2017-2018学年北师大版必修25.2 平行关系的性质 课时作业(含答案)

课后导练

基础达标

1在以下四个命题中，真命题是（）

①在一个平面内有两点到另一个平面的距离相等都是d(d＞0)，则这两个平面平行

②在一个平面内有三点到另一个平面的距离都是d(d＞0)，则这两个平面平行

③在一个平面内有无数个点到另一个平面的距离都是d(d＞0)，则这两个平面平行

④一个平面内任意一点到另一个平面的距离都是d(d＞0)，则这两个平面平行

A.②③④

B.④

C.②③

D.②④

解析：命题①中的两点无论在另一个平面的同侧还是异侧，这两个平面均有可能相交.所以①是错误的；同理可知②③均错.只有④正确.

答案：B

2平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β的关系是（）

A．平行B．相交C．垂直D．不确定

解析：若三点在β的同侧，则α∥β,否则相交，

应选D.

答案：D

3设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面α、β．对于下面四种情况可能的情况有（）

①b∥α ②b⊥α ③a∥β ④α与β相交

A．1种B．2种C．3种D．4种

解析：对于②来说，若b⊥α,又∵a⊂α,

∴b⊥a与a，b不垂直矛盾，

∴②错.

答案：C

4已知平面α∥β，直线a∥α，点B∈β，则在β内过B的所有直线中（）

A.不一定存在与a平行的直线

B.只有两条与a平行的直线

C.存在无数条与a平行的直线

D.存在唯一的直线与a平行

解析：若a⊂β,且B∈a,此时，不存在.

若B∉a,此时存在唯一直线与a平行.

答案：A

5已知α∩β=c,a∥α,a∥β，则a与c的位置关系是_______________

解析：a∥α,a∥β,α∩β=c,则a∥c(前面已证).

答案：平行

6直线a∥b,a∥平面α,则b与平面α的位置关系是_______________

解析：当直线b在平面α外时，b∥α;当直线b在平面α内时，b⊂α.

答案：b∥α或b∩α

7a∥α,A是α的另一侧的点，B、C、D∈α,线段AB、AC、AD交α于E、F、G，若BD=4，CF=4，AF=5，则EG=__________.（如图）

解析：∵a ∥α,EG=α∩平面ABD ，

∴a ∥EG,即BD ∥EG. ∴

FC

AF AF BD EG CD BC FG EF AC AF CD FG BC EF +==++=== 则EG=9

204545=+⨯=+∙FC AF BD AF . 答案：9

20 8已知:α∩β=l,a ⊂α,b ⊂β,a ∥b ， 求证：a ∥b ∥l.

证明：∵a ∥b,b ⊂β,a ⊄β,由线面平行的判定定理知a ∥β.

又知a ⊂α,α∩β=l,由线面平行的性质知,a ∥l,∴a ∥b ∥l.

综合应用

9如右图，四边形ABCD 是矩形，P 平面ABCD ，过BC 作平面BCFE 交AP 于E ，交DP 于点F.

求证：四边形BCFE 是梯形.

证明：在矩形ABCD 中，BC ∥AD,

又∵BC ⊄面PAD ，AD ⊂面PAD ，

∴BC ∥面PAD.

又面BC ⊂面BCFE ，

且面BCFE∩面PAD=EF,

∴EF ∥BC,又BC AD,EF≠AD,

∴EF≠BC,

故四边形BCFE 为梯形.

10已知:AB 、CD 为异面线段，E 、F 分别为AC 、BD 的中点，过E 、F 作平面α∥AB. 求证：CD ∥α.

证明：如图，连结AD 交面α于点H ，连结EH ，FH,

∵AB ∥α,AB ⊂面ABD ，且面ABD∩α=FH,

∴AB ∥HF.

又∵F 为BD 中点,

∴H 为AD 中点，又E 为AC 中点，

∴EH ∥CD,

又∵EH ⊂面α,CD ⊄面α，

故CD ∥α.

11如图,P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点,平面PAD∩

平面PBC ＝l.

(1)求证:BC ∥l;

(2)MN 与平面PAD 是否平行?试证明你的结论.

证明：（1）在ABCD 中，BC ∥AD,

BC ⊄面PAD ，AD ⊂面PAD ，∴BC ∥面PAD.

又面PAD∩面PBC=l,且BC ⊂面PBC ，

故BC ∥l.

（2）MN ∥平面PAD.

证明如下，取PD 中点E ，连AE ，NE ；

∵N 是PC 中点，∴NE

21CD, 又M 为AB 的中点，

∴AM 2

1DC, ∴AM NE,∴AE ∥MN.

又∵AE ⊂面PAD ，MN ⊄面PAD,

∴MN ∥面PAD.

拓展探究

12如图，已知空间四边形ABCD ，作一截面EFGH ，且E 、F 、G 、H 分别在BD 、BC 、AC 、AD 上.

(1)若平面EFGH 与AB 、CD 都平行，求证：EFGH 是平行四边形；

(2)若平面EFGH 与AB 、CD 都平行，且CD ⊥AB ，求证：EFGH 是矩形；

(3)若EFGH 与AB 、CD 都平行，且CD ⊥AB ，CD=a,AB=b,问点E 在什么位置时，EFGH 的面积最大？

(1)证明：∵AB ∥面EFGH,AB ⊂面ABD ，

面ABD∩面EFGH=EH ，∴AB ∥EH.

同理可证AB ∥GF ，∴GF ∥EH.

又∵CD ∥面EFGH ，同理可证EF ∥GH.

故四边形EFGH 是平行四边形.

（2）证明：由（1）知，AB ∥EH,CD ∥EF,

又∵CD ⊥AB,∴EF ⊥EH, 故EFGH 为矩形.

（3）解：设BE=x,由上知