2012年深圳市中考数学试卷

2012年广东深圳中考数学真题试卷
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 的倒数是
A. B. C. D.
2. 第八届中国（深圳）文博会以总成交额元再创新高，将数用科学
记数法表示为
A. B. C. D.
3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.
4. 下列运算正确的是
A. B. C. D.
5. 体育课上，某班两名同学分别进行了次短跑训练，要判断哪一名同学的成绩比较稳定，通常需
要比较这两名学生成绩的
A. 平均数
B. 频数分布
C. 中位数
D. 方差
6. 如图所示，一个角的三角形纸片，剪去这个角后，得到一个四边形，则的度数
为
A. B. C. D.
7. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，妈妈买了只红豆粽、只碱水粽、只干肉粽，粽子除
内部馅料不同外其它均相同，小颖随意吃一个，吃到红豆粽的概率是
A. B. C. D.
8. 下列命题：
①方程的解是；
②的平方根是；
③有两边和一角相等的两个三角形全等；
④连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形；
其中正确的个数有
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
9. 如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点，点，点的坐标为，是第三象限内
上一点，，则的半径长为
A. B. C. D.
10. 已知点关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围是
A. B. C. D.
11. 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上
的影长为米，坡面上的影长为米．已知斜坡的坡角为，同一时刻，一根长为米且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为米，则树的高度为
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
12. 如图，已知：，点，，在射线上，点，，在射线上，
，，均为等边三角形，若，则的边长为
A. B. C. D.
二、填空题（共4小题；共20分）
13. 因式分解：．
14. 二次函数的最小值是．
15. 如图，双曲线与在第一象限内交于，两点，分别过，两点向轴和
轴作垂线．已知点坐标为，则图中阴影部分的面积为．
16. 如图，中，，以斜边为边向外作正方形，且正方形对角线交于点
，连接，已知，，则另一直角边的长为．
三、解答题（共7小题；共91分）
17. 计算：．
18. 已知，，求代数式的值．
19. 为了了解2012年全国中学生创新能力大赛中竞赛项目“知识产权”笔试情况，随机抽查了部分参
赛同学的成绩，整理并制作图表如下：
（1）本次调查的样本容量为；
（2）在表中：，；
（3）补全频数分布直方图；
（4）参加比赛的小聪说，他的比赛成绩是所有抽查同学成绩的中位数，据此推断他的成绩落在分数段内；
（5）如果比赛成绩分以上（含分）为优秀，那么你估计该竞赛项目的优秀率大约是．
20. 如图，将矩形沿直线折叠，使点与点重合，折痕交于点、交于点，
连接、．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）设，，．请写出一个、、三者之间的数量关系式并说明理由．21. “节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式，某家电商场计划用万元购进节能型电
视机、洗衣机和空调共台，三种家电的进价和售价如表所示：
（1
过电视机的数量的倍，请问商场有哪几种进货方案?
（2）在“2012 年消费促进月”促销活动期间，商家针对这三种节能型产品推出“现金每购元送元家电消费券一张、多买多送”的活动．在（1）的条件下，若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出多少张?
22. 如图，已知的三个顶点坐标分别为，，．
（1）求经过，，三点的抛物线解析式；
（2）设直线交轴于点，连接，求证：；
（3）设抛物线与轴交于点，连接交于点，试问以，，为顶点的三角形与相似吗?
（4）若点为直线上一动点，当取最小值时，求点的坐标．
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线的位置随的不同取值而变化．
（1）已知的圆心坐标为，半径为．
当时，直线经过圆心；
当时，直线与相切；
（2）若把换成矩形，其三个顶点坐标分别为：，，．设直线扫过矩形的面积为，当由小到大变化时，请求出与的函数关系式．
答案
第一部分
1. D
2. B
3. C 【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念判断.
4. B
5. D
6. C
7. B
8. D
9. C 【解析】四边形是圆内接四边形，，
．
，
是的直径，
．
点的坐标为，
，
，
的半径长．
10. B
11. A 12. C
第二部分
13.
14.
【解析】，
当时，函数有最小值．
15.
16.
第三部分
原式
17.
18.
当，时，
原式
19. （1）
【解析】此次调查的样本容量为．
（2）；
【解析】；．
（3）如图：
（4）
【解析】中位数为第个数据和第个数据的平均数，
而第个数据和第个数据位于这一组，
故中位数位于这一组．
（5）
【解析】将和这两组的频率相加即可得到优秀率，优秀率为．20. （1）四边形是矩形，
，
．
由折叠的性质，可得：，，，
．
．
．
四边形为菱形．
（2）、、三者之间的数量关系式为：．
理由如下：由折叠的性质，得：．
四边形是矩形，
．
，，，
在中，，
、、三者之间的数量关系式可写为：．
21. （1）设购进电视机台，则洗衣机是台，空调是台，根据题意得：
解得：
根据是整数，则从到共有个正整数，分别是，，，因而有种方案：
方案一：电视机台、洗衣机台、空调台；
方案二：电视机台、洗衣机台、空调台；
方案三：电视机台、洗衣机台、空调台．
（2）三种电器在活动期间全部售出的金额，即．
由一次函数性质可知：当最大时，的值最大值是：（元）．由现金每购元送元家电消费券一张，可知元的销售总额最多送出张消费券．22. （1）设函数解析式为：，
由函数经过点，，，
可得
解得：
故经过，，三点的抛物线解析式为：；
（2）设直线的函数解析式为，
由题意得：
解得：
即直线的解析式为．
故可得点的坐标为，
从而可得：，，
故可得出；
（3）相似，理由如下：
设直线的解析式为，因为，则
解得：
即直线的解析式为．
联立直线与直线的函数解析式可得：
解得：
即点的坐标为，
则，
又，．
，，
，
又，
．
故以，，为顶点的三角形与相似．
（4），且，，
即为直角三角形，
，过点作直线的对称点，点为的中点．
，，
，，
，，即，
，
，
，
与的交点．
23. （1）；
【解析】①直线经过圆心时，
则有：，
；
②若直线与相切，如答图 1 所示，
应有两条符合条件的切线．
设直线与轴、轴交于，点，则，，
．
由题意，可知与轴相切，设切点为，连接；
设直线与的一个切点为，连接并延长交轴于点；
过点作于点，轴于点．
易证，
，
．
在中，由勾股定理得：，
解得：，，
，，
，
代入直线解析式求得：；
同理，当切线位于另外一侧时，可求得：．
（2）由题意，可知矩形顶点的坐标为．
由一次函数的性质可知，当由小到大变化时，
直线向右平移，依次扫过矩形的不同部分．
可得当直线经过时，；
当直线经过时，；
当直线经过时，；
当直线经过时，．
①当时，；
②当时，如答图 2 所示．
设直线与轴交于点，与交于点．令，可得，
；
令，可得，
．
；
③当时，如答图 3 所示．
设直线与轴交于点，与交于点．令，可得，
；
令，可得，
．
；
梯形
④当时，如答图 4 所示．
设直线与交于点，与交于点．令，可得，
，；
令，可得，
，．
；
矩形
⑤当时，矩形．
综上所述，当由小到大变化时，与的函数关系式为：
．。