2017-2018学年重庆市高一春季九校联考数学(理)试题Word版含答案

2017-2018学年重庆市高一春季九校联考数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.数列2，-5，8，-11，…的一个通项公式为（ ）A ．31n a n =-，*n N ∈B ．(1)(31)n n a n =--，*n N ∈C ．1(1)(31)n n a n +=--，*n N ∈D ．1(1)(31)n n a n +=-+，*n N ∈2.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos c A b<，则ABC ∆为（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形3.若不等式组1,3,220x y x y λ≤⎧⎪≤⎨⎪-+-≥⎩表示的平面区域经过所有四个象限，则实数λ的取值范围是（ ）A ．(,4)-∞B ．[1,2]C ．[2,4]D ．(2,)+∞4.观察数列1，2，2，3，3，3，8，8，8，…的特点，按此规律，则第100项为（ ）A ．132B ．142 C.152 D ．162 5.已知92-，2a ，2a ，12-成等比数列，2，22log b ，32log b ，33log b ，0成等差数列，则221()b a a -=（ ）A ．-8 B. 8 C. 98- D. 986.设x ，y 满足约束条件220,220,20,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩若z mx y =+取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m 的值是（ ） A. 12- B. 12C. -2D. 1 7.已知函数22,(),,n n f n n n ⎧=⎨-⎩为奇数,为偶数且()(1)n a f n f n =++，则1233a a a +++=（ ）A ．0B ．100 C.-101 D ．-99 8.已知1231a a a >>>，则使得22(1)0i i i a x a x a +++>(1,2,3)i =都成立的x 的取值范围是（ ）A ．31(0,)a B ．331(,)(,)a a -∞--+∞ C.331(,)(,)a a -∞--+∞ D ．331(,)(,)a a -∞--+∞ 9.若0a b <<，且11a b >-，则下列不等式：①||||b a >；②0a b +>；③2b a a b +<-；④22a a b b >-中，正确的不等式有（ ）A ．1个B ．2个 C.3个 D ．4个10.已知数列{81}n a +是公比为3的等比数列，其中178a =-，则数列{||}n a 的前100项和为（ ）A. 1013162032-B. 1003153872-C.1013153872-D.1003162032- 11.航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10千米，速度为180千米/小时，飞机先看到山顶的俯角为15︒，经过420秒后又看到山顶的俯角为45︒，则山顶的海拔高度为（取1.4=， 1.7=）（ ）A. 2.65千米B. 7.35千米C.10千米D.10.5千米12.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1(,1)a a =，10(1,)b a =，若20a b ⋅=，且11121S =，11n n n b a a +={}n b 的前40项和为（ ） A.72881 B.18281 C.36481 D.9181第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.如果满足60A ∠=︒，6BC =，AB k =的锐角ABC ∆有且只有一个，那么实数k 的取值范围是 ．14.不等式组20,30,1|3|2x y x y x --≤⎧⎪++≤⎨⎪≤+≤⎩表示的平面区域的面积为 ．15.设数列{}n a 是等比数列，公比2q =，n S 为{}n a 的前n 项和，记19nn T n n S S T a +-=*()n N ∈，则数列{}n T最大项的值为 .16.设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z 取得最大值时，212x y z+-的最大值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知不等式20ax x c ++>的解集为{|13}x x <<.（1）求实数a ，c 的值；（2）若不等式2240ax x c ++>的解集为A ，不等式30ax cm +<的解集为B ，且A B ⊆，求实数m 的取值范围.18.已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C 的大小；（2）若c =ABC ∆的面积为2，求ABC ∆的周长.19. 设数列{}n a 满足12a =，1122n n n a a ++=+*()n N ∈.（1）若2n n n a b =，证明：数列{}n b 为等差数列，并求出数列{}n b 的通项公式； （2）若n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n S .20. 如图，海上有A ，B 两个小岛，相距10km ，船O 将保持观望A 岛和B 岛所成的视角为60︒，现从船O 上派下一只小船沿BO 方向驶至C 处进行作业，且OC BO =.设AC x = km.（1）用x 分别表示22OA OB +和OA OB ⋅，并求出x 的取值范围；（2）晚上小艇在C 处发出一道强烈的光线照射A 岛，B 岛至光线CA 的距离为BD ，求BD 的最大值.21. 某农场预算用5600元购买单价为50元（每吨）的钾肥和20元（每吨）的氮肥，希望使两种肥料的总数量（吨）尽可能的多，但氮肥数不少于钾肥数，且不多于钾肥数的1.5倍.（1）设买钾肥x 吨，买氮肥y 吨，按题意列出约束条件、画出可行域，并求钾肥、氮肥各买多少才行？（2）已知点(10,0)A ，O 是坐标原点，(,)P x y 在（1）中的可行域内，求||OA OP s OP ⋅=的取值范围.22.各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知点1(,)n n a a +*()n N ∈在函数13y x =的图象上，且3139S =. （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）已知数列{}n b 满足4n b n =-，设其前n 项和为n T ，若存在正整数k ，使不等式n T k >有解，且2(1)n n n k a S -<*()n N ∈恒成立，求k 的值.2017-2018学年重庆市高一春季九校联考数学（理）试题参考答案一、选择题1-5:CADAB 6-10:ACBAC 11、12：AC 二、填空题13. 14.10 15.3 16.1三、解答题17.解：（1）依题意，得1，3是方程20ax x c ++=的两根，且0a <， 所以0,113,13,a a c a ⎧⎪<⎪⎪+=-⎨⎪⎪⨯=⎪⎩， 解得1,43.4a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.（2）由（1），得1,43.4a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以2240ax x c ++>， 即为212304x x -+->， 解得26x <<，所以(2,6)A =.又30ax cm +<，即为0x m +>，解得x m >-，所以(,)B m =-+∞.因为A B ⊆，所以2m -≤，即2m ≥-，所以实数m 的取值范围是[2,)-+∞.18.解：（1）2cos (cos cos )C a B b A c +=，由正弦定理，得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +++=.即2cos sin()sin C A B C +=.A B C π++=，,,(0,)A B C π∈，sin()sin 0A B C ∴+=>，2cos 1C ∴=，1cos 2C =. (0,)C π∈，3C π∴=.（2）由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-， 即221722a b ab =+-⨯， 即2()37a b ab +-=，1sin 24S ab C ab ===2，5ab ∴=， 2()1875a b a b ∴+-=⇒+=，ABC ∴∆周长为5a b c ++=19.解：（1）由1122n n n a a ++=+， 得11122n n n na a ++=+， 即11n nb b +-=，所以{}n b 为等差数列， 其中1112a b ==， 所以1(1)1n b b n n =+-⨯=，*n N ∈.（2）22n nn n a b n =⋅=⨯，设其前n 项和为n T ，1231222322n n T n ∴=⨯+⨯+⨯++⨯，① 23121222(1)22n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，② ①-②，得2311212122n n n T n +-=⨯+⨯++⨯-⨯112(12)22(1)212n n n n n ++-=-⨯=---⨯-， 1(1)22n n T n +∴=-⨯+，又n b 的前n 项和为(1)2n n +， ∴数列{}n c 的前n 项和1(1)(1)222n n n n S n ++=-⨯++. 20.解：（1）在OAC ∆中，120AOC ∠=︒，AC x =， 由余弦定理，得2222cos120OA OC OA OB x +-⋅⋅︒=.①在OAB ∆中，10AB =，60AOB ∠=︒，由余弦定理，得222cos60100OA OB OA OB +-⋅⋅︒=.② ①+②，得2221002x OA OB ++=， ①-②，得24cos60100OA OB x ⋅⋅︒=-， 即21002x OA OB -⋅=. 又222OA OB OA OB +≥⋅， 所以22100100222x x +-≥⨯， 即2100x >，所以10x <≤所以x 的取值范围为.（2）易知OAB OAC S S ∆∆=，故2ABC ABC S S ∆∆=12sin 602OA OB =⋅⋅⋅⋅︒=又12ABC S AC BD ∆=⋅⋅， 设()BD f x =，所以()f x=100)x x=-，10x <≤因为y x =与100y x=-在x ∈时单调递增， 所以()f x在区间内是增函数，所以()f x的最大值为10f =，即BD 的最大值为10km.21.解：（1）设肥料总数为z ，则z x y =+，由题意得约束条件,1.5,50205600,0,0,x y y x x y x y ≤⎧⎪≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩， 即,3,252560,0,0,x y y x x y x y ≤⎧⎪⎪≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎪≥⎩. 画出可行域（如图），目标函数为z x y =+，即y x z =-+，表示斜率为1-，y 轴上截距为z 的平行直线系.当直线过点N 时，z 最大. 联立方程3,252560,y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得点(70,105)N . 此时max 70105175z x y =+=+=吨.∴购买钾肥70吨，氮肥105吨时，两种肥料的总数量最大为175吨.（2）||||cos ||||OA OP OA OP s OP OP θ⋅==||cos OA θ=， ||10OA =，θ为OA ，OP 的夹角，10cos s θ∴=.由图，可知当点P 在线段OM 上时，cos θ 此时s最大值为当点P 在线段ON时，cos θ. 此时s [13s ∴∈. 22.解：（1）由题意，113n n a a +=， 得数列{}n a 为等比数列， 得1111113399a a a ++=，解得11a =. 11()3n n a -∴=.11()313[1()]2313nn n S -==--. （2）2(1)n n n k a S -<*()n N ∈恒成立等价于2(1)1111(1)()[3()]323n n n k ---<-*()n N ∈恒成立， 当n 为奇数时，上述不等式左边恒为负数，右边恒为正数，所以对任意正整数k ，不等式恒成立； 当n 为偶数时，上述不等式等价于2(1)1112()()3033n n k --+-<恒成立， 令11()3n t -=，有103t <≤， 则①等价于2230kt t +-<在103t <≤时恒成立， 因为k 为正整数，二次函数223y kt t =+-的对称轴显然在y 轴左侧， 所以当103t <≤时，二次函数为增函数， 故只须2112()3033k +-<， 解得012k <<，*k N ∈.{}n b 是首项为13b =，公差为1d =-的等差数列，所以前n 项和(1)(1)32n n n T n -⨯-=+=272n n -+. 当3n =或4时，n T 取最大值为6.n T k >有解max ()6n T k k ⇔>⇔<.又012k <<，*k N ∈，得06k <<，*k N ∈，所以k 的取值为1，2，3，4，5.。