人教版初中数学讲义第10章分式10.1 分式
第十章 分式
10.1 分式的意义两个整式A.B 相除，即A ÷B 时，可以表示为B A .如果B 中含有字母，那么B A叫做分式，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.当B=1时，B A为整式。
如果分母为零，那么分式无意义；如果分母不为零，那么分式有意义；如果分子为零，分母不为零，那么分式值为零。
10.2 分式的基本性质分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，即NB N A M B MA B A÷÷=⋅⋅= 其中M 、N 为整式，且0,0,0≠≠≠N M B .把一个分式的分子与分母中相同的因式约去的过程，叫做约分。
如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式。
化简分式时，如果分式的分子和分母都是单项式，约分时约去它们系数的最大公因数、相同因式的最低次幂.如果分子、分母是多项式，先分解因式，再约分。
化简分式时要将分式化成最简分式或整式。
10.3分式两个分式相除，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘。
BD AC D C B A =⋅ , BCAD C D B A D C B A =⋅=÷分式的运算结果一般化简成最简分式或整式。
10.4分式的加减同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。
异分母分式相加减，先将它们化为相同分母的分式，然后进行加减。
将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分。
通分先要确定公分母，如果各分母的系数是整数，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
10.5 可以化成一元一次方程的分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
一元方程的解也叫做方程的根。
在分式方程变形时，有时可能产生不合适原分式方程的根，这种根叫做原分式方程的增根。
分式方程化为整式方程的过程必须两边乘以一个适当的整式，由于这个整式可能为零，是本不相等的两边也相等了，这时就可能产生增根。
10.1 分式预习学案
10.1 分式预习学案班级姓名时间学习目标：1．经历“列分式”的过程，理解分式的意义，会确定分式何时有意义；2．经历“分式与分数的比较”过程，体验分式与分数的联系与区别，加深对分式的理解，了解类比的数学思想．重点：分式的有关概念．难点：怎样确定分式何时有意义．学习过程：一．课前准备，提出问题。
（静下心来哦，开始明天数学的起航！）1.一块长方形玻璃的面积为2m2，如果长是3m，那么宽是m．如果它的宽是am，那么这块玻璃的长是m．2.小丽用n元人民币买了m 袋相同包装的瓜子，你能写出每袋瓜子的价格吗？（结果用分数形式表示）3.某校八年级学生步行到距学校12公里的郊外去旅行，一班的学生组成前队步行速度为x千米/时，一班到达目的地的时间用小时，二班的学生组成后队，速度比一队每小时快2千米，则他们到达目的地的时间为h．4.有两块棉田，一块面积为aha，产棉花mkg；另一块面积为bha，产棉花nkg．这两块棉田平均每公顷产棉花多少千克？（结果用分数形式表示）列式解答：二．合作交流，探索问题.（是一个人团结协作精神的具体体现......)1.一个n边形，若每个内角都相等，则每个内角为度．2.小明用a元钱去购买练习本，原价每本b元，现在每本降价1元，那么现在可以购买本练习本．善于总结——才有更大进步！刚才我们一起列出了代数式：2a、nm、12x、12x＋2、m＋na＋b、(n－2)×180n、ab－1．⑴这些代数式有什么共同的特征？⑵它们是整式吗？为什么？（分母中含有字母）⑶我们把分母含有的代数式命名为分式．如果A、B表示两个整式，并且B中含有，那么代数式AB叫做分式，其中A是分式的，B是分式的．如果我们重新赋予a与b不同的含义，ab－1可以表示不同的意义．例如：三．独立思考，解决问题。
(是对一个人解决问题能力的充分展示......)1.求当a ＝1时，分式a －3a ＋2的值．若a ＝3、a ＝－25 呢？2.自己任意取出一个喜欢的数a ，计算分式a －3a ＋2的值．3.你取a 的值为－2了吗？为什么？善于总结——才有更大进步！⑴分母的值为 时，分数无意义．⑵分式中字母的取值使分母不为 ，那么这个分式就有意义． 4.当x 取什么值时，分式x －22x －3有意义？心里想：根据刚才所说，只要x 的取值使分母不为0，分式x －22x －3 就有意义，因此我们可以先求出使分式x－22x－3的分母（2x－3）为0的x的值，（2x－3）为0的x的值是多少？（由分母2x－3＝0，得x＝）所以只要x≠，分式x－22x－3就有意义．解：由分母2x－3＝0，得x＝；所以当x≠时，分式x－22x－3有意义．认真想一下——这种解法掌握了吗？5．列代数式，并说明列出的代数式是否为分式．（1）某校八年级有学生m人，集合排成方队，如果恰好排成20排，那么每排有名学生；如果恰好排成a排，那么每排有名学生．6．填表：x －3 －2 －1 0 1 2 3x3－x7．当x取什么值时，下列分式有意义？（1）2＋xx；（2）x4－3x．四．问题拓展，我最棒！（是一个人智慧与潜能的集中爆发......) 1.当x_______时，分式521--x x无意义，当x______时，分式的值为1。
八年级数学上册 第十章 分式 10.1 分式课件
（1）
1 2 x
（2）
x
（3）
2
2 （xy 4） x y
3x y 3
（5）
3x 1 2
（6） 4 a 2 a
（7）1+
1 （8）x+y x
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典例精析
例2、当x取什么值时下列各式有意义？
(1) 3x ; x 1
(2) x 1 . 2x 3
只有当分母(fēnmǔ)不等于零
时，这个分式才有意义.
体会类比等数学思想(sīxiǎng)或方法，获得代数学习的成功经验。
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情境导入
为了美化首都，北京市对元大都城墙遗址进行了大规模的修缮、扩建，使它成为(chéngwéi)一个
“春有花、夏有荫、秋有果、冬有青”的景色怡人的公园. 园林设计者计划修建一个面积(miàn jī)为100m2的长方形花坛.如果原计划花坛的长是am，
①分子分母都是整式 ②表示成 A 的形式
B ③分母中含有字母
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内容(nèiróng)总结
八年级上册。观察它们的结构，归纳概括(gàikuò)出它们的共同特点.。(1)一项工程，由某建 筑公司单独完成需要x天，那么该建筑公式每天完成全部工程的多少。(3)2002年8月，在北京召 开国际数学大会，大会的会标取材于。我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》.其中的“弦图”是 由四个。角三角形的面积之和与小正方形的面积之比.。请你联系生活中的实际问题，列举一个 用分式表示的数量关系.。下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义
分子(fēnzǐ)等于0且分母不等于0时，分式的值为0.
第十三页，共二十页。
典例精析
例3、当x是什么(shén me)数时，32分xx 式21
分式讲义
3．最简因式：如果一个因式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个因式叫做最简因式。
【学习目标】
1、掌握分式的基本性质
2、会对分式进行恒等变形，会对分式进行约分，将分式化为最简分式。
【典型例题】
1．分式的基本性质的应用
【解答】
【例6】约分：
（1） ，（2） ，（3） .
【解答】
【例7】已知 ，求 的值．
【分析】遇到连等分式，一般采取设系数，然后代入约分。
【解答】
3．最简因式的判断
【例8】判断下列因式那些是最简因式，那些不是最简因式，并说明理由。
【解答】
【点评】最简分式的定义：如果一个因式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个因式叫做最简因式。
【解答】
【例4】 为何值时，分式 有意义？
【分析】分式 有意义的条件是： 。
【解答】
【点评】分式是否有意义，只和分母有关，与分子无关。
【例5】 为何值时，分式 有意义？
【解答】
4．分式值为零的条件
【例6】如果分式 的值为零，那么 、 应满足什么条件？
【分析】分式 的值为零条件是： 且 。
【解答】
5．与分式有关的实际问题
另
【能力提高】
1.根据分式的基本性质，下列各式中，变形不正确的是（）
（A） （B）
（C） （D）
2.下列各式正确的是（）
（A） （B） （C） （D）
3.下列约分错误的是（）
（A） （B）
（C） （D）
4.如果分式 中， 的值都变为原来的2倍，则分式的值（）
（A）不变（B）变为原来的 （C）变为原来的2倍（D）变为原来的4倍
最新分式讲义
分式讲义知识点一：分式的定义一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。
知识点二：与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（0B ≠）②分式无意义：分母为0（0B =）③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=00B A ）④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><00B A ）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：C B C ∙∙=A B A ，CB C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即BB A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。
知识点四：分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。
知识点四：最简分式的定义一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
知识点五：分式的通分① 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
分式讲义
知识点一、分式的定义如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式。
253817233312y x x x xy y x y x y x x -++-， ， ，－，－， ， ， ？些是整式？哪些是分式 在下列式子中，哪例π ，2222x y x y-+ 提示：区分整式与分式的唯一标准就是看分母，分母中不含字母的是整式，分母中含有字母的是分式。
提示：π是一个常数，而不是字母。
知识点二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为零；【B ≠0】 分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】分式值为零的条件分子为零且分母不为零。
【B ≠0且A=0】 例2 当x 取何值时，下列分式有意义？()x 211 ()3x 71x 32-- ()1x x32+当x 取何值时，下列分式无意义？()2x 5x 1- ()5x 61x 22-+ ()2x 3x 3+-当x 取何值时，下列分式的值为零？()x x +21 ()x x 342- ()45233-+x x知识点睛分式()33||4+-x x ()86452+-x x知识点三、分式值为正、负的条件分子分母同号为正，异号为负例3 当x 为何值时，分式 232-+x x 的值为正？分式512++x x 的值为负，则x 应满足 ．使分式x 326--的值为负数的条件是( )．知识点四、分式的基本性质（1）分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变 （2）分式的系数变号：bab a b a b a =--=+--=-- 例4 （1）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.下列变形正确的是（ ）A ．11a ab b+=+B ．11a ab b--=--C ．221a b a b a b-=--D ．()()221a b a b --=-+（2）下列各式中，从左到右的变形正确的是( )A 、y x y x y x y x ---=--+-B 、yx yx y x y x +-=--+-C 、y x y x y x y x -+=--+- D 、yx yx y x y x +--=--+-（3）根据分式的基本性质，分式xx --432可变形为( ) A.432---x x B ．x x ---432C ．x x --423D ．423---x x(4)下列从左到右的变形正确的是（ ）A ．122122x yx y x y x y --=++ B ．0.220.22a b a b a b a b ++=++ C ．11x x x y x y+--=-- D ．a b a b a b a b +-=-+(5)若2=nm，则=-+n m n m 3 . （6）已知345x y z==，求23x y x y z +-+的值。
人教版数学八年级上册 分式定义及性质 讲义
分式定义及性质知识点一、分式分式的概念：一般地，形如BA 的式子叫做分式，其中A 和B 均为整式，B 中含有字母。
分式是否有意义的识别方法：分式无意义的条件： ；分式值为1的条件： ； 分式有意义的条件： ；分式值为-1的条件： ； 分式为0的条件： ；二、分式的基本性质分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
（1）分式的分子与分母都乘以（或除以）的整式不能为0；（2）要充分理解基本性质中的“都”和“同”这两个字的含义，避免犯只乘分子或分母一项的错误；（3）分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意一个，分式的值不变；（4）因为分数线在分式中具有括号的作用，当分子或分母为多项式，要把它看作一个整体变号时，将多项式的各项都变号。
三、约分根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
分式约分的步骤：先把分式的分子与分母分解因式，再约去分子与分母的公因式。
（1）如果分式的分子、分母是单项式，约去分子、分母系数的最大公约数和相同因式的最低次幂；（2）如果分式的分子与分母都是多项式时，可先把分子、分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式；（3）当分式的分子或分母的系数是负数时，应先把负号提到分式的前边。
最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
（分子、分母都是乘积形式时，才能约分）四、通分：（1）分式通分的意义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
（2）通分的关键是确定几个分式的公分母。
（3）取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母，叫做最简公分母。
确定公分母时应注意：系数取各分母系数的最小公倍数，字母因式取各分母所有字母因式的最高次幂的积。
（4）约分是对一个分式而言，是将分式简化；通分是对几个分式而言，是将分式化繁。
根据分式的基本性质，将分式的分子和分母都乘以同一个数，就可以使它们各项的系数化为整数；这个数显然应取分子、分母中各项系数的最小公倍数。
初中数学八年级下册第10章分式10.5分式方程
10.5分式方程课题10.5分式方程（1）课型新授时间第十章第8课时教学目标1、经历“实际问题－分式方程方程模型”的过程，经历分式方程的概念，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用。
2、知道分时方程的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程。
3、在活动中培养学生乐于探究、合作学习习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值。
重 难 点 将实际问题中的等量关系用分式方程表示。
找实际问题中的等量关系。
学习过程旁注与纠错 一、课前预习与导学 1、什么叫做分式方程？解分式方程的步骤有哪几步？ 2、判断下面解方程的过程是否正确，若不正确，请加以改正. 解方程：2x －1 ＝3－x ＋1x －1.解：两边同乘以（x －1），得2＝3－x ＋1，① x ＝3＋1－2，② x ＝2。
③（不正确。
正确的解：两边同乘以（x －1），得2＝3（x －1）－x －1，所以x ＝3。
）3、解下列分式方程：（1）2＋x x －3 ＝x －1x ＋4 ； （2） x 2x －1 ＋51－2x ＝2.二、新课（一）、情境创设：1、甲、乙两人加工同一种服装，乙每天比甲多加工1件，已知乙加工24件服装所用时间与甲加工20件服装所用时间相同。
甲每天加工多少件服装？2、一个两位数的各位数字是4，如果把各位数字与十位数字对调，那么所得的两位数与原两位数的比值是74 。
原两位数的十位数字是几？3、某校学生到距离学校15km 的山坡上植树，一部分学生骑自行车出发40min 后，另一部分学生乘汽车出发，结果全体学生同时到达。
已知汽车的速度分母中含有末知数的方程叫做分式方程。
解分式方程一般情况下有下列几个步骤：①去分母，将分式方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母，将分式方程转化为整式方程；②解整式方程；③检验（检验整式方程的根是否为原方程的根。
）是自行车的速度的3倍，求自行车速度。
（二）、探索活动：1、上面所得到的方程有什么共同特点？2、这些方程与整式方程有什么区别？结论：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
八年级分式知识点人教版
八年级分式知识点人教版分式是初中数学中的重要概念之一，也是常常出现在高中数学的知识点。
在八年级数学学习中，学生需要掌握关于分式的基本概念、化简与运算、应用等知识点。
本文将结合人教版教材，对八年级分式的学习内容进行介绍和分析。
一、基本概念分式的本质是一个比值，由分子和分母两部分组成，其中分母不能为零。
分式可以用来表示两个数之间的比例大小或者表示一个数在某个整体中的比例大小。
在八年级人教版教材中，关于分式最基本的概念就是分子、分母和约分。
分子是分式中上面的那个数，分母是下面的那个数。
在分式的计算中，我们需要注意分母不能为零，否则就成了无意义的表达式。
而约分则是指将分式的分子和分母同时除以一个相同的数，得到一个新的分式，但是比值并没有改变。
例如，$\frac{6}{8}$就可以约分成$\frac{3}{4}$，分子和分母都除以2。
二、化简与运算在学习分式时，化简是一个非常重要的概念。
化简是指将分式中的分子和分母同时除以一个相同的数，从而得到能够约分的形式，使分式的形式更加简单明了。
化简也可以通过将同类项合并、分解质因数等方法来实现。
八年级还学习了分式的加减乘除四种运算法则。
在加减法中，我们需要先将两个分式的分母通分，然后将分子合并成一个新的分式；在乘法中，我们需要将两个分式的分子和分母分别相乘，然后得到一个新的分式；在除法中，则是将除数取倒数，然后将除法转化为乘法。
三、应用在生活和实际问题中，我们也可以用分式来进行计算和表示。
例如，“甲乙丙三人平均分某门功课为$\frac{7}{10}$，如果甲的成绩提高了$\frac{1}{5}$，乙的成绩降低了$\frac{1}{4}$，丙的成绩不变，这门功课的平均分变为多少？”这个问题就需要用到分式的平均数求解方法。
我们可以设甲乙丙三个人的原始成绩分别为$a,b,c$，则有$\frac{a+b+c}{3}=\frac{7}{10}$，代入变化后的甲乙成绩，得到新的平均分$\frac{7}{10}+\frac{1}{15}-\frac{1}{10}=\frac{3}{4}$。
人教版-数学-八年级上册-《分式》精品讲义
第十五章分式本章小结小结1 本章概述本章在已学过的分数的基础上引入了分式的概述，用类比的方法探究分式的基本性质，在熟练掌握分式的基本性质的基础上，会进行分式的约分、通分和分式的加、减、乘、除、乖方运算，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验分式方程的根．小结2 本章学习重难点【本章重点】了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；会解简单的可化为一元一次方程的分式方程.【本章难点】应用分式方程解决实际问题．小结3 中考透视本章内容在中考中主要考查判断分式有无意义，分式值为零的条件的应用，用分式基本性质进行变形，分式运算及分式的化简求值，常与实际问题结合起来命题，题型以解答题为主．知识网络结构图分式的概念分式的概念 分式的意义、无意义的条件分式的值为0的条件分式的基本性质分式的基本性质 分式的约分 分式的通分 分式的乘法规则分式的除法规则分式 同分母分式的加减法法则分式的运算 分式的加减法法则异分母分式的加减法法则运算性质负正数指数幂科学记数法公式方程的概念 解分式方程的步骤分式方程 分式方程中使最简公分母为0的解列分式方程应用题的步骤专题总结及应用一、识性专题专题1 分式基本性质的应用【专题解读】分式的基本性质是分式的化简、计算的主要依据.只有掌握好分式的基本性质，才能更好地解决问题.例1 化简(1)2610xy x ; (2) 21xy yx --； 解：(1)26233.10255xy x y yx x x x==(2)2(1)1(1)(1)1xy y y x yx x x x --==-+-+. 【解题策略】化简一个分式时，主要是根据分式的基本性质，把分式的分子与分母同时除以它们的公因式，当分式的分子或分母是多项式时，能分解因式的一定要分解因式.例2 计算2312212422a a a a ⎛⎛⎫⎫+÷-⎪⎪---+⎭⎭⎝⎝ 解：2312212422a a a a ⎛⎛⎫⎫+÷-⎪⎪---+⎭⎭⎝⎝3(2)122(2)2(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)3186(2)(2)(2)(2)3.a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤++-=+÷-⎢⎥⎢⎥+-+-+-+-⎣⎦⎣⎦++=÷+-+-= 【解题策略】异分母分式相加减，先根据分式的基本性质进行通分，转化为同分母分式，再进行相加减.在通分时，先确定最简公分母，然后将各分式的分子、分母都乘以分母与最简公分母所差的因式.运算的结果应根据分式的基本性质化为最简形式.专题2 有关求分式值的问题【专题解读】对于一个分式，如果给出其中字母的值，可以先将分式进行化简，然后将字母的值代入，求出分式的值.但对于分式的求值问题,却没有直接给出其中字母的值,而只是给出其中的字母所满足的条件，这样的问题复杂，需根据其转点采用相应的方法.例3 已知13x x+=,求2421x x x -+的值.解: 因为0x ≠，所以用2x 除所求分式的分子、分母. 原式22221111113361()21x x x x====--++--. 例4 已知22230x xy y --=，且x y ≠-，求2x x y x y--的值.解: 因为22230x xy y --=， 所以()(23)0,x y x y +-=所以0x y +=或230x y +=,又因为x y ≠-,所以0x y +≠,所以230x y -=,所以2,3y x = 所以223.2727323333x x x x x x x x x y x x yx x ====------- 例5 已知345,x y y z z x ==+++求()()()xyzx y y z x z +++的值. 解: 设3451,x y y z z x k===+++ 则3,4,5,x y k y z k z x k +=+=+= 解得x =2k ，y =k ，z =3k ，所以332361()()(3456010xyz k k k k x y y z x z k k k k ===+++）.例6 已知,,x z a c y z x y ==++且abc o ≠,求111a b c a b c +++++的值. 解: 由已知得1,y za x+= 所以111,y z x y z a x x ++++=+=即1a x y z a x+++=, 所以1a xa x y z=+++, 同理,,11b y c z b x y z c x y z==++++++ 所以1111a b c x y z x y z a b c x y z x y z x y z x y z++++=++==+++++++++++. 例7 已知1,x y zy z z x x y++=+++且0x y z ++≠,求222x y z y z x z x y +++++的值. 解: 因为0x y z ++≠,所以原等式两边同时乘以x y z ++,得:()(().x x y z y x y z z x y z x y z y z z x x y++++++++=+++++） 即222()()(),x x y z y y z x z z x y x y z y z y z z x z x x y x y ++++++++=++++++++ 所以222(),x y z x y z x y z y z z x x y +++++=+++++ 所以2220.x y z y z z x x y++=+++ 【解读策略】 条件分式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现了整体的数学思想和转化的数学思想.例8 已知,345x y z==求23x y x y z +-+的值. 分析 根据已知条件,可把,,x y z 用含有一个字母的代数式表示出来,再分别代入到所求式子中化简即可.解: 设,345x y zk ===则3,4,5x k y k z k ===. 所以34773324351010x y k k k x zy z k k k k ++===-+-⨯+⨯.【解题策略】 当代数式中的字母的比值是常数时，一般情况下都采用这种方法求分式的值.例9 已知,a b b c a c k c a b +++===求21kk +的值. 分析 只要求出k 的值就可以了,由已知条件可得,,,a b ck b c ak a c bk +=+=+=将这三个等式可加后得到2()()a b c k a b c ++=++,再通过讨论得到k 的值.解: 由已知到,,a b ck b c ak a c bk +=+=+=.三式相加得2()(),a b c k a b c ++=++即(2)()0k a b c -++=, 所以20k -=,或0a b c ++=. 即2k =,或0a b c ++=.当0a b c ++=时,a b c +=-,此时1,a bc+=-即1k =-. 所以2k =,或1k =-. 当2k =时,2222;1215k k ==++ 当1k =-时,22111(1)12k k -==-+-+. 【解题策略】在得到2()(),a b c k a b c ++=++时，因为a b c ++可以等于零，所以两边不能同时除以a b c ++，否则分丢解，应进行整理，用分解因式来解决.例10 已知111,a b a b +=+求b a a b+的值. 分析 观察已知条件和所示的分式,可将它们分别进行整理,从中得到某种关系,然后求值.解: 由111,a b a b +=+得1,a b ab a b+=+ 所以2(),a b ab +=即22a b ab +=-.所以221b a a b aba b ab ab+-+===-. 例11 已知14x x+=,求下列各式的值. (1)221x x+; (2)2421x x x ++. 分析 观察(1)和已知条件可知,将已知等式两边分别平方再整理,即可求出(1)的值;对于(2),直接求值很困难,根据其特点和已知条件,能够求出其倒数的值,这样便可求出(2)的值.解: (1)因为14x x +=,所以2214x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.即221216x x ++=.所以22114x x+=. (2)4242222222111114115x x x x x x x x x x ++=++=++=+=, 所以2421115x x x =++.32430a -⨯+=专题3 与增根有关的问题 例12 如果方程11322xx x-+=--有增根, 那么增根是 . 分析 因为增根是使分式的分母为零的根,由分母20x -=或20x -=可得2x =.所以增根是2x =.答案: 2x =例13 若关于x 的方程2403x x ax -+=-有增根, 则a 的值为 ( ) A.13 B. –11 C. 9 D.3分析 因为所给的关于x 的方程有增根,即有30x -=, 所以增根是3x =.而3x =一定是整式240x x a -+=的根, 将其代入得32430a -⨯+=,所以3x =.答案: D例14 a 何值时,关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根? 分析 因为所给方程的增根只能是2x =或2x =-，所以应先解所给的关于x 的分式方程，求出其根，然后求a 的值.解: 方程两边都乘以(2)(2)x x +-,得2(2)3(2).x ax x +=- 整理得(1)10a x -=-. 当a = 1 时,方程无解. 当1a ≠时,101x a =--. 如果方程有增根,那么(2)(2)0x x +-=,即2x =或2x =-.当2x =时,1021a -=-,所以4a =-; 当2x =-时,1021a -=--,所以a = 6 . 所以当4a =-或a = 6原方程会产生增根. 专题4 利用分式方程解应用题【专题探究】 列分式方程解应用题不同于列整式方程解应用题.检验时，不仅要检验所得的解是否为分式方程的解，还要检验此解是否符合题意.例15 在“情系海啸”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信息.信息1：甲班共捐款300 元， 乙班共挡捐款232 元. 信息2: 乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的45. 信息3 : 甲班比乙班多2人.请根据以上三条信息,求出甲班平均每人捐款多少元. 解: 设甲班平均每人捐款x 元,则乙班平均每人捐款45x 元. 根据题意, 得300232245x x =+,解这个方程得5x =. 经体验,5x =是原方程解.例16 (08·山西) 某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，上市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第二批进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元.（1）求第一批购进书包的单价是多少？（2）若商店销售这两批书包，每个售价都是120元，全部售出生，商店共盈利多少元？ 分析 设第一反批购进书包的单价为x 元，则第二批购进的书包的单价为(4)x +，第一批购进书包2000x 个，第二批购进书包63004x +个.解: 设第一批购进书包的单价为x 元. 依题意,得2000630034x x ⨯=+, 整理,得20(4)21x x +=, 解得80x =. 答: 第一批购进书包的单价为80元. 解法1: (2)20006300(12080)(12084)1000270037008084⨯-+⨯-=+=(元). 答: 商店共盈利3700元. 解法2 :2000(13)120(20006300)120008300370080⨯+⨯-+=-=(元) 答: 商店共盈利3700元. 二、规律方法专题专题5 分式运算的常用讨巧（1）顺序可加法.有些异分母式可加,最简公分母很复杂,如果采用先通分再可加的方法很烦琐.如果先把两个分式相加减,把所提结果与第三个分式可加减,顺序运算下去,极为简便.(2)整体通分法,当整式与分式相加减时,一般情况下,常常把分母为1的整式看做一个整体进行通分,依此方法计算,运算简便.(3)巧用裂项法.对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，分式的项数是比较多的，无法进行通分，因此，常用分式111(1)1n n n n=-++进行裂项.(4)分组运算法: 当有三个以上的异分母分式相加减时,可考虑分组,原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数,且值相同或为倍数关系,这样才能使运算简便.(5)化简分式法.有些分式的分子.、分母都异常时如果先通分，运算量很大.应先把每一个分别化简，再相加减.(6)倒数法求值（取倒数法）.(7)活用分式变形求值.(8)设k求值法(参数法)(9)整体代换法.(10)消元代入法.例17 化简324 11241111x x x x x x+++-+++解: 原式=33 222422411242241111111 x x x x x x x x x x x x x x+-+++=++-+++-++ 2233322444343474482(1)2(1)444(1)(1)1114(1)4(1)8.(1)(1)1x x x x x x xx x x x xx x x x xx x x++-=+=+-++-+++-==-+-例18 计算422aa-++.解：原式24(2)(2)41222 a a aa a a-+-=+=++++2(2)(2)422a a aa a+-+==++例19 计算3211x x x x +-+-. 解：原式3232(1)(1)1111x x x x x x x x x x -++=++-=---- 331111x x x x --==---.例20 计算1111.(1)(1)(2)(2)(3)(2005)(2006)a a a a a a a a +++++++++++解: 原式111111111122320052006a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--++-⎪ ⎪⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111111111223200520061120062006(2006)(2006)2006.2006a a a a a a a a a a a a a a a a a a=---+-++-+++++++=-++=-++=+【解题策略】要注意裂项法解分式是，常用分式111(1)1n n n n =-++.例21 计算22221111.23243x x x x x x x x x +--+++++++ 解: 原式22221111322143x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭2222221111(1)(1)(2)(1)(1)(3)(2)(3)(1)(1)(2)(1)(3)22(1)(2)(1)(3)2(1)(3)2(2)(1)(2)(3)2(263).(1)(2)(3)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦⎣⎦+-+-+=+++++=++++++++=+++++=+++ 例22已知x =求2111.242x x x +-+-- 解: 原式222111(2)(2)122444x x x x x x x --+=-+=++---- 222413444x x x --=+=---.当x =原式2== 例23 计算22223652.3256x x x x x x x x ++++-++++ 解: 原式2244113256x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 2244325644(1)(2)(2)(3)4(3)4(1)(1)(2)(3)(2)(3)(1)816(1)(2)(3)8.(1)(3)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++=+++++++=++++++++=+++=++ 例24 已知271x x x =-+,求2421x x x ++的值. 解: 因为 271x x x =-+,所以0a ≠,所以 2117x x x -+=,即187x x +=, 所以 242222111151149x x x x x x x ++⎛⎫=++=+-= ⎪⎝⎭所以 24215149x x x =++. 【解题策略】在求代数式的值时，有时所给条件或所求代数式不易化简变形，当把代数式的分子、分母颠倒后，变形就容易了，这样的问题通常采用倒数法（把分子、分母倒过来）求值.例25 已知2510x x -+=和0x ≠,求441x x +的值. 解: 由2510x x -+= 和0x ≠ ,提15x x+=, 所以24242112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭ 2222122(52)2527x x ⎡⎤⎛⎫=+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=--=【解题策略】 若能对分式进行熟练的变形运用，可给解题带来极大的方便.例26 已知,b c c a a b a b c +++==求()()()abc a b b c c a +++的值. 解: 设b c c a a b k a b c+++===, 所以,,b c ak c a bk a b ck +=+=+=所以,b c c a a b ak bk ck +++++=++所以2()(),()(2)0,a b c k a b c a b c k ++=++++-=即2k =或()0,a b c ++=当2k =,所求代数式33118abc abck k ===, 当0a b c ++=,所求代数式1=-.即所求代数式等于18或1-. 【解题策略】当已知条件以此等式出现时，可用设k 法求解.例27 已知111111111,,,6915a b b c a c +=+=+=求abc ab bc ac++的值. 解:因为 111111111,,,6915a b b c a c +=+=+= 各式可加得1111112,6915a b c ⎛⎫++⨯=++⎪⎝⎭ 所以11131180a b c ++=， 所以()1180.111()()31abc abc abc ab bc ac ab bc ac abc c a b÷===++++÷++ 例28 若4360,27,x y z x y z --=+-求232232522310x y z x y z----的值. 分析 消元法首选方法，即把其中一个未知数视为常量.解：以x, y 为主元，将已知两等式化为所以原式222222592413293410z z z z z z⨯+⨯-==-⨯-⨯-. 三、思想方法专题专题6 整体思想【专题解读】在进行分式运算时要重视括号的作用，即在计算时括号内的部分是一个整体，另外在分式的运算以及解方程时要注意符号的作用.例29 (08·宜滨) 请先将下列代数式化简，再选择一个你喜欢又使原式有意义和数代入求值.21111121a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪---+⎝⎭分析 先化简，再代入使10a -≠的数a 求值.436,27,x y z x y z -=+=所以3,2,x y y z ==解原式22111(1)(1)111(1)1a a a a a a a a a --⎛⎫-÷=+=- ⎪--+-⎝⎭. 取10a =，则原式= 9 .【解题策略】将1化为11a a --进行减法运算，计算时要注意分子1a -是一个整体.。
苏科版数学八年级下册10.1《分式》说课稿
苏科版数学八年级下册10.1《分式》说课稿一. 教材分析苏科版数学八年级下册10.1《分式》是学生在学习了有理数、实数等知识后，进一步拓展数学知识的重要内容。
本节课主要介绍分式的概念、分式的基本性质以及分式的运算。
通过学习，使学生掌握分式的基本概念，了解分式的运算规则，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数、实数等知识，具备了一定的数学基础。
但部分学生对分式的概念和性质可能理解不深，分式的运算规则容易混淆。
因此，在教学过程中，要关注学生的学习差异，针对性地进行教学，提高学生的数学素养。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握分式的概念，了解分式的基本性质和运算规则；2.过程与方法：通过自主学习、合作探讨，培养学生解决问题的能力；3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维和团队协作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：分式的概念、分式的基本性质和运算规则；2.教学难点：分式的运算规则，特别是分式的乘除法运算。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动法，引导学生自主学习，培养学生的问题解决能力；2.利用多媒体教学手段，展示分式的图形，直观地理解分式的意义；3.运用合作探讨法，让学生在小组内交流分享，提高学生的团队协作能力。
六. 说教学过程1.导入新课：通过生活中的实际问题，引入分式的概念，激发学生的学习兴趣；2.自主学习：让学生自主探究分式的基本性质，培养学生独立解决问题的能力；3.合作探讨：引导学生分组讨论分式的运算规则，互相交流，提高团队协作能力；4.知识拓展：介绍分式的应用，让学生感受分式在实际问题中的重要性；5.课堂小结：总结本节课的主要内容，强化学生的记忆；6.课后作业：布置具有针对性的作业，巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出重点。
主要包括以下几个部分：1.分式的概念；2.分式的基本性质；3.分式的运算规则；4.分式的应用。
人教版初中数学讲义第10章分式01 如何正确理解分式概念
如何正确理解分式概念分式中，正确理解分式概念是关键，怎样正确地理解分式概念呢？主要应注意以下几个问题：1．分式是两个整式相除的商，分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母，如 x 2 与 x －5 3的分母不含字母，因而它们是整式而不是分式．2．分式中的字母取值是有条件限制的，即必须使分母的值不为零．如分式 y x －3中，分子中的字母y 可以取任意数，而分母中的字母x 不能等于3．又如在分式 x －3 x ＋3中的字母x ，只有当x ≠－3时，分式才有意义．3．在分式中，分子、分母同乘以或除以一个代数式，可能会改变字母的取值范围．为此，在讨论分式中字母的取值范围时，应对原式进行讨论．例1 当x 为何值时，分式 x －2 （x ＋1）（x －2）有意义． 错解：∵ x －2 （x ＋1）（x －2） ＝ 1 x ＋1， ∴ 当x ＋1≠0，即x ≠－1时，分式有意义．剖析：不能先约分化简再讨论，正确答案是当x ≠－1且x ≠2时，分式有意义．4．分式值为零的前提是分式有意义（即分母不为零）．就是说使分式值为零的条件是使分子的值为零而分母的值不为零．例2 当x 为何值时，分式|x |－2 x ＋2的值为零．解：由|x |－2＝0，得x ＝±2．当x ＝2时，分母x ＋2＝4≠0；当x ＝－2时，分母x ＋2＝0．∴当x ＝2时，公式|x |－2 x ＋2的值为零． 例3 x 取何值时，分式|x |－3 x ＋3（1） 有意义；（2）无意义；（3）值为零．解：（1）当x ＋3≠0，即x ≠－3时，分式|x |－3 x ＋3有意义； （2）当x ＋3＝0，即x ＝－3时，分式|x |－3 x ＋3无意义； （3）由|x |－3＝0，得x ＝±3．当x ＝3时，x ＋3≠0；当x ＝－3时，x ＋3＝0．∴当x ＝3时，分式|x |－3 x ＋3 的值为零．。
人教版初中数学讲义第10章分式10.5 分式方程(3)
数多 20%．问甲、乙两公司各有多少人？ 问题 3： 小明用 12 元买软面笔记本， 小丽 用 21 元买硬面笔记本，已知每本硬面笔记本 比软面笔记本贵 1.2 元，小明和小丽能买到相 同数量的笔记本吗？ 尝试反馈，领悟新知 用分式方程解实际问题的一般步骤： （1）审题； （2）设未知数； （3）根据题意列方程； （4）解方程； （5）检验并写出答案． 课堂练习 课本 P118 练习． 归纳小结，巩固提高 尝试对知识和思想方法进行归纳、提炼、总结，形成 试对所学知识进行反思、归 纳和总结．会对知识进行提炼， 体会数学的思想和应用，将感性 在了解了分式的解法后，再 次回到实际问题，用分式方程去 解决实际问题．
10.5
分式方程（3）
1．能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，列出分式方程解决简单的实际问题，并能根据实际问题的意义检验所 教学目标 得的结果是否合理． 2．发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识． 教学重点 教学难点 如何结合实际分析问题，列出分式方程． 如何结合实际分析问题，列出分式方程． 学生活动 （1）根据题意设末知数； （2）分析题意寻找等量关系，列方程； （3）解所列方程； 关键是什么？ 1．京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南 北的大动脉，全长 1462 km，是我国最繁忙的 干线之一．如果货运列车的速度为 a km/h，快 速列车的速度是货运列车的 2 倍，那么： （1）货运列车从北京到上海需要 ______ 小时； （4）检验所列方程的解是否符合题意； （5）写出完整的答案． 关键：分析题意寻找等量关系，列方程．
探索规律，揭示新知
采用 “个人思考——小组交流——汇报方案” 的方式，
通过实际问题的解决，进一 步显示分式方程在实际生活中的
人教版初中数学讲义第10章分式10.5 分式方程(1)
2．课本 P115 练习． 3． 一个两位数， 个位数字比十位数字大 1， 个位、十位数字的和与这个两位数的比值是
1 ，求这个两位数． 5
归纳小结，巩固提高 1．什么是分式方程？ 2．解分式方程的一般步骤有哪些？ 3．在学习过程中你还存在哪些问题？ 布置作业，巩固新知 课本 118 页习题 1．
尝试对知识和思想方法进行归纳、提炼、总结，形成理 问题 2 的解？ 小结：解分式方程时，在方程的两边同乘 各分式的最简公分母，这个分式方程可以转化 为一元一次方程来求解．
24 20 ＝ ． x＋1 x
1．两边同时乘以最简公分母 x( x＋ 1) ． 2．把 x＝5 代入原方程： 左边＝
24 20 ＝4 ，右边＝ ＝4 ，左边＝右边． 5＋1 5
学生骑自行车出发 40min 后，其余学生乘汽车 出发，汽车速度是自行车速度的 3 倍，全体学 生同时到达．怎样用方程来描述其中数量之间 的相等关系？
探索规律，揭示新知 活动一 问题 1 比较前面所学的一元一次方程，
所列方程的分母中含有未知数． （2） （3）是分式方程．
让学生和熟悉的一元一次 方程比较，通过比较两者的区别 得出分式方程的概念． 让学生判断哪些方程是分 式方程，进一步巩固分式方程的 特点：分母中含有未知数．
4 4 20 － ＝ ， x 2 x 60
解得 x＝6． 答：甲组的步行速度为 6km/h，乙组骑自行车的速度为
比较拥堵，路线二的全程是 30 千米，平均车 12km/h． 速比走路线一时的平均车速能提高 80%， 因此 能比走路线一少用 10 分钟到达．若设走路线 一时的平均速度为 x 千米/小时，根据题意， 可得方程 ．
20 24 ＝ ； x x＋1
教学过程（教师） 问题的引入 1．甲、乙两人加工同一种服装，乙每天 比甲多加工一件，乙加工服装 24 件所用的时 间与甲加工服装 20 件所用的时间相同．怎样 用方程来描述其中数量之间的相等关系？ 2．一个两位数的个位数字是 4，如果把个 位数字与十位数字对调，那么所得的两位数与 原两位数的比值是
八年级数学下册第十章《分式的基本性质课件》公开
பைடு நூலகம்
第三节：分式的基本性质
分式的比较大小
掌握分式比较大小的方法，帮助你在计算中确定 大小关系。
分式的约分
学会使用最简分式，简化计算过程，提高效率。
基本比例性质
了解分式与比例的密切关系，掌握比例性质的应 用。
总结本章学习的重要性及其在数学领域的应 用。
课后练习
练习题集中的难点解析
解析本章练习题集中的难题，帮助你理解和掌握分 式的基本性质。
实战演练，巩固知识
通过练习提高实战能力，巩固对分式的掌握。
参考资料
教材课文
深入学习本章课文内容，加深对分式的理解。
网络资源
利用网络资源，拓宽知识范围，提高数学水平。
八年级数学下册第十章 《分式的基本性质课件》 公开
这个精彩的课件将带您深入了解分式的基本性质。从分式的定义到分式方程 的解法，我们将一步步指导您掌握这一重要数学概念。
第一节：分式的定义
什么是分式？它是数学中用分数表示的表达式。通过本节课，您将明确了解分式概念，为后续学习打下坚实基 础。
第二节：分式的计算
参考书籍
推荐一些与分式内容相关的书籍，帮助进一步学习分式的基本性质。
分式的通分
分式通分是解决分式运算难题的关键，深入掌握 通分技巧。
第四节：分式方程
1
分式方程的应用
2
通过实际问题的分析，将分式方程应用 于实际生活和数学领域。
分式方程的解法
学会解决涉及分式的方程问题，培养分 式方程解题的能力。
总结
1 分式的应用举例
通过经典案例，展示分式在实际问题中的应 用。
初中数学八年级下册《10.0第10章 分式》PPT课件 (6)
D
12a2.b 概念：通常取各分母所有因式的最高次幂的积作 为公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
分式
1, 1 ,
1
x x2 1 x2 2x 1
的最简公分母
是
x(x 1)2 (x 1)
.
x
x 2 1 (x 1)( x 1)
x 2 2x 1 (x 1) 2
例1.当a为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ D）
A．
a 1 a2
B．
1 a 1
C．a2 1 a 1
D． a 1
a2 1
变式拓展1
请自编一个分式使其一定有意义。
变式拓展2
（1）当a是什么数时,分式
a3 a2 2
的值是负数?
（思考：分子、分母 异号 时，分式
的值为负.） a3 a2 2 0
a2 2 0
a 3 0 a 3
a3
（2）当a是什么数时,分式 a 2 的值是正数?
（思考：分子、分母 的值为正.）
同号 时，分式
变式拓展3
若
6 a 1
表示整数，则整数a可以取哪些值？
a 1 1, a 1 2, a 1 3
a 1 6 （可以把a-1看成一个整体来思考）
1
2.要使分式 x 1 有意义的条件是（ B ）
A. x≠1 B. x≠-1 C. x≠0 D. x=-1
关键词：分式有意义的条件是：(分母不等于0 )
x 1
3.要使分式 x 1 的值为0条件是（ A
）
A. 1
B. -1 C. ±1 D. 0
关键词：分式的值为0的条件是:(分子为0，分母不为0 )
3
初中数学 分式10 人教版精品公开课件
3n
做一做
不改变分式的值，把下列分式的分子与分母的 最高次项的系数都化为正数：
（1） 2 x 1 ; x 1
3 x （2） x 2 2
P158T2,3
例1、化简下列分式：
（１） 8 ab 2 c （２） a 2 4a 4
12 a 2 b
a2 4
解：（１） 8ab 2c 12 a 2b
-x+1
-
x-1 x
xx++11
=x
练一练：
5、如图，为了制作贺卡,需在边长为（2b+2）的正方 形纸片上剪下边长为2的正方形。若合理剪裁可将剩下 的纸片恰好拼成一长为（b+2）的长方形,拼成的长方 形的宽是多少?
2b+2
2
b+2
+?
1.分式的基本性质。
2.分式的约分。
3.你在这节课的学习中体会最深刻的问 题是什么？
整式A除以整式B，可以表示成 A 的
B
形式。如果除式B中含有字母，那么称 为分式，其中A称为分式的分子，B为分式 的分母。 对于任意一个分式，分母都不能为零。若分 母为零，则此分式没有意义。
当分子等于零，分母不等于零时，分式的值是零。
练一练
当x取什么值时，下列分式有意义：
3 x
x3
x4
若分子、分母是单项式：先找出公因式， 后约去；若分子、分母是多项式时，先 “准备”，然后因式分解，再约分
练一练：
3、用分式表示下列各式，并约分。
4a2b6ab (x 2 9 ) ( 2 x 2 6 x )
4、约分：ຫໍສະໝຸດ 2x3y 4x2y2 x
2y
a2 6a 9 a2 9 a3 a3
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有两块棉田，一块面积为aha，产棉花mkg；另一块面积为bha，产棉花nkg．这两块棉田平均每公顷产棉花多少千克？
[(m＋n)÷(a＋b)]kg，通常写成kg．也就是说每公顷产棉花kg．
根据学生列代数式的基础用多媒体呈现几个例题，让学生从旧知识入手，不感到紧张和压力．
探索规律，揭示新知
问题3当x取什么值时，分式有意义？
根据刚才所说，只要x的取值使分母不为0，分式就有意义，
因此我们可以先求出使分式的分母（2x－3）为0的x的值，
（2x－3）为0的x的值是多少？（由分母2x－3＝0，得x＝）
所以只要x≠，分式就有意义．
解：由分母2x－3＝0，得x＝；
所以当x≠时，分式有意义．
练习．
1．列代数式，并说明列出的代数式是否为分式．
让学生再举这样的例子，认识到一般规律．
尝试反馈，领悟新知
问题2求当a＝1时，分式的值．
若a＝3、a＝－呢？
让学生自己任意取出一个喜欢的数a，计算分式的值．
是否有同学取a的值为－2？
为什么？
因为取a＝－2时，分式的分母的值为0，而分母的值为0时，分数无意义．
换句话说，如果分式中字母的取值使分母不为0，那么这个分式就有意义．
图片1：计算玻璃的长．
一块长方形玻璃的面积为2m2，如果长是3m，那么宽是m．
如果它的宽是am，那么这块玻璃的长是m．
图片2：小丽买瓜子的情境．
小丽用n元人民币买了m袋相同包装的瓜子，你能写出每袋瓜子的价格吗？
（是（n÷m）元，通常用元来表示．）
图片3：学生去公园旅行．
某校八年级学生步行到距学校12公里的郊外去旅行，一班的学生组成前队步行速度为x千米/时，一班到达目的地的时间用了时，二班的学生组成后队，速度比一队每小时快2千米，则他们到达目的地的时间为h．
归小结，巩固提高
1．什么是分式？
2．如何求分式的值？
3．分式何时有意义？何时无意义？
尝试对知识和思想方法进行归纳、提炼、总结，形成理性的认识，内化数学的方法和经验．
试对所学知识进行反思、归纳和总结．会对知识进行提炼，体会数学的思想和应用，将感性的认识升华为理性的认识．
布置作业，巩固新知
课本100页习题10.1第1题．
如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式叫做分式（fraction），其中A是分式的分子，B是分式的分母．
小组合作探究得出结论，汇报结果．
小组合作完成此次探究学习，有助于培养学生总结归纳和自学的能力．
让学生再举这样的例子，认识到一般规律．
活动二
如果我们重新赋予a与b不同的含义，可以表示不同的意义．
（1）某校八年级有学生m人，集合排成方队，如果恰好排成20排，那么每排有名学生；如果恰好排成a排，那么每排有名学生．
2．填表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
3．当x取什么值时，下列分式有意义？
（1）；（2）．
让学生应用从研究简单问题获得的经验解决较为复杂的问题，学习处理复杂问题的研究方法和手段．进一步学会用化归思想解决，激发其探求的欲望，培养学生良好的学习品德．
做一做
（1）一个n边形，若每个内角都相等，则每个内角为度．
（2）小明用a元钱去购买练习本，原价每本b元，现在每本降价1元，那么现在可以购买本练习本．
刚才我们一起列出了代数式：、、、、、、．
这些代数式有什么共同的特征？
它们是整式吗？为什么？（分母中含有字母）
我们把分母含有字母的代数式命名为分式．
（揭示主题）（板书）
10.1分式
教学目标
1．经历“列分式”的过程，理解分式的意义，会确定分式何时有意义；
2．经历“分式与分数的比较”过程，体验分式与分数的联系与区别，加深对分式的理解，了解类比的数学思想．
教学重点
分式的有关概念．
教学难点
怎样确定分式何时有意义．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
问题的引入
活动一（呈现4幅问题情景图片，每幅图片对应一个问题．）