0 x 1,1 y 3 其它
3
求k值和两个边缘分布密度函数
解 由
dx f (x, y)dy 1
1 1
3
1
得 k 1 ydy 0 xdx 2k 1
k1 2
关于X的边缘分布密度为
fX (x)
f ( x, y)dy
Y
X
y1 y2 y3 …
x1 p11 p12 p13 … x2 p21 p22 p23 … x3 p31 p32 p33 … ……………
二维离散型R.v.的边缘分布
Y
X
y1
y2
y3
…
Pi.
x1
p11
p12
p13
…
P1.
x2
p21
p22
p23
…
P2.
x3
p31
p32
p33
…
P3.
…………… …
p.j p.1 p.2 p.3 …
同理
1
f
y
(
y)
c
d
0
c xy d otherwise
所以 f (x, y) fX (x) fY ( y) 即 X 与 Y 独立。
习题三 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12,15, 16
如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布
N
1
,
2
,12
,
2 2
,
则两个边缘分布分别服从正态分布
X ~ N 1,12
边缘分布律
边缘分布律摘要：边缘分布律是概率论和统计学中的一个重要概念，用于描述多维随机变量中各个维度的分布情况。
本文将介绍边缘分布律的定义、性质以及应用，并举例说明其在实际问题中的应用。
1. 引言在概率论和统计学中，边缘分布律是研究多维随机变量的重要工具。
多维随机变量是指具有两个或更多维度的随机变量。
通过研究各个维度上的分布情况，我们可以更好地理解随机变量之间的关系以及它们对整体随机过程的影响。
2. 边缘分布律的定义设有一个二维随机变量(X,Y)，其边缘分布函数分别为F(x)和G(y)。
那么X的边缘分布律可以定义为P(X=x)，表示随机变量X等于x的概率。
类似地，Y的边缘分布律可以定义为P(Y=y)。
边缘分布律可以通过边缘分布函数来推导得到。
3. 边缘分布律的性质边缘分布律具有以下性质：(1) 非负性：边缘分布律是非负的，即P(X=x)和P(Y=y)大于等于零。
(2) 归一性：边缘分布律的和等于1，即∑P(X=x)=1和∑P(Y=y)=1。
(3) 独立性：如果X和Y是相互独立的，那么X的边缘分布律和Y的边缘分布律也是相互独立的。
这些性质使得边缘分布律成为研究多维随机变量的重要工具，可以用于计算随机变量的期望、方差等统计量。
4. 边缘分布律的应用边缘分布律在实际问题中有广泛的应用。
在金融领域中，我们经常需要分析多个金融指标之间的关系，如股票价格与利率之间的关系。
通过计算这些指标的边缘分布律，可以更好地理解它们各自的走势以及它们之间的相关性。
另一个应用领域是医学研究。
我们经常需要研究多种因素对人体健康的影响，如饮食习惯、运动量和遗传因素等。
通过分析这些因素的边缘分布律，可以更好地理解它们对健康状况的影响程度，从而为制定健康政策和预防措施提供科学依据。
此外，边缘分布律还可以应用于气候模拟、经济预测等领域。
通过分析多个变量的边缘分布律，可以为决策者提供更准确的信息，从而做出更合理的决策。
5. 示例应用为了更好地理解边缘分布律的应用，我们举一个简单的例子。
§2、边缘分布
F (, y ) FY ( y ),
分别是随机变量(X,Y)中变量X 与Y 的边缘分布函数． 并且由分布函数性质可知， F ( , ) 0,
F ( , ) 0.
下面分别讨论离散型与连续型二维随机变量(X,Y) 的边缘分布公式．
3
下面分别讨论离散型与连续型二维随机变量(X,Y) 的边缘分布公式． 1、设离散型二维随机变量(X,Y)的分布律为
公式
f X ( x) fY ( y)
f ( x, y)dy
— (X,Y)关于X的 边缘概率密度 — (X,Y)关于Y的 边缘概率密度
f ( x, y)dx
由联合概率密度可求得各个边缘概率密度：对某 一个变量在(-∞,+∞)上积分，另一个变量作为所对 应随机变量密度函数自变量取值于全体实数范围.
FX ( x ) F ( x,) f ( x , y )dy dx, 两边求导数，即得X的边缘概率密度为
x
f X ( x)
f ( x, y)dy;
同理，可得关于Y的边缘概率密度为
fY ( y )
6
f ( x, y)dx.
联合分布
边缘分布
下面就来讨论边缘分布的问题．
1
二、边缘分布的公式 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x, y)已知， 则随机变量X的边缘分布函数为
FX ( x ) P{ X x} P{ X x, Y } F ( x ,);
类似地，Y的边缘分布函数为
FY ( y) F (, y).
于是，有
f X ( x)
联合分布、边缘分布及条件分布之间的关系
联合分布、边缘分布及条件分布之间的关系1 联合分布联合分布是指两个或多个随机变量同时出现时的概率分布，通过联合概率密度函数或联合概率质量函数来描述。
它描述了两个或多个随机变量的变化趋势和相关性。
联合分布通常被用于描述两种或以上的变量之间的关系，例如X和Y的关系。
2 边缘分布边缘分布是指从联合分布中推导出来的某个随机变量的概率分布，可以通过联合分布来求出。
边缘分布描述了单个随机变量的变化趋势，与其他随机变量无关。
在具体计算过程中，可以通过边缘概率密度函数或边缘概率质量函数来描述单个随机变量的分布。
例如，在二元联合分布中，计算出X 的边缘分布，将另一个随机变量的取值范围积分掉即可。
3 条件分布条件分布是指当已知某一个或几个随机变量的取值时，另一个或其他随机变量的概率分布，是建立在已有的数据基础上的一种条件概率分布。
其计算方式为联合分布除以相关随机变量的边缘分布。
条件分布也可以用条件概率密度函数或条件概率质量函数来表示。
条件分布在实际应用中非常广泛，例如计算出当已知某一变量取值时其他变量发生的概率，可以用于决策分析、风险识别等。
4 联合分布、边缘分布及条件分布之间的关系联合分布、边缘分布和条件分布是统计学中非常重要的概念，在实际应用中它们常常紧密结合在一起。
它们之间的关系可以总结为以下几个方面：1. 联合分布是由边缘分布和条件分布相结合得到的。
2. 边缘分布是从联合分布中推导出来的，而条件分布则是从边缘分布中推导出来的。
3. 联合分布、边缘分布和条件分布是三种不同的描述方式，但它们所描述的概率分布是一致的。
4. 在具体计算中，可以通过联合分布转换成边缘分布和条件分布进行计算。
可以根据需要，选择不同的概率分布进行计算和分析。
总之，联合分布、边缘分布和条件分布是三种不同的概率分布描述方式，在统计学中具有非常广泛的应用，对于数据的分析和建模具有非常重要的意义。
概率论-2-2多维随机变量及其分布(2),边缘分布-PPT课件
由于
( y μ ) ( x μ )( 2 2 2 y μ x μ ( x μ ) 2 2 1 1 ρ ρ , 2 σ σ σ 2 1 1
pij P {Y y j },
i 1
分别称 p i ( i 1, 2 , ) 和 p j ( j 1, 2 , ) 为 ( X , Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律 .
Y y 1 y 2 y j
X
x x 1 x 2 i
p p 11 p 21 i 1
x
p( x, y)d y]d x,
p( x, y)d y,
称其为随机变量 ( X, Y ) 关于X 的边缘概率密度 .
同理可得 Y 的边缘分布函数
F ( y ) F ( , y ) [ p ( x , y ) d x ] d y , Y
y
p ( y ) ( x ,y ) d x . Y p
Y 的边缘概率密度.
X 和Y 具有联合概率密度 例3 设随机变量 6, x2 y x, p(x, y) . 0, 其它 求边缘概率密度 pX (x), pY ( y).
解
p ( x ) ( x ,y ) d y X p
第二章
第二节 多维随机变量 及其分布(2)
一、边缘分布函数
二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘分布 四、内容小结
一、边缘分布函数
问题 : 已知 ( X , Y ) 的分布 , 如何确定 X , Y 的分 ?
F ( x ) P { X x }, F ( x , y ) P { X x , Y y } ,
《概率论》第3章§2边缘分布解析
(关X ,于Y ) 的 第三Y章 多边维缘随密机变度量(及函其数分)布
例 设随机变量 X 和Y 具有联合概率密度
6, x2 y x,
f (x, y) 0,
其他.
求边缘概率密度 fX ( x), fY ( y).
解
fX (x)
f (x, y)d y
y
(1,1)
当 0 x 1时,
y x
p11 p21 pi1
p12 p22 pi 2
p1 j
p2 j pij
P{ X xi } pij , i 1,2,; P{Y y j } pij , j 1,2,.
j 1
i 1
2020年11月24日星期二
§2 边缘分布
6/29
设 从r.v X 四1个, 2数,3,中4 等可能取值,又设
2020年11月24日星期二
例 设( X ,Y ) 的联合密度为
f
(x,
y)
kxy,
0,
0 x y,0 y 1, 其他
其中k 为常数. 求
(1)常数 k ;
(2) P ( X + Y 1) , P ( X < 0.5); (3) 联合分布函数 F (x,y); (4) 边缘密度与边缘分布函数
1
0.5
y
dy 1 y
8xydx
5
/
6.
y
1
y=x
yy 11
0.5 00
y y==x x xx
0
0.5
2020年11月24日星期二
P( X 0.5)
x
0.5
1
0 dxx8xydy 7 /16.
的分段区域 y
x0
概率论与数理统计(二维随机变量的边缘分布)
(2) n维随机变量的概率密度函数
若存在非负函数 f ( x1, x2 ,, xn ), 使对于任意 实数 x1, x2 ,, xn 有
F ( x1, x2,, xn )
xn
xn1
x1
f ( x1, x2,, xn ) d x1 d x2 d xn,
f ( x, y)dx 为(X，Y)关于Y的边缘
概率密度．
3.2.3 二维连续型随机变量的边缘概率密度
【例3.10】设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度
为
f
(
x,
y)
1, 0,
0 x 1,| y | x 其它
求边缘概率密如图:
x
6 d y,
x2
0d
y,
0 x1 其他
y (1,1)
y x
6( x x2 ), 0 x 1
0,
其他
O
y x2
x
由于
6( x x2 ),
fX (x)
0,
x
FX ( x) fX ( x)dx
x
0dx,
2 1
所以
fX (x)
f ( x, y)dy
1
e
(
x 1
2
2 1
)2
exp{
1
( y 2 x 1 )2}dy
2 1 2 1 2
2(1 2 ) 2
1
令t 1 ( y 2 x 1 )，则有
如何求边缘分布函数
如何求边缘分布函数一、边缘分布函数的定义在概率论和统计学中，边缘分布函数是指多维随机变量中某一个或多个变量的分布函数。
它描述了这些变量的单独分布情况，与其他变量无关。
二、边缘分布函数的计算方法1.已知联合分布密度函数如果我们已知多维随机变量的联合分布密度函数，要计算边缘分布函数只需将其他变量积分即可。
例如，对于二维随机变量(X, Y)，其联合分布密度函数为f(x,y)，其边缘分布函数为Fx(x)和Fy(y)。
对于Fx(x)，可以通过以下公式计算：Fx(x) = ∫f(x,y)dy对于Fy(y)，可以通过以下公式计算：Fy(y) = ∫f(x,y)dx2.已知联合分布函数如果我们已知多维随机变量的联合分布函数，要计算边缘分布函数只需将其他变量全部取值，然后取偏导数即可。
例如，对于二维随机变量(X, Y)，其联合分布函数为F(x,y)，其边缘分布函数为F(x)和F(y)。
对于F(x)，可以通过以下公式计算：F(x) = ∂F(x,y)/∂x | y固定对于F(y)，可以通过以下公式计算：F(y) = ∂F(x,y)/∂y | x固定三、求边缘分布函数的示例以一个实际的例子来说明如何计算边缘分布函数。
设有两个随机变量X和Y，其联合概率密度函数为：f(x,y) = 2xy, 0 < x < 1, 0 < y < 1首先我们可以通过积分来计算边缘分布函数。
对于F(x)，我们需要计算：Fx(x) = ∫f(x,y)dy将f(x,y)代入上式得：Fx(x) = ∫(2xy)dy对y积分得：Fx(x) = xy^2 |从0到1化简得：Fx(x) = x同样地，我们还需要计算F(y)。
对于F(y)，我们需要计算：Fy(y) = ∫f(x,y)dx将f(x,y)代入上式得：Fy(y) = ∫(2xy)dx对x积分得：Fy(y) = x^2y |从0到1化简得：Fy(y) = y因此，这个例子中的边缘分布函数为Fx(x) = x，Fy(y) = y。
概率论-二元分布和边缘分布独立
dy
2
令 y- x 2 1-
则有
f exp( x )
(x)
2
X
2
-
exp
2
2
dv
同理可得：
f (y) Y
1
exp
2
x
(- x )
2 2
1
2
exp -
2
y
2
(- y )
例2. 设(X,Y)的分布密度是
6e(3x2y) , x 0, y 0
f (x, y)
例1：设随机变量( X ,Y )的分布函数为
F (x,
y)
sin
x sin
y
0
0x π ,0 y π
2
2
其它
求（X，Y）落入矩形域 0 x π , π y π 的概率
46
3
Y
解：P{0 x π , π y π }
3
46
3
6
F( π , π ) F( π , π ) F(0, π ) F(0, π )
<3> 对于固定的y,当 x1 x2 时 有 F(x1,y) F(x2,y)
对于固定的x,当 y1 y2 时 有 F(x,y1) F(x,y2 )
<4>
F (x 0, y) F (x, y)
F (x, y 0) F (x, y)
例2：设二维随机变量（X,Y）的分布
函数为 Fx, y A B arctg x C arctg y
e (xy ) 0
x 0,y0 其他
(2)
yx
F(x, y)
f (u, v)dudv
当 x 0, y 0 时