高中数学人教A版必修5课件：122 高度问题
人教A版高中数学必修五课件1.2.2解三角形的实际应用举例——高度、角度问题.pptx
解得 t 2 或t 5 （舍去）.
3
12
所以舰艇需要 2 小时靠近渔船.
3
此时AB=14海里，CB=6海里，
由正弦定理，得 CB AB ，
sin CAB sin120
6 sin CAB
3 2 3
3，
14 14
∴∠CAB≈21.8°，21.8°+45°=66.8°,
∴舰艇的航向是北偏东约66.8°.
【例】在海岛A上有一座海拔 1 km的山峰，山顶设有一个观 察站P.有一艘轮船按一固定方 向做匀速直线航行，上午11:00时，测得此船在岛北偏东15°， 俯角为30°的B处，到11:10时，又测得该船在岛北偏西45°， 俯角为60°的C处. (1)求船的航行速度； (2)求船从B到C行驶过程中与观察站P的最短距离.
而PD最小.
此时，
AD AB AC sin 60
3
3 3
3 2
3
7,
BC
21
14
3
PD 1 ( 3 7)2 259 .
14
14
∴船在行驶过程中与观察站P的最短距离为 259 km.
14
方法二:由(1)知在△ACB中，由正弦定理
AC
BC
，sin ABC
3 3 3 2
【规范解答】在△BCD中，∠BCD=α，∠BDC=β，
∴∠CBD=180°-(α+β),
BC sin
sin［180
s
，即
］
BC sin
sin
s
.
BC sin s. sin( )
人教版高中数学《必修5》第一章1.2《测量高度、角度问题》公开课教学课件 (共24张PPT)
由余弦定理：
AC2=AB2+BC2-2AB创 BC cos?ABC
( ) ( ) =轾 犏 臌 10
2
3-1 +202-2?10
3 1创 20 cos120?=600，
\ AC=10 6 由正弦定理 BC = AC ，
sБайду номын сангаасn行CAB sin ABC
\
sin?CAB=BCsinAC邪ABC=201si0n1620
练习1.如图某人选择水平面上的两点C、D，AB⊥ 面BCD，CD=800m，在C点测得A的仰角∠ACB=45°， ∠BCD＝120°，又在D点测得∠BDC＝45°，求AB.
(提示： sin15°= 6- 2) 4
解答
探究点2 测量角度问题
例2.如图一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行
( ) 10 3-1 nmile后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东
sinBAC 10t sin1201.BAC30
10 3t
2
∠C=30°=∠BAC，BC=AB=10，t=1，
45 °+30 °=75 °
答：缉私船航向为北偏东75°，1小时即可追上。
随堂检测
1.如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯 角为α =60°，在塔底C处测得A处的俯角为 β =30°,已知铁塔BC部分的高为100m,求山高CD.
答：缉私船航向为北偏东75°，1小时即可追上。
解 ： 设 经 过 t 小 时 在 C 点 追 上 ， 如 图 所 示 ， 在 D ABC中 ， 邪 ABC=75+45鞍 =120， BC=10t， AC=103t， AB=10
高中数学人教A版必修五课件1.2 第1课时 距离和高度问题2
分别是45°和30°,且∠CBD=30°,求塔高AB.
分析:先在Rt△ABC和Rt△ABD中,用AB表示BC和BD,再在△BCD中,
由余弦定理建立方程求解.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
解:在 Rt△ABC 中,∠ACB=45°,设 AB=h,则 BC=h.在 Rt△ABD 中,∠
第1课时
距离和高度问题
-1-
课标阐释
思维脉络
1.掌握基线、坡角、视角、仰角、俯角 应用举例
有关概念
等测量问题中常用的概念.
2.能够运用正弦定理和余弦定理解决
距离问题
实际应用
与距离、高度等有关的实际问题.
高度问题
课前篇自主Leabharlann 习一、常用概念1.基线
(1)定义:在测量上,根据测量需要适当确定的线段叫做基线.
=
,得
13 5 13 5
65
sin
sin
1 260
4
AB=
·sin C= 63 × =1 040(m).所以索道 AB 的长为 1 040 m.
sin
5
65
(2)假设乙出发 t min 后,甲、乙两游客距离为 d,此时甲行走了
(100+50t)m,乙距离 A 处 130t m,所以由余弦定理,得
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
解:在△ACD 中,∵∠ADC=30°,∠ACD=120°,
∴∠CAD=30°,∴AC=CD=√3 km.
在△BDC 中,∠CBD=180°-(45°+30°+45°)=60°.
数学-高二-必修5人教A版 第一章1.2第2课时高度、角度问题
第一章 解三角形1.2 应用举例第2课时高度、角度问题A 级 基础巩固一、选择题1．某人向正东走了x km 后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km ，结果离出发点恰好 3 km ，那么x 的值是( ) A. 3 B ．2 3 C ．3 D ．23或 3解析：由正弦定理，得sin A ＝BC sin B AC ＝3sin 30°3＝32， 因为BC ＞AC ，所以A ＞B ，B ＝30°，所以A 有两解，即A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，∠ACB ＝90°，x ＝23；当A ＝120°时，∠ACB ＝30°，x ＝ 3.故选D.答案：D2．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为( )A.4003 mB.40033 mC.203 3 mD.2003m 解析：如下图所示，由题意知∠PBC ＝60°，所以∠ABP ＝90°－60°＝30°，又∠BPA ＝60°－30°＝30°，所以AB ＝PA .又在Rt △PBC 中，BC ＝200·tan 30°， 所以在Rt △PAD 中，PA ＝BC cos 30°＝4003. 因为PA ＝AB ，所以AB ＝4003. 答案：A3．在静水中划船的速度是每分钟40 m ，水流的速度是每分钟20 m ，如果船从岸边A 处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为( )A.π4B.π3C.π6D.512π 解析：设水流速度与船速的合速度为v ，方向指向对岸．则由题意知，sin α＝v 水v 船＝2040＝12， 又α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，所以α＝π6.答案：C4．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是()A．1002米B．400米C．2003米D．500米解析：由题可得右图，其中AS为塔高，设为h，甲、乙分别在B、C处．则∠ABS＝45°，∠ACS＝30°，BC＝500，∠ABC＝120°，所以在△ABS中，AB＝AS＝h，在△ACS中，AC＝3h，在△ABC中，AB＝h，AC＝3h，BC＝500，∠ABC＝120°.由余弦定理(3h )2＝5002＋h 2－2·500·h ·cos 120°，所以h ＝500(米)．答案：C5．在△ABC 中，A ＝60°，且最大边长和最小边长是方程x 2－7x ＋11＝0的两个根，则第三边的长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为A ＝60°，所以第三边即为a ，又b ＋c ＝7，bc ＝11.所以a 2＝b 2＋c 2－2b cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝72－3×11＝16.所以a ＝4.答案：C二、填空题6．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.解析：根据图示，AC ＝100 2.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°⇒AM ＝100 3. 在△AMN 中，MN AM＝sin 60°，所以MN ＝1003×32＝150 (m)． 答案：1507. 一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬得10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行可回到它的出发点，那么x ＝________cm.解析：如图所示，在△ABC 中，AB ＝x ，BC ＝10，∠ABC ＝180°－105°＝75°，∠BCA ＝180°－135°＝45°，所以∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°.由正弦定理得：x sin 45°＝10sin 60°， 所以x ＝1063(cm)． 答案：10638.如图所示，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 位于北偏东α，前进m 海里后在B 处测得该岛位于北偏东β，已知该岛周围n 海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件__________时，该船没有触礁危险．解析：在△ABM 中，由正弦定理得 BM sin （90°－α）＝m sin （α－β）， 故BM ＝m cos αsin （α－β）， 要使该船没有触礁危险需满足BM sin(90°－β)＝m cos αcos βsin （α－β）>n . 所以当α与β满足m cos αcos β>n sin(α－β)时，该船没有触礁危险．答案：m cos αcos β>n sin(α－β)三、解答题9．甲船在A 处，乙船在A 的南偏东45°方向，距A 有9海里的B 处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，用多少小时能最快追上乙船？解：如图所示，设用t 小时甲船能追上乙船，且在C 处相遇．在△ABC 中，AC ＝28t ，BC ＝20t ，AB ＝9，∠ABC ＝180°－45°－15°＝120°.由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ，即(28t )2＝92＋(20t )2－2×9×20t ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，128t 2－60t －27＝0， 所以t ＝34或t ＝－932(舍去)， 所以甲船用34小时能最快追上乙船． 10．如下图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧远处一山顶D 在西偏北15°的方向上，行驶5 km 后到达B 处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD (精确到1 m)．解：在△ABC 中，∠A ＝15°，∠C ＝25°－15°＝10°，根据正弦定理，BC sin A ＝AB sin C， BC ＝AB sin A sin C ＝5sin 15°sin 10°≈7.452 4(km)． CD ＝BC ×tan ∠DBC ≈BC ×tan 8°≈1 047(m)．B 级 能力提升1．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 3 m 以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( )A ．200 mB ．300 mC ．400 mD ．100 3 m解析：如下图所示，△BED ，△BDC 为等腰三角形，BD ＝ED ＝600，BC ＝DC ＝200 3.在△BCD 中，由余弦定理可得cos 2θ＝6002＋（2003）2－（2003）22×600×2003＝32， 所以2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin 4θ＝2003×32＝300(cm)． 答案：B2．一架飞机在海拔8 000 m 的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为________m.解析：宽＝8 000tan 30°－8 000tan 45°＝5 856.4(m)． 答案：5 856.43．我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面C 和D 处，已知CD ＝6 km ，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面点B 处时，测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°(如图所示)，求我炮兵阵地到目标的距离．解：在△ACD 中，∠CAD ＝180°－∠ACD －∠ADC ＝60°，∠ACD ＝45°，根据正弦定理，有AD ＝CD sin 45°sin 60°＝23CD ， 同理：在△BCD 中，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝135°，∠BCD ＝30°，根据正弦定理，有BD ＝CD sin 3°sin 135°＝22CD ， 在△ABD 中，∠ABD ＝∠ADC ＋∠BDC ＝90°，根据勾股定理，有AB ＝AD 2＋BD 2＝23＋12CD ＝426CD ＝42(km)，所以我炮兵阵地到目标的距离为42 km.。
1.2第2课时 高度、角度问题 秋学期高中数学必修5(人教A版)PPT课件
由正弦定理，得sin∠BCBDC＝sin∠CDCBD. 所以 BC＝CDsisnin∠∠CBBDDC＝sin s（·siαn＋ββ）. 在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan∠ACB＝ssin·ta（n θα＋sinβ）β .
类型 3 角度问题 [典例 3] 如图所示，在坡度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15°，向山 顶前进了 100 米后到达 B 点，又从 B 点测得建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 45°，已知建筑物的高度为 50 m，求 此山坡相对于水平面的倾斜角 θ 的大小(精确到 1°)．
所以可设计方案如下： 小艇的航行方向是北偏东 30°，航行速度为 30 海里/ 时，此时小艇能以最短的时间与轮船相遇．
[迁移探究] 典例 4 中若小艇无最高航行速度限制， 其他条件不变．问：
(1)若希望相遇时小船行距最小，则小艇航行速度为 多少？
(2)若保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)与轮船相遇， 试求小艇航行速度的最小值．
归纳升华 1．解决有关航行问题，关键是弄懂一些数学术语的 含义，根据题意作出草图后，再运用正弦、余弦定理来 求解． 2．解决这类问题时一定要搞清方位角，另外需注意 的一点就是选择好不动点．
[变式训练] 我缉私巡逻艇在一小岛 A 南偏西 50°的 方向，距小岛 12 海里的 B 处，发现隐藏在小岛边上的一 艘走私船正开始向小岛北偏西 10°的方向行驶，测得其速 度为每小时 10 海里，问我巡逻艇需以多大速度朝什么方 向航行才能恰好在两小时后截获该走私船(参考数据：sin 38°≈0.62)?
由正弦定理得：sin5045°＝sin（9B0C°＋θ），
100sin 15° 即：sin5045°＝sin（si9n03°0＋°θ）， 解得 cos θ＝ 3－1， 所以 θ≈43°， 故山坡相对于水平面的倾斜角约为 43°.
高中数学 1-2-2高度问题 新人教A版必修5
[点评] 空间图形与平面图形可分别画，以帮助准确的计 算和解答．
名师辩误做答
[例 3] 已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80°处，距离灯塔 C 2km， B 船在灯塔 C 北偏西 40°，A、B 两船的距离为 3km，求 B 到 C 的距离．
[错解] 如图所示， 由题意知 AB＝3km，AC＝2km，∠ACB＝120°.
方案②，在地面上任取两点 C、D，测出 CD 和∠ACB、 ∠ADB、∠BCD、∠BDC，可求得 AB.
重点难点展示
分析实际问题情景，探求如何用解三角形的有关知识解决 高度测量问题．
学习要点点拨
1．弄清常见的一些角的找法，如仰角、俯角、方位角、 方向角、坡角等．
2．认真审题，未给出图形的要画出示意图，边读题边把 所给的几何量标注在图形上，找出已知条件与待求问题之间的 联系．
2．探究思考 如图，若 AB 为一建筑物，在下列情形下，请你设计测量 建筑物高度的方案．
(1)底部可到达时． (2)底部不可到达时． 解：(1)在地面上取点 C，测出 BC 与∠ACB，可求得 AB. (2)方案①，在地面上取点 C、D，使 B、C、D 在同一条直 线上，测出 CD，∠ACB 和∠ADB，可求得 AB.
[解析] 在△ABD 中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，
由sinA1B5°＝siAn4D5°得，
AD＝ABsi·nsi1n54°5°
800× ＝ 6－
2
2 2
＝80(
3＋1)(m)．
4
∵CD⊥平面 ABD，∠CAD＝45°，
∴CD＝AD＝800( 3＋1)≈2 186(m)．
答：山高 CD 为 2 186 m.
[解析] 解法 1：∵∠PAB＝θ，∠PBC＝2θ， ∴∠BPA＝θ，∴BP＝AB＝30， 又∵∠PBC＝2θ，∠PCD＝4θ， ∴∠BPC＝2θ，∴CP＝BC＝10 3. 在△BPC 中，根据正弦定理得： siPnC2θ＝sinπP－B 4θ，即1si0n23θ＝si3n04θ，
2020年年数学人教A版必修五优化课件第一章高度、角度问题
[自主梳理]
三角形中的计算、证明问题除正弦定理、余弦定理外，还有如下公式： (1)l＝a＋b＋c(l 为三角形的周长)； (2)A＋B＋C＝π； (3)S＝12ab·sin C＝12bcsin A＝12ac·sin B； (4)S＝12ah(h 是 a 对应的高)；
(5)S＝a4bRc(R 是三角形外接圆的半径)； (6)S＝2R2sin A·sin B·sin C(R 是三角形外接圆的半径)； (7)S＝12r(a＋b＋c)(r 为三角形内切圆的半径)； (8)S＝ pp－ap－bp－cp＝12a＋b＋c.
2．若 P 在 Q 的北偏东 44°50′方向上，则 Q 在 P 的( )
A．东偏北 45°10′方向上
B．北偏东 45°50′方向上
C．南偏西 44°50′方向上
D．西偏南 45°50′方向上
解析：如图所示，点 Q 在点 P 的南偏西 44°50′的方向上．
答案：C
3．在 200 米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30°， 60°，则塔高为________米． 解析：如图所示，山的高度 MN＝200 米，塔高为 AB，CN＝MB＝2030，AC＝NC3 ＝ 230·03＝2030.所以 塔高 AB＝200－2030＝4030米． 答案：4300
解析：设 AB＝x，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝x； 在 Rt△ABD 中，∠ADB＝30°，∴BD＝ 3x.在△BCD 中，∠BCD＝ 120°，CD＝500 m，由余弦定理得( 3x)2＝x2＋5002－2×500xcos 120°， 解得 x＝500 m. 答案：D
B. 2
3
1
C. 4
D.2
解析：sina A＝sinb B＝sinc C＝2×1＝2，∴sin A＝a2，sin B＝b2.
高中数学第一章解三角形122高度角度问题课件新人教A版必修5
3．如图，位于 A 处的海面观测站获悉，在其正东方向相距
40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救．在 A 处南
偏西 30°且相距 20 海里的 C 处有一艘救援船，该船接到观测站
通知后立即前往 B 处救助，则 sin∠ACB＝
21
7
.
解析：在△ABC 中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°.由余
解：如图所示，设预报时台风中心为 B，开始影响基地时台 风中心为 C，基地刚好不受影响时台风中心为 D，则 B，C，D 在一直线上，且 AD＝20，AC＝20.
由题意 AB＝20( 3＋1)，DC＝20 2，BC＝( 3＋1)×10 2.
在△ADC 中，∵DC2＝AD2＋AC2，
∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.
2．如图，D，C，B 三点在地面同一直线上，DC＝100 m， 从 C，D 两点测得 A 点仰角分别是 60°，30°，则 A 点离地面的 高度 AB 等于( A )
A．50 3 m C．50 m
B．100 3 m D．100 m
解析：因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°， 所以△ADC 为等腰三角形．所以 AC＝DC＝100 m， 在 Rt△ABC 中，AB＝ACsin60°＝50 3 m.
对于顶部不能到达的建筑物高度的测量，我们可以选择另一 建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、 俯角等构成的三角形，在此三角形中利用正弦或余弦定理求解即 可.
[变式训练 2] 如图，线段 AB，CD 分别表示甲、乙两楼， AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部 A 处测得乙楼顶部 C 的仰角 α ＝30°，测得乙楼底部 D 的俯角 β＝60°，已知甲楼高 AB＝24 米， 则乙楼高 CD＝ 32 米．
[精品]新人教A版必修5高中数学1.2.2 解决有关测量高度的问题优质课教案
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1.2.2 解决有关测量高度的问题说课本节的例3、例4和例5是有关测量底部不可到达的建筑物等的高度的问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法去解决,但常常用正弦定理和余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题．在例3中是测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA，并测出点C 观察A的仰角；在例4中是计算出AB的长；在例5中是计算出BC的长，然后转化为解直角三角形的问题．本节课主要是研究解斜三角形在测量中的应用，关于测量问题，一是要熟悉仰角、俯角的意义，二是要会在几个三角形中找出已知与未知之间的关系，逐步逐层转化，最终归结为解三角形的问题．教学重点 1.结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题；2.画出示意图是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一，需在反复的练习和动手操作中加强这方面能力．日常生活中的实例体现了数学知识的生动运用，除了能运用定理解题之外，特别要注重数学表达需清晰且富有逻辑，可通过合作学习和相互提问补充的方法来让学生多感受问题的演变过程．教学难点能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件；教具准备直尺和投影仪三维目标一、知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题二、过程与方法本节课是解三角形应用举例的延伸．采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架．通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法．教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯．作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间三、情感态度与价值观进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力教学过程导入新课师设问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题推进新课【例1】AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法．[合作探究师 这个建筑物就不好到达它的底部去测量，如果好去的话，那就直接用尺去量一下就行了，那么大家思考一下如何去测量这个建筑物的高呢？生 要求建筑物AB 的高，我只要能把A E 的长求出来，然后再加上测角仪的高度E B 的长就行了师 对了，求AB 长的关键是先求A E ，那谁能说出如何求A E ？生 由解直角三角形的知识，在△ADC 中，如能求出C 点到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由C 点观察A 的仰角，就可以计算出A E 的长． 师 那现在的问题就转化成如何去求CA 的长，谁能说说？生 应该设法借助解三角形的知识测出CA 的长．生 为了求CA 的长，应该把CA 放到△DCA 中，由于基线DC 可以测量，且β也可以测量，这样在△DCA 中就已知两角和一边，所以由正弦定理可以解出CA 的长．解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上．由在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD = A ，测角仪器的高是h ，那么，在△ACD 中，根据正弦定理可得)sin(sin βαβ-=a AC ,AB =A E+h=ac sinα+h=)sin(sin sin βαβα-a师 通过这道题我们是不是可以得到一般的求解这种建筑物的高的方法呢？生 要测量某一高度AB ，只要在地面某一条直线上取两点D 、C ，量出CD =A 的长并在C 、D 两点测出AB 的仰角α、β，则高度h a AB +-=)sin(sin sin βαβα，其中h 为测角器的高．【例2】如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=54°40′，在塔底C 处测得A 处的俯角β=50°1′．已知铁塔BC 部分的高为27.3 m,求出山高CD (精确到1 m).[合作探究师 根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给出时间让学生讨论思考）要在△ABD 中求CD ，则关键需要求出哪条边呢？ 生 需求出BD 边．师 那如何求BD 边呢？生 可首先求出AB 边，再根据∠BAD =α求得．解：在△ABC 中,∠BCA =90°+β,∠ABC =90°-α,∠BAC =α-β,∠BAD =α. 根据正弦定理)90sin()sin(ββα+︒=-AB BC =，所以)sin(cos )sin()90sin(βαββαβ-=-+︒=BC BC AB在Rt△ABD 中,得BD =AB sin∠BAD =)sin(sin cos βααβ-BC将测量数据代入上式,得934sin 0454sin 150cos 3.27)1500454sin(0454sin 150cos 3.27'︒'︒'︒='︒-'︒'︒'︒=BD CD =BD -BC ≈177-答:山的高度约为150米师 有没有别的解法呢？生 要在△ACD 中求CD ，可先求出AC ．师 分析得很好，请大家接着思考如何求出AC ？生 同理，在△ABC 中，根据正弦定理求得．（解题过程略）【例3】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15°的方向上,行驶5 km 后到达B 处,测得此山顶在东偏南25°的方向上,仰角为8°,求此山的高度CD[合作探究师 欲求出CD ，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？生 在△BCD 中师 在△BCD 中，已知BD 或BC 都可求出CD ,根据条件,易计算出哪条边的长？生BC 边解：在△ABC 中, ∠A =15°,∠C =25°-15°=10°,根据正弦定理︒︒===10sin 15sin 5sin sin ,sin sin C A AB BC C AB A BCCD =BC ×t a n∠DBC =BC ×t a答:山的高度约为1 047米课堂练习用同样高度的两个测角仪AB 和CD 同时望见气球E 在它们的正西方向的上空,分别测得气球的仰角α和β,已知BD 间的距离为A ,测角仪的高度为B ,求气球的高度分析:在Rt△EG A 中求解EG,只有角α一个条件,需要再有一边长被确定,而△E AC 中有较多已知条件,故可在△E AC 中考虑E A 边长的求解,而在△E AC 中有角β,∠E AC =180°-α两角与AC =BD =A 一边,故可以利用正弦定理求解E A解：在△AC E 中,AC =BD =A ,∠AC E=β,∠A E C =α-β,根据正弦定理,得 )sin(sin βαβ-=a AE .在Rt△A EG 中，EG=A Esinα=)sin(sin sin βαβα-a ∴EF=EG+b =b a +-)sin(sin sin βαβα答:气球的高度是b a +-)sin(sin sin βαβα评述:此题也可以通过解两个直角三角形来解决,思路如下:设EG=x,在Rt△EG A 中,利用co tα表示A G,而Rt△EG C 中,利用co tβ表示C G,而C G-A G=CA=BD=A,故可以求出EG,又GF=CD=B,故EF高度可求课堂小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工，抽取主要因素，进行适当的简化．布置作业课本第17页练习第1、3题.板书设计解决有关测量高度的问题例练习例2 课堂练习小结例3 布置作业。
人教A版高二数学必修五第一章1-2 第2课时 解三角形的实际应用举例高度、角度问题共28张 精品
则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，
由余弦定理得：MN 2＝AM 2＋AN 2－2
AM·ANcosA＝
7 400 x2－14 000 x＋3510 000，
37
其中0≤x≤8，当x＝ (min)时，MN最小，此时乙在
（3）由（1）知：BC＝500m，甲到
C
用时：1
260 50
＝1256
(min)．
离最短？
（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3
分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
解：（1）如图作BD⊥CA于点D，
设BD＝20k，则DC＝15k，AD＝48k，
M
A
AB＝52k，由AC＝63k＝1 260m， B
N
知：AB＝52k＝1 040m．
D
（2）设乙出发x分钟后到达点M， C
此时甲到达N点，如图所示．
还原说明
数学模型
推演 理算 数学模型的
解
探究点2 测量角度问题 例4 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航 行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东 32°的方向航行54.0 n mile后到达海岛C.如果下次航 行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行, 需要航行的距离是 多少?(角度精确到 0.1°,距离精确到 0.01 n mile)
AC = asinβ sin（α-β）
AB = AE + h = ACsinα+ h = asinαsinβ+ h.
sin（α-β）
例2 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的 俯角 α=54°40′，在塔底C处测得A处的俯角 β=50°1′ ,已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出 山高CD(精确到1 m). 分析: 根据已知条件,大家能设 计出解题方案吗？
【精品教学设计】高中数学 (1.2.2 解决有关测量高度的问题)示范教案 新人教A版必修5
1.2.2从容说课本节的例3、例4和例5是有关测量底部不可到达的建筑物等的高度的问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法去解决,但常常用正弦定理和余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题．在例3中是测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA，并测出点C观察A的仰角；在例4中是计算出AB的长；在例5中是计算出BC本节课主要是研究解斜三角形在测量中的应用，关于测量问题，一是要熟悉仰角、俯角的意义，二是要会在几个三角形中找出已知与未知之间的关系，逐步逐层转化，最终归结为教学重点1.2.画出示意图是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一，需在反复的练习和动手操作中加强这方面能力．日常生活中的实例体现了数学知识的生动运用，除了能运用定理解题之外，特别要注重数学表达需清晰且富有逻辑，可通过合作学习和相互提问补充的方法来让学教学难点教具准备直三维目标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.本节课是解三角形应用举例的延伸．采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架．通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法．教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯．作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间.进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力.教学过程导入新课师设问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题.【例1】AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB[合作探究]师 这个建筑物就不好到达它的底部去测量，如果好去的话，那就直接用尺去量一下就行了，那么大家思考一下如何去测量这个建筑物的高呢生 要求建筑物AB 的高，我只要能把A E 的长求出来，然后再加上测角仪的高度E B 的长就行了.师 对了，求AB 长的关键是先求A E ，那谁能说出如何求A E生 由解直角三角形的知识，在△ADC 中，如能求出C 点到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由C 点观察A 的仰角，就可以计算出A E师 那现在的问题就转化成如何去求CA生 应该设法借助解三角形的知识测出CA生 为了求CA 的长，应该把CA 放到△DCA 中，由于基线DC 可以测量，且β也可以测量，这样在△DCA 中就已知两角和一边，所以由正弦定理可以解出CA解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上．由在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD = A ，测角仪器的高是h ，那么，在△ACD 中，根据正弦定理可得)sin(sin βαβ-=a AC ,AB =A E+h=ac sin α+h=)sin(sin sin βαβα-a +h. 师生 要测量某一高度AB ，只要在地面某一条直线上取两点D 、C ，量出CD =A 的长并在C 、D 两点测出AB 的仰角α、β，则高度h a AB +-=)sin(sin sin βαβα，其中h【例2】如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=54°40′，在塔底C 处测得A 处的俯角β=50°1′．已知铁塔BC 部分的高为27.3 m,求出山高CD (精确到1 m).[合作探究]师 根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给出时间让学生讨论思考）要在△ABD 中求CD生 需求出BD师 那如何求BD生 可首先求出AB 边，再根据∠BAD =解：在△ABC 中,∠BCA =90°+β,∠ABC =90°-α,∠BAC =α-β,∠BAD =α.根据正弦定理,)90sin()sin(ββα+︒=-AB BC =，所以)sin(cos )sin()90sin(βαββαβ-=-+︒=BC BC AB . 在Rt △ABD 中,得BD =AB sin ∠BAD =)sin(sin cos βααβ-BC .将测量数据代入上式,得934sin 0454sin 150cos 3.27)1500454sin(0454sin 150cos 3.27'︒'︒'︒='︒-'︒'︒'︒=BD ≈177(m),CD =BD -BC ≈177-27.3=150(m).答:山的高度约为150米.师 有没有生 要在△ACD 中求CD ，可先求出AC师 分析得很好，请大家接着思考如何求出AC生 同理，在△ABC【例3】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15°的方向上,行驶5 km 后到达B 处,测得此山顶在东偏南25°的方向上,仰角为8°,求此山的高度CD .[合作探究]师 欲求出CD生 在△BCD 中.师 在△BCD 中，已知BD 或BC 都可求出CD ,根据条件,生BC 边.解：在△ABC 中, ∠A =15°,∠C =25°-15°=10°,根据正弦定理,︒︒===10sin 15sin 5sin sin ,sin sin C A AB BC C AB A BC ,≈ 7.452 4(km), CD =BC ×t a n ∠DBC =BC ×t a n8°≈1 047(m).答:山的高度约为1 047米.课堂练习用同样高度的两个测角仪AB 和CD 同时望见气球E 在它们的正西方向的上空,分别测得气球的仰角α和β,已知BD 间的距离为A ,测角仪的高度为B ,求气球的高度.分析:在Rt △EG A 中求解EG,只有角α一个条件,需要再有一边长被确定,而△E AC 中有较多已知条件,故可在△E AC 中考虑E A 边长的求解,而在△E AC 中有角β,∠E AC =180°-α两角与AC =BD =A 一边,故可以利用正弦定理求解E A .解：在△AC E 中,AC =BD =A ,∠AC E=β,∠A E C =α-β,根据正弦定理,得)sin(sin βαβ-=a AE .在Rt △A EG 中，EG=A Esin α=)sin(sin sin βαβα-a .∴EF=EG+b =b a +-)sin(sin sin βαβα.答:气球的高度是b a +-)sin(sin sin βαβα. 评述:此题也可以通过解两个直角三角形来解决,思路如下:设EG=x,在Rt △EG A 中,利用co t α表示A G,而Rt △EG C 中,利用co t β表示C G,而C G-A G=CA =BD =A ,故可以求出EG,又GF=CD =B ,故EF 高度可求.利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的布置作业课本第17页练习第1、3题. 板书设计例1例2 课堂练习小结 例3 布置作业。
人教A版高中数学必修五课件导学案11：1.2解三角形应用举例(2)——高度问题.pptx
CD S,并在点C测量塔顶A的仰角为，求塔高AB
AB S sin tan sin( )
A
h BC tan 300 12 3 3 12
3C
B
【课内探究】
例1、若此建筑物AB底部B不可到达，请你设计一种
测量建筑物AB高度的方法。
A
分析：可先测出CD，在ACD中，由于CAD= -，
则由正弦定理得出AC
在RTABC中，AB=ACsin
D
C
B
解：在ACD中，则由正弦定理 CD = AC
c2＝_a_2____b__2___2__a_b_。cos C
3、余弦定理推论：cos A＝b2___c_2____a_2___，
2bc
a2 c2 b2
a2 b2 c2
cos B＝____2__a_c______，cos C＝_______2_a_b____。
4、仰角、俯角：视线与水平线所成角中，
3、在地面 C 处观察同一铅垂面内迎面飞来的一架飞机，当
飞机在 A 处时测得其仰角为 30 ，过 1min 后，飞机到达 B
处，又测得飞机的仰角为 75 ，如果该飞机以 480km/h 的速 度沿水平方向飞行，试求飞机的高度。 2 2 3
4、在测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平
基线：根据测量需要适当确定的 线段叫做基线。
AB AE h AC sin h asin sin h sin( )
例2在山顶铁塔上B处测得地面上一 点A的俯角α＝60°，在塔底C处测 得A处的俯角β＝30°。已知铁塔 BC部分的高为30m，求出山高 CD(精确到1m)
2020版新素养同步人教A版高中数学必修五课件：1.2.2解三角形求高度和角度
解析：(1)设两条船所在位置分别为 A，B 两点，炮台底部所在 位置为 C 点，炮台顶部为 D 点．在△ABC 中，由题意可知，AC＝ tan3030°＝30 3(m)，BC＝tan3045°＝30(m)，∠ACB＝30°，在△ABC 中，AB2＝(30 3)2＋302－2×30 3×30×cos 30°＝900，所以 AB＝ 30 m.
第二十页，编辑于星期日：一点 三十二分。
解析：(1)在 Rt△ABC 中，∠ACB＝45°， 若设 AB＝h，则 BC＝h； 在 Rt△ABD 中，∠ADB＝30°，则 BD＝ 3h， 在△BCD 中，由余弦定理可得 CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD， 即 2002＝h2＋( 3h)2－2·h· 3h·23， 所以 h2＝2002， 解得 h＝200(h＝－200 舍去)． 即塔高 AB＝200 米．
第二十二页，编辑于星期日：一点 三十二分。
类型二 有关角度问题 例 2 (1)已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等，灯 塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60°， 则灯塔 A 在灯塔 B 的( ) A．北偏东 10° B．北偏西 10° C．南偏东 10° D．南偏西 10°
第一页，编辑于星期日：一点 三十二分。
知识点一 测量高度时常用的几个角 坡角 坡面与_水__平___面__的夹角
坡比 坡面的_垂__直__高__度_与水平宽度之比
视角
观察物体时，从物体两端引出的光线在人 眼光心处形成的角
第二页，编辑于星期日：一点 三十二分。
仰角
在同一铅垂平面内，视线在水平线上__方__ 时与水平线的夹角