第3课时 比例的性质与黄金分割
第3课时-比例的性质、黄金分割
22.1 第3课时 比例的性质、黄金分割知识点 1 比例的根本性质1．x y ＝35，那么以下式子成立的是( ) A ．3x ＝5y B ．xy ＝15C. 5y ＝x 3D. y x ＝532．假设2a －3b ＝0(a ≠0)，那么b a＝________． 知识点 2 比例的合比性质与等比性质3．假设y x ＝34，那么x ＋y x的值为( ) A ．1 B. 47 C. 54 D. 744．［教材练习第3题变式］5x －4y ＝0，以下各式正确的选项是( )A. x y ＝54B. x ＋y y ＝94C. x ＋y x ＝94D. y －x x ＋y ＝145．假如a ＋2b b ＝52，那么a b的值是( ) A. 12 B ．2 C. 15D ．5 6．［教材练习第6题变式］a b ＝c d ＝e f ＝35，假设b ＋d ＋f ＝60，那么a ＋c ＋e ＝________． 7．a b ＝83，那么a －b 2b＝________． 8．在四边形ABCD 和四边形A ′B ′C ′D ′中，AB A ′B ′＝BC B ′C ′＝CD C ′D ′＝DA D ′A ′＝34，且四边形A ′B ′C ′D ′的周长为60 cm ，求四边形ABCD 的周长．9．如图22－1－10，在△ABC 中，AB DB ＝AC EC .求证：(1)AD AB ＝AE AC； (2)AD DB ＝AE EC. 图22－1－10知识点 3 比例尺10．鄂尔多斯市成陵旅游区到响沙湾旅游区之间的间隔 为105千米，在一张比例尺为1∶2021000的交通旅游图上，它们之间的间隔 大约相当于( )A ．一根火柴的长度B ．一张课桌的高度C ．一支铅笔的长度D ．一张纸的厚度11．图22－1－11是地图的一局部(比例尺为1∶4000000)．杭州到嘉兴的图上间隔 约为2 cm ，那么杭州到嘉兴的实际间隔 约为________km.图22－1－11知识点 4 黄金分割12．P 为线段AB 的黄金分割点，且AP ＜PB ，那么( )A ．AP 2＝AB ·PB B ．AB 2＝AP ·PBC ．PB 2＝AP ·ABD ．AP 2＋BP 2＝AB 213．如图22－1－12是一种贝壳的俯视图，点C 分线段AB 近似于黄金分割(BC <AC )．AB ＝4 cm ，那么BC 的长约为________cm.(结果准确到0.1)图22－1－1214．如图22－1－13，P 是线段AB 的黄金分割点，且P A ＞PB ，假设S 1表示以P A 为一边的正方形的面积，S 2表示长是AB 、宽是PB 的矩形的面积，那么S 1________S 2.(填“＞〞“＝〞或“＜〞)．图22－1－1315．a 5＝b 7＝c 8，且3a －2b ＋c ＝9，那么2a ＋4b －3c ＝________． 16．x ∶y ∶z ＝3∶4∶5，求x ＋y ＋z z ，x ＋y y ＋z 和4x ＋3y －2z x －y ＋z的值． 17．如图22－1－14，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝5－1，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D .试说明点D 是线段AC 的黄金分割点．图22－1－1418．a ＋b c ＝b ＋c a ＝a ＋c b＝k ，判断一次函数y ＝kx －k 的图象不经过哪个象限？ 19．如图22－1－15，某商标图案是一个长为2 cm 的黄金矩形(矩形的短边与长边的比为5－12的矩形叫黄金矩形)，且点E ，F 分别是长与宽的黄金分割点(CE ＞BE ，CF ＞DF )，请判断△AEF 的形状．图22－1－151．D ．2. 233．D4．C5．A6．367. 568．解：∵AB A ′B ′＝BC B ′C ′＝CD C ′D ′＝DA D ′A ′＝34， ∴由等比性质可得AB ＋BC ＋CD ＋DA A ′B ′＋B ′C ′＋C ′D ′＋D ′A ′＝34， 而A ′B ′＋B ′C ′＋C ′D ′＋D ′A ′＝60 cm ，∴AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝34×60＝45(cm)． 9．证明：(1)∵AB DB ＝AC EC ， ∴DB AB ＝EC AC ，∴AB －AD AB ＝AC －AE AC ， ∴AD AB ＝AE AC. (2)∵AB DB ＝AC EC ， ∴AD ＋DB DB ＝AE ＋EC EC ， ∴AD DB ＝AE EC. 10．A 11．80 12．C13．1.5 14．＝15．1416．解：由x ∶y ∶z ＝3∶4∶5，可设x ＝3k ，y ＝4k ，z ＝5k ，故x ＋y ＋z z ＝3k ＋4k ＋5k 5k ＝12k 5k ＝125； x ＋y y ＋z ＝3k ＋4k 4k ＋5k ＝7k 9k ＝79； 4x ＋3y －2z x －y ＋z ＝4×3k ＋3×4k －2×5k 3k －4k ＋5k＝72. 17．解：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝72°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝∠ABD ＝12∠ABC ＝36°， ∴∠ABD ＝∠A .易推知∠BDC ＝∠C ，∴AD ＝BD ＝BC ＝5－1，∴CD ＝3－ 5.∵AD 2＝(5－1)2＝6－2 5，AC ·CD ＝2(3－5)＝6－2 5，∴AD 2＝AC ·CD ，∴点D 是线段AC 的黄金分割点．18．解：由a ＋b c ＝b ＋c a ＝a ＋c b ＝k ，得⎩⎨⎧a ＋b ＝ck ，b ＋c ＝ak ，a ＋c ＝bk ，∴(a ＋b ＋c )k ＝2(a ＋b ＋c )．当a ＋b ＋c ＝0时，即a ＋b ＝－c ，那么k ＝－1，此时，一次函数y ＝－x ＋1的图象不经过第三象限；当a ＋b ＋c ≠0时，那么k ＝2，此时，一次函数y ＝2x －2的图象不经过第二象限．19．解：∵四边形ABCD 是长为2 cm 的黄金矩形，∴AB ＝5－12×2＝5－1. ∵点E 是BC 的黄金分割点， ∴CE ＝5－12×2＝5－1，BE ＝2－(5－1)＝3－ 5. ∵点F 是CD 的黄金分割点， ∴CF ＝5－12×(5－1)＝3－ 5. 在△ABE 和△ECF 中，∵⎩⎨⎧AB ＝EC ，∠B ＝∠C ，BE ＝CF ，∴△ABE ≌△ECF ，∴AE ＝EF ，∠AEB ＝∠EFC .又∠FEC ＋∠EFC ＝90°，∴∠FEC ＋∠AEB ＝90°，从而∠AEF ＝90°， ∴△AEF 是等腰直角三角形．。
教学课件：第3课时-比例的性质与黄金分割
• 比例的性质 • 黄金分割 • 比例与黄金分割的关系 • 比例的性质与黄金分割在生活中的应
用 • 总结与回顾
01
比例的性质
比例的定义
01
比例是指两个比值相等的关系，表 示为a:b=c:d，其中a、b、c、d为 实数。
02
比例可以用来描述两个数量之间 的关系，反映它们之间的相对大 小和变化规律。
黄金分割的美学价值
黄金分割被广泛用于艺术和设计领域，因为它能创造出和谐、平衡和美感。通 过深入了解黄金分割的原理和应用，我们可以更好地欣赏和理解艺术作品。
下课时预告
• 下课时我们将继续学习比例的其它应用，包括如何利用比例解 决实际问题、如何利用比例的性质进行计算等。同时，我们还 将探索比例与几何图形之间的关系，了解如何利用比例绘制图 形。在下课时，我们将进行课堂练习和小组讨论，巩固所学知 识并加深对比例性质的理解。
比例的应用
通过实例和练习，我们学会了如何运用比例的性质解决实际问题，如计算比例尺、比较大 小等。
对比例的性质与黄金分割的进一步思考
比例的性质在实际生活中的应用
除了数学领域，比例的性质在很多其他领域也有广泛的应用。例如，在物理学 中，速度、加速度和力的关系可以用比例来表示；在化学中，物质的浓度和反 应速率也可以用比例来描述。
雕塑中的比例
雕塑家通过比例关系来塑造出具有美 感的作品，如人体的比例、动物的比 例等。
音乐创作中的应用
音乐中的节奏与比例
作曲家通过运用节奏和比例关系来创作出和谐的音乐，如音符的 长度、强弱和音高的比例等。
和声中的比例
和声是音乐中音符之间的相互关系，作曲家通过运用比例关系来创 造出和谐的和声。
沪科版2018学年八年级数学上册教案22.1 第3课时 比例的性质与黄金分割
DB EC
AB EC
D
A E
B
C
4、设点 C 是长度为 2cm 的线段 AB 的黄金分割点，则 AC 的长为
.
2
2、如图，已知线段 AB 的长度为 a，点 P 是 AB 上的一点，且使 AP2=AB·BP， 求线段 AP 的长和 AP：AB 的值.
1
学习思路Hale Waihona Puke （纠错栏）☆ 归纳反思 ☆
本节课你有哪些收获？还存在哪些困惑？
☆ 达标检测 ☆
1、若点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC＞CB，则 AB：AC= ；BC：AB=
22.1 比例线段
第 3 课时 比例的性质与黄金分割
学习思路 学习目标：
（纠错栏） 1、会运用比例的性质进行几何图形中的相关计算和证明. 2、认识线段的黄金分割，理解黄金分割的概念.
学习重点：比例性质的应用和黄金分割的概念. 预设难点：运用黄金分割解决实际问题.
☆ 预习导航 ☆
一、链接
请写出比例的基本性质、合比性质、等比性质？
.
2、若在四边形 ABCD 和四边形 A1B1C1D1 中， AB BC CD DA = 8 A1B1 B1C1 C1D1 D1 A1 5
且四边形 A1B1C1D1 的周长为 80cm，求四边形 ABCD 的周长.
3、已知，如图在 △ABC 中 AD AE DB EC
求证：(1) AB AC ; (2) AD AE
二、导读
1、阅读课本上的例 1 和例 2，体会一下合比性质和等比性质在实际问题中的 应用，并谈谈你的感受.
2、阅读课本上的例 3，回答下列问题：
（1）
叫做黄金分割．
（2）黄金分割点是如何确定的？一条线段有几个黄金分割点？
22.1 第3课时 比例的性质和黄金分割
东方明珠塔，塔高 468 米. 设计师在 263 米处设计了一 个球体，使平直单调的塔身 变得丰富多彩，非常协调、 美观.
人的俊美，体现在头部及躯 干是否符合黄金分割.
美神维纳斯，她身体的各个 部位都暗藏比例 0.618，虽然 雕像残缺，却能仍让人叹服她 不可言喻的美．
黄金分割的魅力
Apple logo苹果中小叶子的高度和缺口的高度比是 0.6，而缺口的位置也和 黄金分割有着千丝万缕的关系。也许这里面还有更多黄金的分割的密码，这里
AB 2
2
概念学习
把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线
段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金
分割.分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值 5 1
2
叫做黄金数. A
CB
想一想：如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的
矩形 ABCD，以矩形 ABCD 的宽为边在其内部作正方形 AEFD，那么我们可以惊奇地发现 BE BC ， 点 E 是
就要同学们自己去发现。
当堂练习
1.(1)已知
a b
4 3
，那么
ab b
=
7 3
，a
b
b
=
1 3
.
(2)如果
a b
c d
e f
5 7
，那么
ace bd f
5 7
.
(3)如果
a b
c d
e f
2 5
ace
，那么 b d f
2 5
.
2.已知线段 AB，点 P 是它的黄金分割点，AP＞BP，
设以 AP 为边的正方形的面积为 S1，以 PB、AB 为边
那么 ad = bc 吗？ 在等式两边同时乘以 bd，得 ad = bc 由此可得到比例的基本性质：
新沪科版九年级数学上册同步教案：22.1第3课时比例的性质与黄金分割
第3课时比例的性质与黄金分割◊教学目标◊【知识与技能】1•理解比例的基本性质；2•能根据比例的基本性质求比值，能根据条件写出比例式或进行比例式的简单变形；3•知道黄金分割的定义，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点•【过程与方法】通过例题的学习，培养学生的灵活运用能力•【情感、态度与价值观】教学建立初步的空间观念，发展形象思维；并通过有趣的图形，培养学生学习数学的兴趣• ◊重难点◊【教学重点】比例的基本性质•【教学难点】掌握黄金分割的概念，并能解决相关的实际问题•◊教学过程◊一、情境导入美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618; —些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618.许多美丽的形状都与0.618这个比值有关，你知道0.618这个比值的来历吗？二、合作探究探究点1比例基本性质J ____ 典例1如果四条线段a，b，c，d构成- -，m>0，则下面推理正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个［解析］- -,m>0，- 一; - -,m>0，- 一一，- ------------ ；- --- 错误；④设- -=k，则a=kb，c=kd所以 ---- ------ ----- 综上所述，推理正确的有①②④•［答案］C变式训练］已知_ _ -，求 -----_=k，贝U x=2k，y=3k，z=4k.［解析］设-归纳总结 遇到连等式时常利用设 k”法,即引进参数解题•具体步骤如下 ①设这些相等的比值为 k;②转化为每个比的前项等于后项的 k 倍;③代入求有关比例式 的值. 探究点2黄金分割 、 典例2主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体 ，如果舞台AB 长为20米,一个主 持人现站在舞台 AB 的黄金分割点C 处，则下列结论一定正确的是 ( ) ①AB : AC=AC : BC;②ACP.18 米;③AC=10( _-1)米;④BC=10(3- _)米或 10( _-1)米. A.①②③④ B.①②③ C.①③ D.④ ［解析］ 若AC<BC ,则AB : BC=BC : AC,所以①不一定正确；ACP.618AB 胡2.36或 AC-20-12.36 = 7.64,所以②错误;若 AC 为较长线段时，AC=——AB=10( _-1),BC= 10(3- 一);若 BC 为较长线段时，BC=——AB=10( _-1),AC=10(3- _),所以③不一定正确，④正确• ［答案］D 变式训练比例的性质与黄金分割 1•比例的基本性质 2•黄金分割◊教学反思◊本节课学习的黄金分割是一个新的概念 ，学生缺少这方面知识的积累 ，因此教学中在内容选择 上,充分利用网络资源，选用大量图文作为背景，通过建筑、艺术、生活中的实例了解黄金分割 体现数学丰富的文化价值•同时,在应用中进一步理解线段的比、 成比例线段等相关内容，在实 际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识 如图是•画中的脸部被包在矩形 AB 的黄金分割点，BE>AE ,若AB= 2a 则BE 长为 A.( _+1)a C.(3- _)a ［答案］B三、板书设计B.(D.( -1)a -2)aABCD 内，点E 是()。
沪科版数学九年级上册 比例的性质与黄金分割
22.1 比例线段祸兮福之所倚，福兮祸之所伏。
《老子·五十八章》涵亚学校陈冠宇
第3课时比例的性质与黄金分割
（纠错栏）2、如图，已知线段AB的长度为a，点P是AB上的一点，且使
AP2=AB·BP，求线段AP的长和AP：AB的值.
☆归纳反思☆
本节课你有哪些收获？还存在哪些困惑？
☆达标检测☆
1、若点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞CB，则AB：AC= ；BC：AB= .
2、若在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，=
1
1
B
A
AB
=
1
1
C
B
BC 1111
CD DA
C D D A
==
5
8
且四边形A1B1C1D1的周长为80cm，求四边形ABCD 的周长.
3、已知，如图在 △ABC 中 EC AE DB AD = 求证：(1)EC AC DB AB =; 2)EC AE AB AD =
4、设点C 是长度为2cm 的线段AB 的黄金分割点，则AC 的长为 . E D A C
B
【素材积累】
司马迁写《史记》汉朝司马迁继承父业，立志著述史书。
他游历各地，阅读了大量书籍。
不料正摘他着手编写《史记》时，遭到了李陵之祸的株连。
但他矢志不渝，忍辱负重，身受腐刑，幽而发愤，经过十余年的艰苦奋斗，终于写成了鸿篇巨著——《史记》。