关于矩阵的Гα-Moore-Penrose逆

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行满秩Toeplitz型矩阵Moore-Penrose逆的快速算法

δ = å t12j ， rn + 1 = sn + 1 = un + 1 u n + 1 = 1 (t11 t12 t1n - 1)T ， δ j=1 ψ n = - å t1j q j w n + 1 = p1 u n + 1 ，
(i) (i) (i) j=1 n (i) n (i) (i)
[1]
2
主要结论
考虑 m ´ n 阶 Toeplitz 矩阵 T = ξ j - i
( )
m n
i j = 1
。熟知 Toeplitz
矩阵 T 满足：
T - Z mTZ nT = ( ξ 0 ξ -1 ξ -m + 1) e1
(n) i (m) 2 (m) (m) (n) T ( n )T
(
)
(r m + n j + n - s m + n j + n + x m + n j + n) y m + n k ( y͂ m + n j + n + y͂ m + n j + n)u m + n k (k = 1 2 n - 1) m n j + n - 1 = å w m + n j + n y m + n n + v m + n j + n x͂ m + n n +
2
2010， 46 （30）
Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用
(i) æ (i) ö (i) x͂ k + 1 = ç x͂ k ÷ + μ k u k + 1 è0 ø

环上矩阵的广义Moore—Penrose逆

收稿日期：００１＿０２Ｏ＿ｏ１基金项目：国家自然科学基金资助项日（批准号：９７０８）１８１１
维普资讯
Ｖ】２０２
数学杂志
１７１
引理２设Ｇ为ｍｒｘ阶右高阵，Ｈ为ｒｎ阶左高阵，ＤＧ）ＤＤＤＤ） × 则（Ｄ一＝＝Ｈ（Ｈ－ＧＤ
这里（Ｄ）（Ｄ）Ｇ一Ｇ＝ ”．以上两引理的证明见文［】３．
定理１设Ａ＝ＤＧ为ｍｘ阶右高阵，ＧＨ，ｒＨ为Ｆｎ阶左高阵，Ｄ＝＝．Ｎ分别是Ｘ且２Ｄ，ＤＭ、阶为ｍｍ，的可逆阵。贝Ａ相对于，的广义Ｍ－ｘｎｆ』 Ⅳ Ｐ逆存在的充要条件是：
阵的广义ＭＰ逆存在的充要条件， — 并给出了逆存在时的表达式．定义１设是带有对合：＋的有１。的结合环．令ＡＭ Ⅳ分别为阶是，足以下条件：）Ｘ（ＡＡ１（）Ａ＝（Ｍ ∞．２ＸＸＸ３Ａ－）（，，ｍ
解的矩阵的广义Ｍ— Ｐ逆存在的充要条件．文【将文［］２Ｊ１的结果推广到具有满单分解性质的带有对合的范畴．前，此陈建龙［］给出带对合环上一类矩阵的ＭＰ逆【是广义Ｍ— ３曾 — 不Ｐ逆）在的充要条件及某些等价条件．文在文【］［工作的基础上，虑了文【］同类矩存本１，］３考３中
ＵＶ＝ＤＺＸＧＨＸ＝ＸＧＤＨＸ＝ＸＡＸ＝Ｘ且ＤＨＵ＝，ＶＧ＝Ｄ．ＤＤ

三个矩阵乘积的Moore-Penrose逆的正序律

五邑大学学报（自然科学版）JOURNAL OF WUYI UNIVERSITY （Natural Science Edition ）第35卷第2期 2021年 5月V ol.35 No.2 May 2021文章编号：1006-7302（2021）02-0015-05三个矩阵乘积的Moore -Penrose 逆的正序律周婉娜，熊志平（五邑大学数学与计算科学学院，广东江门 529020）摘要：Moore-Penrose 逆（简称M-P 逆）是矩阵理论中的一个重要分支，它在线性控制理论、投影算法、统计学等领域的广泛应用使其成为一个热点研究问题. 本文利用秩等式和广义Schur 补，研究了3个矩阵乘积的M-P 逆的正序律，得出了正序律()123123++++=A A A A A A 成立的充要条件.关键词：Moore-Penrose 逆；秩等式；广义Schur 补；正序律中图分类号：O151.21 文献标志码：AA Note on the Forward Order Law for Moore-Penrose Inverse of Three Matrix ProductsZHOUWan-na, XIONGZhi-ping(School of Mathematics and Computational Science, Wuyi University, Jiangmen 529020, China)Abstract: Moore -Penrose inverse (M -P inverse) is an important branch of matrix theory due to its extensive applications in linear control theory, projection algorithm, statistics and other fields. In this paper, we study the forward order law for M -P inverse of product of three matrices by using the rank equality and the generalized Schur complement, and the necessary and sufficient conditions for the forward order law()123123++++=A A A A A A are obtained.Key words: Moore -Penrose inverse; Rank equality; Generalized Schur complement; Forward order law1 引言及预备知识矩阵乘积广义逆的反序律和正序律在统计学、微分方程、电网络分析等领域都有着不可或缺的重要作用[1-2]. 20世纪60年代以来，很多学者研究了矩阵乘积广义逆的反序律，例如矩阵乘积的{}1-逆、{}1,3-逆、{}1,2,3-逆、M-P 逆的反序律成立的充要条件，得到了很多有趣的结果和一些重要的应用算法[2-3]. 关于矩阵乘积广义逆的正序律的理论与应用研究相对较少，很多相关问题还需要进一步的解决，因此矩阵乘积广义逆的正序律成为了一个热点研究课题.在本文中，m n ⨯C 表示复数域中所有m n ⨯矩阵，m I 为m 阶单位矩阵，m n ⨯0为m n ⨯零矩阵（常用0代表合适的零矩阵）. 对任意的m n ⨯∈A C ，*A 为A 的共轭转置，()r A 为A 的秩，()R A 为A 的值域，收稿日期：2020-11-03基金项目：广东省普通高校特色创新类项目（2018KTSCX234）；广东省本科高校教学质量与教学改革工程项目（GDJX2018004；GDJX2018014）；江门市基础与理论科学研究类科技计划项目（2020JC01010）；五邑大学港澳联合研发基金资助项目（2019WGALH20）作者简介：周婉娜（1996—），女，广东江门人，在读硕士生，研究方向为矩阵与算子广义逆；熊志平，教授，博士，硕士生导师，通信作者，主要从事矩阵与算子广义逆的研究.五邑大学学报（自然科学版） 2021年16 ()N A 为A 的零空间，相关概念参见文献[1,3].定义1[4] 设m n ⨯∈A C ，满足下列4个Penrose 条件：1）=AXA A ，2）=XAX X ，3）()*=AX AX ，()*=XA XA 的矩阵n m ⨯∈X C 称为A 的M-P 逆，记+=X A .引理1[1] 矩阵的M-P 逆满足以下性质：********()()()++++===A AA A A A A A AA A A .引理2[5] 设矩阵A 、B 、C 和D 满足以下条件：()()R R ⊆B A ，**()()R R ⊆C A 或()()R R ⊆C D ，**()()R R ⊆B D ，则()()r r r +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭A B A D CA B C D 或()()r r r +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭A B D A BD C C D . 引理3[6] 设i i s t i ⨯∈A C ，1,2,,i n = ；1i i s t i +⨯∈B C ，1,2,,1i n =- ，再设1i i i i +=B A X A ，1,2,,1i n =- ，（1）则对于某些i X 有：()()i i R R ⊆B A 且**1()()i i R R +⊆B A ，1,2,,1i n =- ，（2）而且n n ⨯分块矩阵112211n n n n --⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0000000000000 A A B J A B A B 的M-P 逆可以表示为：(1,)(1,1)(1,2)(1,1)(2,)(2,1)(2,2)(1,)(1,1)(,)n n n n n n n n n n n +-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭00000000 F F F F F F F J F F F ，其中，(,)i i i +=F A ，1,2,,i n = ，（3）111(,)(1)j i i i i i j j i j i j -++++++--=- F A B A B A B A ，1i j n ≤≤≤. （4）2 主要结果本节，我们将给出3个矩阵乘积的M-P 逆的正序律()123123++++=A A A A A A 成立的充要条件，相关结论会在下面的3个定理中给出.定理1 设123,,m m ⨯∈A A A C ，则55⨯分块矩阵 ***3333****22223****11112*1m m⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭000000000000000I A A A A M A A A A A A A A A A I A 的M-P 逆可以表示为： (1,5)(1,4)(1,3)(1,2)(1,1)(2,5)(2,4)(2,3)(2,2)(3,5)(3,4)(3,3)(4,5)(4,4)(5,5)+⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪⎝⎭0000000000M M M M M M M M M M M M M M M M ，第35卷第2期 17周婉娜等：三个矩阵乘积的Moore -Penrose 逆的正序律其中，(),i j M 可根据引理3中的式（3）和（4）给出，特别地，()1,5+=M PM Q 51************111112222233333(1)()()()m m -+++++=-=I A A A A A A A A A A A A A A A I123+++A A A ，（5）其中，()()*,,,,,,,,,m m ==00000000P I Q I .证明因为*****111111111==()m m ++A I A A A I A A A A A ，所以*1()()m R R ⊆A I ，*1111()()R R ⊆A A A A . （6）因为**********121112221111122222==()()++++A A A A A A A A A A A A A A A A A A ，所以****12111()()R R ⊆A A A A A ，*21222()()R R ⊆A A A A A . （7）因为**********232223332222233333==()()++++A A A A A A A A A A A A A A A A A A ，所以****23222()()R R ⊆A A A A A ，*32333()()R R ⊆A A A A A . （8）因为*****333333333==()m m ++A A A A I A A A A A I ，所以***3333()()R R ⊆A A A A ，3()()m R R ⊆A I . （9）结合式（6-9）以及引理3中的式（1-2），可以得出定理1的结论. 特别地，根据引理1，我们知道****()++=A A AA A A . 因此，可得：123(1,5)++++==M PM Q A A A .为了得到定理2，我们首先证明以下秩等式：对于任意的矩阵i A 来说，****()()()()i i i i i i i r r r r ===A A A A A A A . （10）证明因为**********()()()()[()]()i i i i i i i i i i i i i i i i i r r r r r r ++≤≤==≤A A A A A A A A A A A A A A A A A 且*()()i i r r =A A ，所以****()()()()i i i i i i i r r r r ===A A A A A A A .定理2 设123,,m m⨯∈A A A C且123=A A A A ，M ,P 和Q 由定理1给出，则： 123()2()()()r m r r r =+++M A A A ， ()()R R ⊆Q M ，**()()R R ⊆P M ， ()()R R ⊆QA M ，***()()R R ⊆P A M .证明构造可逆矩阵1234,,,D D D D 和列矩阵5D 如下：*11mm m m m ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭00000000000000000I A I D I I I ，**1122()m m m m m +⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭000000000000000I I A A A D I I I ，**3223()mm m mm I +⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭00000000000000000I I D I A A A I ，4*33()m m m m m +⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭0000000000000000I I D I I A A I ，5m ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭0000D I 则五邑大学学报（自然科学版） 2021年18 **333**1234222**111m m⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭000000000000000000I A A A MD D D D A A A A A A I ，且12345m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎪⎝⎭0000I MD D D D D Q . 因此1234123()()2()()()r r m r r r ==+++M MD D D D A A A ，且12345()()()()R R R R ⊆=⊆QA Q MD D D D D M .另一方面，构造可逆矩阵1234,,,T T T T 和行矩阵5T 如下：*31mm m m m ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0000000000000000000I A I T I I I ，**2233()mm m m m +⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0000000000000000000I I T A A A I I I ， 3**122()m mmm m +⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭0000000000000000000I I T I A A A I I ，4*11()m m m m m +⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪-⎝⎭0000000000000000000I I T I I A A I ，5(,,,,)m =0000T I . 则 **333**4321222**111m m⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭00000000000000000I A A A T T T T M A A A A A A I ，且54321(,,,,)m ==0000T T T T T M I P ，因此，**********12345()()()()R R R R ⊆=⊆P A P M T T T T T M .利用定理1和定理2可以得到定理3.定理3 设123,,m m ⨯∈A A A C ，123=A A A A ，123+++=X A A A 且M ,P 和Q 由定理1给出，则以下等式等价：1）()123123+++++===A A A A A A A X ； 2）()()()()11232r r r r r ****⎛⎫-=+++ ⎪⎝⎭A AA A E A A A A E AN . 其中，()1,,,m =000E I ，()2,,,m *=000E I ，以及***3333****22223****11112*1⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭000000000A A A A A A A A A N A A A A A A . 证明由定理1可得123++++==X A A A PM Q 且12⎛⎫= ⎪⎝⎭0E M E N . 显然，()123123+++++===A A A A A A A X成立的充要条件为()()0r r +++-=-=A X A PM Q . （11）由上式构造一个33⨯分块矩阵****⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭000MQ G A AA A P A ，根据引理2，第35卷第2期 19周婉娜等：三个矩阵乘积的Moore -Penrose 逆的正序律()()*******,,R R R R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⊆⊆⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭000Q M M P A A A AA AA A ，则()()******,r r r +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⎢⎥⎪ ⎪ ⎪--⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦0000MM Q G P A A AA A AA A ()()******,r r ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪-⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦0M M Q P A A AA A A AA ()()()******r r r ++⎡⎤++-⎢⎥⎣⎦M A AA PM Q A A AA A . 根据引理2、定理2以及式（10），可得：()()()()()()()()()1232r r r r m r r r r r ++++=++-=+++++-G M A PM Q A A A A A PM Q A . （12）另一方面，()1*22**********1***m m m mr r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪=-=== ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0000000000000000000E I I MQ E N N E A G A AA A A AA A A E A AA A P A I A I A *****221*******11222m mr m r m r ⎛⎫⎪-⎛⎫⎛⎫-- ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭0000000000I N E A N E A A AA A E A E A AA A E A AA E A N I （13）结合式（11-13）可知，定理3成立.3 结论对任意的矩阵,1,2,3m m i i ⨯∈=A C ，本文利用秩等式和广义Schur 补的性质，得出了3个矩阵乘积的M-P 逆正序律()123123++++=A A A A A A 成立的充要条件.参考文献[1] 王国荣. 矩阵与算子广义逆[M]. 北京：科学出版社，1994.[2] BEN-ISRAEL A, GREVILLE T N E. Generalized inverse: theory and application [M]. 2nd Edition. New York:Springer-Verlag, 2003: 35-54.[3] WANG Guorong, WEI Yimin, QIAO Sanzheng. Generalized inverse: theory and computations [M]. Beijing:Science Press, 2004: 9-26.[4] PENROSE R. A generalized inverse for matrix [J]. Proc Cambridge Philos Soc, 1955, 51: 406-413.[5] MATSAGLIA G, STYAN G P H. Equalities and inequalities for ranks of matrices [J]. Linear and MultilinearAlgebra, 1974, 2: 269-292.[6] TIAN Yongge. Reverse order laws for the generalized inverses of multiple matrix products [J]. Linear Algebraand its Applications, 1994, 211: 85-100.[责任编辑：熊玉涛]。

逆矩阵的性质及在考研中的应用

逆矩阵的性质及在考研中的应用矩阵是线性代数中的基本概念之一，而逆矩阵是矩阵理论中的重要组成部分。

在研究生入学考试中，逆矩阵的出现频率较高，是考生必须掌握的重要内容之一。

本文将介绍逆矩阵的基本性质以及在考研中的应用场景，旨在帮助考生更好地理解和掌握这一部分内容。

逆矩阵是矩阵的一种重要性质，其定义如下：设A是一个可逆矩阵，那么存在一个矩阵B，使得$AB=BA=I$，其中I是单位矩阵。

在这个定义中，矩阵B被称为A的逆矩阵。

$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{bmatrix}$计算行列式$det(A)$： $det(A) = |\begin{matrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{matrix}| = 2 \times 2 - 3 \times 1 = 1$计算A的伴随矩阵A*： $A* = \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix}$计算A的逆矩阵A-¹： $A-¹ = \frac{1}{det(A)} \times A* =\frac{1}{1} \times \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix} = \begin{matrix} 2 & -3 \ -1 & 2 \end{matrix}$在考研中，逆矩阵的应用主要涉及以下几个方面：解方程：逆矩阵可以用来求解线性方程组。

当方程组的系数矩阵是可逆矩阵时，我们可以通过逆矩阵快速求解方程组。

证明不等式：在证明某些矩阵不等式时，可以通过引入逆矩阵来简化证明过程。

求特征值和特征向量：在计算矩阵的特征值和特征向量时，需要先求出矩阵的逆矩阵。

解决优化问题：在数学优化中，逆矩阵往往作为系数矩阵的逆出现，对于一些约束优化问题，可以通过求解线性方程组来得到优化解。

moore-penrose逆矩阵的微分

《moore-penrose逆矩阵的微分》导读：在线性代数中，矩阵具有广泛的应用，而其中的逆矩阵更是一个重要的概念。

moore-penrose逆矩阵是一种特殊的逆矩阵，它在实际问题中有着重要的应用。

本文将围绕moore-penrose逆矩阵的微分展开讨论，希望通过对该主题的深度探究，让读者能够更深刻地理解这一概念。

一、moore-penrose逆矩阵概述moore-penrose逆矩阵，又称广义逆矩阵，是矩阵论中的一个重要概念。

对于任意一个矩阵A，其moore-penrose逆矩阵记作A⁺。

与普通逆矩阵不同，moore-penrose逆矩阵具有良好的性质，即使矩阵不是方阵，也存在moore-penrose逆矩阵。

二、moore-penrose逆矩阵的微分应用在实际问题中，我们经常需要对矩阵进行微分运算，而moore-penrose逆矩阵的微分在其中发挥着重要作用。

对于一个矩阵函数f(X)，其中X是一个矩阵变量，我们希望求出f(X)对X的导数。

这就涉及到了对moore-penrose逆矩阵的微分运算。

具体来说，对于一个矩阵函数f(X)，其导数可以表示为：∂f/∂X = lim(ΔX→0) [f(X+ΔX) - f(X)] / ΔX在这个公式中，对moore-penrose逆矩阵的微分运算就是其中的关键部分。

对于不同类型的矩阵函数，moore-penrose逆矩阵的微分表现出不同的性质，这需要我们对moore-penrose逆矩阵的微分进行深入的研究和探讨。

三、moore-penrose逆矩阵的微分研究现状moore-penrose逆矩阵的微分在数学和工程领域都有着重要的应用。

目前，关于moore-penrose逆矩阵的微分的研究已经取得了一定的成果，例如在最优控制、信号处理、统计估计等领域都有着丰富的应用。

然而，moore-penrose逆矩阵的微分仍然存在许多未解决的问题。

在非线性优化问题中，如何有效地计算moore-penrose逆矩阵的微分仍然是一个挑战。

关于长方矩阵的加W权-Moore—Penrose逆的存在性

Ｐｎｓ群逆，Ａ：；ｅｒｅｏ记为如果Ｇ满足（１ｗ，５则称Ｇ加权群逆，ｗ，２ｗ）为Ａ记为Ａ；：如果Ｇ满足（１ｗ，ｗ，２
ｗ，４，３ｗ）则称Ｇ为Ａ的加权一ｏｒ — ｅｒｅ，ＭｏＰｎｓ逆记为Ａ．ｅｏ：如果Ｇ满足（），Ｇ ∈ＡＷ。．Ｗ。则｛｝容易得出，当ｔ＝ｎＷ＝，时，，Ａ的加权的群逆就是Ａ的群逆，Ａ的加权～ＭｏｒＰｎｏｅｏｅ— ｅｒｓ逆就是Ａ的Ｍｏｒ —Ｐｎｏｅ逆¨ ．而且上述的逆如果存在，ｏｅｅｒｓ】则是唯一的．权群逆的证明见［］对于加加２．
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第３第４期７卷
２００８年８月
上海师范大学学报（自然科学版）
Ｊｕ／ｆｈｎｈｉｏａｎｖｒｔ（ａｒｌｃｅｃｓｏｍａｏａｇａＮｍｌＳ］ＵｉｅｉＮｔａＳｉｅ）ｓｙｕｎ
２００８拒
定理１设Ａ ∈Ｍ，ＩＶ∈Ｍ
．
，
Ｕ＝ＡＡ一＋一Ａ一，ｗＡＩＡＶ＝Ａ— ＷＡ＋Ｉ一 — 那么下列条ＡＡＡ，
件是等价的．
（）ｕ可逆；２１（）方程ＡＸ＝ＷＡＡ有解；３（）方程ＹＷＡ＝ＡＡ有解；４（）Ａ：存在；５（）Ｖ可逆．
对Ａ ∈Ｍ… ，如果存在Ｘ ∈Ｍ… ，得ＡＡ＝Ａ，使Ｘ称为Ａ的｛｝一逆，Ａ１用一表示Ａ的一个｛｝一１
逆．在后两节中利用Ａ一讨论Ａ的加权的Ｍｏｅｅｒｓ逆．ｏｒ～Ｐｎｏｅ

moore-penrose广义逆矩阵极小范数解

moore-penrose广义逆矩阵极小范数解
广义逆矩阵（也称为逆广义矩阵或伪逆矩阵）是矩阵理论中的一个重要概念，用于求解线性方程组的扩展问题。

而Moore-Penrose广义逆矩阵是广义逆矩阵的一种常见定义方法。

对于任意一个实数矩阵A（可能是一个方阵或非方阵），它的Moore-Penrose广义逆矩阵A⁺可以通过以下公式计算得到：
A⁺ = lim[α→0] (A^T A + αI)^(-1) A^T
其中，A^T表示A的转置矩阵，α是一个趋近于零的正实数，
I是单位矩阵。

Moore-Penrose广义逆矩阵具有以下性质：
1. AA⁺A = A
2. A⁺AA⁺ = A⁺
3. (AA⁺)^T = AA⁺
4. (A⁺A)^T = A⁺A
极小范数解是指在所有广义逆矩阵中，使得Ax与b的差异范
数最小的解。

对于一个线性方程组Ax = b，如果解存在的话，那么极小范数解可以通过以下公式计算得到：
x* = A⁺b
其中，x*表示极小范数解。

需要注意的是，如果方程组Ax = b有唯一解，那么极小范数
解就是该唯一解。

但如果方程组无解或有无穷多解，极小范数解将是一个近似解，满足Ax* ≈ b的条件。

15 投影矩阵与Moore-Penrose逆

第十五讲投影矩阵与Moore-Penrose 逆一、投影与投影矩阵设L ，M 为n C 的子空间并构成直和n L M L M C +=⊕=.即n x C ∀∈，∃唯一的y L,z M ∈∈使x=y+z称y 为x 沿着M 到L 的投影。

1. 定义：将任意n x C ∈变为其沿着M 到L 的投影的变换称为沿着M 到L 的投影算子，记为L,M P 即L,M P x y L =∈,投影算子是线性变换，其矩阵称为投影矩阵,仍记为L,M P 。

2. 充要条件引理：设n 阶方阵E 为幂等矩阵，则N(E)R(I E)=- 证明：2n E E E(I E)O x C ,E[(I E)x]0 E[R(I E)]0R(I E)N(E)=→-=→∀∈-=→-=⇒-⊆x N(E),∀∈另一方面，即Ex 0=，则x Ix O Ix Ex (I E)x R I E N E R I E N E R I E =-=-=-∈-⇒⊆-=-∴（）（）（）（）（）定理：n 阶方程P 成为投影矩阵的充要条件是P 为幂等矩阵。

证明：充分性2n P P,x C ,y Px R(P),z (I P)x R I P N P =∀∈=∈=-∈-=令（）（）。

若 {}R P N P R P N P 0,P P == （）,（）（）（）则确为投影矩阵，下面证之 x R(P)N(P),∀∈一方面，因n x R(P),u C x Pu ∈∈=存在使{}2x N(P),Px 0.Px P u Pu x R(P)N(P)0x 0∈====→⇒== 另一方面即但。

n L,M P P x C y L,z M =∀∈∃∈∈必要性故，唯一分解使x y z Px y =+=且x 22P x Py y Px P Py y 0↑→===−−−→==+任意3. 投影矩阵的构造设已知n C 的子空间L 、M 构成直和n L M C ⊕=,下面构造L,M P 。

取L 的一个基{}x ,x x 12r(设L 为r 维子空间)，M 的一个基{}y ,y y 12n r - （则M 的维数为n-r ）。

毕业论文-矩阵的广义逆及其应用模板

矩阵的广义逆及其应用摘要：矩阵的广义逆，即Moore-Penrose逆，在众多理论与应用科学领域，例如微分方程、数值代数、线性统计推断、最优化、电网络分析、系统理论、测量学等，都扮演着不可或缺的重要角色。

本文首先介绍了广义逆的定义以及广义逆的性质，主要内容是矩阵广义逆的应用，包括广义逆在分块矩阵理论中的各种应用，广义逆的Cramer法则和广义逆的计算，并对部分理论给出简单的解释，同时加以举例说明。

关键词：分块矩阵；广义逆；Moore—Penroce逆；Cramer法则.The generalized inverse matrix and its applicationAbstract: The generalized inverse of matrix, i.e. the inverse of Moore-Penrose, plays an indispensable role in many fields of theories and applied sciences, such as differential equation, numerical algebra, linear statistical inference, optimization, the analysis of electrical network, system theory and surveying, etc.The thesis introduces the definition and the property of the generalized inverse for the first place, and its primary content is the application of generalized inverse matrix including its all kinds of applications in the block matrix theory, its Cramer rule and its calculation. Besides, brief explanations are given to some theories with illustrations.Key words: block matrix; generalized inverse; inverse of Moore-Penrose; Cramer rule.1引言矩阵的广义逆概念是由美国学者E.H.Moore 首先提出的，但在此后的30多年里，矩阵的广义逆很少被人们所注意，直到1955年英国学者R.Penrose 利用四个矩阵方程给出了广义逆矩阵的简洁实用的新定义之后，广义逆矩阵的理论与应用才进入了迅速发展的时期。

矩阵之积的加权Moore—Penrose逆

称为Ａ的加权Ｍｏｒ— ｅｒｓｏｅＰｎｏｅ逆，记为＝Ａ．特别地，当Ｍ＝Ｉ，Ｎ＝Ｉ时，矩阵称为Ａ的
Ｍｏｒ— ｅｒｓｏｅＰｎｏｅ逆，记为＝Ａ，也即Ａ，＝Ａ． …Ⅲ
本文记号：Ｃ期表示所有ｍｘ复元素矩阵的全体，，表示阶数为ｎ的单位矩阵，Ａ’ 示Ａ的ｎ表
１引言及准备知识
加权Ｍｏｒ—ｅｒｓｏｅＰｎｏｅ逆在优化、统计、病态问题以及矩阵分析等领域的理论研究和数值计算方面起着重要的作用Ｉ１本文给出了２个矩阵Ａ和的乘积ＡＢ的加权Ｍｏｒ— ｅｒｓ的一种表达．ｏｅＰｎｏｅ逆式．这项工作在优化问题的加权信赖方法中有着极为重要的现实应用【引３．另外，矩阵乘积的加权・Ｍｏｒ．ｅｒｓ逆也广泛地应用于求解奇异线性方程的加权最／－乘问题和奇异矩阵的加权扰动分ｏｅＰｎｏｅｉｘ
摘要：给出了任意两个矩阵Ａ和它们的乘积ＡＢ的加权Ｍｏｒ—ｅｒｓ的一种表达式．ｏｅＰｎｏｅ逆
关键词：Ｍｏｒ—ｅｒｓｏｅＰｎｏｅ逆；加权Ｍｏｒ—ｅｒｓｏｅｎｏｅ逆；矩阵计算Ｐ中图分类另：Ｏ２１６４．
收稿日期：２０ — ２００７１－３
作者简介：秦莹莹（１８一），女，河南洛阳人，硕士，主要从事代数方面研究，Ｅｍａｈｉｙ０＠１３ｃｍ９ｌ — ｉｑｎｙ４６．ｏ

关于半环上矩阵的加权Moore-Penrose逆

１引言与预备知识
Ｍ（Ｓ），（Ｓ）＝Ｍ．（Ｓ）。Ｖｍ（Ｓ）（（Ｓ））中的元素
称为５上的ｍ维（ｎ维）列（行）向量。
定义（Ｓ；ｍ，几）
＝
矩阵的加权广义逆理论，在数理统计、系统理论、
（３）对任意的ａ，ｂ，ｃｅＳ，均有ａ・（ｂ＋ｃ）＝ａ・ｂ十
ａ・ｃ，（ｂ＋ｃ）・ａ＝ｂ・ａ＋ｃ・ａ；
ｃ “ ），则Ｍ（Ｓ）构成一个矩阵半环，其中０与，分
别是加法与乘法恒等元（详见文献［８］）。定义１．２设是（Ｓ）中的一个非空子集。称为（ｓ）的一个子空间，如果（１）对于任意ａｌ３ｅＷ，均有＋ｔ３ｅＷ；
．
（．ｓ）。记Ｖｍ（Ｓ）＝
＋Ｂ＝（０＋６），口‘ ＝（ａａ），Ａ・Ｃ＝（
口¨
，
（１）（Ｓ，＋，０）是一个交换幺半群，其中０为ｓ的
加法恒等元；
（２）（５，・，１）是一个幺半群，其中１为５的乘法恒等元；
等元。
Ｂｏｏｌｅａｎ代数上矩阵Ａ．。存在的充要条件。定义１．１设是一个非空集合，加法 “ ＋ ”与乘法
“
・
”是的两个代数运算。如果
为方便起见，记ｎ＝｛１，２，．．．，ｎ｝。

5.1Moore-penrose广义逆矩阵

5.1
† A Moore-penrose 广义逆矩阵
一 Moore-penrose 广义逆矩阵的定义
二 Moore-penrose 广义逆矩阵存在性与性质
三 Moore-penrose 广义逆矩阵求法
一 Moore-penrose 广义逆矩阵的定义
（一）传统可逆定义的缺点
对矩阵A若存在矩阵B满足 AB BA E
n
这说明 TA 是将 F n 沿 ker TA 投影到 Im TA 上的投影变换。
给出V是的一个子空间U，存在无数个子空间W 满足 V U W ，进而有无数个在U为恒等变换的线性变换 PU ,W , 我们希望选择最为特别地一个。
U 且满足 V U U ，将空间V沿子空间 U 投影在子空
注意到若V是内积空间，则子空间U有唯一正交补
间U上的投影变换PU ,U 由唯一决定，称 PU ,U 为正交投影，

简记为 PU 于是作为逆矩阵的推广我们希望TBA 与 TAB 是正交
投影变换！
于是提出问题：对A是n阶矩阵，则构作 F n 上的线性变换
TA F n F n x Ax
那么矩阵A满足什么条件TA 才是正交投影变换呢？我们引入一个概念定义2 n阶矩阵A若满足 A 2 A 且 A H A, 则
n m n 矩阵，则可以构作到 F m 设A是 F 设A是
TA F n F n x Ax
那么矩阵A就是线性变换 TA 在基 e1 , , en 下的矩阵。存在矩阵B满足 AB BA E , 同样方式可以构造
线性变换TB , 那么 AB BA E 含义就是说 TBTA 与 TATB 是
定义1 设V是线性空间，U、W是V的子空间，且满足

列分块矩阵的Moore—Penrose逆的显式表示

ｎｉａｉｏｅａｉ［Ｂ］ｉｄｄｃｄｗｓｐｒｔｎｄｍｔｘＡ，ｓｅｕｅ．ｅｔｉｒ
Ｋｅｒｙｗｏｄｓ：ｐｒｉｉｎｅｔｘ；Ｍｏｒ — ｅｒｓｎｅｓａｔｏｄｍａｒｔｉｏｅＰｎｏｅｉｖｒｅ；ｅｐｉｉｅｐｅｓｏｘｌｔｘｒｓｉｎｃ
（．ｃｏｌｏＭａｅａｃａｄＰｙｉ，ｉｇｕＵｉｒｔｆｉｎｅａｄＴｃｎｌｇ，ｈｎｉｇＪｇｕ２２０Ｃｉａ１ＳｈｏｆｔｍｔｓｎｈｓｓＪｓｎｖｓｙｏＳｅｃｎｅｈｏｙＺｅｊｉｓ１０３，ｈｎ；ｈｉｃａｎｅｉｃｏｎａｎａ
２ＣｌｇｆｉｎｅａｊｇＵｉｒｔｏＡｒｎｕｉｓａｄＡｔｎｕｉｓＮｎｉｇＪｎｓ１０６ｈｎ）．ｏｌｅｏＳｅｃ，Ｎｎｉｎｖｓｙｆｅｏａｔｓｏａｔ，ａｊｉｇｕ２０１，Ｃｉａｅｃｎｅｉｃｎｒｃｎａ
ＥｘｌｉＥｘｒｓｉｎｆｒＭｏｒ－ｅｒｓｎｅｓｐｉｔｐｅｓｏｏｏｅＰｎｏｅＩｖｒｅｃ
ｏｌｍｎｓｒｔｎｄＭａｒｘｆａＣｏｕｗｉｅＰａｔｉｅｔｉｉｏ
ＹＡＮｏｇｉ，ＤＡＩＨｕＵＹｎｘｎａ
文中r表示m阶单位矩阵表示向量的2范数表示矩阵a的任意一个1逆即满足方程axa表示矩阵a的所有13逆的全体即方程组axa表示矩阵a的moorepenrose广义逆即满足方程组axacline公式的推导首先提出将cline公式稍加化简即可得到mihlyffy公式

加权moore-penrose矩阵-概述说明以及解释

加权moore-penrose矩阵-概述说明以及解释1.引言1.1 概述加权Moore-Penrose矩阵是在Moore-Penrose广义逆的基础上进行拓展和改进的一种数学工具。

Moore-Penrose广义逆是矩阵理论中的一个重要概念，它对于解决线性代数中的一些常见问题具有重要意义。

然而，传统的Moore-Penrose广义逆在计算矩阵的逆时不考虑矩阵元素之间的重要性差异，因此在某些情况下可能无法满足实际问题的需求。

为了克服传统Moore-Penrose广义逆的不足，加权Moore-Penrose 矩阵引入了权重的概念，通过对矩阵的元素进行加权处理，考虑矩阵元素之间的重要性差异，从而得到更精确和可靠的逆矩阵。

加权Moore-Penrose矩阵的计算方法相对复杂，需要根据实际问题的需求选择合适的权重策略，并运用数学推理和计算方法进行求解。

同时，加权Moore-Penrose矩阵在实际问题中也具有广泛的应用。

例如，在数据处理和模式识别领域，加权Moore-Penrose矩阵可以用于降噪和信号恢复；在机器学习和人工智能领域，加权Moore-Penrose矩阵可用于特征选择和数据拟合等问题。

本文旨在系统地介绍加权Moore-Penrose矩阵的定义、性质以及计算方法，并探讨其在实际问题中的应用。

通过深入研究加权Moore-Penrose矩阵，我们可以更好地理解和应用这一数学工具，提高数据处理和模型拟合的精度和效果。

在下一节中，将详细介绍加权Moore-Penrose矩阵的定义与性质，为后续内容做好铺垫。

1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述加权Moore-Penrose矩阵的定义、性质、计算方法以及在实际问题中的应用。

具体文章结构如下：2. 正文部分在第2部分，我们将详细介绍加权Moore-Penrose矩阵的定义、性质以及计算方法。

首先，我们将给出加权Moore-Penrose矩阵的定义，并阐述其与传统Moore-Penrose矩阵的区别和联系。

矩阵伪逆计算

矩阵伪逆计算矩阵伪逆，也被称为广义逆或摄动逆，是在线性代数中用于求解矩阵求逆问题的一个概念。

在某些情况下，矩阵无法直接求逆，但是我们仍然希望能够找到满足一定条件的逆矩阵。

矩阵伪逆就是满足这一要求的矩阵。

首先，我们来看一下什么是逆矩阵。

对于一个n×n的方阵A，如果存在一个矩阵B使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，那么B就是A的逆矩阵。

逆矩阵的存在与否决定了方阵的可逆性，而非方阵（具有不相等的行数和列数）通常没有逆矩阵。

如果一个矩阵A不可逆，我们仍然希望找到一个矩阵B，使得AB≈I或BA≈I。

这就是矩阵伪逆的概念。

在实际应用中，矩阵伪逆具有广泛的应用，例如最小二乘法、特征值分解和奇异值分解等。

现在，我们来介绍几种常见的矩阵伪逆计算方法。

1. 利用最小二乘法求解矩阵伪逆：最小二乘法是一种常见的优化方法，在求解线性方程组最优解时经常使用。

对于一个m×n的矩阵A，如果m＞n，我们无法直接求出A的逆矩阵。

在这种情况下，可以使用最小二乘法来计算矩阵伪逆。

具体计算步骤如下：- 将矩阵A分解为A=UDV^T，其中U和V是正交矩阵，D是一个对角矩阵。

- 对D中的每个非零元素取倒数，得到D+。

- 计算矩阵A的伪逆矩阵A+为A+=VD+U^T。

2. 利用矩阵的特征值分解求解矩阵伪逆：特征值分解是将一个矩阵分解为特征向量和特征值的乘积的过程。

对于一个n×n的矩阵A，如果n＞m，我们无法直接求出A的逆矩阵。

在这种情况下，可以使用矩阵的特征值分解来计算矩阵伪逆。

具体计算步骤如下：- 对矩阵A计算特征值和特征向量。

- 将特征值中的非零元素取倒数，得到特征值的伪逆矩阵。

- 计算矩阵A的伪逆矩阵A+为A+=VΛ+V^T，其中V是特征向量构成的矩阵，Λ+是特征值伪逆构成的对角矩阵。

3. 利用矩阵的奇异值分解求解矩阵伪逆：奇异值分解是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积的过程，其中一个矩阵为对角矩阵，对角元素为奇异值。

moore-penrose逆求法

moore-penrose逆求法
Moore-Penrose逆求法是一种计算矩阵的广义逆的方法，可以解决矩阵不可逆或非方阵的逆的问题。

设A为m × n的矩阵，其Moore-Penrose逆（也称为广义逆）记作A⁺。

则A⁺满足下列四个条件：
1. AA⁺A = A
2. A⁺AA⁺ = A⁺
3. (AA⁺)ᵀ = AA⁺
4. (A⁺A)ᵀ = A⁺A
通过这四个条件可以推导出计算Moore-Penrose逆的公式。

具体计算步骤如下：
1. 计算AAᵀ的逆，记作(AAᵀ)⁻¹
2. 计算Aᵀ的逆，记作Aᵀ⁻¹
3. 计算A⁺ = Aᵀ⁻¹(AAᵀ)⁻¹
其中，AAᵀ的逆和Aᵀ的逆可以根据矩阵计算的常规方法进行求解，例如利用LU分解、QR分解等方法。

需要注意的是，当矩阵A的列数大于行数（n > m）时，Moore-Penrose逆仍然存在，但不唯一。

不同的Moore-Penrose 逆可以通过A⁺ = (AᵀA)⁻¹Aᵀ进行计算。

而当行数大于列数（m > n）时，A的Moore-Penrose逆不存在。

总之，Moore-Penrose逆求法是一种能够解决各种矩阵的广义
逆问题的方法。

在实际应用中，它可以用于最小二乘拟合、线性回归、数据降维等领域。

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文［，］３４中引进的一类卜逆（于Ｐ的ｒ｛，２关１，３））般不具备有唯一性。在本文中，，４＿一逆我们引进并讨论矩阵的具有唯一性的一类ｒ逆一
（Ｍｏｒ— ｅｒｓ）ｒ一ｏｅＰｎｏｅ逆。给出矩阵的ｒ一ｏｅ。Ｍｏｒ—

第２３卷
如果Ａ的ｒ－ｏｅＰｎｏｅＭｏｒ— ｅｒｓ
逆存在，么一定唯一。事实上，果Ｇ和Ｈ都那如是Ａ的ｒ－ｏｅＰｎｏｅ，么。Ｍｏｒ－ｅｒｓ逆那
Ｇ＝ＧＧ＝（ａＧ＝（ａ（）Ｇ（）Ａ）（＝（Ｈａ）（）ＡａＡａＧ＝（）（）（）ＧＨｃ
关键词：阵；Ｍｏｒ— ｅｒｓ矩Ｆ一ｏｅＰｎｏｅ逆；阵方程矩
中图分类号：５Ｏ１１
文献标识码：Ａ
文章编号：０１—７１（０７０１０１９２０）６—０７７１—０３
ＯｎＦａＭｏｒ－ｎｒｓｎｅｓｓｏａｒｃｓ－ｏｅＰｅｏｅＩｖｒｅｆＭｔｉｅ
并讨论了矩阵的几类ｒ逆及其应用。但是，一在
组成的集合。对于Ａ∈Ｍ… ，表示Ａ的共轭Ａ转置。』示竹阶单位矩阵。表在本文中，给定ａ． ∈ 。定义１１对于Ａ ∈Ｍ… ，果存在Ｇ∈ ．如
作者简介：建苗（９９）男，授，要从事代数学方面教学和研究。岑１５一，教主
维普资讯
７２７对于Ａ∈
科
技
通
报
ａＡａＴ — ａＡａＢａ一ａＡａＡａＢａａＢａ
维普资讯
第２３卷第６期２００７年１１月
科技通报
ＢＵＬＩＥＴＩＮ０ＦＳＣＩＥＮＣＥＮＤＥＣＨＮ０Ｌ０ＧＹＡＴ
ＶｏＩ２ＮＯ６．３．
ＮＯＶ．２００７
关于矩阵的Ｆ — ｏｒ— ｅｒｓ逆ＭｏｅＰｎｏｅ
Ｋｅｒ：ａｒｘ￣Ｍｏｏｒ— ｎｒｅ；ＭａｒｘｅａｉｙｗｏｄｓＭｔｉｒ一ｅＰｅｏｓｔｉｑｕｔｏｎ．
组成的集合，．示复数域上所有ｍ ×竹矩阵Ｍ表
１引言及准备
在文［～４中，助于ｒ环中的概念，进１］借＿引
本文约定Ｍ表示复数域上所有竹阶方阵
收稿日期：０６—０２０９—１９
那么Ｇ称为Ａ的ｒ一ｏｅＰｎｏｅ逆。。Ｍｏｒ— ｅｒｓ
静
基金项目：江省自然科学基金项目（号Ｙ６４８）ｍｉｃｘｎｕｅｕｃ浙编００９Ｅａｌｊ＠ｂ．ｄ．ｎ：ｍｌ
容易看出，ａＴ）（Ａａ一ａＴ。又Ａａ
ＡａＡ一（ＡａＡ）ＡＴａＢａａａ
—
ＢａＡａ（ＡａａａＴ）ＡＢａＡａ（ＡａａＢａ）ａＡＢａＡａ（ＡａＡ）ａＢａａ
岑建苗
（波大学宁数学系，江宁波３５１）浙１２１
摘要：论矩阵的Ｆ一ｏｅＰｎｏｅ逆。给出了矩阵的Ｆ一ｏｅＰｎｏｅ逆存在的几个充要条件以讨Ｍｏｒ— ｅｒｓＭｏｒ— ｅｒｓ及ｒ一ｏｅＰｎｏｅ逆的几个计算公式。Ｍｏｒ— ｅｒｓ
ＣＥＮａ — ｉｏＪｉｎｍａ
（ｐｒｍｅｔｏａｈｍａｉｓＮｉｇｏＵｎｖｒｉｙ５１Ｎｉｇｏ，ＣｉａＤｅａｔｎｆＭｔｅｔｎｂｉｅｓｔ，３２ｃ１１ｎｂｈｎ）
ＡｂｔａｔＴｈｅｒＭｏｅＰｅｒｅｉｅｓｓｏｆｍａｔｉｅｒｉｃｓｄ．Ｓｏｅｎｅｅｓｙａｕｆｃｅｔｃｎｄｉｉｓｆｘ— ｓｒｃ：一ｏｒ－ｎｏｓｎｖｒｅｒｃｓａｅｄｓｕｓｅｍｃｓａｒｎｄｓｆｉｉｎｏｔｏｎｏｒｅｉｔｎｅａｄｏｅｅｒｓｉｈｅｒ一ｏｏｅＰｅｏｓｎｖｅｓｓｏｆｍａｒｃｓａｅｇｉｎｓｅｃｎｓｍｘｐｅｓｏｎｓｏｆｔＭｒ — ｎｒｅｉｒｅｔｉｅｒｖｅ．
Ｍ使得：
（ＡａＡ — Ａ，１）Ｇａ（ＧａＧ — Ｇ，２）Ａａ（（Ａａ一ａＧ，３）ａＧ）Ａａ（（Ａａ一Ｇａ４）Ｇａ）Ａａ，
Ｐｎｏｅ逆存在的条件以及ｒ一ｏｅＰｎｏｅｅｒｓ。Ｍｏｒ— ｅｒｓ逆的计算公式。