趣味“海盗分宝石”问题的数学建模

【 关键词】 数 学建模 ； 逆推归纳法 ； 博 弈论
近年来 大学生数 学建 模在 国 内发 展非 常迅 速 ， 国家对 大学生数学建模也越来越重视 ． 主要 的数学建模赛 事有 ： 全 国大学 生数学建模竞赛 、 数学 中国数学 建模 网络 挑战赛 、 美 国大学生数学建 模竞赛 等 ， 地 区赛 有华 中赛 、 华 东赛 、 东北
９ ７ 个；
分析 ： 如果 ２号死 了 ， ３号 的分 配方 案 就可 以获得 ９ ９ 个， 所 以 ２号 的分配方案干脆给 ３号 ０个 ， 给 ５号 １个 ， ４号 ２个 ， 如果 ４号 ５ 号 不同意 ， ２号死掉 ， 他们 两个获得 的分配
数量都会减少． １ 号 分 配 方案 Ａ ｌ ： ５号 ２个 ； ４号 ０个 ； ３号 １ 个； ２号 ０ 个； １ 号９ ７个 ；
一
、
在 自己利益最大 的情况下不会危及别人生命． （ 三） 符号说 明 ｉ 表示五个人 的编号 ， ｉ ＝１ ， ２ ， ３ ， ４ ， ５ ． Ａ ｉ 表示第 ｉ 个人提出 的最优方案． （ 四） 模型建立与求解 对 于这个 问题 ， 我们可以建立逆推归 纳法 的模 型 ， 也 就 是从第 ５号开始考虑 ， 先分析 如果轮到第 ５号做决 定 ， 他 会 做 出怎样 的决定 ， 依次倒推到第 １号的决定 ． 具体过程如下 ： ５号 分 配 方 案 Ａ ５： ５ 号 １ ０ ０个 ． ４号分配方案 Ａ ４ ： ５号 １ ０ ０个 ； ４号 ０个． 分析： ４号 一个都不 能要 ， 否则 ５号不 同意 ， ４号 自己 同 意 自己的决定 ， 只达到半数的人同意 ， 没有超过半数 ， 所以５ 号不 同意 ， ４号 就 会 死 掉 ． 而 ４号 一 旦 死 掉 ， 只 剩 下 ５号 一 人， 就 可 以获 得 １ ０ ０个 ． ３号 分 配 方 案 Ａ ３ ： ５号 ０个 ； ４号 １ 个； ３号 ９ ９个 ； 分析 ： 如果 １号和 ２号已经死 掉 ， 一旦 ３号也死 掉 ， ５号 就可以获得 １ ０ ０个宝石 ， 所以无论 ３号给 ５号 多少宝石 ， 他 都不会答应 ， 所以干脆给 ５号 ０个 ， 给 ４号 １ 个， 因为如果 ４ 号不同意 ， 那么 ３号死掉 ， ４号分配将一个也得不到． ２号分 配方 案 Ａ ２ ： ５号 １个 ； ４号 ２个 ； ３号 ０个 ； ２号
２ ． 假设 五个人之 间没有恩怨互不认识 ， 没有交流 ； ３ ． 假设 五个人考 虑 问题优 先考 虑保 住性 命 ， 然后 次要 利 益最 大化 ； ４ ． 假设 五个 人都严格遵 守游戏规则 ， 不存 在暴力行 为 ，
●
专 题 研 究
鼯 ●
・
鞭・
●
Байду номын сангаас
趣醵‘ ‘ ‘ 瀛 翁囊 ’ 题鳓 攀建禳
◎孙 慧 （ 西南交通大学希望学院 ， 四川 成都 ６ １ ０ ４ ０ ０ ）
【 摘要】 文章介 绍 了数 学建模 的一般赛 事 ， 介 绍 了什 么
是数学建模 以及 数 学建模 比赛 的形式 ， 通过 一个 经典 博 弈 论 的小问题 ， 介绍 了数学建模论文 的一般格 式和 步骤 ， 使用 逆推归纳法 ， 求解 出了这个经典博 弈论 问题 的结果 ， 并给 出 完整的解决 方案． 最后 总结给 出数学建模写作 的一般 思路．
赛、 苏北赛等． 我校 近几年在全 国大学生数学 建模 中也 取得
了多次 国家奖的好成绩 ． 数学建模的概念 、 比赛 的形 式 数学建 模是 指 ： 面对实 际 问题 ， 人们 在深 入调 查研 究 、 了解对 象信 息 、 做 出简化假设 、 分 析 内在规律 等工作 的基础 上， 用数学 的符号 和语 言作 表述 ， 也 就是 建立 数学 模型 ， 然 后用通过计 算得到 的结果 来解释 实 际问题 ， 并接 受实 际 的 检验． 这 个 建 立 数 学 模 型 的全 过 程 就 称 为 数 学 建 模 ． 数学建模竞赛是针 对全体 大学 生 的 ， 要 求学 生不 仅仅 要数学好 ， 对其他专业课 的学 习也 要求很多 ， 最重要 的是考 查学生的 自学能力和吃苦耐劳 、 团队合作能力 ． 参加数学建模竞赛 ， 一般要求 最多三个人 为一个 组 ， 比 赛地点没有限制 ， 比赛条件要求 就是一 台可 以上 网的电脑 ， 比赛时间是 三天 ， 三天 内参赛 队员可 以 自己查 阅各种 书籍 资 料， 但不可以和 队员 以外的其他 人进行交 流． 每个 大赛 的参 赛时间都是不一样 的， 比如五一建模竞赛是在每年 的五一放 假三天内 ， 全国大学 生数学建模 竞赛是在 每年 的九月份 等． 数学建模竞赛的题 目和最终论文的提交都是在 网上进行 ． 二、 举例子说明对于数学建模 论文的一般格式和要求 以趣味海盗分宝石 问题为例． （ 一） 问题重述 ５名海盗抢到 了 １ ０ ０块金 币 ， 他们准备采用 以下方 法分 赃． 抽 签为每人确定 ｌ 、 ２ 、 ３ 、 ４ 、 ５这 五个不 同的序号 ， 先 由抽 到 １的人提 出 自己的分 赃方案 ， 如 果他 的方案 被超 过一 半 人赞 同 ， 就按照他的意见分赃 ； 如果 他的意见 没有得 到过半 数人赞 同， 他将被扔进大海去喂鲨鱼． 当海 盗 １被投入 大海 之后 ， 由序号 ２重新 制定 分赃 方案． 如果海盗 ２的方案 在现 有海盗 中超 过半数 同意便执行 ， 否则 也将 海盗 ２投 入大海 ． 以此类推 ． 假定这 五个海盗都是 高智 商且极其贪财 的． 试问海盗 １ 会制定 出怎样 的分赃方案 ， 以使 自己免于葬身鱼腹． （ 二） 模型假设 １ ． 假设 五个人都 是非 常聪 明 的人 ， 都可 以分 得清利 害 关系；