数理逻辑
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– Ex.6 {A B, ~A B}┣B
Ch2. 形式命题演算
2.2 完备性定理 (The Adequacy Theorem for L)
– Proposition 2.14 可靠性定理(The Soundness Theorem):L的定理都是重言式 – 证明思路: L的三条公理可靠 推演规则(三段论)可靠 由归纳法可知,L的所有定理可靠
Ch2. 形式命题演算
– Remark: 演绎定理的逆定理是平凡的: – 若有Г┣A B则一定有Г∪{A}┣A B – 同时显然有Г∪{A}┣A – 使用一次MP就可以得到Г∪{A}┣B
Ch2. 形式命题演算
– Corollary 2.10 {(A B), (B C)}┣(A C)
(HS, (1) (2) (3) (4) (5) Hypothetical Syllogism,假言三段论) (A B) assumption (B C) assumption A assumption B (1),(3)MP C (2),(4)MP
Ch2. 形式命题演算
– Lemma:设∑是命题变元或其否定形式的集合, 对于任何一个真值赋值v,令其对应的∑为: 若v(pi) = T则令pi∈∑, 否则~pi∈∑ – v(A)=T则∑┣A, v(A)=F则∑┣(~A) – 证明: 施归纳法于A的结构 归纳奠基 若A为命题变元pi,则显然正确 归纳奠基: 归纳证明 根据A的构成方法分两种情况: 归纳证明:
Ch2. 形式命题演算
问题起源:当命题形式的连接词过多时,我 们的直觉并不一定很准确,希望建立一个简 单的系统来对应直觉.这也符合我们计算机 的思维. "如果A不正确蕴涵 正确那么 一定正确" 不正确蕴涵A正确那么 一定正确" 如果 不正确蕴涵 正确那么A一定正确
这句话对吗?
"如果当对任意的B均有 蕴涵 成立时,A 均有A蕴涵 成立时, 如果当对任意的 均有 蕴涵B成立时 一定成立,那么A一定成立 一定成立" 一定成立,那么 一定成立"很容易理解吗?
这就证明了{(A B), (B C), A}┣C由演绎定理不 难得{(A B), (B C)}┣(A C)
Ch2. 形式命题演算
Propቤተ መጻሕፍቲ ባይዱsition 2.11 ┣(~A A) A
(1) (~A A) assumption (2) (~A (~~(~A A) ~A)) (L1) (3) (~~(~A A) ~A) (A ~(~A A)) (L3) (4) (~A (A ~(~A A))) (2),(3)HS (5) (~A (A ~(~A A))) ((~A A) (~A ~(~A A))) (L2) (6) (~A A) (~A ~(~A A)) (4),(5)MP (7) (~A ~(~A A)) (1),(6)MP (8) (~A ~(~A A)) ((~A A) A) (L3) (9) (~A A) A (7),(8)MP (10) A (1),(9)MP
NOT: ~p (Negation) AND: p∧q (Conjunction) OR: p∨q (Disjunction) Imply: p q (Conditional) If and only if: p<->q (Biconditional) – Definition 1.2: 命题形式 ((p∧q) r) (p (~((p q)∨r)))
Ch2. 形式命题演算
– Definition 2.5 (从公式集Г出发的推演) – 类似于Definition 2.2,只不过证明序列中的 公式还可以是Г的一员. – Example 2.6 { A, (B (A C)) }┣ (B C)
(1) A assumption (2) (B (A C)) assumption (A (B A)) (L1) (B A) (1),(3) MP ((B (A C)) ((B A) (B C)) (L2) ((B A) (B C)) (2),(5) MP (B C) (4),(6) MP
Ch1. 非形式命题演算
– Proposition 1.17 (De Morgan's Law) ((~A1)∨(~A2)∨…∨(~An))逻辑等价于 (~(A1∧A2∧…∧An)) ((~A1)∧(~A2)∧…∧(~An))逻辑等价于 (~(A1∨A2∨…∨An)) 严格证明略
Ch1. 非形式命题演算
– Definition 1.7 若(A B)是重言式,则称A逻辑蕴涵B (logically imply) 若(A<->B)是重言式,则称A逻辑等价于B (logically equivalent) – Example 1.8 (p∧q)逻辑蕴涵p (~(p∧q))逻辑等价于((~p)∨(~q)) – Proposition 1.9 若A和(A B)都是重言式,则B也是重言式
Ch2. 形式命题演算
– Ex.1 ┣(~~A A)
Ch2. 形式命题演算
– Ex.2 ┣(A ~~A)
Ch2. 形式命题演算
– Ex.3 ┣(A B) (~B ~A)
Ch2. 形式命题演算
– Ex.4 {B, ~C}┣~(B C)
Ch2. 形式命题演算
– Ex.5 ┣~B (B C)
Ch2. 形式命题演算
Ch2. 形式命题演算
– Proposition(Extra):弱完备性定理,即若A是 重言式,则A是L的定理(可以在系统内证明). – Remark: 联想我们靠真值表来确定A是否为重 言式,如果可以将真值表的思想对应为系统内 的一个证明序列,问题就迎刃而解了.
Ch2. 形式命题演算
– Definition 2.12 真值赋值 – 真值赋值为一个函数v:{p1,p2,p3,…} {T, F} – 任何一个真值赋值v可以将定义域扩张至整个 合式公式集合,只要按照如下规则: v(~A)=T iff. v(A)=F V(A B)=T iff. v(A)=F或v(B)=T – 方便起见,扩张后的真值赋值v通常仍记为v
– 推演规则(MP): 从(A B)和A可以得到一个直接 的结论B
Ch2. 形式命题演算
– Definition 2.2 (证明的定义 证明的定义) 证明的定义 – L中的一个证明是一个有限合式公式的序列: A1, A2, …, An,对任何1≤i≤n, Ai要么是一个 公理,要么有证明序列中靠前的两个合适公式 Aj和Ak由MP推演而来(j, k<i). – 称之为L中An的一个证明,称An为L的一个定理, 记为┣ An – Remark 2.3: 可见Aj和Ak一定为如同B和 (B A)的形式
Ch1. 非形式命题演算
1.1命题和连接词
– Example 1.1 If Socrates is a man then Socrates is mortal Socrates is a man ∴Socrates is mortal A B, A, ∴B
Ch1. 非形式命题演算
1.2 真值函数和真值表
p T T F F
q T F T F
p q T F T T
Ch1. 非形式命题演算
– Definition 1.5 重言式(tautology): 恒真的命题形式 矛盾式(contradition): 恒假的命题形式 – Example 1.6 (p∨(~p))是重言式 (p∧(~p))是矛盾式
Ch1. 非形式命题演算
思考:上述过程的证明可不可以转化为A ┣ A呢? 这样就容易多了.
Ch2. 形式命题演算
– Proposition 2.8 (演绎定理, The Deduction Theorem) – 设Г∪{A}┣B则Г┣A B – [证明]施归纳法于Г∪{A}┣B的证明长度n – 归纳奠基 (n = 1) 归纳奠基:
Ch2. 形式命题演算
2.1 形式系统L (Definition 2.1)
– 定义命题逻辑的形式推演系统L包含如下内容: – 1. 字母表: ~, , (, ), p1, p2, p3, … – 2. 合式公式: 由连接词~, 构成的有限长公式 – 公理模式
(L1) (A (B A)) (L2) ((A (B C)) ((A B) (A C)) (L3) (((~A) (~B)) (B A))
离散数学 数理逻辑部分
Zhou Yuan
Outline
命题逻辑
– 非形式命题演算(Informal statement calculus) – 形式命题演算(Formal statement calculus)
谓词逻辑(一阶逻辑)
– 非形式谓词演算(Informal predicate calculus) – 形式谓词演算(Formal predicate calculus)
如归纳奠基,亦有B为公理,Г的一员,和B为A三种情况 情况4: B由前方两个公式MP得来,这两个公式一定形 如C和(C B),由归纳假设: Г┣(A C)且 Г┣(A (C B)),如下证明Г┣(A B) (1)…(q) (A C) (q+1)…(k) (A (C B)) (k+1) (A (C B)) ((A C) (A B)) (L2) (k+2) (A C) (A B) (k),(k+1)MP (k+3) (A B) (q),(k+2)MP
B是公理,则如下可证明Г┣A B (1) B (公理) (2) (B (A B)) (L1) (3) (A B) (1),(2) MP B是Г的一员,类似于上面的证明 B就是A,那么由Example 2.7有┣ (A A),可得 Г┣A B
Ch2. 形式命题演算
– 归纳阶段 归纳阶段:设n>1,定理对一切长度小于n的证明序 列成立,现证明对长度为n的证明亦正确:
Ch2. 形式命题演算
– Example 2.7 : ┣ (A A)
– – – – – (1)(A (2)(A (3)((A (4)(A (5)(A ((A ((A (A (A A) A) A)) ((A (A A)) (A A)) (L2) A) A)) (L1) A)) (A A)) (1),(2)MP A)) (L1) (3),(4)MP
Ch2. 形式命题演算
– 这就证明了(~A A)┣A ,由演绎定理: – ┣((~A A) A) – 几个Exercises见后页 – Remark: 可见在命题逻辑的公理系统内推演 并不是一件容易的事情,是否可以证明这个系 统的一些性质,如
系统的定理一定是直觉上正确的 (可靠性定理) 直觉上正确的公式一定可以在系统内证明 (完备性定理)
Ch1. 非形式命题演算
1.5 连接词的完备集(Adequate set)
– Definition 1.23 若任何真值函数都可以表示为仅含一个集合中 的连接词的命题形式,则称为连接词的完备集 – Proposition 1.24: {~, }是连接词的完备集 证明: {~, ∧, ∨}是完备集 (A∧B)逻辑等价于(~(A (~B))) (A∨B)逻辑等价于((~A) B) 因而任何仅包含{~, ∧, ∨}的命题形式都可以 表示为仅含{~, }的命题形式
1.4 范式(SGU 182:Open the Brackets)
– Proposition 1.20(disjunctive normal form) 任何一个命题形式A都可以等价为如下形式 的析取范式: (Qij如同p或~p的形式)
(∨ ( ∧
m i =1
n j =1
Qij ))
证明:选取A的真值表中使A为真的的那些真 值赋值,如(p q)∧(q p)中的p=T,q=T和 p=F,q=F,然后写为: ((p∧q)∨((~p)∧(~q)))
Ch1. 非形式命题演算
– Proposition 1.21(conjunctive normal form) 任何一个命题形式A都可以等价为如下形式的合 取范式: (Qij如同p或~p的形式)
( ∧ (∨
m i =1
n j =1
Qij ))
证明:设~A的析取范式为B,如
((p∧q)∨(p∧(~q))),则A逻辑等价于~B,如 ~((p∧q)∨(p∧(~q))),逻辑等价于 (((~p)∨(~q))∧((~p)∨q))为A的合取范式. (注意多次使用De Morgan's Law)
Ch2. 形式命题演算
2.2 完备性定理 (The Adequacy Theorem for L)
– Proposition 2.14 可靠性定理(The Soundness Theorem):L的定理都是重言式 – 证明思路: L的三条公理可靠 推演规则(三段论)可靠 由归纳法可知,L的所有定理可靠
Ch2. 形式命题演算
– Remark: 演绎定理的逆定理是平凡的: – 若有Г┣A B则一定有Г∪{A}┣A B – 同时显然有Г∪{A}┣A – 使用一次MP就可以得到Г∪{A}┣B
Ch2. 形式命题演算
– Corollary 2.10 {(A B), (B C)}┣(A C)
(HS, (1) (2) (3) (4) (5) Hypothetical Syllogism,假言三段论) (A B) assumption (B C) assumption A assumption B (1),(3)MP C (2),(4)MP
Ch2. 形式命题演算
– Lemma:设∑是命题变元或其否定形式的集合, 对于任何一个真值赋值v,令其对应的∑为: 若v(pi) = T则令pi∈∑, 否则~pi∈∑ – v(A)=T则∑┣A, v(A)=F则∑┣(~A) – 证明: 施归纳法于A的结构 归纳奠基 若A为命题变元pi,则显然正确 归纳奠基: 归纳证明 根据A的构成方法分两种情况: 归纳证明:
Ch2. 形式命题演算
问题起源:当命题形式的连接词过多时,我 们的直觉并不一定很准确,希望建立一个简 单的系统来对应直觉.这也符合我们计算机 的思维. "如果A不正确蕴涵 正确那么 一定正确" 不正确蕴涵A正确那么 一定正确" 如果 不正确蕴涵 正确那么A一定正确
这句话对吗?
"如果当对任意的B均有 蕴涵 成立时,A 均有A蕴涵 成立时, 如果当对任意的 均有 蕴涵B成立时 一定成立,那么A一定成立 一定成立" 一定成立,那么 一定成立"很容易理解吗?
这就证明了{(A B), (B C), A}┣C由演绎定理不 难得{(A B), (B C)}┣(A C)
Ch2. 形式命题演算
Propቤተ መጻሕፍቲ ባይዱsition 2.11 ┣(~A A) A
(1) (~A A) assumption (2) (~A (~~(~A A) ~A)) (L1) (3) (~~(~A A) ~A) (A ~(~A A)) (L3) (4) (~A (A ~(~A A))) (2),(3)HS (5) (~A (A ~(~A A))) ((~A A) (~A ~(~A A))) (L2) (6) (~A A) (~A ~(~A A)) (4),(5)MP (7) (~A ~(~A A)) (1),(6)MP (8) (~A ~(~A A)) ((~A A) A) (L3) (9) (~A A) A (7),(8)MP (10) A (1),(9)MP
NOT: ~p (Negation) AND: p∧q (Conjunction) OR: p∨q (Disjunction) Imply: p q (Conditional) If and only if: p<->q (Biconditional) – Definition 1.2: 命题形式 ((p∧q) r) (p (~((p q)∨r)))
Ch2. 形式命题演算
– Definition 2.5 (从公式集Г出发的推演) – 类似于Definition 2.2,只不过证明序列中的 公式还可以是Г的一员. – Example 2.6 { A, (B (A C)) }┣ (B C)
(1) A assumption (2) (B (A C)) assumption (A (B A)) (L1) (B A) (1),(3) MP ((B (A C)) ((B A) (B C)) (L2) ((B A) (B C)) (2),(5) MP (B C) (4),(6) MP
Ch1. 非形式命题演算
– Proposition 1.17 (De Morgan's Law) ((~A1)∨(~A2)∨…∨(~An))逻辑等价于 (~(A1∧A2∧…∧An)) ((~A1)∧(~A2)∧…∧(~An))逻辑等价于 (~(A1∨A2∨…∨An)) 严格证明略
Ch1. 非形式命题演算
– Definition 1.7 若(A B)是重言式,则称A逻辑蕴涵B (logically imply) 若(A<->B)是重言式,则称A逻辑等价于B (logically equivalent) – Example 1.8 (p∧q)逻辑蕴涵p (~(p∧q))逻辑等价于((~p)∨(~q)) – Proposition 1.9 若A和(A B)都是重言式,则B也是重言式
Ch2. 形式命题演算
– Ex.1 ┣(~~A A)
Ch2. 形式命题演算
– Ex.2 ┣(A ~~A)
Ch2. 形式命题演算
– Ex.3 ┣(A B) (~B ~A)
Ch2. 形式命题演算
– Ex.4 {B, ~C}┣~(B C)
Ch2. 形式命题演算
– Ex.5 ┣~B (B C)
Ch2. 形式命题演算
Ch2. 形式命题演算
– Proposition(Extra):弱完备性定理,即若A是 重言式,则A是L的定理(可以在系统内证明). – Remark: 联想我们靠真值表来确定A是否为重 言式,如果可以将真值表的思想对应为系统内 的一个证明序列,问题就迎刃而解了.
Ch2. 形式命题演算
– Definition 2.12 真值赋值 – 真值赋值为一个函数v:{p1,p2,p3,…} {T, F} – 任何一个真值赋值v可以将定义域扩张至整个 合式公式集合,只要按照如下规则: v(~A)=T iff. v(A)=F V(A B)=T iff. v(A)=F或v(B)=T – 方便起见,扩张后的真值赋值v通常仍记为v
– 推演规则(MP): 从(A B)和A可以得到一个直接 的结论B
Ch2. 形式命题演算
– Definition 2.2 (证明的定义 证明的定义) 证明的定义 – L中的一个证明是一个有限合式公式的序列: A1, A2, …, An,对任何1≤i≤n, Ai要么是一个 公理,要么有证明序列中靠前的两个合适公式 Aj和Ak由MP推演而来(j, k<i). – 称之为L中An的一个证明,称An为L的一个定理, 记为┣ An – Remark 2.3: 可见Aj和Ak一定为如同B和 (B A)的形式
Ch1. 非形式命题演算
1.1命题和连接词
– Example 1.1 If Socrates is a man then Socrates is mortal Socrates is a man ∴Socrates is mortal A B, A, ∴B
Ch1. 非形式命题演算
1.2 真值函数和真值表
p T T F F
q T F T F
p q T F T T
Ch1. 非形式命题演算
– Definition 1.5 重言式(tautology): 恒真的命题形式 矛盾式(contradition): 恒假的命题形式 – Example 1.6 (p∨(~p))是重言式 (p∧(~p))是矛盾式
Ch1. 非形式命题演算
思考:上述过程的证明可不可以转化为A ┣ A呢? 这样就容易多了.
Ch2. 形式命题演算
– Proposition 2.8 (演绎定理, The Deduction Theorem) – 设Г∪{A}┣B则Г┣A B – [证明]施归纳法于Г∪{A}┣B的证明长度n – 归纳奠基 (n = 1) 归纳奠基:
Ch2. 形式命题演算
2.1 形式系统L (Definition 2.1)
– 定义命题逻辑的形式推演系统L包含如下内容: – 1. 字母表: ~, , (, ), p1, p2, p3, … – 2. 合式公式: 由连接词~, 构成的有限长公式 – 公理模式
(L1) (A (B A)) (L2) ((A (B C)) ((A B) (A C)) (L3) (((~A) (~B)) (B A))
离散数学 数理逻辑部分
Zhou Yuan
Outline
命题逻辑
– 非形式命题演算(Informal statement calculus) – 形式命题演算(Formal statement calculus)
谓词逻辑(一阶逻辑)
– 非形式谓词演算(Informal predicate calculus) – 形式谓词演算(Formal predicate calculus)
如归纳奠基,亦有B为公理,Г的一员,和B为A三种情况 情况4: B由前方两个公式MP得来,这两个公式一定形 如C和(C B),由归纳假设: Г┣(A C)且 Г┣(A (C B)),如下证明Г┣(A B) (1)…(q) (A C) (q+1)…(k) (A (C B)) (k+1) (A (C B)) ((A C) (A B)) (L2) (k+2) (A C) (A B) (k),(k+1)MP (k+3) (A B) (q),(k+2)MP
B是公理,则如下可证明Г┣A B (1) B (公理) (2) (B (A B)) (L1) (3) (A B) (1),(2) MP B是Г的一员,类似于上面的证明 B就是A,那么由Example 2.7有┣ (A A),可得 Г┣A B
Ch2. 形式命题演算
– 归纳阶段 归纳阶段:设n>1,定理对一切长度小于n的证明序 列成立,现证明对长度为n的证明亦正确:
Ch2. 形式命题演算
– Example 2.7 : ┣ (A A)
– – – – – (1)(A (2)(A (3)((A (4)(A (5)(A ((A ((A (A (A A) A) A)) ((A (A A)) (A A)) (L2) A) A)) (L1) A)) (A A)) (1),(2)MP A)) (L1) (3),(4)MP
Ch2. 形式命题演算
– 这就证明了(~A A)┣A ,由演绎定理: – ┣((~A A) A) – 几个Exercises见后页 – Remark: 可见在命题逻辑的公理系统内推演 并不是一件容易的事情,是否可以证明这个系 统的一些性质,如
系统的定理一定是直觉上正确的 (可靠性定理) 直觉上正确的公式一定可以在系统内证明 (完备性定理)
Ch1. 非形式命题演算
1.5 连接词的完备集(Adequate set)
– Definition 1.23 若任何真值函数都可以表示为仅含一个集合中 的连接词的命题形式,则称为连接词的完备集 – Proposition 1.24: {~, }是连接词的完备集 证明: {~, ∧, ∨}是完备集 (A∧B)逻辑等价于(~(A (~B))) (A∨B)逻辑等价于((~A) B) 因而任何仅包含{~, ∧, ∨}的命题形式都可以 表示为仅含{~, }的命题形式
1.4 范式(SGU 182:Open the Brackets)
– Proposition 1.20(disjunctive normal form) 任何一个命题形式A都可以等价为如下形式 的析取范式: (Qij如同p或~p的形式)
(∨ ( ∧
m i =1
n j =1
Qij ))
证明:选取A的真值表中使A为真的的那些真 值赋值,如(p q)∧(q p)中的p=T,q=T和 p=F,q=F,然后写为: ((p∧q)∨((~p)∧(~q)))
Ch1. 非形式命题演算
– Proposition 1.21(conjunctive normal form) 任何一个命题形式A都可以等价为如下形式的合 取范式: (Qij如同p或~p的形式)
( ∧ (∨
m i =1
n j =1
Qij ))
证明:设~A的析取范式为B,如
((p∧q)∨(p∧(~q))),则A逻辑等价于~B,如 ~((p∧q)∨(p∧(~q))),逻辑等价于 (((~p)∨(~q))∧((~p)∨q))为A的合取范式. (注意多次使用De Morgan's Law)