2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷(09)
2018年云南省玉溪市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
A．
B．
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C．
D．
11．（5 分）双曲线 C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为 F1（﹣c，
0），F2（c，0），M，N 两点在双曲线上，且 MN∥F1F2，|F1F2|＝2|MN|，线段 F1N 交双曲线 C 于点 Q，且|F1Q|＝ |F1N|，则双曲线的离心率为（ ）
．
14．（5 分）在（ ﹣2x2）5 的展开式中，x2 的系数是
．
15．（5 分）已知抛物线 y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，过点 F 且斜率为 的直线
l 与该抛物线分别交于 A，B 两点，（点 A 在第一象限），若 ＝ ，则 λ
＝
．
16．（5 分）已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn，且点（an，4Sn）在
（Ⅰ）求证：直线 PA∥平面 MFE； （Ⅱ）若二面角 P﹣AD﹣C 的大小为 60°，求直线 PE 与平面 MFE 所成角的余
弦值．
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20．（12 分）已知圆 C：x2+（y+ ）2＝16，点 A（0， ），P 是圆上任意一点， 线段 AP 的垂直平分线交 CP 于点 Q，当的 P 在圆上运动时，点 Q 的轨迹为曲 线 E，直线 l：y＝kx+m 与 y 轴交于点 D，与曲线 E 交于 M，N 两个相异点，
证明：t＜2．
请考生在 22.23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分，[选修
＝3，c＝2 ，则 sinC＝（ ）
A．
B．
C．
D．1
8．（5 分）如图所示的程序框图是数学史上有名的“冰雹猜想”，它蕴含着一个 规律，即任意正整数 n，按照改程序运行，最终都会变为 4﹣2﹣1 循环，若输 入 i＝0，试求输入 n 分别为 5 和 6，则输出的 i 分别为（ ）
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷附答案解析
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（07）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={m，﹣3}，N={x|2x2+7x+3＜0，x∈Z}，如果M∩N≠∅，则m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣2或﹣1 D．2．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（1））+f（log3）的值是（）A．7 B．2 C．5 D．33．（5分）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B（如图），要测算A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC=50m，∠ABC=105°，∠BCA=45°，就可以计算出A，B两点的距离为（）A．50m B．50m C．25m D．m4．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则m⊥β．其中错误命题的序号是（）A．①④B．①③C．②③④D．②③5．（5分）函数y=x•|cosx|的图象大致是（）A．B．C．D．6．（5分）函数y=的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为等比数列的公比的数是（）A．B．C．D．7．（5分）已知向量，，若+2与垂直，则k=（）A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．﹣18．（5分）计算（x+）dx的值为（）A．B．+ln2 C．+ln2 D．3+ln29．（5分）已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A．24﹣B．24﹣C．24﹣πD．24﹣10．（5分）下列命题中为真命题的是（）A．若B．直线a，b为异面直线的充要条件是直线a，b不相交C．“a=1是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件D．若命题p：”∃x∈R，x2﹣x﹣1＞0”，则命题p的否定为：”∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”11．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，成等差数列，则=（）A．﹣1或3 B．3 C．27 D．1或2712．（5分）已知定义在R上的函数y=f（x）满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；②对于任意的x1，x2∈R，且0≤x1＜x2≤2，都有f（x1）＜f（x2）；③函数y=f（x+2）的图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是（）A．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）B．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）C．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）D．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．（4分）已知向量，，且直线2xcosα﹣2ysinα+1=0与圆（x﹣cosβ）2+（y+sinβ）2=1相切，则向量与的夹角为．14．（4分）已知2+=4×，3+=9×，4+=16×，…，观察以上等式，若9+=k×；（m，n，k均为实数），则m+n﹣k=．15．（4分）设x、y满足约束条件，则目标函数z=x2+y2的最大值为．16．（4分）定义在R上的函数f（x），对∀x∈R，满足f（1﹣x）=f（1+x），f（﹣x）=﹣f（x），且f（x）在[0，1]上是增函数．下列结论正确的是．（把所有正确结论的序号都填上）①f（0）=0；②f（x+2）=f（﹣x）；③f（x）在[﹣6，﹣4]上是增函数；④f（x）在x=﹣1处取得最小值．三、解答题：（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）若y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时y=g （x）的最大值．18．（12分）已知平面区域被圆C及其内部所覆盖．（1）当圆C的面积最小时，求圆C的方程；（2）若斜率为1的直线l与（1）中的圆C交于不同的两点A、B，且满足CA⊥CB，求直线l的方程．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，O是AC与BD的交点，SO⊥平面ABCD，E是侧棱SC的中点，异面直线SA和BC所成角的大小是60°．（Ⅰ）求证：直线SA∥平面BDE；（Ⅱ）求直线BD与平面SBC所成角的正弦值．20．（12分）已知等差数列{a n}满足：a n+1＞a n（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b n}的前三项．（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式a n，b n；（Ⅱ）设，若恒成立，求c的最小值．21．（12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元），每件售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？22．（14分）已知函数f（x）=xe﹣x+（x﹣2）e x﹣a（e≈2.73）．（Ⅰ）当a=2时，证明函数f（x）在R上是增函数；（Ⅱ）若a＞2时，当x≥1时，f（x）≥恒成立，求实数a的取值范围．2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（07）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={m，﹣3}，N={x|2x2+7x+3＜0，x∈Z}，如果M∩N≠∅，则m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣2或﹣1 D．【解答】解：由集合N中的不等式2x2+7x+3＜0，因式分解得：（2x+1）（x+3）＜0，解得：﹣3＜x＜﹣，又x∈Z，∴x=﹣2，﹣1，∴N={﹣2，﹣1}，∵M∩N≠∅，∴m=﹣1或m=﹣2．故选C2．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（1））+f（log3）的值是（）A．7 B．2 C．5 D．3【解答】解：由题意可得，f（1）=log21=0，f（f（1））=f（0）=90+1=2f（）=+1=+1=5∴=7故选A3．（5分）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B（如图），要测算A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC=50m，∠ABC=105°，∠BCA=45°，就可以计算出A，B两点的距离为（）A．50m B．50m C．25m D．m【解答】解：由题意及图知，∠BAC=30°，又BC=50m，∠BCA=45°由正弦定理得AB==50m故选A4．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则m⊥β．其中错误命题的序号是（）A．①④B．①③C．②③④D．②③【解答】解：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m、n不想交，但可能平行也可能异面，故①不正确；②∵m∥β，∴过m作平面与β相交，交线为n，则m∥n，∵m⊥α，∴n⊥α，∴根据面面垂直的判定，可得α⊥β，故②正确；③∵n⊥α，m⊥α，∴m∥n，∵n⊥β，∴m⊥β，故③正确；④α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，α∥β，则m⊥β，故④不正确．综上，错误命题的序号是为①④，故选A．5．（5分）函数y=x•|cosx|的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：设函数y=f（x）=x|cosx|，则f（﹣x）=﹣x|cosx|=﹣f（x），即函数为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C，D，又当x≥0时，f（x）=x|cosx|≥0，故在x轴下方无图象，故排除B，故选A6．（5分）函数y=的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为等比数列的公比的数是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=的等价于，表示圆心在（5，0），半径为3的上半圆（如图所示），圆上点到原点的最短距离为2（点2处），最大距离为8（点8处），若存在三点成等比数列，则最大的公比q应有8=2q2，即q2=4，q=2，最小的公比应满足2=8q2，即q2=，解得q=又不同的三点到原点的距离不相等，故q≠1，∴公比的取值范围为≤q≤2，且q≠1，故选：D7．（5分）已知向量，，若+2与垂直，则k=（）A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．﹣1【解答】解：∵=（，3），又∵∴==0∴k=﹣3故选A8．（5分）计算（x+）dx的值为（）A．B．+ln2 C．+ln2 D．3+ln2【解答】解：（x+）dx==2+ln2﹣=ln2+；故选B．9．（5分）已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A．24﹣B．24﹣C．24﹣πD．24﹣【解答】解：该几何体是由一个长方体截去半个圆柱所得，其中长方体的体积为V1=4×3×2=24；半个圆柱的体积为V2==，则V=24﹣．故选A．10．（5分）下列命题中为真命题的是（）A．若B．直线a，b为异面直线的充要条件是直线a，b不相交C．“a=1是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件D．若命题p：”∃x∈R，x2﹣x﹣1＞0”，则命题p的否定为：”∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”【解答】解：对于A，只有当x＞0时，结论成立；对于B，直线a，b不相交，直线a，b有可能平行；对于C，直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直时，a=±1；对于D，显然成立．故选D．11．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，成等差数列，则=（）A．﹣1或3 B．3 C．27 D．1或27【解答】解：∵各项均为正数的等比数列{a n}中，公比为q，∵成等差数列，∴a3=3a1+2a2，可得a1q2=33a1+2a1q2，解得q=﹣1或3，∵正数的等比数列q=﹣1舍去，故q=3，∴====27，故选C；12．（5分）已知定义在R上的函数y=f（x）满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；②对于任意的x1，x2∈R，且0≤x1＜x2≤2，都有f（x1）＜f（x2）；③函数y=f（x+2）的图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是（）A．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）B．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）C．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）D．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）【解答】解：定义在R上的函数y=f（x）满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；②对于任意的x1，x2∈R，且0≤x1＜x2≤2，都有f（x1）＜f（x2）；③函数y=f（x+2）的图象关于y轴对称，可知函数是周期为4的函数，x∈[0，2]函数是增函数，函数的对称轴为x=2，f（4.5）=f（0.5），f（7）=f（3）=f（1），f（6.5）=f（2.5）=f（1.5），可得f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．（4分）已知向量，，且直线2xcosα﹣2ysinα+1=0与圆（x﹣cosβ）2+（y+sinβ）2=1相切，则向量与的夹角为60°．【解答】解：∵直线2xcosα﹣2ysinα+1=0与圆（x﹣cosβ）2+（y+sinβ）2=1相切，∴=1解得向量==故两向量的夹角为60°故答案为60°14．（4分）已知2+=4×，3+=9×，4+=16×，…，观察以上等式，若9+=k×；（m，n，k均为实数），则m+n﹣k=79．【解答】解：通过观察可得，n+=（n≥2，n∈N*），所以由9+=k×，得n=m=92﹣1=80，k=92=81，所以m+n﹣k=80+80﹣81=79．故答案为：79．15．（4分）设x、y满足约束条件，则目标函数z=x2+y2的最大值为52．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形OABC，其中A（0，2），B（4，6），C（2，0），O为原点设P（x，y）为区域内一个动点，则|OP|=表示点P到原点O的距离∴z=x2+y2=|OP|2，可得当P到原点距离最远时z达到最大值因此，运动点P使它与点B重合时，z达到最大值=42+62=52∴z最大值故答案为：5216．（4分）定义在R上的函数f（x），对∀x∈R，满足f（1﹣x）=f（1+x），f（﹣x）=﹣f（x），且f（x）在[0，1]上是增函数．下列结论正确的是①②④．（把所有正确结论的序号都填上）①f（0）=0；②f（x+2）=f（﹣x）；③f（x）在[﹣6，﹣4]上是增函数；④f（x）在x=﹣1处取得最小值．【解答】解：因为定义在R上的函数f（x），对∀x∈R，函数满足f（﹣x）=﹣f （x），所以函数是奇函数，定义域是R，所以f（0）=0；①正确；又函数满足f（1﹣x）=f（1+x），所以函数关于x=1对称，可得f（x+2）=f（﹣x）；②正确；f（x+2）=f（﹣x）；f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x+4）=f（x），函数的周期是4，f（x）在[﹣6，﹣4]上不是单调函数，③不正确；f（x）在[0，1]上是增函数．函数又是奇函数，函数关于x=1对称[1，2]是减函数；所以函数在[﹣1，0]也是增函数，[﹣2，﹣1]上是减函数，所以函数在x=﹣1球的最小值，④正确；正确结果是：①②④．故答案为：①②④．三、解答题：（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）若y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时y=g （x）的最大值．【解答】解：（1）f（x）===故f（x）的最小正周期为T==8（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），它关于x=1的对称点（2﹣x，g（x））．由题设条件，点（2﹣x，g（x））在y=f（x）的图象上，从而==当时，时，因此y=g（x）在区间上的最大值为18．（12分）已知平面区域被圆C及其内部所覆盖．（1）当圆C的面积最小时，求圆C的方程；（2）若斜率为1的直线l与（1）中的圆C交于不同的两点A、B，且满足CA⊥CB，求直线l的方程．【解答】解：（1）由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，由于覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，∴圆心是Rt△OPQ的斜边PQ的中点C（2，1），半径r=|OC|==，∴圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．（2）设直线l的方程是：y=x+b．∵CA⊥CB，∴圆心C到直线l的距离是=，即，解之得，b=﹣1±．∴直线l的方程是：y=x﹣1±．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，O是AC与BD的交点，SO⊥平面ABCD，E是侧棱SC的中点，异面直线SA和BC所成角的大小是60°．（Ⅰ）求证：直线SA∥平面BDE；（Ⅱ）求直线BD与平面SBC所成角的正弦值．【解答】解：（I）如图，连接EO，∵四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，O是AC与BD的交点，∴O是AC的中点，∵E是侧棱SC的中点，∴EO是△ASC的中位线，∴EO∥SA，∵SA⊂面ASC，EO不包含于面ASC，∴直线SA∥平面BDE．（II）过点O作CB的平行线作x轴，过O作AB的平行线作y轴，以OS为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∵四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，O是AC与BD的交点，SO⊥平面ABCD，E是侧棱SC的中点，异面直线SA和BC所成角的大小是60°，∴SA=4，SO=2，∴B（2，2，0），C（﹣2，2，0），S（0，0，2），D（﹣2，﹣2，0），∴，，，设面SBC的法向量为，则，，∴，∴，设直线BD与平面SBC所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|=||=．20．（12分）已知等差数列{a n}满足：a n+1＞a n（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b n}的前三项．（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式a n，b n；（Ⅱ）设，若恒成立，求c的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设d、q分别为数列{a n}、数列{b n}的公差与公比，a1=1．由题可知，a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分别加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比数列{b n}的前三项，∴（2+d）2=2（4+2d）⇒d=±2．＞a n，∵a n+1∴d＞0．∴d=2，∴a n=2n﹣1（n∈N*）．由此可得b1=2，b2=4，q=2，∴b n=2n（n∈N*）．（Ⅱ），①∴．②①﹣②，得=+2（++…+）﹣，∴T n=3﹣．∴T n+﹣=3﹣≤2，∴满足条件恒成立的最小整数值为c=3．21．（12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元），每件售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【解答】解：（1）∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣x2﹣10x﹣250=﹣x2+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．综合①②可得，L（x）=；（2）①当0＜x＜80时，L（x）=﹣x2+40x﹣250=﹣（x﹣60）2+950，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣2=1200﹣200=1000，当且仅当x=，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．22．（14分）已知函数f（x）=xe﹣x+（x﹣2）e x﹣a（e≈2.73）．（Ⅰ）当a=2时，证明函数f（x）在R上是增函数；（Ⅱ）若a＞2时，当x≥1时，f（x）≥恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=xe﹣x+（x﹣2）e x﹣2，f（x）的定义域为R，f′（x）=e﹣x﹣xe﹣x+e x﹣2+（x﹣2）e x﹣2=（x﹣1）（e x﹣2﹣e﹣x）=e﹣x（x﹣1）（e x﹣1﹣1）（e x﹣1+1）．当x≥1时，x﹣1≥0，e x﹣1﹣1≥0，所以f′（x）≥0，当x＜1时，x﹣1＜0，e x﹣1﹣1＜0，所以f′（x）≥0，所以对任意实数x，f′（x）≥0，所以f（x）在R上是增函数；（II）当x≥1时，f（x）≥恒成立，即（x﹣2）e2x﹣a﹣x2+3x﹣1≥0恒成立，设h（x）=（x﹣2）e2x﹣a﹣x2+3x﹣1（x≥1），则h′（x）=（2x﹣3）（e2x﹣a﹣1），令h′（x）=（2x﹣3）（e2x﹣a﹣1）=0，解得，，（1）当1＜＜，即2＜a＜3时，x（1，）（，）（，+∞）h′（x）+0﹣0+h（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以要使结论成立，则h（1）=﹣e2﹣a+1≥0，h（）=﹣e3﹣a+≥0，即e2﹣a ≤1，e3﹣a≤，解得a≥2，a≥3﹣ln，所以3﹣ln≤a＜3；（2）当=，即a=3时，h′（x）≥0恒成立，所以h（x）是增函数，又h（1）=﹣e﹣1+1＞0，故结论成立；（3）当，即a＞3时，x（1，）（，）（，+∞）h′（x）+0﹣0+h（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以要使结论成立，则h（1）=﹣e2﹣a+1≥0，h（）=﹣+2a﹣3≥0，即e2﹣a≤1，a2﹣8a+12≤0，解得a≥2，2≤a≤6，所以3＜a≤6；综上所述，若a＞2，当x≥1时，f（x）≥恒成立，实数a的取值范围是3﹣ln≤a≤6．…（12分）。
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷(01)
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（01）一、选择题（本大题共10小题．每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）集合A={x||x|≤4，x∈R}，B={x|（x+5）（x﹣a）≤0}，则“A⊆B”是“a ＞4”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）下列命题中，m，n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ．正确的命题是（）A．①③B．②③C．①④D．②④3．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．64．（5分）已知等比数列{a n}公比为q，其前n项和为S n，若S3、S9、S6成等差数列，则q3等于（）A．﹣ B．1 C．﹣或1 D．﹣1或5．（5分）下图是某次考试对一道题评分的算法框图，其中x1，x2，x3为三个评阅人对该题的独立评分，p为该题的最终得分，当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（）A．11 B．10 C．8 D．76．（5分）图是函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变7．（5分）若存在实数x∈[2，4]，使x2﹣2x+5﹣m＜0成立，则m的取值范围为（）A．（13，+∞）B．（5，+∞）C．（4，+∞）D．（﹣∞，13）8．（5分）已知奇函数f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数，又α，β为锐角三角形两内角，下列结论正确的是（）A．f（cosα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＞f（sinβ）C．f（sinα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）9．（5分）△ABC所在平面上一点P满足++=，则△PAB的面积与△ABC 的面积比为（）A．2：3 B．1：3 C．1：4 D．1：610．（5分）如图下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填写在题中横线上）11．（5分）已知命题p：“存在x∈R，使4x+2x+1+m=0”，若“非p”是假命题，则实数m的取值范围是．12．（5分）若a＞3，则函数f（x）=x2﹣ax+1在区间（0，2）上恰好有个零点．13．（5分）已知函数f（x）=lnx，0＜a＜b＜c＜1，则，，的大小关系是．14．（5分）已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3）（3，2），（4，1），（1，5），（2，4）…则第57个数对是．15．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，可得该几何体的体积是．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（12分）已知α∈（0，π）且cos（α﹣）=．求cosα17．（12分）已知向量=3i﹣4j，=6i﹣3j，=（5﹣m）i﹣（3+m）j，其中i，j分别是平面直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量．（1）若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；（2）对任意m∈[1，2]，不等式2≤﹣x2+x+3恒成立，求x的取值范围．18．（12分）列车提速可以提高铁路运输量．列车运行时，前后两车必须要保持一个“安全间隔距离d（千米）”，“安全间隔距离d（千米）”与列车的速度v（千米/小时）的平方成正比（比例系数k=）．假设所有的列车长度l均为0.4千米，最大速度均为v0（千米/小时）．问：列车车速多大时，单位时间流量Q=最大？19．（12分）如图，边长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点．（1）求直线A1E与平面BDD1B1所成的角的正弦值（2）求点E到平面A1DB的距离．20．（13分）在数列{a n}中，a1=1，a n=n2[1+++…+]（n≥2，n∈N）（1）当n≥2时，求证：=（2）求证：（1+）（1+）…（1+）＜4．21．（14分）已知函数f（x）=（x2+ax﹣2a﹣3）•e3﹣x（a∈R）；（1）讨论f（x）的单调性；（2）设g（x）=（a2+）e x（a＞0），若存在（a＞0），x1，x2∈[0，4]使得|f （x1）﹣g（x2）|＜1成立，求a的取值范围．2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（01）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题．每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）集合A={x||x|≤4，x∈R}，B={x|（x+5）（x﹣a）≤0}，则“A⊆B”是“a ＞4”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：集合A={x||x|≤4，x∈R}={x|﹣4≤x≤4}，B={x|（x+5）（x﹣a）≤0}，由A⊆B，可得B≠∅，即有（5﹣4）（﹣4﹣a）≤0且（5+4）（4﹣a）≤0，解得a≥4，则则“A⊆B”是“a＞4”的必要不充分条件，故选B．2．（5分）下列命题中，m，n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ．正确的命题是（）A．①③B．②③C．①④D．②④【解答】解：由题意，m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面考察①选项，此命题正确，若m⊥α，则m垂直于α中所有直线，由n∥α，知m⊥n；考察②选项，此命题不正确，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是平行或相交；考察③选项，此命题不正确，因为平行于同一平面的两条直线的位置关系是平行、相交或异面；考察④选项，此命题正确，因为α∥β，β∥γ，所以α∥γ，再由m⊥α，得到m ⊥γ．故选C．3．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．4．（5分）已知等比数列{a n}公比为q，其前n项和为S n，若S3、S9、S6成等差数列，则q3等于（）A．﹣ B．1 C．﹣或1 D．﹣1或【解答】解：若S3、S9、S6成等差数列，则S3+S6=2S9，若公比q=1，则S3=3a1，S9=9a1，S6=6a1，即3a1+6a1=18a1，则方程不成立，即q≠1，则=，即1﹣q3+1﹣q6=2﹣2q9，即q3+q6=2q9，即1+q3=2q6，即2（q3）2﹣q3﹣1=0，解得q3=，故选：A．5．（5分）下图是某次考试对一道题评分的算法框图，其中x1，x2，x3为三个评阅人对该题的独立评分，p为该题的最终得分，当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（）A．11 B．10 C．8 D．7【解答】解：根据框图的流程，当输入x1=6，x2=9时，不满足|x1﹣x2|=3＜2，当输入x3＜7.5时，满足|x3﹣x1|＜|x3﹣x2|，则执行x2=x3．输出P==8.5⇒x3=11（舍去）；当输入x3≥7.5时，不满足|x3﹣x1|＜|x3﹣x2|，则执行x1=x3，输出P==8.5⇒x3=8．故选：C．6．（5分）图是函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【解答】解：由图象可知函数的周期为π，振幅为1，所以函数的表达式可以是y=sin（2x+φ）．代入（﹣，0）可得φ的一个值为，故图象中函数的一个表达式是y=sin（2x+），即y=sin2（x+），所以只需将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变．故选A．7．（5分）若存在实数x∈[2，4]，使x2﹣2x+5﹣m＜0成立，则m的取值范围为（）A．（13，+∞）B．（5，+∞）C．（4，+∞）D．（﹣∞，13）【解答】解：存在实数x∈[2，4]，使x2﹣2x+5﹣m＜0成立，等价于x∈[2，4]，m＞（x2﹣2x+5）min．令f（x）=x2﹣2x+5=（x﹣1）2+4∴函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1∵x∈[2，4]，∴x=2时，f（x）min=f（2）=22﹣2×2+5=5∴m＞5故选：B．8．（5分）已知奇函数f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数，又α，β为锐角三角形两内角，下列结论正确的是（）A．f（cosα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＞f（sinβ）C．f（sinα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）【解答】解：∵奇函数y=f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数∴f（x）在[0，1]上为单调递减函数，∴f（x）在[﹣1，1]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形的两内角，∴α+β＞，∴＞α＞﹣β＞0，∴1＞sinα＞sin（﹣β）=cosβ＞0，∴f（sinα）＜f（cosβ），故选：D．9．（5分）△ABC所在平面上一点P满足++=，则△PAB的面积与△ABC 的面积比为（）A．2：3 B．1：3 C．1：4 D．1：6【解答】解：如图所示，∵点P满足++=，∴=，∴．∴△PAB的面积与△ABC的面积比=AP：AC=1：3．故选：B．10．（5分）如图下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：A、因正方体的底面积是定值，故水面高度的增加是均匀的，即图象是直线型的，故A不对；B、因几何体下面窄上面宽，且相同的时间内注入的水量相同，所以下面的高度增加的快，上面增加的慢，即图象应越来越平缓，故B正确；C、球是个对称的几何体，下半球因下面窄上面宽，所以水的高度增加的越来越慢；上半球恰相反，所以水的高度增加的越来越快，则图象先平缓再变陡；故C 正确；D、图中几何体两头宽、中间窄，所以水的高度增加的越来越慢后再越来越慢快，则图象先平缓再变陡，故D正确．故选A．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填写在题中横线上）11．（5分）已知命题p：“存在x∈R，使4x+2x+1+m=0”，若“非p”是假命题，则实数m的取值范围是（﹣∞，0）．【解答】解：∵命题p：“存在x∈R，使4x+2x+1+m=0”，∴p为真时，m=﹣（2x）2﹣2×2x，存在x∈R成立∴m的取值范围是：m＜0又∵非p”是假命题∴p是真命题∴m∈（﹣∞，0）故答案为：（﹣∞，0）12．（5分）若a＞3，则函数f（x）=x2﹣ax+1在区间（0，2）上恰好有1个零点．【解答】解：当a＞3时，由于次二次函数f（x）=x2﹣ax+1，可得f（0）=1＞0，f（2）=5﹣2a＜0，即f（0）f（2）＜0，故函数f（x）=x2﹣ax+1在区间（0，2）上恰好有一个零点，故答案为：1．13．（5分）已知函数f（x）=lnx，0＜a＜b＜c＜1，则，，的大小关系是＜＜．【解答】解：函数f（x）=lnx，0＜a＜b＜c＜1，设g（x）==，g′（x）=，可得0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增，由0＜a＜b＜c＜1，可得g（a）＜g（b）＜g（c），即＜＜．故答案为：＜＜．14．（5分）已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3）（3，2），（4，1），（1，5），（2，4）…则第57个数对是（2，10）．【解答】解：（1，1），两数的和为2，共1个，（1，2），（2，1），两数的和为3，共2个，（1，3），（2，2），（3，1），两数的和为4，共3个，（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），两数的和为5，共4个…∵1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，∴第57个数对在第11组之中的第2个数，从而两数之和为12，应为（2，10）；故答案为：（2，10）．15．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，可得该几何体的体积是2．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为五面体ABCDEF，其中面ABCD为等腰梯形，EF∥BC∥AD，EF在平面ABCD上的射影在梯形ABCD的中位线上，分别过E、F作BC、AD的垂线，把原几何体分割为两个四棱锥及一个三棱柱，则几何体的体积V=．故答案为：2．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（12分）已知α∈（0，π）且cos（α﹣）=．求cosα【解答】解：∵α∈（0，π），∴，又，∴，∴=．17．（12分）已知向量=3i﹣4j，=6i﹣3j，=（5﹣m）i﹣（3+m）j，其中i，j分别是平面直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量．（1）若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；（2）对任意m∈[1，2]，不等式2≤﹣x2+x+3恒成立，求x的取值范围．【解答】解：（1）依题意，以O为坐标原点建立直角坐标系，则A（3，﹣4），B （6，﹣3），C（5﹣m，﹣3﹣m），∵A，B，C能构成三角形，则A、B、C三点不共线，若A、B、C三点共线，则=t⇔（3，1）=t（2﹣m，1﹣m），即，解得；∴当m≠时，A，B，C能构成三角形；（2）∵=（2﹣m，1﹣m），m∈[1，2]，∴2=（2﹣m）2+（1﹣m）2=2m2﹣6m+5=2（m﹣）2+，其对称轴为m=，当m∈[1，]时，该函数单调递减，当m∈[，2]时，该函数单调递增，∴当m=1或m=2时，2取得最大值1．∵对任意m∈[1，2]，不等式2≤﹣x2+x+3恒成立，∴﹣x2+x+3≥=1，即x2﹣x﹣2≤0，解得：﹣1≤x≤2．∴x的取值范围为[﹣1，2]．18．（12分）列车提速可以提高铁路运输量．列车运行时，前后两车必须要保持一个“安全间隔距离d（千米）”，“安全间隔距离d（千米）”与列车的速度v（千米/小时）的平方成正比（比例系数k=）．假设所有的列车长度l均为0.4千米，最大速度均为v0（千米/小时）．问：列车车速多大时，单位时间流量Q=最大？【解答】解：因为，所以…（4分）≥2=，当且仅当v=40时取等号；当v0≥40时，Q≤50，所以v=40，Q max=50…（8分）当0＜v0＜40时，…（12分）19．（12分）如图，边长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点．（1）求直线A1E与平面BDD1B1所成的角的正弦值（2）求点E到平面A1DB的距离．【解答】解：以DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，则D（0，0，0），A（a，0，0）．B（a，a，0），C（0，a，0），E（0，a，），A1（a，0，a）．…（3分）（1）设直线A1E与平面BDD1B1所成的角为α．因为AC⊥平面BDD 1B1，所以平面BDD1B1的法向量为，又．，所以s．…（6分）（2）设=（x，y，1）为平面A1DB的法向量，∵，∴x=﹣1，y=1…（8分）∴又…（11分）即点E到平面A1DB的距离为．…（12分）20．（13分）在数列{a n}中，a1=1，a n=n2[1+++…+]（n≥2，n∈N）（1）当n≥2时，求证：=（2）求证：（1+）（1+）…（1+）＜4．【解答】（1）证明：当n≥2时，，…（1分）所以…（4分）故…（5分）（2）证明：当n≥2时，…（6分）=…（8分）=…（10分）=．…（11分）当n=1时，…（12分）综上所述，对任意n∈N*，不等式都成立．…（13分）21．（14分）已知函数f（x）=（x2+ax﹣2a﹣3）•e3﹣x（a∈R）；（1）讨论f（x）的单调性；（2）设g（x）=（a2+）e x（a＞0），若存在（a＞0），x1，x2∈[0，4]使得|f （x1）﹣g（x2）|＜1成立，求a的取值范围．【解答】．解：（1）f'（x）=﹣[x2+（a﹣2）x﹣3a﹣3]e3﹣x=﹣（x﹣3）（x+a+1）e3﹣x由﹣a﹣1=3得a=﹣4，当a=﹣4时，f′（x）=﹣（x﹣3）2e3﹣x≤0，此时函数在（﹣∞，+∞）上为减函数，当a＜﹣4时，﹣a﹣1＞3，由f'（x）＜0⇒x＜3或x＞﹣a﹣1，f'（x）＞0⇒3＜x ＜﹣a﹣1．∴f（x）单调减区间为（﹣∞，3），（﹣a﹣1，+∞），单调增区间为（3，﹣a﹣1）．当a＞﹣4时，﹣a﹣1＜3，f'（x）＜0⇒x＞3或x＜﹣a﹣1，f'（x）＞0⇒﹣a﹣1＜x＜3．∴f（x）单调减区间为（﹣∞，﹣a﹣1），（3，+∞），单调增区间为（﹣a﹣1，3）．（2）由（1）知，当a＞0时，﹣a﹣1＜0，f（x）在区间[0，3]上的单调递增，在区间[3，4）]单调递减，而f（0）=﹣（2a+3）e3＜0，f（4）=（2a+13）e﹣1＞0，f（3）=a+6．那么f（x）在区间[0，4]上的值域是F=[﹣（2a+3）e3，a+6]又g（x）=（a2+）e x（a＞0），在[0，4]上是增函数，对应的值域为G=[a2+，（a2+）e4]，∵a＞0，∴﹣（2a+3）e3＜a+6≤a2+＜（a2+）e4，|f（x1）﹣g（x2）|＜1等价为g（x2）﹣f（x1）＜1若存在（a＞0），x1，x2∈[0，4]使得|f（x1）﹣g（x2）|＜1成立，只需要g min（x）﹣f max（x）＜1，∴a2+﹣a﹣6＜1，得4a2﹣4a﹣3＜0，得﹣＜a＜∵a＞0，∴0＜a＜∴a的取值范围为（0，）．。
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷(02)
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（02）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若全集U=R，集合，则M∩（∁U N）等于（）A．{x|x＜﹣2}B．{x|x＜﹣2或x≥3}C．{x|x≥3}D．{x|﹣2≤x＜3} 2．（5分）与函数y=10lg（x﹣1）的图象相同的函数是（）A．y=x﹣1B．y=|x﹣1|C．D．3．（5分）若a∈R，则a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．（5分）在下列图象中，二次函数y=ax2+bx及指数函数y=（）x的图象只可能是（）A．B．C．D．5．（5分）对于定义在R上的函数y=f（x），若f（a）•f（b）＜0（a，b∈R，且a＜b），则函数y=f（x）在区间（a，b）内（）A．只有一个零点B．至少有一个零点C．无零点D．无法判断6．（5分）二次函数f（x）满足f（x+2）=f（﹣x+2），又f（0）=3，f（2）=1，若在[0，m]上有最大值3，最小值1，则m的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[2，+∞）C．（0，2]D．[2，4]7．（5分）设奇函数f （x ）的定义域为R，且f（x+4）=f（x），当x∈[4，6]时f （x）=2x+1，则f （x ）在区间[﹣2，0]上的表达式为（）A．f（x）=2x+1B．f（x）=﹣2﹣x+4﹣1C．f（x）=2﹣x+4+1D．f（x）=2﹣x+1 8．（5分）正实数x1，x2及函数f（x）满足，且f（x1）+f（x2）=1，则f（x1+x2）的最小值为（）A．4B．2C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．（5分）已知命题P：“对任何x∈R，x2+2x+2＞0”的否定是．10．（5分）函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是．11．（5分）设g（x）=，则g（g（））=．12．（5分）下列命题：（1）梯形的对角线相等；（2）有些实数是无限不循环小数；（3）有一个实数x，使x2+2x+3=0；（4）x2≠y2⇔x≠y或x≠﹣y；（5）命题“a、b 都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题“若a+b不是偶数，则a、b都不是偶数”；（6）若p或q”为假命题，则“非p且非q”是真命题；（7）已知a、b、c是实数，关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集，必有a＞0且△≤0．其中真命题的序号是．（把符合要求的命题序号都填上）13．（5分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是．14．（5分）函数f（x）的图象与函数g（x）=（）x的图象关于直线y=x对称，则f（2x﹣x2）的单调减区间为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（12分）已知函数f（x）=sin2x+sinx•cosx+2cos2x，x∈R（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x的图象经过怎样的变换得到？16．（12分）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．（I）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；（Ⅱ）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价﹣成本）17．（14分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=2．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P﹣CD﹣B的大小；（3）求点C到平面PBD的距离．18．（14分）已知函数f（x）对任意x，y∈R，满足f（x）+f（y）=f（x+y）+2，当x＞0时，f（x）＞2．（1）求证：f（x）在R上是增函数；（2）当f（3）=5时，解不等式：f（a2﹣2a﹣2）＜3．19．（14分）若函数f（x）对定义域中任意x均满足f（x）+f（2a﹣x）=2b，则函数f（x）的图象关于点（a，b）对称．（1）已知函数f（x）=的图象关于点（0，1）对称，求实数m的值；（2）已知函数g（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，且当x∈（0，+∞）时，g（x）=x2+ax+1，求函数g（x）在（﹣∞，0）上的解析式；（3）在（1）、（2）的条件下，若对实数x＜0及t＞0，恒有g（x）＜f（t）成立，求实数a的取值范围．20．（14分）设M是满足下列条件的函数构成的集合：①方程f（x）﹣x=0有实数根；②函数f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜1．（1）若函数f（x）为集合M中的任意一个元素，证明：方程f（x）﹣x=0只有一个实根；（2）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；（3）设函数f（x）为集合M中的元素，对于定义域中任意α，β，当|α﹣2012|＜1，|β﹣2012|＜1时，证明：|f（α）﹣f（β）|＜2．2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（02）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若全集U=R，集合，则M∩（∁U N）等于（）A．{x|x＜﹣2}B．{x|x＜﹣2或x≥3}C．{x|x≥3}D．{x|﹣2≤x＜3}【解答】解：∵全集U=R，M={x|x＞2，或x＜﹣2 }，N={x|﹣1＜x＜3}，∴C U N={x|x≤﹣1，或x≥3}，M∩（C U N）={x|x＜﹣2，或x≥3}，故选B．2．（5分）与函数y=10lg（x﹣1）的图象相同的函数是（）A．y=x﹣1B．y=|x﹣1|C．D．【解答】解：函数y=10lg（x﹣1）的定义域为{x|x＞1}，且y=x﹣1对于A，它的定义域为R，故错；对于B，它的定义域为R，故错；对于C，它的定义域为{x|x＞1}，解析式也相同，故正确；。
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷(04)
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（04）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．（5分）已知i为虚数单位，则复数﹣1+i的模等于（）A．B．C．D．22．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i3．（5分）若复数（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i是纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．1或2 D．﹣14．（5分）如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量等于（）A．B．C．D．5．（5分）已知向量=（4，﹣2），向量=（x，5），且∥，那么x的值等于（）A．10 B．5 C．D．﹣106．（5分）已知、是两个单位向量，那么下列命题中的真命题是（）A．B．C．D．7．（5分）下列各式中，值为的是（）A．sin15°cos15° B．cos2﹣sin2C．D．8．（5分）要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位9．（5分）有以下四个命题：①如果且，那么；②如果，那么或；③△ABC中，如果，那么△ABC是钝角三角形；④△ABC中，如果，那么△ABC为直角三角形．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．310．（5分）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（）A．ω=1，φ= B．ω=1，φ=﹣C．ω=2，φ= D．ω=2，φ=﹣二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）11．（5分）设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为．12．（5分）已知向量满足与的夹角为60°，则=．13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为，若向量=，，则=．14．（5分）已知向量=（1，﹣3），=（4，2），若⊥（+λ），其中λ∈R，则λ=．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（12分）已知函数f（x）=4cosxsin（x）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．（12分）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，那么要满足上述的要求，并且获利最大，甲、乙两车间应当各生产多少箱？17．（14分）已知函数，x∈R，且（1）求A的值；（2）设，，，求cos（α+β）的值．18．（14分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=4，DE=4．现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG．（1）求证：平面DEG⊥平面CFG；（2）求多面体CDEFG的体积．19．（14分）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2nmile的C处的缉私船奉命以nmile/h的速度追截走私船，此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．（1）求线段BC的长度；（2）求∠ACB的大小；水秀中华（参考数值：）（3）问缉私船沿北偏东多少度的方向能最快追上走私船？20．（14分）已知函数f（x）=ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（04）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．（5分）已知i为虚数单位，则复数﹣1+i的模等于（）A．B．C．D．2【解答】解：．所以，复数﹣1+i的模等于．故选C．2．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【解答】解：复数===2﹣i故选B．3．（5分）若复数（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i是纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．1或2 D．﹣1【解答】解：由a2﹣3a+2=0得a=1或2，且a﹣1≠0得a≠1∴a=2．故选B．4．（5分）如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵D是△ABC的边AB的中点，∴=（+）∵=﹣，∴=（﹣﹣）=﹣+故选：A5．（5分）已知向量=（4，﹣2），向量=（x，5），且∥，那么x的值等于（）A．10 B．5 C．D．﹣10【解答】解：∵=（4，﹣2），=（x，5），且∥，∴4×5=﹣2x，解之得x=﹣10故选：D6．（5分）已知、是两个单位向量，那么下列命题中的真命题是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，设θ为、的夹角，据此依次分析选项：对于A、、是两个单位向量，则、的方向不一定相同，则=不一定成立，A错误；对于B、•=||||cosθ，当、不垂直时，•≠0，B错误；对于C、•=||||cosθ=cosθ≤1，C错误；对于D、、是两个单位向量，即||=||，则有2=2，D正确；故选：D．7．（5分）下列各式中，值为的是（）A．sin15°cos15° B．cos2﹣sin2C．D．【解答】解：sin15°cos15°=sin30°=，排除A项．cos2﹣sin2=cos=，排除B项．==，排除C项由tan45°=，知选D．故选D8．（5分）要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：由于函数y=sin（2x+）=sin2（x+），∴将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y=sin（2x+）的图象，故选：B9．（5分）有以下四个命题：①如果且，那么；②如果，那么或；③△ABC中，如果，那么△ABC是钝角三角形；④△ABC中，如果，那么△ABC为直角三角形．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①∵且，∴，与不一定相等，故①不正确；②∵，∴，或，或，故不正确；③在△ABC中，∵，∴，∴∠ABC是钝角，故△BAC是钝角三角形，因此正确；④在△ABC 中，∵，∴，即AB ⊥BC ，∴∠ABC=90°，∴△ABC 是直角三角形，故正确．综上可知：只有③④正确，即正确命题的个数是2． 故选C ．10．（5分）已知函数y=sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（ ）A ．ω=1，φ=B ．ω=1，φ=﹣C ．ω=2，φ=D ．ω=2，φ=﹣【解答】解：由图象可知：T==π，∴ω=2；（，1）在图象上，所以 2×+φ=，φ=﹣．故选D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）11．（5分）设复数z 满足（1+i ）z=2，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为 ﹣1 ． 【解答】解：由（1+i ）z=2，得：．所以，z 的虚部为﹣1． 故答案为﹣1．12．（5分）已知向量满足与的夹角为60°，则=．【解答】解：根据题意，•=||||cos60°=1，2=||2﹣4•+4||2=13，则2=，故答案为．13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为，若向量=，，则=﹣12．【解答】解：由已知可得，=∴=（）•（）=6=6﹣4×﹣16=﹣12故答案为：﹣1214．（5分）已知向量=（1，﹣3），=（4，2），若⊥（+λ），其中λ∈R，则λ=．【解答】解：∵⊥（+λ），∴•（+λ）=0．∴（1，﹣3）•（4+λ，2﹣3λ）=0，即（4+λ）﹣3（2﹣3λ）=0．解得λ=．故答案为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（12分）已知函数f（x）=4cosxsin（x）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=4cosxsin（x+）﹣1，=4cosx（sinx+cosx）﹣1=sin2x+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），所以函数的最小正周期为π；（Ⅱ）∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x+≤，∴当2x+=，即x=时，f（x）取最大值2，当2x+=﹣时，即x=﹣时，f（x）取得最小值﹣1．16．（12分）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，那么要满足上述的要求，并且获利最大，甲、乙两车间应当各生产多少箱？【解答】解：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，…（1分）根据题意，得约束条件…（4分）画出可行域．…（7分）目标函数z=280x+200y，…（8分）即，…（9分）作直线并平移，得直线经过点A（15，55）时z取最大值．…（11分）所以当x=15，y=55时，z取最大值．…（12分）17．（14分）已知函数，x∈R，且（1）求A的值；（2）设，，，求cos（α+β）的值．【解答】解：（1），解得A=2（2），即，即因为，所以，，所以．18．（14分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=4，DE=4．现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG．（1）求证：平面DEG⊥平面CFG；（2）求多面体CDEFG的体积．【解答】解：（1）证明：因为DE⊥EF，CF⊥EF，所以四边形CDEF为矩形，由AD=5，DE=4，得AE=GE==3，由GC=4，CF=4，得BF=FG==4，所以EF=5，在△EFG中，有EF2=GE2+FG2，所以EG⊥GF，又因为CF⊥EF，CF⊥FG，得CF⊥平面EFG，所以CF⊥EG，所以EG⊥平面CFG，即平面DEG⊥平面CFG．（2）解：在平面EGF中，过点G作GH⊥EF于H，则GH==，因为平面CDEF⊥平面EFG，得GH⊥平面CDEF，=16．19．（14分）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2nmile的C处的缉私船奉命以nmile/h的速度追截走私船，此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．（1）求线段BC的长度；（2）求∠ACB的大小；（参考数值：）（3）问缉私船沿北偏东多少度的方向能最快追上走私船？【解答】解：（1）在△ABC中，∠CAB=45°+75°=120°，…（1分）由余弦定理，得BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠CAB…（2分）=+22﹣2×（﹣1）×2×（﹣）=6，…（3分）水秀中华所以，BC=．…（4分）（2）在△ABC中，由正弦定理，得=，所以，sin∠ACB=…（6分）==．…（7分）又∵0°＜∠ACB＜60°，∴∠ACB=15°．…（8分）（3）设缉私船用th在D处追上走私船，如图，则有CD=10t，BD=10t．在△ABC中，又∠CBD=90°+30°=120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD=…（8分）==．…（10分）∴∠BCD=30°，又因为∠ACB=15°…（12分）所以1800﹣（∠BCD+∠ACB+75°）=180°﹣（30°+15°+75°）=60°即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．（14分）20．（14分）已知函数f（x）=ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，∴f（2）=3；水秀中华∵f′（x）=3x2﹣3x，∴f′（2）=6．所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣3=6（x﹣2），即y=6x﹣9；（Ⅱ）解：f′（x）=3ax2﹣3x=3x（ax﹣1）．令f′（x）=0，解得x=0或x=．以下分两种情况讨论：（1）若0＜a≤2，则；当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：当时，f（x）＞0，等价于即．解不等式组得﹣5＜a＜5．因此0＜a≤2；（2）若a＞2，则当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：，当时，f（x）＞0等价于即水秀中华解不等式组得或．因此2＜a＜5．综合（1）和（2），可知a的取值范围为0＜a＜5．。
2018年云南省玉溪市高考一模数学试卷(文科)【解析版】
20． （12 分）已知圆 C：x2+（y+
）2＝16，点 A（0，
） ，P 是圆上任意一点，
线段 AP 的垂直平分线交 CP 于点 Q， 当点 P 在圆上运动时， 点 Q 的轨迹为曲 线 E，直线 l：y＝kx+m 与 y 轴交于点 D，与曲线 E 交于 M，N 两个相异点， 且 ＝λ ．
11． （5 分）已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，点 M 在线段 AB 上，点 N 在线段 AD 上，且 AM＝AN（M，N 不与点 A 重合） ，给出下列结论： （1）MN∥B1D1； （2）直线 MN 与 BC1 所成的角为 （3）MN⊥CB1； （4）BD 与平面 ACD1 所成角的正切值为 其中正确结论的个数是（ ）
2018 年云南省玉溪市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1． （5 分）已知集合 A＝{1，3，5，7}，B＝{4，5，6，7}，则 A∪B 中元素个数 为（ A．2 ） B．4 C．6 D．8 ）
2． （5 分）设复数 z 的共轭复数为 ，若（3+i）z＝2﹣i，则| |＝（ A． B． C． D．1
A．4 和 7
B．5 和 8
C．5 和 7
D．4 和 8
9． （5 分）三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，已知 PA，PB，PC 两 两垂直， PA＝1， PB+PC＝4， 当三棱锥的体积最大时， 球 O 的体积为 （ A．36π B．9π C． π D． π ） ）
10． （5 分）设 a＝2﹣0.3，b＝log34，c＝log23，则 a，b，c 的大小关系为（ A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c
云南省玉溪市2018年高考数学三模试卷
云南省玉溪市2018年高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，复数z1=1+i，z2=1﹣i，则=（）A．B．C．﹣i D．i2．已知平面向量，如果，那么=（）A．B． C．3 D．3．函数y=2sinxcosx﹣2sin2x的最小值为（）A．﹣4 B．C．D．﹣24．（﹣+）10的展开式中x2的系数等于（）A．45 B．20 C．﹣30 D．﹣905．若运行如图所示程序框图，则输出结果S的值为（）A．94 B．86 C．73 D．566．如图是底面半径为1，高为2的圆柱被削掉一部分后剩余的几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），则被削掉的那部分的体积为（）A．B． C．﹣2 D．27．为得到y=cos（2x﹣）的图象，只需要将y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位8．在数列{a n}中，a1=，a2=，a n a n+2=1，则a2016+a2017=（）A．B．C．D．59．“a+b=2”是“直线x+y=0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．已知变量x、y满足条件，则z=2x+y的最小值为（）A．﹣2 B．3 C．7 D．1211．在长为3m的线段AB上任取一点P，则点P与线段两端点A、B的距离都大于1m的概率是（）A．B．C．D．12．已知双曲线M的焦点F1，F2在x轴上，直线是双曲线M的一条渐近线，点P在双曲线M上，且，如果抛物线y2=16x的准线经过双曲线M的一个焦点，那么=（）A．21 B．14 C．7 D．0二、填空题:本大题共4小题。
每小题5分，共20分.13．圆C与直线x+y=0及x+y﹣4=0都相切，圆心在直线x﹣y=0上，则圆C的方程为．14．关于x的一元二次方程x2+2mx+5m﹣6=0，若m是从区间[0，5]任取的一个数，则上述方程有实根的概率为．15．8个相同的球放入标号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个，共有种不同的放法．16．边长为2的正三角形ABC，其内切圆与BC切于点E，F为内切圆上任意一点，则的取值范围为．三、解答题：共70分。
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷(08)
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（08）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，集合B={3，4}，则（∁A）∩B=（）UA．{4}B．{3，4}C．{2，3，4}D．{3}2．（5分）复数在复平面上对应的点的坐标是（）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）3．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=4，则公差d等于（）A．1 B．C．2 D．34．（5分）（理）的展开式中的常数项为（）A．﹣24 B．﹣6 C．6 D．245．（5分）函数f（x）=log2x﹣的零点所在区间为（）A． B． C．（1，2） D．（2，3）6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S=（）A．5100 B．2550 C．5050 D．1007．（5分）若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积为（）A．6+2B．6+C．6+4D．108．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C=（）依次成等差数列，且a=1，b=，则S△ABCA．B．C．D．29．（5分）下列命题：①函数f（x）=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；②已知向量，，，则的充要条件是λ=﹣1；③若，则a=e；④圆x2+y2=4关于直线ax+by+c=0对称的充分不必要条件是c=0．其中所有的真命题是（）A．①②B．③④C．②④D．①③10．（5分）已知点F1、F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．二．填空题（本题共4小题，满分共25分）11．（5分）200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于60km/h的汽车数量为辆．12．（5分）观察下列式子：，，，…，根据以上式子可以猜想：．13．（5分）点P（x，y）在不等式组表示的平面区域内，则z=x+y的最大值为．14．（5分）将一颗骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为．[几何证明选做题]15．（5分）如图，直线PC与圆O相切于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC=4，PB=8，则CE=．[坐标系与参数方程选做题]16．在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=﹣1的交点的极坐标为．[不等式选做题]17．若不等式|x+1|+|x﹣3|≥|m﹣1|恒成立，则m的取值范围为．三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（12分）设函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1（1）求f（）（2）求f（x）的最大值和最小正周期．19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且SD=AD，E是SA的中点．（1）求证：直线BA⊥平面SAD；（2）求直线SA与平面BED的夹角的正弦值．20．（12分）已知：等比数列{a n}的首项为a1，公比为q（1）写出数列{a n}的前n项和S n的公式；（2）给出（1）中的公式的证明．21．（12分）某学校数学兴趣小组有10名学生，其中有4名女同学；英语兴趣小组有5名学生，其中有3名女学生，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动．（1）求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数；（2）求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率；（3）记ξ表示抽取的3名学生中男学生数，求ξ的分布列及数学期望．22．（13分）已知函数f（x）=xlnx．（1）设函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣1），其中a∈R，求函数g（x）的单调区间；（2）若直线l过点（0，﹣1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．23．（14分）如图，已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为1．过A点作抛物线C的两条动弦AD、AE，且AD、AE的斜率满足k AD•k AE=2．（1）求抛物线C的方程；（2）直线DE是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由．2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（08）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，集合B={3，4}，则（∁A）∩B=（）UA．{4}B．{3，4}C．{2，3，4}D．{3}【解答】解：根据题意，全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，则∁U A={2，4}，又由集合B={3，4}，则（C U A）∩B={4}，故选A．2．（5分）复数在复平面上对应的点的坐标是（）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）【解答】解：复数==，所以复数所对应的点的坐标（1，﹣1）故选D．3．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=4，则公差d等于（）A．1 B．C．2 D．3【解答】解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，故选C．4．（5分）（理）的展开式中的常数项为（）A．﹣24 B．﹣6 C．6 D．24【解答】解：设的二项展开式的通项公式为T r，+1=（﹣1）r••（2x）4﹣r•x﹣r则T r+1=（﹣1）r••24﹣r•x4﹣2r，令4﹣2r=0，解得r=2．∴展开式中的常数项为T3=（﹣1）2••22=24．故选D．5．（5分）函数f（x）=log2x﹣的零点所在区间为（）A． B． C．（1，2） D．（2，3）【解答】解：由题意可知函数在（0，+∞）单调递增，且连续f（）=，f（1）=log21﹣1＜0，由根的存在性定理可得，f（1）•f（2）＜0故选：C6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S=（）A．5100 B．2550 C．5050 D．100【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=S=2+4+…+2×50又∵S=2+4+…+2×50=2×=2550故选B．7．（5分）若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积为（）A．6+2B．6+C．6+4D．10【解答】解：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为边长等于2的正三角形，高为1的正三棱柱，∴它的表面积为3×2×1+2××22×=6+2．故选：A．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C 依次成等差数列，且a=1，b=，则S=（）△ABCA．B．C．D．2【解答】解：∵A、B、C依次成等差数列∴B=60°∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB得：c=2∴由正弦定理得：S=△ABC故选C9．（5分）下列命题：①函数f（x）=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；②已知向量，，，则的充要条件是λ=﹣1；③若，则a=e；④圆x2+y2=4关于直线ax+by+c=0对称的充分不必要条件是c=0．其中所有的真命题是（）A．①②B．③④C．②④D．①③【解答】解：对于①∵f（x）=sin4x﹣cos4x=（cos2x+sin2x）（sin2x﹣cos2x）=sin2x ﹣cos2x=﹣cos2x，∴f（x）的最小正周期是T==π，所以①正确．对于②∵向量，，，∴=（λ﹣1，1+λ2），∴⇒（λ﹣1）+（1+λ2）=0⇒λ=0或λ=﹣1；λ=﹣1⇒=（﹣2，2）⇒（）∥，∴（）∥的充分不必要条件是λ=﹣1．故命题是假命题；对于③，，转化为：，解得a=e，③正确；对于④，圆x2+y2=4关于直线ax+by+c=0对称的充要条件是：圆的圆心坐标在直线方程⇒c=0，④不正确．正确命题是①③．故选D．10．（5分）已知点F1、F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．【解答】解：∵O为F1F2的中点，∴=2，可得=2||当点P到原点的距离最小时，||达到最小值，同时达到最小值．∵椭圆x2+2y2=2化成标准形式，得=1∴a2=2且b2=1，可得a=，b=1因此点P到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离，即||最小值为b=1∴=2||的最小值为2故选：C二．填空题（本题共4小题，满分共25分）11．（5分）200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于60km/h的汽车数量为76辆．【解答】解：时速不低于60km/h的汽车的频率为（0.028+0.01）×10=0.38∴时速不低于60km/h的汽车数量为200×0.38=76故答案为：7612．（5分）观察下列式子：，，，…，根据以上式子可以猜想：．【解答】解：观察下列式子：，，，…，可知不等式的左边各式分子是1，分母是自然数的平方和，右边分母与最后一项的分母相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，故可得：．故答案为：．13．（5分）点P（x，y）在不等式组表示的平面区域内，则z=x+y的最大值为6．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线x+y=z过点A（2，4）时，z最大，z最大是6，故答案为：6．14．（5分）将一颗骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为．【解答】解：∵骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列∴落地时向上的点数若不同，则为1，2，3或1，3，5，或2，3，4或2，4，6或3，4，5或4，5，6．共有6×2=12种情况，也可全相同，有6种情况∴共有18种情况若不考虑限制，有63=216落地时向上的点数依次成等差数列的概率为=故答案为：[几何证明选做题]15．（5分）如图，直线PC与圆O相切于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC=4，PB=8，则CE=．【解答】解：∵PC是圆O的切线，∴由切割线定理得：PC2=PA×PB，∵PC=4，PB=8，∴PA=2，∴OA=OB=3，连接OC，OC=3，在直角三角形POC中，利用面积法有，∴CE==．故填：．[坐标系与参数方程选做题]16．在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=﹣1的交点的极坐标为．【解答】解：两条曲线的普通方程分别为x2+y2=2y，x=﹣1．解得由得点（﹣1，1），极坐标为．故填：．[不等式选做题]17．若不等式|x+1|+|x﹣3|≥|m﹣1|恒成立，则m的取值范围为m∈[﹣3，5] ．【解答】解：|x+1|+|x﹣3|表示数轴上的x对应点到﹣1和3对应点的距离之和，它的最小值等于4，由不等式|x+1|+|x﹣3|≥|m﹣1|恒成立知，|m﹣1|≤4，m∈[﹣3，5]故答案为m∈[﹣3，5]．三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（12分）设函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1（1）求f（）（2）求f（x）的最大值和最小正周期．【解答】解：（1）函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1=sin2x﹣cos2x+1=sin（2x﹣）+1，∴f（）=sin（2×﹣）+1=×+1=2；…（6分）（2）由f（x）=sin（2x﹣）+1，当2x﹣=+2kπ，k∈Z，即x=+kπ，k∈Z时，f（x）取得最大值为+1，最小正周期为T==π．…（12分）19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且SD=AD，E是SA的中点．（1）求证：直线BA⊥平面SAD；（2）求直线SA与平面BED的夹角的正弦值．【解答】（本题满分12分）解：（1）证明：∵SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AB，又AD⊥AB，AD∩SD=D，∴AB⊥平面SAD，…（6分）（2）以D为原点，分别以DA、DC、DS为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，设AB=2，则A（2，0，0），S（0，0，2），B（1，2，0），E（1，0，0），故=（2，0，﹣2），=（2，2，0），=（1，0，1），…（8分）设平面BED的一个法向量为=（x，y，z），由得，取=（1，﹣1，﹣1），…（10分）设直线SA与平面BED所成角为θ，因为cos==，所以sinθ=，即直线SA与平面BED所成角的正弦值为…（12分）20．（12分）已知：等比数列{a n}的首项为a1，公比为q（1）写出数列{a n}的前n项和S n的公式；（2）给出（1）中的公式的证明．【解答】（本题满分12分）解：（1）∵等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，∴当q=1时，S n=na1，当q≠1时，S n=，∴数列{a n}的前n项和S n=．…（4分）（2）证明：由等比数列及其前n项和的定义知：S n=a1+a2+…+a n=，①当q=1时，S n=na1，…（7分）当q≠1时，给①式两边同乘q，得qS n=+…+，②由①﹣②，得（1﹣q）S n==a1（1﹣q n），…（10分）综上：当q=1时，S n=na1；当q≠1时，，即S n=．…（12分）21．（12分）某学校数学兴趣小组有10名学生，其中有4名女同学；英语兴趣小组有5名学生，其中有3名女学生，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动．（1）求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数；（2）求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率；（3）记ξ表示抽取的3名学生中男学生数，求ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（1）按比例计算得，抽取数学小组的人数为2人；英语小组的人数为1人；（2）从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率为=；（3）分析知ξ的取值可以为0，1，2，3，故有，，，．∴ξ的分布列为：=．22．（13分）已知函数f（x）=xlnx．（1）设函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣1），其中a∈R，求函数g（x）的单调区间；（2）若直线l过点（0，﹣1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．【解答】解：（1）∵f（x）=xlnx，∴g（x）=f（x）﹣a（x﹣1）=xlnx﹣a（x﹣1），则g′（x）=lnx+1﹣a，由g′（x）＜0，得lnx+1﹣a＜0，解得：0＜x＜e a﹣1；由g′（x）＞0，得lnx+1﹣a＞0，解得：x＞e a﹣1．所以g（x）在（0，e a﹣1）上单调递减，在（e a﹣1，+∞）上单调递增．（2）设切点坐标为（x0，y0），则y0=x0lnx0，切线的斜率为lnx0+1．所以切线l的方程为y﹣x0lnx0=（lnx0+1）（x﹣x0），又切线l过点（0，﹣1），所以有﹣1﹣x0lnx0=（lnx0+1）（0﹣x0），即﹣1﹣x0lnx0=﹣x0lnx0﹣x0，解得x0=1，y0=0，所以直线l的方程为y=x﹣1．23．（14分）如图，已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为1．过A点作抛物线C的两条动弦AD、AE，且AD、AE的斜率满足k AD•k AE=2．（1）求抛物线C的方程；（2）直线DE是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线方程为C：y2=2px（p＞0），由其定义知，又|AF|=2，所以p=2，y2=4x；（2）易知A（1，2），设D（x1，y1），E（x2，y2），DE方程为x=my+n（m≠0），把DE方程代入C，并整理得y2﹣4my﹣4n=0，△=16（m2+n）＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4n，由及，得y1y2+2（y1+y2）=4，即﹣4n+2×4m=4，所以n=2m﹣1，代入DE方程得：x=my+2m﹣1，即（y+2）m=x+1，故直线DE过定点（﹣1，﹣2）．。
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷(03)
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（03）一.选择题：本卷共12小题每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数f（x）=+lg（x+1）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣1，1）∪（1，+∞）2．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．y= D．y=x|x|3．（5分）已知为纯虚数，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．﹣ D．4．（5分）曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（）A．﹣9 B．﹣3 C．9 D．155．（5分）公比为的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16，则log2a16=（）A．4 B．5 C．6 D．76．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6]D．7．（5分）设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．12πB．45πC．57πD．81π9．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）A． B． C． D．10．（5分）设a＞b＞c＞0，则2a2++﹣10ac+25c2的最小值是（）A．2 B．4 C．D．511．（5分）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f （x）=x3﹣x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．912．（5分）函数y=x2（x＞0）的图象在点（a k，a k2）处的切线与x轴交点的横坐标为a k，k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=（）+1A．18 B．21 C．24 D．30二.填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上. 13．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以S n表示{a n}的前项和，则使得S n达到最大值的是．14．（5分）在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则=．15．（5分）设，则f（1）+f（2）+…+f（n）+f1（1）+f2（1）+…+f n（1）=．16．（5分）不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为．三.解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC+cosC=1﹣sin（1）求sinC的值（2）若a2+b2=4（a+b）﹣8，求边c的值．18．（12分）设函数f（x）=2|x+1|﹣|x﹣1|，求使f（x）≥2的x的取值范围．19．（12分）已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26，{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）设x，y都是正数，且x+y＞2，求证：＜2中至少有一个成立．21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的一个零点为x=1，另外两个零点分别在（0，1）和（1，+∞）内．（1）求a+b+c；（2）求的取值范围．22．（12分）（理）已知函数f（x）=ax﹣，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为：7x﹣4y﹣12=0（1）求f（x）的解析式（2）曲线f（x）上任一点的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积的定值，并求出此定值．2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（03）参考答案与试题解析一.选择题：本卷共12小题每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数f（x）=+lg（x+1）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣1，1）∪（1，+∞）【解答】解：要使函数f（x）有意义，则，即，解得x＞﹣1且x≠1，即函数的定义域为（﹣1，1）∪（1，+∞），故选：D2．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．y= D．y=x|x|【解答】解：A．y=x+1为非奇非偶函数，不满足条件．B．y=﹣x2是偶函数，不满足条件．C．y=是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件．D．设f（x）=x|x|，则f（﹣x）=﹣x|x|=﹣f（x），则函数为奇函数，当x＞0时，y=x|x|=x2，此时为增函数，当x≤0时，y=x|x|=﹣x2，此时为增函数，综上在R上函数为增函数．故选：D3．（5分）已知为纯虚数，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．﹣ D．【解答】解：已知==为纯虚数，∴2﹣a=0，且1+2a≠0，解得a=2，故选A．4．（5分）曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（）A．﹣9 B．﹣3 C．9 D．15【解答】解：∵y=x3+11∴y'=3x2则y'|x=1=3x2|x=1=3∴曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线方程为y﹣12=3（x﹣1）即3x﹣y+9=0令x=0解得y=9∴曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是9故选C5．（5分）公比为的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16，则log2a16=（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：∵公比为的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16，∴，∴a7=4，∴=32，∴log2a16=log232=5．故选B．6．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6]D．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z 越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），z max=6∴故选A7．（5分）设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，若a⊥b，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：A．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．12πB．45πC．57πD．81π【解答】解：由三视图可知，此组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱故它的体积是5×π×32+π×32×=57π故选C9．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）A． B． C． D．【解答】解：∵•=0，∴CA⊥CB∵CD⊥AB∵||=1，||=2∴AB=由射影定理可得，AC2=AD•AB∴∴∴==故选D10．（5分）设a＞b＞c＞0，则2a2++﹣10ac+25c2的最小值是（）A．2 B．4 C．D．5【解答】解：==≥0+2+2=4当且仅当a﹣5c=0，ab=1，a（a﹣b）=1时等号成立如取a=，b=，c=满足条件．故选B11．（5分）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f （x）=x3﹣x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x=0解得x=0或x=1，因为f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，故f（x）=0在区间[0，6）上解的个数为6，又因为f（6）=f（0）=0，故f（x）=0在区间[0，6]上解的个数为7，即函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7故选B12．（5分）函数y=x2（x＞0）的图象在点（a k，a k2）处的切线与x轴交点的横坐标为a k，k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=（）+1A．18 B．21 C．24 D．30【解答】解：依题意，y′=2x，∴函数y=x2（x＞0）的图象在点（a k，a k2）处的切线方程为y﹣a k2=2a k（x﹣a k）=a k，令y=0，可得x=a k，即a k+1∴数列{a n}为等比数列a n=16×（）n﹣1∴a1+a3+a5=16+4+1=21故选B二.填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上. 13．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以S n表示{a n}的前项和，则使得S n达到最大值的是20．【解答】解：设等差数列公差为d，则有解得a1=39，d=﹣2∴a20=39﹣2×19=1＞0，a21=39﹣2×20=﹣1＜0∴数列的前20项为正，∴使得S n达到最大值的是20故答案为2014．（5分）在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则=．【解答】解：∵AB=3，BD=1，∴D是BC上的三等分点，∴，∴===9﹣=，故答案为．15．（5分）设，则f（1）+f（2）+…+f（n）+f1（1）+f2（1）+…+f n（1）=n．【解答】解：∵∴f（1）+f（2）+…+f（n）=+…+∵f1（1）=，f2（1）=f1[f（1）]=f1（）=，…f n（1）=∴f1（1）+f2（1）+…+f n（1）=++…+∴f（1）+f（2）+…+f（n）+f1（1）+f2（1）+…+f n（1）=n故答案为：n16．（5分）不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．【解答】解：令y=|x+3|﹣|x﹣1|当x＞1时，y=x+3﹣x+1=4当x＜﹣3时，y=﹣x﹣3+x﹣1=﹣4当﹣3≤x≤1时，y=x+3+x﹣1=2x+2 所以﹣4≤y≤4所以要使得不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意实数x恒成立只要a2﹣3a≥4即可∴a≤﹣1或a≥4故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）三.解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC+cosC=1﹣sin（1）求sinC的值（2）若a2+b2=4（a+b）﹣8，求边c的值．【解答】解：（1）∵∴∴∴∴∴∴∴（2）由得即∴∵a2+b2=4（a+b）﹣8∴（a﹣2）2+（b﹣2）2=0∴a=2，b=2由余弦定理得∴18．（12分）设函数f（x）=2|x+1|﹣|x﹣1|，求使f（x）≥2的x的取值范围．【解答】解：由于y=2x是增函数，f（x）≥2等价于|x+1|﹣|x﹣1|≥，①（1）当x≥1时，|x+1|﹣|x﹣1|=2，则①式恒成立，（2）当﹣1＜x＜1 时，|x+1|﹣|x﹣1|=2x，①式化为2x≥，即≤x＜1，（3）当x≤﹣1时，|x+1|﹣|x﹣1|=﹣2，①式无解．综上，x取值范围是[，+∞）．19．（12分）已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26，{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，因为a3=7，a5+a7=26，所以有，解得a1=3，d=2，所以a n=3+2（n﹣1）=2n+1；S n=3n+．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=2n+1，所以b n====（﹣），所以数列{b n}的前n项和T n=（1﹣﹣）=（1﹣）=，即数列{b n}的前n项和T n=．20．（12分）设x，y都是正数，且x+y＞2，求证：＜2中至少有一个成立．【解答】证明：假设＜2都不成立，即≥2且≥2，∵x，y都是正数，∴1+x≥2y，1+y≥2x，∴1+x+1+y≥2x+2y，∴x+y≤2这与已知x+y＞2矛盾∴假设不成立，＜2中至少有一个成立21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的一个零点为x=1，另外两个零点分别在（0，1）和（1，+∞）内．（1）求a+b+c；（2）求的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，可得∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c的一个零点为x=1，∴f（1）=1+a+b+c=0，即a+b+c=﹣1（2）由（1），得c=﹣1﹣a﹣b代入f（x）解析式，得f（x）=x3+ax2+bx﹣1﹣a﹣b=（x﹣1）（x2+x+1）+a（x+1）（x﹣1）+b（x﹣1）=（x ﹣1）[x2+（a+1）x+1+a+b）设g（x）=x2+（a+1）x+1+a+b，∵f（x）的另外两个零点分别在（0，1）和（1，+∞）内∴函数g（x）的两个零点x1、x2满足：0＜x1＜1 x2＞1，因此，可得，利用用线性规划知识，可得得﹣2＜＜﹣．22．（12分）（理）已知函数f（x）=ax﹣，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为：7x﹣4y﹣12=0（1）求f（x）的解析式（2）曲线f（x）上任一点的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积的定值，并求出此定值．【解答】解：（1）求导函数可得：f′（x）=a+，∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x﹣4y﹣12=0．∴f（2）=，∴a+=，2a﹣=，∴a=1，b=3∴f（x）的解析式为f（x）=x﹣；（2）设（x0，x0﹣）为曲线f（x）上任一点，则切线的斜率为1+，∴切线方程为y﹣（x0﹣）=（1+）（x﹣x0），令x=0，可得y=﹣由切线方程与直线y=x联立，求得交点横坐标为x=2x0∴曲线f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值×|2x0|×|﹣|=6．。
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷(07)
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（07）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={m，﹣3}，N={x|2x2+7x+3＜0，x∈Z}，如果M∩N≠∅，则m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣2或﹣1 D．2．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（1））+f（log3）的值是（）A．7 B．2 C．5 D．33．（5分）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B（如图），要测算A，B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC=50m，∠ABC=105°，∠BCA=45°，就可以计算出A，B两点的距离为（）A．50m B．50m C．25m D．m4．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则m⊥β．其中错误命题的序号是（）A．①④B．①③C．②③④D．②③5．（5分）函数y=x•|cosx|的图象大致是（）A．B．C．D．6．（5分）函数y=的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为等比数列的公比的数是（）A．B．C．D．7．（5分）已知向量，，若+2与垂直，则k=（）A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．﹣18．（5分）计算（x+）dx的值为（）A．B．+ln2 C．+ln2 D．3+ln29．（5分）已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A．24﹣B．24﹣C．24﹣πD．24﹣10．（5分）下列命题中为真命题的是（）A．若B．直线a，b为异面直线的充要条件是直线a，b不相交C．“a=1是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件D．若命题p：”∃x∈R，x2﹣x﹣1＞0”，则命题p的否定为：”∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”11．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，成等差数列，则=（）A．﹣1或3 B．3 C．27 D．1或2712．（5分）已知定义在R上的函数y=f（x）满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；②对于任意的x1，x2∈R，且0≤x1＜x2≤2，都有f（x1）＜f（x2）；③函数y=f（x+2）的图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是（）A．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）B．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）C．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）D．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．（4分）已知向量，，且直线2xcosα﹣2ysinα+1=0与圆（x﹣cosβ）2+（y+sinβ）2=1相切，则向量与的夹角为．14．（4分）已知2+=4×，3+=9×，4+=16×，…，观察以上等式，若9+=k×；（m，n，k均为实数），则m+n﹣k=．15．（4分）设x、y满足约束条件，则目标函数z=x2+y2的最大值为．16．（4分）定义在R上的函数f（x），对∀x∈R，满足f（1﹣x）=f（1+x），f（﹣x）=﹣f（x），且f（x）在[0，1]上是增函数．下列结论正确的是．（把所有正确结论的序号都填上）①f（0）=0；②f（x+2）=f（﹣x）；③f（x）在[﹣6，﹣4]上是增函数；④f（x）在x=﹣1处取得最小值．三、解答题：（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）若y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时y=g（x）的最大值．18．（12分）已知平面区域被圆C及其内部所覆盖．（1）当圆C的面积最小时，求圆C的方程；（2）若斜率为1的直线l与（1）中的圆C交于不同的两点A、B，且满足CA⊥CB，求直线l的方程．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，O是AC与BD的交点，SO⊥平面ABCD，E是侧棱SC的中点，异面直线SA和BC所成角的大小是60°．（Ⅰ）求证：直线SA∥平面BDE；（Ⅱ）求直线BD与平面SBC所成角的正弦值．20．（12分）已知等差数列{a n}满足：a n+1＞a n（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b n}的前三项．（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式a n，b n；（Ⅱ）设，若恒成立，求c的最小值．21．（12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元），每件售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？22．（14分）已知函数f（x）=xe﹣x+（x﹣2）e x﹣a（e≈2.73）．（Ⅰ）当a=2时，证明函数f（x）在R上是增函数；（Ⅱ）若a＞2时，当x≥1时，f（x）≥恒成立，求实数a的取值范围．2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（07）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={m，﹣3}，N={x|2x2+7x+3＜0，x∈Z}，如果M∩N≠∅，则m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣2或﹣1 D．【解答】解：由集合N中的不等式2x2+7x+3＜0，因式分解得：（2x+1）（x+3）＜0，解得：﹣3＜x＜﹣，又x∈Z，∴x=﹣2，﹣1，∴N={﹣2，﹣1}，∵M∩N≠∅，∴m=﹣1或m=﹣2．故选C2．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（1））+f（log3）的值是（）A．7 B．2 C．5 D．3【解答】解：由题意可得，f（1）=log21=0，f（f（1））=f（0）=90+1=2f（）=+1=+1=5∴=7故选A3．（5分）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B（如图），要测算A，B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC=50m，∠ABC=105°，∠BCA=45°，就可以计算出A，B两点的距离为（）A．50m B．50m C．25m D．m【解答】解：由题意及图知，∠BAC=30°，又BC=50m，∠BCA=45°由正弦定理得AB==50m故选A4．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则m⊥β．其中错误命题的序号是（）A．①④B．①③C．②③④D．②③【解答】解：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m、n不想交，但可能平行也可能异面，故①不正确；②∵m∥β，∴过m作平面与β相交，交线为n，则m∥n，∵m⊥α，∴n⊥α，∴根据面面垂直的判定，可得α⊥β，故②正确；③∵n⊥α，m⊥α，∴m∥n，∵n⊥β，∴m⊥β，故③正确；④α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，α∥β，则m⊥β，故④不正确．综上，错误命题的序号是为①④，故选A．5．（5分）函数y=x•|cosx|的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：设函数y=f（x）=x|cosx|，则f（﹣x）=﹣x|cosx|=﹣f（x），即函数为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C，D，又当x≥0时，f（x）=x|cosx|≥0，故在x轴下方无图象，故排除B，故选A6．（5分）函数y=的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为等比数列的公比的数是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=的等价于，表示圆心在（5，0），半径为3的上半圆（如图所示），圆上点到原点的最短距离为2（点2处），最大距离为8（点8处），若存在三点成等比数列，则最大的公比q应有8=2q2，即q2=4，q=2，最小的公比应满足2=8q2，即q2=，解得q=又不同的三点到原点的距离不相等，故q≠1，∴公比的取值范围为≤q≤2，且q≠1，故选：D7．（5分）已知向量，，若+2与垂直，则k=（）A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．﹣1【解答】解：∵=（，3），又∵∴==0∴k=﹣3故选A8．（5分）计算（x+）dx的值为（）A．B．+ln2 C．+ln2 D．3+ln2【解答】解：（x+）dx==2+ln2﹣=ln2+；故选B．9．（5分）已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A．24﹣B．24﹣C．24﹣πD．24﹣【解答】解：该几何体是由一个长方体截去半个圆柱所得，其中长方体的体积为V1=4×3×2=24；半个圆柱的体积为V2==，则V=24﹣．故选A．10．（5分）下列命题中为真命题的是（）A．若B．直线a，b为异面直线的充要条件是直线a，b不相交C．“a=1是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件D．若命题p：”∃x∈R，x2﹣x﹣1＞0”，则命题p的否定为：”∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”【解答】解：对于A，只有当x＞0时，结论成立；对于B，直线a，b不相交，直线a，b有可能平行；对于C，直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直时，a=±1；对于D，显然成立．故选D．11．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，成等差数列，则=（）A．﹣1或3 B．3 C．27 D．1或27【解答】解：∵各项均为正数的等比数列{a n}中，公比为q，∵成等差数列，∴a3=3a1+2a2，可得a1q2=33a1+2a1q2，解得q=﹣1或3，∵正数的等比数列q=﹣1舍去，故q=3，∴====27，故选C；12．（5分）已知定义在R上的函数y=f（x）满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；②对于任意的x1，x2∈R，且0≤x1＜x2≤2，都有f（x1）＜f（x2）；③函数y=f（x+2）的图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是（）A．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）B．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）C．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）D．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）【解答】解：定义在R上的函数y=f（x）满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；②对于任意的x1，x2∈R，且0≤x1＜x2≤2，都有f（x1）＜f（x2）；③函数y=f（x+2）的图象关于y轴对称，可知函数是周期为4的函数，x∈[0，2]函数是增函数，函数的对称轴为x=2，f（4.5）=f（0.5），f（7）=f（3）=f（1），f（6.5）=f（2.5）=f（1.5），可得f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．（4分）已知向量，，且直线2xcosα﹣2ysinα+1=0与圆（x﹣cosβ）2+（y+sinβ）2=1相切，则向量与的夹角为60°．【解答】解：∵直线2xcosα﹣2ysinα+1=0与圆（x﹣cosβ）2+（y+sinβ）2=1相切，∴=1解得向量==故两向量的夹角为60°故答案为60°14．（4分）已知2+=4×，3+=9×，4+=16×，…，观察以上等式，若9+=k×；（m，n，k均为实数），则m+n﹣k=79．【解答】解：通过观察可得，n+=（n≥2，n∈N*），所以由9+=k×，得n=m=92﹣1=80，k=92=81，所以m+n﹣k=80+80﹣81=79．故答案为：79．15．（4分）设x、y满足约束条件，则目标函数z=x2+y2的最大值为52．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形OABC，其中A（0，2），B（4，6），C（2，0），O为原点设P（x，y）为区域内一个动点，则|OP|=表示点P到原点O的距离∴z=x2+y2=|OP|2，可得当P到原点距离最远时z达到最大值因此，运动点P使它与点B重合时，z达到最大值=42+62=52∴z最大值故答案为：5216．（4分）定义在R上的函数f（x），对∀x∈R，满足f（1﹣x）=f（1+x），f（﹣x）=﹣f（x），且f（x）在[0，1]上是增函数．下列结论正确的是①②④．（把所有正确结论的序号都填上）①f（0）=0；②f（x+2）=f（﹣x）；③f（x）在[﹣6，﹣4]上是增函数；④f（x）在x=﹣1处取得最小值．【解答】解：因为定义在R上的函数f（x），对∀x∈R，函数满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数是奇函数，定义域是R，所以f（0）=0；①正确；又函数满足f（1﹣x）=f（1+x），所以函数关于x=1对称，可得f（x+2）=f（﹣x）；②正确；f（x+2）=f（﹣x）；f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x+4）=f（x），函数的周期是4，f（x）在[﹣6，﹣4]上不是单调函数，③不正确；f（x）在[0，1]上是增函数．函数又是奇函数，函数关于x=1对称[1，2]是减函数；所以函数在[﹣1，0]也是增函数，[﹣2，﹣1]上是减函数，所以函数在x=﹣1球的最小值，④正确；正确结果是：①②④．故答案为：①②④．三、解答题：（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）若y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时y=g（x）的最大值．【解答】解：（1）f（x）===故f（x）的最小正周期为T==8（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），它关于x=1的对称点（2﹣x，g（x））．由题设条件，点（2﹣x，g（x））在y=f（x）的图象上，从而==当时，时，因此y=g（x）在区间上的最大值为18．（12分）已知平面区域被圆C及其内部所覆盖．（1）当圆C的面积最小时，求圆C的方程；（2）若斜率为1的直线l与（1）中的圆C交于不同的两点A、B，且满足CA⊥CB，求直线l的方程．【解答】解：（1）由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，由于覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，∴圆心是Rt△OPQ的斜边PQ的中点C（2，1），半径r=|OC|==，∴圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．（2）设直线l的方程是：y=x+b．∵CA⊥CB，∴圆心C到直线l的距离是=，即，解之得，b=﹣1±．∴直线l的方程是：y=x﹣1±．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，O是AC与BD的交点，SO⊥平面ABCD，E是侧棱SC的中点，异面直线SA和BC所成角的大小是60°．（Ⅰ）求证：直线SA∥平面BDE；（Ⅱ）求直线BD与平面SBC所成角的正弦值．【解答】解：（I）如图，连接EO，∵四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，O是AC与BD的交点，∴O是AC的中点，∵E是侧棱SC的中点，∴EO是△ASC的中位线，∴EO∥SA，∵SA⊂面ASC，EO不包含于面ASC，∴直线SA∥平面BDE．（II）过点O作CB的平行线作x轴，过O作AB的平行线作y轴，以OS为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∵四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，O是AC与BD的交点，SO⊥平面ABCD，E是侧棱SC的中点，异面直线SA和BC所成角的大小是60°，∴SA=4，SO=2，∴B（2，2，0），C（﹣2，2，0），S（0，0，2），D（﹣2，﹣2，0），∴，，，设面SBC的法向量为，则，，∴，∴，设直线BD与平面SBC所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|=||=．20．（12分）已知等差数列{a n}满足：a n+1＞a n（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b n}的前三项．（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式a n，b n；（Ⅱ）设，若恒成立，求c的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设d、q分别为数列{a n}、数列{b n}的公差与公比，a1=1．由题可知，a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分别加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比数列{b n}的前三项，∴（2+d）2=2（4+2d）⇒d=±2．∵a n＞a n，+1∴d＞0．∴d=2，∴a n=2n﹣1（n∈N*）．由此可得b1=2，b2=4，q=2，∴b n=2n（n∈N*）．（Ⅱ），①∴．②①﹣②，得=+2（++…+）﹣，∴T n=3﹣．∴T n+﹣=3﹣≤2，∴满足条件恒成立的最小整数值为c=3．21．（12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元），每件售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【解答】解：（1）∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣x2﹣10x﹣250=﹣x2+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．综合①②可得，L（x）=；（2）①当0＜x＜80时，L（x）=﹣x2+40x﹣250=﹣（x﹣60）2+950，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣2=1200﹣200=1000，当且仅当x=，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．22．（14分）已知函数f（x）=xe﹣x+（x﹣2）e x﹣a（e≈2.73）．（Ⅰ）当a=2时，证明函数f（x）在R上是增函数；（Ⅱ）若a＞2时，当x≥1时，f（x）≥恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=xe﹣x+（x﹣2）e x﹣2，f（x）的定义域为R，f′（x）=e﹣x﹣xe﹣x+e x﹣2+（x﹣2）e x﹣2=（x﹣1）（e x﹣2﹣e﹣x）=e﹣x（x﹣1）（e x﹣1﹣1）（e x﹣1+1）．当x≥1时，x﹣1≥0，e x﹣1﹣1≥0，所以f′（x）≥0，当x＜1时，x﹣1＜0，e x﹣1﹣1＜0，所以f′（x）≥0，所以对任意实数x，f′（x）≥0，所以f（x）在R上是增函数；（II）当x≥1时，f（x）≥恒成立，即（x﹣2）e2x﹣a﹣x2+3x﹣1≥0恒成立，设h（x）=（x﹣2）e2x﹣a﹣x2+3x﹣1（x≥1），则h′（x）=（2x﹣3）（e2x﹣a﹣1），令h′（x）=（2x﹣3）（e2x﹣a﹣1）=0，解得，，（1）当1＜＜，即2＜a＜3时，（，）所以要使结论成立，则h（1）=﹣e2﹣a+1≥0，h（）=﹣e3﹣a+≥0，即e2﹣a≤1，e3﹣a≤，解得a≥2，a≥3﹣ln，所以3﹣ln≤a＜3；（2）当=，即a=3时，h′（x）≥0恒成立，所以h（x）是增函数，又h（1）=﹣e﹣1+1＞0，故结论成立；（3）当，即a＞3时，（，）所以要使结论成立，则h（1）=﹣e2﹣a+1≥0，h（）=﹣+2a﹣3≥0，即e2﹣a≤1，a2﹣8a+12≤0，解得a≥2，2≤a≤6，所以3＜a≤6；综上所述，若a＞2，当x≥1时，f（x）≥恒成立，实数a的取值范围是3﹣ln≤a≤6．…（12分）。
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷附答案解析
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（08）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，集合B={3，4}，则（∁A）∩B=（）UA．{4}B．{3，4}C．{2，3，4}D．{3}2．（5分）复数在复平面上对应的点的坐标是（）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）3．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=4，则公差d等于（）A．1 B．C．2 D．34．（5分）（理）的展开式中的常数项为（）A．﹣24 B．﹣6 C．6 D．245．（5分）函数f（x）=log2x﹣的零点所在区间为（）A． B． C．（1，2） D．（2，3）6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S=（）A．5100 B．2550 C．5050 D．1007．（5分）若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积为（）A．6+2B．6+C．6+4D．108．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C=（）依次成等差数列，且a=1，b=，则S△ABCA．B．C．D．29．（5分）下列命题：①函数f（x）=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；②已知向量，，，则的充要条件是λ=﹣1；③若，则a=e；④圆x2+y2=4关于直线ax+by+c=0对称的充分不必要条件是c=0．其中所有的真命题是（）A．①②B．③④C．②④D．①③10．（5分）已知点F1、F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．二．填空题（本题共4小题，满分共25分）11．（5分）200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于60km/h的汽车数量为辆．12．（5分）观察下列式子：，，，…，根据以上式子可以猜想：．13．（5分）点P（x，y）在不等式组表示的平面区域内，则z=x+y的最大值为．14．（5分）将一颗骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为．[几何证明选做题]15．（5分）如图，直线PC与圆O相切于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC=4，PB=8，则CE=．[坐标系与参数方程选做题]16．在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=﹣1的交点的极坐标为．[不等式选做题]17．若不等式|x+1|+|x﹣3|≥|m﹣1|恒成立，则m的取值范围为．三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（12分）设函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1（1）求f（）（2）求f（x）的最大值和最小正周期．19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且SD=AD，E是SA的中点．（1）求证：直线BA⊥平面SAD；（2）求直线SA与平面BED的夹角的正弦值．20．（12分）已知：等比数列{a n}的首项为a1，公比为q（1）写出数列{a n}的前n项和S n的公式；（2）给出（1）中的公式的证明．21．（12分）某学校数学兴趣小组有10名学生，其中有4名女同学；英语兴趣小组有5名学生，其中有3名女学生，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动．（1）求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数；（2）求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率；（3）记ξ表示抽取的3名学生中男学生数，求ξ的分布列及数学期望．22．（13分）已知函数f（x）=xlnx．（1）设函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣1），其中a∈R，求函数g（x）的单调区间；（2）若直线l过点（0，﹣1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．23．（14分）如图，已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为1．过A点作抛物线C的两条动弦AD、AE，且AD、AE的斜率满足k AD•k AE=2．（1）求抛物线C的方程；（2）直线DE是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由．2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（08）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，集合B={3，4}，则（∁A）∩B=（）UA．{4}B．{3，4}C．{2，3，4}D．{3}【解答】解：根据题意，全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，则∁U A={2，4}，又由集合B={3，4}，则（C U A）∩B={4}，故选A．2．（5分）复数在复平面上对应的点的坐标是（）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）【解答】解：复数==，所以复数所对应的点的坐标（1，﹣1）故选D．3．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=4，则公差d等于（）A．1 B．C．2 D．3【解答】解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，故选C．4．（5分）（理）的展开式中的常数项为（）A．﹣24 B．﹣6 C．6 D．24，【解答】解：设的二项展开式的通项公式为T r+1 =（﹣1）r••（2x）4﹣r•x﹣r则T r+1=（﹣1）r••24﹣r•x4﹣2r，令4﹣2r=0，解得r=2．∴展开式中的常数项为T3=（﹣1）2••22=24．故选D．5．（5分）函数f（x）=log2x﹣的零点所在区间为（）A． B． C．（1，2） D．（2，3）【解答】解：由题意可知函数在（0，+∞）单调递增，且连续f（）=，f（1）=log21﹣1＜0，由根的存在性定理可得，f（1）•f（2）＜0故选：C6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S=（）A．5100 B．2550 C．5050 D．100【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=S=2+4+…+2×50又∵S=2+4+…+2×50=2×=2550故选B．7．（5分）若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积为（）A．6+2B．6+C．6+4D．10【解答】解：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为边长等于2的正三角形，高为1的正三棱柱，∴它的表面积为3×2×1+2××22×=6+2．故选：A．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C=（）依次成等差数列，且a=1，b=，则S△ABCA．B．C．D．2【解答】解：∵A、B、C依次成等差数列∴B=60°∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB得：c=2=∴由正弦定理得：S△ABC故选C9．（5分）下列命题：①函数f（x）=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；②已知向量，，，则的充要条件是λ=﹣1；③若，则a=e；④圆x2+y2=4关于直线ax+by+c=0对称的充分不必要条件是c=0．其中所有的真命题是（）A．①②B．③④C．②④D．①③【解答】解：对于①∵f（x）=sin4x﹣cos4x=（cos2x+sin2x）（sin2x﹣cos2x）=sin2x ﹣cos2x=﹣cos2x，∴f（x）的最小正周期是T==π，所以①正确．对于②∵向量，，，∴=（λ﹣1，1+λ2），∴⇒（λ﹣1）+（1+λ2）=0⇒λ=0或λ=﹣1；λ=﹣1⇒=（﹣2，2）⇒（）∥，∴（）∥的充分不必要条件是λ=﹣1．故命题是假命题；对于③，，转化为：，解得a=e，③正确；对于④，圆x2+y2=4关于直线ax+by+c=0对称的充要条件是：圆的圆心坐标在直线方程⇒c=0，④不正确．正确命题是①③．故选D．10．（5分）已知点F1、F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．【解答】解：∵O为F1F2的中点，∴=2，可得=2||当点P到原点的距离最小时，||达到最小值，同时达到最小值．∵椭圆x2+2y2=2化成标准形式，得=1∴a2=2且b2=1，可得a=，b=1因此点P到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离，即||最小值为b=1∴=2||的最小值为2故选：C二．填空题（本题共4小题，满分共25分）11．（5分）200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于60km/h的汽车数量为76辆．【解答】解：时速不低于60km/h的汽车的频率为（0.028+0.01）×10=0.38∴时速不低于60km/h的汽车数量为200×0.38=76故答案为：7612．（5分）观察下列式子：，，，…，根据以上式子可以猜想：．【解答】解：观察下列式子：，，，…，可知不等式的左边各式分子是1，分母是自然数的平方和，右边分母与最后一项的分母相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，故可得：．故答案为：．13．（5分）点P（x，y）在不等式组表示的平面区域内，则z=x+y的最大值为6．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线x+y=z过点A（2，4）时，z最大，z最大是6，故答案为：6．14．（5分）将一颗骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为．【解答】解：∵骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列∴落地时向上的点数若不同，则为1，2，3或1，3，5，或2，3，4或2，4，6或3，4，5或4，5，6．共有6×2=12种情况，也可全相同，有6种情况∴共有18种情况若不考虑限制，有63=216落地时向上的点数依次成等差数列的概率为=故答案为：[几何证明选做题]15．（5分）如图，直线PC与圆O相切于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC=4，PB=8，则CE=．【解答】解：∵PC是圆O的切线，∴由切割线定理得：PC2=PA×PB，∵PC=4，PB=8，∴PA=2，∴OA=OB=3，连接OC，OC=3，在直角三角形POC中，利用面积法有，∴CE==．故填：．[坐标系与参数方程选做题]16．在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=﹣1的交点的极坐标为．【解答】解：两条曲线的普通方程分别为x2+y2=2y，x=﹣1．解得由得点（﹣1，1），极坐标为．故填：．[不等式选做题]17．若不等式|x+1|+|x﹣3|≥|m﹣1|恒成立，则m的取值范围为m∈[﹣3，5] ．【解答】解：|x+1|+|x﹣3|表示数轴上的x对应点到﹣1和3对应点的距离之和，它的最小值等于4，由不等式|x+1|+|x﹣3|≥|m﹣1|恒成立知，|m﹣1|≤4，m∈[﹣3，5]故答案为m∈[﹣3，5]．三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（12分）设函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1（1）求f（）（2）求f（x）的最大值和最小正周期．【解答】解：（1）函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1=sin2x﹣cos2x+1=sin（2x﹣）+1，∴f（）=sin（2×﹣）+1=×+1=2；…（6分）（2）由f（x）=sin（2x﹣）+1，当2x﹣=+2kπ，k∈Z，即x=+kπ，k∈Z时，f（x）取得最大值为+1，最小正周期为T==π．…（12分）19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且SD=AD，E是SA的中点．（1）求证：直线BA⊥平面SAD；（2）求直线SA与平面BED的夹角的正弦值．【解答】（本题满分12分）解：（1）证明：∵SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AB，又AD⊥AB，AD∩SD=D，∴AB⊥平面SAD，…（6分）（2）以D为原点，分别以DA、DC、DS为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，设AB=2，则A（2，0，0），S（0，0，2），B（1，2，0），E（1，0，0），故=（2，0，﹣2），=（2，2，0），=（1，0，1），…（8分）设平面BED的一个法向量为=（x，y，z），由得，取=（1，﹣1，﹣1），…（10分）设直线SA与平面BED所成角为θ，因为cos==，所以sinθ=，即直线SA与平面BED所成角的正弦值为…（12分）20．（12分）已知：等比数列{a n}的首项为a1，公比为q（1）写出数列{a n}的前n项和S n的公式；（2）给出（1）中的公式的证明．【解答】（本题满分12分）解：（1）∵等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，∴当q=1时，S n=na1，当q≠1时，S n=，∴数列{a n}的前n项和S n=．…（4分）（2）证明：由等比数列及其前n项和的定义知：S n=a1+a2+…+a n=，①当q=1时，S n=na1，…（7分）当q≠1时，给①式两边同乘q，得qS n=+…+，②由①﹣②，得（1﹣q）S n==a1（1﹣q n），…（10分）综上：当q=1时，S n=na1；当q≠1时，，即S n=．…（12分）21．（12分）某学校数学兴趣小组有10名学生，其中有4名女同学；英语兴趣小组有5名学生，其中有3名女学生，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动． （1）求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数； （2）求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率；（3）记ξ表示抽取的3名学生中男学生数，求ξ的分布列及数学期望． 【解答】解：（1）按比例计算得，抽取数学小组的人数为2人；英语小组的人数为1人；（2）从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率为=；（3）分析知ξ的取值可以为0，1，2，3，故有，，，．∴ξ的分布列为：=．22．（13分）已知函数f （x ）=xlnx ．（1）设函数g （x ）=f （x ）﹣a （x ﹣1），其中a ∈R ，求函数g （x ）的单调区间； （2）若直线l 过点（0，﹣1），并且与曲线y=f （x ）相切，求直线l 的方程． 【解答】解：（1）∵f （x ）=xlnx ，∴g （x ）=f （x ）﹣a （x ﹣1）=xlnx ﹣a （x ﹣1）， 则g′（x ）=lnx +1﹣a ，由g′（x ）＜0，得lnx +1﹣a ＜0，解得：0＜x ＜e a ﹣1； 由g′（x ）＞0，得lnx +1﹣a ＞0，解得：x ＞e a ﹣1．所以g （x ）在（0，e a ﹣1）上单调递减，在（e a ﹣1，+∞）上单调递增． （2）设切点坐标为（x 0，y 0），则y 0=x 0lnx 0，切线的斜率为lnx 0+1．所以切线l的方程为y﹣x0lnx0=（lnx0+1）（x﹣x0），又切线l过点（0，﹣1），所以有﹣1﹣x0lnx0=（lnx0+1）（0﹣x0），即﹣1﹣x0lnx0=﹣x0lnx0﹣x0，解得x0=1，y0=0，所以直线l的方程为y=x﹣1．23．（14分）如图，已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为1．过A点作抛物线C的两条动弦AD、AE，且AD、AE的斜率满足k AD•k AE=2．（1）求抛物线C的方程；（2）直线DE是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线方程为C：y2=2px（p＞0），由其定义知，又|AF|=2，所以p=2，y2=4x；（2）易知A（1，2），设D（x1，y1），E（x2，y2），DE方程为x=my+n（m≠0），把DE方程代入C，并整理得y2﹣4my﹣4n=0，△=16（m2+n）＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4n，由及，得y1y2+2（y1+y2）=4，即﹣4n+2×4m=4，所以n=2m﹣1，代入DE方程得：x=my+2m﹣1，即（y+2）m=x+1，故直线DE过定点（﹣1，﹣2）．。
2018年云南省玉溪市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2018年云南省玉溪市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A＝{x|x≥0，x∈R}，B＝{x|x2+2x﹣3≥0，x∈R}，则（∁R A）∩B＝（）A．（﹣∞，0）∪[1，+∞）B．（﹣∞，﹣3]C．[1，+∞）D．[﹣3，0）2．（5分）设复数z的共轭复数为，若＝i3，则||＝（）A．1B．C．D．23．（5分）如图是甲乙丙三位同学在高三以来6次考试的数学成绩折线图，请根据图表判断下列说法错误的是（）A．丙的数学成绩整体上最差B．乙的数学成绩稳定性最差C．甲乙整体水平较接近，且甲的成绩更加稳定D．乙的整体水平比丙高，且乙的成绩比丙更稳定4．（5分）已知与的夹角为，＝（1，1），||＝1，则在方向上的投影为（）A．B．C．D．5．（5分）函数f（x）＝sin2x+2cos2x的一条对称轴为（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝6．（5分）一个正方体截去两个角后所得几何体的正（主）视图、俯视图如图所示，则其侧（左）视图为（）A．B．C．D．7．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A＝，b＝3，c＝2，则sin C＝（）A．B．C．D．18．（5分）如图所示的程序框图是数学史上有名的“冰雹猜想”，它蕴含着一个规律，即任意正整数n，按照改程序运行，最终都会变为4﹣2﹣1循环，若输入i＝0，试求输入n 分别为5和6，则输出的i分别为（）A．4和7B．5和8C．5和7D．4和89．（5分）三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，已知P A，PB，PC两两垂直，P A ＝1，PB+PC＝4，当三棱锥的体积最大时，球O的体积为（）A．36πB．9πC．πD．π10．（5分）函数f（x）＝2tan x﹣3x在（）上的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），M，N两点在双曲线上，且MN∥F1F2，|F1F2|＝2|MN|，线段F1N交双曲线C于点Q，且|F1Q|＝|F1N|，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝x2+ln2x﹣2m（x+lnx）+2m2+1，若存在x0使得f（x0）成立，则实数m的值为（）A．B．1C．D．2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若x，y满足，则z＝x﹣y的最大值为．14．（5分）在（﹣2x2）5的展开式中，x2的系数是．15．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率为的直线l与该抛物线分别交于A，B两点，（点A在第一象限），若＝，则λ＝．16．（5分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且点（a n，4S n）在函数f（x）＝x2+2x的图象上，若不等式S n+16＞（﹣1）nλa n对∀n∈N*恒成立，则λ的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知数列{a n}中，a1＝2，a n＝（n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（a n﹣1）2，且数列{b n}的前n项和为S n，证明：S n＜2．18．（12分）为更好地了解职工对待工作的满意程度，某企业通过调查问卷（满分50分）的形式对本企业900名应该的工作满意进行调查，并随机抽取了其中30名员工（16名女员工，14名男员工）的得分，如表（Ⅰ）根据初步计算分析得这30名员工的平均得分为40.5分，若规定大于平均得分为“满意”，否则为“不满意”，请完成下列表格：（Ⅱ）根据上述表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关？参考数据：参考公式：K2＝（Ⅲ）在上述样本中且得分大于45分的员工里，随机抽取2人，记男员工的人数为X，求X的分布列和数学期望EX．19．（12分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，F为AD的中点，E为边BC的中点，M是棱PC的中点，AB＝4．（Ⅰ）求证：直线P A∥平面MFE；（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣C的大小为60°，求直线PE与平面MFE所成角的余弦值．20．（12分）已知圆C：x2+（y+）2＝16，点A（0，），P是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线交CP于点Q，当的P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E，直线l：y＝kx+m与y轴交于点D，与曲线E交于M，N两个相异点，且＝．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）是否存在实数m，使＝4？，若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数f（x）＝e x﹣1﹣lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设函数g（x）＝e t（x﹣1）﹣tlnx（t＞0），曲线y＝g（x）与直线y＝tx相切，证明：t＜2．请考生在22.23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为，（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点A（，）．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若M，N是曲线C1上的两个动点，且OM⊥ON，求证：+是定值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥4的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤﹣t2+3t在[1，3]上无解，求实数t的取值范围．2018年云南省玉溪市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A＝{x|x≥0，x∈R}，B＝{x|x2+2x﹣3≥0，x∈R}，则（∁R A）∩B＝（）A．（﹣∞，0）∪[1，+∞）B．（﹣∞，﹣3]C．[1，+∞）D．[﹣3，0）【解答】解：集合A＝{x|x≥0，x∈R}，B＝{x|x2+2x﹣3≥0，x∈R}＝{x|x≤﹣3或x≥1，x∈R}＝（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞），∴∁R A＝{x|x＜0，x＜R}＝（﹣∞，0），∴（∁R A）∩B＝（﹣∞，﹣3]．故选：B．2．（5分）设复数z的共轭复数为，若＝i3，则||＝（）A．1B．C．D．2【解答】解：＝i3＝﹣i，解得：z＝＝＝＝i，则||＝|z|＝1．故选：A．3．（5分）如图是甲乙丙三位同学在高三以来6次考试的数学成绩折线图，请根据图表判断下列说法错误的是（）A．丙的数学成绩整体上最差B．乙的数学成绩稳定性最差C．甲乙整体水平较接近，且甲的成绩更加稳定D．乙的整体水平比丙高，且乙的成绩比丙更稳定【解答】解：由甲乙丙三位同学在高三以来6次考试的数学成绩折线图，知：在A中，丙的数学成绩整体上最差，故A正确；在B中，乙的数学成绩稳定性最差，故B正确；在C中，甲乙整体水平较接近，且甲的成绩更加稳定，故C正确；在D中，乙的整体水平比丙高，且丙的成绩比乙更稳定，故D错误．故选：D．4．（5分）已知与的夹角为，＝（1，1），||＝1，则在方向上的投影为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，与的夹角为，且||＝1，则在方向上的投影||cos＝；故选：C．5．（5分）函数f（x）＝sin2x+2cos2x的一条对称轴为（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝【解答】解：函数f（x）＝sin2x+2cos2x＝sin2x+cos2x+1＝2sin（2x+）+1．令2x+＝，k∈Z，可得：x＝．令k＝0，可得一条对称轴为：x＝．故选：B．6．（5分）一个正方体截去两个角后所得几何体的正（主）视图、俯视图如图所示，则其侧（左）视图为（）A．B．C．D．【解答】解：几何体的直观图如图：它的左视图为：．故选：B．7．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A＝，b＝3，c＝2，则sin C＝（）A．B．C．D．1【解答】解：根据题意，△ABC中，A＝，b＝3，c＝2，则a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝3，则a＝，又由正弦定理：＝，则sin C＝＝＝1，故选：D．8．（5分）如图所示的程序框图是数学史上有名的“冰雹猜想”，它蕴含着一个规律，即任意正整数n，按照改程序运行，最终都会变为4﹣2﹣1循环，若输入i＝0，试求输入n 分别为5和6，则输出的i分别为（）A．4和7B．5和8C．5和7D．4和8【解答】解：若输入i＝0，n＝5满足条件n为奇数，n＝16，i＝1不满足条件n＝1，不满足条件n为奇数，n＝8，i＝2不满足条件n＝1，不满足条件n为奇数，n＝4，i＝3不满足条件n＝1，不满足条件n为奇数，n＝2，i＝4不满足条件n＝1，不满足条件n为奇数，n＝1，i＝5满足条件n＝1，退出循环，输出i的值为5．若输入i＝0，n＝6不满足条件n为奇数，n＝3，i＝1不满足条件n＝1，满足条件n为奇数，n＝10，i＝2不满足条件n＝1，不满足条件n为奇数，n＝5，i＝3不满足条件n＝1，满足条件n为奇数，n＝16，i＝4不满足条件n＝1，不满足条件n为奇数，n＝8，i＝5不满足条件n＝1，不满足条件n为奇数，n＝4，i＝6不满足条件n＝1，不满足条件n为奇数，n＝2，i＝7不满足条件n＝1，不满足条件n为奇数，n＝1，i＝8满足条件n＝1，退出循环，输出i的值为8．故选：B．9．（5分）三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，已知P A，PB，PC两两垂直，P A ＝1，PB+PC＝4，当三棱锥的体积最大时，球O的体积为（）A．36πB．9πC．πD．π【解答】解：由题意，V＝••1•PB•PC≤（PB+PC）2＝，当且仅当PB＝PC＝2时，三棱锥的体积最大，如图所示，将P﹣ABC视为正四棱柱的一部分，则CD＝2R，即P A2+PB2+PC2＝4R2＝9，可得R＝，故球的体积是：V＝πR3＝×π×（）3＝π故选：C．10．（5分）函数f（x）＝2tan x﹣3x在（）上的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝2tan x﹣3x在（）上是奇函数，排除A，B；当x＝时，f（x）＝﹣＜0，x＝时，y＝2﹣＜0，排除选项C，故选：D．11．（5分）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），M，N两点在双曲线上，且MN∥F1F2，|F1F2|＝2|MN|，线段F1N交双曲线C于点Q，且|F1Q|＝|F1N|，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．【解答】解：由2c＝|F1F2|＝2|MN|，可得|MN|＝c，由MN∥F1F2，可设N（c，t），由|F1Q|＝|F1N|，可得|F1Q|＝|QN|，由定点分比坐标公式可得Q（﹣c，t），由N，Q在双曲线上，可得﹣＝1，﹣＝1，消去t整理可得，e2﹣1＝（e2﹣1），解得e＝．故选：D．12．（5分）已知函数f（x）＝x2+ln2x﹣2m（x+lnx）+2m2+1，若存在x0使得f（x0）成立，则实数m的值为（）A．B．1C．D．2【解答】解：函数f（x）＝x2+ln2x﹣2m（x+lnx）+2m2+1，若存在x0使得f（x0）成立⇔存在x0使得x02﹣2mx0+m2+ln2x0﹣2mlnx0+m2≤成立．存在x0使得g（x0）＝（x0﹣m）2+（lnx0﹣m）2成立．可以看作是动点M（x0，lnx0）与动点N（m，m）之间距离的平方小于，动点M在函数y＝lnx的图象上，N在直线y＝x的图象上，问题转化为求直线y＝x上的动点到曲线y＝lnx的最小距离，由y＝lnx得，y′＝＝1，解得x＝1，∴曲线上点M（1，0）到直线y＝x的距离最小，最小距离d＝，根据题意，要使g（x0）≤，则f（x0）＝，此时N恰好为垂足，由k MN＝，解得m＝．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若x，y满足，则z＝x﹣y的最大值为2．【解答】解：由x，y满足作出可行域如图，化目标函数z＝x﹣y为y＝x﹣z，由图可知，当直线y＝x﹣z过A（0，﹣2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2，故答案为：2．14．（5分）在（﹣2x2）5的展开式中，x2的系数是40．【解答】解：由＝．取，得r＝2．∴（﹣2x2）5的展开式中，x2的系数是．故答案为：40．15．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率为的直线l与该抛物线分别交于A，B两点，（点A在第一象限），若＝，则λ＝．【解答】解：直线l的方程为：y＝（x﹣），联立方程组，消元可得：3x2﹣5px+＝0，解得：x1＝，x2＝，∴|AF|＝x2+＝2p，|AB|＝x1+x2+p＝，∴λ＝＝．故答案为：．16．（5分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且点（a n，4S n）在函数f（x）＝x2+2x的图象上，若不等式S n+16＞（﹣1）nλa n对∀n∈N*恒成立，则λ的取值范围是（﹣，）．【解答】解：点（a n，4S n）在函数f（x）＝x2+2x的图象上，即为4S n＝a n2+2a n，（a n＞0），当n＝1时，4a1＝4S1＝a12+2a1，解得a1＝2；当n≥2时，4S n＝a n2+2a n，4S n﹣1＝a n﹣12+2a n﹣1，两式相减可得4a n＝4S n﹣4S n﹣1＝a n2﹣a n﹣12+2a n﹣2a n﹣1（a n﹣a n﹣1）（a n+a n﹣1）﹣2（a n+a n﹣1）＝0，即有（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）＝0可得a n﹣a n﹣1＝2，则a n＝2+2（n﹣1）＝2n，当n﹣1时也成立，∴S n＝n（n+1），不等式S n+16＞（﹣1）n•λa n对任意n∈N*恒成立，可得n（n+1）+16＞（﹣1）n•λ•2n对任意n∈N*恒成立，即为（﹣1）n•λ＜n++对任意n∈N*恒成立，当n为偶数时，即有λ＜n++恒成立，由n++≥2+＝，即有λ＜；当n为奇数时，﹣λ＜n++恒成立，由于n＝4时，n++≥2+＝，当且仅当n＝4时取得等号，考虑n＝3时，n++＝；n＝5时，n++＝，即有﹣λ＜，即λ＞﹣，综上可得λ的范围是（﹣，）．故答案为：（﹣，）三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知数列{a n}中，a1＝2，a n＝（n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（a n﹣1）2，且数列{b n}的前n项和为S n，证明：S n＜2．【解答】（I）证明：∵a1＝2，a n＝（n∈N*）．∴a n+1＝2﹣，∴﹣＝﹣＝﹣＝1，＝1．∴数列{}是等差数列，首项与公差分别为1．∴＝1+（n﹣1）＝n，∴a n＝1+．（II）证明：b n＝（a n﹣1）2＝．∴n≥2时，b n＜＝﹣．∴数列{b n}的前n项和为S n＜1++……+＝2﹣＜2．∴S n＜2．18．（12分）为更好地了解职工对待工作的满意程度，某企业通过调查问卷（满分50分）的形式对本企业900名应该的工作满意进行调查，并随机抽取了其中30名员工（16名女员工，14名男员工）的得分，如表（Ⅰ）根据初步计算分析得这30名员工的平均得分为40.5分，若规定大于平均得分为“满意”，否则为“不满意”，请完成下列表格：（Ⅱ）根据上述表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关？参考数据：参考公式：K2＝（Ⅲ）在上述样本中且得分大于45分的员工里，随机抽取2人，记男员工的人数为X，求X的分布列和数学期望EX．【解答】解：（Ⅰ）根据初步计算分析得这30名员工的平均得分为40.5分，规定大于平均得分为“满意”，否则为“不满意”，完成下列表格：（Ⅱ）根据上述表中数据，K2＝＝≈8.571＞6.635，∴利用独立性检验的方法判断，能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关．（Ⅲ）样本中得分大于45分的员工里女员工有6人，男员工有2人，从中随机抽取2人，记男员工的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，∴X的分布列为：数学期望EX＝＝．19．（12分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，F为AD的中点，E为边BC的中点，M是棱PC的中点，AB＝4．（Ⅰ）求证：直线P A∥平面MFE；（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣C的大小为60°，求直线PE与平面MFE所成角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC，交EF于O，连结OM，∵在正四棱锥P﹣ABCD中，F为AD的中点，E为边BC的中点，M是棱PC的中点，AB＝4．∴O是AC的中点，∴P A∥OM，∵P A⊄平面MFE，OM⊂平面MFE，∴直线P A∥平面MFE．（Ⅱ）连结AC、BD，交于点O，连结OP，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设OP＝t，则A（2，0，0，），D（0，﹣2，0），P（0，0，t），＝（2，0，﹣t），＝（0，﹣2，﹣t），设平面P AD的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣1，），平面ADC的法向量＝（0，0，1），∵二面角P﹣AD﹣C的大小为60°，∴cos60°＝＝，解得t＝2．∴P（0，0，2），C（﹣2，0，0），E（﹣，，0），F（，﹣，0），M（﹣，0，），＝（﹣，，﹣2），＝（﹣2，，），＝（﹣2，2，0），设平面MEF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，），设直线PE与平面MFE所成角为θ，则sinθ＝＝＝，cosθ＝，∴直线PE与平面MFE所成角的余弦值为．20．（12分）已知圆C：x2+（y+）2＝16，点A（0，），P是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线交CP于点Q，当的P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E，直线l：y＝kx+m与y轴交于点D，与曲线E交于M，N两个相异点，且＝．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）是否存在实数m，使＝4？，若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）如图，由题意可得：|QA|＝|QP|，则|QA|+|QC|＝|PC|＝4＞2，∴点Q的轨迹曲线E是以A，C为焦点的椭圆，其中2a＝4，a＝2，c＝，则b＝1．∴曲线E的方程为；（Ⅱ）联立，可得（k2+4）x2+2kmx+m2﹣4＝0．由△＝4k2m2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，得k2﹣m2+4＞0．设M（x1，y1），N（x2，y2）．则，①，②∵D（0，m），∴＝（﹣x1，m﹣y1），＝（x2，y2﹣m），由＝4，＝．⇒λ＝3，得＝3．⇒（﹣x1，m﹣y1）＝（3x2，3y2﹣3m），则﹣x1＝3x2，③联立①③，得，，代入②，得﹣3k2m2＝（k2+4）（m2﹣4），即k2m2﹣k2+m2﹣4＝0，得，代入k2﹣m2+4＞0，得＞0，解得1＜m2＜4.1＜m＜2或﹣2＜m＜﹣1．∴存在实数m，使＝4，m的取值范围是（1，2）∪（﹣2，﹣1）．21．（12分）设函数f（x）＝e x﹣1﹣lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设函数g（x）＝e t（x﹣1）﹣tlnx（t＞0），曲线y＝g（x）与直线y＝tx相切，证明：t＜2．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝e x﹣1﹣，显然f′（x）在（0，+∞）递增，而f′（1）＝0，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；（Ⅱ）证明：设曲线y＝f（x）与直线y＝tx的切点为（x0，f（x0）），因为f′（x）＝t（e t（x﹣1）﹣），所以f′（x0）＝t（e t（x0﹣1）﹣）＝t，即e t（x0﹣1）＝+1．因为直线y＝tx经过切点（x0，f（x0）），所以f（x0）＝e t（x0﹣1）﹣tlnx0＝tx0，于是，有+1﹣tlnx0＝tx0，即t＝．令h（x）＝e t（x﹣1）﹣﹣1，则h′（x）＝te t（x﹣1）+＞0，故h（x）单增，又h（1）＝﹣1＜0，h（1+）＝e﹣﹣1＞0，所以h（x）有唯一零点x0，且x0∈（1，1+）．再令r（x）＝，其中x∈（1，1+），则r′（x）＝＜0，故r（x）单减，所以r（x）＜r（1）＝2，即t＜2．请考生在22.23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为，（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点A（，）．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若M，N是曲线C1上的两个动点，且OM⊥ON，求证：+是定值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为，（φ为参数），转换为直角坐标方程为：，曲线C2是圆心在极轴上经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点A（，）．则：，解得：R＝1，圆的极坐标方程为：x2+y2﹣2x＝0．证明：（Ⅱ）M，N是曲线C1上的两个动点，且OM⊥ON，设M（ρ1，θ），Nρ2，θ），则：＝＝+＝．故：+是定值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥4的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤﹣t2+3t在[1，3]上无解，求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）≥4，即或或，解得：x ≥或x≤﹣7，故不等式的解集是{x|x ≥或x≤﹣7}；（Ⅱ）f（x ）＝，关于x的不等式f（x）≤﹣t2+3t在[1，3]上无解，则﹣t2+3t＜f（x）min，x∈[1，3]，而f（x）min＝2，故t2﹣3t+2＞0，解得：t＞2或t＜1，即t∈（﹣∞，1）∪（2，+∞）．第21页（共21页）。
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷(02)
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（02）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若全集U=R，集合，则M∩（∁U N）等于（）A．{x|x＜﹣2}B．{x|x＜﹣2或x≥3}C．{x|x≥3}D．{x|﹣2≤x＜3} 2．（5分）与函数y=10lg（x﹣1）的图象相同的函数是（）A．y=x﹣1 B．y=|x﹣1|C． D．3．（5分）若a∈R，则a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．（5分）在下列图象中，二次函数y=ax2+bx及指数函数y=（）x的图象只可能是（）A．B．C．D．5．（5分）对于定义在R上的函数y=f（x），若f（a）•f（b）＜0（a，b∈R，且a＜b），则函数y=f（x）在区间（a，b）内（）A．只有一个零点B．至少有一个零点C．无零点D．无法判断6．（5分）二次函数f（x）满足f（x+2）=f（﹣x+2），又f（0）=3，f（2）=1，若在[0，m]上有最大值3，最小值1，则m的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[2，+∞）C．（0，2]D．[2，4]7．（5分）设奇函数f （x ）的定义域为R，且f（x+4）=f（x），当x∈[4，6]时f （x）=2x+1，则f （x ）在区间[﹣2，0]上的表达式为（）A．f（x）=2x+1 B．f（x）=﹣2﹣x+4﹣1 C．f（x）=2﹣x+4+1 D．f（x）=2﹣x+1 8．（5分）正实数x1，x2及函数f（x）满足，且f（x1）+f（x2）=1，则f（x1+x2）的最小值为（）A．4 B．2 C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．（5分）已知命题P：“对任何x∈R，x2+2x+2＞0”的否定是．10．（5分）函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是．11．（5分）设g（x）=，则g（g（））=．12．（5分）下列命题：（1）梯形的对角线相等；（2）有些实数是无限不循环小数；（3）有一个实数x，使x2+2x+3=0；（4）x2≠y2⇔x≠y或x≠﹣y；（5）命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题“若a+b不是偶数，则a、b都不是偶数”；（6）若p或q”为假命题，则“非p且非q”是真命题；（7）已知a、b、c是实数，关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集，必有a＞0且△≤0．其中真命题的序号是．（把符合要求的命题序号都填上）13．（5分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是．14．（5分）函数f（x）的图象与函数g（x）=（）x的图象关于直线y=x对称，则f（2x﹣x2）的单调减区间为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（12分）已知函数f（x）=sin2x+sinx•cosx+2cos2x，x∈R（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x的图象经过怎样的变换得到？16．（12分）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．（I）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；（Ⅱ）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价﹣成本）17．（14分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=2．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P﹣CD﹣B的大小；（3）求点C到平面PBD的距离．18．（14分）已知函数f（x）对任意x，y∈R，满足f（x）+f（y）=f（x+y）+2，当x＞0时，f（x）＞2．（1）求证：f（x）在R上是增函数；（2）当f（3）=5时，解不等式：f（a2﹣2a﹣2）＜3．19．（14分）若函数f（x）对定义域中任意x均满足f（x）+f（2a﹣x）=2b，则函数f（x）的图象关于点（a，b）对称．（1）已知函数f（x）=的图象关于点（0，1）对称，求实数m的值；（2）已知函数g（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，且当x∈（0，+∞）时，g（x）=x2+ax+1，求函数g（x）在（﹣∞，0）上的解析式；（3）在（1）、（2）的条件下，若对实数x＜0及t＞0，恒有g（x）＜f（t）成立，求实数a的取值范围．20．（14分）设M是满足下列条件的函数构成的集合：①方程f（x）﹣x=0有实数根；②函数f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜1．（1）若函数f（x）为集合M中的任意一个元素，证明：方程f（x）﹣x=0只有一个实根；（2）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；（3）设函数f（x）为集合M中的元素，对于定义域中任意α，β，当|α﹣2012|＜1，|β﹣2012|＜1时，证明：|f（α）﹣f（β）|＜2．2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（02）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若全集U=R，集合，则M∩（∁U N）等于（）A．{x|x＜﹣2}B．{x|x＜﹣2或x≥3}C．{x|x≥3}D．{x|﹣2≤x＜3}【解答】解：∵全集U=R，M={x|x＞2，或x＜﹣2 }，N={x|﹣1＜x＜3}，∴C U N={x|x≤﹣1，或x≥3}，M∩（C U N）={x|x＜﹣2，或x≥3}，故选B．2．（5分）与函数y=10lg（x﹣1）的图象相同的函数是（）A．y=x﹣1 B．y=|x﹣1|C． D．【解答】解：函数y=10lg（x﹣1）的定义域为{x|x＞1}，且y=x﹣1对于A，它的定义域为R，故错；对于B，它的定义域为R，故错；对于C，它的定义域为{x|x＞1}，解析式也相同，故正确；对于D，它的定义域为{x|x≠﹣1}，故错；故选C．3．（5分）若a∈R，则a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：∵（a﹣1）（a﹣2）=0，∴a=1或a=2，根据充分必要条件的定义可判断：若a∈R，则a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的充分不必要条件，故选：A4．（5分）在下列图象中，二次函数y=ax2+bx及指数函数y=（）x的图象只可能是（）A．B．C．D．【解答】解：根据指数函数y=（）x可知a，b同号且不相等则二次函数y=ax2+bx的对称轴＜0可排除B与D选项C，a﹣b＞0，a＜0，∴＞1，则指数函数单调递增，故C不正确故选：A5．（5分）对于定义在R上的函数y=f（x），若f（a）•f（b）＜0（a，b∈R，且a＜b），则函数y=f（x）在区间（a，b）内（）A．只有一个零点B．至少有一个零点C．无零点D．无法判断【解答】解：函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，“f（a）•f（b）＜0”∴函数f（x）在区间[a，b]上至少有一个零点，也可能有2，3或多个零点，但是如果函数不是连续函数，在区间（a，b）上可能没有零点；f（x）=，函数不是列出函数，定义域为R，没有零点．则函数y=f（x）在区间（a，b）内的零点个数，无法判断．故选：D．6．（5分）二次函数f（x）满足f（x+2）=f（﹣x+2），又f（0）=3，f（2）=1，若在[0，m]上有最大值3，最小值1，则m的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[2，+∞）C．（0，2]D．[2，4]【解答】解：∵二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x），∴其对称轴是x=2，可设其方程为y=a（x﹣2）2+b∵f（0）=3，f（2）=1∴解得a=，b=1函数f（x）的解析式是y=（x﹣2）2+1∵f（0）=3，f（2）=1，f（x）在[0，m]上的最大值为3，最小值为1，∴m≥2又f（4）=3，由二次函数的性质知，m≤4综上得2≤m≤4故选D7．（5分）设奇函数f （x ）的定义域为R，且f（x+4）=f（x），当x∈[4，6]时f （x）=2x+1，则f （x ）在区间[﹣2，0]上的表达式为（）A．f（x）=2x+1 B．f（x）=﹣2﹣x+4﹣1 C．f（x）=2﹣x+4+1 D．f（x）=2﹣x+1【解答】解：当x∈[﹣2，0]时，﹣x∈[0，2]，∴﹣x+4∈[4，6]，又∵当x∈[4，6]时，f（x）=2x+1，∴f（﹣x+4）=2﹣x+4+1．又∵f（x+4）=f（x），∴函数f（x）的周期为T=4，∴f（﹣x+4）=f（﹣x），又∵函数f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=2﹣x+4+1，∴当x∈[﹣2，0]时，f（x）=﹣2﹣x+4﹣1．故选：B．8．（5分）正实数x1，x2及函数f（x）满足，且f（x1）+f（x2）=1，则f（x1+x2）的最小值为（）A．4 B．2 C．D．【解答】解：由已知得，由f（x1）+f（x2）=+=1于是可得：，所以得：=≥2，①设=t，则①式可得：t2﹣2t﹣3≥0，又因为t＞0，于是有：t≥3或t≤﹣1（舍），从而得≥3，即：≥9，所以得：f（x1+x2）===≥1﹣=．所以有：f（x1+x2）的最小值为．故应选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．（5分）已知命题P：“对任何x∈R，x2+2x+2＞0”的否定是∃x∈R，x2+2x+2≤0．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任何x∈R，x2+2x+2＞0”的否定为：∃x∈R，x2+2x+2≤0．故答案为：∃x∈R，x2+2x+2≤010．（5分）函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（﹣，1）．【解答】解：由，解得：﹣．∴函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（﹣，1）．故答案为：（﹣，1）．11．（5分）设g（x）=，则g（g（））=．【解答】解：∵g（x）=，∴g（）=ln=﹣ln2＜0，∴g（g（））=g（﹣ln2）=e﹣ln2==2﹣1=．故答案为：．12．（5分）下列命题：（1）梯形的对角线相等；（2）有些实数是无限不循环小数；（3）有一个实数x，使x2+2x+3=0；（4）x2≠y2⇔x≠y或x≠﹣y；（5）命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题“若a+b不是偶数，则a、b都不是偶数”；（6）若p或q”为假命题，则“非p且非q”是真命题；（7）已知a、b、c是实数，关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集，必有a＞0且△≤0．其中真命题的序号是（2）（6）．（把符合要求的命题序号都填上）【解答】解：对于（1），梯形的对角线不一定相等，∴（1）错误；对于（2），无理数是无限不循环小数，无理数是实数，∴（2）正确；对于（3），△=22﹣4×1×3＜0，方程x2+2x+3=0无实根，∴（3）错误；对于（4），x2≠y2⇔x≠y且x≠﹣y，∴（4）错误；对于（5），命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题“若a+b不是偶数，则a、b不都是偶数”，∴（5）错误；对于（6），“若p或q”为假命题，则它的否定“非p且非q”是真命题，（6）正确；对于（7），a、b、c是实数，关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集，则必有a＞0且△＜0，∴（7）错误；综上，以上真命题的序号是（2）（6）．故答案为：（2）（6）．13．（5分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是．【解答】解：如图所示：曲线，即（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（3≤y≤5，0≤x≤4），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆．由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得=2，∴b=1+2，或b=1﹣2．结合图象可得﹣1≤b≤1+2，故答案为：．14．（5分）函数f（x）的图象与函数g（x）=（）x的图象关于直线y=x对称，则f（2x﹣x2）的单调减区间为（0，1）．【解答】解：由y=g（x）=（）x，得x=，∴函数g（x）=（）x的反函数为，该函数为定义域内的减函数，由2x﹣x2＞0，得0＜x＜2，函数y=2x﹣x2在（0，1）内为增函数，由复合函数的单调性可得，f（2x﹣x2）的单调减区间为（0，1）．故答案为：（0，1）．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（12分）已知函数f（x）=sin2x+sinx•cosx+2cos2x，x∈R（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x的图象经过怎样的变换得到？【解答】解：（1）f（x）=sin2x+x，=，=，=，函数的最小正周期为：T=．令：（k∈Z），解得：（k∈Z），函数的单调递减区间为：（k∈Z）．（2）函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数y=sin（2x+）的图象，再将函数图象向上平移各单位得到f（x）=sin（2x+）+的图象．16．（12分）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．（I）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；（Ⅱ）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价﹣成本）【解答】解：（I）当0＜x≤100时，P=60当100＜x≤500时，所以（II）设销售商的一次订购量为x件时，工厂获得的利润为L元，则此函数在[0，450]上是增函数，故当x=450时，函数取到最大值因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获利的利润是5850元．17．（14分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=2．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P﹣CD﹣B的大小；（3）求点C到平面PBD的距离．【解答】（1）证明：建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）．在Rt△BAD中，AD=2，BD=2，∴AB=2．∴B（2，0，0）、C（2，2，0），∴=（0，0，2），=（2，2，0），=（﹣2，2，0）∴•=0，•=0，即BD⊥AP，BD⊥AC，又因为AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．（2）解：由（1）得=（0，2，﹣2），=（﹣2，0，0）．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），即，故平面PCD的法向量可取为=（0，1，1）∵PA⊥平面ABCD，∴=（0，0，2）为平面ABCD的法向量．设二面角P﹣CD﹣B的大小为θ，依题意可得cosθ=，∴二面角P﹣CD﹣B的大小是45°．（3）解：由（1）得=（2，0，﹣2），=（0，2，﹣2），同理，可得平面PBD的法向量为=（1，1，1）．∵=（2，2，﹣2），∴C到面PBD的距离为d=||=．18．（14分）已知函数f（x）对任意x，y∈R，满足f（x）+f（y）=f（x+y）+2，当x＞0时，f（x）＞2．（1）求证：f（x）在R上是增函数；（2）当f（3）=5时，解不等式：f（a2﹣2a﹣2）＜3．【解答】解：（1）设x1＜x2，则x2﹣x1＞0，∵x＞0，f（x）＞2；∴f（x2﹣x1）＞2；又f（x2）=f[（x2﹣x1）+x1]=f（x2﹣x1）+f（x1）﹣2＞2+f（x1）﹣2=f（x1），即f（x2）＞f（x1）．所以：函数f（x）为单调增函数（2）∵f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）﹣2=[f（1）+f（1）﹣2]+f（1）﹣2=3f （1）﹣4=5∴f（1）=3．即f（a2﹣2a﹣2）＜3⇒f（a2﹣2a﹣2）＜f（1）∴a2﹣2a﹣2＜1⇒a2﹣2a﹣3＜0解得：﹣1＜a＜3．19．（14分）若函数f（x）对定义域中任意x均满足f（x）+f（2a﹣x）=2b，则函数f（x）的图象关于点（a，b）对称．（1）已知函数f（x）=的图象关于点（0，1）对称，求实数m的值；（2）已知函数g（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，且当x∈（0，+∞）时，g（x）=x2+ax+1，求函数g（x）在（﹣∞，0）上的解析式；（3）在（1）、（2）的条件下，若对实数x＜0及t＞0，恒有g（x）＜f（t）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）因为函数f（x）的图象关于点（0，1）对称，∴f（x）+f（﹣x）=2，即，所以2m=2，∴m=1．（2）因为函数g（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，则g（x）+g（﹣x）=2，∴g（x）=2﹣g（﹣x），∴当x＜0时，则﹣x＞0，∴g（﹣x）=x2﹣ax+1，∴g（x）=2﹣g（﹣x）=﹣x2+ax+1；（3）由（1）知，，∴f（t）min=3，又当x＜0时，g（x）=﹣x2+ax+1∴g（x）=﹣x2+ax+1＜3，∴ax＜2+x2又x＜0，∴，∴．20．（14分）设M是满足下列条件的函数构成的集合：①方程f（x）﹣x=0有实数根；②函数f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜1．（1）若函数f（x）为集合M中的任意一个元素，证明：方程f（x）﹣x=0只有一个实根；（2）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；（3）设函数f（x）为集合M中的元素，对于定义域中任意α，β，当|α﹣2012|＜1，|β﹣2012|＜1时，证明：|f（α）﹣f（β）|＜2．【解答】解：（1）证明：令h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=f′（x）﹣1＜0，故h （x）是单调递减函数，所以，方程h（x）=0，即f（x）﹣x=0至多有一解，又由题设①知方程f（x）﹣x=0有实数根，所以，方程f（x）﹣x=0有且只有一个实数根…..（4分）（2）易知，，满足条件②；令，则，…..（7分）又F（x）在区间[e，e2]上连续，所以F（x）在[e，e2]上存在零点x0，即方程g（x）﹣x=0有实数根，故g（x）满足条件①，综上可知，g（x）∈M…（9分）（3）证明：不妨设α＜β，∵f′（x）＞0，∴f（x）单调递增，∴f（α）＜f（β），即f（β）﹣f（α）＞0，令h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=f′（x）﹣1＜0，故h（x）是单调递减函数，∴f（β）﹣β＜f（α）﹣α，即f（β）﹣f（α）＜β﹣α，∴0＜f（β）﹣f（α）＜β﹣α，则有|f（α）﹣f（β）|＜|α﹣β|≤|α﹣2012|+|β﹣2012|＜2．（14分）。
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷(07)
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（07）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={m，﹣3}，N={x|2x2+7x+3＜0，x∈Z}，如果M∩N≠∅，则m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣2或﹣1 D．2．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（1））+f（log3）的值是（）A．7 B．2 C．5 D．33．（5分）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B（如图），要测算A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC=50m，∠ABC=105°，∠BCA=45°，就可以计算出A，B两点的距离为（）A．50m B．50m C．25m D．m4．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则m⊥β．其中错误命题的序号是（）A．①④B．①③C．②③④D．②③5．（5分）函数y=x•|cosx|的图象大致是（）A．B．C．D．6．（5分）函数y=的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为等比数列的公比的数是（）A．B．C．D．7．（5分）已知向量，，若+2与垂直，则k=（）A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．﹣18．（5分）计算（x+）dx的值为（）A．B．+ln2 C．+ln2 D．3+ln29．（5分）已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A．24﹣B．24﹣C．24﹣πD．24﹣10．（5分）下列命题中为真命题的是（）A．若B．直线a，b为异面直线的充要条件是直线a，b不相交C．“a=1是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件D．若命题p：”∃x∈R，x2﹣x﹣1＞0”，则命题p的否定为：”∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”11．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，成等差数列，则=（）A．﹣1或3 B．3 C．27 D．1或2712．（5分）已知定义在R上的函数y=f（x）满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；②对于任意的x1，x2∈R，且0≤x1＜x2≤2，都有f（x1）＜f（x2）；③函数y=f（x+2）的图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是（）A．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）B．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）C．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）D．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．（4分）已知向量，，且直线2xcosα﹣2ysinα+1=0与圆（x﹣cosβ）2+（y+sinβ）2=1相切，则向量与的夹角为．14．（4分）已知2+=4×，3+=9×，4+=16×，…，观察以上等式，若9+=k×；（m，n，k均为实数），则m+n﹣k=．15．（4分）设x、y满足约束条件，则目标函数z=x2+y2的最大值为．16．（4分）定义在R上的函数f（x），对∀x∈R，满足f（1﹣x）=f（1+x），f（﹣x）=﹣f（x），且f（x）在[0，1]上是增函数．下列结论正确的是．（把所有正确结论的序号都填上）①f（0）=0；②f（x+2）=f（﹣x）；③f（x）在[﹣6，﹣4]上是增函数；④f（x）在x=﹣1处取得最小值．三、解答题：（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）若y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时y=g （x）的最大值．18．（12分）已知平面区域被圆C及其内部所覆盖．（1）当圆C的面积最小时，求圆C的方程；（2）若斜率为1的直线l与（1）中的圆C交于不同的两点A、B，且满足CA⊥CB，求直线l的方程．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，O是AC与BD的交点，SO⊥平面ABCD，E是侧棱SC的中点，异面直线SA和BC所成角的大小是60°．（Ⅰ）求证：直线SA∥平面BDE；（Ⅱ）求直线BD与平面SBC所成角的正弦值．20．（12分）已知等差数列{a n}满足：a n+1＞a n（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b n}的前三项．（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式a n，b n；（Ⅱ）设，若恒成立，求c的最小值．21．（12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元），每件售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？22．（14分）已知函数f（x）=xe﹣x+（x﹣2）e x﹣a（e≈2.73）．（Ⅰ）当a=2时，证明函数f（x）在R上是增函数；（Ⅱ）若a＞2时，当x≥1时，f（x）≥恒成立，求实数a的取值范围．2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（07）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={m，﹣3}，N={x|2x2+7x+3＜0，x∈Z}，如果M∩N≠∅，则m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣2或﹣1 D．【解答】解：由集合N中的不等式2x2+7x+3＜0，因式分解得：（2x+1）（x+3）＜0，解得：﹣3＜x＜﹣，又x∈Z，∴x=﹣2，﹣1，∴N={﹣2，﹣1}，∵M∩N≠∅，∴m=﹣1或m=﹣2．故选C2．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（1））+f（log3）的值是（）A．7 B．2 C．5 D．3【解答】解：由题意可得，f（1）=log21=0，f（f（1））=f（0）=90+1=2f（）=+1=+1=5∴=7故选A3．（5分）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B（如图），要测算A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC=50m，∠ABC=105°，∠BCA=45°，就可以计算出A，B两点的距离为（）A．50m B．50m C．25m D．m【解答】解：由题意及图知，∠BAC=30°，又BC=50m，∠BCA=45°由正弦定理得AB==50m故选A4．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则m⊥β．其中错误命题的序号是（）A．①④B．①③C．②③④D．②③【解答】解：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m、n不想交，但可能平行也可能异面，故①不正确；②∵m∥β，∴过m作平面与β相交，交线为n，则m∥n，∵m⊥α，∴n⊥α，∴根据面面垂直的判定，可得α⊥β，故②正确；③∵n⊥α，m⊥α，∴m∥n，∵n⊥β，∴m⊥β，故③正确；④α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，α∥β，则m⊥β，故④不正确．综上，错误命题的序号是为①④，故选A．5．（5分）函数y=x•|cosx|的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：设函数y=f（x）=x|cosx|，则f（﹣x）=﹣x|cosx|=﹣f（x），即函数为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C，D，又当x≥0时，f（x）=x|cosx|≥0，故在x轴下方无图象，故排除B，故选A6．（5分）函数y=的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为等比数列的公比的数是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=的等价于，表示圆心在（5，0），半径为3的上半圆（如图所示），圆上点到原点的最短距离为2（点2处），最大距离为8（点8处），若存在三点成等比数列，则最大的公比q应有8=2q2，即q2=4，q=2，最小的公比应满足2=8q2，即q2=，解得q=又不同的三点到原点的距离不相等，故q≠1，∴公比的取值范围为≤q≤2，且q≠1，故选：D7．（5分）已知向量，，若+2与垂直，则k=（）A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．﹣1【解答】解：∵=（，3），又∵∴==0∴k=﹣3故选A8．（5分）计算（x+）dx的值为（）A．B．+ln2 C．+ln2 D．3+ln2【解答】解：（x+）dx==2+ln2﹣=ln2+；故选B．9．（5分）已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A．24﹣B．24﹣C．24﹣πD．24﹣【解答】解：该几何体是由一个长方体截去半个圆柱所得，其中长方体的体积为V1=4×3×2=24；半个圆柱的体积为V2==，则V=24﹣．故选A．10．（5分）下列命题中为真命题的是（）A．若B．直线a，b为异面直线的充要条件是直线a，b不相交C．“a=1是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件D．若命题p：”∃x∈R，x2﹣x﹣1＞0”，则命题p的否定为：”∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”【解答】解：对于A，只有当x＞0时，结论成立；对于B，直线a，b不相交，直线a，b有可能平行；对于C，直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直时，a=±1；对于D，显然成立．故选D．11．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，成等差数列，则=（）A．﹣1或3 B．3 C．27 D．1或27【解答】解：∵各项均为正数的等比数列{a n}中，公比为q，∵成等差数列，∴a3=3a1+2a2，可得a1q2=33a1+2a1q2，解得q=﹣1或3，∵正数的等比数列q=﹣1舍去，故q=3，∴====27，故选C；12．（5分）已知定义在R上的函数y=f（x）满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；②对于任意的x1，x2∈R，且0≤x1＜x2≤2，都有f（x1）＜f（x2）；③函数y=f（x+2）的图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是（）A．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）B．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）C．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）D．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）【解答】解：定义在R上的函数y=f（x）满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；②对于任意的x1，x2∈R，且0≤x1＜x2≤2，都有f（x1）＜f（x2）；③函数y=f（x+2）的图象关于y轴对称，可知函数是周期为4的函数，x∈[0，2]函数是增函数，函数的对称轴为x=2，f（4.5）=f（0.5），f（7）=f（3）=f（1），f（6.5）=f（2.5）=f（1.5），可得f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．（4分）已知向量，，且直线2xcosα﹣2ysinα+1=0与圆（x﹣cosβ）2+（y+sinβ）2=1相切，则向量与的夹角为60°．【解答】解：∵直线2xcosα﹣2ysinα+1=0与圆（x﹣cosβ）2+（y+sinβ）2=1相切，∴=1解得向量==故两向量的夹角为60°故答案为60°14．（4分）已知2+=4×，3+=9×，4+=16×，…，观察以上等式，若9+=k×；（m，n，k均为实数），则m+n﹣k=79．【解答】解：通过观察可得，n+=（n≥2，n∈N*），所以由9+=k×，得n=m=92﹣1=80，k=92=81，所以m+n﹣k=80+80﹣81=79．故答案为：79．15．（4分）设x、y满足约束条件，则目标函数z=x2+y2的最大值为52．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形OABC，其中A（0，2），B（4，6），C（2，0），O为原点设P（x，y）为区域内一个动点，则|OP|=表示点P到原点O的距离∴z=x2+y2=|OP|2，可得当P到原点距离最远时z达到最大值因此，运动点P使它与点B重合时，z达到最大值∴z=42+62=52最大值故答案为：5216．（4分）定义在R上的函数f（x），对∀x∈R，满足f（1﹣x）=f（1+x），f（﹣x）=﹣f（x），且f（x）在[0，1]上是增函数．下列结论正确的是①②④．（把所有正确结论的序号都填上）①f（0）=0；②f（x+2）=f（﹣x）；③f（x）在[﹣6，﹣4]上是增函数；④f（x）在x=﹣1处取得最小值．【解答】解：因为定义在R上的函数f（x），对∀x∈R，函数满足f（﹣x）=﹣f （x），所以函数是奇函数，定义域是R，所以f（0）=0；①正确；又函数满足f（1﹣x）=f（1+x），所以函数关于x=1对称，可得f（x+2）=f（﹣x）；②正确；f（x+2）=f（﹣x）；f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x+4）=f（x），函数的周期是4，f（x）在[﹣6，﹣4]上不是单调函数，③不正确；f（x）在[0，1]上是增函数．函数又是奇函数，函数关于x=1对称[1，2]是减函数；所以函数在[﹣1，0]也是增函数，[﹣2，﹣1]上是减函数，所以函数在x=﹣1球的最小值，④正确；正确结果是：①②④．故答案为：①②④．三、解答题：（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）若y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时y=g （x）的最大值．【解答】解：（1）f（x）===故f（x）的最小正周期为T==8（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），它关于x=1的对称点（2﹣x，g（x））．由题设条件，点（2﹣x，g（x））在y=f（x）的图象上，从而==当时，时，因此y=g（x）在区间上的最大值为18．（12分）已知平面区域被圆C及其内部所覆盖．（1）当圆C的面积最小时，求圆C的方程；（2）若斜率为1的直线l与（1）中的圆C交于不同的两点A、B，且满足CA⊥CB，求直线l的方程．【解答】解：（1）由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，由于覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，∴圆心是Rt△OPQ的斜边PQ的中点C（2，1），半径r=|OC|==，∴圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．（2）设直线l的方程是：y=x+b．∵CA⊥CB，∴圆心C到直线l的距离是=，即，解之得，b=﹣1±．∴直线l的方程是：y=x﹣1±．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，O是AC与BD的交点，SO⊥平面ABCD，E是侧棱SC的中点，异面直线SA和BC所成角的大小是60°．（Ⅰ）求证：直线SA∥平面BDE；（Ⅱ）求直线BD与平面SBC所成角的正弦值．【解答】解：（I）如图，连接EO，∵四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，O是AC与BD的交点，∴O是AC的中点，∵E是侧棱SC的中点，∴EO是△ASC的中位线，∴EO∥SA，∵SA⊂面ASC，EO不包含于面ASC，∴直线SA∥平面BDE．（II）过点O作CB的平行线作x轴，过O作AB的平行线作y轴，以OS为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∵四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，O是AC与BD的交点，SO⊥平面ABCD，E是侧棱SC的中点，异面直线SA和BC所成角的大小是60°，∴SA=4，SO=2，∴B（2，2，0），C（﹣2，2，0），S（0，0，2），D（﹣2，﹣2，0），∴，，，设面SBC的法向量为，则，，∴，∴，设直线BD与平面SBC所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|=||=．20．（12分）已知等差数列{a n}满足：a n+1＞a n（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b n}的前三项．（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式a n，b n；（Ⅱ）设，若恒成立，求c的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设d、q分别为数列{a n}、数列{b n}的公差与公比，a1=1．由题可知，a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分别加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比数列{b n}的前三项，∴（2+d）2=2（4+2d）⇒d=±2．＞a n，∵a n+1∴d＞0．∴d=2，∴a n=2n﹣1（n∈N*）．由此可得b1=2，b2=4，q=2，∴b n=2n（n∈N*）．（Ⅱ），①∴．②①﹣②，得=+2（++…+）﹣，∴T n=3﹣．∴T n+﹣=3﹣≤2，∴满足条件恒成立的最小整数值为c=3．21．（12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元），每件售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【解答】解：（1）∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣x2﹣10x﹣250=﹣x2+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．综合①②可得，L（x）=；（2）①当0＜x＜80时，L（x）=﹣x2+40x﹣250=﹣（x﹣60）2+950，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣2=1200﹣200=1000，当且仅当x=，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．22．（14分）已知函数f（x）=xe﹣x+（x﹣2）e x﹣a（e≈2.73）．（Ⅰ）当a=2时，证明函数f（x）在R上是增函数；（Ⅱ）若a＞2时，当x≥1时，f（x）≥恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=xe﹣x+（x﹣2）e x﹣2，f（x）的定义域为R，f′（x）=e﹣x﹣xe﹣x+e x﹣2+（x﹣2）e x﹣2=（x﹣1）（e x﹣2﹣e﹣x）=e﹣x（x﹣1）（e x﹣1﹣1）（e x﹣1+1）．当x≥1时，x﹣1≥0，e x﹣1﹣1≥0，所以f′（x）≥0，当x＜1时，x﹣1＜0，e x﹣1﹣1＜0，所以f′（x）≥0，所以对任意实数x，f′（x）≥0，所以f（x）在R上是增函数；（II）当x≥1时，f（x）≥恒成立，即（x﹣2）e2x﹣a﹣x2+3x﹣1≥0恒成立，设h（x）=（x﹣2）e2x﹣a﹣x2+3x﹣1（x≥1），则h′（x）=（2x﹣3）（e2x﹣a﹣1），令h′（x）=（2x﹣3）（e2x﹣a﹣1）=0，解得，，（1）当1＜＜，即2＜a＜3时，，），所以要使结论成立，则h（1）=﹣e2﹣a+1≥0，h（）=﹣e3﹣a+≥0，即e2﹣a ≤1，e3﹣a≤，解得a≥2，a≥3﹣ln，所以3﹣ln≤a＜3；（2）当=，即a=3时，h′（x）≥0恒成立，所以h（x）是增函数，又h（1）=﹣e﹣1+1＞0，故结论成立；（3）当，即a＞3时，，），所以要使结论成立，则h（1）=﹣e2﹣a+1≥0，h（）=﹣+2a﹣3≥0，即e2﹣a≤1，a2﹣8a+12≤0，解得a≥2，2≤a≤6，所以3＜a≤6；综上所述，若a＞2，当x≥1时，f（x）≥恒成立，实数a的取值范围是3﹣ln≤a≤6．…（12分）。
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷(07)
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（07）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={m，﹣3}，N={x|2x2+7x+3＜0，x∈Z}，如果M∩N≠∅，则m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣2或﹣1 D．2．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（1））+f（log3）的值是（）A．7 B．2 C．5 D．33．（5分）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B（如图），要测算A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC=50m，∠ABC=105°，∠BCA=45°，就可以计算出A，B两点的距离为（）A．50m B．50m C．25m D．m4．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则m⊥β．其中错误命题的序号是（）A．①④B．①③C．②③④D．②③5．（5分）函数y=x•|cosx|的图象大致是（）A．B．C．D．6．（5分）函数y=的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为等比数列的公比的数是（）A．B．C．D．7．（5分）已知向量，，若+2与垂直，则k=（）A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．﹣18．（5分）计算（x+）dx的值为（）A．B．+ln2 C．+ln2 D．3+ln29．（5分）已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A．24﹣B．24﹣C．24﹣πD．24﹣10．（5分）下列命题中为真命题的是（）A．若B．直线a，b为异面直线的充要条件是直线a，b不相交C．“a=1是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件D．若命题p：”∃x∈R，x2﹣x﹣1＞0”，则命题p的否定为：”∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”11．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，成等差数列，则=（）A．﹣1或3 B．3 C．27 D．1或2712．（5分）已知定义在R上的函数y=f（x）满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；②对于任意的x1，x2∈R，且0≤x1＜x2≤2，都有f（x1）＜f（x2）；③函数y=f（x+2）的图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是（）A．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）B．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）C．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）D．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．（4分）已知向量，，且直线2xcosα﹣2ysinα+1=0与圆（x﹣cosβ）2+（y+sinβ）2=1相切，则向量与的夹角为．14．（4分）已知2+=4×，3+=9×，4+=16×，…，观察以上等式，若9+=k×；（m，n，k均为实数），则m+n﹣k=．15．（4分）设x、y满足约束条件，则目标函数z=x2+y2的最大值为．16．（4分）定义在R上的函数f（x），对∀x∈R，满足f（1﹣x）=f（1+x），f（﹣x）=﹣f（x），且f（x）在[0，1]上是增函数．下列结论正确的是．（把所有正确结论的序号都填上）①f（0）=0；②f（x+2）=f（﹣x）；③f（x）在[﹣6，﹣4]上是增函数；④f（x）在x=﹣1处取得最小值．三、解答题：（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）若y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时y=g （x）的最大值．18．（12分）已知平面区域被圆C及其内部所覆盖．（1）当圆C的面积最小时，求圆C的方程；（2）若斜率为1的直线l与（1）中的圆C交于不同的两点A、B，且满足CA⊥CB，求直线l的方程．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，O是AC与BD的交点，SO⊥平面ABCD，E是侧棱SC的中点，异面直线SA和BC所成角的大小是60°．（Ⅰ）求证：直线SA∥平面BDE；（Ⅱ）求直线BD与平面SBC所成角的正弦值．20．（12分）已知等差数列{a n}满足：a n+1＞a n（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b n}的前三项．（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式a n，b n；（Ⅱ）设，若恒成立，求c的最小值．21．（12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元），每件售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？22．（14分）已知函数f（x）=xe﹣x+（x﹣2）e x﹣a（e≈2.73）．（Ⅰ）当a=2时，证明函数f（x）在R上是增函数；（Ⅱ）若a＞2时，当x≥1时，f（x）≥恒成立，求实数a的取值范围．2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（07）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={m，﹣3}，N={x|2x2+7x+3＜0，x∈Z}，如果M∩N≠∅，则m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣2或﹣1 D．【解答】解：由集合N中的不等式2x2+7x+3＜0，因式分解得：（2x+1）（x+3）＜0，解得：﹣3＜x＜﹣，又x∈Z，∴x=﹣2，﹣1，∴N={﹣2，﹣1}，∵M∩N≠∅，∴m=﹣1或m=﹣2．故选C2．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（1））+f（log3）的值是（）A．7 B．2 C．5 D．3【解答】解：由题意可得，f（1）=log21=0，f（f（1））=f（0）=90+1=2f（）=+1=+1=5∴=7故选A3．（5分）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B（如图），要测算A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC=50m，∠ABC=105°，∠BCA=45°，就可以计算出A，B两点的距离为（）A．50m B．50m C．25m D．m【解答】解：由题意及图知，∠BAC=30°，又BC=50m，∠BCA=45°由正弦定理得AB==50m故选A4．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则m⊥β．其中错误命题的序号是（）A．①④B．①③C．②③④D．②③【解答】解：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m、n不想交，但可能平行也可能异面，故①不正确；②∵m∥β，∴过m作平面与β相交，交线为n，则m∥n，∵m⊥α，∴n⊥α，∴根据面面垂直的判定，可得α⊥β，故②正确；③∵n⊥α，m⊥α，∴m∥n，∵n⊥β，∴m⊥β，故③正确；④α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，α∥β，则m⊥β，故④不正确．综上，错误命题的序号是为①④，故选A．5．（5分）函数y=x•|cosx|的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：设函数y=f（x）=x|cosx|，则f（﹣x）=﹣x|cosx|=﹣f（x），即函数为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C，D，又当x≥0时，f（x）=x|cosx|≥0，故在x轴下方无图象，故排除B，故选A6．（5分）函数y=的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为等比数列的公比的数是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=的等价于，表示圆心在（5，0），半径为3的上半圆（如图所示），圆上点到原点的最短距离为2（点2处），最大距离为8（点8处），若存在三点成等比数列，则最大的公比q应有8=2q2，即q2=4，q=2，最小的公比应满足2=8q2，即q2=，解得q=又不同的三点到原点的距离不相等，故q≠1，∴公比的取值范围为≤q≤2，且q≠1，故选：D7．（5分）已知向量，，若+2与垂直，则k=（）A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．﹣1【解答】解：∵=（，3），又∵∴==0∴k=﹣3故选A8．（5分）计算（x+）dx的值为（）A．B．+ln2 C．+ln2 D．3+ln2【解答】解：（x+）dx==2+ln2﹣=ln2+；故选B．9．（5分）已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A．24﹣B．24﹣C．24﹣πD．24﹣【解答】解：该几何体是由一个长方体截去半个圆柱所得，其中长方体的体积为V1=4×3×2=24；半个圆柱的体积为V2==，则V=24﹣．故选A．10．（5分）下列命题中为真命题的是（）A．若B．直线a，b为异面直线的充要条件是直线a，b不相交C．“a=1是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件D．若命题p：”∃x∈R，x2﹣x﹣1＞0”，则命题p的否定为：”∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”【解答】解：对于A，只有当x＞0时，结论成立；对于B，直线a，b不相交，直线a，b有可能平行；对于C，直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直时，a=±1；对于D，显然成立．故选D．11．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，成等差数列，则=（）A．﹣1或3 B．3 C．27 D．1或27【解答】解：∵各项均为正数的等比数列{a n}中，公比为q，∵成等差数列，∴a3=3a1+2a2，可得a1q2=33a1+2a1q2，解得q=﹣1或3，∵正数的等比数列q=﹣1舍去，故q=3，∴====27，故选C；12．（5分）已知定义在R上的函数y=f（x）满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；②对于任意的x1，x2∈R，且0≤x1＜x2≤2，都有f（x1）＜f（x2）；③函数y=f（x+2）的图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是（）A．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）B．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）C．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）D．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）【解答】解：定义在R上的函数y=f（x）满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；②对于任意的x1，x2∈R，且0≤x1＜x2≤2，都有f（x1）＜f（x2）；③函数y=f（x+2）的图象关于y轴对称，可知函数是周期为4的函数，x∈[0，2]函数是增函数，函数的对称轴为x=2，f（4.5）=f（0.5），f（7）=f（3）=f（1），f（6.5）=f（2.5）=f（1.5），可得f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．（4分）已知向量，，且直线2xcosα﹣2ysinα+1=0与圆（x﹣cosβ）2+（y+sinβ）2=1相切，则向量与的夹角为60°．【解答】解：∵直线2xcosα﹣2ysinα+1=0与圆（x﹣cosβ）2+（y+sinβ）2=1相切，∴=1解得向量==故两向量的夹角为60°故答案为60°14．（4分）已知2+=4×，3+=9×，4+=16×，…，观察以上等式，若9+=k×；（m，n，k均为实数），则m+n﹣k=79．【解答】解：通过观察可得，n+=（n≥2，n∈N*），所以由9+=k×，得n=m=92﹣1=80，k=92=81，所以m+n﹣k=80+80﹣81=79．故答案为：79．15．（4分）设x、y满足约束条件，则目标函数z=x2+y2的最大值为52．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形OABC，其中A（0，2），B（4，6），C（2，0），O为原点设P（x，y）为区域内一个动点，则|OP|=表示点P到原点O的距离∴z=x2+y2=|OP|2，可得当P到原点距离最远时z达到最大值因此，运动点P使它与点B重合时，z达到最大值∴z=42+62=52最大值故答案为：5216．（4分）定义在R上的函数f（x），对∀x∈R，满足f（1﹣x）=f（1+x），f（﹣x）=﹣f（x），且f（x）在[0，1]上是增函数．下列结论正确的是①②④．（把所有正确结论的序号都填上）①f（0）=0；②f（x+2）=f（﹣x）；③f（x）在[﹣6，﹣4]上是增函数；④f（x）在x=﹣1处取得最小值．【解答】解：因为定义在R上的函数f（x），对∀x∈R，函数满足f（﹣x）=﹣f （x），所以函数是奇函数，定义域是R，所以f（0）=0；①正确；又函数满足f（1﹣x）=f（1+x），所以函数关于x=1对称，可得f（x+2）=f（﹣x）；②正确；f（x+2）=f（﹣x）；f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x+4）=f（x），函数的周期是4，f（x）在[﹣6，﹣4]上不是单调函数，③不正确；f（x）在[0，1]上是增函数．函数又是奇函数，函数关于x=1对称[1，2]是减函数；所以函数在[﹣1，0]也是增函数，[﹣2，﹣1]上是减函数，所以函数在x=﹣1球的最小值，④正确；正确结果是：①②④．故答案为：①②④．三、解答题：（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）若y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时y=g （x）的最大值．【解答】解：（1）f（x）===故f（x）的最小正周期为T==8（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），它关于x=1的对称点（2﹣x，g（x））．由题设条件，点（2﹣x，g（x））在y=f（x）的图象上，从而==当时，时，因此y=g（x）在区间上的最大值为18．（12分）已知平面区域被圆C及其内部所覆盖．（1）当圆C的面积最小时，求圆C的方程；（2）若斜率为1的直线l与（1）中的圆C交于不同的两点A、B，且满足CA⊥CB，求直线l的方程．【解答】解：（1）由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，由于覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，∴圆心是Rt△OPQ的斜边PQ的中点C（2，1），半径r=|OC|==，∴圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．（2）设直线l的方程是：y=x+b．∵CA⊥CB，∴圆心C到直线l的距离是=，即，解之得，b=﹣1±．∴直线l的方程是：y=x﹣1±．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，O是AC与BD的交点，SO⊥平面ABCD，E是侧棱SC的中点，异面直线SA和BC所成角的大小是60°．（Ⅰ）求证：直线SA∥平面BDE；（Ⅱ）求直线BD与平面SBC所成角的正弦值．【解答】解：（I）如图，连接EO，∵四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，O是AC与BD的交点，∴O是AC的中点，∵E是侧棱SC的中点，∴EO是△ASC的中位线，∴EO∥SA，∵SA⊂面ASC，EO不包含于面ASC，∴直线SA∥平面BDE．（II）过点O作CB的平行线作x轴，过O作AB的平行线作y轴，以OS为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∵四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，O是AC与BD的交点，SO⊥平面ABCD，E是侧棱SC的中点，异面直线SA和BC所成角的大小是60°，∴SA=4，SO=2，∴B（2，2，0），C（﹣2，2，0），S（0，0，2），D（﹣2，﹣2，0），∴，，，设面SBC的法向量为，则，，∴，∴，设直线BD与平面SBC所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|=||=．20．（12分）已知等差数列{a n}满足：a n+1＞a n（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b n}的前三项．（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式a n，b n；（Ⅱ）设，若恒成立，求c的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设d、q分别为数列{a n}、数列{b n}的公差与公比，a1=1．由题可知，a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分别加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比数列{b n}的前三项，∴（2+d）2=2（4+2d）⇒d=±2．＞a n，∵a n+1∴d＞0．∴d=2，∴a n=2n﹣1（n∈N*）．由此可得b1=2，b2=4，q=2，∴b n=2n（n∈N*）．（Ⅱ），①∴．②①﹣②，得=+2（++…+）﹣，∴T n=3﹣．∴T n+﹣=3﹣≤2，∴满足条件恒成立的最小整数值为c=3．21．（12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元），每件售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【解答】解：（1）∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣x2﹣10x﹣250=﹣x2+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．综合①②可得，L（x）=；（2）①当0＜x＜80时，L（x）=﹣x2+40x﹣250=﹣（x﹣60）2+950，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣2=1200﹣200=1000，当且仅当x=，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．22．（14分）已知函数f（x）=xe﹣x+（x﹣2）e x﹣a（e≈2.73）．（Ⅰ）当a=2时，证明函数f（x）在R上是增函数；（Ⅱ）若a＞2时，当x≥1时，f（x）≥恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=xe﹣x+（x﹣2）e x﹣2，f（x）的定义域为R，f′（x）=e﹣x﹣xe﹣x+e x﹣2+（x﹣2）e x﹣2=（x﹣1）（e x﹣2﹣e﹣x）=e﹣x（x﹣1）（e x﹣1﹣1）（e x﹣1+1）．当x≥1时，x﹣1≥0，e x﹣1﹣1≥0，所以f′（x）≥0，当x＜1时，x﹣1＜0，e x﹣1﹣1＜0，所以f′（x）≥0，所以对任意实数x，f′（x）≥0，所以f（x）在R上是增函数；（II）当x≥1时，f（x）≥恒成立，即（x﹣2）e2x﹣a﹣x2+3x﹣1≥0恒成立，设h（x）=（x﹣2）e2x﹣a﹣x2+3x﹣1（x≥1），则h′（x）=（2x﹣3）（e2x﹣a﹣1），令h′（x）=（2x﹣3）（e2x﹣a﹣1）=0，解得，，（1）当1＜＜，即2＜a＜3时，，），所以要使结论成立，则h（1）=﹣e2﹣a+1≥0，h（）=﹣e3﹣a+≥0，即e2﹣a ≤1，e3﹣a≤，解得a≥2，a≥3﹣ln，所以3﹣ln≤a＜3；（2）当=，即a=3时，h′（x）≥0恒成立，所以h（x）是增函数，又h（1）=﹣e﹣1+1＞0，故结论成立；（3）当，即a＞3时，，），所以要使结论成立，则h（1）=﹣e2﹣a+1≥0，h（）=﹣+2a﹣3≥0，即e2﹣a≤1，a2﹣8a+12≤0，解得a≥2，2≤a≤6，所以3＜a≤6；综上所述，若a＞2，当x≥1时，f（x）≥恒成立，实数a的取值范围是3﹣ln≤a≤6．…（12分）。
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2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（09）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合M={y|y=，x，y∈N}的元素个数是（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个2．（5分）下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，≤0 B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件3．（5分）将函数y=sin4x的图象向左平移个单位，得到y=sin（4x+φ）的图象，则φ等于（）A．B．C．D．4．（5分）函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35．（5分）已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x6．（5分）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）设函数，则下列结论错误的是（）A．D（x）的值域为{0，1}B．D（x）是偶函数C．D（x）不是周期函数D．D（x）不是单调函数8．（5分）函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；②f（x2）在[1，]上具有性质P；③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；④对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]其中真命题的序号是（）A．①②B．①③C．②④D．③④二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．（5分）函数f（x）=的定义域是．10．（5分）在R上为减函数，则a的取值范围是．11．（5分）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=．12．（5分）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g （﹣1）=．13．（5分）已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则c=．14．（5分）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（12分）函数f（x）=Asin（ωx﹣）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数f（x）的解析式和当x∈[0，π]时f（x）的单调减区间；（2）设a∈（0，），则f（）=2，求a的值．16．（12分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA丄平面ABCD，AB丄BC，∠BCA=45°，PA=AD=2，AC=1，DC=（Ⅰ）证明PC丄AD；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．18．（14分）已知函数f（x）=x﹣a+lnx，（a为常数）．（1）当a=5时，求f（x）的极值；（2）若f（x）为增函数，求实数a的取值范围．19．（14分）设函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R．（1）若函数f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；（2）若对于任意的a∈[﹣2，2]，不等式f（x）≤1在x∈[﹣1，1]恒成立，求b的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）=e x+ax2﹣ex，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（09）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合M={y|y=，x，y∈N}的元素个数是（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【解答】解：因为M={y|y=，x，y∈N}，所以，当x=0时，y=∉N；当x=1时，y=∈N；当x=2时，y=∉N；当x=3时，y=∉N；当x=4时，y=∉N；当x=5时，y=∈N；当x≥6时，，所以y∉N．综上，M={y|y=，x，y∈N}={2，1}，元素个数是2个．故选A．2．（5分）下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，≤0 B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件【解答】解：因为y=e x＞0，x∈R恒成立，所以A不正确；因为x=﹣5时2﹣5＜（﹣5）2，所以∀x∈R，2x＞x2不成立．a=b=0时a+b=0，但是没有意义，所以C不正确；a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，显然正确．故选D．3．（5分）将函数y=sin4x的图象向左平移个单位，得到y=sin（4x+φ）的图象，则φ等于（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=sin4x的图象向左平移个单位，得到的图象，就是y=sin（4x+φ）的图象，故故选C4．（5分）函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由于函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，又f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，所以f（0）f（1）＜0，故函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内有唯一的零点，故选B．5．（5分）已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x【解答】解：∵x=lnπ＞lne=1，0＜log52＜log5=，即y∈（0，）；1=e0＞=＞=，即z∈（，1），∴y＜z＜x．故选：D．6．（5分）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为∫01（﹣x）dx=（﹣）|01=，则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=；故选C．7．（5分）设函数，则下列结论错误的是（）A．D（x）的值域为{0，1}B．D（x）是偶函数C．D（x）不是周期函数D．D（x）不是单调函数【解答】解：A显然正确；∵=D（x），∴D（x）是偶函数，B正确；∵D（x+1）==D（x），∴T=1为其一个周期，故C错误；∵D（）=0，D（2）=1，D（）=0，显然函数D（x）不是单调函数，故D正确；故选：C．8．（5分）函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；②f（x2）在[1，]上具有性质P；③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；④对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]其中真命题的序号是（）A．①②B．①③C．②④D．③④【解答】解：在①中，反例：f（x）=在[1，3]上满足性质P，但f（x）在[1，3]上不是连续函数，故①不成立；在②中，反例：f（x）=﹣x在[1，3]上满足性质P，但f（x2）=﹣x2在[1，]上不满足性质P，故②不成立；在③中：在[1，3]上，f（2）=f（）≤，∴，故f（x）=1，∴对任意的x1，x2∈[1，3]，f（x）=1，故③成立；在④中，对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有=≤≤=[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，∴[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，故④成立．故选D．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．（5分）函数f（x）=的定义域是{x|﹣1＜x≤2且x≠0} ．【解答】解：由，解得：﹣1＜x≤2，且x≠0．∴函数f（x）=的定义域是{x|﹣1＜x≤2，且x≠0}．故答案为：{x|﹣1＜x≤2，且x≠0}．10．（5分）在R上为减函数，则a的取值范围是．【解答】解：∵在R上为减函数，∴即∴故答案为11．（5分）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣）．∵0≤x＜2π，∴﹣≤x﹣＜，∴y max=2，此时x﹣=，∴x=．故答案为：．12．（5分）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g （﹣1）=﹣1．【解答】解：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2=0解得f（﹣1）=﹣3所以g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣3+2=﹣1故答案为：﹣1．13．（5分）已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则c=6．【解答】解：∵f′（x）=（x﹣c）2+2x（x﹣c）=3x2﹣4cx+c2，且函数f（x）=x（x ﹣c）2在x=2处有极大值，∴f′（2）=0，即c2﹣8c+12=0，解得c=6或2．经检验c=2时，函数f（x）在x=2处取得极小值，不符合题意，应舍去．故c=6．故答案为6．14．（5分）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（﹣∞，1] ．【解答】解：因为函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数由复合函数的单调性知，必有t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数又t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数所以[1，+∞）⊆[a，+∞），故有a≤1故答案为（﹣∞，1]三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（12分）函数f（x）=Asin（ωx﹣）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数f（x）的解析式和当x∈[0，π]时f（x）的单调减区间；（2）设a∈（0，），则f（）=2，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）的最大值是3，∴A+1=3，即A=2．﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，∴最小正周期T=π，∴ω=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以f（x）=2sin（2x﹣）+1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）令，即，∵x∈[0，π]，∴f（x）的单调减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅱ）∵f（）=2sin（α﹣）+1=2，即sin（α﹣）=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∵0＜α＜，∴﹣＜α﹣＜，∴α﹣=，∴α=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）16．（12分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．【解答】解：（1）设A k，B k分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P（A k）=，P（B k）=，k∈（1，2，3）．记“甲获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知：P（C）=P（A 1）+P（）+P（）=+==．﹣﹣﹣﹣（5分）（2）ξ的所有可能为：1，2，3，由独立性知：P（ξ=1）=P（A 1）+P（）==，P（ξ=2）=P（）+P（）=+（）2（）2=，P（ξ=3）=P（）=（）2（）2=，综上知，ξ的分布列为：﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴Eξ==（次）﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）∴甲获胜的概率为；甲的投篮次数的期望为次．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA丄平面ABCD，AB丄BC，∠BCA=45°，PA=AD=2，AC=1，DC=（Ⅰ）证明PC丄AD；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）∵在△ADC中，AD=2，AC=1，DC=∴AC2+AD2=CD2，∴AD⊥AC，…（1分）如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，1，0），B（﹣，，0），P（0，0，2），得=（0，1，﹣2），=（2，0，0），∴=0，∴PC⊥AD．…（4分）解：（Ⅱ），，设平面PCD的一个法向量=（x，y，z），则，不妨令z=1，得=（1，2，1），可取平面PAC的一个法向量=（1，0，0），于是cos＜＞==，从而sin＜＞=，所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值为．…（8分）（Ⅲ）设点E的坐标为（0，0，h），其中h∈[0，2]，由此得=（），由=（2，﹣1，0），故，∵满足异面直线BE与CD所成的角为30°，∴=cos30°=，解得h=，即AE=．…（13分）18．（14分）已知函数f（x）=x﹣a+lnx，（a为常数）．（1）当a=5时，求f（x）的极值；（2）若f（x）为增函数，求实数a的取值范围．【解答】解：函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）（1）当a=5时，令f'（x）=0得，或x=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）f'（x），f（x）随x的变化情况如下表由上表可得函数的极大值为=，极小值为f（4）=﹣6+ln4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（2）由题意得在区间（0，+∞）恒成立，﹣﹣﹣﹣（8分）即在区间（0，+∞）恒成立，∴在区间（0，+∞）恒成立．﹣﹣﹣﹣（10分）∵，当且仅当，即x=1时等号成立．∴=4﹣﹣﹣﹣（13分）所以a的取值范围是（﹣∞，4]．﹣﹣﹣﹣（14分）19．（14分）设函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R．（1）若函数f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；（2）若对于任意的a∈[﹣2，2]，不等式f（x）≤1在x∈[﹣1，1]恒成立，求b的取值范围．【解答】解：（1）求导函数可得f'（x）=x（4x2+3ax+4），﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）显然x=0不是方程4x2+3ax+4=0的根．为使f（x）仅在x=0处有极值，必须4x2+3ax+4≥0成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）即有△=9a2﹣64≤0，解得．所以a的取值范围是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由条件a∈[﹣2，2]，可知△=9a2﹣64＜0，从而4x2+3ax+4＞0恒成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0．因此函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值是f（1）与f（﹣1）两者中的较大者．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）为使对任意的a∈[﹣2，2]，不等式f（x）≤1在[﹣1，1]上恒成立，当且仅当，即在a∈[﹣2，2]上恒成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）所以b≤﹣4，因此满足条件的b的取值范围是（﹣∞，﹣4]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）20．（14分）已知函数f（x）=e x+ax2﹣ex，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．【解答】解：（Ⅰ）求导函数，可得f′（x）=e x+2ax﹣e∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，∴k=2a=0，∴a=0∴f（x）=e x﹣ex，f′（x）=e x﹣e令f′（x）=e x﹣e＜0，可得x＜1；令f′（x）＞0，可得x＞1；∴函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，1），单调增区间为（1，+∞）（Ⅱ）设点P（x0，f（x0）），曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x ﹣x0）+f（x0）令g（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0）﹣f（x0）∵曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P，∴g（x）有唯一零点∵g（x0）=0，g′（x）=（1）若a≥0，当x＞x0时，g′（x）＞0，∴x＞x0时，g（x）＞g（x0）=0当x＜x0时，g′（x）＜0，∴x＜x0时，g（x）＞g（x0）=0，故g（x）只有唯一零点x=x0，由P的任意性a≥0不合题意；（2）若a＜0，令h（x）=，则h（x0）=0，h′（x）=e x+2a令h′（x）=0，则x=ln（﹣2a），∴x∈（﹣∞，ln（﹣2a）），h′（x）＜0，函数单调递减；x∈（ln（﹣2a），+∞），h′（x）＞0，函数单调递增；①若x0=ln（﹣2a），由x∈（﹣∞，ln（﹣2a）），g′（x）＞0；x∈（ln（﹣2a），+∞），g′（x）＞0，∴g（x）在R上单调递增∴g（x）只有唯一零点x=x0；②若x0＞ln（﹣2a），由x∈（ln（﹣2a），+∞），h（x）单调递增，且h（x0）=0，则当x∈（ln（﹣2a），x0），g′（x）＜0，g（x）＞g（x0）=0任取x1∈（ln（﹣2a），x0），g（x1）＞0，∵x∈（﹣∞，x1），∴g（x）＜ax2+bx+c，其中b=﹣e﹣f′（x0）．c=∵a＜0，∴必存在x2＜x1，使得∴g（x2）＜0，故g（x）在（x2，x1）内存在零点，即g（x）在R上至少有两个零点；③若x0＜ln（﹣2a），同理利用，可得g（x）在R上至少有两个零点；综上所述，a＜0，曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P（ln（﹣2a），f（ln（﹣2a）））．。