2005年专升本高等数学一试卷

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2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》试卷参考答案

高数（一）答案（A ）卷一．填空题：(每空格5分，共40分)1．连续区间是),1()1,0()0,(+∞-∞ ，2．21， 3．（1）⎩⎨⎧==00z y 或者001zy x ==，或者0,0,===z y t x （其中t 是参数），（2）0=x4．1,0-==b a ，5．（1）y x r 2-，（2）xy23.三．计算题。

1．解：令)1ln (ln 2+-=x x x y ，（3分）则x x x x x x x x x y )1)](1ln(1)12([222'+-+-++--= （7分） 2．解：)43(432'-=-=x x x x y ，驻点为34,021==x x （2分）（法一） 46''-=x y ，04)0(''<-=y ， 1)0(=y （极大值），（5分） 04)34(''>=y ， 275)34(-=y （极小值）. （7分）（5分）当0=x 时，1=y （极大值），当34=x 时，275-=y （极小值）（7分）3．解：利用莱布尼兹公式x nn e n n nx x dxfd )]1(2[2-++= （7分） 4．解： ⎰⎰⎰------=--=+-0101012]1121[)2)(1(1231dx x x dx x x dx x x (3分)＝34ln12ln1=---x x (7分) 5．解：⎰+dx e x 211＝=+-+⎰dx ee e xxx 22211 (3分)++-=)1ln(212x e x C （其中C 是任意常数）（7分）6．解：⎰-+12)2(dx e x x x ＝=+--+⎰dx e x ex x x x 10102)12()2( （3分）＝2－⎰+1)12(dx e x x＝2－)13(-e +102x e=＝e e e -=-+-12233。

（7分）7．解：)cos()sin(y x xy y x z++-=∂∂ (3分))s i n ()c o s (s i n 2y x xy xy xy yx z+---=∂∂∂ . （7分） 8：解：=-+=+=]2111[2111x x y (2分)])21()1()21()21(211[2132 +--++---+--=n n x x x x ＝∑∞=+--012)1()1(n n n n x ，（5分）收敛区间为（-1， 3）. （7分） 9.解：特征方程为0122=+-λλ，特征值为1=λ（二重根），齐次方程0222=+-y dx dydxy d 的通解是x e x c c y )(~21+=，其中21,c c 是任意常数. (3分)x y dx dy dxy d =+-222的特解是2+=*x y ，（6分）所以微分方程的通解是x e x c c x y y y )(2~21+++=+=*，其中21,c c 是任意常数（7分） 10．解：2222b a b a -++＝=--+++)2()2()2()2(b a b a b a b a (3分)＝26)(222=+b a . （7分）四．综合题：1．解：（法一）⎰++π0212sin 212sin xdx m xdx n ＝－dx x m n x m n ])cos()1([cos 21--++⎰π（4分）＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-++-≠=---++++-⎰πππ00 ,21]1)1[cos(21 ,0])sin(1)1sin(11[21m n dx x m n m n x m n m n x m n m n （10分）（法二）当m n ≠时⎰++π212sin 212sin xdx m xdx n ＝－dx x m n x m n ])cos()1([cos 210--++⎰π（ 4分）＝0])sin(1)1sin(11[210=---++++-πx m n m n x m n m n （7分）当m n =时 ⎰++π0212sin 212sin xdx m xdx n ＝⎰⎰=+-=+πππ000221])12cos(1[21212sin x dx x n xdx n ＝2π（10分） 2．证明：（1）考虑函数dx cx bx ax x F +++=234)(, （2分） )(x F 在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，0)1()0(==F F ，由罗尔定理知，存在)1,0(∈ξ，使得0)('=ξF ，即0)()('==ξξf F ，就是=)(ξf 023423=+++d c b a ξξξ,所以函数)(x f 在（0，1）内至少有一个根. （7分）（2）c bx ax x F x f 2612)()(2'''++==因为ac b 832<，所以0)83(129636)2)(12(4)6(222<-=-=-ac b ac b c a b ，)('x f 保持定号，)(x f 函数)(x f 在（0，1）内只有一个根. （10分）。

2005年河南省专升本高等数学真题答案及解析

1河南省2005年普通高等学校专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学答案及解析一、单项选择题（每小题2分，共计60分） 1.答案：C【解析】：C x x x ⇒<<⇒⎩⎨⎧>->-510501.2.答案：D【解析】：图形关于y 轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数222xx y -+=为偶函数,应选D.3.答案：B【解析】： ⇒-x e x~12~12x e x -,应选B.4.答案：B【解析】：2)1(2lim2)1(22121lim 21lim 21lim e n n n nn n n nn n n n n n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→+⋅∞→+∞→∞→,应选B.5.答案：C【解析】：21)11(1lim )11(lim 11lim)(lim 0000=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C.6.答案：D 【解析】：41)1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim 020-='⇒='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h ,应选D.7.答案：A【解析】：对方程yx exy +=两边微分得)(dy dx eydx xdy yx +=++,即dy x e dx ey y x yx )()(-=-++,dy x xy dx xy y )()(-=-,所以dy dx )1()1(x y y x --=,应选A. 8.答案：B 【解析】：423)]([3)()(32)()]([2)()(2)(x f x f x f x f x f x f x f x f ！='⋅='''⇒='=''⇒ΛΛ=)()(x f n 1)]([!+n x f n ,应选B.9.答案：A【解析】：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有]1,1[,1)(2--=x x f 满足,应选A. 10.答案：B【解析】：在)1,21(内,显然有0)12)(1()(<+-='x x x f ,而014)(>-=''x x f ,故函数)(x f 在)1,21(内单调减少,且曲线)(x f y =为凹的,应选B.211.答案：C 【解析】：0lim ;11lim 0=⇒∞==⇒=-→±∞→x y y y x x ，应选C.12.答案：B【解析】：dxdt t a t b t a t b dx y d t a t b x y dx dy t x t t ⨯'⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=''=sin cos sin cos sin cos 22ta bt a t a b 322sin sin 1sin -=-⨯=,应选B. 13.答案：B【解析】：两边对x 求导 22111)()1()(xx f x e e x f xx-=⇒-⨯=,应选B. 14.答案：A【解析】：⎰⎰+==C x F x d x f dx x xf )(sin )(sin )(sin )(sin cos ,应选A. 15.答案：C 【解析】：2arctan 11002π==+∞++∞⎰x dx x ;2arcsin 1110102π==-⎰x dx x; ∞==+∞∞+⎰eex dx x x 2)(ln 21ln ;10=-=+∞-+∞-⎰xx e dx e ,应选C.16.答案：A【解析】：被积函数||x x 在积分区间[-1,1]上是奇函数,应选A. 17.答案：D 【解析】：⎰⎰⎰⎰-----===-===-aaaaa aaaut dx x f du u f u d u f dx x f )()()()()(,应选D.18.答案：B 【解析】：x x f x x f x f x sin )(cos )()()(sin -='⇒=⇒='C x x dx x xdx xdx x f ++-=--=-='⎰⎰⎰2sin 412122cos 1sin sin )(2,应选B. 19.答案：A 【解析】：⎰badx x f )(是常数,它的导数为零,而不是)(x f ,即⎰badx x f )(不是)(x f 的原函数 ,应选A.20.答案：D【解析】：n s n s ρρρρ⊥⇒--=-=)1,1,1{},2,1,1{ ,另一方面点)2,0,3(-不在平面内,所以应为平行关系,应选D. 21.答案：B 【解析】：两个偏导数存在,不一定可微,但可微一定有偏导数存在,因此为必要条件,应选B. 22.答案：C 【解析】：dy y dx x dz y x y x z 11ln 2ln 2ln -=⇒-==dy dx dz 21)2,1(-=⇒,应选C. 23.答案：B【解析】：)1,1(),(012012-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=++=∂∂y x y x yz y x xz,应选B.24.答案：A325.答案：C【解析】：积分区域在极坐标下可表示为：}θcos 20,2πθ0|)θ,{(a r r D ≤≤≤≤=，从而⎰⎰=σDd y x f ),(⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d ，应选C.26.答案：B【解析】：L ：,2⎩⎨⎧==x y xx x 从0变到1 , 1422210410310332===+=+⎰⎰⎰x dx x dx x dx x dy x xydx L,应选B.27.答案：B【解析】：∑∞=+-11)1(n nn n 发散, ∑∞=-121)1(n n n 和∑∞=+-1)1()1(n n n n 绝对收敛，∑∞=-1321)1(n nn 是收敛的，但∑∞=1321n n是32=p 的级数发散的，从而级数∑∞=-1321)1(n nn条件收敛，应选B. 28. 答案：C 【解析】：正项级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛⇒∑∞=12n nu与∑∞=12n nv收敛，而)(2)(222nnn n v u v u +≤+，所以级数21)(n n nv u+∑∞=收敛，应选C.29. 答案：D【解析】：注意对所给的方程两边求导进行验证，可得通解应为222C y xy x =+-，应选D. 30.答案：A【解析】：微分方程的特征方程为0βλ22=+，有两个复特征根i βλ±=，所以方程的通解为t C t C x βsin βcos 21+=，应选A.二、填空题（每小题2分，共30分） 1.答案：116)2(2+-=-x x x f【解析】：⇒+-=⇒++-+=+32)(3)1(2)1()1(22x x x f x x x f116)2(2+-=-x x x f .2.答案：1=a【解析】：因10)6(lim 0)2(lim 222=⇒=-+⇒=-→→a ax x x x x .3.答案：02π12=+--y x 【解析】：2111121=+='===x x x y k ，则切线方程为)1(214π-=-x y ，即02π12=+--y x 02π12=+--y x .44.答案：dx x xe x dy xx]1ln 1[21+-= 【解析】：dx x x e x x x x d edy ey x x x xxx xx]1ln 1[)ln (21ln ln +-=+=⇒=++ .5.答案：),21(∞+ 或),21[∞+【解析】：⇒>⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>-⇒-='21001414x x xx x x y ),21(∞+ 或),21[∞+. 6.答案：),1(e【解析】：104)1(21=⇒=-=''⇒⨯='x xx x e y xe y x x,得拐点为),1(e .7.答案：271【解析】：等式x dt t f x ⎰=3)(两边求导有13)(23=x x f ,取3=x 有271)27(=f . 8.答案：45 【解析】：⎰⎰⎰'-'='=''10101012)2(41)2(21)2(21)2(x d x f x f x x f xd dx x f x 45)0(41)2(41)2(21)2(41)2(2110=+-'=-'=f f f x f f . 9.答案：0 【解析】：0)0(00=⇒=⇒=='-f x xey x.10.答案：C x x ++|cos |ln【解析】：⎰⎰++=++=+-C x x xx x x d dx x x x |cos |ln cos )cos (cos sin 1.11. 答案：6【解析】： 6||2210101=⨯=⇒+-=-=⨯b a S k j i k j i b a ρρρρρρρρρρ .12.答案：)()(z x y z y z ++【解析】：令y z z xy z z x F ln ln ln +-=-= ,则221,1,1zz x z z x F y F z F z y x +-=--='='='.)(;2z x y z F F y z z x z F F x z z y z x +=''-=∂∂+=''-=∂∂ ,所以)()(z x y z y z y z x z ++=∂∂+∂∂ .513.答案：821π- 【解析】：积分区域在极坐标系下表示为}10,4πθ0|)θ,{(≤≤≤≤=r r D ,则 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=104π021024π02θ)1θ(sec θcos θsin θ)(rdr d rdr d dxdy x y D8π21)θθ(tan 21θ)1θ(sec 214π024π02-=-=-=⎰d .14.答案：)11(,21)1()2(21)()(0100<<-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-=∑∑∑∞=+∞=∞=x x x x x f n n n nn n n n【解析】：21121112111)2)(1(323)(2x x x x x x xx x f -++=-++=-+=-+=, 所以)11(,21)1()2(21)()(0100<<-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-=∑∑∑∞=+∞=∞=x x x x x f n n n nn n n n .15.答案：xe B Ax x 22)(+【解析】：2是特征方程04λ4λ2=+-的二重根,且)12(+x 是一次多项式,特解应设为 xe B Ax x 22)(+.三、计算题（每小题5分，共40分）1．xx x x x cos sin 1lim2-+→.【解析】：x x x x x x x xx x x x x cos sin 1)cos sin 1(limcos sin 1lim 2020-+++=-+→→ )cos sin 1(lim cos sin 1lim20x x x x x x x x x ++⨯-+=→→ xx x xx x x x x x cos sin 22lim 2cos sin 1lim 20020+=-+=→→34314sin cos 31lim4000=⨯=-=→x x x x .2.已知2arctan )(,2523x x f x x y ='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=,求0=x dx dy . 【解析】：令u x x =+-2523,则)(u f y = , 22)25(162523arctan 2523)(+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'=⨯=x x x x x u f dx du du dy dx dy ,3.求不定积分⎰+dx xx 231.【解析】：⎰⎰⎰+=+=+222223111x d x dx x x x dx x x)1(11)(1122222222x d x x x x d x x x ++-+=+-+=⎰⎰C x x x ++-+=23222)1(321.4.设⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=0,210),1ln()(x xx x x f ,求⎰-20)1(dx x f .【解析】：令t x =-1 ,则⎰⎰-=-112)()1(dt t f dx x f⎰⎰⎰⎰+++=+=--10011001)1ln(21)()(dt t dt t dt t f dt t f ⎰+-+++=-1010011)1ln()2ln(dt tt t t t⎰+--+=10)111(2ln 2ln dt t12ln 3)1ln(2ln 21010-=++-=t t .5.设),sin (22y x y e f z x += ，其中),(v u f 可微，求yz x z ∂∂∂∂,. 【解析】：令v y x u y e x=+=22,sin ,则),(v u f z =,复合关系结构如图05-1所示,x vv z x u u z x z ∂∂⨯∂∂+∂∂⨯∂∂=∂∂),(2),(sin v u f x v u f y e v u x'+'=,yvv z y u u z y z ∂∂⨯∂∂+∂∂⨯∂∂=∂∂ ),(2),(cos v u f y v u f y e v u x'+'=.6．求⎰⎰D dxdy y x 22，其中D 是由2,1===x x y xy 及所围成的闭区域.【解析】：积分区域如图05-2所示，曲线x y xy ==,1在第一象限内的交点为（1，1），积分区域可表示为：x y xx ≤≤≤≤1,21.则⎰⎰⎰⎰⎰-==21121222122)1(dx y x dy y x dx dxdy y x x xx x D z vu x xy y 图05-1xx 图05-27⎰⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=213212)(1dx x x dx x x x49242124=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x . 7．求幂级数12012)1(+∞=∑+-n n n x n 的收敛域（考虑区间端点）.【解析】：这是缺项的标准的幂级数，因为 221232113212lim )1(1232)1(lim lim ρx n n x x n n x u u n n n n n n nn n =++=-+⋅+-==∞→+++∞→+∞→，当1ρ<，即11<<-x 时，幂级数绝对收敛；当1ρ>，即1>x 或1-<x 时，幂级数发散；当1ρ=，即1±=x 时，若1=x 时，幂级数化为∑∞=+-012)1(n nn 是交错级数，满足来布尼兹定理的条件，是收敛的，若1-=x 时，幂级数化为∑∞=++-0112)1(n n n 也是交错级数，也满足来布尼兹定理的条件，是收敛的.故幂级数的收敛域为[-1,1].8．求微分方程 0cos 2)1(2=-+'+x xy y x 通解. 【解析】：微分方程可化为 1cos 1222+=++'x xy x x y ，这是一阶线性非齐次微分方程，它对应的齐次线性微分方程0122=++'y x x y 的通解为12+=x Cy . 设非齐次线性微分方程的通解为1)(2+=x x C y ，则222)1()(21)(+-+'='x x xC x x C y ，代入方程得x x C cos )(=',所以C x x C +=sin )(.故原微分方程的通解为1sin 2++=x Cx y (C 为任意常数).四、应用题（每小题7分，共计14分）1. 一房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为2000元时,公寓会全部租出去,当月租金每增加100元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费200元的维修费.试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少? 【解析】：设每套公寓租金为x 元时,所获收入为y 元,则 )2000(),200](100200050[>---=x x x y , 整理得 ),14000007200(10012-+-=x x y )72002(1001+-='x y 均有意义,8令0='y 得唯一可能的极值点3600=x ,而此时0501<-=''y ,所以3600=x 是使y 达到极大值的点,即为最大值的点.最大收入为115600340034)2003600](1002000360050[=⨯=---=y (元).故租金定为每套3600元时,获得的收入最大,最大收入为115600元. 2.平面图形由抛物线x y 22=与该曲线在点)1,21(处法线所围成,试求: (1)该平面图形的面积;(2)该平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积.【解析】：平面图形如图05-3所示,切点)1,21(A 处的切线斜率为21='=x y k ,由x y 22=得yy 1=',故A 点处的切线斜率 1121='='===y x y y k ,从而A 点处的法线斜率为-1, 法线方程为023=-+y x . 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=02322y x xy 得另一交点)3,29(-B(1) 把该平面图形看作Y 型区域,其面积为316)6223(2)23(1332132=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--⎰y y y dy y y S ;(2) 根据抛物线的对称性知,该平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积等于平面图形OBC 绕x 轴旋转所成旋转体的体积,有故 ⎰⎰+--=--=292329233229022290)312349(ππ)23(π2πx x x xdx x xdx V xπ445]9481[π=-=. 五、证明题（6分）试证：当0>x 时，有xx x x 11ln 11<+<+. 【证明】：构造函数x x f ln )(=，它在)0(∞+，内连续，当0>x 时，函数在区间]1,[x x +上连续，且xx f 1)(='. 故)(x f 在]1,[x x +上满足Lagrange 中值定理,存在)1,(ξ+∈x x , 使得)ξ()()1(f x f x f '=-+，)1ξ(+<<x x .x图05-3023=-y9而x f x 1ξ1)ξ(11<='<+,故有xx x x 1ln )1ln(11<-+<+, 即0>x 时,xx x x 11ln 11<+<+成立.。

2005年普通专升本高等数学真题

2005年普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段考试试题高等数学一、单项选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题不得分。

1.函数xx y --=5)1ln(的定义域为（）。

A.x>1B.x<5C.1<x<5D.1<x ≤5 2.下列函数中，图形关于y 轴对称的是（）。

A.y=xcosx B.13++=x x y C.222xxy --=D. 222xxy -+=3.当x →0时，12-xe等价的无穷小量是（）。

A.x B.x 2 C.2x D.2x 2 4.∞→n lim 1)21(++n n=( )。

A.eB.e 2C.e 3D.e 45.设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠--0,0,11x a x xx在x=0处连续，则a=（）。

A. 1 B. -1 C. 21 D. 21-6.设函数f(x)在点x=1出可导，则21)1()21(lim =--∞→hf h f h ,则=)1('f （）。

A. 21B. 21-C.41 D. 41-7.由方程y x e xy +=确定的隐函数x(y)的导数dxdy 为（）A.)1()1(x y y x -- B.)1()1(y x x y -- C.)1()1(-+y x x y D.)1()1(-+x y y x8.设函数f(x)具有任意阶导数，且()()[]x f x f n =)('=（）。

A.()[]1+n x f n B.()[]1!+n x f n C.()[]1)1(++n x f n D.()[]1)!1(++n x f n9.下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（）。

A.[]1,1,1)(2--=x x f B.[]1,1,)(-=-xxe x fC.[]1,1,11)(2--=xx f D. []1,1,)(-=x x f10.设)12)(1()('+-=x x x f ,),(+∞-∞∈x ,则在(21,1)内,f(x)单调（）。

5河南专升本高数真题及答案

2005年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学试卷一、单项选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题无分。

1。

函数xx y --=5)1ln(的定义域为为 ( ）A 。

1>x B.5<x C 。

51<<x D. 51≤<x解:C x x x ⇒<<⇒⎩⎨⎧>->-510501.2。

下列函数中，图形关于y 轴对称的是（）A ．x x y cos = B. 13++=x x yC. 222x x y --= D 。

222xx y -+=解：图形关于y 轴对称，就是考察函数是否为偶函数,显然函数222xx y -+=为偶函数，应选D.3. 当0→x 时，与12-x e 等价的无穷小量是（ ) A 。

x B 。

2x C 。

x 2 D. 22x解： ⇒-x e x ~12~12x e x -,应选B 。

4.=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→121lim n n n （） A 。

e B 。

2e C 。

3e D.4e解：2)1(2lim2)1(22121lim 21lim 21lim e n n n nn n n nn n n n n n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→+⋅∞→+∞→∞→,应选B 。

5.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,0,11)(x a x xxx f 在0=x 处连续,则常数=a （）A 。

1B 。

—1C 。

21D 。

21-解:21)11(1lim )11(lim 11lim )(lim 0000=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ，应选C.6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且21)1()21(lim 0=--→h f h f h ，则=')1(f（ )A. 1B.21- C 。

2005年陕西高校专升本招生高等数学试题

2005年陕西高校专升本招生高等数学试题一. 单选题 (每题5分,共25 分)1. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f ,则0=x 是( ) A. 可去间断点 B. 跳跃间断点 C. 第二类间断点 D. 连续点 2.⎰='dx x f )3(( )A. c x f +)3(B.c x f +)3(31 C. c x f +)(3 D.c x f +)(313. 设由方程0),(=++bz y az x F 确定隐函数),(y x z z =,则yzb x z a ∂∂+∂∂= ( ) A. a B. b C. 1- D. 1 4. 下列级数为绝对收敛的是( ) A.n n n1)1(1∑∞=- B. ∑∞=-12)1(n nn C. ∑∞=-12)1(n nnD.nn n )23()1(0∑∞=- 5.=⎰⎰-dx e dy yx112( ) A.)11(21e - B. )11(21-e C. )11(2e - D. )11(2-e二. 填空题 (每题5分,共25 分)6. 已知)(x f 的定义域为[0,2], 则)21()21(-++x f x f 的定义域为__________. 7. 设e xm xx =+∞→3)1(lim ,则=m __________. 8. 设23)(23+-=x x x f ,则曲线)(x f y =的拐点是__________.9.dx x x x)1sin (1122⎰--+=___________.10. 设)cos(y x ez xy-+=,则=)1,1(|dz __________.三. 计算题 (每题9分.共81分)11. 计算.sin )1ln(lim2202xx dtt x x ⎰+→12. 已知参数方程 ⎩⎨⎧+-==)1ln(1arctan 2t y t x ,求.,|221dx yd dx dy t = 13. 求不定积分.1arctan 22dx xxx ⎰+ 14. 已知)(x f 是可导函数,且0)1(=f ,,311)(=⎰dx ex f 求dx x f xe x f )(1)('⎰.15. 已知xy v y x u v u f z =+==,),,(,f 具有二阶连续的偏导数,求.2y x z∂∂∂16. 已知曲线方程⎩⎨⎧==21x y xyz ,求在点(1,1,1)处曲线的切线方程和法平面方程. 17. 求曲线积分,22⎰+-Lyx xdyydx 其中L 为)0(222>=+a a y x 取逆时针方向. 18. 将函数24xxy +=展开为麦克劳林级数,并确定其定义域. 19. 求微分方程xxe y y y 244=+'-''的通解. 四. 应用与证明题 (20题11分,21题8分)20. 设抛物线,2bx ax y +=当0,10≥≤≤y x 时，已知它与直线1,0==x y 所围成的图形的面积为31.求b a ,的值,使此图形绕X 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 21. 证明:若)(),(x g x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,,0)(,0)()(≠==x g b f a f 则至少存在一点),(b a ∈ξ,使.0)()(2)()(='+'ξξξξf g g f2005年陕西高校专升本招生高等数学试题答案一. 单选题1. D2. B3. C4. B5. A 二. 填空题6. ]23,21[ 7. 31 8. )0,1( 9. 2π10. )(dy dx e + 三. 计算题11. 21 12. 2|)2(|11-=-===t t t dx dy . )1(2112)2()(2222t t dt dx t dt ddx dy dx d dxy d +-=+-=-== 13. C x x x x +++-22)(arctan 21)1ln(21arctan14.dx x f xex f )(10)('⎰=32311|)(1)(1)(1)(=-=-=⎰⎰dx e xeexd x f x f x f 15. 2222112112)(f y x f f x f f yx z +⋅++⋅+=∂∂∂16. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧==y x xz dx dz x dx dyx dx dy x dx dz y dx dy z x y x yz 222122211,在(1,1,1)处 3,2)1,1,1()1,1,1(-==dx dz dx dy, 切向量)3,2,1(-=T 切线为312111--=-=-z y x 法平面为0)1(3)1(2)1(1=---+-⋅z y x 即032=-+z y x 17. 不能用格林公式. L:π20,sin ,cos ≤≤==t t a y t a x 有.2cos sin 202222222⎰⎰-=--=+-Ldt a ta t a yx xdy ydx ππ 18. )2,2(,2)1()2()1(4)2(1144112022-∈-=-⋅=+⋅=+=+∞=+∞=∑∑x x x x x xx x y n n n n n nn 19. 特征根221==r r ，齐次方程通解为x xxe C e C Y 2221+=.设非齐次方程的特解形式为xeb ax x y 22)(+=*，代入非齐次方程比较系数得：0,61==b a .故非齐次方程的通解为x xxe x xeC e C y 2322216++= 四. 应用题与证明题20. 有3123)(102=+=+⎰b a dx bx ax ，)325()(22122b ab a dx bx ax V ++=+=⎰ππ 因)1(32a b -=，故)94954514(2+-=a a V π，令0='V ，得2825=a ，又 04528)2825(>=''V ，于是141,2825==b a 时旋转体的体积最小. 21. 令)()()(2x g x f x F =,则)(x F 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导.0)()(==b F a F ,由罗尔定理知,至少存在),(b a ∈ξ使0)(='ξF , 0)()()(2)()(2='+'ξξξξξf g g g f即.0)()(2)()(='+'ξξξξf g g f。

2005年山东省专升本统一老试高等数学真题参考答案及解析

2005年山东省专升本统一老试高等数学真题参考答案及解析一、选择题:本题共8小题,每小题3分,共24分,请把所选项前的字母填在题后的括号内。

1.解:由()()11(m)20011m mxxx x lim mx lim mx e e -→→---=⎡+=⎣⎦-=⎤，得2m =-,选(C)。

2.解:x +→时,111,,0x e x x-→+∞-→-∞→;1110?,,x x e x x--→→-∞-→+∞→+∞时，; 故选(B).3.解:当0x =时,()'f x 中除1299x x x ---（）（）…（）项外,其他全为零,故'0010209999!f =---=-）（（）（））(?,选项(A)正确.4.解:由1y nx =可得,2(4)24336411222!233!y'=,y"=-,''',x x y y x x x x x x x-=-===-=…对比知,选项(C)正确. 5.解：2d sin cos cos 22(x )x xdx xxdx x d ==,选项(D)正确. 6.解： l ()n sin xd tan x tan xln sin x tan xd ln sin x --⎰⎰cos xl .x tan tan ln sin sin xtan n sin xdx x x x C x=-=-+⎰.选项(A)正确. 7.解:令111(x 1)(1)(x)1lim lim 11(x)(x 1)(1)n n n n n n n nu n x u n+++→∞→∞--+==-<--可得,02x <<,故级数的收敛区间为()0,2.又当0x =时,原级数即为11n n ∞=∑，发散;当2x =时,原级数即为11(1)n n n ∞=-∑,收敛,故原级数的收敛域为(]0,2.选项(A)正确.8.解:由题意可知,积分区域为矩形区域,此时便可把原二重积分化成两个定积分的乘积的形式,故212121200000014[1n (1x)][]122ln 211122Dy yy dxdy dx dy dx ydy n x x x ===+==+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰.选项(D)正确.二、填空题:本大题共10小题,10个空,每空2分,共20分,请把正确答案填在划线上。

2004至2005年江苏专转本高数真题附答案

2004年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）1、[](]⎩⎨⎧∈--∈=2,00,3)(33x xx x x f ，是：（） A 、有界函数B 、奇函数C 、偶函数D 、周期函数2、当0→x 时，x x sin 2-是关于x 的（） A 、高阶无穷小B 、同阶但不是等价无穷小C 、低阶无穷小D 、等价无穷小3、直线L 与x 轴平行且与曲线x e x y -=相切，则切点的坐标是（） A 、()1,1B 、()1,1-C 、()1,0-D 、()1,04、2228R y x =+设所围的面积为S ，则dx x R R⎰-220228的值为（）A 、SB 、4SC 、2S D 、S 25、设yx y x u a r c ta n),(=、22ln ),(y x y x v +=，则下列等式成立的是（） A 、y v x u ∂∂=∂∂ B 、xv x u ∂∂=∂∂ C 、xv y u ∂∂=∂∂ D 、yv y u ∂∂=∂∂ 6、微分方程xxe y y y 22'3''=+-的特解*y 的形式应为（） A 、xAxe 2B 、xe B Ax 2)(+C 、xeAx 22 D 、x e B Ax x 2)(+二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）7、设xx x x f ⎪⎭⎫⎝⎛++=32)(，则=∞→)(lim x f x 8、过点)2,0,1(-M 且垂直于平面2324=-+z y x 的直线方程为9、设)()2)(1()(n x x x x x f +++= ，N n ∈，则=)0('f 10、求不定积分=-⎰dx xx 231arcsin 11、交换二次积分的次序=⎰⎰-dy y x f dx x x 212),(12、幂级数∑∞=-12)1(n nnx 的收敛区间为三、解答题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分） 13、求函数xxx f sin )(=的间断点，并判断其类型.14、求极限)31ln()1()sin (tan lim22x e dtt t x xx +--⎰→.15、设函数)(x y y =由方程1=-yxe y 所确定，求22=x dx yd 的值.16、设)(x f 的一个原函数为xe x ，计算⎰dx x xf )2('.17、计算广义积分dx x x ⎰+∞-211.18、设),(xy y x f z -=，且具有二阶连续的偏导数，求x z ∂∂、yx z∂∂∂2.19、计算二重积分dxdy y yD⎰⎰sin ，其中D 由曲线x y =及x y =2所围成.20、把函数21)(+=x x f 展开为2-x 的幂级数，并写出它的收敛区间.四、综合题（本大题共3小题，每小题8分，满分24分）21、证明：⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin dx x f dx x xf ，并利用此式求dx xxx⎰+π2cos 1sin .22、设函数)(x f 可导，且满足方程)(1)(20x f x dt t tf x++=⎰，求)(x f .23、甲、乙二城位于一直线形河流的同一侧，甲城位于岸边，乙城离河岸40公里，乙城在河岸的垂足与甲城相距50公里，两城计划在河岸上合建一个污水处理厂，已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管道的费用分别为每公里500、700元。

2005年河南专升本高数真题及答案

2005 年河南省普通高等学校
选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试
高等数学试卷
题号一二三四五六总分核分人
分数
得分评卷人
一、单项选择题（每小题 2 分，共计 60 分）
在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题
干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题无分 .
1. 函数的定义域为为（）
A. B. C. D.
解：.
2. 下列函数中 , 图形关于轴对称的是（）
A ． B.
C. D.
解：图形关于轴对称 , 就是考察函数是否为偶函数 , 显然函数为偶函数 , 应选 D.
3 . 当时，与等价的无穷小量是（）
A. B. C. D.
解：, 应选 B.
4. （）
A. B. C. D.
解：, 应选 B.
5. 设在处连续，则常数（）
A. 1
B. -1 C . D.
解：, 应选 C.
6. 设函数在点处可导 , 且, 则（）
A. 1
B.
C.
D.
解：, 应选
D.
7. 由方程确定的隐函数的导数为（）
A. B. C. D.
解：对方程两边微分得,
即,
,
所以, 应选 A.
8. 设函数具有任意阶导数 , 且，则（）
A. B.
C. D.
解：,
, 应选 B.
9. 下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是（）。

2005年山东省专升本统一考试高等数学真题试卷

2005年山东省专升本统一考试高等数学真题试卷一、选择题:本题共8小题,每小题3分,共24分,请把所选项前的字母填在题后的括号内。

1.设()120lim 1x x mx e →-=,则m=( )（A ）12- （B ）2（C ）2- （D ）122.设1x y e -=是无穷大,则x 的变化过程是( )(A)0x +→ (B)0x -→(C)x →+∞ (D)x →-∞3.设()()()()1299f x x x x x =---,则()'0f =() (A)-99! (B)0(C)99! (D)994.设ln y x =,则()n y =( )(A)()1!n n n x -- (B)()()211!n n n x ---(C)()()111!n n n x ---- (D)()111!n n n x --+--5.()2sin d xd x =( )(A) cos x (B)sin x - (C)cos 2x (D)cos 2x x6.lnsin tan xd x =⎰( )(A)tan lnsin x x x c -+(B)tan lnsin x x x c ++ (C)tan ln sin cos dx x x x -⎰(D)tan ln sin cos dx x x x +⎰7.幂级数()()111n n n x n ∞=--∑的收敛区间是( )(A)(]0,2 (B)(]1,1- (C)[]2,0-(D)(),-∞+∞ 8.设:01,02D x y ≤≤≤≤,则1y dxdy x +⎰⎰( )(A)ln 2 (B)2ln 2+(C)2 (D)2ln 2二、填空题:本大题共10小题,10个空,每空2分,共20分,请把正确答案填在划线上。

9.x y xe -=的凸区间是。

10.()31231sin x x x e dx -+=⎰ 。

11.微分方程''2'3y y y x --=的通解为。

2005年成考专升本高等数学

第 1 页 2005年成考专升本高等数学 1一、单项选择题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设I=(0,1)，R 是实数集，则它们的基数之间的关系是( ) A.R I < B. R I = C. R I > D.不能判定2.设Q 是R 中有理数的全体，Q 2={(r 1,r 2)|r 1∈Q,r 2∈Q,},则在R 2中Q 2的边界∂Q 2是() A.Q 2 B.φC.R 2D.R 2＼Q 2·3.设P 是Cantor 三分集，⎩⎨⎧∈∈=P x 2-Px 2f(x)，则⎰[0,1]f(x)dx=()A.0B.2C.-2D.44.设f(x)在闭集［a,b ］有定义,∀ε>0，令E ε={x ∈E|f(x)≥ε}，则E ε是( )A.开集B.闭集C.F ζ型集D.G δ型集5.设f(x)在［a,b ］单调递增，I 1=⎰baf ′(x)dx ，I 2=f(b)-f(a)，则有( )A.I1≤I2B.I1=I2C.I1≥I2D.不能判定二、判断题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。

1.任何无限集至少含有可数子集.( )2.一列开集的交集是开集.( )3.R 中任何一个非空开集是有限或可数个互不相交的构成区间的合集.( )4.Lebesgue 可测集一定能够表示为一个G δ型集与零测度集的差.( )第 2 页 5.设f(x)在［a,b ］单调递增，则f(x)在［a,b ］可测.( )6.设f(x)在E ⊂R n 上Lebesgue 可积，则f(x)在E ⊂R n 上Riemann 可积.( )7.有界变差函数的导函数a.e 存在.( )三、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)请在每小题的空格中填上正确答案。

2005年专升本高等数学试题

成都高等专科学校2005年专升本选拔考试高等数学试题（理工类A 卷）注意事项：1. 务必将密封线内的各项写清楚。

2. 本试题共四大题37小题，满分100分，考试时间120分钟。

一、解答题：本大题共7个小题，每小题10分，本大题共70分。

1. 试求垂直于直线相切的直线方程.2. 计算.3. 求出所围成的图形面积.4. 设.5.薄板在面上所占区域为已知薄板在任一点处的质量面密度为求薄板的质量.6. 把函数的幂级数，并指出收敛区间.7. 求微分方程的通解.二、选择题（单选，每小题1分，共10分） 8. 等于（）A.B.C.D.9.设函数,则（） A ．连续，但不可导 B.不连续 C.可导 D.10.设（）A. B.C.D.11.函数存在的（）A ．必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 12.等于（）A ．B.C. D.13.广义积分为（） A.发散B. 1C. 2D. 1/2 14.直线的位置关系是（）A.直线与平面平行B.直线与平面垂直C.直线在平面上D.直线与平面只有一个交点，但不垂直 15.下列级数中，发散的是（）A.B.C. D.16.幂级数的收敛半径为（）A. 1B. 2C.D.17.所围成的区域的正向边界线，曲线积分等于（）A. 1/10B. 1/20C. 1/30D. 1/40三、判断题.（每小题1分，共10分）18.（）19.（）20.曲线（）21.已知函数则（）22.设点（）23.（）24.平行与x轴且经过A（1，-2，3），B（2，1，2）两点的平面方程为（）25.设函数（）26.改变二次积分（）27.微分方程（）四、填空题.（每小题1分，共10分）28.行列式29.若行列式30.设矩阵31.若齐次线性方程组有非零解，则32.设33.若34.已知35.维向量线性相关的条件.36.若线性无关的向量组线性表出，则的不等式关系是37.设线性方程组则且,方程组有解.。

2005年陕西省专升本高数试题

2005年陕西省普通高等教育专升本招生考试高等数学试题一单项选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设函数()1sin ,00 , 0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩则0=x 是函数()x f 的Ａ跳跃间断点 B 可去间断点 C 第二类间断点 D 连续点 2.设函数()x f 有连续导数，则()3f x dx '⎰等于A ()3f x c + B()133f x c + C ()3f x c + D ()33f x 3.下列级数中绝对收敛的是A 1n n ∞=∑n （-1） B ()1211n n n-∞=-∑ C()112nnn ∞=-∑D()11nn ∞=-∑n3()24. 设函数(),F u v 具有连续的偏导数，且由方程(),0F x az y bz ++=能确定函数(,)z z x y =，则z zab x y∂∂+∂∂等于 A a B b C 1- D 15.二次积分211x ydy e dx -⎰⎰的积分值为A11(1)2e - B 11(1)2e - C 12(1)e - D 12(1)e- 二．填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分。

6．已知函数()x f 的定义域为[]2,0，则函数11()()22f x f x ++-的定义域为。

7．已知3lim(1)xx m e x→∞+=，则e = 。

8．曲线3232y x x x =-+的拐点坐标为。

9．定积分()1221sin 1x x x dx -+-=⎰。

10．设函数cos()xyz e x y =+-，则(1,1)|dz = 。

三．计算题：本大题共10小题，每小题8分，共80分，计算题要有计算过程。

11．求极限222ln(1)limsin x x t dtx x→+⎰。

12．设函数()y y x =由参数方程2tan 1ln(1)x acr t y t =⎧⎨=-+⎩所确定，求22|d ydx （0,1）。

浙江省专升本历年真题卷

2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷一、填空题1．函数xe x x x y --=)1(sin 2的连续区间是。

2．=-+-∞→)4(1lim 2x x x x 。

3．（1）x 轴在空间中的直线方程是。

（2）过原点且与x 轴垂直的平面方程是。

4．设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+=>+=--1 ,1b 1 ,1,)1(1)(2)1(12x x x a x e x x f x ,当_________,==b a 时，函数)(x f 在点1=x 处连续。

5．设参数方程⎩⎨⎧==θθ2sin 2cos 32r y r x ，（1）当r 是常数,θ是参数时，则=dxdy。

（2）当θ是常数，r 是参数时，则=dxdy。

二．选择题1．设函数)(x f y =在b], [a 上连续可导，),(b a c ∈，且0)('=c f ，则当（）时，)(x f 在c x =处取得极大值。

（A ）当c x a <≤时，0)('>x f ，当b x c ≤<时，0)('>x f , （B ）当c x a <≤时，0)('>x f ，当b x c ≤<时，0)('<x f , （C ）当c x a <≤时，0)('<x f ，当b x c ≤<时，0)('>x f , （D ）当c x a <≤时，0)('<x f ，当b x c ≤<时，0)('<x f . 2．设函数)(x f y =在点0x x =处可导，则=--+→hh x f h x f h )2()3(lim000（）。

).(5)( ),( 4)( ),(x 3)( ),()(0'0'0'0'x f D x f C f B x f A3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=--0 ,0 0,0x ,)(22x e x e x f x x ，则积分 ()11-=⎰f x dx （）。

05年专升本高数真题答案

共 9 页，第 1 页河南省2005年普通高等学校专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学答案及解析一、单项选择题（每小题2分，共计60分）1.答案：C【解析】：.C x x x ⇒<<⇒⎩⎨⎧>->-5105012.答案：D【解析】：图形关于轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数为偶函数,应选D.y 222xx y -+=3.答案：B【解析】： ,应选B.⇒-x e x~12~12x e x -4.答案：B【解析】：,应选B.2)1(2lim2)1(22121lim 21lim 21lim e n n n nn n n nn n n n n n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→+⋅∞→+∞→∞→5.答案：C【解析】：,应选C.21)11(1lim )11(lim 11lim)(lim 0000=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x 6.答案：D 【解析】：,应选D.41)1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim020-='⇒='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h 7.答案：A【解析】：对方程两边微分得,yx exy +=)(dy dx eydx xdy yx +=++即,dy x e dx ey y x yx )()(-=-++,dy x xy dx xy y )()(-=-所以,应选A.dy dx )1()1(x y y x --=8.答案：B【解析】：423)]([3)()(32)()]([2)()(2)(x f x f x f x f x f x f x f x f 及='⋅='''⇒='='',应选B.⇒ =)()(x f n 1)]([!+n x f n 9.答案：A【解析】：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有满足,应选A.]1,1[,1)(2--=x x f 10.答案：B【解析】：在内,显然有,而,故函数在内单调减)1,21(0)12)(1()(<+-='x x x f 014)(>-=''x x f )(x f )1,21(少,且曲线为凹的,应选B.)(x f y =11.答案：C共 9 页，第 2 页【解析】：，应选C.0lim ;11lim 0=⇒∞==⇒=-→±∞→x y y y x x 12.答案：B【解析】：dxdtt a t b t a t b dx y d t a t b x y dx dy t x t t ⨯'⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=''=sin cos sin cos sin cos 22,应选B.ta b t a t a b 322sin sin 1sin -=-⨯=13.答案：B【解析】：两边对求导 ,应选B. x 22111)(1()(xx f x e e x f xx-=⇒-⨯=14.答案：A【解析】：,应选A.⎰⎰+==C x F x d x f dx x xf )(sin )(sin )(sin )(sin cos 15.答案：C 【解析】：;;2arctan 11002π==+∞++∞⎰x dx x 2arcsin 1110102π==-⎰x dx x;,应选C.∞==+∞∞+⎰eex dx x x 2)(ln 21ln 10=-=+∞-+∞-⎰xx e dx e 16.答案：A【解析】：被积函数在积分区间[-1,1]上是奇函数,应选A.||x x 17.答案：D 【解析】：,应选D.⎰⎰⎰⎰-----===-===-aaaaa aaaut dx x f du u f u d u f dx x f )()()()()(18.答案：B【解析】：x x f x x f x f x sin )(cos )()()(sin -='⇒=⇒=',应选B.C x x dx x xdx xdx x f ++-=--=-='⎰⎰⎰2sin 412122cos 1sin sin )(219.答案：A 【解析】：是常数,它的导数为零,而不是,即不是的原函数 ,应选A.⎰badx x f )()(x f ⎰badx x f )()(x f 20.答案：D【解析】： ,另一方面点不在平面内,所以应为平行关系,应选D.n s n s⊥⇒--=-=)1,1,1{},2,1,1{)2,0,3(-21.答案：B【解析】：两个偏导数存在,不一定可微,但可微一定有偏导数存在,因此为必要条件,应选B.22.答案：C 【解析】：,应选C.dy y dx x dz y x y x z 11ln 2ln 2ln -=⇒-==dy dx dz 21)2,1(-=⇒23.答案：B【解析】：,应选B.)1,1(),(012012-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=++=∂∂y x y x yz y x xz24.答案：A【解析】：积分区域,应选A.}2,40|),{(}0,20|),{(2≤≤≤≤=≤≤≤≤=x y y y x x y x y x D共 9 页，第 3 页25.答案：C【解析】：积分区域在极坐标下可表示为：，从而}θcos 20,2πθ0|)θ,{(a r r D ≤≤≤≤=⎰⎰=σDd y x f ),(，应选C.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d 26.答案：B【解析】：：从0变到1 , L ,2⎩⎨⎧==x y xx x ,应选B.1422210410310332===+=+⎰⎰⎰x dx x dx x dx x dy x xydx L27.答案：B【解析】：发散, 和绝对收敛，是收敛的，但是∑∞=+-11)1(n nn n ∑∞=-121)1(n n n ∑∞=+-1)1()1(n n n n ∑∞=-1321)1(n nn ∑∞=1321n n的级数发散的，从而级数条件收敛，应选B.32=p ∑∞=-1321)1(n n n28. 答案：C 【解析】：正项级数与收敛与收敛，∑∞=1n nu∑∞=1n nv⇒∑∞=12n nu∑∞=12n nv而，所以级数收敛，应选C.)(2)(222n n n n v u v u +≤+21)(n n nv u+∑∞=29. 答案：D【解析】：注意对所给的方程两边求导进行验证，可得通解应为，应选D.222C y xy x =+-30.答案：A【解析】：微分方程的特征方程为，有两个复特征根，所以方程的通解为0βλ22=+i βλ±=，应选A.t C t C x βsin βcos 21+=二、填空题（每小题2分，共30分）1.答案：116)2(2+-=-x x x f 【解析】：⇒+-=⇒++-+=+32)(3)1(2)1()1(22x x x f x x x f .116)2(2+-=-x x x f 2.答案：1=a 【解析】：因.10)6(lim 0)2(lim 222=⇒=-+⇒=-→→a ax x x x x 3.答案：02π12=+--y x 【解析】：，则切线方程为，2111121=+='===x x x y k )1(214π-=-x y 即 .02π12=+--y x 02π12=+--y x 4.答案：dxx x e x dy x x ]1ln 1[21+-=共 9 页，第 4 页【解析】： .dx x x e x x x x d edy ey x x x xxx xx]1ln 1[)ln (21ln ln +-=+=⇒=++5.答案：或),21(∞+),21[∞+【解析】：或.⇒>⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>-⇒-='21001414x x xx x x y ),21(∞+),21[∞+6.答案：),1(e 【解析】：,得拐点为.104)1(21=⇒=-=''⇒⨯='x xx x e y xe y x x),1(e 7.答案：271【解析】：等式两边求导有,取有.x dt t f x ⎰=3)(13)(23=x x f 3=x 271)27(=f 8.答案：45【解析】：⎰⎰⎰'-'='=''10101012)2(41)2(21)2(21)2(x d x f x f x x f xd dx x f x .45)0(41)2(41)2(21)2(41)2(2110=+-'=-'=f f f x f f 9.答案：0【解析】：.0)0(00=⇒=⇒=='-f x xey x10.答案：Cx x ++|cos |ln 【解析】：.⎰⎰++=++=+-C x x xx x x d dx x x x |cos |ln cos )cos (cos sin 111. 答案：6【解析】： .6||2210101=⨯=⇒+-=-=⨯b a S k j i k j i b a12.答案：)()(z x y z y z ++【解析】：令 ,则y z z xy z z x F ln ln ln +-=-=.221,1,1zz x z z x F y F z F z y x +-=--='='=' ,所以 .)(;2z x y z F F y z z x z F F x z z y z x +=''-=∂∂+=''-=∂∂)()(z x y z y z y z x z ++=∂∂+∂∂13.答案：821π-共 9 页，第 5 页【解析】：积分区域在极坐标系下表示为,则}10,4πθ0|)θ,{(≤≤≤≤=r r D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=104π021024π02θ)1θ(sec θcos θsin θ(rdr d rdr d dxdy x y D.8π21)θθ(tan 21θ)1θ(sec 214π024π02-=-=-=⎰d14.答案：)11(,21)1(2(21)()(0100<<-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-=∑∑∑∞=+∞=∞=x x x x x f n n n nn n n n【解析】：,21121112111)2)(1(323)(2x x x x x x xx x f -++=-++=-+=-+=所以.)11(,21)1()2(21)()(0100<<-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-=∑∑∑∞=+∞=∞=x x x x x f n n n nn n n n 15.答案：xeB Ax x 22)(+【解析】：2是特征方程的二重根,且是一次多项式,特解应设为 .04λ4λ2=+-)12(+x xe B Ax x 22)(+三、计算题（每小题5分，共40分）1．.xx x x x cos sin 1lim2-+→【解析】： x x x x x x x xx x x x x cos sin 1)cos sin 1(limcos sin 1lim 2020-+++=-+→→ )cos sin 1(lim cos sin 1lim20x x x x x x x x x ++⨯-+=→→xx x xx x x x x x cos sin 22lim2cos sin 1lim 20020+=-+=→→.34314sin cos 31lim4000=⨯=-=→x x x x 2.已知,求.2arctan )(,2523x x f x x y ='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=0=x dx dy 【解析】：令,则 ,u x x =+-2523)(u f y =,22)25(162523arctan 2523)(+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'=⨯=x x x x x u f dx du du dy dx dy 所以.π4π42161arctan 20=⨯=⨯==x dx dy共 9 页，第 6 页3.求不定积分.⎰+dx x x 231【解析】：⎰⎰⎰+=+=+222223111x d x dx x x x dx x x )1(11)(1122222222x d x x x x d x x x ++-+=+-+=⎰⎰.C x x x ++-+=23222)1(3214.设 ,求.⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=0,210),1ln()(x xx x x f ⎰-20)1(dx x f 【解析】：令 ,则t x =-1⎰⎰-=-112)()1(dtt f dx x f ⎰⎰⎰⎰+++=+=--10011001)1ln(21)()(dt t dt t dt t f dt t f ⎰+-+++=-1010011)1ln()2ln(dttt t t t ⎰+--+=10)111(2ln 2ln dtt .12ln 3)1ln(2ln 21010-=++-=t t 5.设，其中可微，求.),sin (22y x y e f z x +=),(v u f yz x z ∂∂∂∂,【解析】：令,则,复合关系结构如图05-1所示,v y x u y e x=+=22,sin ),(v u f z =xv v z x u u z x z ∂∂⨯∂∂+∂∂⨯∂∂=∂∂ ,),(2),(sin v u f x v u f y e v u x'+'=yv v z y u u z y z ∂∂⨯∂∂+∂∂⨯∂∂=∂∂ .),(2),(cos v u f y v u f y e v u x'+'=6．求，其中是由所围成的闭区域.⎰⎰D dxdy yx 22D 2,1===x x y xy 及【解析】：积分区域如图05-2所示，曲线在第一象限内的交点为（1，1），积分区域可表示为：x y xy ==,1.x y xx ≤≤≤≤1,21 则⎰⎰⎰⎰⎰-==21121222122)1(dx y x dy y x dx dxdy y x x xx x D ⎰⎰-=⎦⎤⎢⎣⎡-=213212)(1dxx x dx x x x zvuxxyy图05-1xx 05-2共 9 页，第 7 页.49242124=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x 7．求幂级数的收敛域（考虑区间端点）.12012)1(+∞=∑+-n n n x n 【解析】：这是缺项的标准的幂级数，因为，221232113212lim )1(1232)1(lim lim ρx n n x x n n x u u n n n n n n nn n =++=-+⋅+-==∞→+++∞→+∞→当，即时，幂级数绝对收敛；1ρ<11<<-x 当，即或时，幂级数发散；1ρ>1>x 1-<x 当，即时，1ρ=1±=x 若时，幂级数化为是交错级数，满足来布尼兹定理的条件，是收敛的，若时，幂级数1=x ∑∞=+-012)1(n n n 1-=x 化为也是交错级数，也满足来布尼兹定理的条件，是收敛的.∑∞=++-0112)1(n n n 故幂级数的收敛域为[-1,1].8．求微分方程通解.0cos 2)1(2=-+'+x xy y x 【解析】：微分方程可化为，这是一阶线性非齐次微分方程，它对应的齐次线性微分方程1cos 1222+=++'x xy x x y 的通解为.0122=++'y x x y 12+=x C y 设非齐次线性微分方程的通解为，则，代入方程得,所以1)(2+=x x C y 222)1()(21)(+-+'='x x xC x x C y x x C cos )(='.C x x C +=sin )(故原微分方程的通解为(C 为任意常数).1sin 2++=x Cx y 四、应用题（每小题7分，共计14分）1. 一房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为2000元时,公寓会全部租出去,当月租金每增加100元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费200元的维修费.试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少?【解析】：设每套公寓租金为元时,所获收入为元,x y 则 ,)2000(),200](100200050[>---=x x x y 整理得 ),14000007200(10012-+-=x x y 均有意义,)72002(1001+-='x y 令得唯一可能的极值点,而此时,所以是使达到极大值的点,即为最0='y 3600=x 0501<-=''y 3600=x y 大值的点.共 9 页，第 8 页最大收入为(元).115600340034)2003600](1002000360050[=⨯=---=y 故租金定为每套3600元时,获得的收入最大,最大收入为115600元.2.平面图形由抛物线与该曲线在点处法线所围成,试求:x y 22=)1,21( (1)该平面图形的面积;(2)该平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积.x 【解析】：平面图形如图05-3所示,切点处的切线斜率为,)1,21(A 21='=x y k 由得,故点处的切线斜率x y 22=yy 1='A ,1121='='===y x y y k 从而点处的法线斜率为-1,A 法线方程为.023=-+y x 联立方程组得另一交点⎪⎩⎪⎨⎧=-+=02322y x xy )3,29(-B (1) 把该平面图形看作Y 型区域,其面积为;316)6223(2)23(1332132=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--⎰y y y dy y y S (2) 根据抛物线的对称性知,该平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积等于平面图形绕轴旋转所成旋x OBC x 转体的体积,有故 ⎰⎰+--=--=29232923322902229)312349(ππ)23(π2πx x x xdx x xdx V x .π445]9481[π=-=五、证明题（6分）试证：当时，有.0>x xx x x 11ln 11<+<+【证明】：构造函数，它在内连续，x x f ln )(=)0(∞+及当时，函数在区间上连续，且. 0>x ]1,[x x +xx f 1)(='故在上满足Lagrange 中值定理,存在,)(x f ]1,[x x +)1,(ξ+∈x x 使得，.)ξ()()1(f x f x f '=-+)1ξ(+<<x x 而,故有,x f x 1ξ1)ξ(11<='<+xx x x 1ln )1ln(11<-+<+x图05-3023=-y共 9 页，第 9 页即时,成立.0>x xx x x 11ln 11<+<+。

05年专升本数学试题

2005年普通专升本选拔考试高等数学试题一. 单项选择题(每小题4分，共24分)1 当0x →时，下列各无穷小量与x 相比是高阶无穷小量的是_______。

.A22x x+.B 2s i n x.C sin x x+.D 2sin x x +2 下列极限中正确的是_____________。

.A sin lim 1x xx→∞= .B 01l i m s i n 1x x x →= .C 0sin 2lim 2x xx→=.D 1lim 2xx →=∞3 已知函数()f x 在点0x 处可导，且0()3f x '=，则000(5)()limh f x h f x h→+-等于_______。

.A 6 .B 0 .C 15 .D 104 如果()0,x a b ∈，()0f x '=，()0f x ''<，则0x 一定是()f x 的_______。

.A 极小值点 .B 极大值点 .C 最小值点 .D 最大值点5 微分方程0dy ydx x +=的通解为_______。

.A 22()x y c c R +=∈.B 22()x y c c R -=∈.C 222()x y c c R +=∈.D 222()x y c c R -=∈6 三阶行列式231502201298523-等于_______。

.A 82 .B 70- .C 70 .D 63二. 判断题(每小题4分，共24分)1 设,A B 为n 阶矩阵，且0AB =，则必有0A =或0B =2 若函数()y f x =在区间(),a b 内单调递增，则对于(),a b 内的任意一点x 有()0f x '>3 212101xxe dx x -=+⎰ 4 若极限0lim ()x x f x →和0lim ()x x g x →都不存在，则[]0lim ()()x x f x g x →+也不存在。

专转本高数真题试卷2005

江苏省高等数学一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。

1、x=0是函数xx x f 1sin)(=的（） A.可去间断点 B.跳跃间断点 C.第二类间断点 D.连续点2、设x ＝2是函数1ln()2y x ax =-+的可导极值点，则a ＝（） A 、－1 B 、12 C 、12- D 、1 3、若()(),f x dx F x C =+⎰则sin (cos )()xf x dx =⎰A. (sin )F x C +B. (sin )F x C -+C. (cos )F x C +D. (cos )F x C -+4、1lim(1)()xx kx →-= A. k e B . ke- C. 1 D. ∞5、设区域D 是xoy 平面上以点A(1,1)，B(-1,1)，C(-1,-1)为顶点的三角形区域，区域1D 是D 在第一象限的部分，则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰＝（）A. 12cos sin D x ydxdy ⎰⎰B.12D xydxdy ⎰⎰C 14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰D. 06、设有正项级数（1）n u ∑与（2）2n u ∑，则下列说法中正确的是（） A ．若（1）发散则（2）必发散。

B.若（2）收敛，则（1）必收敛。

C.若（1）发散，则（2）可能发散也可能收敛。

D.（1），（2）敛散性一致。

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请把正确答案的结果填在划线上）。

7、02lim__sin x x x e e xx x-→--=- 8、对函数()ln f x x =在闭区间[1,e]上应用Lagrange 中值定理，求得的ξ＝____。

9、1211______.1x dx xπ-+=+⎰10、设向量{3,4,2},{2,1,},a b k =-=若a 与b 垂直，则k=________.11、交换二次积分的次序：11(,)x dx f x y dy -+⎰＝______________.12、幂级数1(21)nn n x∞=-∑的收敛域为_____________.三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）。

2005年河北省专接本数学一(理工类)真题试卷(题后含答案及解析)

2005年河北省专接本数学一（理工类）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．在区间[-1，1]上，设函数f(x)是偶函数，那么-f(x)( )．A．是奇函数B．是偶函数C．既不是奇函数也不是偶函数D．不能被判定奇偶性正确答案：B解析：记g(x)=一f(x)，则在[-1，1]上，有g(一x)=一f(一x)=一f(x)=g(x)，即一f(x)为偶函数，故选B2．设a(x)=ln(1+x2)，p(x)=2xsinx，当x→0时，( )．A．没有极限B．α(x)与β(x)是等价无穷小C．α(x)与β(x)是同阶无穷小D．α(x)是比β(x)高阶的无穷小正确答案：C解析：因为所以选C3．如果函数f(x)在点x0处连续，并且在点x0的某个去心邻域内f(x)>0，那么( )．A．f(x0)≥0B．f(x0)>0C．f(x0)=0D．f(x0)又由在x0的某个去心邻域内f(x)>0知，由此得f(x0)≥0．故选A4．设函数f(x)在点x0可导，那么f(x)( )．A．在点x0的某个邻域内可导B．在点x0的某个邻域内连续C．在点x0处连续D．不能判定在点x0处是否连续正确答案：C解析：因为f(x)在x0可导，所以f(x)在x0处连续．故选C.5．设函数f(x)满足等式y’’一y’一5y=0，并且f’(x0)=0，f(x0)，α.β=2，那么｜α.β｜=( )。

A．2B．C．D．1正确答案：A解析：因为解得由此得．故选A7．直线与平面3x一2y+7z=8的关系是( )．A．平行但直线不在平面内B．直线垂直于平面C．直线在平面内D．直线与平面既不垂直也不平行正确答案：B解析：有平面的法向量与直线的方向向量分别为s={3，一2，7)，n={3，一2，7}，可知，s／／n，所以直线垂直平面，故选B8．设那么极限=( )．A．可能存在，也可能不存在B．不存在C．存在，但极限值无法确定D．存在，并且极限值为1正确答案：D解析：由于级数的部分和所以由级数的和为1知，有于是故选D9．微分方程y’’+y=1的通解是( )．A．y=Ccosx+1，其中C为任意常数B．y=Csinx+1，其中C为任意常数C．y=C1cosx+C2sinx+1，其中C1，C2为任意常数D．y=C1cosx+C2sinx一1，其中C1，C2为任意常数正确答案：C解析：方法1原方程化为(y一1)’’+(y-1)=0，这是一个关于函数y一1的齐次方程,由其特征方程为r2+1=0的特征根为r12=±i，故通解为y一1=C1cosx+C2sinx，即y=C1cosx+C2sinx+1．方法2对应齐次方程y’’+y=0的通解为Y=C1cosx+C2sinx设特解形式为y*=A，代入方程得A=1，故原方程的通解为y=Y+y*=C1cosx+C2sinx+1．10．设A为n阶方阵(n≥2)λ为常数(λ≠1)，那么｜λA｜=( )．A．｜A｜B．λn｜A｜C．｜λ｜｜A｜D．λ｜A｜正确答案：B解析：这是矩阵的行列式性质．填空题11．正确答案：解析：12．设函数f(x)在区间(-∞，∞)内连续，且那么f(0)=________.正确答案：解析：因为所以由f(x)在(-∞，+∞)上连续知，13．设函数f(x)在区间(一∞，∞)内连续，并且，(C为某个常数)，那么f(x)=__________C=__________．正确答案：f(x)=15x2，C=一2解析：方程两边对x求导数得f(x)=15x2，代入原方程得或即5x3一5c3=5x3+40．解得C=一2．14．设那么正确答案：0解析：15．曲面2xy+z=3在点(1,2，0)处的切面方程为__________．正确答案：4x+2y+z一8=0解析：因为zx’=一2y，zy’=一2x，所以法向量故切平面方程为4(x—1)+2(y一2)+z=0．16．交换累次积分的积分次序：正确答案：17．幂级数的收敛半径R=__________．正确答案：3解析：因为18．微分方程(x2一1)y’’+2xy=cosx(x>1)的通解为y=_________．正确答案：解析：原方程化为故方程的通解为19．如果方程组有无穷多解，那么t=__________．正确答案：1或一1解析：因为所给齐次线性方程组有无穷多解的充要条件为而=2(t—1)(t+1)即t=1或t=一1．20．矩阵的秩R(A)=__________．正确答案：2解析：因为故R(A)=2．解答题解答时应写出推理、演算步骤。

5河南专升本高数真题及答案【范本模板】

不选、错选或多选者，该题无分.1.函数xx y --=5)1ln(的定义域为为 ( )A.1>xB.5<xC.51<<xD. 51≤<x解：C x x x ⇒<<⇒⎩⎨⎧>->-510501.2。

下列函数中，图形关于y 轴对称的是（ )A ．x x y cos =B 。

13++=x x yC 。

222x x y --= D.222xx y -+=解：图形关于y 轴对称，就是考察函数是否为偶函数，显然函数222xx y -+=为偶函数,应选D 。

3。

当0→x 时,与12-x e 等价的无穷小量是（） A. x B.2x C.x 2 D. 22x解： ⇒-x e x ~12~12x e x -，应选B 。

4.=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→121lim n n n （ ) A. e B 。

2e C 。

3e D 。

4e解：2)1(2lim2)1(22121lim 21lim 21lim e n n n nn n n nn n n n n n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→+⋅∞→+∞→∞→，应选B 。

5。

设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,0,11)(x a x xxx f 在0=x 处连续，则常数=a （）A 。

1 B.—1 C.21 D.21-解：21)11(1lim )11(lim 11lim )(lim 0000=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C.6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且21)1()21(lim 0=--→h f h f h ,则=')1(f（）A. 1B.21- C 。