2011仪征三等奖——利用参数巧解不等式问题
含参数不等式的解法例析
含参数不等式的解法例析
发表时间：2011-06-29T14:12:20.087Z 来源：《少年智力开发报》2010年第19期供稿作者：杨丽赵飞舒存江[导读] 含参数不等式的解法集中了解不等式的基础知识、基本技能，常与分类讨论相结合，成为高考中的重点和难点。
陕西省丹凤中学杨丽赵飞舒存江
含参数不等式的解法集中了解不等式的基础知识、基本技能，常与分类讨论相结合，成为高考中的重点和难点。
如果能把含参数不等式的解法与课本上的基础知识联系起来，就会突破难点，提高分析问题解决问题的能力。
简评二：在①中，分子中的系数含有字母，分类讨论就从这里引起。
简评三：对于不等式②，分子中的系数不能随意约去，因为根据不等式的性质，给不等式两边同时乘以一个负数，不等式的方向要改变。
简评五：最后以综合方式写出解集是关键的步骤，不能省略。
初中解不等式的方法
初中解不等式的方法解不等式是初中数学中的一个重要内容，它在数学应用中有着广泛的用途。
在学习解不等式的过程中，我们需要掌握一些基本的方法和技巧，才能较好地解决问题。
本文将介绍初中解不等式的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来看一元一次不等式的解法。
一元一次不等式是指不等式中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一次。
解一元一次不等式的方法主要有两种，一种是利用图像法，另一种是利用代数法。
图像法是通过绘制不等式的图像来解决问题。
首先，我们将不等式化为等式，然后画出等式对应的直线，最后根据不等式的方向确定不等式的解集。
这种方法在直观上比较容易理解，适用于一些简单的不等式。
但是对于一些复杂的不等式，图像法的效果就不是很好了。
代数法是通过代数运算来解决不等式。
首先，我们需要将不等式中的式子进行化简，然后利用加减乘除的性质进行变形，最终得到不等式的解集。
这种方法相对来说比较灵活，适用于各种类型的不等式。
但是在运算过程中需要注意符号的变化，以及不等式两边同时乘除以负数时，不等号的方向会发生变化。
其次，我们来看一元二次不等式的解法。
一元二次不等式是指不等式中含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二次。
解一元二次不等式的方法主要是利用图像法和代数法。
图像法是通过绘制不等式的图像来解决问题。
首先，我们将不等式化为等式，然后画出等式对应的抛物线，最后根据不等式的方向确定不等式的解集。
这种方法在直观上比较容易理解，适用于一些简单的不等式。
但是对于一些复杂的不等式，图像法的效果就不是很好了。
代数法是通过代数运算来解决不等式。
首先，我们需要将不等式中的式子进行化简，然后利用因式分解、配方法、求根等方法进行变形，最终得到不等式的解集。
这种方法相对来说比较灵活，适用于各种类型的不等式。
但是在运算过程中需要注意符号的变化，以及不等式两边同时乘除以负数时，不等号的方向会发生变化。
总的来说，解不等式是初中数学中的一个重要内容，掌握好解不等式的方法对于提高数学水平是非常有帮助的。
含参数不等式的解题方法与技巧
含参数不等式的解题方法与技巧
解答含参数不等式问题，首先需要将含参数的不等式转换为等式，并求出参数使得等式成立的条件。
这一步骤叫做"消参数"，可以简化问题，使得我们能够运用一般的不等式解题技巧。
在消参数之后，我们需要对原式排列，进行一部分步骤的化简和转化，特别是通分、合并同类项这一类基础的代数技巧，目的是使原式得到简化。
例如：在某些情况下，含参不等式可以通过分子分母通分等方式化为标准形式，即化为形如ax
+ b(当含参数为a，而x是不等式中的未知数)的形式，这样便于接下来的求解。
接下来，寻找不等式的关键点。
关键点包括：不等式转化为等式时的解、函数的极值点、参数的取值范围等。
这些关键点分隔出了不等式解的可能区间，通过分析每一个区间的符号，可以确定最终的解集。
另外，对于含参的复杂不等式，可能需要运用一些数学理论与定理来进行求解，如中值定理、拉格朗日定理等。
这些理论定理虽然不是常常使用，但会在求解一
些更复杂问题时起到决定性的作用。
对于求解结果的检验也是解题的一部分，可以帮助我们验证所得结果是否正确，避免求解过程中的误解。
以上就是解题含参数不等式的常见步骤和方法，灵活运用这些方法和技巧，对于含参数不等式问题的解答有着实质性的帮助。
回答问题的同时，请你们也思考并问题含参数不等式问题的特性，分析它与其他等式、不等式问题的差别和联系，
以丰富对数学本质和方法的理解。
高考数学一轮总复习不等式与参数方程的解答技巧
高考数学一轮总复习不等式与参数方程的解答技巧在高考数学中，不等式与参数方程是数学题目中常见的内容之一，掌握其解答技巧对于获取高分至关重要。
本文将介绍一些解答不等式与参数方程问题的实用技巧，帮助考生在高考中应对这一类题目。
一、不等式的解答技巧1. 消元法：通过逐步变形，将不等式转化为更简单的形式。
例如，对于含有分式的不等式，可以通过将分子分母乘以相同的数值，化简为整式不等式。
在变形过程中，需要注意保持不等式方向的不变性。
2. 区间判断法：不等式的解一般是定义域中的一段区间。
通过解一元一次不等式、求解关于解的二元一次不等式等方法，可以确定解在定义域中的范围。
3. 图像法：对于部分不等式，可以将其在坐标系中进行图像表示。
通过观察图像，可以直观地得到不等式的解。
4. 代入法：对于不确定的解，可以采用代入法验证。
将解代入不等式中，判断是否满足不等式的关系。
二、参数方程的解答技巧1. 分段讨论法：当参数方程中含有分段函数时，可以对不同情况进行分别讨论。
通过对每个条件进行求解，再将各个情况的解综合起来，得到整个参数方程的解。
2. 消元法：将参数方程中的某个参数表达式代入另一个参数表达式中，将参数方程化简为常规方程，从而求解。
3. 考虑对称性：当参数方程中存在对称性时，可以通过利用对称性来简化方程的求解。
通过找到一个对称点，将方程的解与该对称点的解联系起来，从而简化解题过程。
4. 图像法：将参数方程在坐标系中进行图像表示，观察图像的特点。
可以通过观察图像来判断参数方程的定义域、值域等信息，进而解答相关问题。
在高考中，不等式与参数方程的解答技巧是考生获取高分的重要保障。
熟练掌握不等式的常见变形规则，灵活应用消元法、区间判断法、图像法和代入法等解题策略，能够有效提升解答不等式题目的准确性和速度。
对于参数方程，理解每个参数的含义和作用，并掌握不同情况下的分段讨论法、消元法、考虑对称性和图像法等解答技巧，能够更好地解决相关题目，提高解题效率。
七年级含参数不等式的解题方法与技巧
七年级含参数不等式的解题方法与技巧七年级数学中，参数不等式是一种常见的题型，需要运用一些解题方法和技巧。
下面将介绍七年级含参数不等式的解题方法与技巧。
首先，当遇到含参数的不等式时，我们可以按照以下步骤进行解题：1. 确定参数的取值范围：首先要确定参数的取值范围，这可以通过题目中的条件来确定。
例如，如果题目中给出了参数的取值范围，我们需要根据这个范围来判断参数的取值。
2. 对参数进行分析：根据参数的取值范围，我们可以将不等式进行分类分析。
例如，如果参数取值范围为正数，则可以将不等式分为正数和零的情况进行讨论。
3. 进行不等式的求解：根据参数的取值范围和分类分析的结果，可以运用一些不等式的解题方法来求解不等式。
例如，可以使用图像法、试探法、逆推法等方法来求解不等式。
其次，对于含参数的不等式，我们需要注意以下解题技巧：1. 观察题目中的条件：有时候，题目中的条件可以给出一些有用的信息。
我们需要仔细观察这些信息，并灵活运用它们来解题。
2. 特殊取值法：对于一些含参数的不等式，我们可以通过给参数赋予一些特定的值来求解。
通过分析这些特殊取值的情况，我们可以得出不等式的解集。
3. 图像法：对于一些简单的不等式，我们可以将其转化为图像，通过观察图像的变化来求解不等式。
4. 逆推法：对于一些复杂的不等式，我们可以从答案出发，逆向推导出参数的取值范围。
通过这种方法，我们可以缩小参数的取值范围，进而求解不等式。
综上所述，解决七年级含参数不等式问题的关键是确定参数的取值范围，进行分类分析，灵活运用解题方法和技巧。
通过不断练习和思考，我们可以提高解决这类问题的能力。
不等式的解题方法与技巧
不等式的解题方法与技巧不等式是数学中常见的一种代数问题，解题方法与技巧的掌握对于数学学习至关重要。
在这篇文章中，我将为大家详细介绍不等式的解题方法与技巧，帮助大家更好地应对不等式问题。
不等式问题可以分为一元不等式和多元不等式两种情况。
对于一元不等式，我们主要通过图像法和代数法来解决。
对于多元不等式，我们则需要借助图像法和代数法的组合来解决问题。
首先，我们先来介绍一元不等式的解题方法。
对于简单的一元一次不等式，我们可以直接使用代数法进行求解。
首先将不等式中的项移到同一边，化简为形如 ax + b < 0 或 ax + b > 0 的形式，然后根据系数a的正负情况，确定不等式的解集。
对于一元二次不等式，我们可以利用图像法和代数法进行求解。
首先，我们要将不等式转化为一元二次方程的形式，即将不等式中的项移到同一边，化简为ax^2 + bx +c < 0或ax^2 + bx +c > 0的形式。
然后，我们可以通过分析一元二次函数的图像来确定不等式的解集。
对于凸起的二次函数，解集为V字型区间；对于凹下的二次函数，解集为倒V字型区间。
在解题过程中，我们经常会遇到需要求解不等式的方程的情况。
这时，我们可以转化为方程的解来求解不等式。
首先，我们要将不等式转化为方程的形式，即将不等式中的项移到同一边，化简为形如ax + b = 0的形式。
然后，我们通过求解方程来确定不等式的解集。
解集中的数需要满足不等式的条件，即验证是否使不等式成立。
对于不等式组的解题方法，我们需要将不等式系统的所有不等式转化为方程的形式，然后通过求解方程组来确定不等式组的解集。
在求解不等式组时，我们还需要考虑不等式的并、交、差等运算。
除了代数法外，图像法也是解决不等式问题的重要方法。
对于一元一次不等式，我们可以通过画数轴并标识出不等式中的关键点来解决。
对于一元二次不等式，我们则可以通过绘制函数的图像，找出函数的凹凸性和函数与x轴的关系，从而确定不等式的解集。
不等式含参数问题的解题步骤
不等式含参数问题的解题步骤不等式含参数的问题，嘿，这可是个让人又爱又恨的东西。
咱们在数学的海洋里遨游，有时候会发现这些小怪物，它们就像调皮的孩子，想让我们绞尽脑汁。
说到不等式，大家肯定会想到那条好久不见的“>”和“<”，还有那种和谐的“≥”和“≤”。
好吧，不扯远了，咱们今天就来聊聊这道不等式的“秘籍”，让你轻松应对这些参数，成为数学界的“绝世高手”。
理解不等式的含义，哦，真的是很重要！不等式就像是生活中的各种关系，强者和弱者的对比，胜者与败者的较量。
就像朋友之间，有时候你愿意为对方付出，但有时候又觉得对方不够珍惜。
咱们的目标就是找到这个“平衡点”，看看在什么情况下，不等式成立。
要是你把参数当作一位调皮的小伙伴，时不时给你制造麻烦，那你就得想办法驯服他。
得把不等式转化为一个更加易于处理的形式。
这个步骤就像是把一个难吃的菜，换成一碗美味的汤。
咱们可以将参数放在一边，先尝试不等式的根本性质。
用点小技巧，比如将不等式中的各项移项，或者通过代数运算把它化简。
嘿，这里就像是做数学的魔法，看看你能不能把复杂的东西变简单。
可以考虑将参数代入具体的数值，来观察不等式的变化。
把每个参数都视作一种“调味品”，不同的调料会带来不同的风味。
有些时候，不等式就像一张复杂的地图，得仔细研究才能找到终点。
咱们可以使用图像的方法，把不等式画出来。
把它想象成一场热闹的派对，大家都在自己的位置上摇摆。
找找看，哪些区域是有效的，哪些是被拒之门外的。
画出函数的图像，再看看不等式所形成的区域，这一切就变得清晰多了。
好啦，到了这里，大家应该已经对不等式有了基本的了解，接下来就得考虑边界条件啦！就像是考试时，别光顾着做题，考场规则得遵守。
这一步要确保不等式的边界是“靠谱”的，不能让它随意游荡。
检查一下参数的取值范围，确保不等式的有效性。
就像是在菜市场挑菜，得把那些不新鲜的蔬菜挑出去，留下最好的。
然后，再深入探讨一下不等式的解集，看看最终的“赢家”是谁。
全国卷压轴题中含参数不等式问题的两种解法
全国卷压轴题中含参数不等式问题的两种解法含参数的不等式问题是指，在不等式中存在一个或多个参数（未知数），需要求解参数取值范围满足不等式的问题。
下面将介绍两种解法：图像法和参数法。
一、图像法：图像法是通过绘制函数的图像来解决含参数不等式的方法。
1.简单不等式问题的图像法解法：假设我们需要求解不等式f(x)<0，其中f(x)是一个含有参数a的函数。
我们可以通过绘制f(x)关于x的图像，并查找f(x)<0的x区间，来求解a的取值范围。
举个例子：求解不等式(ax-1)(ax+2) < 0 ，其中 a 是一个参数。
解法：首先确定不等式的定义域，即(ax-1)(ax+2) 的取值范围。
当a≠0 时，不等式的定义域为一次函数 (ax-1)(ax+2) 的根，即 x = -2/a 和 x = 1/a ；当 a=0 时，不等式的定义域为整个数轴（因为 (ax-1)(ax+2) = -x(x+1) ）。
接下来，我们将 f(x) = (ax-1)(ax+2) 的图像绘制出来。
根据函数的性质，我们可以确定函数的增减性，并找出 f(x)<0 的 x 区间。
在这个例子中，我们可以看出当 a>0 时， f(x)<0 的解集为 (-∞, -2/a) ∪ (1/a, +∞) ；当 a<0 时， f(x)<0 的解集为 (-2/a, 1/a)。
最后，我们根据a>0和a<0，得到参数a的取值范围为a>0或a<0。
2.复杂不等式问题的图像法解法：对于含有多个参数的复杂不等式问题，图像法可以先通过绘制函数图像（或者利用软件），确定函数的性质和f(x)<0的解集。
然后，通过观察函数图像和性质，进行推论和分析，进一步确定参数的取值范围。
二、参数法：参数法是通过对含有参数的不等式进行化简和变形，转化为关于参数的代数不等式来求解。
举个例子：求解不等式 ax^2 + bx + c > 0 ，其中 a 是正数。
不等式的解题方法与技巧
不等式的解题方法与技巧不等式在数学中是一个非常重要的概念，它广泛应用于代数、几何和数学分析等领域。
解不等式是数学学习中的一项基本技能，掌握不等式的解题方法和技巧对于提高数学水平至关重要。
本文将介绍不等式的解题方法与技巧，帮助读者更好地理解和掌握不等式的解题技巧。
首先，我们来看一元一次不等式的解题方法。
一元一次不等式的解题方法与一元一次方程的解题方法类似，需要通过逆运算来求解不等式。
例如，对于不等式2x + 3 > 7，我们首先将不等式转化为等价的形式2x > 4，然后再通过除以正数2的方式得到x > 2的解。
在解一元一次不等式时，需要注意对不等式两边同时进行相同的运算，以确保不等式的等价性不变。
其次，我们来讨论一元二次不等式的解题方法。
一元二次不等式的解题方法相对复杂一些，需要通过图像法或者配方法来求解。
对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0，我们可以先求出对应的二次函数的图像，然后通过图像的位置关系来确定不等式的解集。
另外，对于一元二次不等式的解题方法，还可以通过配方法将不等式转化为完全平方式，然后再求解。
在解一元二次不等式时，需要注意对不等式进行因式分解和求根的方法，以确保得到正确的解集。
最后，我们来总结一下解不等式的一般技巧。
在解不等式时，需要注意以下几点，首先，要注意不等式的变形和化简，将不等式转化为等价的形式；其次，要注意不等式两边同时进行相同的运算，以确保不等式的等价性不变；最后，要注意对特殊情况的处理，如不等式中存在绝对值、分式或者根式时，需要特别注意对这些情况的处理方法。
总之，解不等式是数学学习中的一项重要技能，掌握不等式的解题方法与技巧对于提高数学水平至关重要。
通过本文的介绍，相信读者对不等式的解题方法与技巧有了更深入的理解和掌握，希望读者能够在今后的学习中更加游刃有余地解决各种不等式问题。
江苏省仪征市谢集中学七年级数学下册 第11章 一元一次不等式教案（2）
七年级数学下册 第11章 一元一次不等式教案（2）教学目标：1．了解一元一次不等式组和它的解集的概念，会解一元一次不等式组，并能利用数轴确信它的解集； 2．会运用一元一次不等式组解决简单的应用问题，提高学生分析问题、解决问题的能力； 3．学会运用数形结合的思想，体会数学的应用价值，培育理论联系实际的适应。
教学重点:1．会解一元一次不等式组；2．会运用一元一次不等式组解决简单的应用问题。
教学难点：会运用一元一次不等式组解决简单的应用问题。
教学进程： 一、知识要点：(1)组成不等式组的每一个不等式必需是一元一次不等式；(2)这几个一元一次不等式必需是“关于同一个未知数”的不等式，如⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，y －3>5中含两个未知数x ，y ，故不是一元一次不等式组．(3)那个地址的“几个”可以是两个、三个或三个以上，如：⎩⎪⎨⎪⎧x －2<5，x ＋3>8，⎩⎪⎨⎪⎧x －7<0，2x ＋1>0，3x －2<6等都是一元一次不等式组．二、典型例题：【例1】以下不等式组是一元一次不等式组的是( )．A ．⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋1<0，x －3>0B ．⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1<x ，x －2>5yC ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥2，2x ＋3<6－x ，x >5D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x －x >0解析：A 中的不等式x 2＋1＜0与D 中的不等式2x－x ＞0都不是一元一次不等式；B 中的不等式的次数尽管都是1次的，可是含有两个未知数，故A ，B ，D 均不是一元一次不等式组．答案：C判定一个不等式组是一元一次不等式组，需知足两个条件：一是组成不等式组的不等式必需都是一元一次不等式且未知数都相同；二是不等式组中不等式的个数至少有2个．2．一元一次不等式组的解集组成一元一次不等式组的各个一元一次不等式的解集的公共部份，叫做那个一元一次不等式组的解集． 当不等式组中各个不等式的解集没有公共部份时，咱们称那个不等式组无解(即解集为空集)．(1)几个不等式解集的公共部份，通常利用数轴来确信．公共部份是指数轴上被各个不等式解集的区域都覆盖住的部份，假设无公共部份，那么说那个不等式组无解或说解集是空集．(2)一元一次不等式组的解集在数轴上的四种表示(a ＜b )如下表所示：不等式组 (其中a ＜b )图示 解集 口诀{ x ≥a x ≥bx ≥b 同大取大 { x ≤a x ≤bx ≤a 同小取小 {x ≥ax ≤ba ≤x ≤b 大小、小大 取中间{x ≤ax ≥b【例2－1】一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3≥－1，x ＜4的解集在数轴上表示应为( )．解析：由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3≥－1，x ＜4得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＜4，再别离表示在数轴上为.应选C ．答案：C【例2－2】以下说法正确的选项是( )．A ．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >3，x >5的解集是5＜x ＜3B ．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，x <－3的解集是－3＜x ＜－2C ．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ≤2的解集是x ＝2D ．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，x >－3的解集是x ≠3解析：依照“同大取大，同小取小，大小、小大取中间，大大小小无解”判定．A ．不等式组属于“同大取大”，因此解集为x ＞5；B ．不等式组属于“大大、小小无解”，因此无解；C ．不等式组属于“大小、小大取中间”，因此解集表示为2≤x ≤2，即x ＝2；D ．不等式组属于“大大、小小无解”，因此无解． 答案：C3．一元一次不等式组的解法(1)解不等式组的概念求一元一次不等式组解集的进程叫做解不等式组． (2)一元一次不等式组的解法和步骤由一元一次不等式组的解集的概念可得解一元一次不等式组的方式和步骤． ①别离求出那个不等式组中每一个不等式的解集； ②利用数轴，求出各个不等式的解集的公共部份；③用数学符号语言(即不等式的最简形式)来表示公共部份，即写出不等式组的解集． 步骤简记为：求分解，画公解，写组解．【例3－1】解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x －5≤5x ＋1， ①1－2x >－7. ②解：解不等式①得x ≥－3.解不等式②得x ＜4.将不等式①、②的解集表示在数轴上，如以下图． 因此原不等式组的解集为－3≤x ＜4.解一元一次不等式组中每一个不等式的解集，然后通过将每一个不等式的解集表示在数轴上，认真观看并找出公共部份确信不等式组的解集．【例3－2】解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋1≤4x ＋3， ①2x －3>x －4， ②2x ＋7>6＋3x . ③分析：此题应依照解一元一次不等式组的步骤：(1)别离求出不等式组中各个不等式的解集；(2)利用数轴表示各个不等式的解集，并求出各个不等式解集的公共部份．解：解不等式①，得x ≤2.解不等式②，得x ＞－1.解不等式③，得x ＜1. 在同一条数轴上表示不等式①②③的解集，如图： 故原不等式组的解集是－1＜x ＜1.求三个或三个以上的不等式组成的不等式组的解集时，也是先求出各个不等式的解集，再借助数轴把各不等式的解集在数轴上表示出来，然后再确信公共部份．注意空心点和实心点的画法．4．列一元一次不等式组解决实际问题的一样步骤(1)审：弄清题意，明确已知量和未知量及各数量之间的关系；(2)设：设未知数(只能设一个未知数)；(3)找：找出表示实际问题题意的所有不等关系； (4)列：依照这些不等关系列出不等式组； (5)解：解那个不等式组，求出解集；(6)答：写出符合题意的答案(包括单位名称等)．(1)列不等式组解决实际问题的关键是找出所有不等关系，这需要运用数学思维方式抓住表示不等的关键词语，和隐含的不等关系．(2)解决实际问题时，应依如实际意义查验结果的合理性．【例4】已知一件文化衫价钱为18元，一个书包的价钱是一件文化衫的2倍还少6元． (1)求一个书包的价钱是多少元？(2)某公司出资1 800元，拿出很多于350元但不超过400元的经费奖励山区小学的优秀学生，剩余经费还能为多少名山区小学的学生每人购买一个书包和一件文化衫？分析：(1)一个书包的价钱是一件文化衫的2倍还少6元，即一个书包的价钱是18×2－6＝30(元)；(2)由题意可知，剩余经费最少为1 800－400＝1 400(元)，最多为1 800－350＝1 450(元)，因此为这些学生每人购买一个书包和一件文化衫的总花费在1 400元～1 450元之间，也确实是说总花费大于或等于1 400元，小于或等于1 450元．解：(1)因为18×2－6＝30(元)， 因此一个书包的价钱是30元．(2)设还能为x 名学生每人购买一个书包和一件文化衫，依照题意得：⎩⎪⎨⎪⎧18＋30x ≥1 800－400，18＋30x ≤1 800－350，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2916，x ≤30524.于是那个不等式组的解集为2916≤x ≤30524.因为x 为正整数，因此x ＝30(名)．故剩余经费还能为30名学生每人购买一个书包和一件文化衫．列不等式组解应用题，注意分析题目中的不等量关系，正确成立数学模型是解决问题的关键． (1)列不等式组时，几个不等式必需含有同一个未知数．(2)解应用题时，题目中较多的是求特殊解，如人数必需为自然数，这是隐含的条件．(3)找不等关系时，要找到题目中表示不等关系的关键词语．另外有一些需要依如实际情形和生活常识确信不等关系．5．求一元一次不等式组的特殊解不等式组的解往往有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解、非负整数解，要求这些特殊解，第一是确信不等式组的解集，然后依照未知数的范围确信它所知足的特殊条件的值．这种题目要紧考查解不等式组的能力和对特殊解的明白得．确信不等式组的解集可利用口诀，也可借助数轴，利用数形结合找到特殊解．【例5】解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2>－1，2x ＋1≥5x －1，并写出它的所有整数解．解：因为不等式x2＞－1的解集为x ＞－2； 不等式2x ＋1≥5(x －1)的解集为x ≤2， 因此不等式组的解集为－2＜x ≤2.因为该解集中所包括的整数解有－1,0,1,2， 因此不等式组的整数解为－1,0,1,2. 6．一元一次双向不等式的求解双向不等式a ＜y ＜b 的求解(其中y 是关于x 的整式)，是解不等式的一类常见的题型． 其解法一样有两种：(1)化为两个不等式组成的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ＞a ，y ＜b来求解；(2)将不等式的左、中、右三部份都加(或减)同一个整式或都乘以(或除以)同一个正数(或负数)，注意乘(除以)负数时两个不等号的方向都要改变，通过假设干次变形，将不等式化为中间只含未知数x ，左右两边都不含未知数的形式，从而求出不等式的解集．因此不等式组的解集是－112＜x ＜－52.(方式二)去分母，得－12＜2x －1＜－6. 移项，得－11＜2x ＜－5. 系数化为1，得－112＜x ＜－52.7．依照条件确信一元一次不等式组中字母系数的取值范围由不等式组的解集或整数解的个数确信待定系数的取值范围时，经常使用的方式是先求出含有待定系数的不等式组的解集，然后结合数轴或将给出的条件代入，即可确信待定系数的取值范围，这是要注意端点的取舍．确信不等式组中字母参数的值或取值范围时，常要用到以下方式：(1)对照比较法——对照原不等式的化简、求解和条件中字母的取值范围从而确信未知字母的范围． (2)分类讨论法——依照不等式组解集的四种情形，灵活选择．(3)数形结合——利用数轴来确信．数轴能够实现数与形的结合，能够使不等式组的解集形象地展现出来，尤其是不等式组的特殊解能够很容易求出来．【例7－1】假设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋9<5x ＋1，x >m ＋1的解集为x ＞2，那么m 的取值范围是( )．A ．m ≤2 B．m ≥2 C ．m ≤1 D．m ＞1解析：原不等式组可变形为⎩⎪⎨⎪⎧x >2，x >m ＋1，因为不等式组的解集为x ＞2，依照“同大取大”法那么可知，m＋1≤2，解得m ≤1.故此题选C ．答案：C【例7－2】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －a >－1，x －a <2的解集中每一个x 的值均不在3≤x ≤7范围内，那么a 的取值范围是________．解析：先化简不等式组得⎩⎪⎨⎪⎧x >a －1，x <a ＋2，由题意知原不等式组有解集，即a －1＜x ＜a ＋2有解，又由题意知原不等式组的解均不落在3≤x ≤7的范围内，从而有a ＋2≤3或a －1≥7，因此解得a ≤1或a ≥8.答案：a ≤1或a ≥88．与一元一次不等式组有关的综合题一元一次不等式组常和方程(组)综合在一路显现，考查方程(组)与不等式组的解法． 一样解法有两种：(1)正确求出方程(组)的解，并依照要求列出不等式组，求出不等式组的解集． (2)求出不等式组的解集，确信特殊解，再依照要求代入方程组，求出方程组的解．【例8】假设关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝m －5，x ＋y ＝3m ＋3)中，x 的值为负数，y 的值为正数，求m 的取值范围．解：关于⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝m －5， ①x ＋y ＝3m ＋3， ②①＋②，得2x ＝4m －2，因此x ＝2m －1. ②－①，得2y ＝2m ＋8，因此y ＝m ＋4.因为x 的值为负数，即x ＜0，y 的值为正数，即y ＞0，因此⎩⎪⎨⎪⎧2m －1＜0，m ＋4＞0，解得－4＜m ＜12.故m 的取值范围为－4＜m ＜12.9．一元一次不等式组的实际应用列不等式组解实际问题与列方程组解实际问题的方式、步骤类似，关键是由实际问题中的不等关系列出不等式(组)，成立解决问题的数学模型，通过解不等式(组)能够取得实际问题的答案．(1)依照题意设未知数，常常直接设未知数，或把与未知量联系紧密的量设为未知数．(2)成立相应的数学模型，依照不等关系列出不等式(题中显现“最多、至少、不大于、小于”等特点词)，要依照题意列出所有不等式，一个意思列一个不等式，尽可能简化．(3)解不等式组，结合问题的实际背景，找出适合题意的解，比如求人数或物品的数量、产品的件数等，只能取非负整数．(4)关于方案设计题要结合不等式组的解集，确信未知数的具体数值，一样要依如实际取解集中的整数，有几个整数值，即有几种方案．【例9】某商场“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示：类别 冰箱 彩电 进价(元/台) 2 320 1 900 售价(元/台)2 4201 980为知足市场需求，商场决定用不超过85 000元采购冰箱、彩电共40台，且冰箱的数量很多于彩电数量的56.(1)请你帮忙该商场设计相应的进货方案；(2)哪种进货方案商场取得利润最大(利润＝售价－进价)，最大利润是多少？ 解：(1)设冰箱采购x 台，那么彩电采购(40－x )台，依照题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2 320x ＋1 90040－x ≤85 000，x ≥5640－x .解不等式组，得18211≤x ≤2137，因为x 为正整数，因此x ＝19,20,21.故该商场共有3种进货方案：方案一：冰箱购买19台，彩电购买21台 方案二：冰箱购买20台，彩电购买20台； 方案三：冰箱购买21台，彩电购买19台． (2)因为每台冰箱获利100元，每台彩电获利80元，因此购进冰箱越多获利越多，即方案三获利最多，最大利润是21(2 420－2 320)＋19(1 980－1 900)＝2 100＋1 520＝3 620(元)．故方案三商场取得利润最大，最大利润是3 620元．三、课堂小结：本节课你有哪些收成？ 四、布置作业：1．假设a-b>0，那么以下各式中必然正确的选项是（ ）A ．b a > B ．0>ab C ．ba>0 D ．b a ->- 2．不等式2x+5>4x-1的正整数解是 （ ）A ．0，1，2B ．1，2C ．1，2，3D ．x<33．不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧〉-+〈+0282104x 2x 的解集是 ，那个不等式组的整数解是 。
巧引参数 证明不等式
2
1 的切线方 3
证明 : 引入参数 λ,设 2 3x - x ≥ λ(3 x - 1) , 2 1+ x 即 ( 3 x - 1) λ( 1) 当 x = ( 2) 当
xy + 2 yz ≤ 5 . 2 2 2 2 x + y +z
分析 : 对于一个分式 , 分母是二次项 , 分 子是分母各元素的乘积 , 可以尝试使用基本 2 不等式 ,但缺少 xz 项 , 所以 , 考虑将 y 分成 两部分 . 为此引入参数 λ,构造基本不等式 . 2 2 2 证明 : 引入参数 λ, 将 x + y + z 变形 2 2 ) y2 + z2 . 注意到 为 x +λ y + (1 - λ
λ
λ
= 2 ,即 λ =
尝试证明
1 ≥ a λ λ ,并找出此不等 1 + 2 a aλ + b +c
2 2 2 x + y +z ≥ 2
1 xy + 4 5
即 2
xy + 2 yz ≤ 5 . 2 2 2 x + y +z
例2 设 x、 y、 z、 w 是不全为零的实数 . 求证 :
xy + 2 yz + zw ≤ 2 + 1 . 2 2 2 2 2 x + y +z +w
λ
λ
λ
λ
+b
+c
2004年仪征三等奖——“设而不求”与整体思想在解几中的应用
“设而不求”与整体思想在解几中的应用解析几何中的圆锥曲线是高考的重点、难点和热点，而其中的计算是困难的。
如何避免求交点，从而简化计算，也就成了处理这类问题的难点与关键。
下面介绍一种策略——设而不求，这实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用。
一、与中点弦及弦的中点有关的问题例1 过点A ()21，的直线与双曲线x y 2221-=交于M N 、两点，求弦MN 的中点P 的轨迹方程。
解：设M x y ()11，，N x y ()22，，则x y x y 121222222121-=-=，，两式作差并整理，得y y x x x xy y 121212122--=++ 设弦MN 的中点P x y ()00，，又k k MN AP =，且x x x y y y 12012022+=+=，。
则y x xy 0000122--= 所以所求中点P 的轨迹方程是24022x x y y --+=二、对称性问题例2 已知椭圆x a y ba b 222210+=>>()，A 、B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P x ()00，求x 0的取值范围。
解：设A x y B x y ()()1122，，，，代入椭圆方程x a y b x a y b12212222222211+=+=，，两式作差并整理，得y y x x b a x x y y 1212221212--=-++⎛⎝ ⎫⎭⎪ 又直线AB 的斜率与其垂直平分线的斜率互为负倒数。
即y y x x y y x x x 121212120122--=-++-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪- ∴=-+≠x b ax x x x 022121212() ∴-<+<a x xa 122，得--<<-a b a x a b a22022三、曲线的探求问题例3 已知椭圆的中心在原点，且以坐标轴为对称轴，它与直线x y +=1相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，且||AB =22，OC 的斜率是22，求椭圆的方程。
初中不等式含参数解题技巧
初中不等式含参数解题技巧《说说初中不等式含参数解题那点事儿》嘿，咱今儿就来唠唠初中不等式含参数解题技巧这个有意思的话题呗！这可是不少同学在数学学习道路上的一个小关卡啊。
说到不等式含参数，那真的就像是个爱捉迷藏的小调皮，时不时就蹦出来给你找点麻烦。
但咱可不能怕，得跟它好好周旋周旋。
首先呢，咱得有一双善于发现的“火眼金睛”，参数藏得再深咱也能把它给揪出来！这就跟玩捉迷藏一样，你得找到那个关键线索。
碰到不等式含参数的题时，别慌！第一步就是观察不等式的形式，看看参数在哪个位置呀。
这就好比给这个小调皮定位，知道它的藏身之处。
然后呢，咱就得根据条件来分析啦。
有时候需要分情况讨论，就像打牌一样，得根据手里的牌来决定出什么招。
咱得把各种可能的情况都考虑到，可不能有遗漏哟，要是漏了一种情况，那这小调皮可就偷笑了。
还有很重要的一点就是要灵活运用不等式的性质。
这个就像是我们的秘密武器，用好了就能轻松搞定问题。
比如不等式两边同时乘以一个正数或者负数时，不等号方向的变化，这可得牢记在心。
有时候呢，为了找到答案，咱还得动点小心思。
比如说，把一些已知条件带进去试试看，也许就能发现点端倪呢。
这就像是试探小调皮的底线，嘿嘿。
解不等式含参数的题就像一场有趣的探险，充满了挑战和惊喜。
有时候可能会遇到一些难题，觉得脑袋都要大了，但别放弃呀！当你终于找到答案的时候，那种成就感可不是一般的爽呢。
记得我刚开始学的时候，也是经常被这些小调皮搞得晕头转向，但是咱不怕呀，多做几道题，多总结经验，慢慢地就摸到门道了。
现在再看到这些题，心里就有底多了。
总之呢，初中不等式含参数解题虽然有点小麻烦，但只要我们有耐心、有方法、有幽默感，就一定能把这些小调皮都给收服啦！让我们一起在数学的世界里快乐探索吧！。
怎样解决高中数学的不等式问题
怎样解决高中数学的不等式问题在高中数学学习中，不等式问题是一个重要的内容，也是学生们常常遇到的挑战之一。
解决不等式问题需要一定的方法和技巧，本文将介绍几种常用的解不等式问题的方法，并提供相应的例子进行说明。
一、图像法图像法是解决一元一次不等式问题的常用方法之一。
这种方法将不等式以函数图像的形式表示出来，通过观察图像来确定不等式的解集。
例如，解不等式2x - 3 < 5，我们可以绘制出函数y = 2x - 3的图像，然后观察函数图像与y = 5的关系。
通过观察可以发现，函数图像在y= 5的下方，因此解集为x < 4。
二、代数法代数法是解决一元一次不等式问题的另一种常用方法。
这种方法通过对不等式进行代数变换，将不等式转化为等价的形式，从而求得解集。
例如，解不等式3x + 2 > 7，我们可以通过代数变换来求解。
首先，将不等式两边减去2，得到3x > 5，然后将不等式两边除以3，得到x > 5/3。
因此，解集为x大于5/3。
三、区间法区间法是解决一元一次不等式问题的另一种有效的方法。
这种方法将不等式中的未知数x的取值范围分成若干个区间，然后通过讨论每个区间的符号关系来确定解集。
例如，解不等式2x - 3 ≥ 1，我们可以通过区间法来求解。
首先，将不等式转化为等价的形式2x - 3 - 1 ≥ 0，化简得到2x - 4 ≥ 0，然后求解等式2x - 4 = 0，得到x = 2。
接下来，我们将x的取值范围分成三个区间：x < 2, x = 2, x > 2。
通过在每个区间内代入x的值来判断符号关系，进而确定解集。
根据符号关系的判断，可以得到解集为x ≥ 2。
四、分段讨论法分段讨论法适用于解决一元二次不等式问题，通过将一元二次不等式分成若干个区间，分别讨论每个区间内的不等式关系，进而确定解集。
例如，解不等式x² - 3x + 2 ≤ 0，首先，我们将不等式化简得到(x - 1)(x - 2) ≤ 0。
不等式的求解技巧
不等式的求解技巧不等式是数学中常用的一种表达式形式，它描述了两个数之间的大小关系。
在解决实际问题时，不等式的求解技巧是非常重要的。
本文将介绍一些常用的不等式求解技巧，帮助读者更好地理解和应用相关知识。
一、一元一次不等式的求解一元一次不等式是指仅含有一个变量和一次项的不等式。
对于这类不等式，我们可以通过以下几种方法进行求解。
1. 利用逆运算法则对于形如ax + b > c 或 ax + b < c 的一元一次不等式，可以利用逆运算进行求解。
首先，将不等式中的常数项移到一边，得到ax > c - b 或ax < c - b。
然后，根据a的正负性，确定不等式的解集。
2. 利用图像法对于形如ax + b > 0 或 ax + b < 0 的一元一次不等式，我们可以通过绘制函数y = ax + b 的图像来求解。
根据图像的位置与x轴的交点，确定不等式的解集。
3. 利用区间法对于形如ax + b ∈ (c, d) 或 ax + b ∈ [c, d] 的一元一次不等式，我们可以利用区间的概念进行求解。
根据函数y = ax + b 在区间上的变化情况，确定不等式的解集。
二、一元二次不等式的求解一元二次不等式是指含有一个变量和二次项的不等式。
对于这类不等式，我们可以通过以下几种方法进行求解。
1. 利用图像法对于形如ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0 的一元二次不等式，我们可以通过绘制函数y = ax^2 + bx + c 的图像来求解。
根据图像与x 轴的交点和开口方向，确定不等式的解集。
2. 利用二次函数的性质通过对一元二次不等式进行因式分解、配方法或求根公式等运算，可以将其转化为一元一次不等式的组合。
然后，根据一元一次不等式的求解技巧，求解原始的一元二次不等式。
三、绝对值不等式的求解绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式，它在解决实际问题时具有广泛的应用。
江苏省仪征中学高考数学专题复习 不等式5课时教学案 苏教版
第34课 不等关系阅读课本必修五P 65—P 66问题1．比较两数（式）的大小的基本方法作差（商）法的步骤是什么？问题2．不等式的常见性质、不等式的运算性质有哪些？ ⑴a b b a <⇔>； ⑵c a c b b a >⇒>>,；⑶c b c a b a +>+⇔>；d c b a >>,d b c a +>+⇒；⑷,0a b c ac bc >>⇒>；bc ac c b a <⇒<>0,；,0>>b a bd ac d c >⇒>>0； ⑸)(00*∈>>⇒>>N n b a b a n n ；（6）⇒>>0b a )(*∈>N n b a n n 。
警示：1．同向不等式相加：d c b a >>,d b c a +>+⇒；举例说明2．不等式的性质（4）中的0c >与0c <的情形下的不同结果； ,0>>b a bd ac d c >⇒>>0成立的前提是,0>>b a 0c d >>； )(00*∈>>⇒>>N n b a b a n n 与⇒>>0b a )(*∈>N n b a n n 成立的前提是0a b >>．举例说明画出本节课的知识结构图：三、诊断练习的体验与体会：1．不等关系是现实世界和日常生活中大量存在的一种关系，不等式是刻画现实世界中不等关系的数学模型，反应了事物在量上的区别。
；2．比较两数（式）的大小的基本方法作差（商）法；3．利用不等式的性质注意警示。
四、例题导学例1．例2．问题1．比较多个数（式）的大小如何分类？（通常与1,0或其它常数比较）问题2．比较两数（式）的大小的基本方法？在你所用的方法中关键的步骤是什么？（作差（商）法，等价变形）变形的目标： ； 变形的常用技巧： ． 例1、例2解题反思：比较两个数或代数式的大小通常有两种方法.其一，作差比较法0;0;0>⇔->=⇔-=<⇔-<来进行a b a b a b a b a b a b比较大小，在应用此方法时，关键在于作差后的变形，变形通常情况下有：因式分解，配方法，分母有理化法等. 另外，有的问题还要进行乘方后来进行作差. 其二，作商比较法.的取值范围？例3．问题：你能从哪几个的角度思考求a b-和ab角度一：不等式的性质；角度二：二元一次不等式组的几何意义及目标式的几何意义．解题反思：研究此类问题要注意充分利用不等式的性质，如：同向不等式的可加性，同为正的同向不等式的相乘性. 特别要注意的是：在涉及到不等式与不等式相乘的问题时，要注意它的使用条件；此外还要注意变形中的等价性.五、知识结构的巩固与完善：1．比较两个数或代数式的大小通常有两种方法. 其一，作差比较法0;0;0a b a b a b a b a b a b>⇔->=⇔-=<⇔-<来进行比较大小，在应用此方法时，关键在于作差后的变形，变形通常情况下有：因式分解，配方法，分母有理化法等. 另外，有的问题还要进行乘方后来进行作差. 其二，作商比较法.2．在涉及到不等式与不等式相乘的问题时，要注意它的使用条件；此外还要注意变形中的等价性.第35课不等式的解法一、考纲要求：二、知识梳理：阅读课本P67-P69问题1．一元二次方程的解法？问题2．一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的关系？问题3．求解一元二次不等式的基本步骤？警示：1.关注二次项系数；2.关注∆；3.注意解集的结构画出本节课的知识结构图：三、诊断练习的体验与体会：1．求解一元二次不等式的基本步骤2．在解一元二次不等式时要注意反过来时的问题，尤其是一元二次不等式的解集是R∅或的情况的等价命题，同学们在解题时应该注意特殊情况.四、例题导学例1．问题1．如何根据一元二次不等式对应的函数图象得出其解集？问题2．分类讨论产生的原因及分类标准的确定原则是什么？解题反思：1、一元一次不等式（组）和一元二次不等式（组）是解不等式的基础.解不等式的核心问题是同解变形.2、关注简单的含参数不等式的解法，因为在关于导数法解决问题时经常需要分类讨论. 解含参数不等式时，要根据参数的取值范围进行分类讨论，导致讨论的原因有如下几种：一是二次项系数的正负；二是方程20ax bx c++=根的判别式△与0的大小关系；三是方程两根的大小. 我们在解决以上障碍时，最优的处理秩序应先看二次项系数的正负；其次考虑△；最后分析两根的大小.例2．问题1．恒成立问题的本质是什么？处理办法有哪些？问题2．二次函数在指定区间上的最值的求法？问题3．数学思想与分类讨论思想的形成？解题反思：恒成立问题通常转化为最值问题，其常用方法和思想有：参变量分离、分类讨论、数形结合等。
设参法巧解条件不等式
设参法巧解条件不等式
丁兴春
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2007(000)009
【摘要】一类条件不等式的证明或求最值，往往可以通过引入参数，并结合配方、均值不等式等一系列的手段给予问题巧妙的解决．这种方法操作方便且具有一般性．现举数例供参考．
【总页数】2页(P12-13)
【作者】丁兴春
【作者单位】江苏省南京市上新河中学,210019
【正文语种】中文
【中图分类】G633.62
【相关文献】
1.换元法解题的关键是如何设参 [J], 陈曦远
2.善于设参巧解题 [J], 刘彩萍
3.从一例看直线问题中的设参法 [J], 聂文喜
4.用设值法巧解一类行程难题 [J], 胡高正
5.设值法巧解竞赛题 [J], 乔和平
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7.2 不等式的解集 仪征市朴席中心学校
7.2 不等式的解集教学目标1．理解不等式的解与解集和解不等式的概念，会用数轴表示不等式的解集。
2．通过观察、比较、归纳，培养学生分析解决问题的能力和数形结合能力。
3．培养学生认真探究问题的良好习惯。
教学重点、难点重点：不等式的解集的概念和用数轴表示不等式的解集。
难点：理解不等式的解的概念。
教学过程一、复习提问。
1．什么叫方程？什么是方程的解?2．什么叫不等式?二、学习探究。
1．判断-1、0、1/2、2、3、3.5、5时，能使不等式x-3>0和x-4<0分别成立吗?指名学生回答，归纳不等式的解。
能使不等式成立的求知数的值叫做不等式的解(solution of inequality)例如，x=3.5、5都是不等式x-3>0的解；x=-1、0、1/2、2、3、3.5都是不等式x-4<0的解。
2．讨论：不等式与方程的解的区别与联系。
(1)不等式的解各有多少个？(2)不等式的解与方程的解有什么不同？让学生自学、交流。
相同点：使数量关系成立。
不同点：一是关系不同，二是解的数量不一样。
3．归纳总结。
一个含有求知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集solution set。
不等式x-3>0和x-4<0让学生形象地说明或解释不等式的解集。
4．概念：什么叫解不等式?类比什么叫解方程，得出：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
5．我们知道实数可以用数轴上的点来表示，不等式的解集也可以借助数轴直观地表示出来。
那么x>3、x≤3、x<3、x≥3该分别怎样在数轴上表示出来?由教师在黑板上演示第一、二个，其余让学生上黑板练习。
观察讨论x>3、x≤3、x<3、X≥3有什么区别?三、应用举例。
例1 比较两个不等式x≥2和x≤2的解集，它们有什么不同?在数轴上表示它们的不同。
说明：由学生自由讨论，并在练习本上画出来。
例2 你能看出在数轴上所表示的不等式的解集是什么吗?说明：此两题的目的在于培养学生由数到形和由形到数结合的能力，发展学生的逆向思维能力和从多个角度思考问题的习惯。
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利用参数巧解不等式问题
不等式一章是高中数学的重要内容， 它与其他知识有着广泛的联系，有利于培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力与知识整合能力。
解决含有参数不等式问题需灵活应用函数与不等式的基础知识，并时常要在两者间进行合理的整合，因此此类问题更属学习的重点。
然而对这类问题的总结，课本中却从少有论及，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，是学生学习的一个难点，同时也是高考命题中的一个热点。
下面介绍几种解决这类问题的策略和方法．
一、定“主元”，再解题
某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到过量的讨论或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。
即把变元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。
例1.对于满足04≤≤p 的一切实数p ，不等式x 2+px>4x+p-3恒成立，求x 的取值范围． 分析：此类问题习惯上把x 当作自变量，记函数y= x 2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p []4,0∈时y>0恒成立，求x 的范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x 与p 两个量互换一下角色，即p 视为变量，x 为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题．
解：设f(p)=(x-1)p+x 2-4x+3，当x=1时显然不满足题意．
由题设知当04≤≤p 时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x 2-4x+3>0且x 2-1>0，
解得x>3或x<-1．∴x 的取值范围为x>3或x<-1．
二、分离变量
对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。
例2．若对于任意角θ总有sin cos 22410θθ++-<m m 成立，求m 的范围．
分析：此式是可分离变量型，由原不等式得m (cos )cos 242θθ+<，
又cos θ+>20，则原不等式等价变形为22
2m <+cos cos θθ恒成立． 2m 必须小于cos cos 22θθ+的最小值，这样问题化归为怎样求cos cos 22
θθ+的最小值．因为cos cos 22θθ+2cos 4)2(cos 4)2(cos 2+++-+=θθθ 4cos 24440cos 2
θθ=++-≥-=+即cos θ=0时，有最小值为0，故m <0．
评析：一般地,分离变量后有下列几种情形：
①f(x)≥g(k) ⇔ [f(x)]min ≥g(k) ②f(x)> g(k) ⇔ g(k) < [f(x)] min
③f(x)≤g(k) ⇔ [f(x)] max ≤g(k) ④f(x)<g(k) ⇔ [f(x)] max < g(k)
总结：所谓分离参数法也就是将参数与未知量分离于表达式的两边，然后根据未知量的取值范围情况决定参数的范围。
这种方法可避免分类讨论的麻烦，使问题得到简单明快的解决。
三、利用判别式法解题
有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。
例3．对于x ∈R ，不等式0m 3x 2x 2≥-+-恒成立，求实数m 的取值范围。
解：不妨设m 3x 2x )x (f 2-+-=，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使)R x (0)x (f ∈≥，
只需0≤∆，即0)m 3(4)2(2≤---，解得]2(m 2m ，
-∞∈⇒≤。
变式：若对于x ∈R ，不等式03mx 2mx 2>++恒成立，求实数m 的取值范围。
此题需要对m 的取值进行讨论，设
3mx 2mx )x (f 2++=。
①当m=0时，3>0，显然成立。
②当m>0时，则△<03m 0<<⇒。
③当m<0时，显然不等式不恒成立。
由①②③知)30[m ，
∈。
总结：对于有关二次不等式0c bx ax 2>++（或<0）的问题，可设函数
c bx ax )x (f 2++=，由a 的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与x 轴的交点问题，由判别式进行解决。
四、数形结合
对于含参数的不等式问题，当不等式两边的函数图象形状明显，我们可以作出它们的图象，来达到解决问题的目的．
例4．已知对任意实数x ，不等式||x kx +≥1恒成立。
求实数k 的取值范围。
解：原不等式两端可视为两个函数y x =+||1与y ＝kx ，在同一坐标系中画出这两个函数的图象，问题的解决方法自然产生。
如图，只有当直线y kx =的斜率k 取区间[0，1]上的任一值时，才有||x kx +≥1恒成立。
故实数k 的取值范围为01≤≤k 。
总结：某些含参不等式恒成立问题，既不能分离参数求解，又不能转化为某个变量的一次或二次函数时，则可采用数形结合法。
对于解含参不等式恒成立问题，我们可以先把不等式（或经过变形后的不等式）两端的式子分别看成两个函数，且画出两函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，从而列出关于含参数的不等式。
以上介绍了几种求含参不等式问题的处理方法，在实际应用中还有其他方法，如“构建函数法”即当参数难以分离而不等式是有关某个变量的一次或二次函数时，可以通过构建一次或二次函数来解决。
在此就不例举了。
甚至在具体解题中可能要用到两种或两种以上的方法，这一点我们需要灵活处理。
总之，求含参不等式问题时要求我们根据具体的题设条件，认真观察结构特征。
并从不同的角度与方向，加以分析探讨，从而选择适当方法快速而准确地解题。