4 估算

4 估算一、选择题（共28小题；共140.0分）1. 一个正方体的水晶砖，体积为100cm3，它的棱长大约在 ( )A. 4cm−5cm之间B. 5cm−6cm之间C. 6cm−7cm之间D. 7cm−8cm之间2. 一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在 ( )A. 2与3之间B. 3与4之间C. 4与5之间D. 5与6之间3. 在数轴上标注了四段范围，如图，则表示8的点落在A. 段①B. 段②C. 段③D. 段④3=k−4，那么k的取值为 ( )4. 若4−k3A. k≤4B. k≥4C. k=4D. 任何实数5. 64的立方根是 ( )A. ±8B. ±2C. 8D. 26. 有一个计算器，计算时只能显示1.41421356237十三位（包括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值 ( )A. 102B. 102−1C. 1002D. 2−17. 估计20的算术平方根的大小在 ( )A. 2与3之间B. 3与4之间C. 4与5之间D. 5与6之间8. 已知一个长方体的底面积为16cm2，高为8cm，而某一个正方体的体积是这个长方体体积的1，则这个正方体的棱长为 ( )2A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm9. 某地新建一个以环保为主题的公园，开辟了一块长方形的荒地，已知这块荒地的长是宽的3倍，它的面积为120000m2，那么这个公园的长为 ( )A. 200mB. 400mC. 600mD.200m 或 600m10. 若 x +y =0 ，则下列各式不成立的是 ( )A.x 2−y 2=0B.x 3+ y 3=0C.x − 2=0 D.x + y =011. 如图，数轴上的点 P 表示的数可能是A.5B.− 5C.−3.8D.− 1012. 一个数的立方根是 4，这个数的平方根是 ( )A.8B.−8C.8 或 −8D.4 或 −413. 在实数范围内下列判断正确的是 ( ) A. 若 a = b ，则 a =b B. 若 a 2>b 2 ，则 a >b C. 若 a 2= b ，则 a =bD.若 a 3= b 3，则 a =b14. 已知边长为 a 的正方形面积为 8，则下列关于 a 的说法中，错误的是 ( ) A. a 是无理数B. a 是方程 x 2−8=0 的解C.a 是 8 的算术平方根D.a 满足不等式组 a −3>0,a −4<015. 估算 17+1 的值在 ( )A.3 和4 之间B.4 和5 之间C.5 和6 之间D.6 和7 之间16. 一个正方体的水晶砖的体积为 100，它的棱长大约在 ( )A.4 和5 之间B.5 和6 之间C.6 和7 之间D.7 和 8 之间17. 已知 n 是一个正整数， 135n 是整数，则 n 的最小值是 ( )A.3B.5C.15D.2518. 估计 58 的立方根的大小在 ( )A.2 与3 之间B.3 与4 之间C.4 与5 之间D.5 与6 之间19. 有一个数值转换器，程序如图如示，当输入的 x 为 16 时，输出的 y 是A.2B.2C.4D.2 220. 如图，面积为30m2的正方形的四个角是面积为2m2的小正方形，用计算器求得a的长为 (保留3个有效数字)．A. 2.70mB. 2.66mC. 2.65mD. 2.60m21. 对于实数a，b，给出以下三个判断：①若a=b，则a=b；②若a<b，则a<b；③若a=−b，则−a2=b2．其中正确判断的个数是 ( )A. 3B. 2C. 1D. 022. 下列运算：sin30∘=32，8=22，π0=π，2−1=−4．其中运算结果正确的个数为 ( )A. 4B. 3C. 2D. 123. 19的值介于下列哪两数之间 ( )A. 4.2,4.3B. 4.3,4.4C. 4.4,4.5D. 4.5,4.624. 下列比较两个数的大小正确的是 ( )A.7>223B. −π<− 10C. 5−1<0.5D. 3+2<325. 已知a=22，b=33，c=55，则下列大小关系正确的是 ( )A. a>b>cB. c>b>aC. b>a>cD. a>c>b26. 随地震波而来的是地底积蓄已久的能量．因为里氏震级并不像摄氏温度一样是等分性的指标，因此每两级地震所释放的能量也相差巨大．根据里克特在1953年提出的公式计算，每一级地震释放的能量都是次一级地震的1000倍．这意味着，里氏震级每高出0.1级，就会多释放出0.4125倍的能量（如7.8级比7.7级会多释放出0.4125倍的能量）．那么5月12日下午2时28分四川汶川地区发生的8.0级大地震与5月25日下午4时21分四川青川一带发生的6.4级余震相比，前次所释放的能量约是后次的 ( )A. 22倍B. 34倍C. 40倍D. 251倍27. 对于的值，下列关系式何者正确 ( )A. 55<5678<60B. 65<5678<70C. 75<5678<80D. 85<5678<9028. 已知m=−33× −221，则有 ( )A. 5<m<6B. 4<m<5C. −5<m<−4D. −6<m<−5二、填空题（共22小题；共110.0分）29. 若2b+1和a−13都是5的立方根，则a=，b=．30. 已知一个数的平方根为a+3与2a−15，则这个数是．31. 已知x=2,y=1是二元一次方程组mx+ny=7,nx−my=1的解，则m+3n的立方根为．32. 若3x+19的立方根是4，则3x+4的平方根是33. 写出一个−6、−5之间的无理数：．34. −27的立方根与81的算术平方根的和是．35. 若与x−y−3互为相反数，则x+y=．36. −27的立方根与81的平方根的和是．37. 对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下，a∗b=a+ba−ba+b>0，如2∗1=2+12−1=3，那么7∗5∗4=．38. 计算：2sin30∘−16=．39. 已知2x+1的平方根是±5，则5x+4的立方根是．40. 阅读下面的解答过程，在横线上填入恰当的内容．解方程：x−12=4．解：因为x−12=22 ⋯⋯①所以x−1=2 ⋯⋯②所以x=3 ⋯⋯③上述过程中，有无错误，如有，错在，原因是，请写出正确的解答过程．41. 64的立方根是．42. a是5的整数部分，b是5的小数部分，则a2+b2的值是．43. 估计2203的值在两个相邻的正整数n与n+1之间，则n=．44. 1，2，3，⋯，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数的个数有个．45. 用长 4cm ，宽 3cm 的邮票 300 枚不重不漏摆成一个正方形，这个正方形的边长等于 cm ．46. 27 的立方根与 81 的平方根之和为 ． 47. 如果 5x +123=−2，则 x +17 的平方根为 ． 48. 运用计算器求下列各式的值，从中你发现什么规律？ ① 169= ， 1.69= ， 0.0169= ．规律：把一个数的小数点向左（右）移动两位，这个数算术平方根的小数点向 移动 位．② 21973= ， 2.1973= ， 0.0021973= ．规律：把一个数的小数点向左（右）移动三位，这个数立方根的小数点向 移动 位．49. 任何实数 a ，可用 a 表示不超过 a 的最大整数，如 4 =4， 3 =1．现对 72 进行如下操作：\( 72\xrightarrow{第一次}\left[\sqrt {72}\right]=8\xrightarrow{第二次}\left[\sqrt8\right]=2\xrightarrow{第三次}\left[\sqrt 2\right]=1 \)，这样对 72 只需进行 3 次操作后变为 1，类似的，①对 81 只需进行 次操作后变为 1；②只需进行 3 次操作后变为 1 的所有正整数中，最大的是 ．50. 将 1 、 2 、 3 、 6 按右侧方式排列．若规定 m,n 表示第 m 排从左向右第 n 个数，则 7,3 所表示的数是 ； 5,2 与 20,17 表示的两数之积是 ．三、解答题（共22小题；共286.0分）(1)利用计算器计算： 9×9+19； 99×99+199； 999×999+1999； 9999×9999+19999； 99999×99999+199999；⋯．(2)利用（1）中呈现出的规律结论，猜想 99⋯9⏟n 个9×99⋯9⏟n 个9+199⋯9⏟n 个9的结果．52. 求下列各式中的 x ． (1) 4x −1 3=343； (2) 1+27x 3=0； (3) 23= 643．53. 已知 5+ 7 的小数部分是 a ，5− 7 的小数部分是 b ，求 a +b 的值．54. 刘桐购买了一个正方体的模型，体积为 630cm 3．你能计算出该正方体模型的表面积吗？（计算结果保留整数） 55. 求下列各式的值： (1) 0.0083； (2) − 1−19273；(3) − 7293+ 5123； (4) 3− 1−1241253+ −0.001356. 某厂区内有一个变压器，为了安全，计划用铁丝网将它围起来，如果围成一个面积为 47m 2 的正方形场地，请你估算至少需要多少米长的铁丝网？（结果精确到 0.1m ） 57. 计算： 8÷2−1+ 273⋅ 2+ − 2 3．58. 若 19−2 的整数部分为 a ，小数部分为 b ，求 2a +b 的值． 59. 一块长方形纸片的面积是 300cm 2，长、宽之比为 3:2． (1)求这块长方形纸片的长与宽；（结果保留根号）(2)小丽想用一块面积为 400cm 2 的正方形纸片，沿着边的方向裁出这个长方形，她能完成吗？ 60. 求下列等式中的 x 值： (1) 27x 3+125=0； (2) x −1 3=−8； (3) x 3=5； (4) 2x 3−6=34．61. 若 a −b −72+ 2a +b −8=0，求 的平方根． 62. 解关于 x 的方程： 4−x 2= 4−x 23．63. 某种冰淇淋是用正方体的纸盒包装的，有 64 克和 216 克两种规格，其成本等于冰淇淋成本加上包装成本，并且包装成本与包装盒的表面积成正比例关系，64 克的成本是 1.12 元，其中冰淇淋的成本为 1分/克，如果公司每支冰淇淋想获得 1 元的利润，问 216 克装的冰淇淋售价应是多少元？64. 若 x −1+ 3x +y −1 2=0，求 5x +y 2 的值．65. 已知 y −13 和 3−2x 3互为相反数，且 x −y +4 的平方根是它本身，求 x ，y 的值． 66. 已知 M 是大于 − 3 但小于 6 的所有整数的和，N 是小于 37−22的最大整数，求 M +N 的平方根．67. 用铁皮制作一个密封的正方体水箱，使其体积为 1.728m 3，至少需要多大面积的铁皮？ 68. 计算： −2 2+ −3 ×2− 9． 69. 已知 8x 3−1=0，求 x 2+1x 的值． 70. 阅读下列材料：如果一个数 x 的 n （n 是大于 1 的整数）次方等于 a ，这个数 x 就叫做 a 的 n 次方根，即 x n =a ．如：24=16， −2 4=16．则 2，−2 是 16 的 4 次方根，或者说 16 的 4 次方根是 2 和 −2；再如 −2 5=−32，则 −2 叫做 −32 的 5 次方根，或者说 −32 的 5 次方根是 −2． 回答问题：(1) 64 的 6 次方根是 ；−243 的 5 次方根是 ；0 的 10 次方根是 ． (2)试归纳一个数的 n 次方根的情况． 71. 比较6−12 与 2+12大小． 72. 如图，长方体的长为 20cm ，宽为 10cm ，高为 15cm ，点 B 离点 C5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B 去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是多少？答案第一部分1. A2. B3. C4. C5. D6. B7. C8. A9. C 10. D11. B 12. C 13. D 14. D 15. C16. A 17. C 18. B 19. A 20. C21. C 22. D 23. B 24. D 25. A26. D 27. C 28. A第二部分29. 6；130. 4931. 232. ±733. −26或−33或−2734. 035. 2736. 0或−637. 10438. −339. 440. ②；4的平方根有两个，是±2；正确解答过程：因为x−12=4，所以x−12=±22，所以x−1=±2，所以x=3或−1．41. 242. 13−443. 644. 18645. 6046. 0或647. ±1348. ①13；1.3；0.13；左（右）；一；②13；1.3；0.13；左（右）；一49. 3；25550. 3第三部分51. (1) 9×9+19=10；99×99+199=100；999×999+1999=1000；9999×9999+19999=10000；99999×99999+199999=100000．51. (2) 观察（1）中的计算结果可以看出：各算式的结果都是10的若干次幂，且其指数都等于被开方数的第二个加数中9的个数．由此可猜想：99⋯9⏟n个9×99⋯9⏟n个9+199⋯9⏟n个9=10n．52. (1) 因为4x−13=343，所以 4x −1=7， 所以 4x =8， 所以 x =2．52. (2) 因为 1+27x 3=0， 所以 27x 3=−1，所以 x 3=−127， 所以 x =−13．52. (3) 因为 23= 643， 所以 x 2=64， 所以 x =±8．53. (1) ∵2< <3， ∴7<5+ 7<8．∴5+ 7 的整数部分是 7．其小数部分为 a =5+ 7−7= 7−2． 又 −3<− <−2， ∴2<5− 7<3．∴5− 7 的整数部分是 2，其小数部分是 b =5− −2=3−∴a +b = 7−2 + 3− 7 = 7−2+3− 7=1． 54. (1) 设正方体模型的边长为 xcm ． 由 x 3=630，得x = 6303, x ≈8.57,所以正方体模型的表面积为6x 2≈6×8.572≈441 cm 2 .答：正方体模型的表面积约为 441cm 2．55. (1) 原式= 0.233=0.2；55. (2) 原式=− 8273=− 23 3=−23；55. (3) 原式=− 33+ 833=−9+8=−1；55. (4)原式= 0.333− 11253+ −0.1 33=0.3− 1533+ −0.1=0.3−15−0.1=0.56. (1) 设正方形场地的边长为 xm ，根据题意，得 x 2=47． 因为 6.85< <6.86， 所以 27.40<4 <27.44．答：至少需要 27.4m 长的铁丝网．57. (1) 原式=2 ÷12+3× 2−2 2=4 2+6−6 2=6−2 2.58. (1) 因为 4< <5，所以 2< −2<3．所以 19−2 的整数部分 a 为 2，小数部分 b 为 19−4．把 a =2，b = 19−4 分别代入 2a +b ，得 2a +b =2×2+ 19−4= 19． 59. (1) 设长方形纸片的长为 3xcm （x >0），则宽为 2xcm ，依题意，得3x ×2x =300,6x 2=300,x 2=50.因为 x >0，所以x = 50=5 2 cm .所以长方形纸片的长为 15 2cm ，宽为 10 2cm ． 59. (2) 因为 50>49， 所以 5 >7，所以 15 2>21，即长方形纸片的长大于 20cm ．由正方形纸片的面积为 400cm 2，可知其边长为 20cm ， 所以长方形纸片的长大于正方形纸片的边长， 所以小丽不能完成．60. (1) ∵27x 3+125=0,∴x 3=−12527,∴x = −1253=−5; 60. (2) ∵ x −1 3=−8,∴x −1= −83. ∴x =−1;60. (3) ∵ x 3=5, ∴x =53=125; 60. (4) ∵2x 3−6=34,∴x 3=278, x = 2783=32.61. (1) ∵ a −b −7 2+ 2a +b −8=0，∴ a −b −7=0,2a +b −8=0.解得 a =5,b =−2,∴ a +b − −22 =5，5 的平方根是 ± 5． ∴ a +b − −22 的平方根是 ± 5．62. (1) 因为 4−x 2 的算术平方根等于其立方根，4−x 2=0或4−x 2=1.所以x =±2或x =± 3.63. (1) 设棱长为 1 个单位长度的正方体正好装 1 克的冰淇淋，那么 64 克的冰淇淋需要边长为 643=4 个单位长度的正方体纸盒进行包装，它的表面积为 42×6=96 个平方单位，每平方单位面积的包装费为1.12−64×0.01 ÷96=0.005 元 .而 216 克装的冰淇淋的正方体包装盒的棱长为 2163=6 个单位长度，其表面积为 62×6=216 个平方单位，包装费为216×0.005=1.08 元 ;成本为216×0.01+1.08=3.24 元 ,故其定价为3.24+1=4.24 元 .所以 216 克装的冰淇淋售价应是 4.24 元． 64. (1) 依题意得 x −1=0,3x +y −1=0. 解得 x =1,y =−2.∴ 5x +y 2= 5×1+ −2 2= 3.65. (1) ∵ y −13 和 3−2x 3 互为相反数，∴y −1 和 3−2x 互为相反数．∴y −1+ 3−2x =0．∵x −y +4 的平方根是它本身， ∴x −y +4=0，即 y −1+3−2x =0,x −y +4=0, 解得 x =6,y =10.66. (1) 因为大于 − 3 但小于 6 的所有整数是 −1，0，1，2，则M =−1+0+1+2=2.因为 6< 37<7， 所以 2<37−22<2.5， 所以小于 37−22 的最大整数为 2，所以 N =2．所以 ± M +N =± 2+2=±2．67. (1) 设水箱的棱长为 xm ，根据题意，得x 3=1.728,解得x = 1.7283=1.2.所以需要的铁皮面积为 1.22×6=8.64 m 2 ．68. (1) 原式=4−6−3=−5. 69. (1) 因为 8x 3−1=0， 所以 x 3=18，所以 x =12．把 x =12 代入 x 2+1x ，原式= 12 2+11 2=14+4=414． 70. (1) ±2；−3；070. (2) 当 n 为偶数时，一个正数的 n 次方根有两个，它们互为相反数；当 n 为奇数时，一个数的 n 次方根只有一个；负数没有偶次方根；0 的 n 次方根是 0．71. (1) 因为6<9，所以6<3，6−1<2．因为2>1，所以>1，+1>2．所以−1<+1，故6−12<2+12．72. (1)将长方体沿CF，FG，GH剪开，向右翻折，使面FCHG和面ADCH在同一个平面内，连接AB，如图①，由题意可得BD=BC+CD=5+10=15cm,AD=CH=15cm,在Rt△ABD中，根据勾股定理得AB===152cm;将长方体沿DE，EF，FC剪开，向上翻折，使面DEFC和面ADCH在同一个平面内，连接AB，如图②，由题意得BH=BC+CH=5+15=20cm,AH=10cm,在Rt△ABH中，根据勾股定理得AB=BH+AH=20+10=105cm;如图③，连接AB，由题意得AC=AH+CH=10+15=25cm,BC=5cm,在Rt△ABC中，根据勾股定理得AB=AC2+BC2=252+52=526cm.由15<10<526，则需要爬行的最短距离是15．。