定点数除法运算
双符号等位二进制定点小数除法
双符号等位二进制定点小数除法
双符号等位二进制定点小数除法是一种计算机数学运算，用于将两个定点小数相除。
它的特点是采用二进制计算，同时考虑了正负数的情况，因此使用了双符号表示法。
在进行双符号等位二进制定点小数除法时，需要先将两个定点小数转换为二进制形式，并补齐小数点后的位数。
接着，根据除数的符号确定商的符号，并将被除数和除数取绝对值进行计算。
在计算过程中，需要先进行整数部分的除法运算，然后再进行小数部分的除法运算。
小数部分的除法运算需要注意在进行除法时的进位和退位操作。
最终，根据商的符号和小数点位置，将计算结果转换为定点小数形式。
在进行结果的舍入时，需要考虑舍入方式和精度的要求。
双符号等位二进制定点小数除法在计算机科学中有广泛的应用，例如在计算机图形学中用于坐标变换和颜色混合等运算。
- 1 -。
定点数除法——精选推荐
定点数除法定点数除法⼀、笔算除法：本质上就是看能不能减去，减不了就上0，右移，减的了就上1⼆、原码恢复余数法：规则：将被除数－除数，结果⼤于0，商1，余数左移⼀位。
结果⼩于0，商0，恢复余数，余数左移⼀位。
重复上述操作，直⾄商的精度满⾜要求为⽌。
本质上来说，不恢复余数法是只是为了在计算的时候能够不判断除数和余数的⼤⼩⽽规定的⼀种算法，每⼀次只需要先减就是了，减完了以后，再通过双符号位判断上商为0还是1，然后再判断是否要恢复余数参考链接：三、原码不恢复余数法：与恢复余数法的区别：若余数（被除数）为负，表⽰不够减，商上0，恢复余数（加上除数），左移⼀位，加上[-y]_补 , 加上[ y ] 补链接同上四、补码除法（补码不恢复余数法）：例⼦：(必须满⾜被除数绝对值⼩于除数绝对值)x / y = + 0.1000 / (-0.1010) = ?R = X[补] = 00 1000 B=Y[补] = 110110 -B = 001010 商Q= 00000步骤：初始化：因为余数在每次运算后都要被不断置为被除数，所以初始化r = X【补】第⼀步：当前余数是正数，是双符号位，⽽Y的补码是负号，所以需要上商为0，然后向左移动余数和商各⼀位，因为是补码的双符号位移位，其中，余数最⾼位移动到第⼆符号位，商的最⾼位移动到余数最低位，然后进⾏+B的操作得到 R = 01 0000 + 11 0110 = 1 000110 然后将被除数赋值给余数得到 r = 000110 Q = 00000第⼆步：当前除数和r1异号，因此在Q末尾上0，然后向左移动余数和商各⼀位，其中，余数最⾼位移动到第⼆符号位，商的最⾼位移动到余数最低位，然后进⾏+B的操作得到R = 001100 + 110110 = 1 000010 然后将被除数赋值给余数得到 r = 000010 Q = 00000第三步：同上，商继续上0 ，基本操作同上：得R = 111 010 商 Q = 00000第四步：因为余数和y补同号，所以上商1 ，然后整体左移⼀位，按照之前的规则上位，并且-B（相当于+【-B】补码）得余数 = 111110，商Q = 00010除数的位数只有四位，因此循环完成：第五步：商校正：商的最⾼位+1（取反），最低位置1，最终得到 Q = 10010余数校正：余数在运算过程中左移了四位，因此需要将其缩⼩到原来的 2^(-4), 最终得到r = 2^(-4) * r4。
定点数运算
第三节定点数运算定点数运算包括移位、加、减、乘、除几种。
一、移位运算1．移位的意义移位运算在日常生活中常见。
例如15米可写作1500厘米，单就数字而言，1500相当于小数点左移了两位，并在小数点前面添了两个0；同样15也相当于1500相对于小数点右移了两位，并删去了小数点后面的两个0。
可见，当某个十进制数相对于小数点左移n位时，相当于该数乘以10n；右移n位时，相当于该数除以10n。
计算机中小数点的位置是事先约定的，因此，二进制表示的机器数在相对于小数点作n 位左移或右移时，其实质就便该数乘以或除以2n(n=1,2...n)。
移位运算又叫移位操作，对计算机来说，有很大的实用价值，例如，当计算机没有乘（除）运算线路时，可以采用移位和加法相结合，实现乘（除）运算。
计算机中机器数的字长往往是固定的，当机器数左移n位或右移n位时，必然会使其n 位低位或n位高位出现空位。
那么，对空出的空位应该添补0还是1呢？这与机器数采用有符号数还是无符号数有关，对有符号的移位叫算术移位。
2．算术移位规则对于正数，由于[x]原=[x]补=[x]反=真值，故移位后出现的空位均以0添之。
对于负数，由于原码、补码和反码的表示形式不同，故当机器数移位时，对其空位的添补规则也不同。
下表列出了三种不同码制的机器数（整数或小数均可），分别对应正数或负数，移位后的添补规则。
必须注意的是：不论是正数还是负数，移位后其符号位均不变，这是算术移位的重要特点。
不同码制机器数移位后的空位添补规则码制添补代码正数原码、补码、反码0原码0负数补码左移添0右移添1反码 1由上表可得出如下结论：（1）机器数为正时，不论左移或右移，添补代码均为0。
（2）由于负数的原码其数值部分与真值相同，故在移位时只要使符号位不变，其空位均添0。
（3）由于负数的反码其各位除符号位外与负数的原码正好相反，故移位后所添的代码应与原码相反，即全部添1。
（4）分析任意负数的补码可发现，当对其由低位向高位找到第一个“1”时，在此“1”左边的各位均与对应的反码相同，而在此“1”右边的各位（包括此“1”在内）均与对应的原码相同，即添0；右移时困空位出现在高位，则添补的代码应与反码相同，即添1。
5第五讲定点除法器
20
2 不恢复余数阵列除法器
21
二 定点运算器的组成
1. 2.
3.
4. 5.
基本构成 算术逻辑运算单元 数据缓冲寄存器 通用寄存器 多路寄存器 数据总线
22
1 逻辑运算
逻辑非运算 eg1: x=011001,求逻辑非 逻辑加运算 eg2: x=011001,y=110101,求逻辑加 逻辑乘运算 eg3: x=011001,y=110101,求逻辑乘 逻辑异或运算 eg4: x=011001,y=110101,求逻辑异或
X0X1X2X3Cn Cn＋4＝G+P Cn
28
74181ALU电路逻辑图
29
74181ALU相关讨论
1.
当Ｍ＝0时,Ｍ对进位信号没有任何影
响。因此Ｍ＝0时,进行算术操作。
2.
当Ｍ＝1时,封锁了各位的进位输出,即
C ＝0,因此各位的运算结果F 仅与Y 和 X 有关,故Ｍ＝1时,进行逻辑操作。
30
则第n+1步恢复余数，不移位。
16
二 并行除法器
与阵列乘法器相似，阵列除法器也是一种
并行运算部件。
阵列除法器有多种形式，如不恢复余数阵
列除法器、补码阵列除法器等等。
17
1 可控加法/减法(CAS)单元
Si＝Ai⊕(Bi⊕P)⊕Ci Ci＋1＝(Ai＋Ci)· (Bi⊕P)＋AiCi
18
原码除法实例
11
2 原码不恢复余数法（加减交替法）
算法分析
第二步:2r1-B=r2’<0
第二步:2r1-B=r2’<0 第三步:r2’+B=r2(恢复余数) 第三步:2r2’+B=r3 (不恢复余数) 第四步:2r2-B=r3 2r2-B=2(r2’+B)-B =2r2’+B=r3
第三章运算方法与运算器(定点数除法)
■ 当上述结果小于0时，商上0，恢复余数，然后左移一位，减除数比较，即：
（2Ri-Y）+Y= 2Ri 2*2Ri -Y = 4Ri –Y
■ 若当结果小于0时，商上0，不恢复余数而直接将余数左移一位，加Y:
2(2Ri-Y）+Y = 2*2Ri -2Y + Y = 4Ri –Y
第三章 3.6 定点数除法
1 00.0011
1
00.0110 0.11
+[–Y]补 11.0101
0 11.1011
0
11.0110 0.110
+[Y]补 00.1011
1 00. 0001 0.1101 1
减Y比较
余数 <0 商上零 左移一位 加Y比较 余数>0，商上1 左移一位 减Y比较 余数>0，商上1 左移一位 减Y比较 余数<0 商上零 左移一位 加Y比较
■重复上述过程直到商达到所需要的位数为止。
第三章 3.6 定点数除法
2
原码恢复余数除法
已知 X＝0.1001，Y＝- 0.1011，用原码一位除法求X/Y
解：[X]原= 0 .1001 [Y]原= 1.1011
[|X|]补=0.1001 [|Y|] 补=0.1011 [-|Y|]补 =1.0101
最后结果： 商Q = （X0 Y0）.1101=1.1101 余数 R = 0.0001 * 2 -4
该方法存在的不足： 运算步数不确定
左移一位 减Y比较
1 余数>0，商上1，移商
第三章 3.6 定点数除法
3
原码加/减交替除法运算方法（不恢复余数法）
■ 设某次余数为Ri，将Ri左移一位减除数进行比较并上商，即：
定点除法运算
手算除法的例子:
2
手算除法的例子
q0 q1q2 q3 q4 0. 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1
0.1 1 0 1 R0 R1=R0-2-1q1Y R2=R1-2-1q2Y
14
例：
例：已知[X]补=1.01110101,[Y]补=0.1110,用补码除法 求[X/Y]补 解：[-Y]补=1.0010
15
符号 11 +00 00 00 +11 11 11 +00 00 00 +11 00 00 +11 11
被除数 01110101 1110 01010101 10101011 0010 11001011 10010110 1110 01110110 11101101 0010 00001101 00011011 0010 0011 1011
例：已知被除数X=－0.10001011，除数Y=+0.1110,用 加减交替法求商和余数。 解：商符=10=1
除数的相反数： [－Y]补 =11.0010 补码加减 因为运算过程中有左移，需采用双符号位。
9
|X|=00.10001011, |Y|=00.1110, [-Y]补 =11.0010 符号位 余数 商 操作 00 10001011 初始值：被除数X +[-Y]补 +11 0010ห้องสมุดไป่ตู้11 10101011 0 R<0,商0 11 01010110 +00 1110 00 00110110 1
操作
-|Y| 0 R<0,商0
←1
定点数除法
定点数除法
定点数除法是指使用定点数进行除法计算。
在计算机编程中，定点数指的是任意一个具有固定小数位数的数。
与之相对的是浮点数，浮点数可以有可变的小数位数。
在一些具有计算机控制的系统中，如嵌入式系统，通常使用定点数进行数值计算。
这是因为浮点数的运算速度较慢，而定点数的运算速度较快，因为它们可以通过整数运算来实现。
定点数除法需要考虑小数点的位置，即小数位数。
在除法的过程中，需要将被除数和除数的小数点位置对齐后进行计算。
在计算结果时，需要考虑小数点的位置，并根据小数点的位置进行适当的进位或舍位。
例如，假设有两个定点数A和B，它们的小数位数分别为3和2。
要计算A/B的结果，需要先将B的小数点向右移动一位，即将B乘以10，变为B'。
然后将A和B'的小数点对齐，进行除法运算。
最后将结果的小数点向左移动一位，即将结果除以10，得到最终结果。
在实际应用中，定点数除法常用于控制系统中的数据处理和算法运算，如PID控制器等。
对于需要高精度计算的场合，也可以使用定点数来代替浮点数进行计算，提高计算速度和精度。
- 1 -。
3.3 定点数的除法
理原成组河南科技大学计算机定点数的除法运算3.3定点数的乘法运算明德笃行博学日新◆定点原码一位除法1）原码恢复余数法2）原码不恢复余数法◆定点补码一位除法博学日新明德笃行原码一位除法1. 运算法则假设被除数[X]原=X s X 1X 2……X n-1X n ，除数[Y]原=Y s Y 1Y 2…Y n-1Y n 商[Q]原=Q s Q 1Q 2……Q n ，则有[Q]原= (X s ⊕Y s ).(|X|×|Y|)即商的符号位等于两数符号位的异或，商的数值部分等于两数绝对值相除。
博学日新明德笃行原码一位除法0.1 0 1 10.11010.0 1 1 0 10.0 0 1 1 0 10.0 1 0 0 1 0.0 0 0 1 0 10.0 0 0 0 0 0 00.0 0 0 0 0 1 1 1…商Q S =X S ⊕Y S =0⊕0=0 X/Y=0.1101 …被除数 X(R 0) …部分余数R 1 …部分余数R 2…余数R 40 . 1 1 0 1 0 0 0 0 2-1Y,除数右移1位，减 2-2Y,除数右移1位，减 2-4Y,除数右移2位，减 2-3Y,除数右移1位，不减 0.0 0 0 1 0 1 0 0.0 0 0 0 1 1 0 1 …部分余数R 3商符单独处理 心算上商（比较大小）？？ ？ 余数不动低位补“0”减右移一位的除数上商位置不固定1）被除数(绝对值)减去除数(绝对值)；2）判别余数正负：若为正数，上商1；若为负数，上商0，然后恢复余数＋[|Y|]补；3）余数和商共同左移一位。
4）重复上述过程(左移n次，上商n＋1次)。
说明：1）计算机内的运算过程仍用补码。
2）在原码一位乘中通常有以下约定：●小数定点除法 |x| ＜ |y|，整数定点除法 |x| ＞ |y| （避免商溢出）被除数不等于 0，除数不能为 0解：[|X|]原=00.1001，[|Y|]原= [|Y|]补=00.1011 ，[-|Y|]补=11.01010 0 . 1 0 0 1 + 1 1 . 0 1 0 1 X 减Y 1 1 . 1 1 1 0 + 0 0 . 1 0 1 0 余数R 0<0,商0 0恢复余数 0 0 . 1 0 0 1 ← 0 1 . 0 0 1 0 + 1 1 . 0 1 0 1 0 0 . 0 1 1 1 ←0 0 . 1 1 1 0 + 1 1 . 0 1 0 10 0 . 0 0 1 1 ←0 0 . 0 1 1 0 + 1 1 . 0 1 0 1R 0’商0移入Q ，R 0’左移 减Y余数R 1>0,商1 0.1商1移入Q ，R 1’左移 减Y余数R 2>0,商1商1移入Q ，R 2’左移 0.1 1减Y[-|Y|]补[|Y|]补[-|Y|]补[-|Y|]补[-|Y|]补0 0 . 1 0 1 0 + 1 1 . 1 0 1 10 0 . 0 1 1 0 ←0 0 . 1 1 0 0 + 0 0 . 1 1 0 0 0 0 . 0 0 0 1 0 0 . 0 0 0 1←余数R 3<0,商0 恢复余数R 3’=2R 2商 0 移入Q ，R 3’左移 减Y余数R 4>0,商1 商 1 移入Q ，R 4不左移0.1 1 00.1 1 0 1[-|Y|]补[|Y|]补[|Q|]原=0.1101 余数[R]原=0.0001Qs=XS ⊕YS=0⊕0=0R=2-4×0.0001博学日新明德笃行原码恢复余数法（1）某一次-Y 的差值为负时,要多一次+Y 恢复余数的操作,降低了执行速度。
定点数除法运算
用异或门实现 可控取反： y0=y y1=y 11
0 1 0
0
y1
x1 y2
∑
x2
y3
x3
∑
∑
∑
x4
∑
∑
∑
∑
x5
∑
∑
∑
∑
x6
∑
∑
∑
∑
q0 = 0
q1
q2
q3
r3
r4
r5
r6
12
4.4.2 补码除法运算
补码不恢复余数除法的运算规则： 1.被除数与除数同号，则被除数减去除数；被除数与 除数异号，则被除数加上除数。 2.若所得余数与除数同号，则上商1，余数左移一位减 去除数；若所得余数与除数异号，则上商0，余数左移 一位加上除数。 3.重复第2步，若采用末位恒置1法，则共做n次（n为 除数补码包括符号位的位数）。 4.商的符号位与数值位均在运算中产生。
原码加减交替法的运算规则可归纳如下：
1）若余数≥0，上商“1”，余数左移一位，减除数； 2）若余数＜0，上商“0”，余数左移一位，加除数。
5
例：已知被除数X=-0.10001011，除数Y=+0.1110, 用加减交替法求商。 解：
商符=10=1 除数的相反数： [- Y]补 =11.0010
商 操作 X,Y异号 +[Y]补 1 R1与Y同号，商1
←1
+[-Y]补 0 R2与Y异号，商0
←1
+[Y3;[-Y]补 1 R3与Y同号,商1
←1
∴[商]补=1.0111
R = -0.1101×2－4
1 未位恒置1
作业
定点除法
被除数x/余数r
商数q
0 0.1 0 0 1
1
+[-y]补 1 1.0 1 0 1 1 1.1 1 1 0
1 1.1 1 0 0
10
+[y]补 0 0.1 0 1 1 0 0.0 1 1 1
0 0.1 1 1 0
101
+[-y]补 1 1.0 1 0 1
0 0.0 0 1 1
0 0.0 1 1 0
设被除数ｘ＝0.1001,除数ｙ＝0.1011,模仿十进制除法运算, 以手算方法求ｘ÷ｙ的过程如下:
0.1 1 0 1
商q
0.1 0 1 1 ∕ 0.1 0 0 1 0 －0.0 1 0 1 1 0.0 0 1 1 1 0 －0.0 0 1 0 1 1 0.0 0 0 0 1 1 0 －0.0 0 0 1 0 1 1 0.0 0 0 0 1 1 0 0 －0.0 0 0 0 1 0 1 1
(2.40)
当 P=0时，方程式（2.40）就是我们熟悉的一位全加器（FA）
的公式：
Si=Ai⊕ Bi⊕ Ci
Ci+1=AiBi+BiCi+AiCi
当 P=1时。则得求差公式：
Si=Ai⊕ Bi⊕ Ci
Ci+1=AiBi +BiCi + AiCi (2.41) 其中 Bi=Bi ⊕ 1.
在减法情况下，输入Ci称为借位输入，而Ci＋1称为借位输出. 为说明CAS单元的实际内部电路实现,将方程式(2.40)加以变换,
0.11
+[-y]补 1 1.0 1 0 1
1 1.1 0 1 1
1 1. 0 1 1 0
0.110
+[y]补 0 0.1 0 1 1
定点除法运算
定点除法运算
定点除法运算是指在计算机中进行除法运算时，使用一定的位数表示小数部分，以达到固定精度的目的。
这种方法可以避免浮点数运算中出现的精度误差，同时也可以提高计算速度和计算精度。
通常，定点除法运算的实现需要考虑以下几个方面：首先是确定小数位数和整数位数的比例，这决定了小数部分的精度和整数部分的范围。
其次是确定运算方法，一般有几种方法可供选择，例如恒定除法、倒数乘法、余数乘法等。
最后是确定结果舍入的方式，可以采用舍入到最接近值、舍入到正无穷或舍入到负无穷等方法。
定点除法运算在很多实际应用中都有广泛的应用，如图像处理、信号处理、音频处理等领域。
因此，了解定点除法运算的基本原理和实现方法对于计算机科学和工程领域的从业者来说都是非常重要的。
- 1 -。
14定点除法运算
若A01=B0，[A]补+[-B] 补=[R0] 补=，必有01B0（余数与 除数异号），故商为正(商上0) 若A01B0 ，[A]补+[B] 补=[R0] 补=，必有01=B0 （余数与 除数同号） ，故商为负(商上1)
2009-10-4
24
3.4.2、补码一位除法
4) 恢复余数
作完最后一步除法后
除法除尽时，判0逻辑判出全0（∑），将A置成全0
除法除不尽时，判0逻辑标志不是全0
若C0=0（被除数与除数同号），且余数与除数异号，说明 是假余数（由于作减法造成） ，应作[Rn]补+[B]补其结果送 回A，以恢复余数
Ri+1 = 2(Ri + |B|) - |B| 将上式变换一下，得：
Ri+1 = 2 Ri + |B|
视Ri为真余数，左 移一位再加|B|就可
得到新余数Ri+1
2009-10-4
10
3.4.1、原码一位除法
加法交替法
若Ri>0，得到下步除法的新余数Ri+1： Ri+1 = 2Ri - |B|
若Ri<0，要得到下步除法的新余数Ri+1，不必恢复 余数，只要将Ri视为真余数，左移一位，再加上 |B|就得到新余数Ri+1： Ri+1 = 2Ri + |B|
5) 修正商
①若除数为正(B0=0)
除尽那步除法所得余数[Ri]补=0，其符号位为正(故 A01=B0)，故除尽步商为1，由于：
[Ri+1]补=2[Ri]补+[-B]补=[-B]补 [Ri+1]补与除数异号，商上0。下一步除法余数：
定点数运算
定点数运算定点数运算（Fixed-PointArithmetic）是描述数字运算的算法，它利用定点小数来表示实数，它的实现是基于特定的数学算法，可以实现精确的数学计算。
它的计算结果可以比较准确，可以减少运算误差，也可以用来对比整数计算的精度要求。
定点数运算可以被描述为一种将数字分成不同数字位的计算机编程类型，其中，有固定的小数点和固定的定点位。
定点数的特点是它的精度是可控的，比如在定点数运算中，可以改变小数点位置以控制显示的最后一位的精度。
有时也可以通过改变定点进制来改变精度。
定点数运算被广泛应用于计算机系统，特别是在实现复杂的数字处理任务时。
与浮点数运算相比，定点数运算更可靠、更加准确，也更容易实时处理。
由于它表示和处理数字的方式比浮点数运算更为精确，定点数运算可以用于解决计算机系统中的精度问题。
定点数运算在嵌入式系统中应用很广泛，它可以大大减少精度问题。
它的应用范围也不只是嵌入式系统，定点数运算也可以用于高性能计算机系统，可以帮助计算机系统处理复杂的数学计算。
定点数运算的一个优点是它可以有效抑制累乘运算的精度损失。
因为定点数运算可以有效抑制相乘或者相除时的舍入误差，因此它可以保证循环运算中的准确性。
使用定点数运算可以节省计算机系统的运算内存，减少计算机系统的存储空间，也可以减少复杂的程序开发工作量，这样可以更好地提高计算机系统的运行效率。
定点数运算不仅可以提高精度，还可以解决一些复杂的数学问题。
定点数运算可以帮助解决复杂的运算，比如非线性方程的求解，其中可以包括数值分析，偏导数方程和动力系统。
定点数运算还可以用于实现计算机图形学和自动控制系统。
定点数运算是一个复杂的和精密的技术，该技术的实现需要使用特定的算法和精确的数学计算。
它可以帮助解决计算机系统中的精度问题，也可以实现一些复杂的数学问题，这对保证计算机系统的高性能、准确性以及可靠性有着很大的帮助。
2-4定点除法运算
r0’=r0 +2-0y
r3’=r3 +2-3y
2、另一种方法：不够减时，不必恢复余数， 、另一种方法：不够减时，不必恢复余数， 而是做一步加法运算: 而是做一步加法运算 ri +2-(i+1)y 直接商0 直接商0或1 加减交替法。 即：加减交替法。
因为由恢复余数得： 因为由恢复余数得：
ri+1=ri +2-iy - 2-(i+1)y= ri +2-(i+1)y (两步并一1、说出下图中 FA 各输入端的意义。
2、计算总的乘法时间。 计算总的乘法时间。
2.4
定点除法运算
2.4.1 原码除法算法原理 两个原码表示的数相除时， 两个原码表示的数相除时，商的符号由两数的符 号按位相加求得， 号按位相加求得，商的数值部分由两数的数值部分相 除求得。 除求得。 设有n位定点小数，被除数x 除数y,其原码为 设有n位定点小数，被除数x ，除数y,其原码为 : 位定点小数 [X]原=xf .xn-1…x1x0， [y]原= y f . yn-1… y1 y0 则商q=x/y，其原码为: 则商 ，其原码为 [q]原=（xf （ yf）+（0. xn-1…x1x0/0. yn-1… y1 y0) （
练习
已知x=0.10110, y=0.11111,请根据不恢复 已知x=0.10110, y=0.11111,请根据不恢复 余数阵列除法器的计算步骤求x/y x/y。 余数阵列除法器的计算步骤求x/y。
小结
• 原码除法算法的基本原理 恢复余数法 加减交替法 • 并行除法器 可控加减法单元 阵列除法器原理
的商q=0.1101，余数为 得x÷y的商 ÷ 的商 ，余数为r=0.00000001
定点数运算
定点数运算定点数运算是一种数学运算方式，它被广泛应用于科学计算和计算机编程中。
它通过固定范围和精度将实数分解为固定定点数，并通过运算处理定点数来得到结果。
它不仅能更有效地表示数字，而且在计算复杂度、运算速度和准确度方面也能提供很大的优势。
定点数的基本概念定点数是指将十进制小数定义为一个固定精度的系列整数来表示的实数。
因此，十进制小数可以被称为一个具有固定位数的定点数。
定点数的位数表示它的精度。
也就是说，定点数的数值是有限的，它所能表示的范围和精度在定义它们时就已经确定。
定点数运算原理定点数运算可以将一个十进制小数分解为一个有限精度的定点数，从而实现定点数运算。
定点数运算的原理是通过将负号与绝对值分离开来，从而将实数分解为固定精度的正定点数。
例如，将一个实数值-1.45分解为定点数，则定点数的形式可以表示为：-14.50。
在定点数运算中，-14.50的整数部分为-1，小数部分为-0.50，整体精度为2.通过定点数运算可以使用有限位数来表示十进制小数。
定点数运算应用定点数运算广泛应用于科学计算中，特别是在微处理器应用中。
它可以更有效地表示和储存数值，例如，它可以将一个实数值精确地表示为一系列的定点数，而不需要储存大量的小数舍入。
此外，定点数运算可以更加高效地实现数值计算，因为它不需要大量的运算来处理浮点数。
定点数的编程实现熟练掌握定点数运算的编程实现，是对定点数运算得到最大效果的关键。
编程实现定点数运算有多种方法可以选择，具体语言和编程技术取决于定点数的应用场景。
大多数语言，特别是现代高级语言，都提供了便捷的定点数运算方法，如C语言的fixed-point数类型，Java的BigDecimal类型，Python的decimal模块等等。
另外，有一些专门的库函数，如基于ARM处理器系统的ARM微架构库函数和基于微处理器系统的Microlib库函数，可以提供定点数运算的高效实现。
结论定点数运算是一种数学运算方式，广泛应用于科学计算和计算机编程中。
定点除法
0.11
+[-y]补 1 1.0 1 0 1
1 1.1 0 1 1
1 1. 0 1 1 0
0.110
+[y]补 0 0.1 0 1 1
0 0.0 0 0 1
0.1101 商“1”。仅q左移一位
得 q=x÷ｙ=0.1101,余数 r=2-4xr4
二.补码一位除法
和补码加、减、乘法一样，补码除法也应当是符号位与数 位位一起参加运算，商的符号位与数位由统一的算法求得。
被除数 ｘ＝0.ｘ1ｘ2ｘ3ｘ4ｘ5ｘ6 (双倍长)
除数
ｙ商余字＝数数长0.ｙ1ｑｒｙn＋＝ ＝2ｙ100＝3..q0014qr32rq43r5r6
由图看出,该阵列除法器是用一个可控加法/减法(CAS)单元所 组成的流水阵列来实现的。推广到一般情况,一个(n＋1)位除 (n＋1)位的加减交替除法阵列由(n＋1)2个CAS单元组成,其中 两个操作数(被除数与除数)都是正的。
tc=(n+1)(ta+tr)+tr 其中n为尾数位数。当加法操作与移位操作在同一操作步骤中
完成时，
tc=(n+1)ta+tr 2.商的修正：
一般情况采用未位恒置“1”的方式进行舍入。 如果需要进一步以高精度，可以不用未位恒置“1”的方式 舍入，而按上述法则多求一位后，再采用如下修正方法对商 进行处理： (1) 刚好能除尽时，如果除数为正，商不必修正；如果除数 为负，则商加2-n. (2) 不能除尽时，如果商为正，则不必修减交替法的规则是：当余数为正时，商“1”，余数 左移一位，减除数；当余数为负时，商“0”，余数左移一位， 加除数。证明如下：
除数每一步运算所得的余数ri (i=1,2, … ,n,r0=x)可以通过蒋 前一步的余数ri-1(第一步为r0=x)左移一位减除数y得到，即
(推荐)2-4定点除法
Q1
CAS CAS CAS CAS CAS
Q2
CAS CAS CAS CAS CAS
Q3
CAS CAS CAS CAS CAS
Q4 Cf=Qn 符号位进位=商
CAS CAS CAS CAS CAS
R4 R5
R6 R7
R8
除法器延迟
n*n个CAS延迟单元 每一个CAS包含4级门电路延迟T 故总延迟为 (n*n) ×4T
0. 1101
0.10110
0.01101 0.010010
0.001101 0.00010100
0.00001101 0.00000111
x÷y = – 0. 1 1 0 1 余数 0. 0 0 0 0 0 1 1 1
✓ 商符单独处理
？心算上商 ？余数不动低位补“0”
减右移一位的除数
？上商位置不固定
机器运算与手算的不同
(1) 在计算机中,小数点是固定的,不能简单地采用手算的办法。 为便于机器操作, 除数Y固定不变, 被除数和余数进行左移 (相当于乘2)
6
2.4.1 原00.码110一1 位除x法=0.1001, y=0.1011，[-y]补=1.0101
00.1011 00.1001
x<y，商0
00.0001
第四次余数r4
结果与手算相同，但余数不是真正的余数，多乘了2n，故正确的余数应
为2-n×rn，即：0.00000001
7
机器运算与手算的不同
(2) 机器不会心算,必须先作减法,若余数为正, 才知道够减；若 余数为负, 才知道不够减。不够减时必须恢复原来的余数, 以便再继续往下运算。这种方法称为恢复余数法。
1100101
1111010 000000
定点数的基本算术运算
5．混合表示法 ● 有些情况下，运算过程中为了既满足数值的动态范围又保证一定的精度，必须采用Q0与Q15之间
的表示方法。 ● 在做加、减运算时，如果两个操作数的定标不一样，在运算前要进行小数点的调整，为保证运算
精度，需要使Q值பைடு நூலகம்的数调整为与另一个数的Q值一样大。
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2 定点除法运算
● 在一般的DSP中，没有专门的除法指令。同样，在C54x中也没有提供专门 的除法指令。一般有两种方法来完成除法。一种是用乘法来代替，除以某 个数相当于乘以其倒数，所以先求出其倒数，然后相乘。这种方法对于除 以常数特别适用。另一种方法是使用条件减法SUBC指令，加上重复指令 RPT #15，重复16次减法完成无符号数除法运算。两种不同情况下的除法 程序。
定点数的基本算术运算
1 加法、减法和乘法运算
1．定点DSP中数据表示方法 ● 定点DSP芯片的数值表示是基于2的补码表示形式。数的定标有Q表示法和S表示法，表7-10列出
了16位数的16种Q表示和S表示，以及它们所能表示的十进制数范围。16位中有一个符号位、Q 个小数位和15-Q个整数位来表示一个数。
1．|被除数|<|除数|，商为小数 2．|被除数|≥|除数|，商为整数
返回本节
4．Q15定点小数乘法运算
● 两个16位整数相乘，乘积总是“向左增长”，这就意味着多次相乘后乘积将会很快超出定点器件 的数据范围。而且要将32位乘积保存到数据存储器，就要耗费两个机器周期以及两个字的程序和 RAM单元。然而，两个Q15的小数相乘，乘积总是“向右增长”，这就意味着超出定点器件数据 范围的将是不太感兴趣的部分。
3．16位定点整数乘法
● C54x中提供了大量的乘法运算指令，其结果都是32位，放在累加器A或 B中。乘数在C54x的乘法指令中很灵活，可以是T寄存器、立即数、存 储单元和累加器A或B的高16位。在C54x中，一般对数据的处理都当做 有符号数，如果是无符号数相乘，使用MPYU指令，这是一条专门用于 无符号数乘法运算的指令，其他指令都是有符号数的乘法。
定点数的四则运算
定点数的四则运算定点数的四则运算是数学中非常基础和常见的运算方法。
通过加法、减法、乘法和除法四种运算，可以实现对定点数的精确计算和处理。
我们来介绍加法运算。
加法是将两个定点数相加，得到它们的和。
例如，对于定点数3和5，它们的和为8。
加法运算可以用“+”符号表示。
在计算机中，加法运算可以通过二进制的位运算来实现。
接下来，我们来介绍减法运算。
减法是将一个定点数减去另一个定点数，得到它们的差。
例如，对于定点数10和7，它们的差为3。
减法运算可以用“-”符号表示。
在计算机中，减法运算可以通过加法运算的逆运算来实现。
然后，我们来介绍乘法运算。
乘法是将两个定点数相乘，得到它们的积。
例如，对于定点数2和4，它们的积为8。
乘法运算可以用“×”符号表示。
在计算机中，乘法运算可以通过位移、加法和减法等操作来实现。
我们来介绍除法运算。
除法是将一个定点数除以另一个定点数，得到它们的商。
例如，对于定点数20和5，它们的商为4。
除法运算可以用“÷”符号表示。
在计算机中，除法运算可以通过位移、加法和减法等操作来实现。
除了基本的四则运算外，还有一些特殊的运算方式。
例如，取模运算是将一个定点数除以另一个定点数，得到它们的余数。
例如，对于定点数7和3，它们的余数为1。
取模运算可以用“%”符号表示。
还有一种常见的运算是乘方运算。
乘方运算是将一个定点数自乘若干次，得到它的幂。
例如，对于定点数2，它的2次幂为4。
乘方运算可以用“^”符号表示。
在进行定点数的四则运算时，需要注意运算的顺序和优先级。
一般来说，乘法和除法的优先级高于加法和减法。
如果有括号的话，需要先计算括号内的运算。
定点数的四则运算是数学中非常基础和常见的运算方法。
通过加法、减法、乘法和除法四种运算，可以实现对定点数的精确计算和处理。
在进行运算时，需要注意运算的顺序和优先级，以及运算符号的正确使用。
通过灵活运用四则运算，我们可以解决各种实际问题，提高计算效率和准确性。
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-|Y|
1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 R<0,商0
11 00011010←1 Nhomakorabea+0 0 1 1 1 0 11 11111010 0 11 11110100
+0 0 1 1 1 0 00 11010100 1
+|Y| R<0,商0
←1
+|Y| R>0,商1
最后一步, 若 余数R<0,还要 加Y恢复余数 7
❖ 原码加减交替法的运算规则可归纳如下：
1）若余数≥0，上商“1”，余数左移一位，减除数；
2）若余数＜0，上商“0”，余数左移一位，加除数。
4
❖ 例：已知被除数X=-0.10001011，除数 Y=+0.1110,用加减交替法求商。
❖ 解：
商符=10=1 除数的相反数： [- Y]补 =11.0010
原码加减交余替数法运算电路余数/商
除数
8
4.4.3 阵列除法器
❖ 当P=0，实现X+Y； ❖ 当P=1，实现X+Y，配合Ci
进位实现减法。
❖ 恰好与原码除法相对应：
›上商0，加Y； ›上商1，减Y。
用异或门实现 可控取反： y 0 = y y1=y
10
0 0 y1 x1 y2 x2 y3 x3
2
恢复余数法
❖ 手算中，上商0还是1，实际上是经过比较的。 ❖ 对于机算，余数左移后，先试商1，减去Y，
得到新余数。若够减（余数为正），则商确 定为1；若不够减（余数为负），则商应改为 0，并加上Y以恢复原来的余数。 ❖ 缺点：操作步骤不固定，控制逻辑复杂。
3
加减交替法（不恢复余数法）
❖ 规则：
❖补码加减 ❖因为运算过程中有左移，需采用双符号位。
∴[商]原=1.1001，余数=0.1101×2-4
5
符|X号|=位00.10001余0数11, |Y|=00商.1110, [-Y]补 =操11作.0010
00 10001011 +11 0010
初始值：被除数X +[-Y]补（手算是试商，机算先做一次减）
先减再判断，若不够减（余数为负） ，这一步先不恢复余数，下一 步改成加除数Y。
❖ 推导：
余数左移后，先减：2Ri-1 –Y 若够减，即Ri = 2Ri-1 –Y >0，则上商qi=1。下一步做Ri+1 = 2Ri –Y 若不够减，即Ri = 2Ri-1 –Y <0，上商qi=0。
若恢复余数Ri’ = Ri＋Y， 下一步新余数Ri＋1 = 2Ri’ –Y = 2(Ri＋Y) –Y = 2Ri +Y， 即下一步余数左移，再加Y。
1
0
∑
∑
∑
∑
x4
∑
∑
∑
∑
x5
∑
∑
∑
∑
∑
q0 = 0 q1
q2
q3 r3
r4
∑
x6
∑
∑
r5
r6
11
4.4.2 补码除法运算
补码不恢复余数除法的运算规则： 1.被除数与除数同号，则被除数减去除数；被
除数与除数异号，则被除数加上除数。 2.若所得余数与除数同号，则上商1，余数左移
一位减去除数；若所得余数与除数异号，则 上商0，余数左移一位加上除数。 3.重复第2步，若采用末位恒置1法，则共做n次 （n为除数补码包括符号位的位数）。 4.商的符号位与数值位均在运算中产生。 13
0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 ←1 +11 0010
1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 未位恒置1
∴[商]补=1.0111
R = -0.1101×2－4
❖ 作业
4.12（2）
16
6
❖∴[商]原=1.1001，余数=0.1101×2-4
符号位
被除数(余数) 商
操作
0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 商的符号位，清0
01 00010110
←1
+1 1 0 0 1 0
-|Y|
0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 R>0,商1
00 01101101
←1
+1 1 0 0 1 0
手算除法的例子
0.1 1 0 1 1101)1011
0000
R0 --1 0 1 1 0
1101
R1 = 2R0-q1Y
10010 1101
R2 = 2R1-q2Y
01010 0000
R3 = 2R2-q3Y
10100 1101
R4 = 2R3-q4Y
0111
R4 = 0.0111×2-4
中间余数递推公式：Ri+1 = 2Ri – qi+1 Y
例： 例：已知[X]补=1.01110101,[Y]补=0.1110,用补码
除法求[X/Y]补 解：[-Y]补=1.0010
14
符号 被除数
商 操作
1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 X,Y异号
+00 1110
+[Y]补
0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 R1与Y同号，商1
0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 ←1
4.4.1 原码除法运算
❖ 符号、数值分别运算。 ❖ 商的符号：Qf = Xf Yf，余数符号：Rf = Xf ❖ 商的数值部分：
|Q| = |X| / |Y| … |R|
❖ 手算除法的例子:
被除数X=－101.011011，10除11数Y=+0.1101 手算（转为整数）
1
q0 q1q2 q3 q4
1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 R<0,商0 ∵|X|<|Y|,必然 R<0
11 01010110
←1
+00 1110
+Y
这一步+Y也是必然的
0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 R>0,商1
这两步先减Y、商0，再加Y，都是固定的。可以合并为一步： (X-Y)*2+Y = 2X – 2Y + Y = 2X –Y, 即合并为先左移，再减Y. 第一次商0，是符号。
+11 0010
+[-Y]补
1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 R2与Y异号，商0
1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 ←1
+00 1110
+[Y]补
0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 R3与Y同号,商1
0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 ←1
+11 0010
+[-Y]补
0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 R3与Y同号,商1