流体力学气体的一维定常流动
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工程流体力学
第六章 气体的一维定常流动
第一节 气体一维流动的基本概念
气体的状态方程
T 热力学温度 E 流体的内能 S 熵
p p(V , T )
E E (V , T )
S S (V , T )
比定容热容和比定压热容 cV 比定容热容 两者的关系 c p cV c p 比定压热容 p V 等温过程 p V 热力学过程
RT
第四节 气流的三种状态和速度系数
滞止状态 ： 气流速度等熵地滞止到零这时的参数称为滞止参数
气体Hale Waihona Puke Baidu维定常绝能流的制止焓是个常数 得
cp
2
R 1
v2 Ma 2 c
c 2 RT
v2 T T0 2c p
2 T0 c0 -1 2 1 Ma 2 T c 2
p 2 8 48 2 - 1 Ma 2 1 Ma 2 Ma 4 2 24 4
或者
p0 p
1 2 v p 2
24
压缩性因子 p 1 1 Ma 2 2 - Ma 4
4
极限状态 气流膨胀到完全真空所能达到的最大速度 极限速度
能量方程的另一种形式
第一节 气体一维流动的基本概念
由连续方程 略去二阶微量 由动量方程
1 d c dvA 1cA 0
cd 1dv
(1)
1cdv dp
1cAc dv c p1 p1 dpA
d c dp s
dp d dT p T
对完全气体状态方程取对数后微分
第五节 气流参数和通道截面之间的关系
dA dv Ma 2 1 A v
联立得
dp 1－M a2 dA p M a2 A
Ma 1
Ma 1
d dv Ma 2 v
dT dv 1Ma 2 T v
c 20.05 T
空气中的声速
声速的大小与流动介质的压缩性大小有关,流体越容易压缩,其中的 声速越小,反之就越大
马赫数 流体流动速度和当地声速的比值 对于完全气体
v2 Ma RT
2
Ma v c
Ma＜1
亚声速流 声速流 超声速流
马赫数通常还用来划分气体的流动状态
Ma=1
Ma＞1
第二节 微小扰动在空气中的传播
(2)
由（1）、（2）得 流体的体积模量
K
声速公式
c＝ K
Vdp dp dV d
代入声速公式得
d 1 dp p RT
由等熵过程关系式以及状态方程可得
代入声速公式得
c
p
RT
第一节 气体一维流动的基本概念
空气
1.4
R 287.1 J kg K
1 2 -1
p0 0
根据环境压强的变化对收缩喷管的工况作以下分析
(1) pamb p0 pcr p0 时，沿喷管各截面的气 流速度都是亚声速，在 出口处Ma1, p pamb ; 当pamb降低时，速度和流量都 增大，气体在喷管内得 以完全膨胀。
(2) pamb p0 pcr p0 时，喷管内为亚声速流 ，出口截面的气流达临 界状态，Ma 1, p pcr pamb , qm qm,max 1, 气体在喷管内仍可得到 完全膨胀。
vmax 2R T0 1
2 2 c0 c2 v 2 vmax 1 2 2 1
第四节 气流的三种状态和速度系数
临界状态 ：在某一点上气流速度等于当地声速的状态
临界速度
ccr 2 1 c0 vmax 1 1
2R T0 1
c
c0
Ma 1 Ma 1
解
Tcr 2 2 0.8333 T0 1 1.4 1
pcr Tcr p0 T0
1
0.8333
1.4 1.41
0.5283
根据以上两式可以算得
Tcr 248.32K
pcr 2.1132105 Pa
由于出口环境背压 pamb pcr ,喷管出口气流为临界状态,所以
(3) pamb p0 pcr p0 时，整个喷管的气体流 动为超声速，在出口截 面上Ma 1, p pcr pamb , qm qm,max 1。由于出口的气流压强 高于环境背压，气体在 喷管内没有完全膨胀， 气体流出 喷管后将继续膨胀，故 称膨胀不足。此时，虽 然背压小于临界压强， 由于微弱扰动波不能 逆流上传，流量不再随 着背压降低而增大，称 这种现象为壅塞现象。
A 1 2 1 2 Ma Acr Ma 1 1
2 1 1 2
绝热过程 等熵过程
dQ 0
p
常数
或者
pv 常数
第一节 气体一维流动的基本概念
声速和马赫数 声速是微弱扰动波在弹性介质中的传播速度
p2
2
T2
c dv
c
p1
1
T1
活塞以微小的速度dv向右运动,产生 一道微弱压缩波,流动是非定常的
选用与微弱扰动波一起运动的相对坐标系作 为参考坐标系,流动转化成定常的了
如果在空间的某一点设置一个扰动源,周围无任何限制,则扰动源 发出的扰动波将以球面压强波的形式向四面八方传播,其传播速 度为声速.分四种情况讨论 (a)气体静止不动 (b)气流亚声速流动 (c)气流以声速流动
A
马赫锥
v0
vc
2 c 3c 4c
2c
3c
4c
o
(a )
o
(b)
2
4
A
马赫锥
(d)气流超声速流动 马赫角
质量流量
p1 qm A v A 0 p v 0
2 1 2 p 2 p 0 p 2 p 0 p A 1 RT 1 0 p 0 0 0 2 1 p p p p 0 0
pcr 2.1132105 cr 2.8653kg m3 RTcr 297 248.32
vcr RTcr 1.4 297 248.32 321.33m s
qm cr vcr
d 2
4
2.8653 321.33
0.052
4
1.8076kg s
总静参数比用速度系数表示
T c2 -1 2 2 1M T0 c0 1
p -1 2 1 M p0 1
1
-1 2 1 M 0 1
1
1
第五节 气流参数和通道截面之间的关系
第六节 喷管流动的计算和分析
1.4，R 297 J kg K 的滞止参数p0 4 105 Pa， 例6 1封闭容器中的氮气
T0 298K。气体经过安装于容器 壁面上的收缩喷管流出 ，已知喷管出口直径 d 50m m，出口环境背压 pamb 105 Pa，试求喷管的质量流量 。
p0 - 1 1 Ma 2 p 2
1
据等熵关系式
0 - 1 2 -1 1 Ma 2
1
总静参数比
第四节 气流的三种状态和速度系数
考虑气体的压缩性与否及会带来多大误差 p0 2 - Ma 6 1 1 Ma 2 Ma 4
c 1 sin v Ma 1 sin -1 Ma
v c
o
(c)
B
2 3 4
2c
3c
v c
o
(d)
2
3c 4c
3
4
B
结论:超声速气流中的微弱扰动波不能逆流向上游传播
第三节 气体一维定常流动的基本方程
连续性方程 能量方程 由热力学
h c pT
对一维定常流的连续性方程 式取对数后微分得
-1
第四节 气流的三种状态和速度系数
速度系数 气流速度与临界声速的比值
当v=vmax时 M max vmax 1
ccr
M v ccr
-1
M*与Ma的关系
2M 2 Ma 1 1M 2
2
M
2
1Ma 2 2 - 1Ma 2
d
dv dA 0 v A
cp p cp p p R c p cV 1
代入
得
v2 h h0 2
声速公式
p v2 h0 -1 2
c p
c2 v2 h0 -1 2
v2 RT h0 -1 2
完全气体状态方程
第六节 喷管流动的计算和分析
缩放喷管
流量
2 qm,cr At 1
1 2 -1
p0 0
整理成
1 2 -1
由连续方程求得
1
A A cr ccr At Acr v
1 2
2 1 p A 2 1 1 p -1 p p Acr 1 0 0
Ma 1 At Acr
p、v
(1) Ma1时，气流作亚声速流动 。dv与dA正负号相反， dp与dA正负号相同。 由此可知：对于亚声速 变截面的流动，随着流 通截面积的增大，气流 速度 降低，压强增大；截面 积减小，则流速增大， 压强降低。
(2)Ma1时，气流作超声速流动 。dv与dA正负号相同， dp与dA正负号相反。 可见，对于超声速流， 随着截面积的增大，气 流速度增大，压强降低 ；截 面积减小，则气流速度 减小，压强增大。
v( x)
pcr
vcr
p( x)
x
(3) Ma 1时，气流跨声速流动。 dA 0, dv 0, dp 0。根据上式分析可知， 气流由超声速变为亚声 速时， 最小截面称为喉部。其 后随着截面积的增大， 气流作超声速流动。
管道必须先收缩，后扩 张，中间必然出现一个 最小截面。在这一截面 上流速度实现声速，达 到临界状态，
设无粘性的完全气体沿微元流管作定常流动,在该流管的微元距离dx上,气体 流速由v变为v+dv,压强由p变为p+dp,质量力可以不计,应用牛顿第二定律
vdv dp
同除以压强整理，并引入声速公式 对等熵过程关系式取对数后微分有
dp dv vdv Ma 2 p p v
dp d p
第六节 喷管流动的计算和分析
收缩喷管
列容器内虚线面上和喷管出口的能量方程
v2 p0 － 1 2 1 0 p
p0 T0 v0 =0 p T v
0
得
2 p 0 p 0 v 1 1 0 p 0
1 1 2 p0 p 2 p v 1 RT0 1 p0 1 0 p0 1
1
整理得
qm A 0
第六节 喷管流动的计算和分析
喷管出口气流达临界状态Ma=M*=1时
v vcr 2 p0 2R 2 T0 c0 ccr 1 0 1 1
1
此时
2 p p0 1
pcr
2 qmcr A 1
ccr
Ma 1
或者
ccr RTcr
0
v cr
v max
v
2 Tcr ccr 2 2 T0 c0 1
令Ma=1 则总静 参数比公式变成
pcr 2 p0 1
1
cr 2 0 1
1
第六章 气体的一维定常流动
第一节 气体一维流动的基本概念
气体的状态方程
T 热力学温度 E 流体的内能 S 熵
p p(V , T )
E E (V , T )
S S (V , T )
比定容热容和比定压热容 cV 比定容热容 两者的关系 c p cV c p 比定压热容 p V 等温过程 p V 热力学过程
RT
第四节 气流的三种状态和速度系数
滞止状态 ： 气流速度等熵地滞止到零这时的参数称为滞止参数
气体Hale Waihona Puke Baidu维定常绝能流的制止焓是个常数 得
cp
2
R 1
v2 Ma 2 c
c 2 RT
v2 T T0 2c p
2 T0 c0 -1 2 1 Ma 2 T c 2
p 2 8 48 2 - 1 Ma 2 1 Ma 2 Ma 4 2 24 4
或者
p0 p
1 2 v p 2
24
压缩性因子 p 1 1 Ma 2 2 - Ma 4
4
极限状态 气流膨胀到完全真空所能达到的最大速度 极限速度
能量方程的另一种形式
第一节 气体一维流动的基本概念
由连续方程 略去二阶微量 由动量方程
1 d c dvA 1cA 0
cd 1dv
(1)
1cdv dp
1cAc dv c p1 p1 dpA
d c dp s
dp d dT p T
对完全气体状态方程取对数后微分
第五节 气流参数和通道截面之间的关系
dA dv Ma 2 1 A v
联立得
dp 1－M a2 dA p M a2 A
Ma 1
Ma 1
d dv Ma 2 v
dT dv 1Ma 2 T v
c 20.05 T
空气中的声速
声速的大小与流动介质的压缩性大小有关,流体越容易压缩,其中的 声速越小,反之就越大
马赫数 流体流动速度和当地声速的比值 对于完全气体
v2 Ma RT
2
Ma v c
Ma＜1
亚声速流 声速流 超声速流
马赫数通常还用来划分气体的流动状态
Ma=1
Ma＞1
第二节 微小扰动在空气中的传播
(2)
由（1）、（2）得 流体的体积模量
K
声速公式
c＝ K
Vdp dp dV d
代入声速公式得
d 1 dp p RT
由等熵过程关系式以及状态方程可得
代入声速公式得
c
p
RT
第一节 气体一维流动的基本概念
空气
1.4
R 287.1 J kg K
1 2 -1
p0 0
根据环境压强的变化对收缩喷管的工况作以下分析
(1) pamb p0 pcr p0 时，沿喷管各截面的气 流速度都是亚声速，在 出口处Ma1, p pamb ; 当pamb降低时，速度和流量都 增大，气体在喷管内得 以完全膨胀。
(2) pamb p0 pcr p0 时，喷管内为亚声速流 ，出口截面的气流达临 界状态，Ma 1, p pcr pamb , qm qm,max 1, 气体在喷管内仍可得到 完全膨胀。
vmax 2R T0 1
2 2 c0 c2 v 2 vmax 1 2 2 1
第四节 气流的三种状态和速度系数
临界状态 ：在某一点上气流速度等于当地声速的状态
临界速度
ccr 2 1 c0 vmax 1 1
2R T0 1
c
c0
Ma 1 Ma 1
解
Tcr 2 2 0.8333 T0 1 1.4 1
pcr Tcr p0 T0
1
0.8333
1.4 1.41
0.5283
根据以上两式可以算得
Tcr 248.32K
pcr 2.1132105 Pa
由于出口环境背压 pamb pcr ,喷管出口气流为临界状态,所以
(3) pamb p0 pcr p0 时，整个喷管的气体流 动为超声速，在出口截 面上Ma 1, p pcr pamb , qm qm,max 1。由于出口的气流压强 高于环境背压，气体在 喷管内没有完全膨胀， 气体流出 喷管后将继续膨胀，故 称膨胀不足。此时，虽 然背压小于临界压强， 由于微弱扰动波不能 逆流上传，流量不再随 着背压降低而增大，称 这种现象为壅塞现象。
A 1 2 1 2 Ma Acr Ma 1 1
2 1 1 2
绝热过程 等熵过程
dQ 0
p
常数
或者
pv 常数
第一节 气体一维流动的基本概念
声速和马赫数 声速是微弱扰动波在弹性介质中的传播速度
p2
2
T2
c dv
c
p1
1
T1
活塞以微小的速度dv向右运动,产生 一道微弱压缩波,流动是非定常的
选用与微弱扰动波一起运动的相对坐标系作 为参考坐标系,流动转化成定常的了
如果在空间的某一点设置一个扰动源,周围无任何限制,则扰动源 发出的扰动波将以球面压强波的形式向四面八方传播,其传播速 度为声速.分四种情况讨论 (a)气体静止不动 (b)气流亚声速流动 (c)气流以声速流动
A
马赫锥
v0
vc
2 c 3c 4c
2c
3c
4c
o
(a )
o
(b)
2
4
A
马赫锥
(d)气流超声速流动 马赫角
质量流量
p1 qm A v A 0 p v 0
2 1 2 p 2 p 0 p 2 p 0 p A 1 RT 1 0 p 0 0 0 2 1 p p p p 0 0
pcr 2.1132105 cr 2.8653kg m3 RTcr 297 248.32
vcr RTcr 1.4 297 248.32 321.33m s
qm cr vcr
d 2
4
2.8653 321.33
0.052
4
1.8076kg s
总静参数比用速度系数表示
T c2 -1 2 2 1M T0 c0 1
p -1 2 1 M p0 1
1
-1 2 1 M 0 1
1
1
第五节 气流参数和通道截面之间的关系
第六节 喷管流动的计算和分析
1.4，R 297 J kg K 的滞止参数p0 4 105 Pa， 例6 1封闭容器中的氮气
T0 298K。气体经过安装于容器 壁面上的收缩喷管流出 ，已知喷管出口直径 d 50m m，出口环境背压 pamb 105 Pa，试求喷管的质量流量 。
p0 - 1 1 Ma 2 p 2
1
据等熵关系式
0 - 1 2 -1 1 Ma 2
1
总静参数比
第四节 气流的三种状态和速度系数
考虑气体的压缩性与否及会带来多大误差 p0 2 - Ma 6 1 1 Ma 2 Ma 4
c 1 sin v Ma 1 sin -1 Ma
v c
o
(c)
B
2 3 4
2c
3c
v c
o
(d)
2
3c 4c
3
4
B
结论:超声速气流中的微弱扰动波不能逆流向上游传播
第三节 气体一维定常流动的基本方程
连续性方程 能量方程 由热力学
h c pT
对一维定常流的连续性方程 式取对数后微分得
-1
第四节 气流的三种状态和速度系数
速度系数 气流速度与临界声速的比值
当v=vmax时 M max vmax 1
ccr
M v ccr
-1
M*与Ma的关系
2M 2 Ma 1 1M 2
2
M
2
1Ma 2 2 - 1Ma 2
d
dv dA 0 v A
cp p cp p p R c p cV 1
代入
得
v2 h h0 2
声速公式
p v2 h0 -1 2
c p
c2 v2 h0 -1 2
v2 RT h0 -1 2
完全气体状态方程
第六节 喷管流动的计算和分析
缩放喷管
流量
2 qm,cr At 1
1 2 -1
p0 0
整理成
1 2 -1
由连续方程求得
1
A A cr ccr At Acr v
1 2
2 1 p A 2 1 1 p -1 p p Acr 1 0 0
Ma 1 At Acr
p、v
(1) Ma1时，气流作亚声速流动 。dv与dA正负号相反， dp与dA正负号相同。 由此可知：对于亚声速 变截面的流动，随着流 通截面积的增大，气流 速度 降低，压强增大；截面 积减小，则流速增大， 压强降低。
(2)Ma1时，气流作超声速流动 。dv与dA正负号相同， dp与dA正负号相反。 可见，对于超声速流， 随着截面积的增大，气 流速度增大，压强降低 ；截 面积减小，则气流速度 减小，压强增大。
v( x)
pcr
vcr
p( x)
x
(3) Ma 1时，气流跨声速流动。 dA 0, dv 0, dp 0。根据上式分析可知， 气流由超声速变为亚声 速时， 最小截面称为喉部。其 后随着截面积的增大， 气流作超声速流动。
管道必须先收缩，后扩 张，中间必然出现一个 最小截面。在这一截面 上流速度实现声速，达 到临界状态，
设无粘性的完全气体沿微元流管作定常流动,在该流管的微元距离dx上,气体 流速由v变为v+dv,压强由p变为p+dp,质量力可以不计,应用牛顿第二定律
vdv dp
同除以压强整理，并引入声速公式 对等熵过程关系式取对数后微分有
dp dv vdv Ma 2 p p v
dp d p
第六节 喷管流动的计算和分析
收缩喷管
列容器内虚线面上和喷管出口的能量方程
v2 p0 － 1 2 1 0 p
p0 T0 v0 =0 p T v
0
得
2 p 0 p 0 v 1 1 0 p 0
1 1 2 p0 p 2 p v 1 RT0 1 p0 1 0 p0 1
1
整理得
qm A 0
第六节 喷管流动的计算和分析
喷管出口气流达临界状态Ma=M*=1时
v vcr 2 p0 2R 2 T0 c0 ccr 1 0 1 1
1
此时
2 p p0 1
pcr
2 qmcr A 1
ccr
Ma 1
或者
ccr RTcr
0
v cr
v max
v
2 Tcr ccr 2 2 T0 c0 1
令Ma=1 则总静 参数比公式变成
pcr 2 p0 1
1
cr 2 0 1
1