2017_2018学年高中数学第一章导数及其应用本章整合课件新人教B版选修2_2
高中数学 第一章 导数及其应用 3.1 函数的单调性与导数(2)课件 新人教B版选修2-2
(3 )函 数 y x 3的 定 义 域 为 R ,并 且 在 定 义 域 上 是 增 函 数 ,
其 导 数 y 3 x 2
若 x 0 , 则 其 导 数 3 x 2 0 ; 当 x 0 , 则 其 导 数 3 x 2 0 . (4)函 数 y1的 定 义 域 为 (,0) (0,),并 且
第1章 导数及应用
1.3.1 函数的单调性与导数
函数的 单调性 与导数
内容：利用导数研究函数的单调性
应用
利用导函数判断原函数大致图象
利用导数求函数的单调区间 从导数的角度解释增减及增 减快慢的情况
有关含参数的函数单调性问题
本课主要学习利用导数研究函数的单调性.利用动画剪纸之 对称性引入新课,接着复习了函数单调性的相关问题，通过探 究跳水运动中高度h随时间t变化的函数的图象,讨论运动员的 速度v随时间t变化的函数关系，再结合具体函数，探究函数在 某个点处的导数值与函数在该点处的单调性问题。结合具体例 子探索函数的单调性与导数的关系、利用导数判断函数的单调 性或求函数的单调区间、从导数的角度解释增减及增减快慢的 情况及含参数的函数单调性问题．重点是利用导数研究函数的 单调性,会求函数的单调区间．
函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调
性的关系是：
y f (x)
(x1, f (x1))
(x0, f (x0))
在 xx0处 ,f(x0)0,切 线 是 左 下 右 上 , 函 数 f(x)在 x0附 近 单 调 递 增
在 xx1处 ,f(x1)0,切 线 是 左 上 右 下 , 函 数 f(x)在 x1 附 近 单 调 递 减
4.讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.
图象法 定义法
单增区间：(２，+∞). 单减区间：(－∞，２).
高中数学第一章导数及其应用1.2导数的运算课件新人教B版选修2_2
1
2
3
【做一做 2】 下列求导运算正确的是( A.
1 ′ ������ + ������
)
1
= 1 + ������2
1
B. (log2������)′ = ������ln2 D.(x2cos x)'=-2xsin x
1 + ������
C.(3x)'=3x· log3e
解析： 由求导公式知,B 选项正确. ������ 1 − ������ − 2 = 1 −
3.两函数的和、差、积、商的求导法则,称为可导函数四则运算 的求导法则. 4.若两个函数可导,则它们的和、差、积、商(商的分母不为零) 必可导. 若两个函数不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如,设 f(x)=sin x+ ������ , ������ (������) = cos x− ������ , 则f(x),g(x)在 x=0 处均不 可导,但它们的和 f(x)+g(x)=sin x+cos x 在 x=0 处可导.
1
2
3
知识拓展 对于复合函数的求导应注意以下几点: (1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的,适当选定中间变 量. (2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的,而其中 要特别注意的是中间变量的导数.如(sin 2x)'=2cos 2x,而(sin 2x)'≠cos 2x.
(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数 的导数,并把中间变量转换成自变量的函数.如求 y=sin 的导数,设 y=sin
解析：由求导公式可知,①③④⑥正确. 答案：B
1
2
3
高中数学第一章导数及其应用本章整合课件新人教B版选修22
条切线,且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程;
(2)求由直线l1,l2和x轴所围成的三角形的面积.
第四页，共25页。
专题
(zhuāntí)
一
专题
(zhuāntí)
二
专题
(zhuāntí)
三
专题四
提示：(1)求曲线上某点处的切线的步骤:先求曲线在这点处的导数,这点
(zhuāntí)
二
专题
(zhuāntí)
三
专题四
应用2设函数f(x)=ln x+ln(2-x)+ax(a>0).
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在区间(0,1]上的最大值
1
为 , 求的值.
2
解：函数 f(x)的定义域为(0,2),
f'(x)=
1
1
−
+ .
2-
(1)当 a=1 时,f'(x)=
=1+e-1+e-2+…+e-(n-1)=
1-e-
1-e-1
=
e-e1-
.
e-1
第二十二页，共25页。
1
2
3
4
5
6
7
7(辽宁高考)设 f(x)=ln(x+1)+ + 1 + + (, ∈R,a,b 为常数),
曲线 .
2
(1)求 a,b 的值;
)
解析：由f'(x)=x'·ex+(ex)'·x=ex+ex·x=ex(x+1)=0,得x=-1.
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高中数学 第一章 导数及其应用本章整合 新人教B 版选修2-2知识网络专题探究专题一 导数的几何意义的应用1．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝tan α＝f ′(x 0)．2．利用导数求曲线过点P (x 0，y 0)的切线方程时要注意首先判断点P 是否在曲线上，若点P 在曲线上，则切线斜率即为f ′(x 0)，切线方程易得；若点P 不是曲线上的点，则应首先设出切点Q (x 1，y 1)，则切线斜率为f ′(x 1)，再结合k PQ ＝f ′(x 1)以及y 1＝f (x 1)进行求解．【例1】 已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12C ．1D ．4解析：由题意可知f ′(x )＝1212x-，g ′(x )＝a x ，由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14，得12×1214-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝a14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意．答案：A【例2】 已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x －a )相切，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2C ．－1D ．－2解析：设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x －a )相切的切点为(x 0，y 0)， 则y 0＝x 0＋1且y 0＝ln(x 0－a )． 又∵y ′＝1x －a， ∴y ′|x ＝x 0＝1x 0－a＝1，即x 0－a ＝1，故x 0＝a ＋1， 所以a ＋1＋1＝ln(a ＋1－a )， 解得a ＝－2. 答案：D专题二 利用导数研究函数的单调性 1．求函数单调区间的步骤如下： (1)确定f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)由f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)解出相应的x 的范围．当f ′(x )＞0时，f (x )在相应区间上是增函数；当f ′(x )＜0时f (x )在相应区间上是减函数．2．已知f (x )在区间I 上单调递增(递减)，等价于f ′(x )≥0(≤0)在区间I 上恒成立，由此可根据不等式恒成立求得函数解析式中所含参数的取值范围．3．在利用导数的符号判断函数的单调性的解题过程中，只能在函数的定义域内通过讨论导数的符号，判断函数的单调区间．解单调性的题目时要注意判断端点能否取到．【例3】 已知函数f (x )＝x 2－4x ＋(2－a )ln x ，a ∈R . (1)当a ＝8时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在[2，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围； (3)若f (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝8时，f (x )＝x 2－4x －6ln x ， f ′(x )＝2x －4－6x ＝2x 2－4x －6x，令f ′(x )＞0得x ＞3；令f ′(x )＜0得0＜x ＜3，所以f (x )的增区间是(3，＋∞)，减区间是(0,3)．(2)由题意知f ′(x )＝2x －4＋2－a x≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a ≤2x 2－4x ＋2.令g (x )＝2x 2－4x ＋2＝2(x －1)2，则g (x )在[2，＋∞)上的最小值为g (2)＝2.所以a ≤2. (3)依题意f ′(x )＝2x －4＋2－ax＜0在(0，＋∞)上有解，即2x 2－4x ＋2－a ＜0在(0，＋∞)上有解， 因此必有Δ＝16－8(2－a )＞0，即a ＞0. 专题三 利用导数研究函数的极值与最值 1．求可导函数f (x )极值的步骤 (1)求导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检验f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y ＝f (x )在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数f (x )在这个根处取得极小值．2．函数的最大值与最小值设y ＝f (x )是定义在区间[a ，b ]上的函数，y ＝f (x )在(a ，b )内有导数，求y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值，可分两步进行：(1)求y ＝f (x )在(a ，b )内的极值．(2)将y ＝f (x )在各极值点的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．3．利用函数的导数求极值和最值主要有两类题型：一类是给出具体的函数，直接利用求极值或最值的步骤进行求解．另一类是告诉极值或最值，求参数的值．【例4】 已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2.(1)求f (x )的单调区间和极大值；(2)求证：对任意x 1，x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|＜4恒成立． (1)解：由奇函数的定义有f (－x )＝－f (x )，x ∈R ， 即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ， ∴d ＝0.因此f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c .由条件f (1)＝－2为f (x )的极值可知，必有f ′(1)＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝－3.因此f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＞0， 故f (x )在(－∞，－1)上是增函数； 当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0， 故f (x )在(－1,1)上是减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0， 故f (x )在(1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在x ＝－1处取得极大值，极大值为f (－1)＝2. (2)证明：由(1)知f (x )＝x 3－3x (x ∈[－1,1])是减函数， 且f (x )在[－1,1]上的最大值M ＝f (－1)＝2， 最小值m ＝f (1)＝－2， ∴对任意的x 1，x 2∈(－1,1)，恒有|f (x 1)－f (x 2)|＜M －m ＝2－(－2)＝4. 专题四 利用导数研究方程、不等式综合问题用导数解决不等式问题主要是指运用导数求解不等式、比较大小、证明不等式等；用导数研究方程问题，主要是指根据方程构造函数，然后利用导数，研究得到函数的单调性、极值、最值，从而结合函数图象来研究方程的根的个数、大小等问题．这是导数的重要应用之一，也是高考的重点和热点内容．【例5】 已知函数g (x )＝x －1x－2ln x .(1)求证：当x ≥1时，g (x )≥0恒成立；(2)讨论方程x －1x－g (x )＝2x 3－4e x 2＋tx 根的个数．(1)证明：因为g (x )＝x －1x－2ln x ，所以g ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝x 2－2x ＋1x2＝x －12x 2≥0，所以g (x )在[1，＋∞)是单调增函数， 所以g (x )≥g (1)＝1－1－2ln 1＝0， 即g (x )≥0对于x ∈[1，＋∞)恒成立．(2)解：由已知得，方程可化为2ln x ＝2x 3－4e x 2＋tx .因为x ＞0，所以方程为2ln x x＝2x 2－4e x ＋t .令L (x )＝2ln x x，H (x )＝2x 2－4e x ＋t .因为L ′(x )＝2·1－ln x x2，当x ∈(0，e]时，L ′(x )≥0，所以L ′(x )在(0，e]上为增函数；x ∈[e ，＋∞)时，L ′(x )≤0，所以L ′(x )在[e ，＋∞)上为减函数，所以当x ＝e 时，L (x )max ＝L (e)＝2e.又H (x )＝2x 2－4e x ＋t ＝2(x －e)2＋t －2e 2，所以函数L (x )，H (x )在同一直角坐标系的大致图象如图所示．当t －2e 2＞2e ，即t ＞2e 2＋2e 时，方程无解；当t －2e 2＝2e ，即t ＝2e 2＋2e 时，方程有一个根．当t －2e 2＜2e ，即t ＜2e 2＋2e 时，方程有两个根．。
高中数学第1章导数及其应用章末复习课讲义新人教B版选修22
高中数学第1章导数及其应用章末复习课讲义新人教B版选修22导数的几何意义及其应用一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，①又y1＝f(x1)，②由①②求出x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．【例1】(1)曲线y＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A．2e B．eC．2 D．1(2)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )[思路探究] (1)曲线在点(1,1)处的切线斜率即为该点处的导数． (2)由导数值的大小变化，确定原函数的变化情况，从而得出结论． [解析] (1)y ′＝ex －1＋x ex －1＝(x ＋1)ex －1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为k ＝2.(2)从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x ＝0时最大，所以函数f (x )的图象的变化率也先增大后减小，在x ＝0时变化率最大．A 项，在x ＝0时变化率最小，故错误；C 项，变化率是越来越大的，故错误；D 项，变化率是越来越小的，故错误；B 项正确．[答案] (1)C (2)B1．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．[解] (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝x 20.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P (2,4)在切线上， ∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0， ∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0.∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝x 20＝4，∴x 0＝±2. ∴切点为(2,4)或⎝⎛⎭⎪⎫－2，－43.∴斜率为4的曲线的切线方程为y －4＝4(x －2)和y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0和12x －3y ＋20＝0.利用导数判断函数的单调性研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合思想．这部分内容要注意的是f (x )为增函数⇔f ′(x )≥0且f ′(x )＝0的根有有限个，f (x )为减函数⇔f ′(x )≤0且f ′(x )＝0的根有有限个．【例2】 设函数f (x )＝x e a －x＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e－1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．[思路探究] (1)利用导数的几何意义和求导运算建立方程组求未知数．(2)利用导数与函数单调性的关系判断函数的单调性．[解] (1)因为f (x )＝x e a －x＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )ea －x＋b .依题设，⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝2e ＋2，f ′(2)＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x＋e x .由f ′(x )＝e2－x(1－x ＋ex －1)及e2－x＞0知，f ′(x )与1－x ＋ex －1同号．令g (x )＝1－x ＋ex －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1．所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)，故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．2．(1)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2e x 的单调性，并证明当x ＞0时，(x －2)e x＋x ＋2＞0； (2)证明：当a ∈[0,1)时，函数g (x )＝e x－ax －ax2(x ＞0)有最小值．设g (x )的最小值为h (a )，求函数h (a )的值域．[解] (1)f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)． f ′(x )＝(x －1)(x ＋2)e x－(x －2)e x(x ＋2)2＝x 2e x(x ＋2)2≥0，当且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上单调递增． 因此当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝－1． 所以(x －2)e x>－(x ＋2)，即(x －2)e x＋x ＋2>0. (2)g ′(x )＝(x －2)e x＋a (x ＋2)x 3＝x ＋2x3(f (x )＋a )． 由(1)知，f (x )＋a 单调递增．对任意a ∈[0,1)，f (0)＋a ＝a －1＜0，f (2)＋a ＝a ≥0. 因此，存在唯一x a ∈(0,2]，使得f (x a )＋a ＝0， 即g ′(x a )＝0.当0<x <x a 时，f (x )＋a <0，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x >x a 时，f (x )＋a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增． 因此g (x )在x ＝x a 处取得最小值，最小值为g (x a )＝e x a －a (x a ＋1)x 2a ＝e x a ＋f (x a )(x a ＋1)x 2a＝e x ax a ＋2.于是h (a )＝e x ax a ＋2. 由⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx ＋2′＝(x ＋1)e x(x ＋2)2＞0，得y ＝e xx ＋2单调递增， 所以，由x a ∈(0,2]，得12＝e 00＋2＜h (a )＝e x a x a ＋2≤e 22＋2＝e24.因为y ＝e x x ＋2单调递增，对任意λ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e 24，存在唯一的x a∈(0,2]，a ＝－f (x a )∈[0,1)，使得h (a )＝λ.所以h (a )的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e 24.综上，当a ∈[0,1)时，g (x )有最小值h (a )，h (a )的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e 24.利用导数研究函数的极值、最值值或取值范围．另外，这部分内容可能会和恒成立问题、有解等问题联系到一起考查．【例3】 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象上一点P (1,0)，且在点P 处的切线与直线3x ＋y ＝0平行．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间[0，t ](0<t <3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x 的方程f (x )＝c 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围．[思路探究] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝0，f ′(1)＝－3，求出a ，b 即可．(2)对t 分0<t ≤2与2<t <3两种情况求最值．(3)构造函数g (x )＝f (x )－c 转化为g (x )在[1,3]上有实根求解．[解] (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，曲线在P (1,0)处的切线斜率为：f ′(1)＝3＋2a ，即3＋2a ＝－3，a ＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b ＝0，b ＝2. 所以a ＝－3，b ＝2，f (x )＝x 3－3x 2＋2. (2)由f (x )＝x 3－3x 2＋2，得f ′(x )＝3x 2－6x . 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.①当0<t ≤2时，在区间(0，t )上f ′(x )<0，f (x )在[0，t ]上是减函数，所以f (x )的最大值为f (0)＝2，f (x )的最小值为f (t )＝t 3－3t 2＋2.②当2<t <3时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x 0 (0,2) 2 (2，t ) tf ′(x ) 0 － 0 ＋ ＋f (x )2单调递减↘极小值－2单调递增↗t 3－3t 2＋2f (t )－f (0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0.所以f (x )的最大值为f (0)＝2.(3)令g (x )＝f (x )－c ＝x 3－3x 2＋2－c ，g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．在x ∈[1,2)上，g ′(x )<0；在x ∈(2,3]上，g ′(x )>0.要使g (x )＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (3)≥0，解得－2<c≤0.3．(2019·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin x －ln(1＋x )，f ′(x )为f (x )的导数．证明： (1)f ′(x )在区间－1，π2存在唯一极大值点；(2)f (x )有且仅有2个零点．[解] (1)设g (x )＝f ′(x )，则g (x )＝cos x －11＋x，g ′(x )＝－sin x ＋1(1＋x )2， 当x ∈－1，π2时，g ′(x )单调递减，而g ′(0)>0，g ′π2<0，可得g ′(x )在－1，π2有唯一零点，设为α.则当x ∈(－1，α)时，g ′(x )>0；当x ∈α，π2时，g ′(x )<0.所以g (x )在(－1，α)单调递增，在α，π2单调递减，故g (x )在－1，π2存在唯一极大值点，即f ′(x )在－1，π2存在唯一极大值点．(2)f (x )的定义域为(－1，＋∞)．(ⅰ)当x ∈(－1,0]时，由(1)知，f ′(x )在(－1,0)单调递增，而f ′(0)＝0，所以当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－1,0)单调递减．又f (0)＝0，从而x ＝0是f (x )在(－1,0]的唯一零点．(ⅱ)当x ∈0，π2时，由(1)知，f ′(x )在(0，α)单调递增，在α，π2单调递减，而f ′(0)＝0，f ′π2<0，所以存在β∈α，π2，使得f ′(β)＝0，且当x ∈(0，β)时，f ′(x )>0；当x ∈β，π2时，f ′(x )<0.故f (x )在(0，β)单调递增，在β，π2单调递减．又f (0)＝0，f π2＝1－ln1＋π2>0，所以当x ∈0，π2时，f (x )>0.从而，f (x )在0，π2没有零点．(ⅲ)当x ∈π2，π时，f ′(x )<0，所以f (x )在π2，π单调递减．而f π2>0，f (π)<0，所以f (x )在π2，π有唯一零点．(ⅳ)当x ∈(π，＋∞)时，ln(x ＋1)>1，所以f (x )<0，从而f (x )在(π，＋∞)没有零点． 综上，f (x )有且仅有2个零点．函数与方程的思想导和判断导数符号都比较容易的函数，如果证明f (x )＞g (x )，x ∈(a ，b )，可转化为证明F (x )＝f (x )－g (x )与0的关系，若F ′(x )＞0，则函数F (x )在(a ，b )上是增函数．若F (a )≥0，则由增函数的定义，知当x ∈(a ，b )时，有F (x )＞F (a )≥0，即f (x )＞g (x )成立，同理可证明f (x )＜g (x )，x ∈(a ，b )．【例4】 设函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值． (1)求a ，b 的值；(2)若对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围． [思路探究] (1)利用f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，列方程组求解． (2)转化为求函数f (x )的最大值问题． [解] (1)f ′(x )＝6x 2＋6ax ＋3b .因为函数f (x )在x ＝1及x ＝2时取得极值，则有f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6＋6a ＋3b ＝0，24＋12a ＋3b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.(2)由(1)可知，f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ， 则f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)． 当x ∈[0,1)时，f ′(x )>0； 当x ∈[1,2]时，f ′(x )<0； 当x ∈(2,3]时，f ′(x )>0.所以当x ＝1时，f (x )取得极大值f (1)＝5＋8c ，当x ＝2时，f (x )取得极小值f (2)＝4＋8c ，又f (0)＝8c ，f (3)＝9＋8c.所以当x ∈[0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c. 因为对于任意的x ∈[0,3]，有f (x )<c 2恒成立， 所以9＋8c<c 2，解得c<－1或c>9. 故c 的取值范围为c<－1或c>9.4．已知函数f (x )＝axx 2＋b，且f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切．(1)求函数f (x )的解析式；。
2017-2018版高中数学 第一章 导数及其应用 1.4.2 微积分基本定理(一)课件 新人教B版选修2-2
解答
反思与感悟
(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先 利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提. (2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积 分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念.
跟踪训练 2 (1)f(x)＝1x2＋，21x<，x≤0≤2，x≤1， 求 ʃ 20f(x)dx. 解 ʃ 20f(x)dx ＝ʃ 10(1＋2x)dx＋ʃ 21x2dx ＝(x＋x2)|10＋13x3|21 ＝2＋73＝133.
解答
(2)求 ʃ 2－2|x2－x|dx 的值. x2－x，－2≤x<0，
2.
π 3
(1－2sin
2
)d
等于
0
2
A.－
3 2
B.－12
1 C.2
解析
π 3
(1－2sin
2
)d
0
2
＝
π
3 cos d＝sin
0
π
|0Hale Waihona Puke ＝3. 2√D.
3 2
1234
解析 答案
3.已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，ʃ10 f(x)dx＝－2. 求a，b，c的值.
解 ∵|x2－x|＝x－x2，0≤x≤1， x2－x，1<x≤2，
∴ʃ 2－2|x2－x|dx ＝ʃ 0－2(x2－x)dx＋ʃ 10(x－x2)dx＋ʃ 21(x2－x)dx ＝(13x3－12x2)|0－2＋(12x2－13x3)|10＋(13x3－12x2)|21
2017-2018版高中数学 第一章 导数及其应用章末复习课课件 新人教B版选修2-2
跟踪训练1 已知曲线y＝x2＋aln x(a>0)上任意一点处的切线的斜率 为k，若k的最小值为4，则此时切点的坐标为 (1,1) . 解析 函数y＝x2＋aln x(a>0)的定义域为{x|x>0}， y′＝2x＋ax≥2 2a＝4， 则a＝2，当且仅当x＝1时等号成立，此时y＝1， 所以切点的坐标为(1,1).
S＝2ʃ
1 0
xdx＋ʃ 41(
x－x＋2)dx
＝2×23x32|10＋(23x32 －12x2＋2x)|41
＝2×23＋[(23×4
3 2
－12×42＋2×4)－(23－12＋2)]＝92.
解答
反思与感悟
求两个曲线围成平面图形面积的方法 (1)画出两个曲线，先将两个方程联立方程组求解，得到两个曲线的 交点的横坐标a，b(a<b)，确定积分区间[a，b]. (2)在公共的积分区间上，由上界函数减去下界函数作为被积函数， 定积分的值就等于两个函数图象围成平面图形的面积，即S＝ʃba [f1(x) －f2(x)]dx(其中f1(x)>f2(x)).
1.函数y＝f(x)在点x0处的导数 fx0＋Δx－fx0
(1)定义式：f′(x0)＝_Δl_ixm→_0_______Δ_x_______. (2)几何意义：曲线在点(x0，f(x0))处切线的 斜率. 2.基本初等函数的导数公式
y＝f(x) y＝c y＝xn(n∈N＋)
y′＝f′(x) y′＝_0__ y′＝ nxn－1 ，n为正整数
解答
(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值.
解答
反思与感悟
本类题考查了分类讨论思想 (1)解题时首先要思考为什么分类，即分类依据是什么，一般的分类依 据如：方程类型、根的个数及与区间的关系、不等号的方向等；其次 考虑分几类，每一类中是否还需要分类. (2)分类讨论的基本原则是不重不漏.
2018年高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义课件6 新人教B版选修2-2
t 单 位: min 变 化 的 0.6
函 数 图 象.根 据 图 象, 0.5 0.4
估 计 t 0.2,0.4,0.6. 0.3
0.8 min 时, 血 管 中 药 0.2
物 浓 度 的 瞬 时 变 化 0.1
0
率 精 确到0.1.
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1.1.3 导数的几何意义
回顾旧知
函数 y f x在x x0 处的瞬时变化率是:
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x0 x x0
x
我们称它为函数 y f x在x x0处的导数，
记作 f ' (x0 ) 或 y' xx0 即是说，
f
' (x0 )
lim
x0
y x
lim
即当△x无限趋近于0时, kn无限趋近于点 P(x0, f (x0 ))处的斜率.
例1:求曲线f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
解 : k lim f ( x0 x) f ( x0 ) Nhomakorabeax0
x
yQ
(1 x)2 1 (1 1)
lim
x0
x
y = x 2+1
2x (x)2
即点P处的切线的斜率等于4.
-2
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
例2:如图,它表示跳水运 h 动中高度随时间变化的
函数 ht 4.9t2 6.5t 10
的图象.根据图象,请描述
比较曲线 ht 在t0 , t1 , t2
附近的变化情况.
O
2018年高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义课件1 新人教B版选修2-2
y=f(x) Q
割 线
T 切线
P
o
点P处的割线与切线存在什么关系？
x
结论:当Q点无限逼近P点时,此时直线PQ就是P点处的切线PT.
y
y=f(x)
割
线 Pn
T 切线
P
当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0
o
时,割线PPn趋近于确定的位x置，这个确
定位置的直线PT称为点P处的切线.
割线与切线的斜率有何关系呢？
当堂检测: 导学案第 6页 当堂检测
分层作业: （1）已知曲线 y x2 1 ，求过点(2,3)的曲线 的切线方程。
（2）已知曲线 y x2 1 ，求过点(3,1)的曲线 的切线方程。
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 k切线 f (x0 ) .
应用----求曲线的切线方程
曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:
y f ( x0 ) f ( x0)( x x0 )
例1：求抛物线 y x2 在（1,1）的切线的斜
率。
变式训练：过抛物线 y x2 的点 P0 处的切线 的平行直线 y x 4，求 P0点坐标。
例2、求曲线 y 1 在点
x
2, 1 2
的切线方程。
例3、求抛物线
y x2
过点
P(
5 2
,6)
的切线方程。
课堂小结: 本节课你的收获是什么? 1、曲线在某一点处导数的几何意义； 2、求曲线的切线方程的步骤； 3、无限逼近的极限思想和数形结合的思想
k PQ
2017_2018版高中数学第一章导数及其应用1_3_3导数的实际应用学案新人教B版选修2_2
∵x>0，∴x＝16.
当x＝16时，Lmin＝64，现在堆料场的长为 ＝32(米)．
探讨点二 利润最大问题
例2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造本钱是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.那么瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
(2)确信概念域，必然要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围．
(3)求最值，此处尽可能利用导数法求出函数的最值．
(4)下结论，回扣题目，给出圆满的答案．
例1 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如下图的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使周围空白面积最小？
因为x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；
x∈(80,120]时，h′(x)>0，h(x)是增函数，
因此当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．
因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，因此它是最小值．
答 汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
解 当速度为x千米/不时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时，设耗油量为h(x)升，
依题意得h(x)＝ ×
＝ x2＋ － (0<x≤120)，
h′(x)＝ － ＝ (0<x≤120)．
高中数学第一章导数及其应用1.4.2微积分基本定理课件新人教B版选修22
段
(j
iē
阶
d
段
u
三
à
n)
一
1．4 定积分与微积分基本定理
学
阶 段 (j iē d u à n) 二
1.4.2 微积分基本定理
业 ( x u é y è) 分 层 测
评
第一页，共30页。
1．理解并掌握微积分基本定理．(重点、易混点) 2．能用微积分基本定理求定积分．(难点) 3．能用定积分解决有关的问题．
第九页，共30页。
(2)①2(x2＋2x＋3)dx 1
＝2x2dx＋22xdx＋23dx
1
1
1
＝x3312 ＋x212 ＋3x12 ＝235.
②sin22x＝1－c2os x，
而12x－12sin x′＝12－12cos x＝sin22x，
∴π
2
sin22xdx
0
＝12x－12sin x0π2 ＝π4－12＝π－4 2.
第十九页，共30页。
已知 f(x)是一次函数，其图象过点(1,4)，且 1f(x)dx＝1，求 f(x)的解析式．
0
【精彩点拨】 设出函数解析式，由题中条件建立两方程，联立求解． 【自主解答】 设 f(x)＝kx＋b(k≠0)，因为函数的图象过点(1,4)，所以 k＋b ＝4.① 又10f(x)dx＝10(kx＋b)dx＝2kx2＋bx10 ＝2k＋b，所以2k＋b＝1.② 由①②得 k＝6，b＝－2，所以 f(x)＝6x－2.
0
0
1
＝x－13x301 ＋13x3－x21 ＝2.
第十五页，共30页。
1．本例(2)中被积函数 f(x)含有绝对值号，可先求函数 f(x) 的零点，结合积分区间，分段求解．
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x f'(x) f(x)
(-∞,ln 2) ↘
ln 2 0 2(1-ln 2+a)
(ln 2,+∞) + ↗
故f(x)的单调减区间是(-∞,ln 2),单调增区间是(ln 2,+∞), f(x)在x=ln 2处取得极小值, 极小值为f(ln 2)=eln 2-2ln 2+2a=2(1-ln 2+a). (2)证明：设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R, 于是g'(x)=ex-2x+2a,x∈R. 由(1)知当a>ln 2-1时,g'(x)的最小值为g'(ln 2)=2(1-ln 2+a)>0. 于是对任意x∈R,都有g'(x)>0,所以g(x)在R内单调递增, 于是当a>ln 2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0), 而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0. 即ex-x2+2ax-1>0,故ex>x2-2ax+1.
应用1设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R. (1)求f(x)的单调区间与极值; (2)求证:当a>ln 2-1,且x>0时,ex>x2-2ax+1. 提示：先求导,利用导函数求解与证明. (1)解：由f(x)=ex-2x+2a,x∈R,知f'(x)=ex-2,x∈R. 令f'(x)=0,得x=ln 2. 于是当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
设由一条曲线 y=f(x)和直线 x=a,x=b(a<b)及 y=0 所围成的平面 图形的面积为 S.(1)如图①所示,f(x)>0,
������ ������ (������)d������. (2)如图②所示, ������(������) < 0, ������ ������ ������ ������ ( ������ ) d ������ = − ������(������)d������. (3)如图③所示, 当������≤x≤c ������ ������ ������ ������ 时,f(x)≤0, ������ ������ (������)d������ < 0; 当������≤x≤b 时,f(x)≥0, ������ ������(������)d������ > 0, ������ ������ ������ ������ 所以������ = ������ ������ (������)d������ + ������ ������(������)d������ = − ������ ������(������)d������ + ������ ������(������)d������. ������ ������(������)d������ > 0, 所以������ = ������ ������ ������(������)d������ < 0, 所以������ = ������
应用2设函数f(x)=ln x+ln(2-x)+ax(a>0). (1)当a=1时,求f(x)的单调区间; 1 (2)若f(x)在区间(0,1]上的最大值 为 , 求������的值.
2
解： 函数 f(x)的定义域为(0,2), f'(x)= ������ −
1 1 + ������. 2-������ -������2 +2 , 所以f(x)的单调增区间为(0, ������(2-������) 2-2������ + ������ ������(2-������)
答案：2f'(x0)
专题二 切线问题 求切线实际考查的是导数的几何意义,这类问题可以以小题也可 以以大题形式出现,有时以求函数的导数、导数的应用以及函数的 其他知识等综合题形式出现,这时多为中档题. 应用已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的 另一条切线,且l1⊥l2. (1)求直线l2的方程; (2)求由直线l1,l2和x轴所围成的三角形的面积.
(1)当 a=1 时,fLeabharlann (x)= 单调减区间为( 2, 2).
2),
(2)当 x∈(0,1]时,f'(x)=
1 . 2
> 0,
所以 f(x)在区间(0,1]上单调递增,故 f(x)在区间(0,1]上的最大值 为 f(1)=a,因此 a=
专题四 用定积分求平面图形的面积 用定积分求平面图形的面积是定积分的一个重要应用,几种典型 的平面图形的面积计算如下:
, × - 2 = 12 .
5 125
专题三 函数的单调性与极值、最大(小)值 (1)求可导函数f(x)单调区间的步骤: ①求f'(x); ②解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0); ③确认并指出函数的单调区间. (2)求可导函数f(x)在区间[a,b]上最大(小)值的步骤: ①求出f(x)在区间(a,b)内的极值; ②将f(x)在区间(a,b)内的极值与f(a),f(b)比较,确定f(x)的最大值与 最小值.
第一章 导数及其应用
本章整合
专题一 用导数的定义解题 对于导数的定义,必须明确定义中包含的基本内容和Δx→0的方 式,掌握用定义求导数的步骤以及用定义求导数的一些简单变形.
应用 若函数 y=f(x)在点 x0 处可导,则 lim
f(x0 +h)-f(x0 -h) h ℎ →0
=
.
解析： 原式 = =
因为 l1⊥l2,所以 2b+1=− 3 , ������ = − 3. 所以直线 l2 的方程为 y=− 3 ������ − 9 .
1 22
1
2
1 ������ = , ������ = 3������-3, 6 (2)解方程组 1 22 得 5 ������ = - 3 ������- 9 , ������ = - 2 , 1 5 所以直线 l1 和 l2 的交点坐标为 6 ,- 2 . 22 l1,l2 与 x 轴交点的坐标分别为(1,0), - ,0 3 1 22 所以所求三角形的面积为 S= 2 × 1 + 3
提示：(1)求曲线上某点处的切线的步骤:先求曲线在这点处的导 数,这点对应的导数值即为过此点切线的斜率,再由点斜式写出直 线方程.(2)求面积用三角形面积公式即可完成. 解：(1)由已知得y'=2x+1,由于曲线过点(1,0), 所以直线l1的方程为y=3x-3. 设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b,b2+b-2), 则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2.
������(������0 +ℎ)-������(������0 )+������(������0 )-������(������0-ℎ) ������������������ ℎ h →0
������(������0 +ℎ)-������(������0) ������(������0 -ℎ)-������(������0) lim + lim =f'(x0)+f'(x0)=2f'(x0). ℎ ℎ ℎ →0 -ℎ →0