选修4-4(1.1)平面直角坐标系
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)
的
作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称 φ 为平面 直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
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[例1]
(2012· 湖北高考改编)设A是单位圆x2＋y2＝1上
的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直m>0，且 m≠1)．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C. 求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其
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因为 m∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以 当 0<m<1 时，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(－ 1－m2，0)，( 1－m2，0)； 当 m>1 时，曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0，－ m2－1)，(0， m2－1)．
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求轨迹的常用方法 (1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者
① ②
①2－2②；得 a2＝2b＋1. π π ∵|θ|≤ ，由 sin θ＋cos θ＝ 2sin(θ＋ )， 4 4 知 0≤a≤ 2. 1 1 由 sin θ· θ＝ sin 2θ，知|b|≤ . cos 2 2 ∴P(a，b)的轨迹方程是 a2＝2b＋1(0≤a≤ 2)．
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2．△ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，求A点
则直线AC的方程为 返回
h y＝－ a x＋h， 即：hx＋ay－ah＝0. h 直线 AB 的方程为 y＝a x＋h， 即：hx－ay＋ah＝0. |2ah| 由点到直线的距离公式：得|BD|＝ 2 2， a ＋h |2ah| |CE|＝ 2 2. a ＋h ∴|BD|＝|CE|，即 BD＝CE.
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焦点坐标．
[思路点拨] 解． 设出点M的坐标(x，y)，直接利用条件求
平面直角坐标系
D
E
120m
C
60 3m
45o 50m 60o A) 60m B A(O
x
二、极坐标系 极坐标(,)与(,＋2k)(k∈Z)表示 同一个点.特别地，极点O的坐标为(0,) ( ∈R).和直角坐标不同，平面内一个 点的极坐标有无数种表示. 如果规定＞0，0≤＜2，那么除 极点外，平面内的点可用惟一的极坐标 (,)表示；同时，极坐标表示的点(,) 也是惟一确定的.
x x ② y 3 y 我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个标伸长变换.
问题3：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? y 在正弦曲线y=sinx上任取一 点P(x, y)，保持纵坐标不变， 将横坐标x缩为原来的1/2; O x 在此基础上，将纵坐标变为原来的 3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x. 即在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，若设点 P(x,y)经变换得到点为P’(x’, y’)，坐标对应关系 为: 1
5 6
2 3
2
B
A
3
6
2
5 6
2 3
2
3
E
B A D
6
2
7 6
7 6
4 3
C
3 2
5 3
11 6
4 3
C
F
3 2
5 3
11 6
例2、在图中，用点A，B，C，D，E
分别表示教学楼，体育馆，图书馆， 实验楼，办公楼的位置.建立适当的 极坐标系，写出各点的极坐标.
∵点M的直角坐标为 (1,
3)
y
M (1, 3)
θ
高二数学之人教版高中数学选修4-4课件：1
2.四边形ABCD为矩形,P为矩形ABCD所在平面内的任意 一点,求证:PA2+PC2=PB2+PD2.
【证明】如图所示, 以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在 直线为y轴,建立平面直角坐标系,设 A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),P(x,y), 则PA2=x2+y2,PB2=(x-a)2+y2, PC2=(x-a)2+(y-b)2,PD2=x2+(y-b)2.
x ＝ 2 0 1 6 x ， 2与.直将线曲x线=0y,=xs=iπn(,2y0=106围x)成按图φ形: 的y ＝面12 积y 为__变__换__后__的.曲线
【解析】设曲线y=sin(2016x)上任意一点的坐标为 P(x,y),按φ变换后的对应点的坐标为P′(x′,y′),
由代入φy: =xys＝ ＝ in212(0y2106x1， 6得 x),xy得＝ ＝222yy01， ′1=6xsi， nx′,所以y′=
2.伸缩变换的类型与特点 伸缩变换包括点的伸缩变换,以及曲线的伸缩变换,曲 线经过伸缩变换对应的曲线方程就会变化,通过伸缩变 换可以领会曲线与方程之间的数形转化与联系. 特别提醒:实数与数轴上的点是一一对应的,所以一个 实数就能确定数轴上一个点的位置.
类型一 坐标法求轨迹方程 【典例】已知△ABC的边AB长为2a,若BC的中线为定长m, 求顶点C的轨迹方程.
【解析】曲线x2+y2=1经过φ:x 3 x变, 换后,
即
x
代x3 ，入到圆的方程,可得
即所பைடு நூலகம்y 求 新y4 ， 曲线的方程为
y
4y
x2 y2 1， 9 16
1.1《平面直角坐标系》 课件(人教A版选修4-4)
【解析】（1）设曲线方程为 y=ax 2 +
7
64 , 7
因点D（8，0）在抛物线上，∴ a=- 1 , ∴曲线方程为 y=- 1 x 2 + 64 .
7 7
y=y
μ≠1,
∴x=y=0,即P(0,0)为所求.
答案：（0，0）
9.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风 中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则 城市B处于危险区内的时间为_______.
【解析】以A为坐标原点，AB所 在直线为x轴，建立平面直角坐
3.在同一平面直角坐标系中，将曲线y=2sin3x变为曲线 y=sinx的伸缩变换是( )
x=3x 1 =sin3x，令 【解析】选C.由曲线y=2sin3x，得 y 1 ， 2 y= 2 y
得y′=sinx′，即y=sinx.
1 x = x 4.若点P(-2 009,2 010)经过伸缩变换 2 010 后所得的 y= 1 y 2 009
20
答案：1 h
三、解答题（共40分） 10.（12分）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=2sin3x?
【解析】设P(x,y)为正弦曲线y=sinx上任意一点,保持横坐标
x不变,将纵坐标伸长到原来的2倍,得到曲线y=2sinx,在此基 础上将横坐标缩小到原来的 1 ,得到曲线y=2sin3x.
缩短到原来的 1 ,得到的曲线方程为(
3
)
(A)F（ x ,3y）=0
2
(B)F(2x, y )=0
3
(C)F(3x, y )=0
2
(D)F( x ,2y)=0
3
【解析】
1.1《平面直角坐标系》 课件(人教A版选修4-4)
周期为( (A)
2
)
(B)π
(C)2π
（D）3π
1 x = x， 【解析】选B.由 2 得 y=3y.
x=2x, 代入曲线y=sinx，得 1 y= 3 y.
y′=3sin2x′，即y=3sin2x，故周期为π.
6.将曲线F(x,y)=0上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标
标系，则B(40,0)，以点B为圆
心，30为半径的圆的方程为 (x-40)2+y2=302,台风中心移动 到圆B内时，城市B处于危险区， 台风中心移动的轨迹为直线y=x，与圆B相交于点M、N,点B到
直线y=x的距离 d= 40 =20 2, 求得|MN|= 2 302 -d 2 =20 (km),
2
【解析】（1）设曲线方程为 y=ax 2 +
7
64 , 7
因点D（8，0）在抛物线上，∴ a=- 1 , ∴曲线方程为 y=- 1 x 2 + 64 .
7 7
∴ |MN| =1，所以城市B处于危险区的时间为1 h .
20
答案：1 h
三、解答题（共40分） 10.（12分）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=2sin3x?
【解析】设P(x,y)为正弦曲线y=sinx上任意一点,保持横坐标
x不变,将纵坐标伸长到原来的2倍,得到曲线y=2sinx,在此基 础上将横坐标缩小到原来的 1 ,得到曲线y=2sin3x.
3.在同一平面直角坐标系中，将曲线y=2sin3x变为曲线 y=sinx的伸缩变换是( )
x=3x 1 =sin3x，令 【解析】选C.由曲线y=2sin3x，得 y 1 ， 2 y= 2 y
得y′=sinx′，即y=sinx.
最新人教版高中数学选修4-4《平面直角坐标系》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一,平面直角坐标系1.平面直角坐标系的建立在生产,生活或科技中有很多问题都是可以通过坐标系来分析解决的.解决问题的过程中,有两种情况：（1）所研究的问题中已经有坐标系，此时在给定的坐标系中求出方程即可；（2）条件中无坐标系，这时必须首先选取适当坐标系，通常总是选取特殊位置的点为原点，相互垂直的直线为坐标轴等.某地发生严重的地震灾害,各地群众纷纷捐款捐物,救灾物资分批到达.但是,有些地方因为环境很恶劣,物资不能直接送达,就派送一架飞机在1000米高的上空正对目的地以100千米/时的速度做水平飞行，那么飞机应在离目的地水平距离大约多少米处抛下救灾物资,使物资能落到目的地呢？物资落下的路线是一条抛物线.物资下落的过程可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动.当将此抛物线放到一个合适的坐标系中解决时,就会很容易得到飞机应在离目的地水平距离400米处抛下这批救灾物资.2.求轨迹方程的一般步骤.(1)分析曲线的特征,揭示隐含条件;(2)找出曲线上与任意点有关的位置关系和满足的几何条件;(3)列出方程.方法点拨 求圆锥曲线方程的常用方法:定义法、待定系数法、直接法、代入法、参数法、几何法等.关键是数形结合，建立等量关系.二、平面直角坐标系中的伸缩变换以函数y=Asin(ωx+φ)的图象的形成过程为例，研究在平面直角坐标系中伸缩变换作用下的图形的变化情况.函数y=sinωx,x ∈R （其中ω>0,ω≠1）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的ω1倍（纵坐标不变）而得到.平面直角坐标系中的伸缩变换可认为是一个坐标伸缩过程,即保持纵坐标不变，将x 轴进行压缩或伸长.函数y=Asinx,x ∈R （其中A>0,ω≠1）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（当A ＞1时）或缩短（当0＜A ＜1时）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到.平面直角坐标系中的伸缩变换可认为是一个坐标伸缩过程,即保持横坐标不变，将y 轴进行压缩或伸长.深化升华 正弦曲线经过这两种变换后，所得到图形的形状是完全相同的.平面直角坐标系中的伸缩变换只是从说法上有所不同，本质上是一样的.应该注意到：通过一个表达式，平面直角坐标系中的坐标伸缩变换将x 与y 的伸缩变换统一成了一个式子,即⎩⎨⎧>∙='>∙='.0,,0,μμλλy y x x 如果不改变坐标轴的方向和长度单位，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴.设原坐标系为xOy ，平移后新坐标系为x′O′y′，新坐标系的坐标原点在原坐标系中的坐标是O′(h,k)，在坐标平面内的任意一点，都有两个坐标，它们有如下平移公式⎩⎨⎧-='-='.,k y y h x x 在新旧坐标变换和方程变换时，可选择使用.问题·探究问题1 究竟以什么样的方法建立平面直角坐标系，才能够使方程最为简单呢？在建立坐标系的过程中我们应该注意什么呢？探究:建立坐标系的规律：（1）当题目中有两条互相垂直的直线,以这两条直线为坐标轴;（2）当题目中有对称图形，以对称图形的对称轴为坐标轴;（3）当题目中有已知长度的线段,以线段所在直线为横轴，以端点或中点为原点,使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上. 直角坐标系建立完后，需仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件.如:已知动点P 与两定点A 、B 的距离的平方和为122，|AB|=10,求动点P 的轨迹方程.要使AB 在x 轴上，以AB 的中点为原点建立坐标系.再如:已知线段AB 的长为3，平面上一动点M 到定点A 的距离是到定点B 距离的两倍，求动点的轨迹方程.注意到动点M 运动到线段AB 上时，有|AM|=2|MB|，点M 恰为线段AB 的一个三等分点，故考虑以这个三等分点为坐标原点建立直角坐标系.再如:在相距1 400米的A 、B 两个哨所，听到炮弹爆炸的时间相差3秒，已知声速是340米/秒，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上？它是怎样建立直角坐标系的呢？以A 、B 两个哨所所在的直线为x 轴，AB 的中点为坐标原点，建立直角坐标系.问题2 在伸缩变换下,椭圆能否变成圆?抛物线和双曲线能变成什么曲线?探究:圆锥曲线之间的图象关系.在一定的伸缩变换规律下椭圆能够变成圆,而双曲线与抛物线仍然是双曲线和抛物线.如:能把椭圆4)1(9)1(22-++y x =1变为中心在原点的单位圆吗? 先经过平移变换⎩⎨⎧-='+='.1,1y y x x 把椭圆变为4922y x '+'=1,再通过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'='''='',2,3y y x x 把此椭圆 变为单位圆x″2+y″2=1.上述两种变换可合成一个变换为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=''+='',21,31y y x x .按照这个道理,按照变换⎩⎨⎧>∙='>∙='.0,,0,μμλλy y x x 对于双曲线和抛物线的方程,不管进行什么样的伸缩变换（当然,把图象伸缩的无限大,或者无限小的极限位置排除在外）之后,方程特点仍然没有变,抛物线方程的二次项和一次项都没有变,双曲线的两个二次项仍然是二次项,这两个二次项之间的减号也没有变;从另外一个角度来说,把它们的图象进行压缩时,图象特点是没有变的,压缩后的图象仍然是抛物线型和双曲线型的,所以它们的图象是没有变化的,仍然是双曲线和抛物线.典题·热题例1如图1-1-2，圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|=4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PM=2PN,试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.图1-1-2思路分析：本题利用数形结合思想、勾股定理、两点间距离公式等相关知识点，及分析推理、计算化简技能、技巧等，是一道很综合的题目.由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式PM=2PN ，即(PM)2=2(PN)2，结合图形由勾股定理转化为PO 12-1=2(PO 22-1)，设P(x ，y),由距离公式写出代数关系式，化简整理可得.图1-1-3解：如图1-1-3，以直线O 1O 2为x 轴，线段O 1O 2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为O 1(-2,0),O 2(2,0).设P(x,y)，则PM 2=PO 12-MO 12=(x+2)2+y 2-1.同理,PN 2=(x-2)2+y 2-1.∵PM=2PN ，∴(x+2)2+y 2-1=2［(x-2)2+y 2-1］，即x 2-12x+y 2+3=0，即(x-6)2+y 2=33,这就是动点P 的轨迹方程.深化升华 在求轨迹方程时,首先能够建立一个适当的坐标系.同一几何图形的方程在不同坐标系中具有不同的形式.选择适当的坐标系可以使表示图形的方程具有更方便的形式. 例2设有半径为3 km 的圆形村落，A 、B 两人同时从村落中心出发，B 向北直行，A 先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B 相遇.设A 、B 两人速度一定，其速度比为3∶1，问两人在何处相遇？思路分析：因为A 、B 两人速度一定，其速度比为3∶1，可以先把其速度设出来.在这个问题中的关键是：路程之间的关系满足勾股定理，根据它可以建立一个关系式.解：如图1-1-4建立平面直角坐标系，由题意可设A 、B 两人速度分别为3v 千米/时，v 千米/时，再设出发x 0小时，在点P 改变方向，又经过y 0小时，在点Q 处与B 相遇,图1-1-4则P 、Q 两点坐标为(3vx 0,0)，(0,vx 0+vy 0).由|OP|2+|OQ|2=|PQ|2,知(3vx 0)2+(vx 0+vy 0)2=(3vy 0)2，即(x 0+y 0)(5x 0-4y 0)=0.∵x 0+y 0>0,∴5x 0=4y 0①.将①代入k PQ =0003x y x +-，得k PQ =43-. 又已知PQ 与圆O 相切，直线PQ 在y 轴上的截距就是两人相遇的位置.设直线y=43-x+b 与圆O:x 2+y 2=9相切，则有2243|4|+b =3.∴b=415. 答：A 、B 两人的相遇点在离村中心正北433千米处. 方法归纳 在实际问题中能够根据已知条件合理地建立坐标系是个很关键的问题.本题当中,注意到村落为圆形，且A 、B 两人同时从村落中心出发分别沿东、北方向运动，于是可设想以村落的中心为圆点，以开始时A 、B 的前进方向为x 、y 轴，建立直角坐标系. 例3已知f 1(x)=cosx,f 2(x)=cosωx(ω>0),f 2(x)的图象可以看作是把f 1(x)的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的31倍（纵坐标不变）而得到的，则ω为( ) A.21 B.2 C.3 D.31 思路解析：函数y=cosωx,x ∈R （其中ω>0,ω≠1）的图象，可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的ω1倍（纵坐标不变）而得到.答案：C误区警示 规律容易记错，认为函数y=cosωx,x ∈R （其中ω>0,ω≠1）的图象，可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标伸长（当ω>1时）或缩短（当0<ω<1时）到原来的ω1倍（纵坐标不变）而得到,这是错误的认识.例4在同一平面直角坐标系中，将直线x-2y=2变成直线2x′-y′=4，求满足图象变换的伸缩变换.思路分析：设变换为⎩⎨⎧>∙='>∙=').0(),0(μμλλy y x x 可将其代入第二个方程，得2λx -μy=4.与x-2y=2比较，将其变成2x-4y=4，比较系数得λ=1,μ=4.解：设⎩⎨⎧∙='='.4,y y x x .直线x-2y=2图象上所有点的横坐标不变,纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x′-y′=4.拓展延伸 求满足图象变换的伸缩变换，实际上是求其变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的直线方程，然后比较系数就可以了.若将已知条件换成:将直线2x-y=4变成x′-2y′=2,如何求满足图象变换的伸缩变换呢? 解：设变换为⎩⎨⎧>∙='>∙=').0(),0(μμλλy y x x 可将其代入第二个方程，得λx -2μy=2，与2x-y=4比较，将λx -2μy=2变成2λx -4μy=4，比较系数得λ=1,μ=41.。
高中数学选修4-4知识点(坐标系与参数方程)
这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引 入参数，也可把普通方程化为参数方程． 2．圆的参数方程
1．圆心在坐标原点，半径为 r 的圆的参数方程 如图圆 O 与 x 轴正半轴交点 M0(r，0)．
α α (t
为参数)
称为直线参数方程的标准形式，此时的参数 t 有明确的几何意义．
一般地，过点 M0(x0，y0)，斜率 k＝ba(a，b 为常数)的直线，参数方程为xy＝ ＝xy00＋ ＋abtt(t 为参
数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数 t 不具有标准式中参数的几何意义． 四 渐开线与摆线（了解）
x＝rsin φcos θ (2)空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换公式为y＝rsin φsin θ ．
z＝rcos φ
第二讲：
第4页
一 曲线的参数方程
1．参数方程的概念 1．参数方程的概念
(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变
2．参数方程与普通方程的区别与联系 (1)区别：普通方程 F(x，y)＝0，直接给出了曲线上点的坐标 x，y 之间的关系，它含有
x，y 两个变量；参数方程xy＝ ＝fg（（tt））(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标 x，y 之间的关系，
它含有三个变量 t，x，y，其中 x 和 y 都是参数 t 的函数． (2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一
就可得到普通方程． (3)普通方程化参数方程，首先确定变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t)，
1.1《平面直角坐标系》 课件(人教A版选修4-4)
8.平面直角坐标系中，在伸缩变换φ : 下仍是其本身的点为_______.
x=x ( 0, 1)
y=y ( 0, 1)
作用
【解析】设P（x,y）在伸缩变换φ： x=x ( 0) 作用下得到 y=y ( 0)
P′(λx,μy)，依题意得 x=x , 其中λ＞0,μ＞0,λ≠1，
【解析】（1）设曲线方程为 y=ax 2 +
7
64 , 7
因点D（8，0）在抛物线上，∴ a=- 1 , ∴曲线方程为 y=- 1 x 2 + 64 .
7 7
2.动点P到直线x+y-4=0的距离等于它到点M（2，2）的距离， 则点P的轨迹是( )
（A）直线（C）双曲线 Nhomakorabea（B）椭圆
（D）抛物线
【解析】选A.由于点M（2，2）在直线x+y-4=0上，而|PM|等 于P到直线x+y-4=0的距离，所以动点P的轨迹为过点M垂直于 直线x+y-4=0的直线.
缩短到原来的 1 ,得到的曲线方程为(
3
)
(A)F（ x ,3y）=0
2
(B)F(2x, y )=0
3
(C)F(3x, y )=0
2
(D)F( x ,2y)=0
3
【解析】
二、填空题（每小题8分，共24分） 7.点A(2,-3),B(-1,1)之间的距离为_______. 【解析】由两点间的距离公式得|AB| = [2-(-1)]2 +(-3-1) 2 =5. 答案：5
标系，则B(40,0)，以点B为圆
心，30为半径的圆的方程为 (x-40)2+y2=302,台风中心移动 到圆B内时，城市B处于危险区， 台风中心移动的轨迹为直线y=x，与圆B相交于点M、N,点B到
2014年人教A版选修4-4课件 1.平面直角坐标系
问题2. 上述思考充分体现了坐标法的思想. 其结 果有如下的两种表述, 各种表述由哪几个元素确定? 你认为各种表述有什么意义? 表述 1: 巨响位于 P(-680 5, 680 5 ) 处. 表述 2: 巨响位于信息中心北偏西45, 相距信息 中心 680 10 米处. 表述 1 用 x、y 的坐标这两个元素确定位置. 表述 2 用相对于信息中心的方位角和距离这两个 元素确定位置. 表述 1 便于书面和图纸上的标注. 这样的表述在 语言的传递中缺了坐标系, 点的坐标就显得无意义. 表述 2 便于语言传递和描述, 是相对于参照位置 的描述, 易于理解和想像.
O 设点 C 的坐标为 C (x, y), 由中点坐标求得 E ( x , y ), F ( c , 0). 2 2 2 由 b2+c2=5a2 得 |AC|2+|AB|2=5|BC|2, 代入坐标整理得 2x2+2y2+2c2-5cx=0. (A) F B x
O F B 设点 C 的坐标为 C (x, y), 2+c2=5a2, y x c 例 1. 已知△ ABC 的三边 a , b , 满足 b 由中点坐标求得 E ( , ), F ( , 0). 2 上的中线 2 2, 建立适当的平 BE, CE 分别为边 AC , AB 由 b2+c2=5a2 得 |AC|2+|AB|2=5|BC|2, 面直角坐标系探究 BE 与 CF 的位置关系. 代入坐标整理得 解: 以△ ABC 的顶点 A= 为原点 , AB 所在直线 2+2y2 2x +2c2-5cx 0. y 为 x 轴, 建立平面直角坐标系 . x y C BE = ( - c, ), 2 2 则各点的坐标为 c E CF = ( x , y ), A(0, 0), B(c, 20), 2 y x c O(A) F B x 则 BE CF = ( - c )((xx )设点 C 的坐标为 C , y ), 2 2 2 y2 x c 1 2 2 由中点坐标求得 E F ).) = 0, = - (2 x( 2 +,2 2 y ), +2 c(2 - ,50 cx 4 2+c2=5a2 得 |AC|2+|AB|2=5|BC|2, 由 b ∴BF 与 CE 互相垂直. 代入坐标整理得 (请同学们用斜率试一试) 2x2+2y2+2c2-5cx=0.
高中数学选修4-4第一讲坐标系1.1平面直角坐标系
得9x -9y =9 即x -y =1
2
2
课堂小结：
（1）体会坐标法的思想，应用坐标 法解决几何问题； （2）掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换。
xxz
根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则： （1）如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点；
（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
（3）使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。
二.平面直角坐标系中的伸缩变换
思考：
（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
1 x x 2 y y
1
通常把 1 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sinx?写出其坐标变换。 y y=3sinx
y=sinx 2
x
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出 其坐标变换。 在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变， 将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。 设点P（x,y）经变换得到点为 p x, y
为平面直角坐标系中的伸缩变换。
注 （1） 0, 0 （2）把图形看成点的运动轨迹，平面图 形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不 变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
例2：在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过 伸缩变换 x 2 x
1 x x 2 y 3 y
3
通常把 3 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸缩变换。
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点， 在变换 ( 0) x' x : 4 ( 0) y' y 的作用下，点P(x,y)对应 p x, y 称
(完整版)高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结
坐标系与参数方程 知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩g g 的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程曲线 图形 极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin (0)r ρθθπ≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
高中数学第一章坐标系1.1平面直角坐标系1.1.1平面直角
题型一 题型二 题型三
解:(1)设
������ ������
=
������,
得y=kx,所以
k
为过原点的直线的斜率.
又 x2+y2-4x+1=0 可化简为(x-2)2+y2=3,
它表示以(2,0)为圆心, 3为半径的圆,如图所示.
当直线 y=kx 与已知圆相切,且切点在第一象限时,k 最大,
此时,|CP|= 3, |������������| = 2,
(2)曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹,由此我们可借 助坐标系,研究曲线与方程间的关系.
名师点拨1.两点间的距离公式:在平面直角坐标系 中,P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点之间的距离公式为
|P1P2|= (������1-������2)2 + (������1-������2)2.
所以
-1 + 2������ < -3-������ < 0,
0,
即
������
<
1 2
,
������ > -3.
所以-3<m< 12.
答案:-3<m<
1 2
2.曲线与方程 在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程 f(x,y)=0的实数解建立了如下关系: (1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解; (2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上. 那么,方程f(x,y)=0叫作曲线C的方程,曲线C叫作方程f(x,y)=0的曲 线. 名师点拨求曲线的方程一般有以下五个步骤:(1)建立适当的平面 直角坐标系,并用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出适合条 件p的点M的集合p={M|P(M)};(3)用坐标表示条件p(M),写出方程 f(x,y)=0;(4)化简方程f(x,y)=0(必须等价);(5)证明以(4)中方程的解为 坐标的点都在曲线上.一般地,方程的变形过程若是等价的,则步骤 (5)可以省略.
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)
的
作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称 φ 为平面 直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
返回
[例1]
(2012· 湖北高考改编)设A是单位圆x2＋y2＝1上
的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴 的交点，点M在直线l上，且满足|DM|＝m|DA|(m>0，且 m≠1)．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C. 求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其
的轨迹方程．
解：取 B、C 所在直线为 x 轴，线段 BC 的中垂线为 y 轴，建立直角坐标系，则 D(0,0)，B(－2,0)，C(2,0)． 设 A(x，y)为所求轨迹上任意一点， 则|AD|＝ x2＋y2， 又|AD|＝3， ∴ x2＋y2＝3，即 x2＋y2＝9(y≠0)． ∴A 点的轨迹方程为 x2＋y2＝9(y≠0)
则直线AC的方程为 返回
h y＝－ a x＋h， 即：hx＋ay－ah＝0. h 直线 AB 的方程为 y＝a x＋h， 即：hx－ay＋ah＝0. |2ah| 由点到直线的距离公式：得|BD|＝ 2 2， a ＋h |2ah| |CE|＝ 2 2. a ＋h ∴|BD|＝|CE|，即 BD＝CE.
① ②
①2－2②；得 a2＝2b＋1. π π ∵|θ|≤ ，由 sin θ＋cos θ＝ 2sin(θ＋ )， 4 4 知 0≤a≤ 2. 1 1 由 sin θ· θ＝ sin 2θ，知|b|≤ . cos 2 2 ∴P(a，b)的轨迹方程是 a2＝2b＋1(0≤a≤ 2)．
返回
2．△ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，求A点
返回
[例2]
已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰
选修4-4第一讲-1平面直角坐标系及其伸缩变换习题课
5.在同一直角坐标标系中，经过伸缩换xy
3x后， y
曲线C变为曲线x2 9 y2 9,求曲线C的方程。
x2 y2 1
课本第8页
x x
(1)
y
4
y
(2)xy
2x 1y 2
小结：
建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系： （1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； （2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； （3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
即|AB|-|AC|=
1 2
a（定值）
（-
a ，B0) 2
A（x，y)
y
（a ，0) 2
Cx
由双曲线的定义，实轴
2a 1 a得a 1 a,半焦距c 1 a,
2
4
2
得b2 c2 a2 3 a2 16
轨迹方程为
例2:已知直线L1⊥直线L2,垂足为M,点N ∈L2,(如图)以A,B为端点 的曲线段C上任意一点到L1的距离与到N的距离相等.若ΔAMN为 锐角三角形,且|AM|=√17,|AN|=3,|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲 线段C的方程.
[思路分析]:坐标系的建立是本题的
突破口,由于L1⊥L2,故可选择它们 为坐标轴;也可以以线段MN的垂直
L1
y B
A
平分线为y轴.(哪一种更好呢?)由 M 题设可知曲线段C为抛物线的一部
N L2 x
分,L1为准线,N为焦点,很显然选择 标准方程y2=2px(p>0).下面的关键
是求出p的值,而ΔAMN为锐角三角
形及|BN|=6又起什么作用呢?请大
家认真思考.
例3:已知ΔABC底边BC的长为2a(a>0),又知tanBtanC=t(t≠0).(a,t均为
1.1《平面直角坐标系》 课件(人教A版选修4-4)
答案：1 h
三、解答题（共40分） 10.（12分）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=2sin3x?
【解析】设P(x,y)为正弦曲线y=sinx上任意一点,保持横坐标
x不变,将纵坐标伸长到原来的2倍,得到曲线y=2sinx,在此基 础上将横坐标缩小到原来的 1 ,得到曲线y=2sin3x.
器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称
轴，M（0，64 ）为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D
7
（8，0），观测点A（4，0），B（6，0）同时跟踪航天器.
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； （2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A，B测得离航天 器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
缩短到原来的 1 ,得到的曲线方程为(
3
)
(A)F（ x ,3y）=0
2
(B)F(2x, y )=03Biblioteka (C)F(3x, y )=0
2
(D)F( x ,2y)=0
3
【解析】
二、填空题（每小题8分，共24分） 7.点A(2,-3),B(-1,1)之间的距离为_______. 【解析】由两点间的距离公式得|AB| = [2-(-1)]2 +(-3-1) 2 =5. 答案：5
标系，则B(40,0)，以点B为圆
心，30为半径的圆的方程为 (x-40)2+y2=302,台风中心移动 到圆B内时，城市B处于危险区， 台风中心移动的轨迹为直线y=x，与圆B相交于点M、N,点B到
直线y=x的距离 d= 40 =20 2, 求得|MN|= 2 302 -d2 =20 (km),
2
∴ |MN| =1，所以城市B处于危险区的时间为1 h .
1.1《平面直角坐标系》 课件(人教A版选修4-4)
1.已知△ABC中,A(4,-3),B(5,-2),重
心G(2,-1),则点C的坐标为( （A）(-3,2) )
（B）(3,-2)
（C）(2,-3)
（D）(-2,3)
2 2
【解析】选A.设点C(x,y),线段AB的中点 D( 9 ,- 5 ) , 依题意得 GC=2DG ,
y=y
μ≠1,
∴x=y=0,即P(0,0)为所求.
答案：（0，0）
9.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风 中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则 城市B处于危险区内的时间为_______.
【解析】以A为坐标原点，AB所 在直线为x轴，建立平面直角坐
∴ |MN| =1，所以城市B处于危险区的题（共40分） 10.（12分）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=2sin3x?
【解析】设P(x,y)为正弦曲线y=sinx上任意一点,保持横坐标
x不变,将纵坐标伸长到原来的2倍,得到曲线y=2sinx,在此基 础上将横坐标缩小到原来的 1 ,得到曲线y=2sin3x.
【解析】（1）设曲线方程为 y=ax 2 +
7
64 , 7
因点D（8，0）在抛物线上，∴ a=- 1 , ∴曲线方程为 y=- 1 x 2 + 64 .
7 7
2.动点P到直线x+y-4=0的距离等于它到点M（2，2）的距离， 则点P的轨迹是( )
（A）直线
（C）双曲线
（B）椭圆
（D）抛物线
【解析】选A.由于点M（2，2）在直线x+y-4=0上，而|PM|等 于P到直线x+y-4=0的距离，所以动点P的轨迹为过点M垂直于 直线x+y-4=0的直线.
1.1《平面直角坐标系》 课件(人教A版选修4-4)
2.动点P到直线x+y-4=0的距离等于它到点M（2，2）的距离， 则点P的轨迹是( )
（A）直线
（C）双曲线
（B）椭圆
（D）抛物线
【解析】选A.由于点M（2，2）在直线x+y-4=0上，而|PM|等 于P到直线x+y-4=0的距离，所以动点P的轨迹为过点M垂直于 直线x+y-4=0的直线.
【解析】（1）设曲线方程为 y=ax 2 +
7
64 , 7
因点D（8，0）在抛物线上，∴ a=- 1 , ∴曲线方程为 y=- 1 x 2 + 64 .
7 7
标系，则B(40,0)，以点B为圆
心，30为半径的圆的方程为 (x-40)2+y2=302,台风中心移动 到圆B内时，城市B处于危险区， 台风中心移动的轨迹为直线y=x，与圆B相交于点M、N,点B到
直线y=x的距离 d= 40 =20 2, 求得|MN|= 2 302 -d2 =20 (km),
2
∴ |MN| =1，所以城市B处于危险区的时间为1 h .
3.在同一平面直角坐标系中，将曲线y=2sin3x变为曲线 y=sinx的伸缩变换是( )
x=3x 1 =sin3x，令 【解析】选C.由曲线y=2sin3x，得 y 1 ， 2 y= 2 y
得y′=sinx′，即y=sinx.
1 x = x 4.若点P(-2 009,2 010)经过伸缩变换 2 010 后所得的 y= 1 y 2 009
3
11.（14分）已知△ABC的两个顶点B（-2，0），C（2，0），
顶点A在抛物线y=x2+1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程.
【解析】
人教版数学选修4-4课件 1.1 平面直角坐标系
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的记忆 广度为7±2项内容。
• 思维导引：本题涉及两点间的距离及曲线， 故要想到坐标法解决问题．
解析：以 A，B 所在直线为 x 轴，A，B 中点 O 为坐标原点，建立如图的直角坐标 系．
∵|AB|＝10，∴点 A(－5,0)，B(5,0)．设某地 P 的坐标为(x，y)，并设 A 地运费为 3a 元/公里，则 B 地运费为 a 元/公里，设 P 地居民购货总费用满足条件(P 地居民选择 A 地 购货)：价格＋A 地运费≤价格＋B 地运费，
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常 宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
•要点二 平面直角坐标系中的伸缩变换
定义：设 P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换 φ：xy′′＝＝λμxy，，λμ＞＞00，
• 的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，就 坐称标φ伸为缩平变面换 直角伸坐缩标变换系中的________________， 简称______________．
选修4-4坐标系和参数方程
数学选修4-4坐标系与参数方程2016-7第一讲 坐标系一、平面直角坐标系1.平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。
它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y ）确定.例1 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s ，已知各观测点到中心的距离都是1020m ，试确定该巨响的位置。
（假定当时声音传播的速度为340m/s ，各相关点均在同一平面上）以接报中心为原点O ，以BA 方向为x 轴，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020) 设P （x,y ）为巨响为生点，由B 、C 同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故P 在BC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因A 点比B 点晚4s 听到爆炸声，故|PA|－ |PB|=340×4=1360，由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线22221x y a b-=上，2222222222680,1020102068053401(0)6805340a c b c a x y x ∴==∴=-=-=⨯-=<⨯故双曲线方程为用y=－x代入上式，得x =± ， ∵|PA|>|PB|,(x y P PO ∴=-=-=即故答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.上述问题的解决体现了坐标法的思想. 建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系:(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； (2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
变式训练1．一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程.2．在面积为1的PMN ∆中，2tan ,21tan -=∠=∠MNP PMN ，建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点并过点P 的椭圆方程.课后作业1.若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )． A.53 B.23 C.13 D.122.设F 1、F 2是双曲线x23－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，1PF ·2PF 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6 3.若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上，则p ＝( )A.12B ．1C ．2D ．3 4.已知两定点A (1,1)，B (－1，－1)，动点P 满足P A →·PB →＝x22，则点P 的轨迹方程是_________.5.△ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是___________.6. 已知动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．7.已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．8. 已知长方形ABCD ，22=AB ，BC=1。
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1．在▱ABCD中三个顶点A、B、C的坐标分别是(－1,2)、 (3,0)、(5,1)，则点D的坐标是( A．(9，－1) C．(1,3) ) C B．(－3,1) D．(2,2)
2．在同一坐标系中，将曲线 y=3sin 2x 变为曲线 y′= sin x′的伸缩变换是( B )
x 2 x， 1 A. y y 3
面直角坐标系中的伸缩变换．
练习 到直角坐标系两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是 ____________．
答案：y＝x或y＝－x
将点(2,3)变成点(3,2)的伸缩变换是( B )
2 x 3 x， A. 3 y y 2
y， C. x y x
3 x 2 x， B. 2 y y 3
3．坐标伸缩变换φ
x x， 0， 注意变换中的系数 y y， 0，
均为正数；在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，即在 同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．
2 y 把圆X2＋Y2＝16沿x轴方向均匀压缩为椭圆x2＋ 16 ＝1，则坐标变换公式是________． 分析：利用平面直角坐标系中的坐标伸缩变换公式求解． 解析：设 x X 0, y Y 0,
x X , 2 2 x y 代入 X2+Y2=16，得 则 + =1. 2 2 y 16 16 Y . ∴162=1,16μ2=16. 1 , x X , ∴ 故 4 4 ， 1 y Y. x X 答案： 4 y Y
在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，
并确定度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐 标系．它使平面上任一点P都可以由唯一的实数对(x，y)确 定．
练习
3．定义
设P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换
x x( 0)， 的作用下，点P(x，y)对应P′(x′，y′) 称为平 y y ( 0)
8．在同一平面直角坐标系中，将曲线x2－36y2－8x＋12＝
0变成曲线x′2－y′2－4x′＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．
解析：x2-36y2-8x+12=0 可化为 x 4 -9y2=1. ① 2 x′2-y′2-4x′+3=0 可化为 (x′-2)2-y′2=1. ② x 2 x 4 , x x , 比较①②，可得 2 即 2 y 3 y , y 3 y. 所以将曲线 x2-36y2-8x+12=0 上所有点的横坐标变为原来
把方程y＝sin x变为y′＝
公式为________．
1 sin 4x′的伸缩变换 2
解析：令变换公式为 x x 0, y y 0， 1 x x 1 1 ∴ 代入 y =sin x ，得 y ′ =sin x′. 1 y y . 1 1 , x x, 1 4 ∴ 4 与 y′= sin 4x′比较知 1 1 2 ， y y. 2 2 1 x 4 x, 答案： 1 y y 2
由题意知2c＝4，∴c＝2. 3 由题意知 2a=3，∴a= . 2 9 7 ∴b2=c2-a2=4- = . 4 4 x2 y 2 3 ∴点 P 的轨迹方程为 - =1 x 9 7 2 4 4 由图可知，点 P 为与 x 轴的右交点时，|OP|最小， 3 ∴|OP|min= . 2
2， C. x y 3 y
x 2 x， 1 B. y y 3
2 x， D. x y 3 y
5 x, 后， 3． 在同一平面直角坐标系中， 经过伸缩变换 x y 3 y
曲线 C 变为曲线 x′2+y′2=0，则曲线 C 的方程为( A ) A．25x2+9y2=0 C．25x+9y=0 B．9x2+25y2=0
顶点Q的轨迹方程．
解析：如右图所示，以圆心O为原
点，OP所在直线为x轴建立直角坐标系， 则圆的方程为x2＋y2＝36，P(4,0)．
解法一：设 Q(x，y)，PQ 与 AB 相交于 P1，则 P1=坐标为
4 x y , . 2 2 连接 OA，OB，∵|OB|=|OA|=r，P1 为 AB 中点， ∴OP1⊥AB，
1．直角坐标系可以有不同的建立方法，根据图形的几 何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：
(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点.
(2)如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴.
(3)使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．
2．坐标系的建立是为了确定点的位置，在所创建的坐 标系中，应满足：任意一点都有确定的坐标与它对应；反之， 依据一个点的坐标就能确定这个点的位置．
x 1 ， D. x y y 1
平面内有一固定线段AB，|AB|＝4，动点P满足 |PA|－|PB|＝3，O为AB中点，求|OP|的最小值． 解析：以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴建立平 面直角坐标系，如下图，∵|PA|-|PB|=3＜|AB|，则点P的轨 迹是以点A、B为焦点的双曲线的右支上．
2 ∴|PQ|=|AB|=2 r 2 | OP ， | 1
2 2 4 x y 2 2 即 x 4 y = 2 36 ， 2 2 化简，可得 x2+y2=56， 即所求顶点 Q 的轨迹方程为 x2+y2=56.
1 的 ，纵坐标变为原来的 3 倍，就可得到曲线 x′2-y′2 -4x′ 2 +3=0 的图象．
2
9．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经
1 x 3 x, 过伸缩变换 1 后的图形是什么形状？ y y 2
(1)y2＝2x； x, 3 可知 x 3 x 解析：由伸缩变换 1 y 2 y . y y , 2 x 3 x (1)将 代入 y2=2x，可得 y 2 y . 2 2 3 4y′ =6x′，即 y′ = x′. 2 即伸缩变换之后的图形还是抛物线． x 3 x (2)将 代入 x2+y2=1，得 y 2 y . (3x′)2+(2y′)2=1， x2 y 2 即 + =1， 1 1 9 4 即伸缩变换之后的图形为焦点在 y 轴上的椭圆．
一
平面直角坐标系
1．体会直角坐标系的作用，掌握平面直角坐标系中刻 画点的位置的方法和坐标法的解题步骤． 2．会运用坐标法解决实际问题与几何问题． 3．通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换作 用下平面图形的变化情况及作用．
1．数轴 它使直线上任一点P都可以由唯一的实数x确定． 2．平面直角坐标系
7．求函数g(x)＝| x 2 2 x 5 － x 2 4 x 13 |的最大值．
解析：g(x)=| x 12 22 - x 22 32 |，求函数的最大 值，就是求点 P(x,0)与点 A(1,2)、B(2,3)或与点 A′(1，-2)、 B(2,3)距离差的最大值，即||PA|-|PB||或||PA′|-|PB||的最大值(P 点为 A、B 或 A′、B 的连线与 x 轴的交点)．其最大值显然为 |AB|= 1 2 2 2 32 = 2 .
x2 y 2 D. + =0 25 9
4.两个定点距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和 为26，求点M的轨迹 答案：x2+y2=4 .
5．在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，
求点A的轨迹方程为________．
x2 y2 答案： + =1 9 5
6．已知圆的半径为6，圆内一定点P离圆心的距离为4， A，B是圆上的两动点，且满足∠APB＝90°，求矩形APBQ的
解法二：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x，y)，则 由 PA PB =0，得 (x1-4，y1)(x2-4，y2)=0， 即 x1x2+y1y2-4(x1+x2)+16=0.① 又∵A、B 都在圆上 x12 y12 36, ∴ 2 2 x y 2 2 36, ②+③，得(x1+x2)2+(y1+y2)2-2x1x2-2y1y2=72. x1 x2 2 y1 y2 2 72 ∴x1x2+y1y2= . 2 将上式代入①，得 x1 x2 2 y1 y2 2 72 -4(x1+x2)+16=0.④ 2 x1 x2 4 x y1 y2 y 由于 = ， = ，即 x1+x2=4+x， 2 2 2 2 y1+y2=y，代入④得 x2+y2=56.